Tài liệu Skkn kinh nghiệm giải các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản.

  • Số trang: 5 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 120 |
  • Lượt tải: 0
tranvanhung

Tham gia: 20/02/2016

Mô tả:

Kinh nghiệm giải các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản. A. §Æt vÊn ®Ò C¸c bµi to¸n vÒ ph©n sè tèi gi¶n vµ hai sè nguyªn tè cïng nhau cã 1 vÞ trÝ ®Æc s¾c trong to¸n häc nãi chung vµ trong ®êi sèng nãi riªng. §©y lµ 1 trong nh÷ng to¸n khã, hay vµ thùc sù thu hót nhiÒu ngêi tham gia gi¶i. Bµi to¸n nµy gióp chóng ta gi¶i ®îc nhÒu d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn nã. Nhê ®ã ta ®· cã nhiÒu kÜ n¨ng biÕn ®æi bµi to¸n vµ gãp phÇn lµm cho kho tµng to¸n häc thªm phong phó vµ ®a d¹ng. Trong to¸n häc ngêi ta thêng sö dông bµi to¸n vÒ 2 sè nguyªn tè cïng nhau vµ ph©n sè tèi gi¶n ®Ó: - Chøng minh ph©n sè tèi gi¶n víi mäi tham sè tù nhiªn n. - Chøng minh 2 sè nguyªn tè cïng nhau víi mäi tham sè tù nhiªn n. - T×m tham sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè tèi gi¶n. - T×m tham sè tù nhiªn n ®Ó 2 sè nguyªn tè cïng nhau. - øng dông gi¶i 1 sè bµi to¸n liªn quan . Qua ®ã chóng ta thÊy øng dông cña nã rÊt to lín. Tuy vËy mçi bµi to¸n cã 1 c¸ch gi¶i riªng ®ßi hái ngêi häc ph¶i cã kiÕn thøc vµ kÜ n¨ng gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ ph©n sè tèi gi¶n vµ 2 sè nguyªn tè cïng nhau. §iÒu ®ã gãp phÇn kh¾c s©u ®îc kiÕn thøc vµ rÌn luyÖn tÝnh s¸ng t¹o, ph¸t triÓn t duy,kÜ n¨ng cho häc sinh. Trong thùc tÕ, sau khi häc xong kh¸i niÖm sè nguyªn tè, ph©n sè ë ch¬ng tr×nh sè häc 6, häc sinh chóng ta thêng gÆp c¸c d¹ng to¸n: Cho c¸c cÆp sè, c¸c ph©n sè ®Òu chøa tham sè tù nhiªn n, ta chøng minh hoÆc t×m ®iÒu kiÖn cña n ®Ó hai sè ®ã nguyªn tè cïng nhau; ®Ó ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n mµ ®a sè häc ®Òu gÆp khã kh¨n, thÊy rÊt míi mÏ, khã hiÓu vµ bë ngì khi gi¶i nã.V× vËy cÇn gióp häc th¸o gì ®îc khã kh¨n nµy ®ång thêi cã thªm ®iÒu kiÖn ph¸t triÓn t duy, rÌn luyÖn kÜ n¨ng gi¶i c¸c bµi to¸n lÝ thó vµ hãc bóa. Thùc sù, ®èi víi häc sinh nãi chung vµ häc sinh líp 6 nãi riªng ®a sè ®Òu bÞ ®éng, cha cã kÜ n¨ng gi¶i bµi to¸n lo¹i nµy. Do ®ã t«i chän ®Ò tµi: “ Kinh nghiÖm gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ hai sè nguyªn tè cïng nhau vµ ph©n sè tèi gi¶n” ®Ó nghiªn cøu. B. Néi dung I. §Þnh nghÜa hai sè nguyªn tè cïng nhau vµ ph©n sè tèi gi¶n: - §Þnh nghÜa hai sè nguyªn tè cïng nhau: Hai sè nguyªn tè cïng nhau lµ hai sè cã ¦CLN b»ng 1. - §Þnh nghÜa ph©n sè tèi gi¶n: Ph©n sè tèi gi¶n (hay ph©n sè kh«ng rót gän ®îc n÷a) lµ ph©n sè mµ tö vµ mÉu chØ cã íc chung lµ 1 vµ -1. II. Ph¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i: - Dùa vµo ®Þnh nghÜa hai sè nguyªn tè cïng nhau vµ ph©n sè tèi gi¶n, gäi d lµ ¦CLN hoÆc d thuéc ¦C;íc nguyªn tè cña hai sè ®· cho hoÆc cña tö vµ mÉu cña ph©n sè, tïy theo ®Ò bµi, t×m d råi biÖn luËn theo d ®Ó gi¶i bµi to¸n. III. Mét sè d¹ng to¸n tiªu biÓu: 1. D¹ng 1: Chøng minh hai sè nguyªn tè cïng nhau: * VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: a. Hai sè tù nhiªn liªn tiÕp (kh¸c 0) lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. b. Hai sè lÎ liªn tiÕp lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. c. 2n +1 vµ 3n + 1 (n  N ) lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. Lêi gi¶i a. Gäi d  ¦C (n, n + 1) => (n + 1) - n d => 1 d => d = 1. VËy n vµ n + 1 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. b. Gäi d  ¦C (2n + 1, 3n + 1) => (2n + 3) - (2n + 1) d => 2 d => d  1;2 Ta cã d  2 v× d lµ íc cña sè lÎ. VËy d = 1. Do ®ã: 2n + 1 vµ 2n + 3 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. c. Gäi d  ¦C (2n + 1, 3n + 1) => 3(2n + 1) - 2(3n + 1) d => 1 d => d = 1. Do ®ã: 2n + 1 vµ 3n + 1 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. * VÝ dô 2: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n, c¸c sè sau lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau: S¸ng kiÕn kinh nghiªm 1 Kinh nghiệm giải các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản. a. 7n + 10 vµ 5n + 7 b. 2n + 3 vµ 4n + 8 Lêi gi¶i a. Gäi d  ¦C (7n + 10, 5n + 7) th× 5(7n + 10) - 7(5n +7) d => 1 d => d = 1. Do ®ã : 7n + 10 vµ 5n + 7 lµ 2 sè nguyªn tè cïng nhau. b. Gäi d = ¦CLN (2n + 3, 4n + 8) => (4n + 8) - 2(2n +3) d => 2 d => d  1;2 Do d lµ íc cña sè lÎ 2n + 3 nªn d = 1. Do ®ã: 7n + 10 vµ 5n + 7 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. GV: Dùa vµo c¬ së hai bµi tËp trªn ta cã thÓ më réng bµi to¸n nh sau: NÕu gäi hai sè ®ã lµ tö vµ mÉu cña ph©n sè th× h·y chøng minh ph©n sè ®ã tèi gi¶n. T¬ng t nh bµi to¸n d¹ng 1 ta cã bµi to¸n d¹ng 2 sau ®©y: 2. D¹ng 2: Chøng minh ph©n sè tèi gi¶n: * VÝ dô 1: Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau tèi gi¶n víi mäi sè tù nhiªn n: a. n  1 b. 3n  2 2n  3 5n  3 Lêi gi¶i a. Gäi d  ¦C (n + 1, 2n + 3). Ta cã: 2n + 3 - 2(n + 1) d => 1 d => d =  1. Do ®ã: ph©n sè n  1 lµ ph©n sè tèi gi¶n víi mäi sè tù nhiªn n. 2n  3 b. Gäi d  ¦C (3n + 2, 5n + 3). Ta cã: 5(3n + 2) - 3(5n + 3) = 1 d => d =  1. Do ®ã: ph©n sè 3n  2 lµ ph©n sè tèi gi¶n víi mäi sè tù nhiªn n. 5n  3 Nh vËy: B¶n chÊt cña hai d¹ng to¸n nµy lµ nh nhau. Nhng víi nh÷ng c¸ch hái kh¸c nhau lµm cho häc sinh thªm høng thó häc tËp vµ c¸c bµi to¸n ®a d¹ng h¬n. 3. D¹ng 3: T×m sè tù nhiªn n ®Ó hai sè nguyªn tè cïng nhau: * VÝ dô 1: T×m n ®Ó c¸c sè 9n + 24 vµ 3n + 4 lµ c¸c sè nguyªn tè cïng nhau: Lêi gi¶i Gi¶ sö 9n + 24 vµ 3n +4 cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d th×: 9n + 24 – 3(3n + 4) d => 12 d => d   2,3 §iÒu kiªn ®Ó (9n + 24, 3n + 4) = 1 lµ d  2 vµ d  3. HiÓn nhiªn d  3 v× 3n + 4 kh«ng chia hÕt cho 3. Muèn d  2 ph¶i cã Ýt nhÊt mét trong hai sè 9n + 24 vµ 3n + 4 kh«ng chia hÕt cho 2. Ta thÊy: 9n + 24 lµ sè lÎ  9n lÎ  n lÎ 3n + 4 lµ sè lÎ  3n lÎ  n lÎ. VËy (9n + 24, 3n + 4) = 1 khi n lÎ. * VÝ dô 2: T×m sè tù nhiªn n ®Ó c¸c sè sau nguyªn tè cïng nhau: a. 4n + 3 vµ 2n +3 b. 7n + 13 vµ 2n + 4 c. 18n + 3 vµg 21n + 7. Lêi gi¶i a. Gi¶ sö 4n + 3 vµ 2n + 3 cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d th× : 2(2n + 3) - (4n + 3) d => 3 d => d = 3. §Ó (2n + 3, 4n + 3) = 1 th× d  3.Ta cã : 4n + 3 kh«ng chia hÕt cho 3 nÕu 4n kh«ng chia hÕt 3 hay n kh«ng chia hÕt cho 3. KÕt luËn: víi n kh«ngchia hÕt cho 3 th× 4n + 3 vµ 2n + 3 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. b. Gi¶ sö 7n + 13 vµ 2n + 4 cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d. Ta cã :7(2n + 4) - 2(7n + 13) d => 2 d => d  1;2 §Ó (7n + 13, 2n + 4) = 1 th× d  2 . Ta cã: 2n + 4 lu«n chia hÕt 2 khi ®ã 7n + 13 kh«ng chia hÕt cho 2 nÕu 7n chi hÕt cho 2 hay n chia hÕt cho 2 . KÕt luËn: n lµ sè ch½n th× 7n + 13 vµ 2n + 4 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. S¸ng kiÕn kinh nghiªm 2 Kinh nghiệm giải các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản. c. Gi¶ sö 18n + 3 vµ 21n + 7 cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d. Ta cã : 6(21n + 7) - 7(18n + 3) d => 21 d.VËy d   3;7 .HiÓn nhiªn d  3. V× 21n + 7 kh«ng chia hÕt cho 3. §Ó (18n + 3, 21n + 7) = 1 th× d  7 tøc lµ 18n + 3 kh«ng chia hÕt cho 7 (ta lu«n cã 21n + 7 chia hÕt cho 7) nÕu 18n + 3 - 21 kh«ng chia hÕt cho 7  18(n - 1) kh«ng chia hÕt cho 7  n - 1 kh«ng chia hÕt cho 7  n  7k + 1(k  N). KÕt luËn:víi n  7k + 1(k  N) th× 18n + 3 vµ 21n + 7 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. 4. D¹ng 4: T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè tèi gi¶n. Còng gièng nh mèi quan hÖ gi÷a d¹ng 1 vµ d¹ng 2 ta cã d¹ng 3 vµ d¹ng 4 còng hoµn toµn t¬ng tù. Tõ hai vÝ dô ë d¹ng 3, nÕu gäi hai sè nguyªn tè cïng nhau lµ tö vµ mÉu cña ph©n sè th× h·y chng minh ph©n sè tèi gi¶n ta më réng c¸c bµi to¸n ë d¹ng 4 nh sau: * VÝ dô 1: T×m c¸c sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè n  13 lµ ph©n sè tèi gi¶n: n 2 Lêi gi¶i Gi¶ sö n + 13 vµ n - 2 cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d th×: n + 13 - (n - 2) d => 15 d => d   3;5 §Ó (n + 13, n - 2) = 1 th× d  3 vµ d  5. Ta cã:d  3 khi n - 2 kh«ng chia hÕt cho 3 (khi ®ã n + 13 kh«ng chia hÕt cho 3) => n 3k + 2 (k  N*) Ta còng cã:d  5 khi n - 2 kh«ng chia hÕt cho 5 (khi ®ã n + 13 kh«ng chia hÕt cho 5) => n  5k + 2 (k  N*). KÕt luËn:Víi n 3k + 2 vµ n  5k + 2 (k  N*) th× ph©n sè n  13 lµ ph©n sè tèi n 2 gi¶n: Ngoµi c¸ch gi¶i trªn ta cßn cã c¸ch gi¶i sau: Ta cã: n  13  n  2  15 1  15 (n  2). n 2 n 2 n  13 lµ n 2 n 2 §Ó ph©n sè ph©n sè tèi gi¶n th× ph©n sè 15 lµ ph©n sè tèi gi¶n. n 2 Muèn vËy 15 vµ n - 2 ph¶i lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau.V× 15 cã hai íc kh¸c 1, kh¸c 15 lµ 3 vµ 5. Tõ ®ã suy ra n – 2 kh«ng chia hÕt cho 3 vµ kh«ng chia hÕt cho 5 tøc lµ n 3k + 2 vµ n 5k + 2 (k  N*). C¸c bµi to¸n cã thÓ gi¶i nhiÒu c¸ch kh¸c nhau, tuy nhiªn ta nªn sö dông c¸ch 1 ®Ó häc sinh cã mét c¸ch gi¶i quen thuéc vµ kh¾c s©u kiÕn thøc h¬n. *VÝ dô 2: T×m c¸c sè tù nhiªn n ®Ó c¸c ph©n sè sau lµ ph©n sè tèi gi¶n. a. 2n  3 4n  1 3n  2 b. 7n  1 c. 2n  7 5n  2 Lêi gi¶i a. Gäi d lµ íc nguyªn tè cña 2n + 3 vµ 4n + 1.Ta cã: 2(2n + 3) - (4n + 1) d => 5 d => d  1;5 . Ta thÊy 2n + 3 5 (khi ®ã 4n + 1 5) nÕu 2n tËn cïng b»ng 2 hay n tËn cïng b»ng 1 hoÆc 6. KÕt luËn: Víi mäi sè tù nhiªn n cã tËn cïng kh¸c 1 vµ kh¸c 6 th× ph©n sè 2n  3 lµ 4n  1 ph©n sè t«i gi¶n. S¸ng kiÕn kinh nghiªm 3 Kinh nghiệm giải các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản. b. Gäi d lµ íc nguyªn tè cña 3n + 2 vµ 7n + 1. Ta t×m ®îc d = 11 => d   1;11 Ta thÊy: 3n + 2 11 (khi ®ã 7n + 1 11) nÕu 3n + 2 - 11 11  3(n - 3) 11  n - 3 11  n = 11k + 3 (k  N). KÕt luËn: NÕu n  11k + 3 (k  N) th× ph©n sè ®· cho tèi gi¶n. c. Gäi d lµ íc nguyªn tè cña 2n + 7 vµ 5n + 2. Ta cã: 5(2n + 7) - 2(5n + 2) d => 31 d => d = 31. Ta thÊy :2n + 7 31 (khi ®ã 5n + 2 31) nÕu 2n + 7 - 31 31 => 2(n - 12) 31 => n - 12 31 => n = 31k + 12(k  N). KÕt luËn: NÕu n  31k + 12(k  N) th× ph©n sè ®· cho tèi gi¶n. 5. D¹ng 5: Mét sè bµi to¸n më réng: Tõ ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c d¹ng to¸n trªn, ta cã thÓ ¸p dông ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n t¬ng tù sau: Bµi 1: T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè 21n  3 rót gän ®îc. 6n  4 8n  193 4n  3 Bµi 2: T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n. C.Thùc nghiÖm. §èi víi häc sinh bËc THCS ®Æc biÖt lµ häc sinh líp 6 c¸c em b¨t ®Çu lµm quen víi c¸c bµi to¸n vÒ 2 sè nguyªn tè cïng nhau vµ ph©n sè tèi gi¶n vµ c¸c bµi to¸n liªn quan th× thêng gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n,kh«ng biÕt b¾t ®Çu gi¶i tõ ®©u.§a sè míi lµm ®îc nh÷ng bµi to¸n ®¬n gi¶n cßn ®èi víi lo¹i to¸n nµy th× c¸c em cha lµm ®îc.Tuy nhiªn khi t«i ®a ra c¸c vÝ dô nµy cho c¸c em ¸p dông gi¶i th× ®· cã hiÖu qu¶ râ rÖt.H» nh b¾t ®Çu rÊt khã tiÕp thu nhng sau ®ã c¸c em ®· g©y ®îc høng thó häc tËp,tiÕp thu nhanh vµ gi¶i quyÕt ®îc nhiÒu bµi to¸n hay vµ khã. KÕt qu¶ ®¹t ®îc sau khi sö dông kinh nghiÖm nµy nh sau: Giái: 75% Kh¸: 20% Trung b×nh: 5% YÕu: 0% D.KÕt luËn. Trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu c¸c bµi to¸n vÒ 2 sè nguyªn tè cïng nhau vµ ph©n sè tèi gi¶n t«i thÊy b¶n th©n häc ®îc rÊt nhiÒu vµ t©m ®¾c víi lo¹i to¸n nµy ®ång thêi dÉn d¾t häc sinh tù gi¶i quyÕt ®îc nhiÒu bµi to¸n cã liªn quan. Trªn ®©y lµ ý tëng nhá ®îc ®óc rót tõ qu¸ tr×nh häc tËp, nghiªn cøu vµ gi¶ng d¹y.T«i hy väng r»ng b¹n ®äc sÏ gãp ý cho kinh nghiÖm nhá nµy ®îc ¸p dông cã kÕt qu¶ tèt h¬n trong thùc tÕ d¹y häc. Hµ TÜnh,th¸ng 4 n¨m 2008 S¸ng kiÕn kinh nghiªm 4 Kinh nghiệm giải các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản. S¸ng kiÕn kinh nghiªm 5
- Xem thêm -