Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Skkn hướng phát triển tư duy qua bài toán hình học...

Tài liệu Skkn hướng phát triển tư duy qua bài toán hình học

.DOC
17
90
114

Mô tả:

Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm phÇn I : ®Æt vÊn ®Ò K hi gi¶i hoµn thµnh mét bµi to¸n nãi chung vµ mét bµi to¸n h×nh nãi riªng. C¸c em häc sinh thêng tháa m·n nh÷ng g× ®· lµm ®îc. RÊt Ýt em cßn tr¨n trë suy nghÜ tiÕp nh : a, Cßn cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch nµo n÷a kh«ng ? Cßn cã thÓ tr×nh bÇy ng¾n gän h¬n n÷a kh«ng ? b, Còng gi¶ thiÕt Êy th× cßn kÕt luËn ( Chøng minh) ®îc nh÷ng g× n÷a. c, Vµ cuèi cïng nÕu thay ®æi mét hay vµi ®iÒu kiÖn cña gi¶ thiÕt. Th× kÕt luËn míi thu ®îc cã g× ®Æc biÖt . Râ rµng nÕu tù gi¸c lµm ®îc nh÷ng c«ng viÖc Êy sau khi gi¶i mét bµi to¸n h×nh th× v« cïng cã ý nghÜa. Nã t¹o ra cho c¸c em mét thãi quen tèt sau khi gi¶i quyÕt xong mét c«ng viÖc nh»m ®¸nh gi¸ nhËn xÐt ®óng møc, nh÷ng g× ®· lµm, nh÷ng g× cha lµm ®îc. §Ó tõ ®ã rót ra bµi häc bæ Ých cho chÝnh m×nh. ThiÕt nghÜ ®ã còng lµ mét c¸ch häc, c¸ch hiÓu bµi thªm s©u s¾c h¬n, c¸ch häc cã tÝnh chñ ®éng vµ s¸ng t¹o h¬n. Tuy nhiªn trong thùc tÕ ®a sè häc sinh cha cã thãi quen lµm nh vËy, mµ nÕu cã còng chØ lµ h×nh thøc mµ th«i. Do vËy lµ ngêi gi¸o viªn d¹y to¸n cÇn ph¶i híng dÉn cho häc sinh thêng xuyªn thùc hiÖn c«ng viÖc nµy, ®Æc biÖt lµ c¸c em cã n¨ng lùc vÒ bé m«n. Tõ suy nghÜ Êy t«i ®· tr¨n trë vµ m¹nh d¹n ®a ra mét híng: ‘Ph¸t triÓn bµi to¸n h×nh”. Nh»m gióp c¸c em t¹o ra mét thãi quen tèt sau khi gi¶i mét bµi to¸n , ®ång thêi gióp c¸c em yªu thÝch bé m«n to¸n cã thªm ®iÒu kiÖn ®Ó ph¸t triÓn thªm vÒ n¨ng lùc t duy ... Cïng ®ång nghiÖp tham kh¶o trong c¸ch tù "ThiÕt kÕ" ra nh÷ng bµi tËp míi tõ nh÷ng bµi tËp ®· biÕt. 1 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm phÇn II : néi dung I/ C¬ së lý luËn Chóng ta ®· biÕt: Trong ch¬ng tr×nh to¸n 7 bé m«n h×nh häc, c¸c em ®· ®îc lµm quen víi mét ®Þnh lý vÒ tÝnh chÊt ba ®êng trung tuyÕn trong tam gi¸c. §Þnh lý: Trong mét tam gi¸c ba ®êng trung tuyÕn cïng ®i qua mét ®iÓm, kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm Êy ®Õn mçi ®Ønh cã ®é dµi b»ng 2/3 ®é dµi trung tuyÕn kÎ tõ ®Ønh ®ã . VÒ phÇn chøng minh ®Þnh lÝ SGK - HH7 ®· chøng minh cô thÓ. Tuy nhiªn t«i còng m¹nh d¹n ®a ra mét c¸ch chøng minh kh¸c, trªn c¬ së ®ã ta cßn suy xÐt tiÕp bµi to¸n: Chøng minh: A C1 B G B1 A1. C Gi¶ sö ta gäi AA1 , BB1, CC1 . Lµ c¸c trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC. ( A1, B1, C1 lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB ). Ta ph¶i chøng minh AA1 , BB1, CC1 cung ®i qua mét ®iÓm. ThËt vËy : Gäi AA1 c¾t BB1 t¹i G. (Ta kÝ hiÖu S lµ diÖn tÝch SABC : ®äc lµ diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC ). Ta lu«n cã: SABC 1= SACA1 ( Hai tam gi¸c cã chung ®êng cao h¹ tõ A vµ ®¸y BA1 = CA1 nªn diÖn tÝch cña chóng b»ng nhau). Tõ chøng minh nµy ta cã kÕt luËn: “Trong mét tam gi¸c ®êng trung tuyÕn chia tam gi¸c ®ã thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau vµ b»ng 1 2 diÖn tÝch tam gi¸c Êy”(*) Tõ kÕt luËn (*) ta suy ra: SAC A1= SBC B1 (= 1 SABC ) 2 2 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm Nhng: S ACA1= SGAB1 + S GA1C B1 S BC B1= SGBA1 + S G A1C B1 VËy : S GAB1 = SGBA1 ( 1 ) L¹i ¸p dông kÕt luËn (*) th× : SGAB1 = SGC B1 ( = SGBA1 = SGC A1 ( = 1 S GAC ) 2 1 S GBC ) 2 (2) Tõ (1), (2) Suy ra : S GAB1 = S GC B1 =S GC A1 ThÕ th× : S GAC = 2 . SACA1 3 Nhng l¹i cã  GAC,  ACA1 cã chung ®é dµi ®êng cao h¹ tõ C, gäi lµ h ch¼ng h¹n. VËy ta cã : 1 2 GA . h = 1 2 AA1 .h Suy ra: T¬ng tù chøng minh trªnta còng AG 2  (3) AA1 3 BG 2  cã : BB1 3 B©y giê ta gi¶ sö AA1 c¾t CC1 t¹i G' . Chøng minh t¬ng nh vËy tù ta còng cã : AG ' 2  AA1 3 (4) Tõ (3) vµ (4) . Suy ra AG' = AG v× ABC x¸c ®Þnh nªn G' trïng víi G. Chøng tá r»ng : Ba ®êng trung tuyÕn cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm, kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm ®ã ®Õn mçi ®Ønh b»ng 2 ®é dµi trung 3 tuyÕn kÎ tõ ®Ønh ®ã. ( Giao ®iÓm ®ã gäi lµ träng t©m cña tam gi¸c) ( Chó ý: C¸ch gi¶i trªn hoµn toµn phï hîp víi häc sinh líp 7. Bëi ë bËc tiÓu häc c¸c em ®· häc c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch cña mét sè h×nh trong ®ã cã Tam gi¸c). NÕu ta dõng l¹i ë ®©y th× ch¼ng nãi lµm g×. §iÒu ®ã còng cã thÓ ®îc bëi bµi tËp ®· gi¶i quyÕt xong. Tuy nhiªn ®· tr×nh bµy ë trªn, viÖc híng dÉn cho häc sinh cÇn ph¶i cã mét thêi gian phï hîp ®ñ ®Ó nh×n nhËn, ®¸nh gi¸ nh÷ng c¸i ®· lµm ®îc, cha lµm ®îc, ë c¸c gãc ®é kh¸c ch¼ng h¹n: Bµi to¸n cßn cã thÓ gi¶i quyÕt theo híng nµo hay h¬n kh«ng ? Bµi to¸n nµy nÕu gi÷ nguyªn gi¶ thiÕt Êy th× cßn kÕt luËn thªm ®îc g× n÷a? Bµi to¸n nµy nÕu ®Æc biÖt hãa gi¶ thiÕt (vµ ngîc l¹i tæng qu¸t hãa gi¶ thiÕt) mét sè ®iÒu kiÖn ( nÕu ®îc) th× thu ®îc nh÷ng kÕt luËn míi nµo? ... 3 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm Riªng hai vÊn ®Ò trªn t«i chØ nªu ra cã tÝnh chÊt lµm vÝ dô dµnh cho b¹n ®äc. Cßn néi dung chñ yÕu cña Kinh nghiÖm nµy t«i suy nghÜ vµ ®a ra mét híng “ Ph¸t triÓn “. §ã lµ néi dung híng thø ba II. Néi dung biÖn ph¸p Quay l¹i bµi to¸n ta ®· chøng minh ®îc: Trong Tam gi¸c ABC c¸c trung tuyÕn AA1,,BB1 , CC1 cïng ®i qua mét ®iÓm G vµ: Nh vËy th×: GA GB GC 2    AA1 BB1 CC1 3 GA GB GC 2    AA1 BB1 CC1 3 GA1 GB1 GC1 1 1 1      1 AA1 BB1 CC1 3 3 3 Do ®ã: (5) Ph¸t triÓn I: Tõ bµi to¸n suy xÐt thªm ta thÊy: Tuy Tam gi¸c ABC lµ bÊt kú nhng AA1,,BB1 , CC1 Lµ ba trung tuyÕn cña Tam gi¸c - Lµ ba ®êng ®Æc biÖt, nªn G cã tÝnh chÊt ®Æc biÖt nh vËy nghÜa lµ do ®ã mµ ta cã ®¼ng thøc ( 5). B©y giê chuyÓn sù ®Æc biÖt hãa thµnh kh¸i qu¸t r»ng: Gi¶ sö c¸c ®êng AA1,,BB1 , CC1 lµ bÊt kú cña Tam gi¸c ABC vµ cïng ®i qua mét ®iÓm K bÊt kú n»m trong trong  ABC. §¼ng thøc (5) cã g× thay ®æi theo . ThËt vËy: Cho K lµ mét ®iÓm bÊt kú cña  ABC ( K n»m trong  ABC). Gäi AK, BK, CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB ë A1,,B1 , C1. A B1 C1 B H H1 C A1 Ta gäi S lµ diÖn tÝch  ABC, S1 lµ diÖn tÝch Tam gi¸c KBC ,S2 lµ dt  KCA ,S3 lµ dt  KAB vµ ha ,hb ,hc lµ ®é dµi ®êng cao cña  ABC øng víi c¹nh :BC, CA , AB gäi h1, h2, h3 lÇnlît lµ ®é dµi ®êng cao cña  KBC,  KCA ,  KAB h¹ tõ K ta cã: S= 1 2 BC.ha = 1 2 CA. hb = 1 2 AB.hc (6) 4 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm S1 = 1 2 BC.h1 , S2 = 1 CA.h2 , S3= Tõ (6) vµ (7) ta cã 2 S1 h1  S ha 1 AB.h3 (7) . 2 S h S 2 h2  ; 3  3. S hb S hc ; TiÕp tôc kÎ AH vu«ng gãc víi BC t¹i H , KH1 vu«ng gãc víi BC t¹i H1 . Suy ra trong  AHA1 cã AH // KH1 ( cïng v«ng vãi gãc BC). KH 1 KA1  AH AA1 KA1 h  1 AA1 ha VËy ta cã : Do ®ã: hay ( Do ta gäi ha lµ ®é dµi ®êng cao cña  ABC øng víi c¹nh BC h1lµ ®é dµi ®êng cao cña  KBC h¹ tõ K ). Do ®ã KB1 S 2  BB1 S T¬ng tù ta còng cã: Tõ ®ã suy ra: , KA1 S1  AA1 S . KC1 S 3  CC1 S KA1 KB1 KC1 S1 S 2 S 3 S1  S 2  S 3       AA1 BB1 CC1 S S S S . Nhng S1 +S2 + S3 = SKBC + SKcA +SKAB = SABC = S. VËy S1 + S2 + S3 S = =1 S S Chøng tá r»ng : KA1 KB1 KC1 S    1 AA1 BB1 CC1 S So s¸nh (5) vµ (5.1) ta thÊy r»ng chØ cÇn ®iÒu kiÖn ba ®êng th¼ng bÊt kú ®i qua ba ®Ønh cña tam gi¸c vµ ®ång qui t¹i mét ®iÓm (*) th× ®¼ng thøc ( 5) vÉn ®óng. Nhng râ rµng gi¶i ®îc bµi to¸n nµy møc ®é ®ßi hái sù hiÓu biÕt cña häc sinh ph¶i cao h¬n nhiÒu tõ ®ã ta cã bµi to¸n míi: Bµi to¸n I : Cho K lµ mét ®iÓm bÊt kú trong  ABC gäi AK, BK, CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1, B1, C1 .Chøng minh r»ng: KA1 KB1 KC1 S    1 AA1 BB1 CC1 S TiÕp tôc kh«ng dõng l¹i ë ®©y, ta l¹i suy xÐt thªm bµi to¸n t¬ng tù nh trªn tõ bµi to¸n ban ®Çu ta ®· më réng thªm bµi to¸n ®ã lµ bµi to¸n 1. B©y giê còng tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n ban ®Çu ta cã: AA1 GA1 = BB1 GB1 = CC1 GC1 =3 5 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm ThÕ th× ta cã mét híng ph¸t triÓn kh¸c. Ph¸t triÓn II : Tõ nhËn xÐt trªn ta suy ra. AA1 BB1 CC1 3 3 3      9 GA1 GB1 GC1 1 1 1 (8). Së dÜ cã ®¼ng thøc (8) lµ do G lµ mét ®iÓm ®Æc - träng t©m cña Tam gi¸c. VËy vÊn ®Ò ®Æt ra r»ng nÕu thay sù ®Æc biÖt cña vÞ trÝ ®iÓm G thµnh khai qu¸t thµnh ®iÓm K bÊt kú trong Tam gi¸c. Th× ®¼ng thøc (8) cã cßn ®óng kh«ng, hay ta sÏ thu ®îc ®iÒu g× míi (*). ChØ xÐt ®iÓm ®ång quy ë trong Tam gi¸c ... ThËt vËy : ta còng gäi K lµ mét ®iÓm bÊt kú trong  ABC gäi AK, BK, CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1, B1, C1.Theo ph¸t triÓn I ta cã: KA1 S1  AA1 S KB1 S 2  BB1 S , AA1 BB1 CC1 S S S      KA1 KB1 KC1 S1 S 2 S 3 KC1 S 3  CC1 S , .VËy suy ra: . §Ó cho bµi to¸n khã thªm mét chót , ta sÏ t¹o tiÕp ra c¸c nót kiÕn thøc ch¼ng h¹n: Do: S = S1 + S2 + S3 ( Trong ph¸t triÓn 1 ) Nªn : S S  S3 S S S1  S 2  S 3  1  2 =1+ 2  3 S1 S1 S1 S1 S 1 S S S S S S 1  1  3 , 1  1  2 . S2 S2 S2 S3 S3 S3 Do ®ã: S + S1 S S2 + S = 3+ S3 S2 S1 + S1 S2 + , t¬ng tù : S3 S1 S1 + S3 + S2 S3 S3 + S2 Nhng ta chó ý r»ng do K n»m trong  ABC nªn diÖn tÝch c¸c  KBC,  KCA,  KAB ®Òu lµ c¸c sè d¬ng. MÆt kh¸c trong ®¹i sè ta lu«n cã: (a-b)2  0  a, b  a2 + b2  2ab  a, b a b  b  a  2  a, b > 0 (*) dÊu " = " x¶y ra khi a= b. ¸p dông (*) vµo trªn ta cã: 3+ S1 S 2  S 2 S1 + S2 S3  S3 S 2 + S 3 S1  S1 S 3  3+2+2+2 =9 DÔ thÊy dÊu “=” xÈy ra khi S1 = S2 = S3 ®iÒu nµy cã ®îc khi K trïng G Do ®ã: AA1 BB1 CC1   KA1 KB1 KC1  9 (8.1) So s¸nh (8) vµ (8.1) Ta thÊy (8) chØ lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt cña (8.1). Tõ ®ã ta cã bµi to¸n míi. Bµi to¸n II : Chøng minh r»ng: 6 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm NÕu K lµ mét ®iÓm bÊt kú trong  ABC vµ AK, BK,CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1 ,B1, C1 th× lu«n cã: AA1 BB1 CC1   KA1 KB1 KC1  9. Suy xÐt tiÕp tôc bµi to¸n ban ®Çu do cã : GA GB GC   =2 . AA1 BB1 CC1 3 GA GB GC   Suy ra: GA1 GB1 GC1 GA GB GC VËy : + + GA1 GB1 GC1 =2 . = 2 + 2+ 2 = 6 (9) Ph¸t triÓn III : Tõ ®¼ng thøc (9) vÊn ®Ò ®Æt ra lµ nÕu kh«ng h¹n chÕ G mµ thay G ( Träng t©m) bëi mét ®iÓm K bÊt kú trong Tam gi¸c, kÕt qu¶ thu ®îc cã g× ®Æc biÖt so víi (9). ThËt vËy trong ph¸t triÓn II ta cã: B1 B 9 Lîi dông bÊt ®¼ng thøc nµy ta suy xÐt tiÕp. DÔ thÊy muèn cã KA th× ta lÊy hiÖu AA1 vµ KA1. Tõ ®ã ta bít mçi vÕ cña bÊt ®¼ng thøc trªn ®i 3 ®¬n vÞ ta ®îc: A C1 AA1 BB1 CC1   KA1 KB1 KC1 C A1 AA1 BB CC1 - 1+ 1 - 1+ - 1 9 -3 KA1 KB1 KC1 AA1  KA1 BB1  KB1 CC1  KC1  + KB + KC KA1 1 1 KA KB KC 1 1 1 6.  KA + KB + KC  6 (9.1) So s¸nh (9) vµ (9.1) ta thÊy râ rµng (9) chØ lµ trêng hîp ®Æc biÖt cña (9.1) mµ th«. Nh thÕ ta cã bµi to¸n tæng qu¸t h¬n bµi to¸n míi: Bµi to¸n III : Cho K lµ mét ®iÓm bÊt kú trong  ABC, gäi AK, BK,CK lÇn lît c¾t KA KB KC BC, CA, AB t¹i A1 ,B1, C1 .Chøng minh r»ng : + + 6. KA1 KB1 KC1 Cø tiÕp tôc suy xÐt tiÕp bµi to¸n vµ ph¸t triÓn tiÕp. Ph¸t triÓn IV : Trong ba× to¸n ban ®Çu ta cã : GA AA1 = GB BB1 = GC CC1 =2. 3 7 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm ThÕ th× : GA1 = GB1 = GC1 = 1 . Suy ra 2 GA GB GC GA1 GB1 GC1 1 1 + + = + 2 2 GA GB GC + 1 = 3 . (10) 2 2 Cã ®îc ®¼ng thøc (10) lµ do G lµ träng t©m cña  ABC . B©y giê nÕu ta thay G bëi mét ®iÓm K bÊt kú trong  ABC th× tæng KA1 + KB1 + KA KC1 KC KB Cã g× ®Æc biÖt so víi (10) Ta suy xÐt tiÕp nh sau: v× KA1 AA1 = S1 (Trong ph¸t triÓn 1) S KA1 S KA1 S1 Suy ra: = 1  = AA1  KA1 S  S1 AA1 S  S1 Nhng S - S1 = S1 + S2 + S3 - S1 = S2 + S3 S1 VËy KA1 = S2  S3 KA S S T¬ng tù: KB1 = 2 , KC1 = 3 S1  S 2 KB S 3  S1 KC S S1 S Do ®ã: KA1 + KB1 + KC1 = + 2 + 3 S 2  S 3 S 3  S1 S 1  S 2 KA KB KC Ta tiÕp tôc ph¸t triÓn tiÕp bµi to¸n ®Ó bµi to¸n khã thªm, khi gi¶i quyÕt ®ßi hái ngêi lµm to¸n ph¶i hiÓu biÕt kiÕn thøc réng h¬n. Ch¼ng h¹n nh ta ®· chøng minh ®îc: a b  2 víi mäi a,b > 0 d©ó (=) khi a = b b a ThÕ th× : b  c c a  2 víi mäi a,b,c > 0 c b a c Nªn: b  c  a  c  a  b 6 víi mäi a,b,c > 0 a b c bc a c a b  a  1  b  1  c  1 6  3 a b c a b c a b c  a  b  c 9 .  1 1 1 (a+b+c)  a  b  c  9 (**) víi mäi a,b,c > 0   2 , dÊu (=) sÈy ra khi a = b = c. S S1 S S1 S + 2 + 3 = +1+ 2 S 2  S 3 S 3  S1 S 1  S 2 S2  S3 S 3  S1 S S S S S S S S S = 1 2 3+ 1 2 3+ 1 2 3 -3 S1  S 3 S 3  S1 S1  S 2 L¹i cã: 1 1 1     S 1  S 2 S 2  S 3 S 3  S1   = (S 1 +S 2 +S 3 )  +1+ S3 S1  S 2 +1-3 3 1 1 1     -3  S 1  S 2 S 2  S 3 S 3  S1  = 1  S1  S 2  S 2  S 3  S 3  S 1    2 Nhng do S1, S2 , S3 lµ c¸c sè d¬ng nªn theo (**) ta l¹i cã: 8 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm 1 1 1      S 1  S 2 S 2  S 3 S 3  S1   S1  S 2  S 2  S 3  S 3  S1   VËy :  1 1 1      S 1  S 2 S 2  S 3 S 3  S1  1  S1  S 2  S 2  S 3  S 3  S 1  2 9 3  1 2 .9 – 3 Hay: S1 S2  S3 + Nªn: KA1 KA S2 S 3  S1 + S3 1  S1  S 2 2 + KB1 + KC1  KB 3 2 KC 3 2 .9 - 3 = (10.1). Tõ (10) vµ (10.1) ta thÊy r»ng (10) chØ lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt cña (10.1) mµ th«i .§iÒu ®ã chÝnh lµ do G chØ lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt cña K. Tõ ®ã ta cã bµi to¸n míi: Bµi to¸n IV Chøng minh r»ng: NÕu K lµ mét ®iÓm bÊt kú trong  ABC vµ AK, BK,CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1 ,B1, C1 th×: KA1 KA + KB1 + KC1  KB KC 3 2 . Ph¸t triÓn V : Trong bµi to¸n ban ®Çu ta cã : GA AA1 AA1 GA = GB BB1 = GC CC1 = 2 .Suy ra: AA1 = BB1 = CC1 = 3 . Do ®ã : + BB1 + CC1 = GB GC 3 3 3 + 2 2 GA GB GC 2 + 3 = 9 (11). 2 2 Còng lý luËn nh trªn thay ®iÓm G ( §Æc biÖt ) bëi ®iÓm K (BÊt kú) trong  ABC th× kÕt qu¶ thu ®îc cã g× ®Æc biÖt h¬n (11) kh«ng ? ThËt vËy: Trong  ABC gäi K lµ ®iÓm bÊt kú, AK, BK, CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1,B1,C1 . Ta kÎ KD vu«ng gãc víi AH t¹i D, kÎ AH vu«ng gãc víi BC t¹i H, kÎ KH1 vu«ng gãc víi BC t¹i H1. Ta cã:  AHA1 ~  ADK(g.g) Do ®ã suy ra: A C1 AA1 KA = AH AD = ha ha - h1 B1 9 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm C A1 B VËy: AA1 KA = 1 * ha * BC S 2 = = S  S1 1 1 * ha * BC  * h1 * BC 2 2 AA1 ha ha - h1 Nhng S - S1 = S1 + S2 + S3 - S1 = S2 + S3 Nªn S S  S1 VËy : AA1 = = KA BB1 CC S S  , 1 KB S 3  S1 KC S1  S 2 AA1 KA AA1 KA = S S2  S3 S 2 + S3 .Do ®ã : S S S   S 1  S 2 S 2  S 3 S 3  S1 +  KC + CC1 KC = .T¬ng tù ta còng cã: + BB1 + CC1 = KB BB1 KB KA S V× S = S1 + S2 + S3 Nªn: 1 1 1     .  S1  S 2  S 3   S 1  S 2 S 2  S 3 S 3  S1  =  1 1 1       S 1  S 2 S 2  S 3 S 3  S1  1  S1  S 2  S 2  S 3  S 3  S1  2 ( Theo ph¸t triÓn 4 )  9 2 VËy AA1  BB1  CC1  1 * 9 = 9 (11.1) KA KB KC 2 2 So s¸nh (11) vµ (11.1) ta thÊy râ rµng (11.1) bao hµm c¶ (11). Hay nãi c¸ch kh¸c bµi to¸n ban ®Çu chØ lµ mét trêng hîp cña bµi to¸n míi nµy mµ th«i. Ta cã bµi to¸n míi: Bµi to¸n V . Cho K lµ mét ®iÓm bÊt k× trong  ABC, gäi AK, BK,CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1 ,B1, C1 .Chøng minh r»ng: AA1 BB1 CC1 9    KA KB KC 2 Cø tiÕp tôc nh vËy ta ph¸t triÓn bµi to¸n tõ nh÷ng dÊu hiÖu cña bµi to¸n ban ®Çu V× r»ng: GA GB GC   2 GA1 GB1 GC1 ta l¹i suy xÐt tiÕp. Ph¸t triÓn VI: Tõ kÕt qu¶ trªn ta suy ra r»ng: GA GB GC * * 2 * 2 * 2 8 GA1 GB1 GC1 (12) B©y giê nÕu thay träng t©m G bëi mét ®iÓm K bÊt kú trong Tam gi¸c ABC. Th× kÕt qu¶ míi thu ®îc so víi ( 12 ) cã g× ®Æc biÖt (?). Tõ suy nghÜ ®ã ta l¹i biÕn ®æi tiÕp tôc. Do: KA1 S1  KA S 2  S 3 , KB1 KB = S2 S3 +S1 , ,, KC1 KC = S3 S1+ S2 ( theo ph¸t triÓn 4) 10 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm VËy: KA KB KC * * KA1 KB1 KC1 = S 2  S 3 S1  S 3 S 1  S 2 * * S1 S2 S3 Nhng v×: a2+b2 2 ab  a,b Suy ra : x + y  2 x.y  x,y  0 (**) ¸p dông : (**) ta cã S1+S2 2 S1 S 2 S1+S3 2 S1 S 3 S2+S3 2 S 2 S 3 Nªn: ( S1+S2 ) . (S2+S3) . (S1+S3)  8 . (S1.S2.S3)2 V× S1, S2 , S3 lµ c¸c sè d¬ng nªn ( S1+S2 ) . (S2+S3) .(S1+S3)  8 S1. S2 . S3 KA KB KC * * KA1 KB1 KC1 VËy Hay: 8 S1. S2 . S3 S1. S2 . S3  KA KB KC * * KA1 KB1 KC1 =8  8 (12.1) §èi chiÕu so s¸nh (12) vµ ( 12.1) ta thÊy (12) chØ lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt cña (12.1) mµ th«i. NghÜa bµi to¸n ban ®Çu lµ mét trêng hîp cña bµi to¸n míi nµy. Ta cã bµi to¸n míi : Bµi to¸n VI : Chøng minh r»ng: NÕu K lµ mét ®iÓm bÊt k× trong  ABC, gäi AK, BK,CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1 ,B1, C1 th×: KA KB KC * * 8 KA1 KB1 KC1 . Kh«ng dõng l¹i ë ®©y ta l¹i tiÕp tôc suy xÐt. Tõ ph¸t triÓn 1 ta ®· chøng minh ®îc: KA1 S1  AA1 S Suy ra : AA1 KA1 T¬ng tù ta cã: VËy th× AA1 KA1 . S S3 = = S S1 BB1 KB1 BB1 KB1 . = . S S2 , CC1 KC1 CC1 KC1 = S S1 = . S S3 S S2 . . S S3 . §Ó t¹o thªm møc khã cña bµi to¸n ta ph¸t triÓn tiÕp vÊn ®Ò nµy: Ph¸t triÓn VII: V× ta cã: S = S1 + S2+S3 Nªn: S S1 . S S2 . S 1  S 2  S 3 S 1  S 2  S 3 S1  S 2  S 3 * * S1 S2 S3  = 1   S 2 S 3  S 1 S 3   S 1 S 2    1     1    . S1 S1  S 2 S 2  S 3 S 3  11 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm Nhng ta lu«n cã: a2+b2  2ab (  a,b) b2+c2 2bc (  b,c) c2+a2 2ca (  c,a) Suy ra: a2+b2+c2 ab+bc+ca(  a,b,c) (***) dÊu (=) x¶y ra khi a=b=c. Do S1 , S2 , S3 d¬ng. Nªn ta h¹n chÕ ®iÒu kiÖn cho a,b,c d¬ng th× (***) vÉn ®óng Tõ (***) suy ra: a2+b2+c2-ab - bc - ca  0  a,b,c  (a+b+c)( a2+b2+c2-ab - bc - ca)  0 (  a,b,c > 0)  (a+b+c)( a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca- 3ab -3bc - 3ca)  0  (a+b+c)   a  b  c  2  3c(a  b)  3ab 0  (a+b+c)3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c) 0  (a+b+c)3-3(a+b).c.(a+b+c)-3ab(a+b)- 3abc  0    a  b   c  3 -3 (a+b).c.   a  b   c  - 3ab(a+b) -3abc  0  (a+b)3+c3 - 3ab(a+b) - 3abc  0  (a+b)3-3ab(a+b) + c3 -3abc  0  a3+b3+c3-3abc  0. VËy: a3+b3+c3  3abc(  a,b,c > 0)(**) ¸p dông (**) ta cã: 1+ S 2 S3  S1 S 1 = ( 3 1) 3  ( 3 S2 VËy: 1+ S3 T¬ng tù: 1+ 1+ + S S S2 3 S )  (3 3 ) 3 3 3 1.3 2 .3 3 S1 S1 S1 S1 S3 S1 3 3 =3 3 S2 S3 S1 2 . S2 S3 S1 2 S1 S 2 S1 S 2  3 3 2 S3 S3 S3 S1 S 3 S1 S 3  3 3 2 S2 S2 S2 Tõ ®ã ta suy ra r»ng: 12 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm  S 2 S 3  S 1 S 3   S 1 S 2  S S SS SS 1    1   1    3.3.3 3 2 3 1 3 12 2 =27 ( S1 S 2 S 3 )  S 1 S 1  S 2 S 2   S 3 S 3  §Õn ®©y, nhê c¸c phÐp biÕn ®æi ta ®· lµm cho mÊt hÕt c¸c dÊu hiÖu vÒ diÖn tÝch mµ chØ cßn ®¹i lîng sè, nghÜa lµ: AA1 KA1 . BB1 KB1 . CC1 27 KC1 §iÒu nµy nÕu ta ®Æc biÖt hãa ®iÓm K trïng víi träng t©m G cña Tam gi¸c ABC th× dÔ thÊy dÊu b»ng xÈy ra nghÜa lµ. AA1 . BB1 . CC1 =3.3.3 = 27 GA1 GB1 GC1 Râ rµng bµi to¸n ban ®Çu chØ lµ trêng hîp ®Æc biÖt cña bµi to¸n nµy. Ta cã bµi to¸n míi . Bµi to¸n VII : Cho K lµ mét ®iÓm bÊt k× n»m trong  ABC, gäi AK, BK,CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB ë A1 ,B1, C1 .Chøng minh r»ng: AA1 KA1 . BB1 KB1 . CC1 27. KC1 PhÇn III: KÕt luËn Cø tiÕp tôc nh vËy nÕu sau mçi mét bµi to¸n chóng ta híng dÉn cho häc sinh dµnh mét kho¶ng thêi gian nhÊt ®Þnh ®Ó suy xÐt bµi to¸n theo mét trong ba híng, mµ t«i ®· ®a ra. ThiÕt nghÜ ®ã còng lµ mét ph¬ng ph¸p häc to¸n vµ lµm to¸n rÊt bæ Ých vµ lý thó lµm ®îc ®iÒu ®ã víi häc sinh sÏ t¹o ra sù hiÓu bµi s©u h¬n cã nhiÒu ph¬ng ph¸p gi¶i h¬n vµ ®¬ng nhiªn sÏ t×m ®îc ph¬ng ph¸p hay nhÊt. Víi ngêi d¹y ngoµi viÖc t×m ra nhiÒu lêi gi¶i cña bµi to¸n cßn t¹o ra c¸ch thiÕt kÕ mét lo¹t c¸c bµi to¸n cã cïng d¹ng víi bµi to¸n ban ®Çu. Trong qu¸ tr×nh båi dìng häc sinh giái khèi 8 - 9 t«i ®· ®a ra ®Ó thùc nghiÖm. Ban ®Çu c¸c em cßn bì ngì, sau ®ã tá ra thÝch thó, say mª. §Æc biÖt lµ hai híng ®Çu c¸c em tá ra hiÓu vµ say mª t×m nhiÒu ph¬ng ph¸p gi¶i tõ ®ã chän ®îc ph¬ng ph¸p hay. Cßn ph¬ng ph¸p nµy mét sè ®· biÕt tù thiÕt kÕ ra bµi to¸n míi. T«i nghÜ ®ã còng chØ lµ thµnh c«ng bíc ®Çu vµ hÕt søc nhá bÐ. Do ®Æc ®iÓm cña néi dung kiÕn thøc. Kinh nghiÖm nµy t«i chØ ®a ra ®Ó ¸p dông cho c¸c em khèi líp 8 - 9 nªn mét sè kiÕn thøc vÒ bÊt ®¼ng thøc chØ phï hîp víi c¸c em ®· häc qua líp 8 vµ ®ang häc líp 9. 13 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm Bµi to¸n ban ®Çu b»ng sù suy xÐt nh vËy ta cã thÓ khai th¸c ®îc nhiÒu ®iÒu bæ Ých. Sau ®©y xin giíi thiÖu hai bÊt ®¼ng thøc còng ®îc ph¸t triÓn tõ bµi to¸n ®ã. §Ò nghÞ c¸c b¹n cïng tham gia. 1/ AA1 * BB1 * CC1  27 KA KB KC 8 KA  KB  KC 2 2/ KA1  KB1  KC1 Trªn ®©y chØ lµ kinh nghiÖm cña c¸ nh©n nªn kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng h¹n chÕ .T«i rÊt mong ®îc sù ®¸nh gi¸ gãp ý cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp vµ Héi ®ång khoa häc c¸c cÊp ®Ó kinh nghiÖm ngµy cµng ®îc hoµn thiÖn h¬n. Tµi liÖu tham kh¶o 1/ BÊt ®¼ng thøc: NguyÔn Vò Thanh 2/ C¸c chuyªn ®Ò m«n to¸n: Tr¬ng C«ng Thµnh NguyÔn H÷u Th¶o 14 Kinh NghiÖm Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Môc lôc PhÇn1: §Æt vÊn ®Ò 1 PhÇn2: Néi dung 2 I. C¬ së lý luËn 2 II Néi dung biÖn ph¸p 4 PhÇn 3: KÕt luËn 15 .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. 15 Kinh NghiÖm Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. 16 Kinh NghiÖm Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học 17
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan