ph¬ng tr×nh lîng
gi¸c
PhÇn thø nhÊt: Më §Çu
1. Lý do chän ®Ò tµi
I, Lý do ph¸p chÕ:
- C¨n cø vµo yªu cÇu vµ môc tiªu cña hÖ thèng gi¸o dôc thêng xuyªn cña ngµnh
gi¸o dôc ë bËc phæ th«ng trung häc.
- C¨n cø vµo t×nh h×nh häc tËp cña häc sinh hÖ phæ th«ng trung häc trong viÖc häc
tËp bé m«n §¹i sè vµ gi¶i tÝch.
II, C¬ së lý luËn:
- Kinh nghiÖm gi¶ng d¹y cña mét sè nhµ To¸n häc tr×nh bµy trong c¸c tµi liÖu.
III, C¬ së thùc tiÔn
- Nh÷ng thuËn lîi vµ khã kh¨n trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y bé m«n §¹i sã vµ gi¶i tÝch
vµ nhÊt lµ phÇn ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
2. Môc ®Ých nghiªn cøu:
- Nh»m n©ng cao nghiÖp vô chuyªn m«n vµ rót kinh nghiÖm trong qu¸ tr×nh gi¶ng
d¹y
3. NhiÖm vô nghiªn cøu:
I, NhiÖm vô:
Nh÷ng néi dung chÝnh cña phÇn ph¬ng tr×nh lîng gi¸c:
- Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n:
1
+ Ph¬ng tr×nh: sinx = a
+ Ph¬ng tr×nh: cosx = a
+ Ph¬ng tr×nh: tanx = a
+ Ph¬ng tr×nh: cotx = a
- Mét sã ph¬ng tr×nh lîng gi¸c thêng gÆp:
+ Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi mét hµm sè lîng gi¸c.
+ Ph¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét hµm sè lîng gi¸c.
+ Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx
- ¸p dông ®Ó gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh.
II, Yªu cÇu:
- Häc sinh n¾m râ c¸c c«ng thøc biÕn ®æi vÒ lîng gi¸c ë líp 10 ®· häc.
+ C«ng thøc céng.
+ C«ng thøc nh©n ®«i.
+ C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng vµ biÕn ®æi tæng thµnh tÝch.
- Nhí c«ng thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n.
- BiÕt ph©n biÖt c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh lîng gi¸c.
- N¾m ph¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh.
- BiÕt kÕt hîp nghiÖm.
4. §èi tîng nghiªn cøu:
- Häc sinh khèi 11 bËc phæ th«ng trung häc.
5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu:
- Tham kh¶o c¸c tµi liÖu.
- Tham gia ®Çy ®ñ c¸c líp häc båi dìng do së gi¸o dôc tæ chøc, c¸c buæi sinh ho¹t
tæ, nhãm chuyªn m«n.
6. Thêi gian nghiªn cøu:
- Trong suèt qu¸ tr×nh ®îc ph©n c«ng gi¶ng d¹y khèi 11 bËc phæ th«ng trung häc.
PhÇn thø hai: Néi dung
A, KiÕn thøc cã liªn quan:
C«ng thøc céng:
cos(a b) = cosa cosb + sina sinb
cos(a + b) = cosa cosb sina sinb
sin(a b) = sina cosb cosa sinb
sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb
tan a tan b
tan(a b) =
1 tan tan b
tan a tan b
tan(a + b) =
1 tan a tan b
C«ng thøc nh©n ®«i:
cos2a = cos2a sin2a = 2cos2a 1 = 1 2sin2a
sin2a = 2sinacosa
tan2a =
2 tga
1 tg 2 a
C«ng thøc h¹ bËc:
cos2a = 1 cos 2a
sin2a =
2
1 cos 2a
2
2
C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng:
cosacosb = 1 [cos(a + b) + cos(a - b)]
2
sinasinb = 1 [cos(a b) cos(a + b)]
2
sinacosb = 1 [sin(a + b) + sin(a - b)]
2
C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch:
Cosa + cosb = 2cos a b cos a b
2
2
a b
a b
Cosa cosb = 2sin 2 sin 2
Sina + sinb = 2sin a b cos a b
2
2
a b
a b
Sina + sinb = 2cos
sin
2
2
B, Néi dung:
I, Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n:
Lý thuyÕt:
Ph¬ng tr×nh: sinx = a x = + k2,
kZ
vµ x = + k2, k Z
Hay: sinx = a x = arcsin + k2,
kZ
vµ x = arcsin + k2, k Z
§Æc biÖt:
sinx = -1 x =
sinx = 1 x =
2
2
+ k2, k Z
+ k2, k Z
sinx = 0 x = k,
kZ
Ph¬ng tr×nh: cosx = a x = + k2,
kZ
Hay: cosx = a x = arccos + k2, k Z
§Æc biÖt:
cosx = 1 x = k2
,kZ
cosx = 1 x = + k2, k Z
cosx = 0 x =
2
+ k, k Z
Ph¬ng tr×nh: tanx = a x = + k,
kZ
Hay tanx = a x = arctan + k, k Z
Ph¬ng tr×nh: cotx = a x = + k,
kZ
Hay cotx = a x = arccot + k, k Z
Bµi tËp:
Bµi tËp1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a ) sin 2 x
3
2
3
b) cos 2 x 250
c ) co t 4 x 2 3
d ) tan x 150
KÕt qu¶:
2
2
3
3
x 6 k
a)
(k Z )
x k
3
1
c) x
k
(k Z )
2 24
4
x 800 k1800
b)
0
0
x 55 k180
d ) x 150 k1800
(k Z )
(k Z )
Chó ý: Khi gi¶i cÇn lu ý khi nµo dïng ®¬n vÞ Radian, khi nµo dïng ®¬n vÞ ®é,
kh«ng ®îc dïng c¶ hai ®¬n vÞ ®ã trong mét c©u.
Bµi tËp2: G¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a ) sin 2 x 150
2 víi
1200 x 1200
2
1
víi x
2
c) tan 3x 2 3 víi x
2
2
b) cos 2 x 1
KÕt qu¶:
a ) x 300 ; 1050 ; 750.
1
1 5
;
;
2 6
2 6
2
2 4
c ) x ;
;
3 9
3 9
b) x
1
2
2
3
1 5
;
6
2 6
2
9
Chó ý: Víi d¹ng bµi 2 sau khi gi¶i ph¬ng tr×nh xong cÇn t×m nghiÖm phï hîp víi
yªu cÇu cña bµi to¸n
Bµi tËp3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a ) sin 2 x 1 sin x 3
b) sin 3x cos 2 x
c ) tan 3x 2 cot 2 x 0
d ) sin 4 x cos5 x 0
KÕt qu¶:
4
x 4 k 2
�
�
a)
2
2 ( k �Z )
�
x k
3
� 3 3
�
x k
�
10
5
b) �
( k �Z )
�
x k
� 2
c) x 2
k
2
�
x k 2
�
2
d) �
2
�
x k
� 6
9
( k �Z )
Chó ý: C¸c c©u: b, c, d cÇn biÕn ®æi vÒ cïng hµm sè lîng gi¸c ( dïng c«ng thøc 2
gãc phô nhau)
Bµi tËp 4: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a ) 2sin x 2 sin 2 x 0
b) sin 2 2 x cos 2 3 x 1
c) tan 5 x.tan x 1
2
2 x
d ) sin 2 5 x
cos
5
4
KÕt qu¶:
x k
�
�
a)
( k �Z )
3
�
x � k 2
�
4
�
xk
�
b)
5 ( k �Z )
�
x k
�
k ( k �Z )
12
6
4
� 2
x
k
� 105
21
d) �
( k �Z )
18
4
�
x
k
�
95
19
�
c) x
Chó ý: CÇn chän ph¬ng ph¸p phï hîp ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh mét c¸ch nhanh nhÊt
Cô thÓ c©u a: ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch
C©u d: cã thÓ dïng c«ng thøc h¹ bËc
II, Mét sè ph¬ng tr×nh lîng gi¸c thêng gÆp:
Lý thuyÕt:
1, Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi mét hµm sè lîng gi¸c:
D¹ng: at + b = 0 (1)
Trong ®ã a, b lµ c¸c h»ng sè (a �0), t lµ mét trong c¸c hµm sè lîng gi¸c
C¸ch gi¶i: ChuyÓn vÕ råi chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) cho a, ta ®a ph¬ng tr×nh vÒ
d¹ng c¬ b¶n.
2, Ph¬ng tr×nh ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét hµm sè lîng gi¸c:
D¹ng: at 2 + bt + c = 0
Trong ®ã a, b, c, lµ c¸c h»ng sè (a �0) vµ t lµ mét trong c¸c hµm sè lîng gi¸c.
3, Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx:
D¹ng: asinx + bcosx = c (1)
Víi a, b, c R; (a 2 + b 2 0)
C¸ch gi¶i:
1
a
2
a b
2
sin x
b
2
a b
2
cos x
c
2
a b2
5
a
cos
2
a b2
§Æt
b
sin
2
a b 2
ta ®îc ph¬ng tr×nh:
1 cos sin x sin cos x
sin x
c
a 2 b2
c
2
a b2
(*)
Ph¬ng tr×nh trªn lµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n.
Bµi tËp:
Bµi tËp1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a ) 2 cos x
2 0
b) 3 tan 2 x 3 0
c ) 2 cos 2 x 3cos x 1 0
d ) cos 2 x sin x 1 0
KÕt qu¶:
a ) x k 2 , (k Z )
4
x k 2
c)
(k Z )
x k 2
3
x 6 k
b)
, (k Z )
x 4 k
6
d ) x k 2 , (k Z )
2
Bµi tËp 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a ) 3sin x 4 cos x 5
b) 2sin x 2 cos x 2
c ) sin 2 x sin 2 x
1
2
d ) 5cos 2 x 12sin 2 x 13
KÕt qu¶:
a ) x k 2
3
4
sin ; cos ,
5
5
5
x 12 k 2
b)
,
x 13 k 2
12
(kZ)
(kZ)
6
c) x
k
2
2
1
2 �
�
sin
; cos
�
�,(kZ)
5
5�
�
12
5
sin ; cos ,(kZ)
13
13
d ) x k
2
Chó ý: tuú tõng bµi cã thÓ ®Æt theo lý thuyÕt nhng cã mét sè bµi l¹i kh«ng nªn dËp
khu«n qu¸ m¸y mãc nªn t×m c¸ch gi¶i phï hîp ®èi víi tõng lo¹i bµi ( cô thÓ nh c©u
b, c).
Bµi tËp 4: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a ) 3 sin x cos x 2sin 2 x 3 0
b) sin x cos x 4sin x cos x 1 0
c) sin 2 x 12 sin x cos x 12 0
d ) sin 3 x cos3 x 1
KÕt qu¶:
x k 2
a ) x k 2
2
x 4 k 2
, (k Z )
1
cos
2 2
x k 2
b)
, (k Z )
x 3 k 2
2
x k 2
d)
, (k Z )
x k 2
2
x k 2
c)
, (k Z )
2
x k 2
Chó ý: Khi gi¶i ph¬ng tr×nh dïng ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
®Æt: t = sinx + cosx, víi t � 2
hay: t = sinx - cosx, víi t � 2
Bµi tËp 5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a ) 3sin 2 x 8sin x cos x 8 3 9 cos 2 x 0
b) 4sin 2 x 3 3 sin 2 x 2 cos 2 x 4
1
c ) sin 2 x sin 2 x 2 cos 2 x
2
2
d ) 2sin x 3 3 sin x cos x 3 1 cos 2 x 1
C¸ch gi¶i: §Ó gi¶i ®îc ph¬ng tr×nh cã 2 bíc:
Bíc 1: kiÓm tra ®iÒu kiÖn: cosx �0 (hay sinx �0)
Bíc 2: Chia 2 vÕ cho cosx (hay sinx) ®Ó ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi tanx
( hay cotx)
KÕt qu¶:
7
�
3 3 8
k
x arctan
3
, (k Z )
a,
x 3 k
x k
2
1
, (k Z )
b, x arcsin k 2
3
1
x arcsin 3 k 2
x k
c,
x arctan( 5) k , (k Z )
x
d,
x
k
6
, (k Z )
k
4
Bµi tËp 6: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
cos 2 x 5sin x 3 0
2 tan 4 x 3 tan 2 x 1 0
2sin 3 x cos 2 x sin x 0
tan x.tan 2 x tan x tan 2 x
2sin 3 x 2 cos x sin 2 x sin x cos 2 x cos 3 x 0
sin 2 x 2cotx 3
Gi¶i:
1,
sin x 2 (VN )
2
(1) 2sin x 5sin x 2 0
sin x 1
2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
x
k 2
6
, (k Z )
x 7 k 2
6
2,
tan x 1
(2)
tan x 1
2
x 4 k 2
,( k Z )
x arctan 1 k , (k Z )
2
3,
8
� 3
sin x 1
�
x
k 2
�
2
3
2
�
, ( k �Z )
(3) � 2sin x 2sin x sin x 1 0 � �
1 ��
sin x �
�
x k 2
�
2
� 4
4,
(4) tan x.
2 tan x
2 tan x
tan x
2
1 tan x
1 tan 2 x
tan x
1
� tan 3 x 2 tan 2 x 3 tan x 0
tan x 0
�
�
x k
�
��
tan x 1(lo�
i) � �
�
x arctan( 3) k ,(k �Z )
�
�
tan x 3
�
5,
(5) 2 tan 3 x 2 tan 2 x tan x 1
tan x 1
x k
4
, (k Z )
1
tan x
x arctan 1 k
2
2
6,
2 tan x
1
2
3 tan x 0
2
1 tan x
tan x
3 tan 3 x 4 tan 2 x 3 tan x 2 0
(6)
tan x 1
2
3 tan x tan x 2 0
x k , ( k Z )
4
(VN )
Chó ý: Víi bµi tËp 6 cÇn biÕn ®æi vÒ ph¬ng tr×nh chØ chøa mét hµmn sè lîng gi¸c
III, Mét sè ph¬ng tr×nh lîng gi¸c kh¸c:
C¸ch gi¶i:
+ Dïng c«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng.
+ Dïng c«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch.
+ Dïng c«ng thøc h¹ bËc.
+ §a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch.
A 0
B 0
+ ¸p dông tÝnh chÊt: A2 B 2 0
A M hay A M
A M
+ ¸p dông tÝnh chÊt: B N hay B N
B N
A B M N
9
VÝ dô:
Bµi tËp 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
1, cosxcos7x = cos3xcos5x
(1)
2, sin2x + sin4x = sin6x
(2)
3, sin 2 4 x sin 2 3 x sin 2 2 x sin 2 x
(3)
4, sin 3 x cos3 x cos 2 x
(4)
Chó ý: Dïng c¸c c«ng thøc biÕn ®æi tÝch vÒ tæng, tæng vÒ tÝch, c«ng thøc nh©n ®«i,
c«ng thøc h¹ bËc vµ sö dông c¸c h»ng ®¼ng thøc lîng gi¸c.
Gi¶i:
1,
1
2
cos 6 x cos 2 x
1
2
1 cos8x cos 6 x cos8 x cos 2 x
2,
x k 2
k Z x k
4
x k
4
k Z
2 2sin 3x cos x 2sin 3x cos 3x
sin 3 x cos3 x cos x 0
3,
sin 3 x 0
cos3 x cos x
x k 3
x k 3
x k k Z
kZ
x k
x k
2
2
1 cos8 x 1 cos 6 x 1 cos 4 x 1 cos 2 x
2
2
2
2
� cos8 x cos 6 x cos 4 x cos 2 x
2 cos 7 x cos x 2cos 3x cos x
cos x 0
cos 7 x cos 3 x
3 �
10
4,
x 2 k
x k
5
x k
2
k Z
x k 5
x k
2
k Z
4 � sin x cos x sin 2 x sin x cos x cos 2 x
cos 2 x sin 2 x
� sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x cos x sin x
sin x cos x 0
(a)
�
��
sin x cos x sin x cos x 1 0 (b)
�
3
� �
* a � 2 cos �x � 0 � x
k k �Z
4
� 4�
* b � t 2 2t 1 0, t sin x cos x
� sin x cos x 1
x k 2
�
��
�
x k 2
�
2
t � 2
� t 1
� � 1
� cos �x �
� 4� 2
k �Z
VËy ph¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm:
x
3
k , x k 2 , x k 2
4
2
kZ
Bµi tËp 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a ) cos 5 x cos 4 x cos 3 x cos 2 x
b) sin x sin 2 x sin 3 x cos x cos 2 x cos 3 x
c) sin 3 x sin 5 x sin 7 x 0
d ) tan x tan 2 x tan 3x
Gi¶i t¬ng tù nh bµi tËp 1
KÕt qu¶:
�
xk
�
7
a) �
, (k �Z )
�
xk
�
2
2
�
x � k 2
�
3
b) �
, (k �Z )
�
x k
�
2
� 8
11
�
xk
�
5
c) �
, ( k �Z )
�
x � k
�
3
�
d) §k:
Bµi tËp 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
x 2 k
x k
4
2
x 6 k 3
NghiÖm: x k
3
a ) sin 2 x sin 2 2 x sin 2 3 x sin 2 4 x 2
3 cos 6 x
b) sin 4 x cos 4 x
4
2
c) 2 cos 4 x sin10 x 1
C¸ch gi¶i: Dïng c«ng thøc h¹ bËc ®Ó biÕn ®æi
KÕt qu¶:
�
x k
�
2
�
a) �
x k , (k �Z )
� 4
2
�
�
x k
� 10
5
�
x k
�
4
c) �
, ( k �Z )
�
x k
� 12
9
�
x k
�
10
5
b) �
, (k �Z )
�
x k
� 2
Bµi t©p 4: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a ) 1 sin 2 x tan x 1 tan x
b) tan x tan 2 x sin 3 x cos x
c ) tan x cot 2 x 2cot 4 x
KÕt qu¶:
3
x
k
a) §k: x k . NghiÖm:
.( k �Z )
4
2
x k
x 2 k
b) §k:
. NghiÖm: x k .
( k �Z )
3
x k
4
2
c) §k: x k NghiÖm: x k . ( k �Z )
4
3
Chó ý: Víi d¹ng bµi tËp 4 cÇn ph¶i cã ®iÒu kiÖn
Bµi tËp5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a ) sin x 2 sin 5 x cos x
12
b) 3 2sin x sin 3 x 3cos 2 x
c) 2sin x cos 2 x 1 2 cos 2 x sin x 0
KÕt qu¶:
�
x 8 k 3
a)
, (k Z )
x k
16
2
b) x k , (k Z )
3
x 2 k 2
c)
, (k Z )
x k
6
IV, ¸p dông gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c:
C¸ch gi¶i:
* C¸ch 1: Gi¶i tõng ph¬ng tr×nh trong hÖ råi t×m nghiÖm chung cña c¸c ph¬ng
tr×nh ®ã.
* C¸ch 2: Gi¶i mét ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n nhÊt cña hÖ råi thay nghiÖm t×m ®îc vµo
c¸c ph¬ng tr×nh cßn l¹i ®Ó t×m nghiÖm cña hÖ.
VÝ dô:
Bµi tËp 1: Gi¶i c¸c ph¬ng hÖ tr×nh sau:
2sin x 2 (1)
1,
tan x 1 (2)
cos x 1
sin 2 x 0
2,
cos x cos 2 x 2
3, 3 x
2
cos 2 cos 2 x
cos 6 x cos 4 x 0
4,
2
2
sin 2 x 3cos 3 x
Gi¶i:
1,
* C¸ch 1:
x 4 k 2 (a)
- Gi¶i (1) ta ®îc:
k Z
x 3 k 2 (b)
4
- Gi¶i (2) ta ®îc: x l l Z (c ) .
4
Ta thÊy (a) bÞ chøa trong (c) khi l = 2k.
1
cßn (b) x 2k kh«ng cã gi¸ trÞ nµo chung víi (c).
4 2
13
4
VËy nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ: x l l Z
* C¸ch 2:
x
k 2 (a)
4
- Gi¶i (1) ta ®îc:
k Z
x 3 k 2 (b)
4
- Thay vµo (2) ta thÊy (a) lu«n tho¶ m·n (2) cßn (b) kh«ng tho¶ m·n (2), (k Z).
4
VËy nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ: x l l Z
T¬ng tù:
2, x k 2 ,
( k �Z )
3, x k 4 ,
( k �Z )
2
4, x k ,( k �Z )
Bµi tËp 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1, 2 cos2 x 3sin 2 5 x 2
(*)
2, tan 2 x cot 2 x 2sin 5 x
4
3, cos 4 x cos 2 x 2 4 cos 2 3 x
4, cos 4 x cos 2 x 2 4 cos 2 3 x
5, 2sin 5 x 3cos8 x 5
Gi¶i:
1, §¸nh gi¸ hai vÕ dùa vµo tÝnh chÊt cña c¸c hµm sè lîng gi¸c, ®a vÒ gi¶i hÖ ph¬ng
tr×nh.
V× cos2x 1 nªn 2cos2x 2.
V× sin2x 0 nªn 3sin25x + 2 2.
cos 2 x 1
(*.a )
2
sin 5 x 0
(*.b)
Do ®ã (*)
Ph¬ng tr×nh (*.a) cã nghiÖm x = k (k Z)
Thay vµo (*.b) ta thÊy tho¶ m·n.
14
VËy nghiÖm cña (*) lµ: x = k (k Z)
T¬ng tù:
4
2, x k 2 , (k Z)
2
3, x k , (k Z)
2
4, x k , (k Z)
5, V« nghiÖm
PhÇn thø ba: KÕt luËn
§èi víi c¸c bµi to¸n cã liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh lîng gi¸c trong khi gi¶ng d¹y
gi¸o viªn cÇn:
+ Nh¾c l¹i c¸c c«ng thøc biÕn ®æi ®· häc ë líp 10.
+ Nªu c¸c c«ng thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n.
+ Nªu ph¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i tõng lo¹i bµi tËp.
+ Sau khi gi¶i ph¬ng tr×nh xong cÇn híng dÉn häc sinh c¸ch kÕt hîp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
C. KiÕn nghÞ:
* Thêi gian ph©n phèi cßn Ýt cÇn t¨ng thªm thêi gian luyÖn tËp cho häc sinh
* CÇn bæ sung bµi tËp vÒ hÖ ph¬ng tr×nh.
* CÇn bæ sung tµi liÖu tham kh¶o cho thÇy.
15
- Xem thêm -