Tài liệu Skkn hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giải bài toán cực trị số phức

MỤC LỤC Trang 1. MỞ ĐẦU............................................................................................................................................2 1.1. Lí do chọn đề tài.........................................................................................................................2 1.2. Mục đích nghiên cứu................................................................................................................2 1.3. Đối tượng nghiên cứu..............................................................................................................2 1.4. Phương pháp nghiên cứu.......................................................................................................2 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.............................................................4 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.....................................................................4 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.........................7 2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề............................................................................................................................................8 2.3.1. Nội dung hướng dẫn học sinh.........................................................................................8 2.3.2. Bài tập củng cố.....................................................................................................................19 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường....................................................................................20 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ..................................................................................................21 3.1. Kết luận.........................................................................................................................................21 3.2. Kiến nghị......................................................................................................................................21 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................................22 1 1. MỞ ĐẦU 1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bài toán tìm cực trị số phức là một câu hỏi thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia trong những năm gần đây. Trong chương trình Toán THPT Số Phức được đưa vào học ở lớp 12. Kiến thức số phức hoàn toàn mới đối với học sinh, nhưng kiến thức số phức liên hệ chặt chẽ với kiến thức tọa độ trong mặt phẳng. Ngày nay với việc thi THPT Quốc Gia là thi trắc nghiệm học sinh cần phải nhanh chóng tìm ra cách chọn đáp án chính xác trong khoảng thời gian ngắn nhất. Do đó học sinh không chỉ giải được bài toán mà còn lựa chọn được phương án giải nhanh và chính xác nhất có thể. Nên học sinh cần được rèn luyện nhìn nhận bài toán theo các khía cạnh khác nhau qua đó tìm ra nhiều phương pháp giải khác nhau để từ đó lựa chọn được phương án tối ưu nhất. Trong quá trình giảng dạy, ngoài việc áp dụng các cách làm, cách tư duy quen thuộc, tôi nhận thấy sự cần thiết phải hướng dẫn để học sinh nắm được phương pháp sử dụng kiến thức tọa độ phẳng để giải quyết một số bài toán cực trị số phức. Bởi ngoài việc bổ sung, hoàn thiện thêm các phương pháp giải bài toán cực trị số phức thì việc sử dụng phương pháp tọa độ giúp cho học sinh có được cách nhìn bài toán hết sức trực quan và nhanh chóng tìm ra kết quả mà các cách làm khác không có được. Trong quá trình ôn thi THPT Quốc Gia cho học sinh lớp 12, tôi đã có Sáng kiến kinh nghiệm trong giảng dạy là: “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giải bài toán cực trị số phức”. 1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Sáng kiến kinh nghiệm này hướng tới giải quyết một số vấn đề sau đối với học sinh lớp 12: - Bổ sung, hoàn thiện phương pháp giải bài toán cực trị số phức thông qua việc sử dụng phương pháp tọa độ. - Rèn luyện kỹ năng vận dụng phương pháp giải trên thông qua hệ thống bài tập có hướng dẫn ở lớp và bài tập tự rèn luyện ở nhà. Sáng kiến kinh nghiệm này cũng nhằm trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp và là một tài liệu tham khảo đối với học sinh để góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học toán ở trường THPT Như Xuân nói riêng và các trường THPT nói chung. 1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Một số bài toán về cực trị số phức trong chương trình Giải tích lớp 12. Hướng dẫn học sinh lớp 12 thực hiện giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. 1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2 Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những đặc trưng từ đó hướng dẫn học sinh thực hiện phương pháp giải. Thực nghiệm sư phạm: Để thực hiện Sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng hai lớp 12 ở trường THPT Như Xuân. Đây là hai lớp tương đương nhau về học lực môn toán và tất cả học sinh đều có học lực khá, giỏi về môn toán. Trong đó, lớp 12B4 là lớp chưa áp dụng sáng kiến (lớp đối chứng), lớp 12B3 là lớp áp dụng sáng kiến (lớp thực nghiệm). Thời gian thực hiện sáng kiến kinh nghiệm từ tháng 4/2020 đến tháng 5/2020. Sau đây là nội dung cụ thể của Sáng kiến kinh nghiệm này. 3 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Biểu diễn hình học số phức: Điểm M a ; b trog hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z a bi [3] Chú ý: Cho z1 x1 y1i x1 , y1 có điểm biểu diễn P x1 ; y1 x2 y 2 i x2 , y2có điểm biểu diễn Q x2 ; y2 z2 Khi đó z1 z 2 PQ Các bài toán hình học phẳng quen thuộc: Bài toán 1: Cho đường thẳng d cố định và điểm A cố định. Điểm M di động trên đường thẳng d . Hãy xác định vị trí điểm M sao cho đoạn AM nhỏ nhấất. A Kết quả: AM min AH d A; d khi M H d M H Bài toán 2: Cho đường tròn (T) cố định có tâm I, bán kính R và điểm A cố định. Điểm M di động trên đường tròn (T). Hãy xác định vị trí điểm M sao cho đoạn thẳng AM lớn nhất, nhỏ nhất. M Kết quả: TH1: A nằm trên (T) A I B AMmin 0 khi M A AM ma x 2R khi M B TH2: A nằm ngoài (T) AM min IA R khi M C AM ma x IA R khi M B M A C B M TH3: A nằm trong (T) AM min R IA khi M C AM ma x R IA khi M B I CA I B 4 Bài toán 3: Cho hai đường tròn T1 có tâm I1 , bán kính R1 ,đường tròn T2 có tâm I2 , bán kính R2 . Hãy xác định vị trí M trên T1 và N trên T2 sao cho đoạn MN lớn nhất, nhỏ nhất. Kết quả: TH1: I1I2 R1 R2 khi M B; N C MN min I1 I 2 R1 R2 MN ma x I1 I 2 R1 R2 khi M A; N D TH2: I1I2 N M A B I1 C D I2 M R1 R2 N MN min R1 R2 I1 I2 khi M B; N D MN ma x I1 I 2 R1 R2 khi M A; N D A I1 B I2D C N TH3: I1I2 R1 R 2 MNmin 0 khi M N B MN ma x I1 I 2 R1 R2 khi M M A A; N C I1 B I2 C M TH4: I1I2 R1 R 2 MNmin 0 khi M N B MN ma x I1 I 2 R1 R2 khi M N A I1 C A; N B B I2 N TH5: R1 R2 I1I2 R1 R2 MN 0 khi M N E hoặc M N F min MN ma x I1 I 2 R1 R2 khi M A; N B M E A I1 B F I2 5 Bài toán 4: Cho đường tròn (T) cố định có tâm I, bán kính R và đường thẳng d cố định. Hãy xác định vị trí điểm M trên đường tròn (T) và điểm N trên đường thẳng d sao cho đoạn MN nhỏ nhất. M N Kết quả: I TH1: T và d không cắt nhau MN min B H d I ; d R khi M B; N H d H N d N d TH2: T và d tiếp xúc nhau MNmin I 0 khi M N H A TH3: T và d cắt nhau tại A và B MNmin M B I 0 khi M N A hoặc M N B M Bài toán 5: Cho đường elíp (E) có tiêu điểm F1 , F2 và điểm A cố định. Hãy xác định điểm M trên elíp (E) sao cho đoạn AM lớn nhất, nhỏ nhất. Kết quả: P M TH1: A I E AM max IE IF AM min IP IQ AI F1 F2 F Q TH2: A, E , F thẳng hàng và P A nằm ngoài đoạn EF AM max AE IA IE AM min AF IA IF E M I F1 F F2 A Q P TH3: A, E , F thẳng hàng và EF AM max AE IE IA M A nằm trên đoạn I E F1 A F2 F F2 F A Q P E F1 M I Q 6 TH4: A, P , Q thẳng hàng và A nằm trên đoạn PQ AM min AP IA IP Bài toán 6: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cố định. Hãy xác định vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho AM BM nhỏ nhất. Kết quả: A TH1: A, B khác phía so với d AM BM min AB khi M E M d E B A TH2: A, B cùng phía so với d AM BM min A ' B khi M E A’ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d B d M E A' Bài toán 7: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cố định. Hãy xác định vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho MA MB lớn nhất. A' Kết quả: TH1: A, B khác phía so với d AM BM ma x A ' B khi M E d B A’ là điểm đối xứng với A qua đường M E thẳng d TH2: A, B cùng phía so với d A A B AM BM ma x AB khi M E d M E 2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trong năm học 2019 – 2020, khi dạy cho học sinh lớp 12B4 nhưng chưa áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã hướng dẫn học sinh phương pháp sử dụng kiến thức tọa độ phẳng để giải bài toán cực trị số phức. Tuy nhiên, trong quá trình cho học sinh làm bài, tôi phát hiện ra học sinh thường vướng mắc một số vấn đề sau: - Nhận dạng bài toán sử dụng được phương pháp chưa nhanh nhạy. - Chưa nắm kỹ các điều kiện vận dụng phương pháp. - Chưa có thói quen tự nghiên cứu, kiểm tra lời giải. 7 - Chưa được làm nhiều dạng bài tập để rèn luyện kỹ năng. Từ thực trạng trên, khi dạy cho học sinh lớp 12B3, tôi đã khắc phục bằng cách: - Trang bị cho học sinh cơ sở lý thuyết đầy đủ và cụ thể thông qua các định lý và tính chất. - Trang bị cho học sinh nội dung phương pháp thông qua các ví dụ được chọn lọc cẩn thận, điển hình. - Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng thông qua hệ thống bài tập về nhà và sau đó có kiểm tra, hướng dẫn, sửa chữa. Sau đây là các biện pháp tiến hành cụ thể. 2.3. CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HOẶC CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.3.1. NỘI DUNG HƯỚNG DẪN HỌC SINH Để có thể hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa trong mặt phẳng giải bài toán cực trị số phức bản thân tôi tiến hành phân loại các dạng bài tập cực trị số phức có thể dùng phương pháp tọa độ, chỉ ra những đặc trưng của từng loại và hướng dẫn cụ thể cách dùng phương pháp tọa độ cho từng loại. Ví dụ 1. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 w z 2i 3có môđun nhỏ nhất A. w 1 3 i B. w 1 1i C. w 1 1 i 2 2 2 2 2 2 Giải: Gọi z x yi x, y có điểm biểu diễn M x; y d z 1 z i x 12 y2 x yi 1 z i . Tìm số phức D. w 1 2 3i 2 y x yi i x2 y 12 x y 0 O thẳng -2 Tập hợp các điểm M là đường d:x y 0 Gọi A 3; 2 ta có w z 2i 3 AM AM nhỏ nhất khi A H Phương trình đường thẳng AH : x M 3 x A H y 5 0 5 Tọa độ H là nghiệm hệ x y 0 5 0 xy x 5 y Ta có z 5 5 i w 1 1 2 2 i 2 2 2 2 Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của số phức thành bài toán hình học quen thuộc (Bài toán 1). 8 Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 4 . Gọi m và n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z i 2 . Tính giá trị của T m 2 n2 A. 50 B. 64 C. 68 D. 16 Giải: y Gọi z x yi x , y có điểm biểu diễn M M x; y z 1 2i 4x 1 2 y 22 Tập hợp các điểm T 16 M là đường tròn tâm 2 I O -1 1 I 1;2 bán kính R 4 -2 Gọi A 2; 1 ta có z i 2 AM AI 3 2 suy ra A nằm ngoài đường tròn T A x m AI R 3 2 4; n IA R 3 2 4 Tm2 n2 68 Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của số phức thành bài toán hình học quen thuộc (Bài toán 2). z 6 Ví dụ 3. Gọi z1 , z2 là các số phức thỏa mãn 8 z1 z 2 4 . Giá trị nhỏ nhất của z1 3z2 bằng: [4] A.5 21 B.20 4 21 C.20 4 22 Giải: y Gọi z x yi x, ycó điểm biểu diễn M x; y z 6 8 x yi 6 8 y xi z i 4 2 2 xy 8x 6 y 48 x y 2 6x 8y i z 6 8 là số thực suy ra x 2 y 2 D.5 22 P I H E zi Q 6x 8y 0 O Tập hợp các điểm M là đường tròn T I 3;4 bán kính R 5 Gọi z1 Gọi z2 là số thực và z i 3 x tâm x1 y1i x1 , y1có điểm biểu diễn P x1 ; y1 x2 y 2 i x2 , y2 có điểm biểu diễn Q x2 ; y2 z1 z 2 4 PQ4 Gọi E là điểm thỏa mãn EP x 3x ; y 3y 3EQ 0 suy ra E 1 2 4 2 1 4 9 Ta có HE 1;HI 21 suy ra IE 22 Tập hợp các điểm E là đường tròn T ' tâm I 3;4 x1 z1 3x2 2 y1 3y 2 2 1 y 3y 2 22 22 4OE 1 4 4OI R' min 2 x 3x 4 3z 2 bán kính R ' 4 20 4 22 z1 3z 2 4OEmin Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của số phức thành bài toán hình học quen thuộc (Bài toán 2). Ví dụ 4. Xét các số phức z a bi T z 2 2i 2 z 4 3i 5 . Tính a b khi lớn nhất. [4] A. 11 Giải: z a bi a , b Ma;b a , b thỏa mãn 2 z 4 i 2 3 z 2i 2 điều kiện đạt giá trị C. 13 B. 14 D. 12 y có z 4 3i 5a 4 2 điểm biểu b 32 M diễn F 3 25 Tập hợp các điểm M là đường tròn T I 4;3 bán kính R 5 Gọi A 2;2 ;B 4; 1 ;C 0; 2 tâm A -2 I 2 O 1 -1 E 4 x B -2 C T z 2 2i 2 2 z 4 i 2 3 z 2i 2 MA 2 Gọi E là điểm thỏa mãn EA 2EB 3EC T z 2 2i 2 2 z 4 i 2 3 z 2i 2 MA 2 2MB 2 3MC2 0 suy ra E 1; 1 2MB 2 3MC2 2 MA 2 6ME2 Ta có EI 2 2MB 3MC 2 ME EA 2 2 ME EB 2 3 ME EC EA2 2EB2 3EC2 6ME2 42 5 suy ra E nằm trên đường tròn T . Tmax a b MEmax ta có MEmax thì M F suy ra M 7;7 7 7 14 Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức và bài toán tâm tỉ cự ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị lớn nhất của số phức thành bài toán hình học quen thuộc (Bài toán 2). Ví dụ 5. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 i 1, số phức w thỏa mãn điều kiện w 2 3i 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z w . 10 A. 17 3 B.133 Giải: Gọi z x1 y1i x1 , y1có điểm M C. 13 3 D. 17 3 y biểu diễn x1 ; y1 z 1 i 1 x1 1 2 y1 1 1 2 1 Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I1 1;1 bán kính R1 1 Gọi w x2 N x2 ; y2 y 2i x2 , y2 I1 M O 1 2 N có điểm biểu diễn -3 x2 2 2 w 2 3i 2 y2 3 2 x I2 4 Tập hợp các điểm N là đường tròn tâm I2 2; 3 bán kính R2 2 w z MN MN II RR173 min 1 2 12 Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của số phức thành bài toán hình học quen thuộc (Bài toán 3). Ví dụ 6. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 3i 5 2 và iz 2 1 2i 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2iz1 3z2 . [4] A. 313 16 B. 313 C. 313 8 D. 313 2 5 y Giải: z1 3i 5 2 2iz1 6 10i 4 iz 2 1 2i 4 3 z 2 6 3i 12 3 I Gọi 2iz1 x1 y1i x1 , y1 có điểm biểu 2 diễn M x1 ; y1 -6 N x 62 2iz1 6 10i 4 1 Tập O y 10 2 16 1 hợp các điểm M là đường tròn 6 x M tâm -10 I1 I1 6; 10 bán kính R1 4 Gọi -3z2 x2 y 2 i x2 , y2 3 z 2 6 3i 12 x có điểm biểu diễn N x2 ; y2 62 32 y 144 2 2 Tập hợp các điểm N là đường tròn tâm I2 6;3 2iz1 3z 2 MN MN m ax II bán kính R2 12 RR31316 1 2 1 2 Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị lớn nhất của số phức thành bài toán hình học quen thuộc (Bài toán 3). 11 Ví dụ 7. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 5 5 , số phức w thỏa mãn điều kiện w 1 3i w 3 6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z w . 5 A. 10 B.3 10 D. 5 C. Giải: 2 4 y Gọi z x1 y1i x1 , y1 diễn M x1 ; y1 2 z 5 5x 5 1 có điểm biểu M N 2 y 25 1 d Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I 5;0 bán kính R 5 Gọi w x2 y 2 i x2 , y2có điểm biểu diễn N x2 ; y2 w 1 3i w 3 6i 8x2 I O x 6 y2 35 0 Tập hợp các điểm N là đường thẳng d : 8 x 6 y 35 0 I ;R 5 z w MN MN min d 2 Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của số phức thành bài toán hình học quen thuộc (Bài toán 4). Ví dụ 8. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2i z i . Tìm phần thực của số phức z biết z 1 2i z 4i đạt giá trị nhỏ nhất. 2 A. 5 B. 1 C. 6 Giải: Gọi z x yi x, y M x; y 6 [4] D. 3 3 4 y có điểm biểu diễn z 2i z i x yi 2i x yi i 2y 1 0 Tập hợp các điểm M là đường thẳng d:2y 1 0 Gọi A 1;2 ;B 0; 4 AB : 6 x y 4 0 d 2 1/2 A E O M 1 x -4 B A, B nằm khác phía so với đường thẳng d z 1 2i z 4i AM BM AM BM nhỏ nhất khi M E 12 2y 1 0 Tọa độ E là nghiệm hệ 6x y 4 0 Phần thực của số phức z là x x 3 4 1 y 2 3 4 Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của số phức thành bài toán hình học quen thuộc (Bài toán 6). Ví dụ 9. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 i z 2 3i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 2 i z 3 2i . [4] B. A. 13 61 17 Giải: Gọi z x yi M x; y z 1 i z 2 5 493 C. 10 251 17 x, y D. 71 17 3 y có điểm biểu diễn A' 3i2x 8y 11 0 Tập hợp các điểm M là đường thẳng d : 2x 8y 11 0 Gọi A 2;1 ; B 3; 2 suy ra A, B nằm H A E -2 O M 1 1 -2 3 d x B cùng một phía so với đường thẳng d Gọi A' là điểm đối xứng với z 1 i z 2 3i PAMBM 27 45 ; 17 17 BM nhỏ nhất khi M A qua d A' AM BM AM E A'B 5 493 min min 17 Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của số phức thành bài toán hình học quen thuộc (Bài toán 6). Ví dụ 10. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 5 i z 1 7i . Tìm giá trị lớn nhất của P z 4 i z 2 4i . A. 13 B.2 10 Giải: Gọi z x yi x , ycó điểm biểu diễn M z 5 i z 1 7i 2x 3y 6 C. 2 13 D. 5 x; y 0 13 Tập hợp các điểm M là đường thẳng d : 2x 3y 6 0 Gọi A 4;1 ;B 2;4 suy ra A, B nằm cùng một phía so với đường thẳng d y 4 d B M A 1 O P z 4 i z 2 4i AM BM AB Pmax AB 13 2 4 x Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị lớn nhất của số phức thành bài toán hình học quen thuộc (Bài toán 7). Ví dụ 11. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 z i . Biết rằng số phức z x yi x , y thỏa mãn z 3 i z 2 6i đạt giá trị lớn nhất. Giá trị biểu thức P x y . A. 0 B. 4 C. 8 Giải: z x yi x, y có điểm biểu diễn M x; y D. 2 y B 6 z 1 z i d M x y 0 Tập hợp các điểm M là đường thẳng d:x y 0 Gọi A 3;1 ;B 2;6 suy ra A, B nằm khác A' 1 O A 2 3 x phía so với đường thẳng d Gọi A' là điểm đối xứng với A qua d A' 1;3 Ta có A ' B :3x y 0 z 3 i z 2 6i AM của d và A ' B Tọa độ giao điểm của d và BM AM BM lớn nhất khi M là giao điểm x y 0 x 0 A ' B là nghiệm hệ 3x y 0 y 0 P x y 0 Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị lớn nhất của số phức thành bài toán hình học quen thuộc (Bài toán 7). Ví dụ 12. Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 i z1 1 i và z 2 1 z 2 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z1 z 2 z 1 3 z2 3 14 A. 4 3 B. 2 Giải: Gọi z1 x1 4 2 C.4 3 D. 4 2 3 y có điểm biểu y1i x1 , y1 diễn M x1 ; y1 z1 i z1 1 i 2x1 4 y1 1 0 d2 Tập hợp các điểm M là đường thẳng d1 : 2x 4 y 1 0 Gọi z2 x2 y 2 i x2 , y2 có điểm biểu diễn N x2 ; y2 z2 1 z2 2i2x2 O z2 x F d1 N A2 4 y2 3 0 z1 3 z2 E A Tập hợp các điểm M là đường thẳng d 2 : 2x 4 y 3 0 Gọi A 3;0 khi đó A1 là điểm đối xứng với A qua d1 , A2 6 ; 18 A qua d2 A1 2;2 và A2 5 5 P z1 M A1 là điểm đối xứng với 3 MN MA NA MN MA1 NA2 A1A2 Pmin A1 A2 4 2 Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của số phức thành bài toán hình học quen thuộc (Bài toán 6). Ví dụ 13. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 z 2i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 2i z 3 4i z 5 6i a b 17 với a , b là các số hữu tỉ. Giá trị của a b là: 2 A. 3 B. 2 C. 7 Giải Gọi z x yi x, ycó điểm biểu diễn M x; y z 2 z 2i được viết dưới dạng [4] D. 4 y d C B x y 0 Tập hợp các điểm M là đường d:x y 0 Gọi A 1;2 ;B 3;4 ;C 5;6 E M H O AB 2;2 ; AC 4;4 suy ra A,B,C thẳng hàng và B là trung điểm AC AB : x y 1 0 P z 1 2i z 3 4i z 5 6i A thẳng A1 x MA MB MC 15 Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua d ta có A1 ; C ; E thẳng hàng và E là trung AC MA MB MC MA MB MC AC BE điểm 1 1 Pmin A1C BE A1C d d ; AB 1 1 2 17 2 Vậy a 1; b 2 a b 3 Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của số phức thành bài toán hình học quen thuộc (Bài toán 6). Ví dụ 14. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 i P z 7 9i 2 z 8i đạt giá trị nhỏ nhất. [4] A. z 1 6i ; z 5 2i B. z 4 5i C. z 5 2i D. z 1 6i Giải: Gọi z x yi x, y có điểm biểu diễn 5 và biểu thức y A 8B 9 E M x; y z 1 i 5x 1 2 y 12 3 25 M Tập hợp các điểm M là đường tròn T tâm K 1 I 1;1 bán kính R 5 I O1 5/2 7x Gọi A 7;9 ;B 0;8 P z 7 9i IA 10 2IM 2 z 8i AM BM 5 IM IK 1 1 4 Do IA IM 2 và góc MIK chung, suy ra IKMIMA Goi K là điểm trên tia IA sao cho IK MK MA IM IA suy ra K ;3 2 IK 1 2 MA 2MK P z 7 9i 2 z 8i MA 2MB 2MK 2MB 2KB 5 5 Pmin khi M E với E là giao điểm của đoạn thẳng BK và đường tròn T Phương trình đường thẳng BK : 2x y 8 0 x 1 tm 2x y 8 0 y 6 Tọa độ E là nghiệm hệ 25 x 5 x 12 y 12 ktm y 2 Vậy z 1 6i 16 Nhận xét: Bằng cách sử dụng điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của số phức thành bài toán hình học quen thuộc. Ví dụ 15. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Giá trị lớn nhất của z 2 3i là: [4] A. 5 5 B.2 5 Giải: Gọi z x yi x, y có điểm M x; y Gọi A 1;1 ;B 1; 3 ;C 2;3 z 1 i z 1 3i 6 5 . C.6 5 D. 4 5 y biểu diễn 5 E 3 C 1 A -3-1O 1 2 3 x I -3 M B -7 F z 1 i z 1 3i 6 5 MA MB 6 5 AB 2 5 Tập hợp các điểm M là đường elíp có tiêu điểm A; B trục lớn EF AB 2; 4 ; AC 1;2 AB 2AC ta có C thuộc đoạn thẳng EF z 2 3i CM z 2 3i ma x CM ma x CF IF+IC 5 5 Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị lớn nhất của số phức thành bài toán hình học quen thuộc (Bài toán 5). Ví dụ 16. Cho số phức z trị nhỏ nhất của z 1+2i là: A. 17 B. 34 thỏa mãn điều kiện z 1 z 3 4i C.2 10 D. 34 2 Giải: Gọi z x yi 10 . Giá x, y y có điểm biểu diễn M x; y Gọi A 1;0 ;B 3;4 ;C 1;2 P E B z 1 z 3 4i 10 MA MB 10 4 AB 42 2 A -1 O1 F M C x 3 Q 17 Tập hợp các điểm M là đường elíp có tiêu điểm A; B , trục lớn EF , trục nhỏ PQ AB 4;4 ; AC 2;2 AB 2AC suy ra C là tâm elíp z 1+2i z 1+2i CM CM min CP CQ 17 min Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị hỏ nhất của số phức thành bài toán hình học quen thuộc (Bài toán 5). Ví z 2 3i dụ 17. z 5 2i nhất của z 1 2i A. 30 34 34 Giải: Gọi z x yi x, y M x; y Gọi A 2;3 ;B 5; 2 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 34 . Gọi m, n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ . Khi đó tổng m n là: [4] B. 30 5 C. 34 6 D. 30 6 34 34 y có điểm biểu diễn 3 ;C A M 1; 2 H -1 O C -2 2 5 x B z 2 3i z 5 2i 34 MA MB 34 AB 34 Tập hợp các điểm M là đoạn thẳng AB z 1+2i CM 30 n z 1+2i min CM min CH d C ; AB 34 m z 1+2i ma x CM ma x CB m n 30 6 6 34 Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của số phức thành bài toán hình học mà chúng ta có thể dễ dàng giải quyết dựa vào hình biểu diễn. Ví dụ 18. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z Tìm giá trị nhỏ nhất m của z 2 i z 1 i 13 . 2 i. 18 A. 1 Giải: B. 2 13 13 Gọi z x yi x, y M x; y Gọi A 2; 1 ;B C. có điểm biểu diễn C B 1;1 ;C y 1 2;1 z 2 i z 1 i 13 MA MB 13 AB 13 1 13 D. 13 13 M -2-1O 1 2 -1 x A Tập hợp các điểm M là đoạn thẳng AB z 2 i CM vậy m z +2 i min CM min CB 1 Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của số phức thành bài toán hình học mà chúng ta có thể dễ dàng giải quyết dựa vào hình biểu diễn. 2.3.2. BÀI TẬP CỦNG CỐ iz 3 z 2 i Bài 1. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện và z có giá trị nhỏ nhất. Tìm phần thực của số phức z . 1 2 2 1 A. 5 B. 5 C. 5 D. 5 Bài 2. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz 2i 1 1. Gọi M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 1 i . Tính M m . A. 2 B. 6 C. 1 5 D. 2 5 Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 3i 2 . Số phức z mà z 1 nhỏ nhất. A. z 1 3i B. z 1 i C. z 1 5i D. z 1 i Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3i 1 13 . Gọi M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 2 2 z 3i 2 . Tính M m . A. 10 B. 25 C. 34 Bài 5. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 i trị lớn nhất của z 2 3i . A. 4 5 B. 2 5 C. 6 5 D. 40 z 1 3i 6 5 . Tìm giá Bài 6. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 z 3 4i . nhất của z 1 2i A. 17 B. 34 C. 2 10 D. 5 5 10 . Tìm giá trị nhỏ D. 34 2 19 Bài 7. Cho số phức z a bi a , b thỏa mãn điều kiện biểu thức P 2 z 6 3i 3 z 1 5i A.2 25 B.4 25 A. 19 37 z 3 2i B. 37 19 6 và đạt giá trị nhỏ nhất. Tính a b . C.25 2 D.25 4 Bài 8. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z nhất của biểu thức P z 3 3i z . C.2 5 z z 2 z2 . Tìm giá trị nhỏ D.5 2 2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG Để đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm bản thân tôi tiến hành thực nghiệm trên các lớp dạy học cụ thể. Quá trình thực nghiệm được tiến hành tại lớp 12B3 và lớp đối chứng 12B4 hai lớp có trình độ tương đương nhau ở trường THPT Như Xuân. Đối với lớp đối chứng, giáo viên dạy như những giờ học bình thường. Việc dạy học thực nghiệm và đối chứng được tiến hành song song theo lịch trình giảng dạy của nhà trường. Việc thực nghiệm được thực hiện và sau đó tiến hành kiểm tra đánh giá kết quả. Kết quả kiểm tra: Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số bài Lớp Lớp 11B3 0 0 0 2 4 8 10 10 5 4 43 Lớp 11B4 0 0 1 4 9 8 9 8 0 0 39 + Lớp thực nghiệm đạt 95,34% trung bình trở lên trong đó 67,44% đạt khá giỏi + Lớp thực nghiệm đạt 87,2% trung bình trở lên trong đó 43,6% đạt khá và không có học sinh đạt điểm giỏi Qua quá trình dạy thực nghiêm tại lớp 12B3 tôi nhận thấy học sinh lớp 12B3 có những hiệu quả tích cực đó là: - Khả năng nhìn nhận bài toán dưới các góc độ khác nhau của học sinh linh hoạt, nhạy bén hơn. Học sinh có được sự linh hoạt trong tư duy, chủ động trong suy nghĩ tìm lời giải bài toán. - Học sinh đã nắm vững các bước và vận dụng thành thạo phương pháp tọa độ vào giải bài toán cực trị số phức. - Học sinh đã mạnh dạn, chủ động nhận xét bài làm của bạn, tìm sai lầm và sửa chữa để có lời giải đúng. Từ đó đã hình thành cho học sinh thói quen nghiên cứu lời giải, kiểm tra lại kết quả để phòng tránh, phát hiện và sửa chữa sai lầm. Đối với bản thân, khi sử dụng Sáng kiến kinh nghiệm này tôi thấy hiệu quả tiết dạy tốt hơn, tạo sự tự tin và hứng thú khi giảng bài. Giúp tôi truyền đạt một cách cô đọng nhưng đầy đủ, chính xác và trọn vẹn nội dung cần giảng dạy trong khoảng thời gian ngắn. 20