Tài liệu Skkn-khai thác từ kết quả một bài toán

SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU Mục 1 Tên đề mục Trang 2 Lý do chọn đề tài 2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài 2 3 Đối tượng nghiên cứu 3 4 Phạm vi nghiên cứu 3 5 Phương pháp nghiên cứu 3 PHẦN II: NỘI DUNG Mục 1 Tên đề mục 3 Trang Cơ sở lý luận để thực hiện đề tài 2 Thực trạng 3 3 Giải pháp, biện pháp, nội dung 6 4 Kết quả 20 PHẦN III: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Mục 1 Kết luận Trang 22 2 Kiến nghị 22 Kim Nhân Tên đề mục 1 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " 3 Tài liệu tham khảo 26 PHẦN I: MỞ ĐẦU I.1./ Lý do chọn đề tài: Hiện nay, sự nghiệp giáo dục và đào tạo đang đổi mới, trước yêu cầu phát triển kinh tế - xã hội theo hướng công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước. Hướng đổi mới của giáo dục và đào tạo là đào tạo con người năng động, sáng tạo, chủ động trong học tập, dễ thích ứng với cuộc sống và lao động. Bên cạnh việc dạy cho học sinh (HS) nắm vững các nội dung cơ bản về kiến thức, giáo viên (GV) còn phải dạy cho HS biết suy nghĩ, tư duy sáng tạo, biết tạo cho HS có nhu cầu nhận thức trong quá trình học tập. Từ nhu cầu nhận thức sẽ hình thành động cơ thúc đẩy quá trình học tập tự giác, tích cực và tự lực trong học tập để chiếm lĩnh tri thức. Những thành quả đạt được sẽ tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ đó mà những kiến thức sẽ trở thành “tài sản riêng” của các em. HS không những nắm vững, nhớ lâu mà còn biết vận dụng tốt những tri thức đạt được để giải quyết những vấn đề nảy sinh trong học tập, trong thực tế cuộc sống và lao động mai sau. Đồng thời, HS có phương pháp học trên lớp học và phương pháp tự học để đáp ứng được sự đổi mới thường xuyên của khoa học công nghệ ngày nay. Trong quá trình dạy học Toán nói chung , người dạy và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quen là: Sau khi đã tìm được lời giải bài toán, dù là đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục suy nghĩ, lật lại vấn đề để tìm kết quả mới hơn. Tìm được cái mới hơn rồi, lại tiếp tục đi tìm cái mới hơn nữa hoặc đi tìm mối liên hệ giữa các vấn đề, . . cứ như thế chúng ta sẽ tìm ra được những kết quả thú vị. Đã từng giảng dạy toán và hiện đang dạy toán lớp 8, tôi đã tích cực tự bồi dưỡng và hướng dẫn các em HS bồi dưỡng kiến thức nâng cao, luôn quan tâm đến việc khai thác bài toán. Với các lí do trên, tôi xin trình bày đề tài “Khai thác từ kết quả một bài toán ” hi vọng góp phần vào giải quyết vấn đề trên. Kim Nhân 2 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " I. 2./ Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài: Củng cố và phát triển cho học sinh lớp 8 một số kiến thức để giải một bài toán và khai thác chúng. Cũng từ đó mà phát triển tư duy lôgic cho học sinh, phát triển năng lực giải toán cho các em, giúp cho bài giải của các em hoàn thiện hơn, chính xác hơn và còn giúp các em tự tin hơn khi làm toán. I. 3/ Đối tượng nghiên cứu: HS lớp 8ª1; 8ª2 THCS Lê Đình Chinh I.4/ Giới hạn phạm vi nghiên cứu: Các bài toán trong chương trình toán lớp 8. I.5./ Các phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo… - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm ở những lớp học sinh trước để rút kinh nghiệm cho lớp học sinh sau. PHẦN II: NỘI DUNG II.1./ Cơ sở lý luận: Đặc điểm của lứa tuổi HS THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy, cô giáo. Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho HS là một quá trình lâu dài. * Tư duy tích cực, độc lập sáng tạo của HS được thể hiện ở một số mặt sau: - Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng rập khuôn, máy móc. - Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ở nhiều khía cạnh. Kim Nhân 3 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " - Có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Liệu có cách nào khác nữa không? Các trường hợp khác thì kết luận còn đúng hay không? … - Tính độc lập còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề. - Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã quen biết. * Khai thác, phát triển kết quả một bài toán nói chung có nhiều hướng như: - Nhìn lại toàn bộ các bước giải. Rút ra phương pháp giải một loại toán nào đó. Rút ra các kinh nghiệm giải toán. - Tìm thêm các cách giải khác. - Khai thác thêm các kết quả có thể có được của bài toán, đề xuất các bài toán mới. II. 2./ Thực trạng: a.Thuận lợi - Khó khăn: * Thuận lợi : Khi thực hiện đề tài thuận lợi lớn nhất của tôi đó chính là HS, dạng khai thác bài toán như thế này là dạng hơi khó nhưng các em đã cố gắng chăm chú lắng nghe đặc biệt là các em HS giỏi luôn thích tìm tòi và thường xuyên đặt câu hỏi cho tôi để tôi gợi mở khi các em thực hiện * Khó khăn: - Đa số HS, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các em hài lòng và dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bài toán, không sáng tạo gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân. b. Thành công – hạn chế: * Thành công : Qua quá trình thực hiện đề tài ( Chỉ là một sáng kiến nho nhỏ) nhưng đến nay thì 1 số em HS như em : Nguyễn Thị Nga lớp 8ª2 ; Em : Lê Thị Duyên lớp 8ª1... đã phần nào thành thạo trong quá trình giải xong bài toán rồi thì lại tò mò tìm lời giải mới hoặc tiếp tục tự đặt đề bài cho mình tự giải. * Hạn chế: Điều hạn chế của đề tài này là các em HS yếu của lớp, các em chưa thực sự thấy thích thú với dạng toán này vì việc làm này đòi hỏi trí óc phải hoạt động thực sự nhanh nhạy, với lại thời gian trên lớp quá ít. Kim Nhân 4 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " c./ Mặt mạnh – mặt yếu: * Mặt mạnh : Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển một bài toán sẽ giúp cho HS khắc sâu được kiến thức. Quan trọng hơn là nâng cao được tư duy cho các em HS, giúp HS có hứng thú hơn khi học toán. * Mặt yếu: Không ít HS thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao. Một số bài toán tuy không biết giải nhưng vẫn không chịu hỏi thầy cô. d./ Nguyên nhân: - Đa số HS, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các em hài lòng và dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bài toán, không sáng tạo gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân. Mặt khác các em khi học trên lớp thì còn hơi ngại rất ít khi hỏi thêm thầy cô về bài toán đã giải, thậm chí có HS không biết cách giải mà còn không hỏi thầy cô huống gì còn đi khai thác thêm bài toán. e. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đề ra: Qua quá trình công tác giảng dạy, tôi thấy: - Học sinh học không đi đôi với hành, làm cho bản thân HS ít được củng cố, khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết. - HS còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc. Từ đó dẫn đến làm mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân. - Một số GV chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bài toán trong các tiết dạy nói riêng cũng như trong công tác dạy học nói chung. Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và học sao cho phù hợp và ngày càng có chiều hướng tích cực hơn. Phân tích nguyên nhân: Kim Nhân 5 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " * HS không giải được: - HS chưa biết liên hệ giữa kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao - Chưa có tính sáng tạo trong giải toán và khả năng vận dụng kiến thức chưa linh hoạt - HS chưa được trang bị đầy đủ về phương pháp giải dạng toán này * HS giải được: - Trình bày lời giải chưa chặt chẽ , mất nhiều thời gian - Chưa sáng tạo trong vận dụng kiến thức Trước khi thực hiện đề tài qua khảo sát điều tra tôi thu Số h/s Số h/s giải được được kết quả như sau: Số h/s có cách giải chưa hợp lý Số h/s không giải được 8ª1 (31 em) 8ª2 (30 em) Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ 3 10% 5 16% 23 74% Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ 2 7% 3 10% 25 83% II.3./ Giải pháp , biện pháp : a. Mục tiêu của giải pháp,biện pháp : Kim Nhân 6 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " Qua những bài toán mà HS đã giải được, tôi định hướng cho các em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó. Bằng các hình thức như: - Kiểm tra kết quả. Xem xét lại các lập luận. - Nghiên cứu, tìm tòi, . . . với việc tập trung giải quyết các vấn đề như: Liệu bài toán còn có cách giải khác hay không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho để đề xuất bài toán mới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán nào khác không? . . .. Trong đề tài này, tôi xin minh hoạ bằng cách khai thác, phát triển từ kết quả một bài toán quen thuộc. Tôi xin đưa 2 bài toán gốc là 2 bài tập ở SGK Đại số lớp 8 và một số ví dụ nhằm giúp HS thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán. Từ đó, giúp HS tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán , giúp HS thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập môn toán. b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp,biện pháp : Việc khai thác và hình thành cho học sinh cách tự đặt đề bài tương tự là cách tôi thường xuyên áp dụng nên khi dạy đến bài tập 18 trang 11 SGK Toán 8 Tập 1 và Bài tập 32 SGK Toán 8 tập 1 trang 50 thì tôi nảy ra ý định làm một sáng kiến nho nhỏ là từ kết quả của một bài toán hết sức đơn giản ban đầu, nếu chịu khó suy xét tiếp thì ta có thể khai thác theo nhiều khía cạnh như: Tìm lời giải khác, phát triển bài toán, tạo ra một chuỗi các bài toán hay và thú vị khác. Theo tôi, một phần rất quan trọng khi khai thác, phát triển bài toán đó là LỜI DẪN. Từ bài toán gốc, giáo viên phải có lời dẫn để đến với các bài toán khác. Hay nói cách khác là VÌ SAO lại có được bài toán này (thay cái gì, thêm cái gì....). * Các biện pháp cụ thể tiến hành để giải quyết vấn đề: - Hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức đã học vào giải tốt các bài tập cơ bản trong sách giáo khoa và sách bài tập. Kim Nhân 7 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " - Giáo viên đưa ra bài toán gốc và các bài toán hệ quả. Học sinh dựa vào bài toán gốc để giải quyết, hoặc có thể hướng dẫn học sinh “tìm nhiều lời giải cho một bài toán” - Hướng dẫn học sinh liên hệ vận dụng phương pháp “Sử dụng bài toán gốc” - Sau đây là một hệ thống bài toán mà tôi đã áp dụng cho học sinh trường tôi. Nội dung các bài toán như sau: * Phương pháp sử dụng bài toán gốc: 3.1. Bài toán gốc 1: Bài tập 32 SGK Toán 8 tập 1 trang 50: Đố em tính tổng sau: S 1 1 1 1 1 1      x ( x  1) ( x  1)( x  2) ( x  2)( x  3) ( x  3)( x  4) ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) Hướng dẫn : 1 1 1   x( x  1) x x  1 1 1 1   ( x  1)( x  2) x  1 x  2 ...................... 1 1 1   ( x  5)( x  6) x  5 x  6 1 1 6 Vậy: S  x  x  6  x( x  6) Nếu không có thời gian thì cũng không cần yêu cầu học sinh làm bài này trên lớp. GV có thể hướng dẫn HS về nhà làm, Khai thác bài toán như sau: a. Khai thác 1: Nếu GV muốn rèn thêm cho HS cách phân tích đa thức thành nhân tử thì có thể khai thác bài toán sau: Bài toán 1.1: Rút gọn biểu thức sau : Kim Nhân 8 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " S 1 1 1 1 1 1  2  2  2  2  2 x  x x  3x  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 2 * Hướng giải: S 1 1 1 1 1 1  2  2  2  2  2 x  x x  3x  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 2  x( x1 1)  ( x  1)(1 x  2)  ( x  2)(1 x  3)  ( x  3)(1 x  4)  ( x  4)(1 x  5)  ( x  5)(1 x  6) b. Khai thác 2: Còn nếu GV muốn vận dụng bài toán 1 vào giải phương trình thì thêm 1 x 6 vào vế phải như sau: Bài toán 1.2: Giải phương trình: 1 1 1 1 1 1 1       (1) x( x  1) ( x  1)( x  2) ( x  2)( x  3) ( x  3)( x  4) ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) x  6 * Hướng giải: ĐKXĐ : x �  0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 1 x Rút gọn vế trái : VT=  (1) � 1 , Khi đó : x6 6 x 1 2  0 � x  6 (TM ĐK)  0 � x( x  6) x x6 Vậy pt (1) có một nghiệm là: x = 6 c. Khai thác 3: Muốn dẫn học sinh giỏi vào dạng toán tìm cực trị thì yêu cầu HS làm bài tập sau: Bài toán 1.3: Tìm GTLN của biểu thức: B 1 1 1 1 1 1      x( x  1) ( x  1)( x  2) ( x  2)( x  3) ( x  3)( x  4) ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) * Hướng giải: Rút gọn A = 6 x  6x 2 Vì: x 2  6 x  ( x  3)2  9 �9x 2 3 Nên A � 6: (-9) =  . Vậy MaxA =  Kim Nhân 2 tại x = - 3 3 9 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " d. Khai thác 4: Ta có thể mở rộng bài toán với số lớn hơn và yêu cầu HS tính giá trị biểu thức Bài toán 1.4: Tính giá trị biểu thức tại x = 1 1 1 2010 1 1 S = x( x  1)  ( x  1)( x  2)  ( x  2)( x  3)  ...  ( x  2009)( x  2010) 2010 Kết quả: S = x x  2010 Tại x = 1 thì S = 2009,999502 2010 *Ứng dụng quy luật trên vào tính giá trị các biểu thức số: Bài toán 1. 5: Tính tổng S= 1 1 1 1 1     ...  1.2 2.3 3.4 4.5 2009.2010 Kết quả: S = 1- 1 2009  2010 2010  Tổng quát hóa bài toán 1-5 ta có: Bài toán 1- 6: Tính tổng 1 1 1 1 1 S = 1.2  2.3  3.4  4.5  ...  n n  1 với n  N* Kết quả: S = 1 - 1 n  n 1 n 1  Dùng phép tương tự ta xét đặc điểm mẫu các phân thức: Mỗi phân thức có tử thức bằng 1 và mẫu thức là tích của hai nhân tử “hơn kém nhau 2 đơn vị ” Hoặc “hơn kém nhau 3; 4; 5;... đơn vị ”để từ đó ta có các dạng bài toán khác: Kim Nhân 10 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " Bài toán 1- 7: Tính các tổng sau: A= 1 1 1 1    ...  1 .3 3 .5 5 .7 2009.2011 1 1 1 1 B = 1.3  3.5  5.7  ...   2n  1 2n  3 với n  N Hướng giải: 1 1 1 1     1 .3 2  1 3  1 11 1     3 .5 2  3 5  ... 1 1 1 1      2009.2011 2  2009 2011  Suy ra A = B= 1 1  1005 1   2  2011  2011 1 1  n 1 1   2  2n  3  2n  3 Bài toán 1 - 8: Tính các tổng sau: 1 1 1 1 M = 2.5  5.8  8.11  ...   3n  2 3n  5 với n  N 1 1 1 n 1  HD: Khai triển tương tự ta có kết quả: M = 3  2  3n  5   2(3n  5)    Nếu tiếp tục biến đổi bằng cách thay tử của các bài toán 1-5 đến 1-8 thành những số khác 1 và tổng quát lên ta được những bài toán thú vị hơn . Bài toán 1 - 9: Tính tổng sau: Kim Nhân 11 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " a a a S = b .b  b .b  ...  b .b với bk+1 - bk = b và a; b ; k  N* 1 2 2 3 k k 1 Hướng Dẫn : Phân tích tương tự : S= a a 1 1   và được kết quả    bk .bk 1 b  bk bk 1  a 1 1  ab  b     =  k 1 1  b  b1 bk 1  b  b1.bk 1   Nếu thay đổi mẫu thức thành tích 3;4;5 ... nhân tử “cách đều nhau” thì ta có bài toán sau: Bài toán 1 - 10: Tớnh M = 1 1 1 1    ...  1.2.3 2.3.4 3.4.5 2007.2008.2009 Giải: a) = 2M= 2 2 2   ...  1.2.3 2.3.4 2007.2008.2009 1   1 1  1 1 1  1   1         ...      1.2 2.3   2.3 3.4   2007.2008 2008.2009  2 2008.2009 => M = 0,249999876 = 2017035 8068144  Nếu tổng quát lên thì ta có bài toán sau 1 1 1 Bài toán 1 - 11: Tớnh N = 1.2.3  2.3.4  ...  (n  1)n(n  1) Hướng giải: Chú ý rằng Thì N = 2 1 1   (n  1)n( n  1) (n  1)n n( n  1)  11 1    2  2 n(n  1)   Nếu ta nâng mẫu lên lũy thừa thì ta có bài toán sau: Kim Nhân 12 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " Bài toán 1 - 12: Tính 3 5 2n  1 E = 1.2 2   2.3 2  ...   n(n  1) 2 với n = 1;2;3... Hướng giải: Chỳ ý rằng 2n  1 1 1  2 2  n n  1  n  n  1 2 1 n n  2  Thỡ E = 1 -  n  1 2   n  1 2  Nếu ta muốn cho HS vào giải phương trình ta có: Bài toán 1 -13: Giải phương trình ẩn x sau đây: 1 1 1 1 2009    ...   x x  1 2011 (1) 3 6 10 2 ĐK : x  0 và x  -1 (*) Hướng giải : 2 2 2 2 2009 Phương trình (1) <=> 2.3  3.4  4.5  ...  x x  1  2011 1 2  => 2   1  2009  x  1  2011 => 1- 2 2009  x  1 2011 => 2 2  x  1 2011 => x = 2010 (Thỏa mãn ĐK (*) )  Bài toán 1 có liên quan gì đến bất đẳng thức hay không ? - Hoặc khai thác thêm ta được một bài toán cũng thường làm cho ta đau đầu nếu chủ quan không chuẩn bị trước khi lên lớp bồi dưỡng: Bài toán 1 – 14: Kim Nhân Chứng minh rằng 13 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " 1 1 1 1    ...  1.1.3 2.3.5 3.5.7 (2n  1)n( 2n  1) 2 3 < víi n  N* Hướng giải: Vì 1 1  (2n  1)n(2n  1) (2n  1)( 2n  1) 1 1 1 1 1 1 1 1 =>S = 1.1.3  2.3.5  3.5.7  ...  (2n  1)n(2n  1) < 1.3  3.5  5.7  ...  (2n  1)(2n  1) = P 2 2 2 2 1 1    ...  1  1  P  1.3 3.5 5.7 (2n  1)(2n  1) 2n  1 2 Mà 2P = => S < 2 3 (đpcm) - Còn nếu chú ý rằng n > 1 thì (2n-1)n(2n+1) > n(n+1)(n+2) => 1 1   2n  1 n 2n  1 n n  1 n  2 Bài toán 1 – 14a: và kết hợp với bài toán 1 – 13 ta được: Chứng minh rằng 1 1 1 1    ...  1.1.3 2.3.5 3.5.7 (2n  1)n( 2n  1) 5 12 < với n  N*, n >1 Hướng giải: Vì 1 1  ( 2n  1)n(2n  1) n( n  1)(n  2) =>S = < 1 1 1 1    ...  1.1.3 2.3.5 3.5.7 (2n  1)n( 2n  1) 1 1 1 1    ...  1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n  1)( n  2) Mà P =  1 11 1    2  2  n  1 n  2  4 nên S < =P 5 12 (đpcm) Đối với dạng này thì nếu khai thác thêm thì hơi quá nên dừng lại. 3.2. Bài toán gốc 2: Kim Nhân 14 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " Bài 18 SGK trang 11 Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi một số chỗ: a) x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2; b) ... - 10xy + 25y2 = ( ... - ... )2; Hãy nêu một đề bài tương tự. Lời giải: * Nếu những phần của hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi là những đơn thức thì ta có thể khôi phục lại những hằng đẳng thức trên như sau: a) x2 + 6xy + 9y2 = ( x + 3y)2; b) x2 - 10xy + 25y2 = (x - 5y )2 (hoặc x2 - 10xy + 25y2 = (5y - x)2) . * Nếu những phần của hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi là những biểu thức thì ta có thể khôi phục lại những hằng đẳng thức trên bằng rất nhiều cách khác nhau như sau: Ví dụ 1: a) x2 + 6xy + (2xy + 16y2 ) = [(x + y) + 3y]2 tức là x2 + 8xy + 16y2 = (x + 4y)2 ; Hay nếu ta thay như sau : b) (x2 + 4xy - 16y2) – 10xy + 25y2 = (x – 3y)2 tức là x2 - 6xy + 9y2 = (x – 3y)2; Ví dụ 2: a) x2 + 6xy + (4xy + 25y2 ) = [(x + 2y) + 3y]2 Kim Nhân 15 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " tức là x2 + 10xy + 25y2 = (x + 5y)2 ; b) (x2 + 8xy - 24y2) - 10xy + 25y2 = (x - y)2 tức là x2 - 2xy + y2 = (x - y)2; .......................................................................... .......................................................................... * Đối với những em HS yếu thì ít nhất cũng đưa ra được đề bài tương tự như sau: Hãy tìm cách giúp bạn Bình khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi một số chỗ: a) x2 + 10xy + ... = ( ... + 5y)2; b) ... – 6xy + 9y2 = ( ... - ... )2; Trở lại nội dung bài 18 SGK trang 11 thì ta có nhận xét là không thể đưa ra được một lời giải tối ưu bởi vì có rất nhiều cách để giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi một số chỗ. Để giúp học sinh đỡ lúng túng khi trình bày lời giải bài toán thì giáo viên nên thay đổi nội dung câu hỏi một chút để có được lời giải tối ưu cho bài toán như sau: Bài toán 1: Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi một số chỗ bằng cách điền các đơn thức thích hợp vào chỗ trống (...): a) x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2; b) ... – 10xy + 25y2 = ( ... - ... )2; Hãy nêu một đề bài tương tự. Hoặc là: Bài toán 2: Điền đơn thức thích hợp vào chỗ có dấu * để biểu thức Kim Nhân 16 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " a) x2 + 6xy + * ; b) * – 10xy + 25y2 trở thành bình phương của một nhị thức *Việc đưa ra nội dung bài toán 2 lại giúp hình thành trong tôi một ý tưởng là tiếp tục khai thác lời giải của bài toán 2, ta có ví dụ 1 Ví dụ 1: Điền đơn thức thích hợp vào chỗ có dấu * để biểu thức A = x2 – 20x + * trở thành bình phương của một nhị thức. Giải: Đây là bài toán quen thuộc mà học sinh lớp 8 đều làm được: A = x2 – 20x + * = x2 – 20x + 100 = x2 – 2.x.10 + 100 = (x - 10)2 Nhận xét: Trường hợp dấu * là một số cho trước Chẳng hạn * = -1 ta có ví dụ 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 - 10x - 1 Giải: A = x2 - 10x - 1 = x2 - 10x + 25 - 26 = (x - 5)2 - 26 Vì (x - 5)2 �0 với mọi x thuộc R nên (x - 5)2 – 26 �-26 với mọi x thuộc R Giá trị nhỏ nhất của A là -26 khi và chỉ khi x – 5 = 0 hay x = 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -26 khi x = 5 Nhận xét: Nếu ta đổi dấu của biểu thức A nói trên ta có -A = -x2 + 10x + 1 = - (x2 – 10x +25) + 26 = - (x - 5)2 + 26 �26 Giá trị lớn nhất của A là 26 . Ta có ví dụ 3 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 1 + 10x - x2 Kim Nhân 17 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " Giải: B = 1 + 10x – x2 = - (x2 – 10x) + 1 = - (x2 – 10x + 25) + 26 = - (x - 5)2 + 26 Vì (x - 5)2 �0 với mọi x thuộc R nên - (x - 5)2 �0 với mọi x thuộc R Do đó - (x - 5)2 + 26 �26 với mọi x thuộc R Giá trị lớn nhất của B là 26 khi và chỉ khi x – 5 = 0 hay x = 5 Vậy giá trị lớn nhất của B là 26 khi x = 5. Nhận xét: Tổng quát bài toán trong ví dụ 2 ta có ví dụ 4 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ax2 + bx + c Giải: với a > 0 b x)  c a b b2 b2 2 P  a ( x  2 x.  2  2 )  c 2a 4 a 4a P  a( x 2  Kim Nhân 18 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " b b2 b2 P  a ( x  2 x.  2)c 2a 4a 4a b 2 b2 4ac  b 2 P  a ( x  )  (c  ) � 2a 4a 4a 2 4ac  b 2 Giá trị nhỏ nhất của P là 4a khi và chỉ khi x  b 2a Tương tự tổng quát bài toán trong ví dụ 3 ta có ví dụ 5 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ax2 + bx + c với a < 0 Giải: Tương tự như ví dụ 4 ta được giá trị lớn nhất của biểu thức P là b 4ac  b 2 khi và chỉ khi x  2a 4a Nhận xét: Kết hợp ví dụ 4 và ví dụ 5 ta có tam thức ax2 + bx + c có giá trị nhỏ nhất nếu a > 0 ; có giá trị lớn nhất nếu a < 0. Trong nhiều trường hợp, ta cần đổi biến đưa biểu thức về dạng tam thức bậc hai đối với biến mới. Ví dụ 6 Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = (3x - 1)2 – 4. 3x  1 + 5 Giải: Đặt 3x  1 = y , ta có: M = y2 – 4y + 5 = (y – 2)2 + 1 �1 Kim Nhân 19 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " Giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi và chỉ khi y – 2 = 0 hay y = 2. Với y = 2 ta có: x 1 � 3x  1  2 � � 3x  1 = 2 � � � 1 � 3 x  1  2 x � 3 � Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi và chỉ khi x = 1 hoặc x =  1 3 Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) Giải: Biến đổi N = x(x - 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)(x2 – 7x + 12) Cách 1: Đặt x2 – 7x = y ta có: N = y(y + 12) = y2 + 12y = (y + 6)2 – 36 �-36 Giá trị nhỏ nhất của N bằng -36 khi và chỉ khi y + 6 = 0 � y = - 6 Với y = - 6 ta có x2 – 7x = - 6 � x = 1 hoặc x = 6 Cách 2: Đặt x2 – 7x + 12 = y ta có: N = (y – 6 )(y + 6) = y2 – 36 �-36 Giá trị nhỏ nhất của N bằng - 36 khi và chỉ khi y = 0 Khi đó x = 1 hoặc x = 6 * Phương pháp tìm nhiều lời giải cho một bài toán: - Phương pháp này cũng là một trong những phương pháp khai thác bài toán , chắc có lẽ tất cả chúng ta đều thấy rằng khi dạy đến phần “Phân tích đa thức thành nhân tử” thì tất cả chúng ta đều gợi ý cho học sinh tìm nhiều cách giải khác nhau. Sau đây là một ví dụ minh họa: Kim Nhân 20 THCS Lê Đình Chinh