Tài liệu Skkn các phương pháp giải phương trình một ẩn trong chương trình toán thcs

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO QUẬN THANH XUÂN TRƯỜNG THCS THANH XUÂN NAM *************** Sáng kiến kinh nghiệm Đề tài: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS Môn toán Tác giả : Nguyễn Thị Thanh Tâm Chức vụ: Giáo viên tổ Tự nhiên I Năm học: 2013- 2014 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm I. ĐẶT VẤN ĐỀ. 1. Cơ sở lý luận . Qua thực tế giảng dạy cho thấy phần lớn các thầy cô giáo lấy việc giải nhiều bài tập để rèn luyện cho học sinh mà theo tôi nên rút ra được phương pháp giải cho từng loại bài tập, phân loại các dạng bài tập cơ bản. Thực hiện chương trình cải cách giáo dục nội dung kiến thức của cấp học ngày càng cao. đòi hỏi học sinh phải nắm được kiến thức cơ bản một cách thực sự. Học sinh phải có phương pháp học, phương pháp tự nghiên cứu hợp lý để thực sự có kết quả cao, cũng như việc hình thành các kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh. Hơn nữa do tính sư phạm có những định nghĩa, định lý,...học sinh phải công nhận trong giải toán. Hệ thống bài tập không những đòi hỏi học sinh phải linh hoạt trong việc áp dụng kiến thức mà còn phải biết đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hoá, khái quát hoá kho tàng kiến thức khổng lồ trong chương trình cấp học THCS là phương trình. Giải phương trình là một bài toán cơ bản liên quan đến nhiều bài toán khác như tìm tập xác định, giải bài toán có lời văn bằng cách lập phương trình. Đối với những phương trình có dạng cơ bản thì học sinh có thể áp dụng giải dễ dàng. Tuy nhiên với những phương trình dạng bậc cao hoặc những phép tính phức tạp học sinh chưa đủ cơ sở để làm . Vì những lý do trên tôi thấy cần phải nghiên cứu chuyên đề về phương trình trong chương trình toán THCS để giải phương trình một cách chính xác và nhanh nhất. 2. Ứng dụng trong thực tiễn .  Về phía giáo viên: Hệ thống được các khái niệm cơ bản của phương trình, các tính chất các cách giải phương trình từ cơ bản đến phức tạp. Nghiên cứu khai thác để tìm được ứng dụng đa dạng, phong phú của chương trình. Mặt khác phải lựa chọn các phương pháp thích hợp đối với từng đơn vị kiến thức phù hợp với từng đối tượng học sinh,đồng thời nâng cao trình độ nghiệp vụ của giáo viên.  Đối với học sinh: Nắm được một cách có hệ thống các khái niệm về phương trình, các tính chất và đặc biệt là các phép biến đổi tương đương, các hệ quả. Từ đó nhằm phát trển khả năng tư duy lôgíc cho học sinh. Giúp học sinh phát triển trí tuệ thông qua hệ thống bài tập. Học sinh thấy được sự thuận tiện hơn giữa giải bài toán số học và phương trình. Trang 2 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm II . NỘI DUNG. A- Những kiến thức cần thiết để giải phương trình : 1. Các định nghĩa. a) Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn: Cho A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa biến x, khi nói A(x) = B(x) là một phương trình ta hiểu rằng phải tìm các giá trị của x để các giá trị tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau - Biến x gọi là ẩn. - Giá trị tìm được gọi là nghiệm . - Mỗi biểu thức gọi là một vế của phương trình. - Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình. b) Tập xác định của phương trình: Là những giá trị của biến làm cho mọi biểu thức trong phương trình đều có nghĩa. c) Đối với hai phương trình tương đương: Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. d) Định nghĩa hai phương trình hệ quả. Nếu mỗi nghiệm của phương trình thứ nhất đều là nghiệm của phương trình thứ hai thì phương trình thứ hai gọi là phương trình hệ quả của phương trình thứ nhất. e) Định nghĩa phép biến đổi tương đương các phương trình: Biến đổi phương trình đã cho thành một phương trình khác tương đương với nó, nhưng đơn giản hơn gọi là phép biến đổi tương đương. 2. Các định lý về biến đổi tương đương phương trình. a) Định lý 1 : Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn vào hai vế của phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Ví dụ :5 x =10 <=> 5 x-3 x = 10 - 3 x Hệ quả 1 : Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một phương trình đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Ví dụ: 2 x - 5 = 7 x + 9 <=> 2 x- 7 x =9 + 5 Trang 3 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Hệ quả 2 : Nếu xoá hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Ví dụ : 5 x - x2 - 7 = 3 x + x2 <=> 5 x- 7 = 3 x b) Định lý 2 : Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho . Ví dụ: - 2 x + 3 = x - 1 <=> 4 x - 6 = - 2 x + 2 Chú ý : Nếu nhân hai vế của phương trình với một đa thức chứa ẩn nhưng không cùng tập xác định thì có thể chỉ được phương trình hệ quả mà thôi. B - Một số phương trình 1 ẩn thường gặp. 1. Phương trình bậc nhất một ẩn. Dạng tổng quát : a x + b = 0 ( a, b là hằng số, a ≠ 0 ) Nghiệm của phương trình là x = -b/a Nhận xét : Giải phương trình : m x + n = 0 , Phương trình đã cho chưa chắc là phương trình bậc nhất một ẩn nên khi giải cần phải xét hết các trường hợp. m ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = - n/ m m = 0 thì phương trình có dạng 0 x = -n - Nếu n = 0 thì phương trình có vô số nghiệm - Nếu n ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm 2. Phương trình bậc hai một ẩn. Dạng tổng quát : ax2 + b x + c = 0 (a, b, c € R , a≠ 0 ) Cách giải : a) Dùng công thức nghiệm : = b2 - 4ac = b’2 - ac (b’ = b/2) < 0 phương trình vô nghiệm = 0 phương trình có nghiệm , < 0 phương trình vô nghiệm , = 0 phương trình có nghiệm kép kép x1 = x2 = - b’/a x1 = x2 = -b/2a Trang 4 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm , > 0 phương trình có 2 nghiệm > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt phân biệt x1,2 =  b  2a x1,2 =  b'   ' a b) Dùng định lý Vi-et: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là: S = x1 + x2 = -b/a và P= x1x2 = c/a + Phân tích vế trái thành tích. + Giải bằng phương pháp đồ thị Ví dụ: Giải phương trình bậc hai x2 - 9x + 20 = 0 + Giải bằng công thức nghiệm: = 81 - 80 = 1 > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 9 1 = 5; 2 x2 = 9 1 =4 2 + Sử dụng định lý Vi-et: = 1> 0 x1 + x2 = - 9 b =- =9 a 1 x1 . x2 = c 20 = = 20 a 1 <=> x1 = 5 x2 = 4 + Phân tích thành tích: x2 - 9x + 20 = 0 <=> x2 - 4x - 5x + 20 = 0 <=> x(x - 4) - 5(x - 4) = 0 <=> (x - 4)(x - 5) = 0 <=> x1 = 5 <=> x2 = 4 Nhận xét: Khi học sinh sử dụng phương pháp này phải chuyển các biểu thức về vế trái, để vế phải bằng 0 rồi từ đó sử dụng tính chất: A=0 A.B.C = 0 <=> B = 0 C=0 Sai lầm mà học sinh thường mắc khi giải bằng phương pháp này. Trang 5 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm x2 - 9x + 20 = 4 Ví dụ : Giải phương trình: <=> (x - 4)(x - 5) = 4 (sai) <=> x - 4 = 5 hoặc x- 5 = 4 + Phương pháp đồ thị: Giải phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) <=> ax2 = -bx - c Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đường cong P : y = ax2 và đường thẳng D: y = -bx - c - Nếu P và D không cắt nhau thì phương trình vô nghiệm. - Nếu P và D tiếp xúc thì phương trình có nghiệm kép. - Nếu P và D cắt nhau tại hai điểm thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Ví dụ: Giải phương trình : x2 - 9x + 20 = 0 <=> x2 = 9x- 12 P: y = x2 ; D: y = 9x - 20 Trong phương trình bậc hai, ngoài việc trang bị cho học sinh cách giải còn phải cho học sinh tiếp cận với một số dạng toán khác như: 2.1/ Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm. Để xét một phương trình bậc 2 có nghiệm ta có thể: - Chứng tỏ 0 Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m mx2 - 2(m - 1)x- (8m + 3) = 0 Nếu > 0 thì , (1) = (m-1)2 + m(8m + 3) = m2 - 2m + 1 + 8m2 + 3m = 9m2 + m + 1 > 0  m Nếu m = 0 => (1) <=> 2x - 3 = 0 => x = 3/2 Trong khi xét điều kiện có nghiệm của phương trình ta cần chú ý Nếu ac  0 mà a ≠ 0 ta cũng có 0 có nghiệm.  0 nên phương trình ax2 + bx + c = Trang 6 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Chỉ với điều kiện ac  0 chưa đảm bảo phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm, chẳng hạn khi xét phương trình m2x2 - 3x- 5 = 0 ta có ac = -5m2 nhưng với m = 0 thì phương trình trở thành 0x= 5 vô nghiệm. Như vậy khi xét trường hợp ac  0 ta phải xét 2 trường hợp a ≠ 0 và a = 0, với a≠ 0 thì phương trình có nghiệm. Ngoài 2 cách chứng minh phương trình bậc 2 có nghiệm nêu trên, ta còn có thể chứng minh phương trình bậc 2 có nghiệm bằng cách sau đây: Ví du: Cho phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Chứng minh nếu tồn tại số thực  mà a.f(  ) = 0 thì phương trình có nghiệm. Giải: Ta có: f(x) = ax2 + bx + c <=> a.f(x) = a2x2 + abx + ac = (ax + b/2)2 - (b2/4 - ac) = (ax + b/2)2 -  /4 Do đó af(  ) = (a  + b/2)2 -  /4 Nếu f(  )  0 thì  /4  (a  + b/2)2 =>   0. Vậy phương trình đã cho có nghiệm. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ≠ 0 tồn tại một trong các phương trình sau đây có nghiệm: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (3) Bài 2: Cho a + b  2, chứng minh rằng một trong hai phương trình sau có nghiệm. x2 + 2ax + b = 0 (1) x2 + 2bx + a = 0 (2) Bài 3: Cho phương trình f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1). Chứng minh rằng nếu tồn tại 2 giá trị  ,  của x mà f(x) đổi dấu (tức là f(  ),f(  )  0) thì phương trình (1) có nghiệm. Trang 7 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dùng điều kiện có nghiệm của một phương trình bậc hai để chứng minh một phương trình có nghiệm. 2.2/ Quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc 2. Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung. 2x2 - (3m - 1)x - 3 = 0 (1) 6x2 - (2m - 3)x - 1 = 0 (2) Giải: Gọi x0 là nghiệm chung của (1) và (2). Thay vào 2 phương trình ta được: (11m - 6) x0 = 8 Với m = 6 thì 2 phương trình (1) và (2) vô nghiệm. 11 Với m ≠ 8 6 thì x0 = 11m  6 thay vào (1) và rút gọn 11 99m2 - 164m - 68 = 0 (3) Nghiệm nguyên của (3) là m = 2 Với m = 2 (1) là : 2x2 + 5x - 3 = 0, nghiệm là: 1/2 và -3 (2) là : 6x2 - x - 1 = 0, nghiệm là: 1/2 và -1/3 2.3/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước.  So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0. Cơ sở là định lý Vi-et. Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), có nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là: S = x1 + x2 = -b/a và P= x1x2 = c/a - Điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm dương phân biệt là:  >0 P>0 S>0 - Điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm âm là :  0 P>0 Trang 8 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm S<0 Ví dụ: Cho phương trình x2 - 3x + k - 1 = 0 xác định số k để phương trình: a) Có hai nghiệm cùng dấu. b) Có hai nghiệm trái dấu. Giải:  = 9 - 4(k -1) = 13 - 4k P = k -1. a)  >0 <=> P>0 13 - 4k > 0 <=> 4k < 13 k-1>0 k>1 Điều kiện 1 < k < 13/4 b) P < 0 => k < 1  So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số  ≠ 0. Sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2. Cho tam thức bậc 2: f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và một số thực nằm trong khoảng hai nghiệm đó: - Nếu af(  ) > 0 và  ≠ 0 thì f(x) có nghiệm và  nằm ngoài khoảng hai nghiệm đó. - Nếu af(  ) < 0 thì f(x) có hai nghiệm x1; x2 và x1 <  < x2 Ví dụ: Tìm m để phương trình 3x 2 - 4x + 2(m - 1) = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2. Giải: Đặt X = x - 2 => x = X + 2 (1) trở thành 3(X + 2)2 - 4(X + 2) + 2(m - 1) = 0 <=> 3X2 + 8X + 2(m + 1) = 0 (2) Phương trình có nghiệm khi:  >0 P>0 m< 5/3 <=> m > -1 S<0 <=> -1 < m < 5/3 -8/3 < 0 Ta phải tìm điều kiện của m để phương trình (2) có 2 nghiệm âm <=> -1 < m < 5/3. Trang 9 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Vậy với -1 < m < 5/3 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2.Nhận xét: Như vậy với trường hợp so sánh nghiệm của phương trình với số  ≠ 0 ta đặt ẩn phụ đưa về một phương trình bậc hai khác mà ta cần so sánh nghiệm của phương trình đó với 0. Bài tập: 1. Cho phương trình: mx2 - 2(m - 1)x + (m - 1) = 0 (1) (m là tham số) a) Giải phương trình với m = -2. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất. Chú ý: a/ Học sinh thường mắc sai lầm cho rằng điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt chỉ là  , > 0 và chỉ xét  , trong khi phương trình chưa là phương trình bậc hai tức là khi m = 0. Rõ ràng với m = 0 (1) trở thành phương trình bậc nhất một ẩn, không thể có hai nghiệm phân biệt. b/ Cần phân biệt “nghiệm duy nhất” và “nghiệm kép”. 2. Tìm giá trị để phương trình sau vô nghiệm: mx2 + 2m2x + 1 = 0 3. Tìm a, b nguyên sao cho phương trình x 2 + ax + b = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn -2 < x1 < -1 ; 1 < x2 < 2. 3. Phương trình bậc cao. Định nghĩa: Ta gọi phương trình đại số bậc n trên trường số thực là các phương trình được đưa về dạng: anxn + an-1xn-1 + .... + a1x + a0 = 0 Trong đó n nguyên dương, x là ẩn, a 1, a2,...,an là các số thực xác định an≠0. Cách giải: Phương trình đại số bậc n thường được giải bằng các quy về các phương trình bậc nhất và bậc hai. Các dạng cơ bản của phương trình bậc cao thường gặp là các phương trình trùnh phương, phương trình đối xứng, phương trình thuận nghịch. Trang 10 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Sau đây là một số phương pháp thường dùng để giải phương trình bậc cao. a) Đưa về phương trình tích.  Phương pháp: Để giải phương trình P(x) = 0, P(x) là 1 đa thức bậc n với n  N, n > 2 ta phân tích P(x) thành một tích các thừa số bậc nhất hoặc bậc hai, ta thường sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm. Nếu a là nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) chia hết cho x - a, từ đó hạ bậc phương trình. Chú ý: - Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm. - Nếu đa thức có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ thì -1 là một nghiệm. Ví dụ: Giải phương trình : 2x3 - x2 + 3x + 6 = 0 Tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng 5, tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ cùng bằng 5 do đó phương trình có nghiệm là x = -1, ta biến đổi 2x3 - x2 + 3x + 6 = 0 <=> 2x2(x + 1) - 3x(x + 1) + 6(x + 1) = 0 <=> (x + 1) . (2x2 – 3x + 6) = 0 Giải: x + 1 = 0 => x = -1. 2x2 - 3x + 6 = 0 vô nghiệm. Phương trình đã cho có một nghiệm là: x = -1 - Sai lầm của học sinh hay mắc phải là không biến đổi cho một vế bằng 0. + Ví dụ: Giải phương trình. x4 - 1 = 3 <=> (x - 1).(x + 1).( x2 + 1) = 3 x-1=3 <=> x + 1 = 3 (sai) x2 + 1 = 3 b) Phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình dạng sau Trang 11 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - Phương trình đối xứng bậc 4: Dạng tổng quát : ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a ≠ 0) Cách giải: Vì 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế của phương trình cho x2 rồi đặt ẩn phụ là: X = x + 1/x đưa phương trình về dạng: Ax2 + Bx + C = 0 Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có nghiệm là 1 nên ta dùng phương pháp đưa về phương trình tích của (x - 1) và một đa thức đối xứng bậc chẵn. Phương trình đối xứng bậc chẵn là trường hợp đặc biệt của phương trình: ax4 + bx3 + cx2 + dx + c = 0 với c/a = (d/b) 2. Ta thường gọi phương trình này là phương trình hồi quy, cách giải: Đặt ẩn phụ như phương trình đối xứng bậc 4 Ví dụ: Giải phương trình 2 x 4  3x 3  16 x 2  3x  2 0 ( 1) Do x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho x 2 0 ta được 2 x 2  3 x  16   2( x 2  3 2  0 x x2 1 1 )  3( x  )  16 0 2 x x 1 x Đặt X = x   x 2  ( 2) 1 X 2  2 2 x Thay vào PT ( 2) ta được: 2 X 2  3 X  20 0 Phương trình này có các nghiệm X 1 = -4; X 2 =5/2 1 x + Với X 1 = -4 ta có: x   4  x 2  4 x  1 0  x1,2  2  3 2 5 1 x + Với X 2  ta có: x   5 2 2 x2-5x +2 =0 Trang 12 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm <=> x3=1/2 , x4=2 Phương trình đã cho có các nghiệm là: x1,2=-2  3 x3=1/2 , x4=2 + Phương trình dạng ( x  a) 4  ( x  b) 4 c Đặt ẩn phụ y = x  a b 2 Ví dụ: Giải phương trình: ( x  2) 4  ( x  4) 4 16 Đặt x + 3 = y. Ta có: ( y  1) 4  ( y  1) 4 16 Rút gọn ta được y 4  6 y 2  7 0  y 2 1; y 2  7 ( loại ) Với y = 1. Ta được x = - 2 y =-1. Ta được x= - 4 + Phương trình dạng: (x + 4)(x + b)(x +c)(x + d) = mx 2 Với ad = bc Đặt ẩn phụ là y = x + ad hoặc y = (x + a)(x + d) 2 + Phương trình dạng: ( x + a)(x + b)(x + c)( x + d) = mx 2 Với ad = bc Đặt ẩn phụ là y = x + ad hoặc y = (x + a) (x+d) 2 + Đặt ẩn phụ là y = x + (a + d ) 2 c. Đưa hai luỹ thừa cùng bậc Ví dụ : Giải phương trình : x 4 = 4x - 3 Giải : Cộng thêm 4x 2 + 4 vào 2 vế ta được x 4 + 4x 2 + 4 = 4x 2 + 4x + 4 -3 (x 2 + 2) 2 = (2x + 1) 2 => x 2 + 2 = 2x + 1 (1) x 2 + 2 = -2x - 1 (2) Phương trình (1) có nghiệm là x1,2 =1 Trang 13 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Phương trình (2) vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm kép x = 1 Nhận xét : Với dạng này học sinh thường mắc sai lầm là coi A 2 = B 2 <=> A = B , như vậy sẽ thiếu một trường hợp A = - B 4. Phương trình phân thức hữu tỷ. * Định nghĩa : Phương trình phân thức hữu tỷ là phương trình có dạng : P ( x, y...) = 0 (1) Q( x, y...) Trong đó P (x,y...) Q (x,y...) là các đa thức ; Q(x,y) ≠ 0 Phương trình (1) tương đương với : P (x,y...) = 0 Q (x,y...) ≠ 0 Trong chương trình phổ thông cơ sở phương trình này gọi là phương trình chứa ẩn ở mẫu . * Cách giải : - Tìm tập xác định . - Quy đồng khử mẫu đưa về các dạng phương trình đã nêu ở trên tuy nhiên có một số phương trình phân thức hữu tỷ có thể giải bằng biến đổi dẫn đến đặt ẩn phụ để đưa về các phương trình đơn giản . Ví dụ : Giải phương trình x 2 + x - 18 =3 x x 2 Giải : TXĐ : x ≠ 0 ; x ≠ -1 18 Đặt x 2 + x = y ta có y - y = 3 ( y ≠ 0 ) <=> y 2 - 3y - 18 = 0 <=> y 1 = -3 ; y 2 = 6 Với y 1 = -3; y 2 = 6 Với y 2 = 6 thì x 2 + x - 6 = 0 => x 1 =2;x 2 = -3 Nghiệm của phương trình là : x 1 = 2 ; x 2 =-3 Trang 14 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Nhận xét : Sai lầm của học sinh đối với dạng này là không tìm TXĐ của các biểu thức trong phương trình dẫn đến biến đổi không tương đương . Vì vậy đã không loại nghiệm không phù hợp . Bài tập : Giải các phương trình : 1. x 2 + x + 2. 2(x 2 + 1 1 + 2 =0 x x 1 1 )=6 2 ) - (x + x x 3. x 5 x 2 1 + 2 =2 x 1 x 4. x4 2x 2 1 + =2 2x 2 1 x4 5. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . Để giải được phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta phải khử được dấu giá trị tuyệt đối . + Sử dụng định nghĩa : |A| = A nếu A ≥ 0 - A nếu A < 0 + Phương pháp thông thường là xét các khoảng giá trị thuộc miền xác định của ẩn . + Ngoài ra có thể sử dụng phương pháp bình phương hai vế đưa về giải phương trình bậc 2 : | A(x) | = B(x) điều kiện B (x) ≥ 0 <=> [A(x)] 2 = B[(x)] 2 Ví dụ : Giải phương trình |(2x +3)| = x + 2 điều kiện x > -2 Cách 1 : nếu x ≥ -3/2 thì (1) có 2 nghiệm là x = -1 và x = -5/3 Cách 2 : với điều kiện x ≥ 2 bình phương 2 vế của (1) (1) <=>(2x + 3) 2 = (x + 2) 2 <=> 3x 2 + 8x + 5 = 0 <=> x = -1; x= - 5/3 (thoả mãn điều kiện) Nhận xét: Sai lầm học sinh thương mắc là không xét hết các khoảng, không so sánh với điều kiện của ẩn . Trang 15 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm + Phương pháp đặt ẩn phụ : Ví dụ : Giải phương trình : 3x 2 + 2|x| - 1 = 0 Giải : Đặt y = |x| > 0 .l Ta có 3y 2 + 2y - 1 = 0 => y1 = -1(loại) ; y2 = 1/3 Vậy | x | = 1.3 do đó x1 = 1/3 ; x2 = -1/3 + Phương pháp đưa về giải bất phương trình Ví dụ : Giải phương trình : | 1 - 2x | = 2x - 1 Giải : Viết lại phương trình dưới dạng |2x -1| = 2x -1 Ta biết rằng |A| = A <=> A ≥ 0 . Do đó ta có : 2x - 1 ≥ 0 <=> 2x ≥ 1 <=> x ≥ 1/2 Bài tập : Giải các phương trình sau : a) | 5x - 1 | = | 5x + 3 | b) | x + 2 | + | x - 3| = 7 c) | x 2 + 2x + 3 | + | x - 1 | = 6 6. Phương trình chứa tham số. Trong chương trình THCS phương trình này gọi là phương trình có hệ số hay bằng chữ . Ví dụ : Giải phương trình . mx 2 + 6 (m - 2)x + 4m - 7 = 0 (1) Nếu m = 0 thì (1) <=> - 12x - 7 = 0 <=> x = -7/2 Nếu m ≠ 0 thì (1) là phương trình bậc hai . A' = ( m - 4).(5m - 9) Nếu  ' = ( m-4 ).(5m - 9) Nếu  ' < 0 <=> m = 4 m= 9 < m < 4 . Phương trình vô nghiệm . 5 Nếu  ' = 0 <=> m = 4 Trang 16 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm m= 9 5 Thì phương trình có nghiệm kép Nếu  ' > 0 <=> m > 4 m< 9 5 Thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,2 =  3(m  2)   2m Bài tập : Giải các phương trình sau : a) (m 2 - m)x 2 + 2mx + 1 = 0 b) mx 2 - 2x + 2 = 0 7. Phương trình vô tỷ. Phương trình vô tỷ là phương trình chứa ẩn nằm dưới dấu căn . Để giải phương trình loại này ta cần chú ý một số kiến thức sau : + Một số âm không có căn bậc chẵn . Do đó điều kiện của ẩn là biểu thức chứa ẩn trong dấu căn bậc chẵn là một số không âm . + Đặt điều kiện của ẩn là biểu thức chứa ẩn trong dấu căn bậc chẵn là một số không âm . + Đặt điều kiện để phép nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả 2 vế của phương trình đảm bảo nhận được phương trình tương phương trình đảm bảo nhận được phương trình tương đương : + A2 = | A | A + B = A  A2  B + 2 A  A2  B 2 Với A > 0 ; A 2 > B > 0 . Các phương trình dùng đẻ giải phương trình vô tỷ . a) Phương pháp nâng lên luỹ thừa : Để làm căn bậc n thì ta nâng cả 2 vế lên luỹ thừa bậc n . Nếu n là số chẵn thì phép biến đổi này chỉ tương đương nếu 2 vế không âm . Trang 17 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Ví dụ : Giải phương trình x 1 - x  2 = 1 (1) Điều kiện x ≥ - 1 (2) Viết phương trình (1) dưới dạng : x 1 = x  2 + 1 (3) Hai vế của (3) không âm , bình phương 2 vế : x + 1 = x - 2 + 1 + 2 x 2 <=> 2 = 2 x  2 <=> x  2 = 1 <=> x - 2 = 1 <=> x = 3 Thoả mãn điều kiện (2) Nghiệm của (1) là x = 3 b) Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối : Ví dụ : Giải phương trình . x 3 3 x  1 + x  8  6 x  1 =1 Giải: Điều kiện x 1 Biến đổi ( 1)  x  3  4 x  1  4  x  1  6 x  1  9 1  ( x  1  2) 2  ( x  1  3) 2 1 x 1 2  x  1  3 1 Với x >10 thì phương trình ( 2) trở thành: 2 x  1 6  x  1 3  x 10 (loại ) Với x <5 thì phương trình ( 2) trở thành x  1 2  x 5 ( loại ) Với 5 3x 8 thì phương trình ( 2) trở thành: x  1  2  x  1  3 1  1 1 ( luôn đúng ) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 3 x 8 Trang 18 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Nhận xét: Sai lầm học sinh thường mắc phải khi khai căn bậc 2 chẵn không lấy dấu giá trị tuyệt đối. c) Phương pháp đặt ẩn phụ: Phương pháp đặt ẩn phụ nhằm biến đổi một phương trình vô tỷ về một phương pháp hữu tỷ Ví dụ: giải phương trình 2x2 + 3x - 5 2 x 2  3x  9 0 Giải điều kiện 2 x 2  3x  9 0  2 x 2  3x  9  y 2 (1)  y 2  6  5 y 0  y 2  5 y  6 0 Phương trình ( 2) có nghiệm Với y = 6 thay vào ta có nghiệm x1 3; x 2  4,5 Một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỷ Phương pháp vô tỷ là giải phương trình chứa ẩn trong dấu căn. Sai lầm đầu tiên là học sinh thường gặp là không chú ý đến điều kiện có nghĩa của các căn bậc chẵn. Do đó cần rèn cho học sinh phải tìm tập xác định của biểu thức trong phương trình hoặc sau khi giải phương trình phải thử lại các vào phương trình ban đầu Sai lầm thứ hai là không đặt điều kiện để biến đổi tương đương. III. KẾT QUẢ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Với việc phân loại từng dạng phương trình và đưa ra cách giải rõ ràng, khắc sâu các sai lầm mà học sinh hay mắc phải đã mang lại những hiệu quả rõ rệt góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân và chất lượng học tập của học sinh. Các kiến thức về phương trình một ẩn đã được các em nắm vững đồng thời biết vận dụng kiến thức chính xác vào giải bài tập. Kết quả bài kiểm tra cao thể hiện ở tỉ lệ trên trung bình và tỉ lệ của các bài khá giỏi. Dưới đây là kết quả một số bài kiểm tra của lớp 9A4 trong năm học 2013 2014 này. Kết quả bài kiểm tra 8 tuần học kỳ II. SS 31 0- 2,5 SL % 3- 4,5 5- 6,5 7- 8,5 9- 10 SL SL SL SL % % Trang 19 % Trên TB % SL % S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 0 0% 2 6% 8 26% 11 35% 10 32% 29 94% Kết quả bài kiểm tra 1 tiết ở chương IV. SS 0; 1; 2 3; 4 5; 6 31 SL % SL % 1 3% 3 10% 8 SL 7;8 % SL 26% 11 9; 10 % SL 35% 8 Trên TB % SL 26% 29 % 94% III. KẾT LUẬN. Trên đây là những kiến thức và phương pháp giải phương trình mà theo tôi nghĩ mỗi giáo viên cần có để giảng dạy cho học sinh . Tuy nhiên không phải đối với tất cả các đối tượng học sinh chúng ta đều phải truyền tải các nội dung trên. Mỗi giáo viên cần xác định đúng đối tượng học sinh để cung cấp những kiến thức cơ bản phù hợp với trình độ và quỹ thời gian của học sinh. Việc cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản để tạo tiền đề cho học sinh có tư duy sáng tạo trong việc giải bài toán có lời văn. Từ đó học sinh thấy đươc sự thuận lợi giữa việc giải bài toán đại số với bài toán số học. Qua việc áp dụng nhưng vấn đề đã nêu ở trên trong quá trình giảng dạy của mình tôi thấy học sinh tiêp thu bài rất nhanh và áp dụng làm bài tập rất tốt. Từ đó làm quá trình giảng dạy đạt hiệu qủa cao. Trên đây là một số kinh nghiệm tôi đã rút ra trong quá trình giảng dạy . Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các đồng chí lãnh đạo,ban giám hiệu và của các bạn đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Hà Nội ngày 14 tháng 4 năm 2014 Người viết Nguyễn Thị Thanh Tâm Trang 20