Tài liệu Skkn khai thác phát triển bài toán đại số 8

SKKN: Khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n ®¹i sè líp 8 më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi: To¸n häc lµ m«n häc c¬ b¶n trong ch¬ng tr×nh c¸c trêng phæ th«ng. Th«ng qua viÖc d¹y häc m«n to¸n gióp häc sinh ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o, suy luËn l« gÝc. §èi víi häc sinh viÖc häc giái m«n to¸n lµ ®iÒu kiÖn häc giái c¸c c¸n bé m«n kh¸c. Th«ng qua viÖc häc to¸n gióp c¸c em h×nh thµnh c¸c phÈm chÊt cña nh©n c¸ch nh tÝnh cÇn cï chÞu khã, tÝnh tù lùc, tÝnh kiªn tr× s¸ng t¹o, kh«ng chÞu khuÊt phôc khã kh¨n. Th«ng qua viÖc häc to¸n gióp c¸c em c¶m thô c¸i hay, c¸i ®Ñp cña tù nhiªn, x· héi. Häc giái to¸n lµ yÕu tè quan träng ®Ó khëi nguån c¶m høng häc tËp tèt c¸c m«n kh¸c cho häc sinh. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y nãi chung vµ viÖc häc to¸n nãi riªng th× viÖc d¹y to¸n ®Ó häc sinh dÔ hiÓu vµ th«ng qua ®ã ®Ó häc sinh ph¸t triÓn tÝnh s¸ng t¹o, suy luËn l«gÝc lµ nhiÖm vô quan träng cña ngêi gi¸o viªn d¹y to¸n. H×nh thµnh kü n¨ng gi¶i to¸n lµ môc tiªu quan träng trong qu¸ tr×nh d¹y- häc to¸n ë trêng trung häc c¬ së. Qu¸ tr×nh gi¶i to¸n chÝnh lµ qu¸ tr×nh rÌn luyÖn ph¬ng ph¸p t duy linh ho¹t, s¸ng t¹o. ViÖc h×nh thµnh cho häc sinh nh÷ng kü n¨ng thùc hµnh trong gi¶i to¸n lµ môc tiªu chÝnh trong qu¸ tr×nh d¹y häc bé m«n, ®©y còng lµ gi¶i ph¸p quan träng ®Ó thùc hiÖn viÖc ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc ë trêng THCS hiÖn nay. Trong thùc tÕ d¹y häc hiÖn nay, viÖc h×nh thµnh cho häc sinh cã mét kü n¨ng ph©n tÝch t×m tßi lêi gi¶i cho mét d¹ng to¸n, mét bµi to¸n cha ®îc c¸c thÇy, c« gi¸o quan t©m thÝch ®¸ng. V× ®iÒu kiÖn thêi gian h¹n hÑp (víi 45’ trong mét tiÕt d¹y ) ®a sè c¸c thÇy, c« gi¸o chØ quan t©m tíi viÖc ch÷a ®ñ c¸c bµi tËp cho häc sinh trong c¸c giê luyÖn tËp mµ kh«ng quan t©m nhiÒu ®Õn viÖc båi dìng ph¬ng ph¸p t×m tßi lêi gi¶i cho mét bµi to¸n. ChÝnh ®iÒu nµy ®· dÉn tíi bµi gi¶ng cña gi¸o viªn mang tÝnh ¸p ®Æt, c¸c em häc sinh tiÕp thu bµi häc mét c¸ch thô ®éng. Trong mét sè kú thi thêng x¶y ra viÖc ®Ò thi chØ thay ®æi chót Ýt d÷ liÖu so víi c¸c bµi tËp mµ c¸c em ®· lµm (hoÆc thÇy c« gi¸o ®· ch÷a) nhng häc sinh vÉn kh«ng lµm ®îc. Nguyªn nh©n chÝnh, theo t«i, ®ã lµ viÖc d¹y vµ häc thô ®éng nh ®· tr×nh bµy ë trªn. Trong nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y vµ trùc tiÕp båi dìng häc sinh giái líp 8 t«i thÊy kü n¨ng khai th¸c c¸c bµi tËp cña häc sinh cßn yÕu, ®a sè c¸c em cha biÕt c¸ch suy nghÜ, t×m tßi ®Ó khai th¸c c¸c bµi to¸n hoÆc ngîc l¹i cha biÕt ®a bµi to¸n cÇn gi¶i vÒ bµi to¸n quen thuéc ®· biÕt c¸ch gi¶i. Tríc t×nh h×nh nh vËy, t«i nghÜ mçi gi¸o viªn cÇn ph¶i cã mét ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y thÝch hîp nh»m kÝch thÝch høng thó häc tËp cho häc sinh vµ cung cÊp cho c¸c em cã mét ph¬ng ph¸p häc tËp tÝch cùc, còng nh mét t duy linh ho¹t s¸ng t¹o trong gi¶i to¸n, nhÊt lµ c¸ch khai th¸c c¸c bµi to¸n. Nh»m TrÇn V¨n Hng-THCS Th©n Nh©n Trung-Email: [email protected] 1 SKKN: Khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n ®¹i sè líp 8 gióp häc sinh cã mét kü n¨ng häc tËp tèt bé m«n to¸n - nhÊt lµ kü n¨ng gi¶i c¸c bµi tËp to¸n, Víi quan ®iÓm d¹y häc lµ d¹y ph¬ng ph¸p häc tËp, d¹y cho häc sinh cã mét t duy suy luËn s¸ng t¹o, mét n¨m häc qua t«i ®· nghiªn cøu vµ thö nghiÖm c¸ch so¹n gi¶ng bµi häc b»ng c¸ch chó träng båi dìng ph¬ng ph¸p ph©n tÝch t×m tßi khai th¸c, ph¸t triÓn mét bµi to¸n, bíc ®Çu ®· cã nh÷ng chuyÓn biÕn tÝch cùc trong nhËn thøc cña häc sinh. Lµ mét gi¸o viªn trùc tiÕp d¹y m«n To¸n ë THCS ®Æc biÖt lµ ®îc nhµ trêng giao cho båi dìng ®éi tuyÓn häc sinh giái m«n To¸n 8 ë cÊp THCS . T«i cã rÊt nhiÒu suy nghÜ , tr¨n trë lµm sao cho chÊt lîng häc sinh ngµy mét tèt h¬n , c¸c em cã thÓ tù m×nh t×m ra nh÷ng lêi gi¶i hay h¬n , gi¶i ®îc nhiÒu bµi to¸n khã h¬n . Qua viÖc quan s¸t häc sinh ë c¸c líp kh¸c nhau , c¸c trêng kh¸c nhau vµ qua viÖc tham kh¶o ®ång nghiÖp t«i xin m¹nh d¹n nãi ra mét kinh nghiÖm mµ m×nh ®· t×m ra trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu thùc tÕ ®ã lµ "khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n" 2. NhiÖm vô nghiªn cøu: T×m hiÓu, ph©n tÝch, ®¸nh gi¸ t×nh h×nh thùc tÕ trong gi¶ng d¹y bé m«n to¸n ë trêng THCS . Trªn cë së nh÷ng u khuyÕt ®iÓm ®Ò ra gi¶i ph¸p thùc hiÖn. §ång thêi rót ra bµi häc kinh nghiÖm tõ thùc tÕ. 3. §èi tîng, ph¹m vi nghiªn cøu: T×m hiÓu c¸ch d¹y cña GV, c¸ch häc cña häc sinh ë c¸c líp ®¹i trµ vµ líp båi dìng HSG m«n to¸n 8 cña trêng THCS Th©n Nh©n Trung vµ ®éi tuyÓn HSG côm Th©n Nh©n Trung cña huyÖn ViÖt Yªn. 4. C¸c ph¬ng ph¸p nghiªn cøu chÝnh: + §iÒu tra t×m hiÓu viÖc d¹y vµ häc ë c¸c líp båi dìng HSG. + Dù giê rót kinh nghiÖm gi¶ng d¹y + Ph©n tÝch ®¸nh gi¸ qu¸ tr×nh tiÕp thu bµi häc cña häc sinh th«ng qua kiÓm tra, tr¾c nghiÖm. + Tham kh¶o c¸c bµi viÕt, c¸c ý kiÕn trao ®æi vÒ viÖc d¹y vµ häc to¸n trong c¸c cuéc th¶o luËn vÒ ®æi míi ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y, trong c¸c tµi liÖu vµ s¸ch tham kh¶o vÒ bé m«n to¸n. 5. Nh÷ng ®ãng gãp míi cña ®Ò tµi. Khai th¸c, ph¸t triÓn mét sè bµi to¸n c¬ b¶n trong ch¬ng"phÐp nh©n vµ phÐp chia c¸c ®a thøc"- §¹i sè 8. §a ra c¬ së lÝ luËn trong qu¸ tr×nh d¹y vµ gi¶i to¸n: ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y thÝch hîp nh»m kÝch thÝch høng thó häc tËp cho häc sinh vµ cung cÊp cho c¸c em cã mét ph¬ng ph¸p häc tËp tÝch cùc, còng nh mét t duy linh ho¹t s¸ng t¹o trong gi¶i to¸n, nhÊt lµ c¸ch khai th¸c, ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n. TrÇn V¨n Hng-THCS Th©n Nh©n Trung-Email: [email protected] 2 SKKN: Khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n ®¹i sè líp 8 §a ra quan ®iÓm d¹y häc lµ d¹y ph¬ng ph¸p häc tËp, d¹y cho häc sinh cã mét t duy suy luËn s¸ng t¹o, båi dìng ph¬ng ph¸p ph©n tÝch t×m tßi khai th¸c, ph¸t triÓn mét bµi to¸n. * * * Trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu vµ thÓ nghiÖm ®Ò tµi nµy, t«i nhËn ®îc rÊt nhiÒu ý kiÕn ®ãng gãp quý b¸u cña b¹n bÌ ®ång nghiÖp. Khi b¾t tay vµo viÕt ®Ò tµi nµy do quü thêi gian cã h¹n nªn kh«ng thÓ tr¸nh khái sai sãt. T«i rÊt mong tiÕp tôc nhËn ®îc nhiÒu ý kiÕn ®ãng gãp cña c¸c thÇy c« gi¸o ®Ó c«ng t¸c gi¶ng d¹y cña t«i ngµy cµng ®îc tèt h¬n. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n !. BÝch §éng, th¸ng 5 n¨m 2007 TrÇn V¨n Hng-THCS Th©n Nh©n Trung-Email: [email protected] 3 SKKN: Khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n ®¹i sè líp 8 néi dung c¬ b¶n Ch¬ng 1: C¬ së lÝ luËn Trong gi¶ng d¹y m«n to¸n, con ®êng t×m tßi c¸ch gi¶i lµ c¶ mét qu¸ tr×nh t duy suy luËn l«gÝc cña häc sinh ®îc rÌn luyÖn th«ng qua c¶ mét qu¸ tr×nh häc to¸n. §»ng sau mét bµi to¸n ®¬n gi¶n l¹i chøa ®ùng bao ®iÒu thó vÞ, ®ã lµ c¸c c¸ch gi¶i kh¸c nhau vµ c¸c bµi tËp ph¸t triÓn dÇn thµnh c¸c bµi to¸n tæng qu¸t. Do ®ã c¸c bµi tËp ®îc x©y dùng theo mét tr×nh tù nhÊt ®Þnh, ®îc ph©n chia thµnh c¸c d¹ng c¬ b¶n, ®¶m b¶o phï hîp víi sù ph¸t triÓn dÇn n©ng cao nhËn thøc cña häc sinh. HÖ thèng c¸c bµi tËp ®îc x©y dùng tõ dÔ ®Õn khã, tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p, tËp trung vµo viÖc ®¶m b¶o ®îc môc ®Ých vµ yªu cÇu ®¹t ®îc th«ng qua gi¶i c¸c d¹ng bµi tËp ®ã. H×nh thµnh cho häc sinh thãi quen nh×n nhËn mét bµi to¸n khoa häc, kh«ng bÞ ®éng, lóng tóng khi gi¶i vµ ®ång thêi c¸c em chñ ®éng t×m tßi, khai th¸c, ph¸t triÓn nh÷ng vÊn ®Ò n¶y sinh tõ c¸c bµi to¸n ®ã. Ch¬ng 2: Thùc tr¹ng cña vÊn ®Ò. Trong qu¸ tr×nh nhiÒu n¨m d¹y häc sinh líp 8 vµ båi dìng häc sinh giái , khi gi¶i bµi to¸n t«i thÊy ®a sè c¸c em häc sinh cha cã t duy, suy luËn to¸n häc l«gÝc. Häc sinh thêng kh«ng biÕt b¾t ®Çu tõ ®©u vµ kh«ng ®Þnh h×nh ®îc c¸ch gi¶i nh thÕ nµo. §èi víi häc sinh gi¶i ®îc th× c¸c em Ýt cã thãi quen ®óc rót kinh nghiÖm ®Ó ph©n chia thµnh tõng d¹ng vµ ph¬ng ph¸p gi¶i cho tõng d¹ng. Trong qu¸ tr×nh gi¶i c¸c em tr×nh bµy thiÕu chÆt chÏ, kh«ng l«gÝc, kh«ng hiÓu c¬ së c¸c d¹ng bµi. ChÝnh v× thÕ mµ c¸c em häc tËp cha cã chuyÓn biÕn râ rÖt khi khi gi¶i c¸c lo¹i to¸n n©ng cao vµ ph¸t triÓn. HÇu hÕt c¸c em cha biÕt vµ cha n¾m v÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i, nh÷ng kiÕn thøc cÇn vËn dông nªn dÉn ®Õn gi¶i sai.ChÝnh v× thÕ mµ t«i ®· ®Ò cËp vµ nghiªn cøu ®Ò tµi "khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n" . Song v× ®iÒu kiÖn thêi gian vµ tÝnh øng dông thùc tÕ cña nã nªn t«i chØ nghiªn cøu mét sè bµi to¸n c¬ b¶n phï hîp chñ yÕu víi häc sinh ë trêng. Kh¶o s¸t ®Çu n¨m: §Ò bµi: a) Cho a2+b2+c2 = ab+bc+ca. Chøng minh r»ng a = b = c b) Cho x, y, z lµ ba sè kh¸c 0 tho¶ m·n: 1 1 1 1 1 1      . x 2 y2 z2 xy yz xz Chøng minh r»ng x = y = z. KÕt qu¶ cña 20 häc sinh ®îc chän ra tõ 40 häc sinh líp 8A1 lµm bµi kiÓm tra kh¶o s¸t ®Çu n¨m nh sau: TrÇn V¨n Hng-THCS Th©n Nh©n Trung-Email: [email protected] 4 SKKN: Khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n ®¹i sè líp 8 §óng phÇna §óng phÇn b SL % SL % 18 90 12 60 Gi¶i phÇn b cã sö Gi¶i phÇn b kh«ng sö dông kÕt qu¶ phÇn a dông kÕt qu¶ phÇn a S L % SL % 5 25 7 35 NhËn xÐt: RÊt nhiÒu c¸c em häc sinh cha cã thãi quen khai th¸c, liªn hÖ kiÕn thøc gi÷a c¸c phÇn víi nhau. Víi kÕt qu¶ trªn t«i thÊy viÖc gi¶i to¸n trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n nãi chung, d¹y häc sinh gi¶i to¸n nãi riªng gi¸o viªn cÇn gióp cho häc sinh cã mét thãi quen ph©n tÝch, tù m×nh t×m ra kiÕn thøc vµ ph¬ng ph¸p. H¬n thÕ, víi ®èi tîng HSG cÇn tËp dît cho c¸c em cã thãi quen s¸ng t¹o. §øng tríc mçi bµi to¸n khã c¸c em cÇn biÕt c¸ch ph©n tÝch, tù m×nh t×m ra híng ®i thÝch hîp. C¸c em kh«ng nh÷ng gi¶i ®îc c¸c bµi to¸n mµ cßn biÕt khai th¸c, ph¸t triÓn nh÷ng s¸ng t¹o trong c¸ch gi¶i vµ ®Ò xuÊt ra nh÷ng bµi to¸n míi. §©y thùc sù lµ nh÷ng phÈm chÊt hÕt søc cÇn thiÕt cho viÖc ph¸t triÓn nh÷ng tµi n¨ng to¸n häc sau nµy. Trong ®Ò tµi nµy t«i míi ®a ra mét sè bµi to¸n c¬ b¶n phï hîp chñ yÕu ë ch¬ng I - §¹i sè líp 8. Víi To¸n häc bËc THCS th× ch¬ng phÐp nh©n vµ phÐp chia ®a thøc ®ãng vai trß rÊt quan träng, ®Æc biÖt lµ kiÕn thøc vÒ h»ng ®¼ng thøc vµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö , viÖc vËn dông nã vµo gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao , viÖc biÕn ®æi ®ång nhÊt c¸c biÓu thøc to¸n häc, chøng minh ®¼ng thøc, bÊt ®¼ng thøc, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt...Ngoµi ra viÖc vËn dông c¸c kiÕn thøc vÒ h»ng ®¼ng thøc vµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö gióp chóng ta cã thÓ gi¶i ®îc c¸c bµi to¸n cã néi dung phøc t¹p . Víi mçi bµi to¸n ®îc ®a ra, ta cã thÓ gióp häc sinh khai th¸c, ph¸t triÓn thµnh c¸c bµi to¸n n©ng cao hay vµ khã h¬n. Ch¬ng 3: Néi dung nghiªn cøu. Trong m«n to¸n ë trêng phæ th«ng cã rÊt nhiÒu bµi to¸n cha cã hoÆc kh«ng cã thuËt to¸n ®Ó gi¶i, ®Æc trng nµy cµng häc lªn líp 8 cµng phæ biÕn . §èi víi nh÷ng bµi to¸n Êy, chóng ta h·y cè g¾ng híng dÉn häc sinh c¸ch suy nghÜ, c¸ch t×m tßi lêi gi¶i. §©y lµ c¬ héi ®Ó gi¸o viªn trang bÞ cho häc sinh mét sè tri thøc ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n. Kh«ng cã mét thuËt to¸n tæng qu¸t nµo ®Ó gi¶i mäi bµi to¸n, chóng ta chØ cã thÓ th«ng qua d¹y häc gi¶i mét sè bµi to¸n cô thÓ mµ dÇn dÇn truyÒn cho häc sinh c¸ch thøc, kinh nghiÖm t×m tßi lêi gi¶i cho c¸c bµi to¸n. “ T×m ®îc c¸ch gi¶i mét bµi to¸n lµ mét ®iÒu ph¸t minh” (P«lya). TrÇn V¨n Hng-THCS Th©n Nh©n Trung-Email: [email protected] 5 SKKN: Khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n ®¹i sè líp 8 HÖ thèng c¸c bµi tËp ®îc x©y dùng theo tõng ®¬n vÞ kiÕn thøc nh»m cñng cè vµ rÌn luyÖn kü n¨ng c¬ b¶n trong gi¶i to¸n. HÇu hÕt c¸c bµi tËp mµ häc sinh cã thÓ gi¶i ®îc , gi¸o viªn ph¶i t¹o ®iÒu kiÖn, híng dÉn ®Ó häc sinh suy nghÜ tù m×nh t×m ra ch×a kho¸ cña lêi gi¶i. MÆt kh¸c, nh÷ng bµi to¸n tëng nh ®¬n gi¶n l¹i chøa ®ùng rÊt nhiÒu ®iÒu thó vÞ. NÕu gi¸o viªn biÕt khai th¸c th× c¸c bµi tËp nµy còng ®ñ ®Ó båi dìng häc sinh kh¸ giái. Båi dìng kiÕn thøc cho häc sinh tõ c¸c bµi tËp ®¬n gi¶n lµ c¸ch tèt nhÊt ®Ó häc sinh n¾m ch¾c kiÕn thøc c¬ b¶n vµ ph¸t triÓn t duy, n¨ng lùc s¸ng t¹o mét c¸ch tù nhiªn, bÒn v÷ng. Híng dÉn häc sinh khai th¸c, ph¸t triÓn mét sè bµi tËp c¬ b¶n trong ch¬ng I- ®¹i sè líp 8: Díi ®©y t«i xin ®a ra mét sè vÝ dô ¸p dông ph¬ng ph¸p trªn ®Ó híng dÉn häc sinh t×m tßi c¸ch gi¶i vµ khai th¸c, ph¸t triÓn mét bµi to¸n cô thÓ. D¹ng I: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö I. Bµi to¸n A: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (a+b+c)(ab+ac+bc) - abc Gi¶i: Ta cã : (a+b+c)(ab+ac+bc) - abc =(a+b)(ab+ac+bc)+c(ab+ac+bc) - abc =(a+b)(ab+ac+bc)+abc+c2(a+b) - abc =(a+b)( ab+ac+bc+c2) =(a+b)[a(b+c)+c(b+c)] =(a+b)(b+c)(a+c) Khai th¸c bµi to¸n: Tõ vÝ dô trªn ta thÊy nÕu (a+b+c)(ab+ac+bc) = abc (1) th× hoÆc a=-b hoÆc b=-c hoÆc a=-c. BiÕn ®æi gi¶ thiÕt (1): Chia c¶ 2 vÕ cho abc ta ®îc  1 1 1 (a  b  c)     1 (2). Ta cã bµi to¸n míi nh sau:  a b c Bµi 1: 1 1 1 Cho a, b, c lµ ba sè kh¸c 0 tho¶ m·n (a  b  c)     1 . Chøng a b c minh r»ng trong ba sè a, b, c tån t¹i hai sè ®èi nhau. 1 1 1 1 (3). Ta sö dông    a b c abc kÕt luËn cña bµi to¸n ®Ó gi¶i bµi to¸n kh¸c nh sau: *Gi¶ thiÕt (2) cßn cã thÓ viÕt: TrÇn V¨n Hng-THCS Th©n Nh©n Trung-Email: [email protected] 6 SKKN: Khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n ®¹i sè líp 8 Bµi 2: 1 1 1 1 . TÝnh gi¸    a b c abc trÞ cña biÓu thøc P = (a2003+b2003)(a2005+c2005)(b2007+c2007). Bµi 3: Cho a, b, c lµ ba sè kh¸c 0 tho¶ m·n Cho a, b, c lµ ba sè kh¸c 0 tho¶ m·n 1 1 1 1 . Chøng    a b c abc minh r»ng: 1 1 1 1 víi n lµ sè tù nhiªn lÎ.  n  n  n n a b c a  bn  c n *Ta tiÕp tôc ph¸t triÓn bµi to¸n b»ng c¸ch kh«ng cho trùc tiÕp gi¶ thiÕt (3) mµ yªu cÇu ph¶i biÕn ®æi míi cã gi¶ thiÕt nµy. §ång thêi ta sö dông kÕt qu¶ cña bµi to¸n ®Ó gi¶i bµi to¸n kh¸c nh sau: Bµi 4: Cho a,b,c lµ ba sè kh¸c 0 tho¶ m·n a+b+c=2007; 1 1 1 1 ;    a b c 2007 2a2+b=1. T×m a, b, c. *Ta cã thÓ ®a ra bµi to¸n tæng qu¸t h¬n nh sau: Bµi 5: Cho x, y, z lµ 3 sè kh¸c 0 tho¶ m·n x+y+z=a vµ 1 1 1 1    . x y z a Chøng minh r»ng tån t¹i mét trong ba sè x, y, z b»ng a. *NÕu cho a=2x-2006; b = 3-2007x; c = 2006x+2005 th× a+b+c=x+2. Ta cã bµi to¸n míi : Bµi 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 1 1 1 .    2 x  2006 3  2007x 2006 x  2005 x  2 II. Bµi to¸n B: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (a+b+c)3 - a3 - b3 - c3 Gi¶i: (a+b+c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a+b)+c]3 - a3 - b3 - c3 =(a + b)3+c3+3c(a+b)(a+b+c) - a3 - b3 - c3 =a3+b3+3ab(a+b)+c3+3c(a+b)(a+b+c) - a3 - b3 - c3 =3(a+b)(ab+ac+bc+c2) =3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)] TrÇn V¨n Hng-THCS Th©n Nh©n Trung-Email: [email protected] 7 SKKN: Khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n ®¹i sè líp 8 =3(a+b)(b+c)(c+a). *Tõ vÝ dô trªn ta thÊy nÕu (a+b+c) 3 = a3 + b3 + c3 (1) th× hoÆc a=-b hoÆc b=-c hoÆc a=-c. Ta cã bµi to¸n míi nh sau: Bµi 1: Cho a, b, c lµ ba sè tho¶ m·n (a+b+c) 3 = a3 + b3 + c3. Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c tån t¹i hai sè ®èi nhau. +NhËn xÐt : Ta thÊy kÕt qu¶ cña bµi to¸n B cã phÇn gièng víi kÕt qu¶ cña bµi to¸n A nªn ngoµi viÖc khai th¸c, ph¸t triÓn bµi to¸n B theo híng bµi to¸n A th× ta cßn cã thÓ khai th¸c, ph¸t triÓn bµi to¸n B theo ®Æc ®iÓm riªng cña bµi to¸n nµy nh sau: *§Æt a = x+y; b = y+z; c = x+z th× a+b+c = 2(x+y+z). Dùa vµo kÕt qu¶ trªn ta cã: 8(x+y+z)3- (x+y)3- (y+z)3- (z+x)3= 3(x+2y+z)(y+2z+x)(z+2x+y). Ta cã bµi to¸n: Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 8(x+y+z)3- (x+y)3- (y+z)3- (z+x)3. * NÕu cho a = x+y-z, b = x-y+z, c = y+z-x th× a+b+c = x+y+z. Dùa vµo kÕt qu¶ trªn ta cã: (x+y+z)3-( x+y-z)3-( x-y+z)3-( y+z-x)3=24xyz. Ta cã bµi to¸n: Bµi 3: Chøng minh r»ng: (x+y+z)3-( x+y-z)3-( x-y+z)3-( y+z-x)3=24xyz. * NÕu cho a =2x-2006; b = 3-2007x; c = 2006x+2005 th× a+b+c=x+2. Ta cã bµi to¸n míi : Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x+2)3- (2x-2006)3- (3-2007x)3- (2006x+2005)3= 0. *Ta tiÕp tôc ph¸t triÓn bµi to¸n b»ng c¸ch kh«ng cho trùc tiÕp gi¶ thiÕt (1) mµ yªu cÇu ph¶i biÕn ®æi míi cã gi¶ thiÕt nµy. §ång thêi ta sö dông kÕt qu¶ cña bµi to¸n ®Ó gi¶i bµi to¸n kh¸c hay vµ khã h¬n nh sau: Bµi 5: Cho a, b, c lµ ba sè tho¶ m·n :  a  b  c 1  2 2 2  a  b  c 1  3 3 3  a  b  c 1 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P = (a-1)2005+(b-1)2007+(c-1)2009. *KÕt hîp víi bµi to¸n A ta cã bµi to¸n rót gän: TrÇn V¨n Hng-THCS Th©n Nh©n Trung-Email: [email protected] 8 SKKN: Khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n ®¹i sè líp 8 Bµi 6: Rót gän biÓu thøc: P= (a+b+c)(ab+ac+bc) - abc . (a+b+c)3 - a 3 - b3 - c 3 III. Bµi to¸n C: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 Gi¶i: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 =(x2+5x+4)( x2+5x+6) + 1 =(x2+5x+4)[( x2+5x+4)+2] + 1 =(x2+5x+4)2+2(x2+5x+4) + 1 =(x2+5x+4+1)2 =(x2+5x+5)2 Khai th¸c bµi to¸n: Dùa vµo kÕt qu¶ cña bµi to¸n trªn ta cã thÓ khai th¸c vµ ph¸t triÓn thµnh c¸c bµi to¸n kh¸c nh sau: Bµi 1: Cho M lµ tÝch cña bèn sè nguyªn liªn tiÕp. Chøng minh r»ng M+1 lµ sè chÝnh ph¬ng. Bµi 2: T×m bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp biÕt tÝch cña chóng b»ng 32760. Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4). D¹ng II: Chøng minh ®¼ng thøc cã ®iÒu kiÖn IV. Bµi to¸n D: Chøng minh r»ng: NÕu a + b + c = 0 th× a3 + b3 + c3 = 3abc Gi¶i: Ta cã a + b + c = 0 nªn a + b = -c . Do ®ã a3 +b3+c3 = a3 + b3-(a+b)3 = a3 + b3- a3 - b3 -3ab(a+b)=3abc. Khai th¸c bµi to¸n: *Tõ kÕt qu¶ trªn ta cã ngay bµi to¸n: Bµi 1: Cho a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n a+b+c=0. Chøng minh r»ng : a3 +b3+c3 chia hÕt cho 3abc. TrÇn V¨n Hng-THCS Th©n Nh©n Trung-Email: [email protected] 9 SKKN: Khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n ®¹i sè líp 8 *NÕu thay a=x-3; b=2x+1; c=2-3x th× a+b+c=0. Sö dông kÕt qu¶ trªn ta cã (x-3)3+(2x+1)3+(2-3x)3=3(x-3)(2x+1)(2-3x). Ta ®Õn víi bµi to¸n: Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x-3)3+(2x+1)3=(3x-2)3. * NÕu thay a = 2-x, b = -(y+2), c = x+y th× a+b+c = 0. Ta ®Õn víi bµi to¸n : Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: (x+y)3 = (x-2)3 + (y+2)3 + 6 *NÕu thay a=x-y; b=y-z ; c=z-x th× a+b+c=0. Theo kÕt qu¶ trªn ta cã a3+b3+c3=3abc; suy ra (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=3(x-y)(y-z)(z-x). Nªn ta cã bµi to¸n sau: Bµi 4: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 3 3 3 2 2 2 3 abc a  b  c a b c *Ta thÊy víi a+b+c=0 th× 3  .     abc abc bc ac ab Ta cã bµi to¸n: Bµi 5: Cho a, b, c lµ ba sè kh¸c 0 tho¶ m·n a+b+c = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 2 2 2 a b c ` . P   bc ac ab *Suy luËn vµ ph¸t triÓn thµnh c¸c bµi to¸n hay vµ khã h¬n Bµi 6: Cho a, b, c lµ ba sè kh¸c 0 tho¶ m·n a+b+c=0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a) A  a2 b2 c2   a 2  b2  c 2 b 2  c 2  a 2 c 2  a 2  b 2 a b   a  b b  c c  a  c b) B        a b  a  b b  c c  a   c * Thay c bëi c+d vµo a3 + b3 + c3 = 3abc ta ®îc: a3 + b3 + (c+d)3= 3ab(c+d) <=> a3 + b3 + c3 +d3= 3ab(c+d) - 3cd(c+d) <=> a3 + b3 + c3 +d3= 3(c+d)(ab-cd) Ta ®Õn víi bµi to¸n: TrÇn V¨n Hng-THCS Th©n Nh©n Trung-Email: [email protected] 10 SKKN: Khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n ®¹i sè líp 8 Bµi 7: Chøng minh r»ng nÕu a+b+c+d = 0 th×: a3 + b3 + c3 +d3= 3(c+d)(ab-cd). *NÕu thay a  1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 , b= , c= th× 3  3  3 3. . .  . x y z x y z x y z xyz Ta biÕn ®æi gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn cña bµi to¸n: 1 1 1   0 => xy+xz+yz = 0 x y z 3 xyz.  1 3 1 1  yz xz xy xyz.  3  3  3   2  2  2 xyz y z  x y z x Ta cã bµi to¸n rÊt hay nh sau: Bµi 8: Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 tho¶ m·n xy+xz+yz = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P yz xz xy   x 2 y 2 z2 V. Bµi to¸n E: Cho a2+b2+c2 = ab+bc+ca. Chøng minh r»ng a = b = c Gi¶i: Ta cã a2+b2+c2=ab+bc+ca <=> 2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca <=> (a2-2ab+b2)+ (b2-2bc+c2)+ (a2-2ac+c2)=0 <=> (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0 (1) V× (a  b)2 0 ; (b  c)2 0 ; (a  c)2 0 nªn tõ (1) suy ra a - b = b - c = a - c = 0 hay a = b = c. Khai th¸c bµi to¸n: *Ta cã thÓ më réng bµi to¸n cho n sè a1 , a2 , ... , an Bµi 1: Cho a12  a 2 2  a 32  ...  a n 2 a1a 2  a 2 a3  a3 a 4  ...  a n 1a n  a n a1 . Chøng minh r»ng: a1 a 2 a3 ... a n . *Ta thÊy a2+b2+c2=ab+bc+ca <=> (a+b+c)2=3(ab+bc+ca). Thay ®æi kÕt luËn cña bµi to¸n ta cã bµi to¸n míi nh sau: Bµi 2: BiÕt a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tho¶ m·n: TrÇn V¨n Hng-THCS Th©n Nh©n Trung-Email: [email protected] 11 SKKN: Khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n ®¹i sè líp 8 (a+b+c)2=3(ab+bc+ca). Chøng minh r»ng tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c ®Òu. * Ta thÊy a2+b2+c2=ab+bc+ca <=> (a+b+c)2=3(a2+b2+c2). §ång thêi ta sö dông kÕt qu¶ cña bµi to¸n ®Ó gi¶i bµi to¸n kh¸c nh sau: Bµi 3: Cho a, b, c lµ ba sè tho¶ m·n (a+b+c) 2=3(a2+b2+c2). H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = a2 + (a+2)(b+c) + 2007. 1 1 1 *NÕu thay a  ; b= ; c= ta cã ngay hÖ qu¶ cña bµi to¸n x y z Bµi 4: Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 tho¶ m·n 1 1 1 1 1 1      (2). Chøng minh r»ng x = y = z. x 2 y2 z2 xy yz xz *Ta tiÕp tôc ph¸t triÓn bµi to¸n b»ng c¸ch kh«ng cho trùc tiÕp gi¶ thiÕt (2) mµ yªu cÇu ph¶i biÕn ®æi míi cã gi¶ thiÕt nµy. §ång thêi ta sö dông kÕt qu¶ cña bµi to¸n ®Ó gi¶i bµi to¸n kh¸c nh sau: Bµi 5: T×m ba sè x, y, z biÕt r»ng: x+y+z = 2xyz vµ 1 1 1   2 . x 2 y 2 z2 *Ta thÊy gi¶ thiÕt (2) <=> yz xz xy   x  y  z . §ång thêi ta sö x y z dông kÕt qu¶ cña bµi to¸n ®Ó gi¶i bµi to¸n kh¸c nh sau: Bµi 6: Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 tho¶ m·n: yz xz xy   x  y  z . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x y z x 2  y2 y 2  z2 x 2  z2 . P   (x  z)(y  z) (x  y)(x  z) (y  z)(y  x) *Ta biÕt r»ng: a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)( a2+b2+c2-ab-bc-ca) nªn nÕu a3+b3+c3=3abc vµ a+b+c  0 th× a = b = c. Tõ ®ã ta cã thÓ dïng gi¶ thiÕt nµy ®Ó thay thÕ c¸c gi¶ thiÕt t¬ng ®¬ng cña c¸c bµi to¸n ë trªn hoÆc lËp c¸c bµi to¸n kh¸c. VÝ dô ta cã thÓ lËp mét bµi to¸n míi nh sau: Bµi 7: Cho a3+b3+c3=3abc vµ a+b+c 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: TrÇn V¨n Hng-THCS Th©n Nh©n Trung-Email: [email protected] 12 SKKN: Khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n ®¹i sè líp 8 a 2  b2  c 2 . A (a  b  c)2 D¹ng III: Chøng minh BÊt ®¼ng thøc VI. Bµi to¸n F: Chøng minh r»ng: m2 - mn + n2 0 víi mäi m vµ n. 2 2 2 n 3n 2 Gi¶i: m2 - mn + n2 =( m2 - mn + n ) + 3n =  m    0 2 4 4 4  Khai th¸c bµi to¸n: *NhËn thÊy r»ng nÕu cho m = x-1; n = 1-y th× : (x-1)2- (x-1)(1-y) + (1-y)2 0 <=> x2 - 2x +1 - x + xy +1 - y +1 - 2y + y2 0 <=> x2 + y2 + xy - 3x - 3y + 3 0 Ta ®Õn víi bµi to¸n: Bµi 1: Chøng minh r»ng víi mäi x, y ta lu«n cã: x2 + y2 + xy - 3x - 3y + 3 0. * Vµ nÕu cho m = x-2, n = 1-y th× : (x-2)2- (x-2)(1-y)+(1-y)2 0 <=> x2+y2+xy-5x-4y+7 0 Cho ta bµi to¸n: Bµi 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = x2+y2+xy-5x-4y+9 *TiÕp tôc cho m = a; n = - b th× ta cã: a2 - a(-b) + (-b)2 0 <=> a2 + ab + b2 0 MÆt kh¸c (a-b)2 0 víi mäi a, b. Do ®ã: (a2 + ab + b2) (a-b)2 0 <=> [(a2 + ab + b2) (a-b)](a-b) 0 <=>(a3-b3)(a-b) 0 <=> a4-a3b-ab3+b4 0 <=> a4+b4 a3b+ab3 Ta ®Õn víi bµi to¸n: Bµi 3: Chøng minh r»ng: a4+b4 a3b+ab3 víi mäi a, b. *TiÕp tôc cho a = x2; b = y2 vµ x, y kh¸c 0, ta cã: (x2)4+(y2)4 (x2)3y2+x2(y2)3 TrÇn V¨n Hng-THCS Th©n Nh©n Trung-Email: [email protected] 13 SKKN: Khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n ®¹i sè líp 8 x8 y8 x 6 y2 x 2 y6  2 2  2 2  2 2  2 2 x y xy xy xy x 6 y6  2  2 x 4  y 4 y x Cho ta bµi to¸n: Bµi 4: Chøng minh r»ng víi mäi x, y kh¸c 0 ta lu«n cã: x 6 y6  2 x 4  y 4 . 2 y x    Trªn ®©y lµ mét sè bµi to¸n thêng gÆp trong ph¹m vi kiÕn thøc liªn quan ®Õn ch¬ng tr×nh líp 8. Trong ph¹m vi ®Ò tµi nµy t«i chØ xin nªu ra mét sè vÝ dô ë c¸c bµi to¸n ®iÓn h×nh, hay gÆp ë ch¬ng 1- phÇn §¹i sè líp 8. Ngoµi ra cßn nhiÒu c¸c bµi to¸n trong ch¬ng nµy còng nh ch¬ng kh¸c mµ ta cã thÓ khai th¸c, ph¸t triÓn thµnh c¸c bµi to¸n ®Ó båi dìng häc sinh giái. ViÖc båi dìng n¨ng lùc ph©n tÝch t×m tßi lêi gi¶i bµi to¸n lµ c¸ch tèt nhÊt ®Ó c¸c em cã thÓ tiÕp cËn kiÕn thøc, ph¬ng ph¸p mét c¸ch tÝch cùc vµ chñ ®éng nhÊt. §ã còng lµ gi¶i ph¸p nh»m n©ng cao chÊt lîng d¹y vµ häc nhÊt lµ c«ng t¸c båi dìng häc sinh giái ®¸p øng yªu cÇu ngµy cµng cao cña gi¸o dôc trong giai ®o¹n míi. kÕt luËn Trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n nãi chung, d¹y häc sinh gi¶i to¸n nãi riªng gi¸o viªn cÇn gióp cho häc sinh cã mét thãi quen ph©n tÝch, tù m×nh t×m ra kiÕn thøc vµ ph¬ng ph¸p. H¬n thÕ, víi ®èi tîng HSG cÇn tËp dît cho c¸c em cã thãi quen s¸ng t¹o. Víi viÖc ¸p dông ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y nh trªn, t«i nhËn thÊy häc sinh bíc ®Çu ®· cã nh÷ng chuyÓn biÕn tÝch cùc, häc sinh ®· cã høng thó h¬n trong häc tËp. §øng tríc mçi bµi to¸n khã c¸c em ®· biÕt c¸ch ph©n tÝch, tù m×nh t×m ra híng ®i thÝch hîp. Mét sè em kh«ng nh÷ng ®· gi¶i ®îc c¸c bµi to¸n mµ bíc ®Çu ®· cã nh÷ng s¸ng t¹o trong c¸ch gi¶i vµ ®Ò xuÊt ra nh÷ng bµi to¸n míi. §©y thùc sù lµ nh÷ng phÈm chÊt hÕt søc cÇn thiÕt cho viÖc ph¸t triÓn nh÷ng tµi n¨ng to¸n häc sau nµy. Sau mét n¨m thÓ nghiÖm ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y trªn. T«i thÊy ®a sè c¸c giê lªn líp c¸c em ®· tù gi¸c chñ ®éng tiÕp cËn kiÕn thøc. C¸c giê luyÖn tËp ®îc tiÕn hµnh hÕt søc nhÑ nhµng, gi¸o viªn thËt sù chØ lµ ngêi tæ chøc; TrÇn V¨n Hng-THCS Th©n Nh©n Trung-Email: [email protected] 14 SKKN: Khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n ®¹i sè líp 8 häc sinh ®îc ph¸t huy hÕt kh¶ n¨ng s¸ng t¹o cña m×nh. Tõ chç cßn nhiÒu em ng¹i häc to¸n ®Õn nay 100% häc sinh ®· tù tin hµo høng trong häc tËp. KÕt qu¶ cuèi n¨m vÒ bé m«n còng t¨ng lªn râ rÖt. Cô thÓ ®èi víi m«n to¸n cña líp 8A1 - líp mµ t«i trùc tiÕp gi¶ng d¹y - Cã 90% giái; 10% kh¸; kh«ng cã häc sinh xÕp lo¹i trung b×nh. Trong kú thi HSG cÊp huyÖn võa qua cã 20 häc sinh dù thi ®· ®¹t gi¶i tõ c«ng nhËn HSG trë lªn, ®©y thùc sù lµ nguån cæ vò ®éng viªn rÊt lín thÇy vµ trß trong qu¸ tr×nh häc tËp. Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc chñ ®éng cña häc sinh, ®©y lµ mét yªu cÇu träng t©m cña viÖc ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc. ViÖc thùc hiÖn båi dìng ph¬ng ph¸p t×m tßi, khai th¸c, ph¸t triÓn lêi gi¶i bµi to¸n cho häc sinh trªn ®©y còng lµ nh»m gióp häc sinh cã mét ph¬ng ph¸p häc tËp chñ ®éng, tÝch cùc vµ s¸ng t¹o. §iÒu mµ sau nµy rÊt cÇn thiÕt ®èi víi c¸c em, khi ®· trë thµnh nh÷ng con ngêi lao ®éng trªn mäi lÜnh vùc ®Ó x©y dùng ®Êt níc. MÆc dÇu rÊt cè g¾ng song do quü thêi gian cã h¹n, n¨ng lùc cßn h¹n chÕ ch¾c ch¾n nh÷ng vÊn ®Ò mµ t«i võa tr×nh bµy ë trªn cha h¼n lµ tèi u nhÊt vµ kh«ng thÓ tr¸nh khái sai sãt. Mét lÇn n÷a rÊt mong nhËn ®îc nhiÒu ý kiÕn ®ãng gãp cña c¸c thÇy c« gi¸o- Nh÷ng ngêi ®i tríc vµ b¹n bÌ ®ång nghiÖp. T«i xin ®îc ch©n thµnh c¸m ¬n tríc. BÝch §éng, th¸ng 5 - 2007 TrÇn V¨n Hng-THCS Th©n Nh©n Trung-Email: [email protected] 15