Tài liệu Skkn kinh nghiệm giải các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản.

Kinh nghiệm giải các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản. A. §Æt vÊn ®Ò C¸c bµi to¸n vÒ ph©n sè tèi gi¶n vµ hai sè nguyªn tè cïng nhau cã 1 vÞ trÝ ®Æc s¾c trong to¸n häc nãi chung vµ trong ®êi sèng nãi riªng. §©y lµ 1 trong nh÷ng to¸n khã, hay vµ thùc sù thu hót nhiÒu ngêi tham gia gi¶i. Bµi to¸n nµy gióp chóng ta gi¶i ®îc nhÒu d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn nã. Nhê ®ã ta ®· cã nhiÒu kÜ n¨ng biÕn ®æi bµi to¸n vµ gãp phÇn lµm cho kho tµng to¸n häc thªm phong phó vµ ®a d¹ng. Trong to¸n häc ngêi ta thêng sö dông bµi to¸n vÒ 2 sè nguyªn tè cïng nhau vµ ph©n sè tèi gi¶n ®Ó: - Chøng minh ph©n sè tèi gi¶n víi mäi tham sè tù nhiªn n. - Chøng minh 2 sè nguyªn tè cïng nhau víi mäi tham sè tù nhiªn n. - T×m tham sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè tèi gi¶n. - T×m tham sè tù nhiªn n ®Ó 2 sè nguyªn tè cïng nhau. - øng dông gi¶i 1 sè bµi to¸n liªn quan . Qua ®ã chóng ta thÊy øng dông cña nã rÊt to lín. Tuy vËy mçi bµi to¸n cã 1 c¸ch gi¶i riªng ®ßi hái ngêi häc ph¶i cã kiÕn thøc vµ kÜ n¨ng gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ ph©n sè tèi gi¶n vµ 2 sè nguyªn tè cïng nhau. §iÒu ®ã gãp phÇn kh¾c s©u ®îc kiÕn thøc vµ rÌn luyÖn tÝnh s¸ng t¹o, ph¸t triÓn t duy,kÜ n¨ng cho häc sinh. Trong thùc tÕ, sau khi häc xong kh¸i niÖm sè nguyªn tè, ph©n sè ë ch¬ng tr×nh sè häc 6, häc sinh chóng ta thêng gÆp c¸c d¹ng to¸n: Cho c¸c cÆp sè, c¸c ph©n sè ®Òu chøa tham sè tù nhiªn n, ta chøng minh hoÆc t×m ®iÒu kiÖn cña n ®Ó hai sè ®ã nguyªn tè cïng nhau; ®Ó ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n mµ ®a sè häc ®Òu gÆp khã kh¨n, thÊy rÊt míi mÏ, khã hiÓu vµ bë ngì khi gi¶i nã.V× vËy cÇn gióp häc th¸o gì ®îc khã kh¨n nµy ®ång thêi cã thªm ®iÒu kiÖn ph¸t triÓn t duy, rÌn luyÖn kÜ n¨ng gi¶i c¸c bµi to¸n lÝ thó vµ hãc bóa. Thùc sù, ®èi víi häc sinh nãi chung vµ häc sinh líp 6 nãi riªng ®a sè ®Òu bÞ ®éng, cha cã kÜ n¨ng gi¶i bµi to¸n lo¹i nµy. Do ®ã t«i chän ®Ò tµi: “ Kinh nghiÖm gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ hai sè nguyªn tè cïng nhau vµ ph©n sè tèi gi¶n” ®Ó nghiªn cøu. B. Néi dung I. §Þnh nghÜa hai sè nguyªn tè cïng nhau vµ ph©n sè tèi gi¶n: - §Þnh nghÜa hai sè nguyªn tè cïng nhau: Hai sè nguyªn tè cïng nhau lµ hai sè cã ¦CLN b»ng 1. - §Þnh nghÜa ph©n sè tèi gi¶n: Ph©n sè tèi gi¶n (hay ph©n sè kh«ng rót gän ®îc n÷a) lµ ph©n sè mµ tö vµ mÉu chØ cã íc chung lµ 1 vµ -1. II. Ph¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i: - Dùa vµo ®Þnh nghÜa hai sè nguyªn tè cïng nhau vµ ph©n sè tèi gi¶n, gäi d lµ ¦CLN hoÆc d thuéc ¦C;íc nguyªn tè cña hai sè ®· cho hoÆc cña tö vµ mÉu cña ph©n sè, tïy theo ®Ò bµi, t×m d råi biÖn luËn theo d ®Ó gi¶i bµi to¸n. III. Mét sè d¹ng to¸n tiªu biÓu: 1. D¹ng 1: Chøng minh hai sè nguyªn tè cïng nhau: * VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: a. Hai sè tù nhiªn liªn tiÕp (kh¸c 0) lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. b. Hai sè lÎ liªn tiÕp lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. c. 2n +1 vµ 3n + 1 (n  N ) lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. Lêi gi¶i a. Gäi d  ¦C (n, n + 1) => (n + 1) - n d => 1 d => d = 1. VËy n vµ n + 1 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. b. Gäi d  ¦C (2n + 1, 3n + 1) => (2n + 3) - (2n + 1) d => 2 d => d  1;2 Ta cã d  2 v× d lµ íc cña sè lÎ. VËy d = 1. Do ®ã: 2n + 1 vµ 2n + 3 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. c. Gäi d  ¦C (2n + 1, 3n + 1) => 3(2n + 1) - 2(3n + 1) d => 1 d => d = 1. Do ®ã: 2n + 1 vµ 3n + 1 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. * VÝ dô 2: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n, c¸c sè sau lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau: S¸ng kiÕn kinh nghiªm 1 Kinh nghiệm giải các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản. a. 7n + 10 vµ 5n + 7 b. 2n + 3 vµ 4n + 8 Lêi gi¶i a. Gäi d  ¦C (7n + 10, 5n + 7) th× 5(7n + 10) - 7(5n +7) d => 1 d => d = 1. Do ®ã : 7n + 10 vµ 5n + 7 lµ 2 sè nguyªn tè cïng nhau. b. Gäi d = ¦CLN (2n + 3, 4n + 8) => (4n + 8) - 2(2n +3) d => 2 d => d  1;2 Do d lµ íc cña sè lÎ 2n + 3 nªn d = 1. Do ®ã: 7n + 10 vµ 5n + 7 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. GV: Dùa vµo c¬ së hai bµi tËp trªn ta cã thÓ më réng bµi to¸n nh sau: NÕu gäi hai sè ®ã lµ tö vµ mÉu cña ph©n sè th× h·y chøng minh ph©n sè ®ã tèi gi¶n. T¬ng t nh bµi to¸n d¹ng 1 ta cã bµi to¸n d¹ng 2 sau ®©y: 2. D¹ng 2: Chøng minh ph©n sè tèi gi¶n: * VÝ dô 1: Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau tèi gi¶n víi mäi sè tù nhiªn n: a. n  1 b. 3n  2 2n  3 5n  3 Lêi gi¶i a. Gäi d  ¦C (n + 1, 2n + 3). Ta cã: 2n + 3 - 2(n + 1) d => 1 d => d =  1. Do ®ã: ph©n sè n  1 lµ ph©n sè tèi gi¶n víi mäi sè tù nhiªn n. 2n  3 b. Gäi d  ¦C (3n + 2, 5n + 3). Ta cã: 5(3n + 2) - 3(5n + 3) = 1 d => d =  1. Do ®ã: ph©n sè 3n  2 lµ ph©n sè tèi gi¶n víi mäi sè tù nhiªn n. 5n  3 Nh vËy: B¶n chÊt cña hai d¹ng to¸n nµy lµ nh nhau. Nhng víi nh÷ng c¸ch hái kh¸c nhau lµm cho häc sinh thªm høng thó häc tËp vµ c¸c bµi to¸n ®a d¹ng h¬n. 3. D¹ng 3: T×m sè tù nhiªn n ®Ó hai sè nguyªn tè cïng nhau: * VÝ dô 1: T×m n ®Ó c¸c sè 9n + 24 vµ 3n + 4 lµ c¸c sè nguyªn tè cïng nhau: Lêi gi¶i Gi¶ sö 9n + 24 vµ 3n +4 cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d th×: 9n + 24 – 3(3n + 4) d => 12 d => d   2,3 §iÒu kiªn ®Ó (9n + 24, 3n + 4) = 1 lµ d  2 vµ d  3. HiÓn nhiªn d  3 v× 3n + 4 kh«ng chia hÕt cho 3. Muèn d  2 ph¶i cã Ýt nhÊt mét trong hai sè 9n + 24 vµ 3n + 4 kh«ng chia hÕt cho 2. Ta thÊy: 9n + 24 lµ sè lÎ  9n lÎ  n lÎ 3n + 4 lµ sè lÎ  3n lÎ  n lÎ. VËy (9n + 24, 3n + 4) = 1 khi n lÎ. * VÝ dô 2: T×m sè tù nhiªn n ®Ó c¸c sè sau nguyªn tè cïng nhau: a. 4n + 3 vµ 2n +3 b. 7n + 13 vµ 2n + 4 c. 18n + 3 vµg 21n + 7. Lêi gi¶i a. Gi¶ sö 4n + 3 vµ 2n + 3 cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d th× : 2(2n + 3) - (4n + 3) d => 3 d => d = 3. §Ó (2n + 3, 4n + 3) = 1 th× d  3.Ta cã : 4n + 3 kh«ng chia hÕt cho 3 nÕu 4n kh«ng chia hÕt 3 hay n kh«ng chia hÕt cho 3. KÕt luËn: víi n kh«ngchia hÕt cho 3 th× 4n + 3 vµ 2n + 3 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. b. Gi¶ sö 7n + 13 vµ 2n + 4 cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d. Ta cã :7(2n + 4) - 2(7n + 13) d => 2 d => d  1;2 §Ó (7n + 13, 2n + 4) = 1 th× d  2 . Ta cã: 2n + 4 lu«n chia hÕt 2 khi ®ã 7n + 13 kh«ng chia hÕt cho 2 nÕu 7n chi hÕt cho 2 hay n chia hÕt cho 2 . KÕt luËn: n lµ sè ch½n th× 7n + 13 vµ 2n + 4 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. S¸ng kiÕn kinh nghiªm 2 Kinh nghiệm giải các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản. c. Gi¶ sö 18n + 3 vµ 21n + 7 cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d. Ta cã : 6(21n + 7) - 7(18n + 3) d => 21 d.VËy d   3;7 .HiÓn nhiªn d  3. V× 21n + 7 kh«ng chia hÕt cho 3. §Ó (18n + 3, 21n + 7) = 1 th× d  7 tøc lµ 18n + 3 kh«ng chia hÕt cho 7 (ta lu«n cã 21n + 7 chia hÕt cho 7) nÕu 18n + 3 - 21 kh«ng chia hÕt cho 7  18(n - 1) kh«ng chia hÕt cho 7  n - 1 kh«ng chia hÕt cho 7  n  7k + 1(k  N). KÕt luËn:víi n  7k + 1(k  N) th× 18n + 3 vµ 21n + 7 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. 4. D¹ng 4: T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè tèi gi¶n. Còng gièng nh mèi quan hÖ gi÷a d¹ng 1 vµ d¹ng 2 ta cã d¹ng 3 vµ d¹ng 4 còng hoµn toµn t¬ng tù. Tõ hai vÝ dô ë d¹ng 3, nÕu gäi hai sè nguyªn tè cïng nhau lµ tö vµ mÉu cña ph©n sè th× h·y chng minh ph©n sè tèi gi¶n ta më réng c¸c bµi to¸n ë d¹ng 4 nh sau: * VÝ dô 1: T×m c¸c sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè n  13 lµ ph©n sè tèi gi¶n: n 2 Lêi gi¶i Gi¶ sö n + 13 vµ n - 2 cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d th×: n + 13 - (n - 2) d => 15 d => d   3;5 §Ó (n + 13, n - 2) = 1 th× d  3 vµ d  5. Ta cã:d  3 khi n - 2 kh«ng chia hÕt cho 3 (khi ®ã n + 13 kh«ng chia hÕt cho 3) => n 3k + 2 (k  N*) Ta còng cã:d  5 khi n - 2 kh«ng chia hÕt cho 5 (khi ®ã n + 13 kh«ng chia hÕt cho 5) => n  5k + 2 (k  N*). KÕt luËn:Víi n 3k + 2 vµ n  5k + 2 (k  N*) th× ph©n sè n  13 lµ ph©n sè tèi n 2 gi¶n: Ngoµi c¸ch gi¶i trªn ta cßn cã c¸ch gi¶i sau: Ta cã: n  13  n  2  15 1  15 (n  2). n 2 n 2 n  13 lµ n 2 n 2 §Ó ph©n sè ph©n sè tèi gi¶n th× ph©n sè 15 lµ ph©n sè tèi gi¶n. n 2 Muèn vËy 15 vµ n - 2 ph¶i lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau.V× 15 cã hai íc kh¸c 1, kh¸c 15 lµ 3 vµ 5. Tõ ®ã suy ra n – 2 kh«ng chia hÕt cho 3 vµ kh«ng chia hÕt cho 5 tøc lµ n 3k + 2 vµ n 5k + 2 (k  N*). C¸c bµi to¸n cã thÓ gi¶i nhiÒu c¸ch kh¸c nhau, tuy nhiªn ta nªn sö dông c¸ch 1 ®Ó häc sinh cã mét c¸ch gi¶i quen thuéc vµ kh¾c s©u kiÕn thøc h¬n. *VÝ dô 2: T×m c¸c sè tù nhiªn n ®Ó c¸c ph©n sè sau lµ ph©n sè tèi gi¶n. a. 2n  3 4n  1 3n  2 b. 7n  1 c. 2n  7 5n  2 Lêi gi¶i a. Gäi d lµ íc nguyªn tè cña 2n + 3 vµ 4n + 1.Ta cã: 2(2n + 3) - (4n + 1) d => 5 d => d  1;5 . Ta thÊy 2n + 3 5 (khi ®ã 4n + 1 5) nÕu 2n tËn cïng b»ng 2 hay n tËn cïng b»ng 1 hoÆc 6. KÕt luËn: Víi mäi sè tù nhiªn n cã tËn cïng kh¸c 1 vµ kh¸c 6 th× ph©n sè 2n  3 lµ 4n  1 ph©n sè t«i gi¶n. S¸ng kiÕn kinh nghiªm 3 Kinh nghiệm giải các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản. b. Gäi d lµ íc nguyªn tè cña 3n + 2 vµ 7n + 1. Ta t×m ®îc d = 11 => d   1;11 Ta thÊy: 3n + 2 11 (khi ®ã 7n + 1 11) nÕu 3n + 2 - 11 11  3(n - 3) 11  n - 3 11  n = 11k + 3 (k  N). KÕt luËn: NÕu n  11k + 3 (k  N) th× ph©n sè ®· cho tèi gi¶n. c. Gäi d lµ íc nguyªn tè cña 2n + 7 vµ 5n + 2. Ta cã: 5(2n + 7) - 2(5n + 2) d => 31 d => d = 31. Ta thÊy :2n + 7 31 (khi ®ã 5n + 2 31) nÕu 2n + 7 - 31 31 => 2(n - 12) 31 => n - 12 31 => n = 31k + 12(k  N). KÕt luËn: NÕu n  31k + 12(k  N) th× ph©n sè ®· cho tèi gi¶n. 5. D¹ng 5: Mét sè bµi to¸n më réng: Tõ ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c d¹ng to¸n trªn, ta cã thÓ ¸p dông ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n t¬ng tù sau: Bµi 1: T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè 21n  3 rót gän ®îc. 6n  4 8n  193 4n  3 Bµi 2: T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n. C.Thùc nghiÖm. §èi víi häc sinh bËc THCS ®Æc biÖt lµ häc sinh líp 6 c¸c em b¨t ®Çu lµm quen víi c¸c bµi to¸n vÒ 2 sè nguyªn tè cïng nhau vµ ph©n sè tèi gi¶n vµ c¸c bµi to¸n liªn quan th× thêng gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n,kh«ng biÕt b¾t ®Çu gi¶i tõ ®©u.§a sè míi lµm ®îc nh÷ng bµi to¸n ®¬n gi¶n cßn ®èi víi lo¹i to¸n nµy th× c¸c em cha lµm ®îc.Tuy nhiªn khi t«i ®a ra c¸c vÝ dô nµy cho c¸c em ¸p dông gi¶i th× ®· cã hiÖu qu¶ râ rÖt.H» nh b¾t ®Çu rÊt khã tiÕp thu nhng sau ®ã c¸c em ®· g©y ®îc høng thó häc tËp,tiÕp thu nhanh vµ gi¶i quyÕt ®îc nhiÒu bµi to¸n hay vµ khã. KÕt qu¶ ®¹t ®îc sau khi sö dông kinh nghiÖm nµy nh sau: Giái: 75% Kh¸: 20% Trung b×nh: 5% YÕu: 0% D.KÕt luËn. Trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu c¸c bµi to¸n vÒ 2 sè nguyªn tè cïng nhau vµ ph©n sè tèi gi¶n t«i thÊy b¶n th©n häc ®îc rÊt nhiÒu vµ t©m ®¾c víi lo¹i to¸n nµy ®ång thêi dÉn d¾t häc sinh tù gi¶i quyÕt ®îc nhiÒu bµi to¸n cã liªn quan. Trªn ®©y lµ ý tëng nhá ®îc ®óc rót tõ qu¸ tr×nh häc tËp, nghiªn cøu vµ gi¶ng d¹y.T«i hy väng r»ng b¹n ®äc sÏ gãp ý cho kinh nghiÖm nhá nµy ®îc ¸p dông cã kÕt qu¶ tèt h¬n trong thùc tÕ d¹y häc. Hµ TÜnh,th¸ng 4 n¨m 2008 S¸ng kiÕn kinh nghiªm 4 Kinh nghiệm giải các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản. S¸ng kiÕn kinh nghiªm 5