Tài liệu Skkn giúp học sinh trung bình, yếu rèn luyện kĩ năng phân tích, chia nhỏ một số bài toán thường gặp về đường thẳng và mặt phẳng trong hình học giải tích 12

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số : .............................................. 1. Tên sáng kiến: Giúp học sinh trung bình, yếu rèn luyện kĩ năng phân tích, chia nhỏ một số bài toán thường gặp về đường thẳng và mặt phẳng trong hình học giải tích 12; 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn Toán 12 ở trường THPT. 3. Mô tả bản chất của sáng kiến: 3.1. Tình trạng giải pháp đã biết: Hình giải tích trong không gian có tính kế thừa từ hình giải tích trong mặt phẳng. Ngoài ra để học tốt hình giải tích trong không gian đòi hỏi học sinh phải nhớ và phải vận dụng được các lí thuyết của hình học không gian đã được học ở lớp 11. Vì hình học không gian là nội dung tương đối khó nên việc học sinh vận dụng chúng để giải các bài toán hình giải tích còn nhiều hạn chế. Khi đứng trước một bài toán hình giải tích một phần học sinh (đặc biệt là học sinh yếu, trung bình) lúng túng không biết phải suy nghĩ từ đâu, bất đầu từ giả thuyết nào. Vì vậy một số học sinh không giải được, một số giải không đúng hướng và tức nhiên kết quả sẽ không đúng. Từ đó thấy rằng kỷ năng phân tích của học sinh khi giải toán hình giải tích là chưa cao. Chính vì hạn chế về kỷ năng phân tích nên trong các tiết học đặc biệt là tiết bài tập các em thường thụ động, ngại tư duy làm cho không khí lớp học chùn xuống. Nhiều lần không giải được bài tập làm cho các em nản trí, không yêu thích môn học. Đây là rào cảng lớn trong việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực. 3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến: - Trước hết giáo viên tổ chức ôn tập lại kiến thức phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, đặc biệt là kiến thức hình học không gian mà các em đã học ở lớp 11. Trang 1 Đây là khâu khá quan trọng vì những kiến thức này là cơ sở cho việc giải các bài toán hình giải tích trong không gian sau này. - Giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng các bài toán cơ bản, đây là các bài toán có thể dể dàng suy ra từ lý thuyết hoặc dễ dàng giải được. Giáo viên phải hướng dẫn các em giải và hiểu cận kẻ các bài toán này. (Các bài toán này sẽ được trình bày ở phần sau). - Khi giải các bài toán hình giải tích trong không gian, giáo viên chú trọng nhiều đến khâu phân tích. Dành một khoảng thời gian nhất định để tổ chức cho các em phân tích, chia nhỏ bài toán và khi đánh giá bài giải của học sinh trên lớp giáo viên dành một phần điểm cho khâu phân tích này, (Nên chiếm khoảng 30% số điểm toàn bài). - Khi phân tích bài toán giáo viên cần hướng dẫn học sinh vẽ hình minh họa để các em thấy rõ vấn đề hơn. - Từ kết quả phân tích trên học sinh tiến hành chia nhỏ bài toán (nếu có thể) theo các bài toán cơ bản, sau đó tiến hành giải. - Để lớp học trở nên sinh động và học sinh tích cực hơn thì khâu hướng dẫn học sinh phân tích tìm cách giải là quan trọng nhất. Giáo viên hướng dẫn cụ thể, rõ ràng để các em làm được một vài bài ban đầu từ đó các em tự tin hơn vào bản thân mình, khi đó các em sẽ tích cực hơn. - Hãy để học sinh trình bày hết suy nghĩ của mình về một bài toán ( mặc dù có thể giáo viên đã phát hiện sai từ ban đầu). Từ đây giáo viên mới có thể thấy rõ nguyên nhân dẫn đến suy nghỉ sai lầm của học sinh và khi đã được giáo viên chỉ dẫn thì sau này các em sẽ không sai lầm như thế nữa. Đây là giải pháp góp phần lấy học sinh làm trung tâm, đổi mới phương pháp giảng dạy theo hướng tích cực. - Nếu có thể giáo viên nên tổ chức lại các bài tập sao cho chúng có tính kế thừa, các bài tập từ dễ đến khó. Như vậy khi tiếp cận bài toán các em sẽ không bở ngở, ngán ngại. - Sau khi giải xong, khuyến khích học sinh tự trả lời câu hỏi: Tại sao với bài toán này ta lại giải như thế? Đây là khâu kiểm tra lại các bước phân tích tìm cách Trang 2 giải ở trên. Trả lời được câu hỏi này, sau này nếu các em gặp lại các bài toán tương tự các em sẽ có ấn tượng và dễ tìm ra lời giải hơn. Các bài toán cơ bản khá nhiều, ở đây chùng tôi xin trình bày một số bài toán liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng và xin phép không trình bày lời giải. Bài toán 1. Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bài toán 2. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cho trước. Bài toán 3. Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và vuông góc với mặt phẳng. Bài toán 4. Viết phương trình mặt phẳng qua một điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước. Bài toán 5. Lấy một điểm từ một đường thẳng, mặt phẳng cho trước. Bài toán 6. Viết phương trình mặt phẳng cho trước một điểm và hai vectơ không cùng phương mà giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng cần tìm. (tạm gọi là cặp vectơ chỉ phương). Bài toán 7. Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng. Ví dụ 1. Cho M(1;4;2) và (P): x + y + z − 1 = 0 . Tìm hình chiếu vuông góc của M trên (P). Hình minh họa Phân tích Gọi H là hình chiếu vuông góc của M M trên (P) ta có MH vuông góc với (P). Gọi d là đường thẳng qua M và vuông H góc với (P). Vậy H là giao điểm của P đường thẳng d và (P). Chia nhỏ: Bài toán được chia thành 02 bài toán nhỏ như sau: - Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua M và vuông góc với (P) (Bài toán 3); - Tìm giao điểm của d và (P). (Bài toán 1) Trang 3 Tiến hành giải: Để cho ngắn gọn tôi chỉ nêu kết quả.  x = 1+ t Đường thẳng d:  y = 4 + t , t  R z = 2 +t  Giao điểm H(-1;2;0) là điểm cần tìm. Ví dụ 2. Tìm điểm M’ đối xứng với M(2;-3;1) qua mp(P): x+3y-z+2=0 Hình minh họa Phân tích Vì M’ đối xứng với M qua (P) nên MN M vuông góc với (P). Và MM’ cắt (P) tại I thì I là trung điểm MM’. I P M' Chia nhỏ: Bài toán trên được chia thành 03 bài toán cơ bản sau: - Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua M và vuông góc với (P). (Bài toán 3) - Tìm giao điểm I của d và (P). (Bài toán 1) - Tìm N sao cho I là trung điểm của MN. (Đã có công thức) Tiến hành giải: x =2+t Phương trình tham số của d :  y = −3 − 3t , t   z = 1− t  : 28 −15 5  Giao điểm H: H  ; ;   11 11 11  34 3 −1 Điểm cần tìm N  ; ;   11 11 11  x = 2 + t Ví dụ 3. Cho điểm A(1;0;0) và đường thẳng d :  y = 1 + 2t .Tìm H là hình chiếu z = t  vuông góc của A trên d. Trang 4 Hình minh họa Phân tích Giả sử ta đã dựng được điểm H như d hình vẽ. Vì AH vuông góc với d nên AH A H thuộc mặt phẳng (P), với (P) qua A và P vuông góc với d. Mặt khác H thuộc d nên H chính là giao điểm của d và (P). Chia nhỏ: bài toán được chia thành 02 bài toán nhỏ như sau: - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d. (Bài toán 4) - Tìm giao điểm của (P) và d. (Bài toán 1) Tiến hành giải: Mặt phẳng (P): x + 2 y + z − 1 = 0 . Điểm cần tìm H  ;0; 3 2 −1   2 x = 2 + t  Ví dụ 4. Cho điểm A(1;0;0) và đường thẳng d :  y = 1 + 2t .Tìm B là điểm đối xứng z = t  của A qua d. Hình minh họa Kế thừa ví dụ 3, Ta chỉ cần tìm điểm B d B H Phân tích sau cho H là trung điểm của AB. A P Chia nhỏ: Bài toán được chia thành 03 bài toán nhỏ như sau: - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d. (Bài toán 4) - Tìm giao điểm H của (P) và d. (Bài toán 1) - Tìm B sao cho H là trung điểm của AB. (Đã có công thức) Tiến hành giải: Mặt phẳng (P): x + 2 y + z − 1 = 0 . Trang 5 3 −1 Điểm H  ;0;  2 2 Điểm cần tìm B (2; 0; −1) Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau:  x = 3 + 2t  d :  y = 6 + 4t ,  z = 4+t  x = 2+t'  d':  y = 1 − t ' ,  z = 5 + 2t  Hình minh họa Phân tích d Vì mặt phẳng cần tìm (P) chứa d và d’ d' nên điểm cần tìm là điểm trên d hoặc d’. P mp(P) có cặp vectơ chỉ phương là hai vectơ chỉ phương của d và d’. Chia nhỏ: Bài toán trên được chia thành 04 bài toán sau: - Tìm một điểm M trên đường thẳng d hoặc d’. (Bài toán 5) - Tìm vectơ chỉ phương u của d. (Dễ dàng) - Tìm vectơ chỉ phương v của d’. (Dễ dàng) - Viết phương trình mặt phẳng qua M có cặp vecto chỉ phương là u, v . (Bài toán 6) Tiến hành giải: Điểm M(1;2;3) u = (2;4;1) v = (1;1;2) mp(P): 7 x − 3 y − 2 z + 5 = 0 Ví dụ 6. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’. Với 2   x = − 3 − 4t  x = 2+t'   d: ; d ' :  y = −1 + 2t ' 1 y = − − 7t   6  z=3   z = −6t Phân tích: Bài toán này giống với ví dụ 5 chỉ khác nhau ở chổ điểm M phải lấy trên đường thẳng d. Trang 6 Ví dụ 7: Viết phương trình mặt phẳng qua A(1;3;1) và chứa đường thẳng  x = 2+t  d :  y = 1− t  z = −1 + 2t  Hình minh họa Phân tích Lấy điểm B bất kì trên d, khi đó ta có d A cặp vectơ chỉ phương là AB và VTCP B P của d. Chia nhỏ: Bài toán được chia thành 03 bài toán sau: - Lấy điểm B trên d, lập AB . (Bài toán 5) - Tìm VTCP u của d. (Dễ dàng) - Viết phương trình mặt phẳng qua A và có cặp VTCP là u, AB . (Bài toán 6) Tiến hành giải: Điểm B(2;1;-1) và AB = (1; −2; −2) Vectơ chỉ phương của d: u = (1; −1;2) Mặt phẳng cần tìm −6 x − 4 y + z + 5 = 0 Ví dụ 8. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua M(1;-1;1) và cắt cả hai  x = 1 + 2t  x = −2 + t '  đuờng thẳng sau: d :  y = t ; d ':  y = 3 − 2t '  z = 3− t  z = t '  Hình minh họa Phân tích Gọi a là đường thẳng cần tìm. Vì a qua d M và cắt d nên thuộc mp(M,d). Tương a M d' tự a thuộc mp(M,d’). Vậy a là giao tuyến của (M,d) và (M, d’). Chia nhỏ: kế thừa bài toán trên bài toán này được chia thành 03 bài toán sau - Viết phương trình mặt phẳng (M,d). (Ví dụ 7) - Viết phương trình mặt phẳng (M,d). (Ví dụ 7); Trang 7 - Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của mp ( M; d ) và mp ( M; d ' ) (Bài toán 7) Tiến hành giải: mp(M,d): 3x − 4 y + 2 z + 9 = 0 ; mp(M,d’): x + y + z − 1 = 0  x = −11 − 6t Vậy : a :  y = −t  z = 12 + 7t  Ví dụ 9. Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu vuông góc của d trên (P). biết:  x = 1+ t  d :  y = −1 − t ,  z = 2 + 2t  ( P) : 2 x + y + z − 5 = 0 Hình minh họa Phân tích d Giả sử ta dựng được d’ là hình chiếu vuông góc của d trên (P). Dễ thấy rằng d và d’ cùng nằm trên mp(Q) mà (Q) chứa d và vuông góc với (P). Vậy d’ là giao P d' tuyến của (P) và (Q). Để giải bài này ta chỉ cần viết phương trình mặt phẳng (Q). Chia nhỏ: Bài toán được chia thành 05 bài toán nhỏ: - Lấy điểm M trên d. (Bài toán 5) - Tìm vectơ chỉ phương u của d. (Dễ dàng) - Tìm pháp vectơ n của (P). (Dễ dàng) - Viết phương trình (Q) qua M có cặp vectơ chỉ phương là u, n . (Bài toán 6) - Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến (P) và (Q).(bài toán 7) Tiến hành giải: Diểm M(1;-1;2) Ta có u = (1; −1;2) ; n = (2;1;1) Trang 8 Ta có (Q) : − x + y + z = 0 5  x = 3  5 Vậy phương trình tham số của đường thẳng cần tìm  y = − 3t 3   z = 3t   x = 1 + 2t Ví dụ 10. Cho A(1;1;-6) và d :  y = −1 − t . Viết phương trình tham số của đường  z = 2 + 2t  thẳng qua A vuông góc với d và cắt d. Hình minh họa Phân tích Gọi đường thẳng cần tìm là d’, vì d’ qua d A và vuông góc với d nên d’ nằm trên H P A mặt phẳng (P) với (P) chứa A và vuông góc với d. Gọi H là giao điểm của d và (P). Để d’ cắt d thì d’ phải qua H. Vì vậy đường thẳng cần tìm chính là AH. Chia nhỏ: Bài toán được chia thành 03 bài toán nhỏ như sau: - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d. (Bài toán 4) - Tìm giao điểm H của (P) và d. (Bài toán 1) - Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A và H. (Bài toán 2) Tiến hành giải: mp( P ) : 2 x − y + 2 z + 11 = 0 ; giao điểm H(-3;1-2)  x = 1 + 4t Vậy d ' :  y = 1  z = −6 − 4t  Ví dụ 11. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng  x = 1− t  x = 2−t'  (P): y+2z=0 và cắt hai đường thẳng sau: d :  y = t , d ' :  y = 4 + 2t '  z = 4t  z =1   Trang 9 Hình minh họa Phân tích Gọi a là đường thẳng cần tìm, vì a nằm d d' trên (P) và cắt cả d và d’ nên a phải qua giao điểm của hai đường thẳng d và d’ B A P với (P). Chia nhỏ: Bài toán trên được chia thành 03 bài toán nhỏ như sau: - Tìm giao điểm A của d và (P). (Bài toán 1) - Tìm giao điểm B của d’ và (P). (Bài toán 1) - Viết phương trình đường thẳng qua A và B. (Bài toán 2) Tiến hành giải: Điểm A(1;0;0); điểm B(5;-2;1)  x = 1 − 4t Phương trình tham số của đường thẳng cần tìm: a :  y = 2t  z = −t  Ví dụ 12. Viết phương trình đường thẳng qua M(0;1;1) vuông góc với  x = −1 x −1 y + 2 z  d: = = và cắt đường thẳng d ' :  y = −t 3 1 1 z = 1 − t  Hình minh họa Phân tích Phân tích: Gọi a là đường thẳng cần Q d' d tìm. Vì a qua M và vuông góc với d nên a thuộc (P) với (P) qua M và vuông góc M P với d. Vì a qua M và cắt d nên a thuộc (Q) với (Q) qua M và chứa d’. Vậy đường thẳng cần tim là giao tuyến của (P) và (Q). Chia nhỏ: Bài toán được chia thành 03 bài toán sau: - Viết phương trình (P) qua M và vuông góc với d. (Bài toán 4) Trang 10 - Viết phương trình (Q) qua M và chứa d’. (Ví dụ 7) - Viết phương trình tham số của a là giao tuyến của (P) và (Q) (bài toán 7) Tiến hành giải: Ta có ( P) : 3x + y + z − 2 = 0 Ta có (Q) : x − y + z = 0  x = 2t Vậy phương trình tham số của đường thẳng cần tìm:  y = 1 − 2t  z = 1 − 4t  Ví dụ 13. Cho (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình: (P) x + y + z − 1 = 0 và  y =1 . Viết phương trình tham số của đường thẳng qua giao điểm của d và (P), d :  z = −1 nằm trong (P) và vuông góc d. Hình minh họa Phân tích Gọi a là đường thẳng cần tìm. Gọi I là d P giao điểm của d và (P).Vì a qua I và vuông góc với d nên a thuộc (Q) với a (Q) qua I và vuông góc với d. Mặt khác I Q theo đề ta có a thuộc (P). Vậy a là giao tuyến của (P) và (Q). Chia nhỏ: Bài toán được chia thành 03 bài toán nhỏ sau: - Tìm giao điểm I của d và (P). (Bài toán 1) - Viết phương trình (Q) qua I và vuông góc với d. (Bài toán 4) - Viết phương trình tham số của đường thẳng a là giao tuyến của (P) và (Q) (bài toán 7) Tiến hành giải: Điểm I(1;1;-1); mp (Q) : x − 1 = 0 x =1 Vậy phương trình tham số của đường thẳng cần tìm a :  y = t  z = −t  3.3. Khả năng áp dụng của giải pháp: Trang 11 - Sáng kiến kinh nghiệm này đã áp dụng có hiệu quả trong các lớp 12 chúng tôi đã và đang giảng dạy; - Sáng kiến có thể là tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên giảng dạy Toán trong tổ chuyên môn; 3.4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp: - Sáng kiến này giúp các em học sinh tự tin hơn, tích cực hơn trong học tập. Mỗi học sinh có điều kiện thể hiện chính kiến của mình. Qua đó các em có thể tự đánh giá về năng lực bản thân. - Sau khi áp dụng sáng kiến này chất lượng học tập của học sinh tăng lên đáng kể. - Sáng kiến này rất phù hợp để ôn tập cuối chương cũng như cuối năm học. Bến Tre, ngày 15 tháng 3 năm 2018 Nhóm tác giả: Nguyễn Thị Bích Loan Lê Vĩnh Phúc Trần Văn Dũng Phạm Văn Dũng Trường THPT Lê Hoàng Chiếu, huyện Bình Đại Trang 12