Lêi nãi ®Çu
D¹ng to¸n “ Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph ¬ng tr×nh” ë ch¬ng tr×nh ®¹i
sè c¸c líp 8 vµ 9 ë trêng trung häc c¬ së lµ mét d¹ng to¸n t¬ng ®èi khã ®èi víi
häc sinh. Do ®Æc trng cña lo¹i nµy thêng lµ lo¹i to¸n cã ®Ò bµi b»ng lêi v¨n vµ
thêng ®îc xen trén nhiÌu d¹ng ng«n ng÷ (ng«n ng÷ th«ng thêng, ng«n ng÷ to¸n
häc, vËt lý).
HÇu hÕt c¸c bµi to¸n cã c¸c dù kiÖn rµng buéc nhau, Èn ý díi d¹ng lêi
v¨n, buéc häc sinh ph¶i cã suy luËn tèt míi t×m ®îc sù liªn quan gi÷a c¸c ®¹i lîng dÉn ®Õn viÖc lËp ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh mµ thùc chÊt c¸c vÊn ®Ò
khoa häc gi¶i to¸n lµ gi¶i ph¬ng tr×nh.
Trong ph©n phèi ch¬ng tr×nh to¸n ë trêng trung häc c¬ së th× ®Õn líp 8
häc sinh míi ®îc häc vÒ kh¸i niÖm ph¬ng tr×nh vµ c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng c¸c ph¬ng tr×nh. Nhng viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh ®· cã trong ch¬ng tr×nh to¸n
tõ líp 1 víi møc ®é vµ yªu cÇu tuú theo tõng ®èi tîng häc sinh.
ë líp 1, 2 ph¬ng tr×nh ®îc cho díi d¹ng: §iÒn sè thÝch hîp vµo « trèng:
-2=5
ë líp 3 ®îc n©ng dÇn díi d¹ng: x + 3 – 2 = 10
ë líp 4, 5, 6 cho díi d¹ng phøc t¹p h¬n nh:
x:3=4:2
x . 3 + 5 = 11; (x – 15). 7 = 21
ë líp 7, 8, 9 ngoµi nh÷ng mèi liªn hÖ nh trªn bµi to¸n cßn cho díi d¹ng
lêi v¨n cã c¸c d÷ kiÖn kÌm theo.
V× vËy muèn gi¶i ®îc lo¹i to¸n nµy häc sinh ph¶i suy nghÜa ®Ó thiÕt lËp
mèi quan hÖ dÉn ®Õn viÖc lËp ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh).
Mét ®Æc thï riªng cña lo¹i to¸n nµy lµ hÇu hÕt c¸c bµi to¸n ®Òu ®îc g¾n
liÒn víi néi dung thùc tÕ. ChÝnh v× vËy mµ viÖc chän Èn sè thêng lµ nh÷ng sè liÖu
cã liªn quan ®Õn thùc tÕ. Do ®ã khi gi¶i to¸n häc sinh thêng m¾c sai lÇm lµ tho¸t
ly thùc tÕ... Tõ nh÷ng lý do ®ã mµ häc sinh rÊt ng¹i lµm lo¹i to¸n nµy. MÆt kh¸c,
còng cã thÓ trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y do n¨ng lùc, tr×nh ®é cña gi¸o viªn míi
chØ d¹y cho häc sinh ë møc ®é truyÒn thô tinh thÇn cña s¸ch gi¸o khoa mµ cha
biÕt ph©n lo¹i to¸n, cha kh¸i qu¸t ®îc c¸ch gi¶i cho mçi d¹ng. Kü n¨ng ph©n
tÝch tæng hîp cña häc sinh cßn yÕu trong qu¸ tr×nh ®Æt Èn sè, mèi liªn hÖ gi÷a
1
c¸c d÷ liÖu trong bµi to¸n, dÉn ®Õn lóng tóng trong viÖc gi¶i lo¹i to¸n nµy.
ChÝnh v× vËy, muèn gi¶i bµi to¸n b»ng c¸c lËp ph¬ng tr×nh hay hÖ ph¬ng
tr×nh th× ®iÒu quan träng lµ ph¶i biÕt diÔn ®¹t nh÷ng mèi liªn hÖ cho trong bµi
thµnh nh÷ng quan hÖ to¸n häc. Do vËy, nhiÖm vô cña ngêi thÇy gi¸o kh«ng ph¶i
lµ gi¶i bµi tËp cho häc sinh mµ vÊn ®Ò ®Æt ra lµ ngêi thÇy ph¶i d¹y cho häc sinh
c¸ch gi¶i bµi tËp. Do ®ã khi híng dÉn cho häc sinh gi¶i lo¹i to¸n dùa vµo qu¸
tr×nh biÕn thiªn cña c¸c ®¹i lîng (t¨ng, gi¶m, thªm, bít...) lµm s¸ng tá mèi quan
hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng, dÉn ®Õn lËp ®îc ph¬ng tr×nh dÔ dµng. §©y lµ bíc quan
träng vµ khã kh¨n ®èi víi häc sinh.
Trong thêi gian gi¶ng d¹y ë trêng trung häc c¬ së, qua häc hái kinh
nghiÖm cña c¸c thÇy gi¸o líp tríc vµ c¸c ®ång nghiÖp trong nhãm lµ ®Ò tµi nµy.
§îc sù híng dÉn tËn t×nh cña thÇy gi¸o TrÞnh Khang Thµnh, t«i m¹nh d¹n viÕt
®Ò tµi nµy víi mong muèn ®îc trao ®æi cïng víi ®ång nghiÖp nh÷ng kinh nghiÖm
trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vÒ d¹ng to¸n “ Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng
tr×nh” .
Néi dung chÝnh cña ®Ò tµi gåm:
Ch¬ng I:
Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu vµ yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi to¸n.
Ch¬ng II: Ph©n lo¹i c¸c bµi to¸n vµ c¸c giai ®o¹n gi¶i bµi to¸n b»ng
c¸ch lËp ph¬ng tr×nh.
Ch¬ng III: Nh÷ng lo¹i to¸n vµ híng dÉn häc sinh gi¶i.
Ch¬ng IV: PhÇn thùc nghiÖm.
Do tr×nh ®é cã h¹n nªn ®Ò tµi nµy kh«ng tr¸nh ®îc nh÷ng sai sãt rÊt mong
c¸c thÇy gi¸o lîng thø vµ chØ b¶o ®Ó b¶n th©n t«i rót ®îc kinh nghiÖm trong
gi¶ng d¹y vµ ¸p dông.
Th¸i B×nh, ngµy … th¸ng …n¨m 200…
T¸c gi¶
Ch¬ng I
2
Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu vµ yªu cÇu gi¶i mét bµi to¸n
I. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu:
Dùa vµo ph©n phèi ch¬ng tr×nh chung cña Bé gi¸o dô - ®µo t¹o ban hµnh
vÒ ch¬ng tr×nh to¸n bËc THCS ë líp 8 cã tÊt c¶ 25 tiÕt nghiªn cøu vÒ ph¬ng tr×nh
bËc nhÊt mét Èn vµ gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh. ë líp 9 cã 36 tiÕt
nghiªn cøu vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn. Trong ch¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa ë c¶
hai líp trªn cã 74 bµi tËp.
Mét trong c¸c ph¬ng ph¸p híng dÉn häc sinh gi¶i lo¹i to¸n trªn lµ dùa vµo
quy t¾c chung: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh. Néi dung quy t¾c gåm
c¸c bíc:
Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh (gåm c¸c c«ng viÖc)
- Chän Èn sè, chó ý ghi râ ®¬n vÞ vµ ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn.
- Dïng Èn sè vµ c¸c sè ®· biÕt, ®· cho trong bµi to¸n ®Ó biÓu thÞ sè liÖu
kh¸c nhau cã liªn quan, diÔn gi¶i c¸c bé phËn h×nh thµnh ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng
tr×nh).
Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh)
Tuú thuéc vµo tõng d¹ng ph¬ng tr×nh mµ chän c¸ch gi¶i cho thÝch hîp vµ
ng¾n gän.
Bíc 3: NhËn ®Þnh kÕt qu¶, thö l¹i vµ tr¶ lêi.
- Chó ý so s¸nh víi ®iÒu kiÖn ®Æt ra cho Èn xem cã thÝch hîp kh«ng? sau
®ã tr¶ lêi kÕt qu¶ (cã kÌm theo ®¬n vÞ).
MÆc dï ®· cã quy t¾c trªn xong ngêi gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh híng dÉn
gi¶i lo¹i to¸n nµy cÇn cho häc sinh vËn dïng theo s¸t yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi
to¸n nãi chung.
II. Yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi to¸n.
1. Yªu cÇu 1:
Lêi gi¶i kh«ng ph¹m sai lÇm vµ kh«ng cã sai sãt mÆc dï nhá.
Muèn cho häc sinh kh«ng m¾c sai ph¹m nµy gi¸o viªn ph¶i lµm cho
häc sinh hiÓu ®Ò to¸n vµ trong qu¸ tr×nh gi¶i kh«ng sai sãt vÒ kiÕn thøc, ph¬ng
ph¸p suy luËn, kü n¨ng tÝnh to¸n, ký hiÖu, ®iÒu kiÖn cña Èn. Ph¶i rÌn cho häc
sinh cã thãi quen ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn sè vµ xem xÐt ®èi chiÕu kÕt qu¶ víi
®iÒu kiÖn cña Èn ®· hîp lý cha.
3
VÝ dô 1: (Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp 1995 – 1996)
Tû sè gi÷a tuæi em vµ tuæi anh b»ng 0,5. Sau 3 n¨m n÷a tû sè sÏ t¨ng
thªm 0,1. Hái tuæi anh vµ em hiÖn nay?
NÕu gäi tuæi em lµ x(x > 0, x N). NÕu tuæi em lµ x th× tuæi anh lµ 2x
(ph©n tÝch).
Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh:
x 3
0,5 0,1 0,6
2x 3
<=> x + 3 = 0,6 (2x + 3)
<=> x = 6 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®· ®Æt)
=> Tuæi em hiÖn nay lµ 6, tuæi anh lµ 12.
2. Yªu cÇu 2:
Lêi gi¶i bµi to¸n lËp luËn ph¶i cã c¨n cø chÝnh x¸c. Trong qu¸ tr×nh
thùc hiÖn tõng bíc cã logic chÆt chÏ víi nhau, cã c¬ së lý luËn chÆt chÏ, ®Æc
biÖt ph¶i chó ý ®Õn viÖc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nªu trong gi¶ thiÕt. X¸c ®Þnh Èn
khÐo lÐo, mèi quan hÖ gi÷a Èn vµ d÷ kiÖn ®· cho lµm næi bËt ®îc ý ph¶i t×m.
Nhê mèi t¬ng quan gi÷a c¸c ®¹i lîng trong bµi to¸n thiÕt lËp ®îc ph¬ng tr×nh
(hÖ ph¬ng tr×nh) tõ ®ã t×m ®îc gi¸ trÞ cña Èn sè. Muèn vËy gi¸o viªn cÇn lµm
cho häc sinh hiÓu ®îc ®©u lµ Èn sè? ®©u lµ d÷ kiÖn? ®©u lµ ®iÒu kiÖn? ®iÒu
kiÖn cã ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh ®îc Èn kh«ng? Tõ ®ã mµ x¸c ®Þnh ®îc híng ®i, x©y
dùng ®îc c¸ch gi¶i.
VÝ dô 2: (To¸n ph¸t triÓn ®¹i sè 9 – 1996 – NguyÔn Ngäc §¹m – Tr¬ng C«ng Thµnh – NXB Gi¸o dôc).
Hai c¹nh cña mét khu ®Êt h×nh ch÷ nhËt h¬n kÐm nhau 4m. TÝnh chu vi
cña khu ®Êt ®ã nÕu biÕt diÖn tÝch cña nã b»ng 1200m2.
Híng dÉn: ë ®©y bµi to¸n hái chu vi cña h×nh ch÷ nhËt, häc sinh thêng
cã xu thÕ bµi to¸n hái g× thø gäi ®ã lµ Èn sè. NÕu gäi chu vi cña h×nh ch÷ nhËt
lµ Èn sè th× bµi to¸n ®i vµo bÕ t¾c khã cã lêi gi¶i. Gi¸o viªn cÇn híng dÉn häc
sinh ph¸t triÓn s©u trong kh¶ n¨ng suy diÔn ®Ó tõ ®ã ®Æt vÊn ®Ò. Muèn tÝnh
chu vi h×nh ch÷ nhËt ta cÇn g×? => (c¹nh h×nh ch÷ nhËt). Tõ ®ã gäi chiÒu réng
khu ®Êt h×nh ch÷ nhËt lµ x (x> 0). Tõ ®ã ta cã ph¬ng tr×nh.
x(x + 4) = 1200 <=> x2 + 4x + 1200 = 0
4
Gi¶i ph¬ng tr×nh ta cã:
x1 = 30
x2 = -34
Gi¸o viªn gióp häc sinh tõ ®iÒu kiÖn ®Ó lo¹i nghiÖm x2 chØ lÊy x1 = 30
=> chiÒu dµi lµ 30 + 4 = 34 vµ chu vi lµ: 2(30 + 34) = 128m
(ë bµi to¸n nµy nghiÖm x2 = - 34 cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng chiÒu dµi h×nh
ch÷ nhËt, häc sinh dÔ m¾c sai sãt coi ®ã còng lµ kÕt qu¶ cña bµi to¸n.
3. Yªu cÇu 3:
Lêi gi¶i ph¶i ®Çy ®ñ vµ mang tÝnh toµn diÖn. Híng dÉn häc sinh kh«ng
®îc bá sãt kh¶ n¨ng chi tiÕt nµo, kh«ng thõa nhng còng kh«ng thiÕu. RÌn cho
häc sinh c¸ch kiÓm tra l¹i lêi gi¶i ®· ®Çy ®ñ cha? KÕt qu¶ cña bµi to¸n ®· lµ
®¹i diÖn phï hîp víi mäi c¸i nãi chung. NÕu thay ®æii ®iÒu kiÖn bµi to¸n r¬i
vµo trêng hîp ®Æc biÖt th× kÕt qu¶ vÉn lu«n lu«n ®óng.
VÝ dô 3: (Bµi «n luyÖn to¸n 9 – NXB Hµ Néi)
Mét tam gi¸c cã chiÒu cao b»ng ¾ c¹nh ®¸y. NÕu chiÒu cao t¨ng thªm
3dm vµ c¹nh ®¸y gi¶m ®i 2 dm th× diÖn tÝch cña nã t¨ng thªm 12 dm 2. TÝnh
chiÒu cao vµ c¹nh ®¸y.
Lu ý häc sinh: Dï cã thay ®æi chiÒu cao, c¹nh ®¸y cña tam gi¸c th× diÖn
tÝch (S) cña nã lu«n ®îc tÝnh theo c«ng thøc:
S=
1
2
(c¹nh ®¸y . chiÒu cao)
Tõ ®ã gäi chiÒu dµi c¹nh ®¸y (lóc ®Çu) lµ x(x > 0, dm) th× chiÒu cao sÏ
lµ
3
4
x (lóc ®Çu).
=> S lóc ®Çu lµ
=> S sau lµ:
1
2
1
2
x.
3
4
x
3
(x-2) . ( 4 x + 3)
Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh:
1
3
( x 2). x 3
2
4
Gi¶i ph¬ng tr×nh ta tãm ®îc: x = 20 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn => chiÒu cao
cña tam gi¸c lµ
3
4
x 20 = 15dm
5
4. Yªu cÇu 4:
Lêi gi¶i bµi to¸n ph¶i ®¬n gi¶n
Bµi gi¶i ph¶i ®¶m b¶o ®îc 3 yªu cÇu trªn. Kh«ng sai sãt, cã lËp luËn,
mang tÝnh toµn diÖn vµ phï hîp kiÕn thøc, tr×nh ®é häc sinh, ®¹i ®a sè häc
sinh hiÓu vµ lµm ®îc.
VÝ dô 4: (Bµi to¸n cæ)
Võa gµ võa chã
Bã l¹i cho trßn
Mét tr¨m ch©n ch½n.
Hái cã mÊy gµ, mÊy chã?
Víi bµi to¸n nµy nÕu gi¶i nh sau:
Gäi sè gµ lµ x(x>0), x N) th× sè chã lµ 36x – x.
Gµ cã 2 ch©n => Sè ch©n gµn lµ 2x ch©n
Chã cã 4 ch©n => Sè ch©n chã lµ 4(36 – x) ch©n
Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 2x + 4(36 – x) = 100
Gi¶i ra ta cã: x = 22 => gµ = 22 con => sè chã cã lµ 36 – 22 = 14 con
Th× bµi to¸n ng¾n gän dÔ hiÓu. Nhng häc sinh gi¶i theo c¸ch dïng 2 Èn
(x, y) hoÆc gäi sè ch©n gµn lµ x => sè ch©n chã lµ 100 – x.
=> Ph¬ng tr×nh:
x 100 x
36
2
4
KÕt qu¶ còng lµ gµn 22 con, chã 14 con nhng ®· v« t×nh biÕn bµi gi¶i
khã hiÓu h¬n hay kh«ng hîp víi tr×nh ®é cña häc sinh.
5. Yªu cÇu 5:
Lêi gi¶i ph¶i tr×nh bµy khoa häc.
§ã lµ lu ý ®Õn mèi liªn hÖ gi÷a c¸c bíc gi¶i trong bµi to¸n ph¶i logic,
chÆt chÏ víi nhau, c¸c bíc sau ®îc suy ra tõ c¸c bíc tríc nã, ®· ®îc kiÓm
nghiÖm, chøng minh lµ ®óng, hoÆc nh÷ng ®iÒu ®· biÕt tõ tríc.
VÝ dô 5: (To¸n ph¸t triÓn ®¹i 9 – NguyÔn Ngäc §¹m – Tr¬ng C«ng
6
Thµnh – NXB Gi¸o dôc 1996).
ChiÒu cao cña mét tam gi¸c vu«ng b»ng 9,6m vµ chia c¹nh huyÒn thµnh
2 ®o¹n h¬n kÐm nhau 5,6m. TÝnh ®é dµi c¹nh huyÒn cña tam gi¸c.
A
B
h
b'
H
c’
C
’ ta cã:
Theo h×nh vÏ
Bµi to¸n yªu cÇu t×m ®é dµi BC khi ®· biÕt AH.
Tríc khi gi¶i cÇn kiÓm tra kiÕn thøc häc sinh ®Ó cñng cè c«ng thøc
h2 =b’.c’ <=> AH 2 = BH . HC.
§Ó tõ ®ã: Gäi BH cã ®é dµi lµ x(x > 0) => HC cã ®é dµi lµ x + 5, 6.
Theo c«ng thøc (®· biÕt ë phÇn h×nh häc) ta cã ph¬ng tr×nh:
x (x + 5, 6) = (9,6)2
Gi¶i ph¬ng tr×nh ta cã x = 7, 2 = 20m
6. Yªu cÇu 6:
Lêi gi¶i bµi to¸n ph¶i râ rµng ®Çy ®ñ (cã thÓ nªn thö l¹i).
Lu ý ®Õn viÖc gi¶i c¸c bíc lËp luËn, tiÕn hµnh kh«ng chång chÐo nhau,
phñ ®Þnh lÉn nhau, kÕt qu¶ ph¶i ®óng. Muèn vËy cÇn rÌn cho häc sinh cã thãi
quen sau khi gi¶i xong cÇn thö l¹i kÕt qu¶ vµ t×m hÕt c¸c nghiÖm cña bµi to¸n,
tr¸nh bá sãt, nhÊt lµ ®èi víi ph¬ng tr×nh bËc 2, hÖ ph¬ng tr×nh.
VÝ dô 6: (To¸n ph¸t triÓn ®¹i 9 – NguyÔn Ngäc §¹m – Tr¬ng C«ng
Thµnh – NXB Gi¸o dôc 1996).
§é dµi c¹nh huyÒn cña mét tam gi¸c vu«ng lµ 25, cßn tæng ®é dµi hai
c¹nh gãc vu«ng lµ 35. T×m ®é dµi mçi c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c?
Híng dÉn: Gäi ®é dµi c¸c c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c lµ x, y (x,y > 0).
Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:
x + y = 35
(1)
x2 + y2 = 252 = 625
(2)
Rót y tõ ph¬ng tr×nh (1) thay vµo ph¬ng tr×nh (2) ta cã ph¬ng tr×nh: x235x + 330 = 0.
Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc 2 nµy ta t×m ®îc x1 = 20; x2 = 15
7
§Õn ®©y häc sinh hay hoang mang vµ ra h¸i kÕt qu¶ (thùc chÊt trong bµi
to¸n tam gi¸c vu«ng nµy lµ 1) kh«ng biÕt lÊy kÕt qu¶ nµo?
Gi¸o viªn cÇn x©y dùng cho häc sinh cã thãi quen ®èi chiÕu kÕt qu¶ víi
®iÒu kiÖn ®Çu bµi nÕu ®¶m b¶o th× c¸c nghiÖm ®Òu hîp lý. Mét bµi to¸n kh«ng
nhÊt thiÕt chØ cã duy nhÊt mét kÕt qu¶ vµ ®îc kiÓm chøng l¹i b»ng viÖc thö l¹i
tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ ®ã víi yªu cÇu cña bµi to¸n.
Ch¬ng II: Ph©n lo¹i bµi to¸n
Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh vµ c¸c giai ®o¹n gi¶i mét bµi
to¸n
I. Ph©n lo¹i c¸c bµi to¸n gi¶i b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh
vµ hÖ ph¬ng tr×nh.
Trong 74 bµi tËp ë líp 8 vµ líp 9 gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng
tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh cã thÓ ph©n lo¹i nh sau:
1. Lo¹i to¸n vÒ chuyÓn ®éng
2. Lo¹i to¸n cã liªn quan ®Õn sè häc.
3. Lo¹i to¸n vÒ n¨ng suÊt lao ®éng (tû sè phÇn tr¨m).
4. Lo¹i to¸n vÒ c«ng viÖc lµm chung, lµm riªng (to¸n quy vÒ ®¬n vÞ).
5. Lo¹i to¸n vÒ tû lÖ chia phÇn (thªm, bít, t¨ng, gi¶m, tæng, hiÖu, tû sè
cña chóng).
6. Lo¹i to¸n cã liªn quan h×nh häc.
7. Lo¹i to¸n cã chøa tham sè.
8. Lo¹i to¸n cã néi dung vËt lý, ho¸ häc.
II. C¸c giai ®o¹n gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh
vµ hÖ ph¬ng tr×nh.
1. PhÇn giai ®o¹n:
- Víi bµi to¸n bËc nhÊt mét Èn sè: Lµ d¹ng bµi to¸n sau khi x©y dùng
ph¬ng tr×nh, biÕn ®æi t¬ng ®¬ng vÒ d¹ng.
ax + b = 0 (a ≠ 0)
8
- Víi bµi to¸n gi¶i b»ng ph¬ng tr×nh bËc 2 lµ d¹ng to¸n sau khi x©y
dùng ph¬ng tr×nh, biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ®a vÒ d¹ng:
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
- Víi bµi to¸n: Gi¶i bµi to¸n b»ng hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 2 Èn lµ d¹ng
sau khi x©y dùng biÕn ®æi t¬ng ®¬ng vÒ d¹ng nguyªn (nh mÉu sè) cã d¹ng:
ax + by = c
a’x + b’y = c’
Trong ®ã a, b, a’, b’ kh«ng ®ång thêi b»ng 0.
§Ó ®¶m b¶o 6 yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi to¸n vµ 3 bíc trong quy t¾c gi¶i
bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh) nh phÇn I ®· tr×nh bµy th×
gi¶i bµi to¸n lo¹i nµy cã thÓ chia thµnh 7 giai ®o¹n cô thÓ râ h¬n 3 bíc trong
quy t¾c gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh ( hÖ ph¬ng tr×nh).
* Giai ®o¹n 1: §äc kü ®Ò bµi, ph©n tÝch hÕt gi¶ thiÕt kÕt luËn cña bµi
to¸n gióp häc sinh hiÓu bµi to¸n cho nh÷ng d÷ kiÖn g×? cÇn t×m g×? (cã thÓ m«
t¶ b»ng h×nh vÏ ®îc kh«ng?)
* Giai ®o¹n 2: Nªu râ c¸c vÊn ®Ò liªn quan ®Ó lËp ph¬ng tr×nh. Tøc lµ
chän Èn sè thÕ nµo cho phï hîp, ®iÒu kiÖn thÕ nµo cña Èn cho tho¶ m·n.
* Giai ®o¹n 3: LËp ph¬ng tr×nh, dùa vµo c¸c quan hÖ gi÷a Èn sè vµ c¸c
®¹i lîng ®· biÕt, ®a vµo c¸c c«ng thøc, tÝnh chÊt ®Ó x©y dùng ph¬ng tr×nh, biÕn
®æi t¬ng ®¬ng ®Ó ®a ph¬ng tr×nh ®· x©y dùng vÒ ph¬ng tr×nh ë d¹ng ®· biÕt,
®· gi¶i ®îc.
* Giai ®o¹n 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh (bíc 2). VËn dông c¸c kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh ®· biÕt ®Ó t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
* Giai ®o¹n 5: Nghiªn cøu nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh lêi gi¶i
cña bµi to¸n, víi thùc tiÔn xem cã phï hîp kh«ng?
* Giai ®o¹n 6: Tr¶ lêi bµi to¸n, kÕt luËn nghiÖm cña bµi to¸n xem cã
mÊy nghiÖm, sau khi ®· thö l¹i.
* Giai ®o¹n 7: Ph©n tÝch biÖn luËn c¸ch gi¶i. PhÇn nµy thêng më réng
cho häc sinh t¬ng ®èi kh¸, giái. Sau khi gi¶i xong cã thÓ gîi ý cho häc sinh
biÕn ®æi bµi to¸n ®· cho thµnh bµi to¸n kh¸c, ta cã thÓ:
- Gi÷ nguyªn Èn sè thay ®æi c¸c yÕu tè kh¸c (d÷ kiÖn vµ gi¶ thiÕt).
- Gi÷ nguyªn d÷ kiÖn, thay ®æi c¸c yÕu tè kh¸c (Èn sè vµ gi¶ thiÕt)
9
nh»m ph¸t triÓn t duy to¸n häc cho häc sinh.
- Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch kh¸c t×m c¸ch gi¶i hay nhÊt.
2. VÝ dô minh ho¹ cho c¸c giai ®o¹n gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh.
VÝ dô 1: (§¹i sè líp 8 – NguyÔn Duy ThuËn – NXB Gi¸o dôc 1995)
Nhµ b¸c §iÒn thu ho¹ch ®îc 480 kg cµ chua vµ khoai tay khèi lîng
khoai gÊp 3 lÇn khèi lîng cµ chua. TÝnh khèi lîng mçi lo¹i.
Híng dÉn gi¶i:
* Giai ®o¹n 1:
Gi¶ thiÕt
Khoai + cµ chua = 480
Khoai = 3 lÇn cµ chua
* Giai ®o¹n 2: Thêng lµ ®iÒu cha biÕt ®îc gäi lµ Èn sè. ë bµi nµy c¶ sè lîng cµ chua vµ sè lîng khoai ®Òu cha biÕt nªn cã thÓ coi mét trong hai lo¹i
(hoÆc c¶ 2 lo¹i).
Cô thÓ: Gäi sè lîng khoai lµ x(x > 0kg) th× sè lîng cµ chua lµ 480 – x
(hoÆc sè lîng cµ chua lµ y) => x + y = 480
* Giai ®o¹n 3: LËp ph¬ng tr×nh
V× sè lîng khoai b»ng 3 lÇn sè lîng cµ chua. Do ®ã mèi quan hÖ sÏ lµ
khoai = 3. cµ chua. Ta cã ph¬ng tr×nh:
x = 3(480 – x) (*)
hoÆc
x = 3y
x + y = 489 (**)
* Giai ®o¹n 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
TiÕp theo c¸ch lËp ph¬ng tr×nh dÉn ®Õn gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt (*)
hay hÖ ph¬ng tr×nh (**).
Gi¶i (*) ta ®îc x = 360kg
Gi¶i (**) ta còng ®îc x = 360kg, y = 120kg b»ng c¸ch thay x = 3y vµo
x + y = 480.
* Giai ®o¹n 5: §èi chiÕu nghiÖm ®· gi¶i víi ®iÒu kiÖn ®· ra xem møc
®é tho¶ m·n hay kh«ng tho¶ m·n. ë ®©y x = 360 > 0 nªn tho¶ m·n.
10
Tõ ®ã => sè cµ chua: 480 – 360 = 120kg.
Thö l¹i:
Sè khoai : 360kg
Sè cµ chua : 120kg => Khoai = 3 cµ chua (®óng)
* Giai ®o¹n 6: Tr¶ loµi vµ ®¸p sè.
VËy sè lîng khoai ®· thu lµ 360kg.
Sè lîng cµ chua ®· thu lµ 120kg.
* Giai ®o¹n 7: Nªn cho häc sinh nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau do viÖc
chän Èn sè kh¸c nhau ®· ®Õn x©y dùng ph¬ng tr×nh kh¸c nhau, tõ ®ã t×m c¸ch
gi¶i hay nhÊt, ng¾n gän nhÊt. Nh ®· tr×nh bµy ë trªn, tõ viÖc ®Æt Èn sè kh¸c
nhau ®Õn x©y dùng ph¬ng tr×nh khi lµ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn, khi lµ hÖ
ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn. Nhng cã thÓ lu ý cho häc sinh tèt nhÊt lµ ®a vÒ
ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n nhÊt, dÔ gi¶i nhÊt.
- Cã thÓ tõ bµi to¸n nµy x©y dùng hoÆc gi¶i c¸c bµi to¸n t¬ng tù.
VÝ dô:
+ Thay lêi v¨n vµ t×nh tiÕt bµi to¸n: gi÷ nguyªn sè liÖu, ta cã bµi to¸n
míi “Mét ph©n sè cã tæng tö vµ mÉu sè lµ 480. BiÕt r»ng mÉu gÊp 3 lÇn tö.
T×m ph©n sè ®ã”.
+ Thay sè liÖu gi÷ nguyªn lêi v¨n.
+ Thay kÕt luËn thµnh gi¶ thiÕt vµ ngîc l¹i ta cã bµi to¸n “Tuæi cha gÊp 3
lÇn tuæi con, biÕt r»ng tuæi cña con lµ 12. T×m tæng sè tuæi cua cha vµ con.
B»ng c¸ch ®ã cã thÓ x©y dùng cho häc sinh cã thãi quen tËp hîp c¸c
d¹ng bµi to¸n t¬ng tù vµ c¸ch gi¶i t¬ng tù. §Õn khi gÆp bµi to¸n häc sinh sÏ
nhanh chãng t×m ra c¸ch gi¶i.
Ch¬ng III: Nh÷ng lo¹i to¸n vµ híng dÉn häc sinh gi¶i
Ph©n lo¹i d¹ng to¸n
I. D¹ng to¸n chuyÓn ®éng:
Bµi to¸n 1: (S¸ch «n thi tèt nghiÖm – NXB Gi¸o dô 1990)
Nhµ Nam vµ Lan cïng n»m trªn ®êng quèc lé vµ ë c¸ch nhau 7m. NÕu
Nam vµ Lan ®i xe ®¹p cïng lóc vµ ngîc chiÒu nhau th× sau 1/4 giê hä gÆp
nhau. TÝnh vËn tèc cña mçi ngêi? BiÕt r»ng vËn tèc cña Lan b»ng 3/4 vËn tèc
cña Nam.
11
Híng dÉn häc sinh: §©y lµ bµi to¸n chuyÓn ®éng ngîc chiÒu khi 2 ngêi
gÆp nhau t¹i M tøc lµ 2 ngêi ®· ®i hÕt qu·ng ®êng AB = 7m. Mµ vËn tèc cña
Lan b»ng 3/4 vËn tèc cña Nam, nh vËy cã mèi quan hÖ nh thÕ nµo víi c¶ 2 ngêi trong khi thêi gian ®i cña c¶ 2 ngêi nh nhau => häc sinh sÏ hiÓu ®Ò bµi vµ
tù ®Æt ®îc Èn sè vµ lËp ph¬ng tr×nh vÒ mèi t¬ng quan gi÷a Èn sè vµ mét ®¹i lîng kh¸c.
A
M
B
* Lêi gi¶i:
C¸ch 1: Gäi vËn tèc cña Nam lµ x(x > 0,km/h) th× vËn tèc cña Lan lµ
3/4x. Nh vËy Au 1/4h Nam ®i ®îc qu·ng ®êng lµ 1/4x. Sau 1/4h Lan ®i ®îc
qu·ng ®êng lµ 3/4x . 1/4h c¶ 2 ngêi ®i ®îc qu·ng ®êng AB. VËy ta cã ph¬ng
tr×nh:
1
3 1
x . x 7
4
4 4
<=>
1
3
x
x 7
4
16
(1)
<=> 7x = 7 . 16 <=> x = 16
x tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n vµ ph¬ng tr×nh (1)
C¸ch 2: Gäi qu·ng ®êng cña Nam ®i sau 1/4h lµ x(km, 0< x < 7).
Qu·ng ®êng cña Lan ®i sau 1/4h lµ y(km, 0 < y < 7).
Theo bµi ra ta cã:
x+y=7
(1)
VËn tèc cña Nam sÏ lµ: x : 1/4 = 4x
VËn tèc cña Lan sÏ lµ: y : 1/4 = 4y
Theo bµi ra ta cã:
4x
1
4y
3
(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:
x+y=7
x
4
y
3
(1)
(2)
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ta t×m ®îc x = 4, y = 3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn vµ ph¬ng
tr×nh (1).
VËn tèc cña Nam lµ:
4:
1
16km / h
4
3:
1
12km / h
4
12
Bµi to¸n 2: (§¹i sè 9 – Ng« H÷u Dòng)
Mét tµu thuû ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 80km c¶ ®i lÉn vÒ mÊt 8h20’.
TÝnh vËn tèc cña tµu thuû khi níc yªn lÆng. BiÕt r»ng vËn tèc cña dßng níc lµ
4km/h.
* Híng dÉn häc sinh: Trong bµi nµy cÇn lu ý häc sinh x¸c ®Þnh vËn tèc
thùc cña tµu thuû khi ngîc dßng vµ xu«i dßng kh¸c nhau.
- Khi tµu xu«i dßng vËn tèc cña tµu b»ng vËn tèc thùc + vËn tèc dßng níc.
- Khi tµu ngîc dßng vËn tèc cña tµu b»ng vËn tèc thùc – vËn tèc dßng
níc.
* Lêi gi¶i:
Gäi vËn tèc cña tµu thuû khi níc yªn lÆng vµ x(x > 4, km/h). Do vËy
khi xu«i dßng vËn tèc cña tµu lµ x + 4, khi ngîc dßng vËn tèc cña tµu lµ x –4.
Thêi gian tµu ®i tõ A -> B xu«i dßng lµ 80/x+ 4
Thêi gian tµu ®i tõ B -> A ngîc dßng lµ 80/x – 4.
Thêi gian tµu xu«i (®i) vµ ngîc (vÒ) mÊt 8h20’
1
25
8. h h .
3
3
VËy ta cã
ph¬ng tr×nh:
80
80
25
x4 x 4
3
<=> 5x2 – 96x – 80 = 0
Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc 2 ta cã: ’ = 2 . 704 = (52)2 =>
' 25
=> x1 = 20, x2 = - 0,8 (lo¹i)
VËy x = 20 tho¶ m·n ®Ò bµi vµ ph¬ng tr×nh. VËy vËn tèc cña tµu thuû
khi yªn lÆng lµ 20km/h.
Tãm l¹i: Víi 3 lêi gi¶i trªn gi¸o viªn ®· h×nh thµnh cho häc sinh lµm
quen víi viÖc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh. ë ®©y
míi cè g¾ng nªu 2 c¸ch gi¶i ®¹i diÖn cho c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, ph¬ng tr×nh bËc 2 vµ hÖ ph¬ng tr×nh.
+ Trong d¹ng to¸n chuyÓn ®éng, häc sinh cÇn nhí vµ n¾m ch¾c c¸c ®¹i
c¬ng qu·ng ®êng, vËn tèc vµ thêi gian liªn quan víi c«ng thøc S = vt. Do ®ã
khi gi¶i nªn chän 1 trong 3 ®¹i lîng trªn lµ Èn sè vµ ®iÒu kiÖn lu«n lu«n d¬ng.
Sau ®ã ¸p dông c«ng thøc S = vt hoÆc ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n ®Ó x©y dùng ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh).
13
+ CÇn lu ý trong d¹ng to¸n chuyÓn ®éng còng cã thÓ chai ra nhiÒu d¹ng
nhá vµ cÇn lu ý.
- NÕu chuyÓn ®éng trªn cïng mét qu·ng ®êng th× vËn tèc vµ thêi gian
cã tû lÖ nghÞch víi nhau.
- NÕu thêi gian chuyÓn ®éng ®Õn chËm h¬n dù ®Þnh (bµi 9 – s¸ch ®¹i 8
– NguyÔn Duy ThuËn) th× c¸ch lËp ph¬ng tr×nh nh sau:
Thêi gian dù ®Þnh ®i víi vËn tèc ban ®Çu + thêi gian ®Õn chËm = Thêi
gian cña chuyÓn ®éng sau khi gi¶m vËn tèc + thêi gian chuyÓn ®éng ®i víi
vËn tèc ban ®Çu.
- NÕu thêi gian cña chuyÓn ®éng ®Õn nhanh h¬n dù ®Þnh (bµi 2 s¸ch ®·
dÉn) th× c¸ch lËp ph¬ng tr×nh lµm ngîc l¹i phÇn trªn.
+ NÕu chuyÓn ®éng trªn ®o¹n ®êng kh«ng ®æi tõ A => B råi tõ B => A
biÕt tæng thêi gian thùc tÕ cña chuyÓn ®éng (vÝ dô ch¬ng 3) th× c¸ch lËp ph¬ng
tr×nh nh bµi to¸n ®· tr×nh bµy. NghÜa lµ tæng thêi gian cña chuyÓn ®éng vÒ.
+ NÕu hai chuyÓn ®éng ngîc chiÒu nhau (VÝ dô 1 ch¬ng 3) sau mét thêi
gian hai chuyÓn ®éng nhau th× cã thÓ lËp ph¬ng tr×nh S = S1 + S2 + ...
II. D¹ng to¸n cã liªn quan sè häc:
Bµi 1: (Bµi 1 – trang 80 – s¸ch ®¹i 8 – NguyÔn Duy ThuËn – NXB
Gi¸o dôc 1995).
MÉu sè cña mét ph©n sè lín h¬n tö sè cña nã lµ 3. NÕu t¨ng c¶ tö vµ
mÉu thªm 2 ®¬n vÞ th× ®îc ph©n sè 1/2 . T×m ph©n sè ®· cho?
+ Híng dÉn häc sinh:
- §Ó t×m mét ph©n sè tøc lµ ta ph¶i t×m nh÷ng thµnh phÇn nµo? (tö,
mÉu?)
- BiÕt tö sè ta cã thÓ t×m ®îc mÉu sè kh«ng? vµ ngîc l¹i.
- Sau khi t¨ng c¶ tö vµ mÉu 2 ®¬n vÞ ta cã ph©n sè míi nµo?
+ Lêi gi¶i: ë ®©y nh ®· tr×nh bµy ë phÇn trªn, ta thÊy r»ng c¸c thµnh
phÇn cña tö sè vµ mÉu sè cña ph©n sè ®· cho ®Òu cha biÕt. NghÜa lµ t¬ng ®¬ng
nhau vÒ gi¸ trÞ Èn sè. Nh vËy ta cã thÓ gäi bÊt kú tö sè hay mÉu sè lµ Èn sè
c¸ch chän Èn nµo sÏ dÉn ®Õn c¸ch gi¶i kh¸c. Ngoµi ra nÕu gäi c¶ 2 thµnh phÇn
trªn lµ Èn sè sÏ dÉn ®Õn c¸ch gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph¬ng tr×nh. Nhng
ta sÏ chän c¸ch gi¶i ®¬n gi¶n nhÊt. Muèn vËy cÇn ®Æt Èn ®¬n gi¶n nhÊt. ë ®©y
lµ ph©n sè nªn thêng tö sè nhá h¬n mÉu sè (bµi to¸n còng ®· cho). VËy ta nªn
14
chän tö lµ Èn sè.
ThËt vËy: Gäi tö sè cña ph©n sè ®· cho lµ x(x ≠ 0) th× mÉu sè cña ph©n
sè lµ x + 3.
Sau khi t¨ng tö sè sÏ lµ: x + 2
Sau khi t¨ng mÉu sè sÏ lµ: x + S + 2 = x + 5
Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh
x2 1
x 5 2
(1) (§K x ≠ - 5)
=> 2(x + 2) = x + 5 => x = 1
Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi vµ cña ph¬ng tr×nh (1)
VËy ph©n sè ®· cho lµ:
1
1
1 3 4
Bµi 2: (Bµi 2 – s¸ch ®¹i 9 – Ng« H÷u Dòng – NXB Gi¸o dôc 1995)
Hai sè h¬n kÐm nhau 12 ®¬n vÞ. NÕu chia sè lín cho 5 vµ sè nhá cho 7
th× ®îc th¬ng thø nhÊt h¬n th¬ng thø 2 lµ 4 ®¬n vÞ. T×m 2 sè ®ã.
+ Híng dÉn häc sinh:
Víi lo¹i to¸n nµy häc sinh lóng tóng c¸ch biÓu diÔn th¬ng. NhiÒu em
coi th¬ng thø nhÊt lµ th¬ng cña sè nhá vµ 7, th¬ng thø 2 lµ th¬ng cña sè lín vµ
5, dÉn ®Õn kÕt qu¶ sai.
+ Lêi gi¶i: Theo 4 c¸ch ë b¶ng sau:
C¸ch
1
2
3
4
Qu¸ tr×nh
Cha tÝnh th¬ng
TÝnh th¬ng
Cha tÝnh th¬ng
TÝnh th¬ng
Cha tÝnh th¬ng
TÝnh th¬ng
Cha tÝnh th¬ng
TÝnh th¬ng
Sè lín
x
Sè nhá
x – 12
x
5
x 12
7
Ph¬ng tr×nh x©y dùng
x x 12
4
5
7
(*)
x + 12
x
x
7
x 12 x
4
5
7
x
y
x – y = 12
x
5
y
5
x y
4
5 5
y
x
y – x = 12 (1)
y
5
x
5
y x
4
5 7
(1)
(2)
(2)
Tõ 4 c¸ch chän Èn kh¸c nhau ta dÉn ®Õn x©y dùng 4 ph¬ng tr×nh (hay
15
hÖ ph¬ng tr×nh) kh¸c nhau vµ cã 4 c¸ch gi¶i kh¸c nhau nhng vÉn cïng mét kÕt
qu¶. Gi¶i ph¬ng tr×nh.
Ta ®îc:
=> 7x – 5x + 60 = 140
=> 2x + 60 = 140
=> x = 40 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n
VËy sè lín lµ 40 sè nhá lµ 40 – 12 = 28
Bµi 3: (Bµi 2 – s¸ch ®¹i 9 – Ng« H÷u Dòng – NXB Gi¸o dôc 1989)
T×m 2 sè biÕt tæng lµ 17 vµ tæng c¸c b×nh ph¬ng cña chóng lµ 157.
* Híng dÉn häc sinh:
§©y lµ bµi to¸n ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc 2. Còng cã thÓ cã 2 c¸ch gi¶i
theo ®Æt Èn kh¸c nhau:
* Lêi gi¶i: Theo b¶ng sau:
C¸ch
1
2
Qu¸ tr×nh
Sè thø nhÊt
Cha b×nh ph¬ng
B×nh ph¬ng
Cha b×nh ph¬ng
x(x ≠ 0)
Sè thø hai
7
x2
(17 –
x)2
x(x ≠ 0)
y(y ≠ 0)
Ph¬ng tr×nh x©y dùng
x2 + (17 – x)2 = 157
()
x + y = 17
B×nh ph¬ng
x2 + y2 = 157
x2
y2
Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) ta cã <=> 2x2 – 34 + 132 = 0
<=> x2 – 17x + 66 = 0
= 25,
= 5 => x1 = 11; x2 = 6
C¶ 2 nghiÖm x1, x2 ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n. VËy sè thø nhÊt
ph¶i t×m lµ 11, sè thø hai lµ 6.
Chó ý: Víi d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn sè häc cÇn cho häc sinh hiÓu
mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng ®Æc biÖt gi÷a hµng ®¬n vÞ, hµng chôc, hµng
tr¨m... biÓu diÔn díi d¹ng chÝnh t¾c cña nã.
ab 1a b
abc 100a 10b c
Khi ®æi chç vÞ trÝ c¸c ch÷ sè hµng tr¨m, chôc, ®¬n vÞ ta còng biÓu diÔn
t¬ng tù nh vËy. Dùa vµo ®ã ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn sè ph¶i phï hîp.
III. D¹ng to¸n vÒ n¨ng suÊt lao ®éng:
16
(Tû sè phÇn tr¨m)
VÝ dô 1: (¤n thi tèt nghiÖp THCS NXB Gi¸o dôc 1990)
Trong 2 th¸ng ®Çu 2 tæ s¶n xuÊt ®îc 400 chi tiÕt m¸y, trong th¸ng sau tæ
1 vît møc 10%, tæ 2 vît møc 15% nªn c¶ 2 tæ s¶n xuÊt ®îc 448 chi tiÕt m¸y.
TÝnh xem trong th¸ng ®Çu mçi tæ s¶n xuÊt ®îc bao nhiªu chi tiÕt m¸y.
* Híng dÉn häc sinh:
- §· biÕt n¨ng suÊt chung cña 2 tæ trong th¸ng ®Çu ®îc 400 chi tiÕt
m¸y. NÕu biÕt 1 trong 2 tæ sÏ tÝnh ®îc ®îc tæ kia (chän Èn).
- Gi¶ sö ®· biÕt n¨ng suÊt cña th¸ng ®Çu cã thÓ tÝnh ®îc tæng chi tiÕt
m¸y s¶n xuÊt trong th¸ng sau.
- TÝnh n¨ng suÊt cña tõng tæ th¸ng sau ®Ó x©y dùng ph¸t triÓn.
* Lêi gi¶i:
C¸ch 1: Gäi x lµ sè chi tiÕt m¸y tæ 1 s¶n xuÊt trong th¸ng ®Çu (x Z+,
x < 400, x > 0). Nh vËy tæ 2 s¶n xuÊt ®îc 400 – x chi tiÕt m¸y.
Th¸ng sau tæ 1 ®· lµm ®îc
10
x
100
chi tiÕt m¸y.
15
100
chi tiÕt m¸y
Tæ 2 ®· lµm ®îc (400 – x).
Do ®ã c¶ 2 tæ ®· vît 48 chi tiÕt m¸y.
Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh:
x.
10
15
(400 x).
48
100
100
<=> 10x + 6000 – 15x = 4800
<=> 5x = 1200 <=> x = 240
Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Ò ra. VËy th¸ng dÇn tæ 1 s¶n xuÊt ®îc 240 chi tiÕt
m¸y, tæ s¶n xuÊt 400 – 240 = 160 chi tiÕt m¸y.
C¸ch 2: Gäi sè chi tiÕt m¸y tæ 1 s¶n xuÊt ®îc trong th¸ng ®Çu lµ x(xZ,
0 < x < 400)
Sè chi tiÕt m¸y tæ 2 s¶n xuÊt trong th¸ng ®Çu lµ y(y Z, 0 < y < 400).
Do ®ã ta cã x + y = 400 (1)
17
Trong th¸ng sau tæ 1 lµm ®îc
Tæ 2 lµm ®îc
y
15
100
x
10
100
chi tiÕt m¸y.
chi tiÕt m¸y.
Do ®ã ta cã ph¬ng tr×nh:
x
10
15
y
48
100
100
(2)
Tõ ®ã ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:
x + y = 400 (1)
10 x 15 y
48 (2)
100 100
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ta cã: x = 240; y = 160
Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bµi => kÕt luËn
VÝ dô 2: (Bµi 2 - §¹i 9 – Ng« H÷u Dòng – TrÇn KiÒu – NXB Gi¸o
dôc 1996).
D©n sè cña thµnh phè Hµ Néi sau 2 n¨m t¨ng tõ 2.000.000 lªn
2.048.288 ngêi. TÝnh xem hµng n¨m trung b×nh d©n sè t¨ng bao nhiªu phÇn
tr¨m.
* Híng dÉn häc sinh:
§· biÕt sè ngêi cña n¨m ®Çu vµ 2 n¨m sau, häc sinh dÔ nhÇm lÉn lÊy sè
sau trõ ®i sè tríc, sau ®ã chia cho 2 n¨m lÊy trung b×nh tõ ®ã tÝnh phÇn tr¨m
dÉn ®Õn kÕt qu¶ sai.
* Lêi gi¶i:
Gäi sè phÇn tr¨m d©n sè t¨ng mçi n¨m cña Hµ Néi vµ x% (x > 0). D©n
sè n¨m ®Çu cña Hµ Néi t¨ng lµ: 2.000.000.
x
20.000 x
100
Sau n¨m ®Çu d©n sè Hµ Néi lµ:
2.000.000 + 20.000x = 20.000 (x + 100)
N¨m thø hai d©n sè Hµ Néi t¨ng lµ:
20.000 (x + 100).
x
200( x 100)
100
Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh:
20.000 (x + 100) + 200(x + 100) = 2.048.288
18
<=> x2 + 200x – 241,44 = 0
Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc 2 ta ®îc x1 = 1,2; x2 = -201,2 (lo¹i)
VËy sè phÇn tr¨m t¨ng d©n sè trung b×nh cña Hµ Néi 1,2%.
Tãm l¹i: Víi d¹ng to¸n liªn quan ®Õn tû sè phÇn tr¨m häc sinh thêng
ng¹i vµ khã gi¶i, gi¸o viªn cÇn gîi më dÇn dÇn ®Ó häc sinh hiÓu râ b¶n chÊt
cña logic vµ néi dung bµi to¸n ®Ó dÉn tíi mèi liªn quan x©y dùng ph¬ng tr×nh
vµ gi¶i nh c¸c d¹ng to¸n kh¸c.
IV. D¹ng to¸n vÒ c«ng viÖc lµm chung, lµm riªng.
(To¸n qui vÒ ®¬n vÞ)
Bµi 1: (Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp THCS, Së GD §T H¶i Hng 1996)
Hai m¸y xóc ®Êt, nÕu lµm chung th× mÊt 6 ngµy sÏ lµm xong c«ng viÖc
®îc giao. NÕu lµm riªng th× m¸y 1 ph¶i lµm l©u h¬n m¸y 2 lµ 5 ngµy. Hái mçi
m¸y nÕu lµm riªng th× mÊt bao nhiªu ngµy sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc ®· ®îc
giao.
* Lêi gi¶i:
Gäi x lµ sè ngµy mµ m¸y 1 ph¶i lµm mét m×nh ®Ó hoµn thµnh c«ng
tr×nh (x > 5).
M¸y 2 lµm riªng mÊt sè ngµy lµ x – 5.
Mçi ngµy m¸y 1 lµm ®îc
1
x
c«ng viÖc, m¸y 2 lµm
C¶ 2 m¸y trong mét ngµy ®îc
1
6
1
x 5
c«ng viÖc.
c«ng viÖc.
Theo bµi ra ta cã c¸ch gi¶i sau:
C¸ch
1
2
Qu¸ tr×nh
Lµm riªng xong c«ng viÖc
PhÇn c«ng viÖc trong 1ngµy
Lµm riªng xong c«ng viÖc
PhÇn c«ng viÖc trong 1ngµy
M¸y 2
x( x > 5)
x–5
1
x
1
x 5
x( x > 5)
y( y > 5)
x–y=5
1
x
1
y
1 1 1
x y 6
Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) ta cã x2 – 17x + 30 = 0
<=> x1 = 15, x2 = 2 (lo¹i)
19
Ph¬ng tr×nh x©y
dùng
M¸y 1
1
1
1
(*
x x 5 6
)
VËy m¸y 1 lµm riªng mÊt 15 ngµy, m¸y 2 lµm riªng mÊt:
15 – 5 = 10 ngµy
Bµi 2: (¤n luyÖn thi tèt nghiÖp THCS – Së GD-§T H¶i Hng 1996)
Hai vßi níc cïng ch¶y vµo 1 bÓ kh«ng cã níc trong 12 giê th× ®Çy bÓ.
NÕu më vßi thø nhÊt ch¶y trong 4 giê vµ vßi thø 2 ch¶y trong 6 giê th× ®Çy
2
5
bÓ. Hái mçi vßi nÕu ch¶y mét m×nh th× ph¶i mÊt bao l©u míi ®Çy bÓ.
* Lêi gi¶i:
Gäi x lµ thêi gian vßi 1 ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ (x > 0)
y lµ thêi gian vßi 2 ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ (y >0)
Sau mçi giê vßi 1 ch¶y lµ
=>
1
x
1
y
+
=
1
12
Trong 4h vßi 1 ch¶y
1
x
vßi 2 ch¶y lµ
1
y
(1)
1
x
, vßi 2 ch¶y
6
4 6 2
y
x y 5
(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:
1
x
+
1
y
=
1
12
4 6 2
x y 5
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ta ®îc x = 20, y = 30 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®· nªu.
VËy vßi 1 ch¶y riªng hÕt 20h, vßi 2 ch¶y riªng hÕt 30h.
ë bµi to¸n nµy mÊu chèt lµ cho häc sinh hiÓu ®Çu bµi biÕt ®Æt ®óng Èn,
tõ ®ã tÝnh thêi gian cña 1h vµ lËp ®îc ph¬ng tr×nh.
V. D¹ng to¸n vÒ tû lÖ chia phÇn (thªm, bít, t¨ng, gi¶m, tæng hiÖu, tû sè
cña chóng).
Bµi 1: (Bµi 5 s¸ch ®¹i sè 8 – NguyÔn Duy ThuËn – NXB gi¸o dôc
1995)
HTX Hång Ch©u cã 2 kho thãc. Kho thø nhÊt nhiÒu h¬n kho thø hai
100 tÊn. Nõu chuyÓn tõ kho thø nhÊt sang kho thø 2 60 tÊn th× lóc ®ã sè thãc
ë kho thø nhÊt
12
13
sè thãc ë kho thø hai. TÝnh sè thãc ë mçi kho lóc ®Çu.
20
- Xem thêm -