Tài liệu SKKN: HÌNH HỌC PHẲNG OXY

  • Số trang: 25 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 329 |
  • Lượt tải: 0
tailieu

Tham gia: 27/02/2016

Mô tả:

SKKN: HÌNH HỌC PHẲNG OXY
SỞ GD & ĐT THANH HÓA Trường PTTH Chuyên LAM SƠN ****************************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học 2013 – 2014 ---------------- * ------------------ MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Tác giả: Ngô Xuân Ái Giáo viên Trường PTTH Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa, tháng 5 năm 2014 1 CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập-Tự do-Hạnh phúc ---------o0o-------- ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I. SƠ YẾU LÝ LỊCH Họ và tên: Ngô Xuân Ái Ngày tháng năm sinh: 19.6.1962 Năm vào ngành: 1983 Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Chuyên Lam Sơn Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ Toán học Hệ đào tạo: Viện Toán học Việt Nam hệ chính quy. Bộ môn giảng dạy: Môn Toán Ngoại ngữ: Tiếng Anh Trình độ chính trị: Sơ cấp Khen thưởng: Bằng khen của Bộ trưởng Bộ GD & ĐT, Bằng khen của Chủ Tịch UBND Tỉnh Thanh Hóa, Chiến sỹ thi đua cấp ngành và Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán xếp loại B của Sở GD & ĐT Thanh Hóa. II. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI Tên đề tài: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Lý do chọn đề tài: Trong cấu trúc đề thi Đại học môn Toán dạng này chiếm một phần không nhỏ, gồm 2 câu chọn một về hình học phẳng tọa độ ở mức khó (mức điểm 8/10); 2 câu dạng tương tự của hình học không gian tọa độ và một câu khó nhất (mức điểm 10) có cùng dạng về bất đẳng thức, cực trị. Yêu cầuđể thực hiện được đề tài: Kiến thức tổng hợp và sắc sảo về nhiều phân môn, như: hình học phẳng ở các lớp THCS, vecto và tọa độ, biến đổi đại số bất đẳng thức, giải tích phương trình và hàm số. Khó với phần đông học sinh, thậm chí cả với một bộ phận giáo viên chưa có nhiều kinh nghiệm. Phạm vi thời gian thực hiện đề tài: Thực hiện trong nhiều năm học từ 2006 đến nay, tại trường THPT Chuyên Lam Sơn. 2 III. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Cơ sở lý thuyết: Với mỗi vị trí xác định của một đối tượng hình học hoặc vị trí tương đối của các đối tượng hình học như điểm, đường thẳng, đường tròn đều chứa trong nó những đại lượng về giá trị góc, khoảng cách, diện tích v, v … Và trong mỗi tập giá trị như thế - có thể tồn tại hoặc không các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của nó. Đề tài nhằm xem xét một số bài toán đó. Tình trạng thực tế khi chưa thực hiện: Học sinh có rất ít kinh nghiệm trong việc tìm tòi phương pháp giải dạng này. Không có khả năng tổng hợp thống kê, phân dạng bài toán. Kiến thức hình học ở THCS hoặc chưa đủ hoặc quên. Còn thiếu kiến thức và niềm tin vào dạng đại số của bài toán về bất đẳng thức. Thành quả khi đã thực hiện: Khắc phục được cho học sinh những hạn chế nêu trên. Tăng thêm niềm tin và say mê sáng tạo, tìm tòi các lời giải hay. Thiết kế các đề toán đẹp. Đạt điểm cao trong các kỳ thi Đại học (Hầu hết là điểm 9, điểm 10). Những biện pháp thực hiện: (nội dung chính của đề tài) MỞ ĐẦU Tài liệu này được chia thành hai phần nội dung Phần 1: Tóm tắt lý thuyết về vecto và tọa độ trong mặt phẳng. Phần 2: Các bài toán áp dụng. Các bài toán về cực trị hình học giải theo phương pháp tọa độ. Bao gồm những bài toán suy từ các tính chất cơ bản kinh điển của hình phẳng. Mức độ khó dễ nói chung là tương đương các đề thi Đại học hàng năm. Trong tài liệu, các đề bài thường là tham khảo từ các đề thi thử Đại học ở các trường PTTH trên cả nước. Tác giả sắp xếp lại theo dạng và đưa ra các cách giải cùng những phân tích bình luận. Tài liệu đã được tác giả sử dụng thường xuyên hằng năm ở nhiều lớp học, khóa học và đạt hiệu quả cao. Chân thành cám ơn và mong nhận được sự góp ý và bổ sung của mọi người. Địa chỉ liên hệ được in ở mỗi cuối trang. Thanh Hóa, tháng 5 năm 2014. Người viết: Ngô Xuân Ái. Giáo viên trường THPT Chuyên Lam Sơn. 3 Phần 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT (về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng) 1. Phép toán véctơ và tọa độ trong mặt phẳng   Độ dài: A  (x1 ; y1 ) và B  (x 2 ; y2 ) , thì AB  (x 2  x 1 )2  ( y2  y1 )2 .     Góc: u  (a ; b ) và v  (x ; y ) , ta có: cos x u , v  ax  by .    Khoảng cách:  : ax  by  c  0 và  ': ax  by  c '  0 ; M (x 0 ; y 0 ) . ax 0  by0  c d(M ,  )  và d(,  ')  c c ' . a 2  b2    A, B, C thẳng hàng  tồn tại k   sao cho: AB  k .AC .    AB  CD  AB .CD  0 .    Bất đẳng thức: u  (a ; b ) và v  (x ; y ) .         Suy ra: u  v  u  v và u .v  u . v . a 2  b2 2. Đường thẳng, đường tròn và conic  Đường thẳng  : ax  by  c  0 .  Đường tròn (C): (x  a )2  (y  b )2  R2 , tâm I (a ; b ) bán kính R . x 2 y2  Elip: (E )  M MF1  MF2  2a  ; 2  2  1 (a  b  0) . a b 2 2 2 c  a  b (c  0) . Tiêu điểm: F1 ( c; 0) và F2 (c; 0) . Tiêu cự: F1F2  2c . Tâm sai: e  c a c (e  1). a c a x 2 y2  Hyperbol: (H )  M MF1  MF2  2a  ; (H ) : 2  2  1 (a  0, b  0) . a b b c 2  a 2  b 2 , c  0 (e  1) . Tiệm cận d1,2 : y   x . a  Parabol: (P )  M / MF  d(M , ) . Bán kính qua tiêu: F1M  a  x và F2M  a  x ( M(x; y)  (E)).  Phươngtrình chính tắc: (P ) : y 2  2 px , p là tham số tiêu (p  0) . p 2   Tiêu điểm: F  ; 0  . Đường chuẩn  : x   4 p . 2 Phần 2. CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA Mỗi bài toán sau đây đều được cho trong mặt phẳng tọa độ Oxy , do đó ta quy ước mỗi đề bài đều bắt đầu bằng câu: "Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho … ". Mỗi bài toán được trình bày theo thứ tự: Đề bài. Lời giải hoặc Hướng dẫn hoặc Kết quả. Lời bình và Bài toán tương tự (nếu có). Bài 1: Cho điểm A(2;  3) và đường thẳng : x  2y  5  0 . 1) Tìm tọa độ điểm M nằm trên  sao cho MA ngắn nhất. 2) Viết phương trình ' qua A, sao cho d(O ,  ') lớn nhất. 3) Viết phương trình d qua A, sao cho d(d ,  ) lớn nhất. ♣ Hướng dẫn: 1) Cách 1: (Phương pháp hình học) Gọi H là hình chiếu của A trên , ta có MA  AH , suy ra M cần tìm trùng với H. A  M H Khi đó, AM đi qua A và vuông góc với . x  2y  5  0 Tọa độ M (x ; y ) thỏa mãn hệ:  2x  y  1  0. 7 9 Suy ra: M   ;   . 5 5 Cách 2: (Phương pháp đại số) M thuộc , suy ra: M (2t  5; t ) . AM 2  (2t  3)2  (t  3)2  5t 2  18t  18 . 9 7 9 Suy ra MA ngắn nhất, khi và chỉ khi t   . Suy ra: M   ;   . 5 5 5 2) Gọi H là hình chiếu của O trên ', ta có: d(O ,  ')  OH  OA . Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi H  A.  ' nhận OA  (2;  3) làm véc tơ pháp tuyến. O ' A H Phương trình ': 2x  3y  13  0 . 3) d đi qua A không thuộc , nên d và  cắt nhau hoặc song song. Trường hợp d và  cắt nhau thì d(d , )  0 . Do đó ta chỉ xét d //. Phương trình d : x  2y  8  0 . 5 Bài 2: Cho điểm M(3; 1). Tìm tọa độ điểm A thuộc tia Ox và B thuộc tia Oy sao cho tam giác MAB vuông tại M và có diện tích S a) nhỏ nhất. y b) lớn nhất. 10 ♣ Hướng dẫn: A(a ; 0) , a  0 và B (0; b ), b  0 .   Suy ra: MA  (a  3;  1) , MB  ( 3; b  1) .   MAMB .  0  3(a  3)  (b  1)  0  b  10  3a . 10 b0 a  (*). 3 2S  MAMB .  3(a 2  6a  10) .  10  Khảo sát hàm f (a )  3(a 2  6a  10) , trên đoạn 0;  . M  3 1 10 a 0 3 3 O 3 10 x 3 30 f (a ) 3 Từ đây suy ra:  maxS  15 , khi a  0 . Khi đó b  10 , suy ra: A(0; 0) và B(0; 10). 3  minS  , khi a  3 . Khi đó b  1 , suy ra: A(3; 0) và B(0; 1). 2 ♣ Bài toán tương tự: Thay số liệu bất kỳ M (a ; b ) , với a và b dương. Bài 3: cho hai điểm A(3; 4) và B (1; 2) , đường thẳng : x  2y  2  0 . Tìm tọa độ điểm M nằm trên  sao cho: a) MA2  2MB 2 nhỏ nhất. b) MA2  2MB 2 lớn nhất. ♣ Hướng dẫn: M   , nên M (2t  2; t ) .   Suy ra: AM  (2t  1; t  4) và BM  (2t  3; t  2) . AM 2  5t 2  12t  17 , 2BM 2  10t 2  16t  26 . a) MA2  2MB 2  15t 2  4t  43 . MA2  2MB 2 đạt min, khi và chỉ khi: t   6 2 2   26 . Vậy, M  ;   . 15  15 15  b) MA2  2MB 2   5t 2  28t  9 . MA2  2MB 2 đạt max, khi và chỉ khi: t   14  18 14  . Vậy, M   ;   . 5 5   5 ♣ Bài toán tổng quát: "Cho n điểm Ai (i  1, 2,..., n ) và n số thực ai . Tìm tọa độ n điểm M trên  để S  aiMAi 2 đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất)". i 1 Bài 4: cho : x  2y  2  0 , các điểm A(3; 4) , B (1; 2) và C (0; 1) . Tìm tọa    độ điểm M nằm trên  sao cho P  MA  2MB  3MC nhỏ nhất. ♣ Hướng dẫn: M   , nên M (2t  2; t ) .    Suy ra: AM  (2t  1; t  4) , BM  (2t  3; t  2) và CM  (2t  2; t  1) .    AM  2BM  3CM  (4t  1; 2t  3) , suy ra: P 2  20t 2  20t  10 . 1 1  P min  P 2 min  t   . Khi đó: M  1;   . 2 2      ♣ Cách giải khác: Gọi G là điểm thỏa mãn GA  2GB  3GC  0 (*).     Biểu thức (*) xác định tọa độ điểm G và MA  2MB  3MC  2MG . P min  MG min . Giải tương tự Bài 1.1 ( M là hình chiếu của G trên  ). ♣ Bài toán tổng quát: "Cho n điểm Ai (i  1, 2,..., n ) và n số thực ai , thỏa mãn n n  a  0 . Tìm tọa độ điểm M trên  để P  a MA i  i i đạt giá trị nhỏ nhất". i 1 i 1 ♣ Bài toán tương tự trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , trong đó đường thẳng  được thay bởi mặt phẳng (P ) . Bài 5: cho đường thẳng : x  2y  1  0 , hai điểm A(2; 1) và B (1; 0) . Tìm tọa độ điểm M nằm trên  sao cho 1) MA  MB nhỏ nhất. 2) MA  MB lớn nhất. 7 ♣ Lời giải: Đặt f (x ; y )  x  2y  1 . A Ta có f (2; 1).f (1; 0)  0 , suy ra A và B nằm B  M cùng phía nửa mặt phẳng bờ là . Gọi A ' đối xứng với A qua , tọa độ A '(x ; y ) . 2x  y  5  0  8 9 Suy ra: A '  ;  . x  2 y 1 5 5  2  2. 2  1  0. 1) MA  MB  MA ' MB  A ' B. Đẳng thức xảy ra, khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng  và đoạn thẳng A 'B (do A ' và B nằm hai phía của  nên tồn tại duy nhất điểm M như thế). A'  x  2y  1  0 7 Tọa độ M (x ; y ) thỏa mãn hệ:  Suy ra: M  ; 5 3x  y  3  0. 6 . 5 2) MA  MB  AB . Đẳng thức xảy ra, khi M , A, B thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn thẳng AB . Do đó M là giao điểm của đường thẳng  và đường thẳng AB (do A, B nằm cùng phía của  nên tồn tại duy nhất điểm M như thế). x  2y  1  0 Tọa độ M (x ; y ) thỏa mãn hệ:  Suy ra: M (3; 2) . x  y  1  0. ♣ Bình: Trong ý 1, do A và B nằm cùng phía, nên A ' và B nằm khác phía đường thẳng . Vì thế tồn tại điểm M là giao của đường thẳng  và đoạn A 'B . Trong ý 2, dễ sai lầm khi kết luận M là giao của đường thẳng  và đoạn A 'B . Bài 6: cho hai điểm A(2; 1) và B (1; 2) , đường thẳng : x  2y  1  0 . Tìm tọa độ điểm M nằm trên  sao cho 1) MA  MB nhỏ nhất. 2) MA  MB lớn nhất. A'  B ♣ Hướng dẫn và kết quả: A và B nằm khác phía nửa mặt phẳng bờ là . 1) Ta có: MA  MB  AB. 5 4 M là giao của đoạn thẳng AB với . Tọa độ M  ;  . 3 3 8  A  M1 M2 2) Gọi A ' đối xứng với A qua , ta có: MA  MB  MA ' MB  A'B. Xảy ra đẳng thức, khi M là giao của đường thẳng A'B với . 8 Tọa độ A '  ; 5 9  11 8  và M   ; . 5  5 5 ♣ Hai bài toán mẫu: Cho đường thẳng  và hai điểm A , B . Tìm tọa độ điểm M trên  sao cho 1) MA  MB nhỏ nhất, nếu A và B nằm cùng phía đối với đường thẳng . 2) MA  MB lớn nhất, nếu A và B nằm khác phía đối với đường thẳng . Bài 7: cho A 2; 1 , 1: 2x  y  2  0 , 2: x  3y  5  0 . Tìm tọa độ các điểm B và C tương ứng nằm trên 1 và 2 sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. ♣ Hướng dẫn: x  2y  4  0 A1  x ; y  :   A1  2; 3  . Tương tự: A2  0;  5  . 2 .( x  2 )  ( y  1 )  4  0  4x  y  5  0  7 1  10 15  B x ; y  :   B   ;   . Tương tự: C   ;   .  6 3  11 11  2x  y  2  0    5 20    12 48  Thử lại: A1A2   2;  8  , A1B   ;   , AC ;  . 1  6  6  11 11   12  22  A1A2  .A1B  .AC 1 , suy ra: A1 , B , C và A2 thẳng hàng, theo thứ tự ấy. 5 12 A1  7 1  10 15  Vậy: B   ;   và C   ;   .  6 3  11 11  1 B ♣ Bình: A 2 C A2 Sai lầm khi chỉ lấy điều kiện chu vi tam giác ABC đạt min là A1 , B , C và A2 thẳng hàng mà không kể thứ tự của các điểm. 9 Trên cơ sở là: độ dài đường gấp khúc A1BCA2 ngắn nhất khi và chỉ khi A1 , B , C và A2 thẳng hàng, theo thứ tự ấy. Bạn đọc tham khảo ví dụ, với: A(2;  3) , 1 : x  2y  3  0 , 2 : 3x  y  2  0 .  12 29  5 7  9 19  Kết quả: A1   ;  , A2  1;  4  , B  ;  và C   ;  .  5 5  3 3  4 4  Bài 8: cho điểm A(2; 1), đường tròn (C): (x  2)2  (y  1)2  5 và đường thẳng  : x  2y  10  0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), sao cho: M4 c) độ dài MA a) nhỏ nhất. b) lớn nhất. M2 M1  A I d) khoảng cách d(M , ) a) nhỏ nhất. M b) lớn nhất. K M3  H ♣ Hướng dẫn: (C) có tâm I( 2; 1), bán kính R  5 . 1) A(2; 1) ; AI  4  R , A nằm ngoài (C). Xét với M là điểm bất kỳ (C), ta có ♣ Cách 1 (Phương pháp hình học) Gọi M 1M 2 là đường kính đi qua A , M 1 nằm giữa A và M 2 , ta có: AM  AI  IM  AM 1 và AM  AI  IM  AM 2 . Suy ra: AM min  M  M 1 , AM max  M  M 2 . (x ; y )  ( 2  5 ; 1) y  1  0 Khi đó, tọa độ M (x ; y ) :    2 2 ( x  2 )  ( y  1 )  5 (x ; y )  ( 2  5 ; 1).  Tính độ dài AM , suy ra: M1  ( 2  5 ; 1) và M 2  ( 2  5 ; 1) . ♣ Cách 2 (Phương pháp đại số) M (x ; y ) thỏa mãn (x  2)2  (y  1)2  5 . AM 2  (x  2)2  (y  1)2  (x  2)2  (y  1)2  8x  5  8x . (y  1)2  5  (x  2)2  0 , suy ra: x 2  4x  1  0   2  5  x   2  5 . Suy ra: M1  ( 2  5 ; 1) và M 2  ( 2  5 ; 1) . 10 2) d(I ;  )  5 2  R , suy ra  không cắt (C). Gọi M 3M 4 là đường kính vuông góc với  tại H , M 3 nằm giữa H và M 4 . Gọi K là hình chiếu của M trên (C), ta có: M 3H  MK  M 4H . Suy ra: d(M , ) min  M  M 3 , d(M , ) max  M  M 4 . (x  2)2  (y  1)2  5 Khi đó tọa độ M (x ; y ) thỏa mãn hệ:  2x  y  5  0 (x  2)2  (2x  4)2  5 (x  2)2  1 (x ; y )  ( 3;  1)     (x ; y )  ( 1; 3). y  2x  5 y  2x  5 Tính d(M , ) , suy ra: M 3  ( 3;  1) và M 4  ( 1; 3) . ♣ Lưu ý rằng: Nếu  và (C) cắt nhau thì min d (M , )  0 (xảy ra tại các giao điểm). Bài 9: cho hai đường tròn (C1): (x  1)2  y 2  1 , (C2): (x  1)2  (y  4)2  4 . Tìm tọa độ điểm M trên (C1) và điểm N trên (C2) sao cho độ dài MN a) lớn nhất. b) nhỏ nhất. ♣ Hướng dẫn N M I A E J B C FF D (C1): I(1; 0), r  1; (C2): J(1; 4), R  2. IJ  4  R  r. (C1) và (C2) nằm ngoài nhau. Giả sử IJ cắt (C1) và (C2) theo thứ tự là A, B, C, D. Kẻ các đường vuông góc với MN tại M và N, cắt đường thẳng IJ tại E và F tương ứng. Ta có E và F tương ứng thuộc các đoạn thẳng AB và CD. Suy ra: MN  EF  AD . Tương tự, nếu hạ MH và NK vuông góc với CD , ta có: BC  HK  MN . Do đó ta được BC  MN  AD . Phương trình đường thẳng IJ: x  1  0 . 11 x  1 (x ; y )  (1; 1) Tọa độ A, B thỏa mãn hệ:   (x ; y )  (1;  1). . 2 2 ( x  1 )  y  1   x  1 (x ; y )  (1; 2) Tọa độ C, D thỏa mãn hệ:   (x ; y )  (1; 6). 2 2  (x  1)  (y  4)  4 Kết quả: a) M (1;  1) và N (1; 6) (thì MN lớn nhất). b) M (1; 1) và N (1; 2) (thì MN nhỏ nhất). Bài 10: cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R. Hai điểm A và B (nằm ngoài (C) thỏa mãn IA  k.R, điều kiện này cho ẩn). Tìm tọa độ điểm M nằm trên (C), sao cho biểu thức P  MA  kMB đạt giá trị nhỏ nhất. Ví dụ: (C): x 2  y 2  9 và A(0; 9) , B ( 1; 6) . Tìm tọa độ M thuộc (C) sao cho biểu thức P  MA  3MB đạt min. y B 6 ♣ Hướng dẫn và kết quả 3 (C): O(0; 0), R  3; OA  9  3R. M (C) Gọi K(1; 0), ta có OM  3OK 1 A 9 x K O AOM  MOC và AO  3MO  MA  3MK . Suy ra: P  3(MK  MB)  3BK. Dấu bằng xảy ra, khi M thuộc đoạn thẳng BC. Đáp số: M(0; 3). Bài 11: cho điểm A(3; 1) và đường tròn (C): (x  2)2  (y  3)2  25 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, cắt (C) tại M và N, sao cho độ dài MN 1) lớn nhất. 2) nhỏ nhất. (C) ♣ Hướng dẫn: (C): I(2;  3), R  5. IA  17  R hay A nằm trong (C). M I 1) MN  2R . Dấu bằng xảy ra, khi  đi qua I. H Phương trình : 4x  y  11  0 . A N 12 ♣ Bình: Lúc này MN là đường kính của (C), hay đường thẳng  đi qua A và I. Kết quả luôn đúng cho mọi trường hợp của A (nằm trong, ngoài hay trên đường tròn). 2) Gọi H là trung điểm MN, suy ra IH  MN. Khi đó: MN  2MH và IH  IA Suy ra: MN  2MH  2 IM 2  IH 2  2 R 2  IA2  4 2 . Dấu bằng xảy ra, khi chỉ khi H  A hay   IA.   đi qua A(3; 1), nhận IA  (1; 4) làm vectơ pháp tuyến: x  4y  7  0 . ♣ Bình: Kết quả chỉ đúng cho trường hợp A nằm trong đường tròn. Trong trường hợp này, ta luôn có: 4 2  MN  10 . Bài 12: cho điểm A(1;  3) và đường tròn (C): (x  2)2  (y  6)2  50 . Tìm  lớn nhất, I là tâm của (C). tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho AMI ♣ Lời giải: M M (C): tâm I (2;  6) , bán kính IM  5 2 . (C) A I A(1;  3) , suy ra AI 2  10 . AM 2  MI 2  AI 2  cos AMI  2.AM .MI 1  40  2 5 .  AM   AM  5 10 2   đạt max, khi: AM  40  AM 2  40 .  đạt min hay AMI cosAMI AM  Khi đó: AM 2  AI 2  50  MI 2 , hay AMI là tam giác vuông tại A . x  3y  10  0 x  3y  10 M (x ; y ) thỏa mãn:    2 2 2 (x  2)  (y  6)  50 y  6y  5  0. Suy ra: M (7;  1) và M ( 5;  5) . 13 ♣ Cách khác (phương pháp hình học) Gọi N là giao điểm của AM với (C), H là trung điểm MN, ta có: IH  MN. IH IA 5   . IM IM 5 Đẳng thức xảy ra, khi H  A . Khi đó MN  IA .  AM nhận AI  (1;  3) làm vecto pháp tuyến.  Suy ra: sin AMI I M A N H x  3y  10  0 M (x ; y ) thỏa mãn:  2 2 (x  2)  (y  6)  50. Suy ra: M (7;  1) và M ( 5;  5) . Bài 13: cho A(3; 1) và (C): (x  2)2  (y  3)2  25 , tâm I. Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, cắt (C) tại M và N, sao cho IMN có diện tích S lớn nhất. Câu hỏi tương tự, với A(3;  2). ♣ Hướng dẫn: (C): tâm I(2;  3), bán kính R  5. IA  17  R hay A nằm trong (C). I M AH N  25 IA2 .sin AIB   25 .  sin AIB 2 2 2 O   90 . Đẳng thức xảy ra, khi: MIN ♣ Cách 1: S  Gọi H là trung điểm MN, ta có IH  MN, suy ra d(I ,  )  IH  R 5 .  2 2  đi qua M(3; 1), phương trình dạng: a (x  3)  b (y  1)  0 , a 2  b 2  0 (*). Thỏa mãn: a  4b a 2  b2  5  2(a  4b )2  25(a 2  b 2 ) . 2 Từ điều kiện (*), suy ra b  0 . Chọn b  1 , ta được: 2(a  4)2  25(a 2  1)  23a 2  16a  7  0  a  1 hoặc a  Phương trình  : x  y  4  0 hoặc  : y  14 7 (x  3)  1 . 23 7 . 23 ♣ Cách 2: S  IH . 25  IH I M IH 2  25  IH 2 25   . 2 2 Đẳng thức xảy ra, khi chỉ khi: IH  25  IH 2 5 5 hay d(I ,  )  .  IH  2 2 … đến đây, tương tự cách 1. N AH 2 ♣ Cách 3: Đặt IH  x , 0  x  17 . Suy ra: S  x 25  x 2 . Xét hàm f (x )  x 25  x 2 , 0  x  17 . x2 2 Ta có: f '(x )  25  x  x 25  x 2 5 2 0 f '(x )   25  2x 2 25  x 2 ; f '(x )  0  x  5 . 2 17 Từ đó: S đạt max khi và chỉ khi:  0 d(I ,  )  f (x ) 5 . 2 … đến đây, tương tự cách 1. ♣ Kết quả: Phương trình  : x  y  4  0 hoặc  : y  7 (x  3)  1 . 23 ♣ Câu hỏi tương tự với A(3;  2) . Tương tự cách 3, ta có: 0  IH  IA  2 hay 0  x  2 . Diện tích S  x 25  x 2 . Xét f (x )  x 25  x 2 , với 0  x  2 . 2 f '(x )  25  x  x2 25  2x 2   0 , suy ra f (x ) đồng biến. 25  x 2 25  x 2 S đạt max tại x  2 . Khi H  A , hay   IA . Phương trình : x  y  5  0 . ♣ Bình: 1) Trong trường hợp A(3;  2) không giải được bằng cách 1 và cách 2 do 5 không xảy ra IH  , với 0  IH  2 . Cách 3 là cách giải tổng quát. 2 2) Nếu giải theo cách 1 và cách 2, sai lầm khi kết luận vô nghiệm. 3) Biện luận hình học về vị trí điểm A đối với (C) hay độ dài IA so với R. 15 R   - đồng tâm và nằm trong (C):  I , R  . 2 R , hay AB là tiếp tuyến của (T). 2 R Nếu IA  hay M nằm ngoài (T) thì có hai 2 đường thẳng  là tiếp tuyến với (T) kẻ qua A. (C) R  M  (T) hoặc M nằm trong (T), IA  (T) 2 có đúng một đường thẳng  thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Khi đó IA   hay đường thẳng  nhận IA làm véc tơ pháp tuyến.  Xét đường tròn (T):  I ,  2 R S  d(I ,  )  2 M N I M A Bài 14: cho điểm A(2;  1) , đường tròn (C): x 2  y 2  2x  4y  4  0 ; hai đường thẳng 1 và 2 vuông góc với nhau tại A; 1 cắt (C) tại M và N, 2 cắt (C) tại P và Q. Viết phương trình 1 và 2, sao cho diện tích S của tứ giác MPNQ đạt 1) nhỏ nhất. 2) lớn nhất.  ♣ Hướng dẫn: I(1;  2), R  3; IA  (1; 1) , A nằm trong (C). H và K tương ứng là trung điểm của MN và PQ, ta có: IH  MN và IK  PQ. Do đó IHAK là hình chữ nhật, suy ra: IH 2  IK 2  IA2  2 , không đổi. MN .PQ S  2MH.PK 2 P  2 (R2  IH 2 )(R2  IK 2 )  2 63  IH 2 .IK 2 . I K M A Q H 1) Suy ra: S  2 63 . Đẳng thức xảy ra khi: IH.IK  0, tức 1 hoặc 2 đi qua tâm I. N Do đó S nhỏ nhất, khi một trong hai đường thẳng 1 hoặc 2 trùng với đường thẳng AI, đường thẳng còn lại trong chúng vuông góc với AI (tại A). Ta được 1: x  y  3  0 và 2: x  y  1  0 . 16 2) Do IH 2 .IK 2 IH  2  IK 2 4 2   1 , suy ra: S  16. IA  1. 2  đi qua M, có phương trình dạng: a (x  2)  b (y  1)  0 , a 2  b 2  0 (*). a b Thỏa mãn:  1  ab  0  a  0 hoặc b  0 . 2 2 a b Vậy, chọn: 1: x  2  0 và 2: y  1  0 (hoặc ngược lại). Dấu bằng xảy ra khi: IH  IK. Khi đó d(I , )  ♣ Bình: d(I ,  )  1 , chứng tỏ  là tiếp tuyến của đường tròn C(I, 1). IA , chứng tỏ  cắt đường tròn C(I, IA) tại hai điểm B và C sao cho 2 tam giác IBC vuông cân tại I, hay diện tích IBC lớn nhất. d(I ,  )  Bài 15: cho hai đường tròn (C1): x 2  y 2  4x  6y  4  0 và (C2): (x  1)2  y 2  5 . Gọi A và B là giao điểm của (C1) và (C2), A có hoành độ dương. Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, cắt (C1) và (C2) tương ứng tại M và N, sao cho A nằm giữa M và N và 1) MN lớn nhất 2) Diện tích S của tam giác BMN lớn nhất. ♣ Hướng dẫn: (C1): I(2; 3), R  17 ; (C2): J( 1; 0), r  5 . x 2  y 2  4x  6y  4  0 Tọa độ A(x; y) thỏa mãn hệ:   A(1;  1) . 2 2 (x  1)  y  5, x  0 1) Gọi H và K tương ứng là trung điểm của AM và AN, suy ra: B I IH  AM và JK  AN hay IH // JK. J M H A K IHKJ là hình thang vuông tại H và K, do đó: MN  2HK  2IJ. Dấu bằng xảy ra khi  và chỉ khi HK // IJ hay  nhận IJ  ( 3;  3) làm véc tơ chỉ phương. N 17 Đường thẳng  đi qua A(1;  1) , có phương trình: x  y  2  0 .  và ANB  là các góc Do AMB  cố định của nội tiếp chắn cung AB (C1) và (C2) tương ứng, nên các góc  và BNM  không đổi, suy ra BMN    không đổi. MBM 2) B I J M H A K N S 1   2Rr .sin  . BM .BN .sin MBM 2 Nhận thấy, nếu BM  2R thì BA  MN , suy ra BN  2r . Do đó S lớn nhất. Khi đó IJ là đường trung bình của tam giác BMN, hay MN // IJ.   đi qua A(1;  1) và nhận IJ  ( 3;  3) làm vecto chỉ phương: x  y  2  0 . Bài 16: cho điểm M (3; 1) . Viết phương trình đường thẳng  đi qua M, cắt tia Ox và tia Oy tương ứng tại A và B (khác O) sao cho: a) b) c) d) e) độ dài AB nhỏ nhất. diện tích S của tam giác AOB nhỏ nhất. khoảng cách d(O , ) lớn nhất. tổng T  OA  3OB nhỏ nhất. 9 4 P  nhỏ nhất. OA2 OB 2 y ♣ Hướng dẫn Do A và B (khác O) lần lượt thuộc tia Ox và tia Oy, nên tọa độ có dạng: B 1 O M A(a; 0) và B(0; b), với a  0 và b  0. 3 A x : x y 3 1   1 , thỏa mãn:   1 . a b a b 1 3 a 3  1   0 , suy ra: a  3 (*). Khi đó: b  1 . b a a 3 a 3 2 3   2 2 2 2 a) AB  a  b  a   1   (tại đây có thể xét hàm f (a ), a  3 )  a 3 Điều kiện: 18  (a  3)2  6 9   6(a  3)  10 a  3 (a  3)2  3 3 (a  3)2 . 3 3 9 .  33 .3(a  3).3(a  3)  10 a 3 a 3 (a  3)2  3 3 9  3 3 81  10 . Đẳng thức xảy ra, khi: (a  3)3  3  a  3  3 3 . Khi đó: b  1  3 9 , a và b thỏa mãn (*). Vậy, : x y  1. 3  3 3 1 3 9 ♣ Bình: 1) Có thể mắc một số sai lầm sau:  AB 2  a 2  b 2  2ab , đẳng thức xảy ra khi a  b . Khi đó a  b  4 ; AB 2  32 . 9  1   AB 2  (a  3)2   6  a  3    10  2.3  6.2  10  28. (a  3)2 a  3  2) Kết quả min AB 2  3 3 9  3 3 81  10  28, 3 hay 28  min AB 2  32 , suy ra: Không xảy ra dấu đẳng thức trong đánh giá AB 2  28 . Và rõ ràng khi a  b ta mới có AB 2  32 mà không suy được AB 2  32 . 6 9   6(a  3)  10 cũng a  3 (a  3)2 chỉ là định hướng cách giải. Chắc chắn lời giải sẽ khá rườm rà và khó khăn trong thực hành tìm nghiệm phương trình f '(a )  0 và xét dấu f '(a ) . 3) Phương pháp xét hàm f (a )  (a  3)2  4) Bài tập này có thể coi như ôn được kiến thức tổng hợp: về hình học phẳng, về tọa độ, về bất đẳng thức, về hàm số. 3a 9  a 3 (có thể xét hàm f(a), a  3 tại đây) a 3 a 3 9 9  a 3  6  2 (a  3).  6  12. a 3 a 3 9 Đẳng thức xảy ra, khi và chỉ khi: a  3   a  0 hoặc a  6. a 3 Kết hợp (*), được: a  6, suy ra b  2. x y Phương trình :   1 hay x  3y  6  0 . 3 2 b) 2S  ab  a  ♣ Bình: Xét hàm f (a )  a  3  9 cũng khá đơn giản. a 3 19 c) Gọi H là hình chiếu của O trên   OH    d(O , )  OH  OM. O Đẳng thức xảy ra, khi chỉ khi: H  M    OM.   nhận OM  (3; 1) làm vecto pháp tuyến.  M H Phương trình : 3x  y  10  0 . d) T  a  3b  a  3   a 3 9 (có thể xét hàm f(a), a  3 tại đây) a 3 9 9  6  2 (a  3).  6  12. a 3 a 3 Đẳng thức xảy ra, khi và chỉ khi: a  3  9  a  0 hoặc a  6. a 3 Kết hợp với (*), ta được: a  6 và b  2. Phương trình : x  3y  6  0 . Cách 2: 1  3 1 3 1   2 . . Suy ra: ab  12. a b a b Do đó: OA  3OB  a  3b  2 3ab  12. Dấu bằng xảy ra, khi: 3 1 3 1  , a  3b và 1   . Suy ra: a  6 và b  2. a b a b 2 2 9 4  1 4 1 1 e) S  2  2   1    2  5.   2.  1 . a b b  b b b  1 1 15 4x y S min    b  5. Khi đó a  , ta được :  1. b 5 4 15 5 2 2 2 1 2 1 3 Cách 2: Áp dụng Bunhia: 1       .  1.  b a b  3 a 9 4 9 4 9  1  9 4     1  2  2  . Do đó:   2 2  . 2 2 10 OA OB a b  9  a b  Dấu bằng, khi: 3 1 2 1 2 2a 20 :  : 1 và   1 . Suy ra: a  10 và b   . a 3 b a b 9 9 Phương trình d: 2x  9y  20  0 . 20
- Xem thêm -