Tài liệu Skkn các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN CHO HỌC SINH LỚP 10” A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LỜI NÓI ĐẦU Giải phương trình là một trong những dạng toán cơ bản của chương trình THPT. Học sinh đã được trang bị cách giải phương trình bậc nhất và bậc hai từ bậc THCS và được nhắc lại ở lớp 10. Tuy nhiên, đối với phương trình bậc cao nói chung và phương trình bậc bốn nói riêng thì học sinh chưa được học một cách đầy đủ các phương pháp để giải từng dạng phương trình. Nhưng đây lại là một nội dung quan trọng trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, TH chuyên nghiệp và đề thi học sinh giỏi từ trước đến nay. Trong khi giải các phương trình, hệ phương trình: vô tỷ, lượng giác, mũ và lôgarit, chúng ta cũng thường phải quy về giải phương trình bậc cao, trong đó có phương trình bậc bốn. Một số bài toán trong hình học, trong vật lý sau khi trải qua một số bước, cuối cùng cũng đều đi đến việc phải giải một phương trình bậc bốn. Cho dù đó chỉ là một bước nhỏ trong một bài toán nhưng nếu không giải quyết được bước nhỏ này thì chúng ta cũng chưa thể đưa ra kết luận của bài toán đó. Nói đến phương trình bậc bốn, nhiều học sinh tỏ ra ái ngại, lúng túng vì các em mới chỉ nắm được sơ qua cách giải một số phương trình bậc bốn đơn giản. Vì vậy, việc trang bị đầy đủ cho học sinh các phương pháp giải phương trình bậc bốn là điều cần thiết. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU. 1. Thực trạng. - Trong chương trình THPT, do thời lượng chương trình có hạn mà mảng phương trình bậc bậc bốn chưa được trình bày rõ ràng, đầy đủ. Ngược lại còn rất sơ lược, chỉ mang tính chất giới thiệu qua một số bài tập đơn giản. - Do chưa được hệ thống kiến thức và chưa được học đầy đủ các phương pháp để giải từng dạng phương trình bậc bốn nên khi gặp, hầu hết học sinh thấy lúng túng và không có hướng giải. - Tuy nhiên, các dạng bài tập về phương trình bậc bốn thì rất phong phú, đa dạng và phức tạp. 2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên. - Đa số học sinh chưa có phương pháp để giải từng dạng phương trình bậc bốn nên rất nhiều em thường "bỏ qua" hoặc "bỏ dở" bài toán khi đã quy về phương trình dạng này. Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung và từ thực trạng trên, để học sinh có thể dễ dàng và tự tin hơn khi gặp các bài tập về phương trình bậc bốn, giúp các em phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập nhỏ, cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm của bản thân qua những năm giảng dạy, tôi đưa ra sáng kiến kinh nghiệm “Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10". Sáng kiến kinh nghiệm này đã và đang phục vụ đắc lực cho tôi trong việc giảng dạy. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. I. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN. 1. Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu chương trình SGK THPT, nghiên cứu tài liệu về phương trình bậc cao. 2. Phân tích, đánh giá, tổng hợp lời giải của các bài toán, dạng toán. 3. Theo dõi, đánh giá kết quả của học sinh, giáo viên đúc rút kinh nghiệm. II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN. 1. Phương pháp đưa phương trình về dạng tích. Cho phương trình: ax4+bx3+cx2+dx+e =0 (a �0) a) Phương pháp: (1) Cách 1: Nhóm các hạng tử, sau đó đặt thừa số chung để đưa vế trái về dạng tích. Cách 2: - Bước 1: Đoán nghiệm x0 của phương trình dựa vào các kết quả sau: + Nếu a+b+c+d+e=0 thì (1) có nghiệm x = 1. + Nếu a-b+c-d+e=0 thì (1) có nghiệm x = -1. + Nếu a, b, c, d, e nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ p q thì p, q theo thứ tự là ước của e và a. - Bước 2: + Bằng cách chia đa thức hoặc dùng lược đồ Hoócne, phân tích (1) thành: (x- x0)(ax3 +b1x2 +c1x+d1) = 0 x  x0 � ��3 ax  b1 x 2  c1 x  d1  0 (1.1) � + Giải phương trình (1.1) bằng cách: - Đoán nghiệm x1 của phương trình (1.1) dựa vào các kết quả sau: + Nếu a+b1+c1+d1=0 thì (1.1) có nghiệm x = 1. + Nếu a-b1+c1-d1=0 thì (1.1) có nghiệm x = -1. + Nếu a, b1, c1 ,d1 nguyên và (1.1) có nghiệm hữu tỉ p q thì p, q theo thứ tự là ước của d1 và a. + Nếu ac13  b13 d1 (a, b1 �0) thì (1.1) có nghiệm x =  c1 . b1 - Phân tích (1.1) thành: (x- x 1)(ax2 +b2x +c2) = 0 bằng cách chia đa thức hoặc dùng lược đồ Hoócne. * Lược đồ Hoócne : Nếu f(x) có nghiệm x=x0 thì f(x) chứa nhân tử (x-x0), tức là : f(x) =(x-x0).g(x). Trong đó : f(x) = anxn + an -1xn -1 + ... + a1x + a0 g(x)= bn-1xn-1 + bn - 2xn - 2 + ... + b1x + b0 với : bn – 1  a n � � bn – 2  x 0bn – 1  a n – 1 � � ... � � bi – 1  x 0 bi  a i � � ... � b 0  x 0 b1  a1 � xi an x = x0 bn-1=an b) Ví dụ: Ta có bảng sau ( Lược đồ Hoócne). an - 1 ... x0bn-1 ... bn-2 ... ai x0bi bi-1 ... ... ... a0 x0b0 0 Ví dụ 1: (Đề đại học Ngoại thương - 2000) Giải phương trình: (x2+3x-4)2+3(x2+3x-4)=x+4 Giải: Phương trình (1.2) (1.2) � (x-1)2(x+4)2+3(x-1)(x+4)-(x+4)=0 � (x+4)[(x-1)2(x+4)+3(x-1)-1]=0 � (x+4)x(x2+2x-4)=0 Vậy phương trình có 4 nghiệm : x=0, x= -4, � x0 � �� x  4 � x  1 � 5 � x  1 � 5 . Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 -4x3-x2+16x-12 =0 Giải: Ta có a+b+c+d+e=0 nên phương trình có 1 nghiệm x= 1. Đưa phương trình về dạng: (x-1)(x3-3x2-4x+12)=0. Phương trình x3-3x2-4x+12=0 có một nghiệm x = 2 nên (1.3) � (x-1)(x-2)(x2-x-6)=0 x 1 � � x 1 0 � x2 � �� x20 �� � x  2 � x2  x  6  0 � � x3 � Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt x =1, x= 2, x= -2, x= 3. (1.3) * Nhận xét: Phương pháp đưa phương trình về dạng tích là phương pháp thường được nghĩ đến đầu tiên khi giải phương trình. Nhưng nếu việc đưa về dạng tích gặp khó khăn, chúng ta nên nghĩ đến việc sử dụng các phương pháp khác. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ. 2.1. Dạng 1 (PT trùng phương): ax4 + bx2+c =0 (a �0) (2) a) Phương pháp: - Đặt t = x2 (t �0), đưa (2) về phương trình bậc hai: at2+bt+c=0 - Giải (2'), nếu (2') có nghiệm t0 �0 thì (2) có nghiệm (2') x  � t0 * Chú ý: - (2) vô nghiệm � (2') vô nghiệm hoặc (2') có nghiệm t1 - (2) có nghiệm duy nhất � (2') có nghiệm t1 �0 �t2<0 =t2 - (2) có 2 nghiệm phân biệt � (2') có nghiệm t1 < 0 0 - (2) có 3 nghiệm phân biệt � (2') có nghiệm 0=t1 9, ta có x  8  1 �  x  8  1 ,  x  9   0 4 4 Suy ra vế trái của (11.2) lớn hơn 1 nên (11.2) vô nghiệm. +) Với 8 < x < 9 thì: 0 < x – 8 < 1 => (x-8)4< x-8 (11.2) 0 < 9 – x < 1 => (x-9)4= (9-x)4 < 9-x �  x  8 4   x  9 4 < x – 8 + 9 – x = 1 nên (11.2) vô nghiệm. Vậy phương trình có 2 nghiệm : x = 8, x = 9. III. CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN. 1. Tổ chức thực hiện. - Thông qua bài dạy trong chương trình SGK lớp 10 nâng cao, qua quá trình làm bài tập trong SGK và SBT nâng cao để đánh giá năng lực của học sinh. - Trước khi học và sau khi học: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10", cho học sinh làm bài kiểm tra và thống kê kết quả để thấy hiệu quả đạt được của sáng kiến kinh nghiệm. - Đối tượng đánh giá: học sinh lớp 10A1 và 10A2 - Trường THPT Thống Nhất. ĐỀ KIỂM TRA SỐ 1 (Thời gian: 90 phút) (Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy) Câu 1 (6 điểm): Giải các phương trình sau: a) x4 +2x3 +10x -25 = 0 b) (x2+3x+2)(x2+7x+12)=24 c) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 Câu 2 (4 điểm): Cho phương trình: x4+(2m-1)x3+(m2-2m)x2-(m2-m+1)x-m+1=0 a) Giải phương trình với m = -1. b) Xác định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Đáp án và thang điểm đề kiểm tra số 1. Câu 1.a (2đ) Nội dung chính Phương trình � x4 +2x3+x2 = x2-10x+25 Điểm 0.50 �  x  x    x  5 2 2 2 0.75 � x2  x  x  5 � �2 x  x  x  5 � 0.75 � x  5  0 (VN ) � �2 � x  1 � 6 x  2x  5  0 � 2 1.b Vậy phương trình có nghiệm x= 1 � 6 Phương trình � (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24 0.50 � (x2+5x+4)(x2+5x+6)=24 (2đ) Đặt t= x2+5x+4 => x2+5x+6=t+2. Phương trình trở thành: t(t+2)=24 � . Với t=4 thì x2+5x+4 =4 0.50 x0 � �� x  5 � . Với t=-6 thì x2+5x+4 =-6 1.c t4 � � t  6 � 0.50 � x2+5x+10=0 (VN) 0.50 Vậy phương trình có 2 nghiệm x=0, x= -5. Phương trình � (x2 - 5x + 2)( x2 + x - 7) = 0 (2đ) 1.00 � 5 � 17 x � � x  5x  2  0 2 � �2 �� � 1 � 29 x  x  7=0 � x � � 2 2 Vậy phương trình có 4 nghiệm: 2. (4đ) Phương trình x 1.00 5 � 17 1 � 29 ,x  2 2 � (x-1)(x3+2mx2+m2x+m-1)=0 � (x-1)(x+m-1)[x2+(m+1)x+1]=0 (1) 1.00 � x 1 � �� x  1 m � g(x)=x 2   m  1 x  1=0 (2) � 1.50 a) Với m=-1 : (1) � x 1 x 1 � � �� x2 �� x2 � � g(x)=x 2  1=0 � b) Phương trình có 4 nghiệm phân biệt � 1-m �1 và (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 và khác 1-m m �0 � � 1  m �1 � m �0 � m  3 �� � m  3 �2 � � g  0 �� � �m  2m  3  0 m 1 � �� �� �� � 3 � �m  1 m  3 � 0 g (1) � 0 m �  3 � � � � 2 �g (1  m) �0 � � 3 3  2m �0 � � � m� � 2 Vậy với 0.50 � 3 � �3 � m � �; 3 �� 1; � �� ; ��thì � 2 � �2 � 1.00 phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Kết quả của bài kiểm tra số 1: Loại Tỷ Giỏi lệ 0 Khá Trung Yếu- Kém 10 bình 20 70 (%) ĐỀ KIỂM TRA SỐ 2 (Thời gian: 90 phút). (Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy) Câu 1( 8 điểm): Giải các phương trình sau: a) (x+3)4+(x+5)4=2 c) 2(x2-x+1)2+x3+1=(x+1)2 b) x4 -3x2 -4x -3 = 0 d) x4 + x3 -17x2 + 6x +2 = 0 Câu 2 (2 điểm) : Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4 - x2 + 2mx -m2 = 0 Đáp án và thang điểm đề số 2. Câu 1.a (2đ) Nội dung chính Đặt t = x+4. Phương trình trở thành: (t-1)4+(t+1)4=2 Điểm 1.00 � t4+6t2=0 � t=0 1.00 Với t=0 thì x= -4. 1.b (2đ) Vậy phương trình có nghiệm x=-4. Phương trình � x4 -2x2+1 = x2+4x+4 0.50 0.50 � x2 1  x  2 2 2 �  x 2  1   x  2  � �2 x  1  ( x  2) � � x2  x  3  0 1 � 13 � �2 � x 2 x  x  1  0 (VN ) � 1.c Phương trình (2đ) Chia hai vế cho (x2-x+1)2 �0, ta được: 1.00 � 2(x2-x+1)2+x3+1-(x+1)2=0 0.50 2 x 1 � x 1 � 2 2 �2 � 0 x  x  1 �x  x  1 � Đặt t = x 1 , x  x 1 2 phương trình trở thành: t  1 � 2  t  t2  0 � � t2 � 0.50 . Với t=-1 thì x 1 =-1 � x 2  2  0 (VN) x  x 1 0.50 . Với t = 2 thì x 1 � x 1 2 � =2 � 2 x  3x  1  0 � �x  1 x2  x  1 � 2 0.50 2 1 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x=1, x= 2 . 1.d (2đ) Phương trình � (x2 +5x +1)( x2 -4x +2) = 0 1.00