Tài liệu Skkn kinh nghiệm giảng dạy và ôn tập phương trình và bất phương trình mũ, logarit

BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: trường THPT Nam Hà Mã số: ................................ (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY VÀ ÔN TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT Người thực hiện: Lê Thị Mai Hà Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: toán  - Lĩnh vực khác: .......................................................  Có đính kèm: Các sản phẩm không thề hiện trong bản in SKKN  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC BM02-LLKHSKKN I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: Lê Thị Mai Hà Năm học: 2011- 2012 2. Ngày tháng năm sinh: 12/ 06 / 1965 2 1.Nam, nữ: Nữ 2. Địa chỉ: B2- cư xá Phúc Hải- Tân Phong- Biên Hòa 3. Điện thoại: (CQ)/ 4. Fax: E-mail: (NR); ĐTDĐ: 0916 617 464 5. Chức vụ: 6. Đơn vị công tác: THPT Nam Hà II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học sư phạm toán - Năm nhận bằng: 1987 - Chuyên ngành đào tạo: Toán III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán Số năm có kinh nghiệm: 24 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1. Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ đối với hình chóp (2006-2007) 2.Ôn tập véc tơ và các phép toán về véc tơ (2007 – 2008) 3. Ôn tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (2008 – 2009) 4. Ôn tập hàm số, phương trình, hệ phương trình (2009 – 2010) 5. Ôn tập phương trình và bất phương trình mũ, logarit (2010 – 2011) 3 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Học sinh thường gặp khó khăn khi ôn tập để chuẩn bị thi đại học và cao đẳng vì không biết các dạng toán cơ bản thường gặp , không biết hệ thống hóa các kiến thức đã học,để từ đó có thể vận dụng giải các đề thi. I. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận Hệ thống các dạng toán , giúp học sinh chủ động trong học tập, biết trao đổi kiến thức và học hỏi lẫn nhau 2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài A. MỘT SỐ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN 1. Phương trình mũlogarit a. Phương trình mũ: 4Đưa về cùng cơ số +0 0 + 00), để đưa về một phương trình đại số.. Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 � 3 ), (7 �4 3 ),… Nếu trong một phương trình có chứa x �a � {a ;b ;a b }và không có hệ số tự do ta có thể chia hai vế cho b (hoặc a ) rồi đặt t=( � �(hoặc �b � 2x 2x x x 2x x 2x �b � t= � � �a � 4Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x)¹ f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0a ¹a 0 ¹¹ ¹  a  1 f  x  g  x  0 4 4 a a f(x) g(x) ¹a 0 ¹¹ . ¹  a  1 f  x   g  x  0 Đặt biệt: * Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x) ¹ f(x)>g(x) f(x) g(x) a ¹a ¹ f(x)¹g(x) f(x) g(x) * Nếu 0a ¹ f(x)g(x) f(x) g(x) a ¹a ¹ f(x)¹g(x) b. Bất phương trình logarit: � 0 < a �1 � � � 4logaf(x)>logag(x)¹ � �f ( x) > 0, g( x) > 0 � � � ( a - 1) [ f ( x) - g( x) > 0] � � ¹ 0  a 1 ¹ 4logaf(x)¹logag(x)¹ ¹ f  x   0, g  x   0 . ¹  a  1 f  x   g  x  0 ¹ Đặt biệt: + Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x) + Nếu 0logag(x) ¹ f  x  g  x ¹ ¹ g  x  0 ¹ f  x  g  x ¹ ¹ f  x  0 Û ¹ B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. Biến đổi thành tích x Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2 x  4.2 x 2 x   22 x  4  0 � 2 x 2   1 .  22 x  4   0 . x Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân  x tích thành tích: 2 2 x   1 .  22 x  4   0 . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2  log 9 x   log 3 x.log 3 2   2x  1  1 . Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: � log x  2 log 3 � 3   2x  1 1 � .log x  0 . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. � 3 2 Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau : 2x + log2(x - 4x + 4) > 2 - (x + 1)log0,5(2 - x) Điều kiện : x < 2 Biến đổi bất phương trình về dạng tích (x - 1)[ 2 - log2(2 - x)] > 0 5 x 2 x+1 Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 ( 1- x ) log3(2 + x) - (2 + x - 1)log3(2 + x) - 2 = 0 Điều kiện: x �0. Biến đổi phương trình về dạng tích [( 1- x ) log3(2 + x) - 2][2x log3(2 + x) + 1] = 0 Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích. II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: 9 x  2( x  2)3x  2 x  5  0 . Đặt t = 3x (*), khi đó ta có: t 2  2  x  2  t  2 x  5  0 � t  1, t  5  2 x . Thay vào (*) ta tìm được x. Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi  là số chính phương. 2 Ví dụ 2: Giải phương trình: log 3  x  1   x  5  log 3  x  1  2 x  6  0 . Đặt t = log3(x+1), ta có: t 2   x  5  t  2 x  6  0 � t  2, t  3  x  x = 8 và x = 2. Ví dụ 2: Giải phương trình: log2(1 + x) = log3 x Trong bai toán này không hy vọng chuyển về cùng một cơ số,mà ta tìm được sự lien hệ giữa 1+ x và x nếu đặt u = log3 x u Đặt u = log3 x(x > 0) , ta có log2(1 + x ) = u � x = 3 và 1+ x = 2u u u � �� 1� � 3� � +� � Ta có phương trình � �= 1(*) � �� 2� � �2 � � Vế trái của phương trình (*) là hàm số luôn nghịch biến, nên phương trình (*) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Ta thấy u = 2 là một nghiệm và là nghiệm duy nhất. Cuối cùng, ta có log3 x = 2 � x = 9 III. Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có f (u )  f  v  � u  v . Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì F b  F  a  c   a; b  : F '  c   . Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì b a c � a; b  : F '  c   0 � F '  x   0 có nghiệm thuộc (a;b). Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D. Ví dụ 1: Giải phương trình: x  2.3log x  3 . 2 6 Hướng dẫn: x  2.3  3 � 2.3  3  x , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1. log 2 x log 2 x x2 + x + 3 = x2 + 3x + 2 2 2x + 4x + 5 Áp dụng tính chất đơn điệu của hàm số f(t) trên tập D, ta có: f(u) = f(v) � u = v Phương trình có nghĩa với mọi x ��. 2 2 2 Đặt u = x + x + 3; v = 2x + 4x + 5 � v - u = x + 3x + 2 Ví dụ 2: Giải phương trình: log3 Vậy phương trình có dạng log3 u - log3 v = v - u � log3 u + u = log3 v + v Xét hàm số f(t) = log3 t + t,t > 0 1 + 1, " t > 0 nên hàm số f(t) luôn đồng biến, với mọi t > 0. Ta có: f '(t) = t ln3 Phương trình có dạng f(u) = f(v) � u = v � x2 + x + 3 = 2x2 + 4x + 5 �= x - 1 2 � � x + 3x + 2 = 0 � � x =- 2 � 21- x - 2x + 1 �0 Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 2x - 1 Điều kiện: x � 0 f (x) 1- x x Gọi f(x) = 2 - 2x + 1, g(x) = 2 - 1,Q(x) = . g(x) x �� 1� - 2x + 1. Nhận thấy f(x) là hàm số nghịch biến, f(1)=0,, f(0) = 3 >0, f(2) Viết lại f (x) = 2� � �� 2� = -2,5 < 0 . suy ra x = 1 là nghiệm duy nhất của f(x) trên �. - 1 <0 Tương tự g(x) = 2x – 1 là hàm đồng biến và g(0) = 0, g(1) = 1 > 0, g(-1) = 2 x<0 � � Q ( x ) � 0 � Lập bảng xét dấu f(x),g(x), Q(x) ta có � x �1 � IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta th ường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. 1.Dạng 1: Khác cơ số: Ví dụ: Giải phương trình log 7 x  log3 ( x  2) . Đặt t = log 7 x � x  7t Khi đó phương trình trở t t 1� �7� 7  2 � 1  � � 2. � � �. �3 � �3 � thành: t  log 3 ( 7  2) � 3  t t t 2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu logarit phức tạp Ví dụ 1: Giải phương trình log 6 ( x 2  2 x  2)  2 log 5  x 2  2 x  3  . Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có log 6  t  1  log5 t . 4   7 log x Ví dụ 2: Giải phương trình log 2 x  3 6  log 6 x . Đặt t  log 6 x , phương trình tương đương t �3 � 6t  3t  2t � 3t  � � 1 . �2 � 3. Dạng 3: a logb  x+c  = x ( Điều kiện: b = a + c ) Ví dụ 1: Giải phương trình 4log7  x 3  x . Đặt t  log 7  x  3 � 7t  x  3 , phương trình tương t 4 �7 � t 1 �7 � � �� đương 4t  7t  3 � � � � 3. � � 1 . Ví dụ 2: Giải phương trình 2 log 3  x 5   x  4 . Đặt t = x+4 phương trình tương đương 2 log3  t 1 t Ví dụ 3: Giải phương trình 4log3  x 1   x  1 2log3  x 1  x  0 . 4. Dạng 4: sax+b = clog s  dx + e  +αx + β , với d  ac   , e  bc   Phương pháp: Đặt ay  b  log s (dx  e) rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: s ax b  acx  s ay b  acy . Xét f  t   s at b  act . Ví dụ: Giải phương trình 7 x 1  6 log 7 (6 x  5)  1 . Đặt y  1  log 7  6 x  5  . Khi đó chuyển thành � � 7 x 1  6  y  1  1 7 x 1  6 y  5 � � � � y 1 � 7 x 1  6 x  7 y 1  6 y . Xét hàm số f  t   7t 1  6t suy ra hệ � y  1  log 6 x  5 7  6 x  5  � 7 � x 1 x=y, Khi đó: 7  6 x  5  0 . Xét hàm số g  x  7 x  1  6 x  5 Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2. 5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình. 2x 18  x 1 1 x x 1 x 2 1 2  2 2  2  2 8 1 18  x 1 1 x HD: Viết phương trình dưới dạng x 1  1 x , đặt 2 1 2  2 2  2  2 u  2 x 1  1, v  21 x  1.u , v  0 . 18 �8 1 �  Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: �u v u  v � u.v  u  v � Ví dụ: Giải phương trình 8  6. Dạng 6: Đặt ẩn phụ và sử dụng tính chất của hàm số Ví dụ 1: Giải phương trình : 3.25x- 2 + (3x - 10).5x- 2 + 3 - x = 0 Phương trình này có ẩn x ở trên mũ và cũng là một số hạng của tổng. Mặt khác 25x- 2 = ( 5x- 2) nên ta đặt ẩn phụ u = 5x- 2 ( nhưng không biểu thị x qua u ) và coi đây là phương trình bậc hai của u, x là tham số. Giải: Đặt u = 5x- 2, u > 0 . Ta có phương trình : 2 3u2 + (3x - 10)u + 3 - x = 0(*), D = ( 3x - 8) �0 2 8 � 1 u= � ( *) � � 3 � u = 3- x � � 1 x- 2 + 5 = � x = 2 - log5 3 3 + 5x- 2 = 3 - x (**) Ta nhận thấy u = 5x- 2 là hàm số luôn đồng biến trên �, cón hàm số v = 3 – x là hàm số luôn nghịch biến trên �, nên phương trình (**) có nghiện x = 2 là nghiệm duy nhất. 2 Ví dụ 2: Giải phương trình : 2x- 1 - 2x - x = ( x - 1) 2 Với kinh nghiệm giải các phương trình không mẫu mực, ta có thể xét hàm số đơn điệu như sau. x- 1 x2- x + x2 - x ( *) Biến đổi phương trình thành 2 + x - 1 = 2 t (t) = 2t ln2 + 1 > 0, " t �� nên hàm số đồng biến trên � Đặt f (t) = 2 + t,t �� ta có f � Phương trình (*) có dạng f (x - 1) = f (x2 - x) � x - 1 = x2 - x � x = 1 BÀI TẬP I. Giải các phương trình mũ 1. 2. 3. 4.. 5. 6. 7. 52x-1+5x+1 - 250 = 0 9x + 6x = 2.4x 4 x 6 5 25 3 x  4  x =2  x =0  x =7/5 1  x =0 và x= 3 4 x  4.3 2 x  3 0 4 4 4  x =1 và x= 3 256 x x x x 1  x= 2 x 1. 2 6 4 x 1 2 ( 5  2 6 ) x  ( 5  2 6 ) x 10  x =2 và x=-2 8. (5  x  x =0 và x= log 5 21) x  7(5  21) x 2 x 3 x 9. 3  5 6 x  2 2 10. 2 x  1  2 x  x ( x  1) 2 21 2  x=0 và x=1  x=1 11. 5.3 2 x  1  7.3 x  1  1  6.3 x  9 x 1 0  x= log 3 3 ;x=  log 3 5 5  x   0;1;3 13. 2 1 x  3 y  3 2 x  4 y 1 2  x=0,5 và y=0,5  x=-1 14. 32 x 2  3 x 4  6 x 2  7 1  2.3x 1 12. ( x  1) x 2  4 x 3 1 II. Giải các phương trình logarit 1. x log 2 9  x 2 .3log 2 x  x log 2 3  x=2 7 9 2. log 2 (1  x ) log 3 x 3. log 5 ( x 2  1)  log 1 5 log 5 ( x  2)  2 log 1 ( x  2)  x=9 5  x= 21 /2 25 80 . 81  x   3  5 và x = 9  29 2 2  x=0 và x =3  x=7 và x = 4  x=2 2 4. ( x  2) log 3 ( x  1)  4( x  1) log 3 ( x  1)  16 0 1 2 5. log x 3 (3  1  2 x  x 2 )  6. 7. 8. log 2 (9  2 x ) 3  x log2x + 2log7x = 2 + log2xlog7x log x 2 (2  x )  log 2 x x 2 9. log 2 ( 4 x  4)  x  log 1 (2 x 1  3)  x=2, x=   x=2 2 log x log 3 (9 x  6) 1 10. x 1  x  x 11. log 3 (9  4.3  2) 3x  1 12. 4 log 2 2 x  x log 2 6 2.3 log 2 4 x 2 13. log 4 ( x  1)  2 log 2  x=0 và x= log 3 (3  15 )  1 2  x= 1/4 4  x  log 8 (4  x) 3 2 14. log 3 ( x  x  1)  log 3 x 2 x  x 2 x 15. x  log 2 (9  2 ) 3 x 1 x 16. ( x  1) log 5 3  log 5 (3  3) log 5 (11.3  9)  x=2 và x= 2  24  x=1  x=0 và x=3  x=0 và x=2 III. Giải bất phương trình mũ Bài 1:  x>8/3 1. 22x-1 + 22x-3 - 22x-5 >27-x + 25-x - 23-x 2. 3. 3 1 3 x 1 x  0 - Xem thêm -