Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo án - Bài giảng Sáng kiến kinh nghiệm Skkn các phép biến hình trong bài toán hàm số...

Tài liệu Skkn các phép biến hình trong bài toán hàm số

.PDF
133
140
103

Mô tả:

1 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Kính gửi: HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP NGÀNH Chúng tôi ghi tên dưới đây: TT Họ và tên Ngày tháng Nơi năm sinh công tác Chức vụ Trình độ Tỷ lệ (%) chuyên môn đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến 1 Đinh Hồng Chinh 11/03/1986 Trường THPT Giáo viên Đại học 60% Giáo viên Đại học 40% Bình Minh 2 Dương Xuân Lợi 28/06/1982 Trường THPT Ngô Thì Nhậm I. Tên sáng kiến “Các phép biến hình trong bài toán hàm số” Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học môn Toán. II. Nội dung sáng kiến 1. Giải pháp cũ thường làm Kiểm tra đánh giá là khâu không thể thiếu trong quá trình dạy học. Hoạt động này không chỉ nhằm ghi nhận kết quả đạt được của học sinh mà còn hướng vào việc đề xuất những phương hướng đổi mới, cải thiện thực trạng, điều chỉnh và nâng cao chất lượng, hiệu quả giáo dục. Trước những yêu cầu của xã hội đối với sản phẩm của giáo dục, kiểm tra đánh giá trong dạy học môn Toán cần có những thay đổi. Nếu như trước đây, trong quá trình kiểm tra đánh giá định kỳ cũng như trong các kì thi tuyển sinh đại học hoặc thi THPT Quốc gia 2 đề thi môn Toán đều thi theo hình thức tự luận, đây là một hình thức thi truyền thống đã được thực hiện nhiều năm nay, tuy nhiên hình thức này có nhiều điểm hạn chế. Vì vậy, từ kì thi THPT Quốc Gia năm 2017 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi này ít nhiều cũng gây khó khăn và cả sự bỡ ngỡ cho giáo viên cũng như học sinh. Cái thay đổi nhiều nhất với giáo viên đó là vấn đề ra đề thi và kiểm tra, còn với học sinh đó là vấn đề học đều toàn bộ chương trình không còn tình trạng học tủ, cần phải chú ý đến cả những nội dung mà trước đây hầu như không xuất hiện trong đề thi. Cũng vì những thay đổi đó mà rất nhiều các nội dung trước đây không hề hoặc rất ít xuất hiện trong đề thi, mà điểm hình là các phép biến hình. Học sinh cũng như giáo viên khi nghiên cứu nội dung này thường là các bài toán hình học thuần túy như việc tìm ảnh của: điểm, đường thẳng, đường tròn, elip. Khi gặp các dạng toán khác liên quan đến phép biến hình thì học sinh rất lúng túng trong việc tìm ra cơ sở lý luận để giải quyết bài toán. Ngay cả giáo viên khi giảng cho học sinh về nội dung này cũng khó khăn. Qua nghiên cứu và thực tế giảng dạy, với mong muốn xây dựng một tài liệu với đầy đủ cơ sở lý thuyết và các dạng bài tập nhằm hỗ trợ cho giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập nội dung này, chúng tôi đã viết sáng kiến “Các phép biến hình trong bài toán hàm số và đồ thị”. Mục đích chính của Sáng kiến này là đưa cái nhìn của các phép biến hình vào các bài toán hàm số. Nhằm có một tài liệu ôn luyện chất lượng cho giáo viên và học sinh. Cũng góp phần giúp cho giáo viên và học sinh việc áp dụng một nội dung vào giải quyết các nội dung khác trong chương trình. 2. Giải pháp cải tiến 2.1 Cơ sở lý luận Được trình bày trong chương I. Trong nội dung này tác giả trình bày sơ lược về phép biến hình như: 2.1.1 Lịch sử hình thành 2.1.2 Kiến thức cơ bản Trình bày các định nghĩ, tính chất, biểu thức tọa độ của các phép biến hình. 2.1.3 Tổng quan về ứng dụng của các phép biến hình 3 2.2 Giải pháp mới Trong phần giải pháp mới cũng là nội dung chính của sáng kiến được tác giả trình bày trong bốn chương: Chương II: Phép tịnh tiến Chương III: Phép đối xứng Chương IV: Phép quay Chương V: Phép vị tự Trong từng chương tác giả trình bày các lý thuyết quan trọng phục vụ cho qua trình giải toán cũng như là cơ sở lý thuyết để tìm ra lời giải cho bài toán. Trong các chương đều được phân dạng bài tập rõ ràng. Mỗi dạng bài tập đều có phương pháp, các phân tích giúp cho việc tiếp cận lời giải một cách tốt nhất. Các dạng bài tập mà tác giả phân chia và đưa ra đều là các nội dung rất mới, hầu như chưa bắt gặp trong bất cứ tài liệu nào trước đây. Ví dụ như việc tìm ảnh, tìm vật, tìm phép tịnh tiến trong các bài toán hàm số, đồ thị. Các bài toán đơn điệu, cực trị, tương giao,. . . của các hàm số qua phép biến hình. III. Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được 1. Hiệu quả kinh tế: Các nội dung viết trong sáng kiến này là một tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh. Học sinh có thể dùng tài liệu này để tham khảo về các vấn đề liên quan đến các phép biến hình, hàm số và đồ thị. Giáo viên có thể dùng tài liệu này phục vụ công tác giảng dạy và ra đề kiểm tra cũng như đề thi thử. Nội dung sáng kiến cũng là một tài liệu tham khảo giá trị khoảng 40.000đ (phô tô), phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. Tại THPT Bình Minh và THPT Ngô Thì Nhậm, tài liệu đã được sử dụng để giảng dạy và học tập cho toàn bộ giáo viên Toán – Tin trong nhà trường. Và toàn bộ học sinh khối 11 và 12 với khoảng 1000 học sinh. Không riêng gì áp dụng cho năm học 2018 – 2019, Sáng kiến này sẽ tiếp tục được chỉnh sửa và bổ sung để áp dụng vào những năm học tiếp theo. Nếu được áp dụng và nhân rộng trên toàn tỉnh với số luợng 27 trường THPT sẽ tiết kiệm được số tiền rất lớn và là sản phẩm tri thức có giá trị. 4 2. Hiệu quả xã hội: - Đối với học sinh, phụ huynh và xã hội: Tạo được tâm lí tự tin cho phụ huynh và học sinh trước mỗi kì thi quan trọng. Học sinh có thể giải được các bài tập trắc nghiệm liên quan đến hàm số sử dụng phép biến hình trong các đề thi và đề kiểm tra. - Đối với nhà trường THPT Bình Minh và THPT Ngô Thì Nhậm: Sau khi áp dụng sáng kiến này tại nhà trường thu được kết quả tốt, tạo được sự tin tưởng chuyên môn của nhóm toán nhà trường. Đồng thời khích lệ phong trào viết sáng kiến, cải tiến phương pháp dạy học đạt hiệu quả cao. Đóng góp vào nâng cao chất lượng giảng dạy của nhà trường. Trong những năm gần đây trường THPT Bình Minh, THPT Ngô Thì Nhậm đã có những tiến bộ vượt bậc về kết quả thi Học sinh giỏi và thi THPT Quốc Gia. - Đối với việc giảng dạy: Sáng kiến này tiếp tục đóng góp vào việc giáo viên tích cực đổi mới phương pháp giảng dạy, đặc biệt là trong bộ môn toán trường THPT Bình Minh và THPT Ngô Thì Nhậm. Nội dung Sáng kiến này là tài liệu tham khảo có thể áp dụng cho tất cả các trường THPT trong toàn tỉnh (27 trường THPT). Đặc biệt là cho các đối tượng học sinh ôn thi HSG, THPT Quốc gia. Là một chuyên đề giảng dạy hiệu quả cho giáo viên. IV. Điều kiện và khả năng áp dụng 1. Khả năng áp dụng sáng kiến trong thực tiễn: Rộng rãi đối với tất cả các trường trung học phổ thông. Hiện nay, tại hầu hết các trường THPT đều coi trọng vấn đề dạy ôn thi THPT Quốc gia cho học sinh, mà môn Toán là môn thi nằm trong nhiều khối thi của học sinh. Vì vậy vấn đề dạy ôn thi THPT Quốc gia môn Toán càng được các nhà trường quan tâm nhiều hơn nữa. Mà nội dung chuyên đề phép biến hình cũng như các bài toán đồ thị hàm số liên quan đến phép biến hình là một dung trước đây ít được chú ý và khan hiếm tài liệu. Chính vì thế nhiều học sinh cảm thấy khó khăn khi tiếp cận để giải quyết nội dung này. Và khó khăn với giáo viên trong công việc soạn đề kiểm tra và đề thi. Do đó, việc áp dụng sáng kiến này vào trong thực tiễn giảng dạy là hết sức khả quan. Vấn đề không chỉ còn nằm ở khả năng truyền đạt của thầy cô giáo mà cần có sự cố gắng của cả nhà trường, giáo viên và học sinh. 2. Điều kiện áp dụng sáng kiến: Để áp dụng sáng kiến này sao cho đạt được hiệu quả tốt nhất chúng ta cần: 5 + Đưa ra thảo luận, trao đổi, thống nhất ý kiến với các thầy cô giáo trong tổ chuyên môn về các vấn đề liên quan đến sáng kiến từ đó rút kinh nghiệm. + Tùy theo từng đối tượng học sinh ở từng lớp mà đưa ra các mức độ ví dụ trong sáng kiến cho phù hợp. + Kiểm tra sự tiếp thu của học sinh về nội dung sáng kiến qua việc làm và giải quyết các bài tập về nhà. Cũng như các bài kiểm tra 15 phút, 45 phút. + Thường xuyên cập nhật đề thi THPT Quốc gia và thi thử các trường để bổ sung vào sáng kiến góp phần làm phong phú hơn kho bài tập. 6 Chúng tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật. Bình Minh, ngày 21 tháng 4 năm 2019 XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO ĐƠN VỊ Người nộp đơn (Ký và ghi rõ họ tên) Đinh Hồng Chinh Dương Xuân Lợi Chương 1 SƠ LƯỢC VỀ PHÉP BIẾN HÌNH 1 Lịch sử hình thành Hình 1.1: Euclide Hình 1.2: Bellavitis (1803-1880) Từ thế kỉ III TCN đến thế kỉ XVIII, với hàng loạt các công trình nghiên cứu của các nhà toán học như: Euclide (sống khoảng 330-275 trước Công nguyên), Desargues (1591-1661), Pascal (1623-1662), De La Hir (1640-1718), Newtơn (1642-1737)...phép biến hình vẫn chỉ xuất hiện như một công cụ ngầm ẩn đề chuyển các tính chất hình học (bất biến) từ hình này sang hình kia, được sử dụng để giải một số bài toán. Phép biến hình chỉ được sử dụng như một thuật ngữ mô tả chứ không phải là một đối tượng nghiên cứu toán học. Vào cuối thế kỉ XVIII, phép biến hình đã trở thành một đối tượng nghiên cứu của toán học. Nghiên cứu một cách hệ thống về đối tượng “phép biến hình” được Bellavitis (18031880) trình bày trong lý thuyết về các hình của ông và sau đó được một số nhà toán học khác bổ sung thêm. Ở giai đoạn này gắn liền quan niệm xem hình là một tập hợp điểm mà hình học giải tích đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành quan niệm đó. Có thể nói các phương pháp do các nhà toán học phát minh đã đem lại một sự thay đổi rất quan trọng về hình, nó cho phép chuyển từ cách nhìn các hình trong tổng thể vào cách nhìn theo từng điểm. Đến cuối thể kỉ XIX, phép biến hình không chỉ được sử dụng như công cụ để dựng hình hay tính chất của hình nữa. Khái niệm nhóm các phép biến hình ra đời từ vấn dề sắp xếp 7 CHƯƠNG 1. SƠ LƯỢC VỀ PHÉP BIẾN HÌNH 8 các tính chất bất biến của các phép biến hình. Và những khái niệm tính chất đó đã được đưa vào chương trình THPT. 2 Kiến thức cơ bản 2.1 Phép biến hình Định nghĩa 1. Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác định được một điểm duy nhất M 0 của mặt phẳng, điểm M 0 gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó. Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là F thì • M 0 = f (M ). • Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các điểm M 0 = f (M ), với M ∈ H tạo thành hình H 0 , ta viết H 0 = f (H). 2.2 Phép dời hình Định nghĩa 2. Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Định lí 1. Phép dời hình biến: • Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng • Đường thẳng thành đường thẳng • Tia thành tia • Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. • Tam giác thành tam giác bằng nó. • Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. • Góc thành góc bằng nó. 2.3 Phép đồng dạng Định nghĩa 3. Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm M và N bất kì và ảnh M 0 và N 0 của chúng, ta luôn có M 0 N 0 = kM N . CHƯƠNG 1. SƠ LƯỢC VỀ PHÉP BIẾN HÌNH 9 Định lí 2. Mọi phép đồng dạng F tỉ số k (k > 0) đều là hợp thành của phép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình D. Hệ quả. Phép đồng dạng tỉ số k biến: • Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm thẳng hàng đó. • Đường thẳng thành đường thẳng. • Tia thành tia. • Đoạn thẳng thành đoạn thẳng và độ dài được nhân lên với k. • Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k. • Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R. • Biến góc thành góc bằng nó. Định nghĩa 4. Hai hình đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình này thành hình kia. 3 Tổng quan về ứng dụng Phép biến hình có rất nhiều ứng dụng trong giải toán và trong thực tiễn cuộc sống. 3.1 Trong giải toán Phép biến hình là một công cụ để giải toán hình học như trong các bài toán: • Giải một số bài toán dựng hình. • Giải một số bài toán về tìm tập hợp điểm. • Vẽ đồ thị hàm số. 3.2 Trong thực tiễn Ngoài những ứng dụng trong giải toán, các phép biến hình còn rất nhiều ứng dụng quan trọng trong đời sống thực tiễn. Đó là: • Các công trình xây dựng bản vẽ thiết kế cầu, đường, nhà, đài phun nước khuân viên trường học, cơ quan... CHƯƠNG 1. SƠ LƯỢC VỀ PHÉP BIẾN HÌNH 10 • Dựa vào tính chất của phép biến hình để thiết kế họa tiết trên nền gạch hoa, họa tiết quần áo,... • Ứng dụng trong hội họa, mỹ thuật( hình vẽ hoa văn có tâm đối xứng). • Chế tạo ra sản phẩm mỹ nghệ như: bình gốm, thổ cẩm,... • Tạo ra đồ dùng: Đèn trần, chén đĩa, mâm tròn,... • Chế tạo các chi tiết máy (bánh răng, bánh xe,...). • Để phóng to nhỏ các đồ vật. Chương 2 PHÉP TỊNH TIẾN 1 Lý thuyết quan trọng 1.1 Định nghĩa # » Trong mặt phẳng cho véc-tơ #» v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M 0 sao cho M M 0 = #» v được gọi là phép tịnh tiến theo véc-tơ #» v. Ký hiệu: T #»v . 1.2 Tính chất Định lí 3. Nếu phép tịnh tiến biến 2 điểm M và N thành 2 điểm M 0 và N 0 thì M 0 N 0 = M N . Ý nghĩa của định lý 1: “Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách 2 điểm bất kì”. Định lí 4. Phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn vị trí của 3 điểm đó. 1.3 Hệ quả Phép tịnh tiến • Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. • Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho. • Biến tia thành tia. • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho. • Biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. 11 CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN 12 • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. • Biến góc thành góc bằng nó. 1.4 Biểu thức tọa độ Trong mặt phẳng Oxy cho điểm (x; y); #» v = (a; b). 0 0 #» Gọi M (x  ; y ) = T v (M ).   x0 = x + a Khi đó  y 0 = y + b. 1.5 Phép tịnh tiến đồ thị Ta biết rằng đồ thị của một hàm số bao giờ cũng gắn với một hệ toạ độ nhất định. Ví dụ, đồ thị của hàm số y = xlà đường phân giác(d0 )của góc phần tư thứ I và III trong hệ toạ độ Oxy. Ta hãy xét một hệ toạ độ mới O0 XY , trong đó gốc O0 của nó, đối với hệ toạ độ Oxy, có toạ độ (x0 ; y0 ); các trục X 0 X và Y 0 Y song song cùng hướng và cùng đơn vị theo thứ tự với trục x0 x và y 0 y. Câu hỏi đặt ra là trong hệ toạ độ mới ấy, liệu (d) có còn là đồ thị của hàm số Y = X nữa hay không? Nếu không thì nó sẽ là đồ thị của hàm số nào? Có thể thấy rằng: Nếu O0 ∈ / (d0 ), có nghĩa là (d) không đi qua góc toạ độ mới thì (d) không thể là đồ thị của hàm số Y = X. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, muốn biết (d) là đồ thị của hàm số nào, ta cần tìm hiểu mối quan hệ giữa các toạ độ cũ và mới của mỗi điểm trong mặt phẳng. Gọi M là một điểm tuỳ ý, đối với hệ toạ độ Oxy, M có toạ độ là (x; y). Đối với hệ toạ độ O0 XY , toạ độ của M là (X; Y ). Ta cần tìm mối quan hệ giữa (X; Y ) và (x; y). Để ý # » # » # » OM = OO0 + O0 M . Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), p, q > 0. -Tịnh tiến (C) lên trên theo phương trục Oy, q đơn vị ta được đồ thị hàm số (C 0 ) : y = f (x) − q. Hay ảnh của (C) qua T #»v với #» v = (0; q) là (C 0 ) : y = f (x) − q. -Tịnh tiến lên trên q đơn vị: y = f (x) + q. -Tịnh tiến xuống dưới q đơn vị: y = f (x) − q. -Tịnh tiến sang trái p đơn vị: y = f (x + p). -Tịnh tiến sang phải p đơn vị: y = f (x − p). Tịnh tiến theo véc-tơ #» v = (a; b): y = f (x − a) + b. CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN 2 13 Bài tập minh họa 2.1 Tìm ảnh của hàm số Bài toán 1. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C). Phép tịnh tiến theo #» v = (a; b) biến (C) thành (C 0 ). Tìm phương trình của (C 0 ). Phương pháp Giả sử: M (x; y) ∈ (C)⇔ y = f (x).  (1)   x0 0  x =x+a = x0 − a ⇒ y = y 0 − b. =y+b Thay vào (1), ta có y 0 − b = f (x0 − a). (C 0 ) Gọi M = T #»v (M ) ⇒  y 0 Do đó: phương trình của (C 0 ) : y = f (x − a) + b. Ví dụ tập áp dụng Ví dụ 1. Cho hàm số y = 2x + 1 có đồ thị (C). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến T #»v , x−2 biết a) #» v = (0; 1). b) #» v = (0; −2). c) #» v = (1; 0). d) #» v = (−3; 0). e) #» v = (−1; −2). Lời giải. 2x + 1 . (1)  x−2   x0 = x + a Giả sử: M (x; y) ∈ (C) ⇒ y = Gọi M 0 (x0 ; y 0 ) = T #»v (M ) ⇒  y 0 = y + b. Áp dụng vào các trường hợp của đề bài ta có: a) #» v =  (0; 1).   x0 =x y 0 =y+1 ⇒   x ⇒ = x0 = y 0 − 1. 2x0 + 1 2x0 + 1 + x0 − 2 3x0 − 1 0 Thay vào (1), ta có y 0 = 0 + 1 ⇔ y0 = ⇔ y = . x −2 x0 − 2 x0 − 2 3x − 1 Do đó y = là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). x−2 Thực hiện tương tự ý a) ta có: y b) #» v = (0; −2). 5 y= là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). x−2 c) #» v = (1; 0). 2x − 1 y= là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). x−3 CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN 14 d) #» v = (−3; 0). 2x + 7 y= là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). x+1 e) #» v = (−1; −2). 5 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). y= x+1 Nhận xét 1. Ta thấy với các véc-tơ ở các ý trên, đó là những véc-tơ thể hiện phép tịnh tiến song song với các hệ trục toạ độ như: tịnh tiến lên trên, xuống dưới, sang phải, sang trái p hoặc q đơn vị. Nhưng ta có thể nhận thấy rằng với phương pháp giải ở trên, ta có thể xử lí với bất kì véc-tơ nào. Giúp cho các bạn chỉ cần nhớ một phương pháp chung mà có thể giải với mọi bài tập có liên quan đến tìm ảnh của hàm số mà không cần phải nhớ đến nhiều dạng bài tập và cách giải khác nhau. Tiếp tục, chúng tôi sẽ giải thử với một số hàm số để chúng minh sức đột phá của phương pháp này.  Ví dụ 2. Cho hàm số y = 2x − 3 có đồ thị (C). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến T #»v , biết a) #» v = (0; −1). b) #» v = (0; 1). c) #» v = (2; 0). d) #» v = (−3; 0). Lời giải. Giả sử: M (x; y) ∈ (C)⇒ y = 2x − 3. (2) Gọi T #»v (M ) 0 =M ⇒  a) #» v =  (0; −1).   x0 ⇒   x0 =x y 0 =x+a y 0 = y + b.   x ⇔ = x0 y = y 0 + 1. =y−1 Thay vào (2) ta có: y 0 + 1 = 2x0 − 3 ⇔ y 0 = 2x0 − 4. Do đó y = 2x − 4 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). Thực hiện tương tự tiến trình của ý a) ta có: b) #» v = (0; 1). y = 2x − 2 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). c) #» v = (2; 0). y = 2x − 7 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). d) #» v = (−3; 0). y = 2x + 3 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). e) #» v = (1; 2). CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN 15 e) #» v = (1; 2). y = 2x − 3 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ).  Ví dụ 3. Cho hàm số y = x2 − 2x + 1 có đồ thị (C). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến T #»v , biết a) #» v = (0; 1). b) #» v = (0; −1). c) #» v = (1; 0). d) #» v = (−1; 0). e) #» v = (1; 2). Lời giải. Giả sử: M (x; y) ∈ (C)⇒ y = x2 − 2x + 1. (3) Gọi T #»v (M ) 0   x0 =M ⇒  a) #» v =  (0; 1).   x0 ⇒ =x+a y 0 = y + b.   x =x = x0 ⇔ y = y 0 − 1. =y+1 Thay vào (3) ta có: y 0 − 1 = x02 − 2x0 + 1 ⇔ y 0 = x02 − 2x0 + 2. y 0 Do đó y = x2 − 2x + 2 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). Thực hiện tương tự tiến trình của ý a) ta có: b) #» v = (0; −1). y = x2 − 2x là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). c) #» v = (1; 0). y = x2 − 4x + 4 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). d) #» v = (−1; 0). y = x2 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). e) #» v = (1; 2). y = x2 − 4x + 6 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ).  Ví dụ 4. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 3x + 1 có đồ thị (C). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến T #»v , biết a) #» v = (0; 2). b) #» v = (0; −2). c) #» v = (1; 0). Lời giải. Giả sử: M (x; y) ∈ (C)⇒ y = x3 + 3x2 + 3x + 1. (4) Gọi T #»v (M ) 0   x0 =M ⇒  =x+a y 0 = y + b. d) #» v = (−1; 0). e) #» v = (−1; 2). CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN a) #» v =  (0; 2).   x0 ⇒   x =x 16 = x0 ⇒ y = y 0 − 2. =y+2 Thay vào (4) ta có: y 0 − 2 = x03 + 3x02 + 3x0 + 1 ⇔ y 0 = x03 + 3x02 + 3x0 + 3. y 0 Do đó y = x3 + 3x2 + 3x + 3 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). Thực hiện tương tự tiến trình của ý a) ta có: b) #» v = (0; −2). y = x3 + 3x2 + 3x − 1 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). c) #» v = (1; 0). y = x3 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). d) #» v = (−1; 0). y = x3 + 6x2 + 12x + 5 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). e) #» v = (−1; 2). y = x3 + 6x2 + 12x + 7 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ).  Ví dụ 5. Cho hàm số y = x4 − 3x2 + 2 có đồ thị (C). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến T #»v , biết a) #» v = (0; 1). b) #» v = (0; −2). c) #» v = (−1; 0). d) #» v = (3; 0). e) #» v = (1; −3). Lời giải. Giả sử: M (x; y) ∈ (C)⇒ y = x4 − 3x2 + 2. (5) Gọi T #»v (M ) 0 =M ⇒  a) #» v =  (0; 1).   x0 ⇒   x0 =x =x+a y 0 = y + b.   x = x0 ⇒ y = y 0 − 1. =y+1 Thay vào (5) ta có: y 0 − 1 = x04 − 3x02 − 3x0 + 2 ⇔ y 0 = x04 − 3x02 + 3. y 0 Do đó y = x4 − 3x2 + 3 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). Thực hiện tương tự tiến trình của ý a) ta có: b) #» v = (0; −2). y = x4 − 3x2 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). c) #» v = (−1; 0). y = x4 + 4x3 − 3x2 − 2x là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN 17 d) #» v = (3; 0). y = x4 − 12x3 + 51x2 − 90x + 56 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). e) #» v = (1; −3). y = x4 − 4x3 + 3x2 + 2x − 3 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ).  Ví dụ 6. Cho hàm số x2 + y 2 − 2x + 4y − 4 = 0 có đồ thị (C). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến T #»v , biết a) #» v = (0; 2). b) #» v = (0; −3). c) #» v = (3; 0). d) #» v = (−2; 0). e) #» v = (−2; −3). Lời giải. Giả sử: M (x; y) ∈ (C)⇒ x2 + y 2 − 2x + 4y − 4 = 0. (6) Gọi T #»v (M ) 0 =M ⇒  a) #» v =  (0; 2).   x0 ⇒   x0 =x =x+a y 0 = y + b.   x = x0 ⇒ y = y 0 − 2. =y+2 Thay vào (6) ta có: x02 + (y 0 − 2)2 − 2x0 + 4(y 0 − 2) − 4 = 0 ⇔ (x0 − 1)2 + y 02 = 9. y 0 Do đó (x − 1)2 + y 2 = 9 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). b) #» v = (0; −3). (x − 1)2 + (y + 5)2 = 9 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). c) #» v = (3; 0). (x − 4)2 + (y + 2)2 = 9 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). d) #» v = (−2; 0). (x + 1)2 + (y + 2)2 = 9 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ). e) #» v = (−2; −3). x2 + y 2 + 2x − 2y − 7 = 0 là phương trình hàm số ảnh (C 0 ).  Các hàm số mà tác giả sử dụng trong các ví dụ là một số hàm số thường gặp trong chương trình phổ thông như: ax + b . y = ax + b; y = ax2 + bx + c; y = ax3 + bx2 + cx + d; y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e; y = cx + d Bài toán 2. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C 0 ). Phép tịnh tiến theo véc-tơ #» v = (a; b) biến (C) thành (C 0 ). Tìm phương trình của (C). CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN 18 Phương pháp Ta có − #» v = (−a; −b). Mà : T #»v [(C)] = (C 0 ) ⇒ T− #»v [(C 0 )] = (C). Giả sử: M 0 (x0 ; y 0 ) ∈ (C 0 ) ⇒ y 0 = f (x0 ). (∗)   x = x0 + (−a) y = y 0 + (−b) M (x; y) là ảnh của M 0 qua véc-tơ − #» v ⇒ M ∈ (C) ⇒     x0 =x+a y 0 = y + b. ⇒ Thay vào (∗), có: y + b = f (x + a). Vậy phương trình đồ thị hàm số cần tìm là y = f (x + a) − b. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1. Cho hàm số ảnh y 0 = −3x0 − 7 có đồ thị (C 0 ). Tìm hàm số vật (C) qua phép tịnh 2x0 + 3 tiến T #»v . a) #» v = (0; 1). b) #» v = (0; −3). c) #» v = (2; 0). d) #» v = (−1; 0). e) #» v = (1; −2). Lời giải. a) #» v = (0; 1). Ta có: − #» v = (0; −1). Mà: T #»v (C) 7→ (C 0 ) ⇒ T #»v (C 0 ) 7→ (C). −3x0 − 7 Giả sử: M (x0 ; y 0 ) ∈ (C 0 ) ⇒ y 0 = . (1) 2x0 + 3 M (x; y) là ảnh của M 0 qua phép tịnh tiến theo véc-tơ − #» v nên   x = x0 + (−a) y = y 0 + (−b) M ∈ (C) ⇒     x0 =x y 0 = y + 1. ⇒ −3x − 7 −3x − 7 −5x − 10 Thay vào (1), ta có y + 1 = ⇔y= −1⇔y = . 2x + 3 2x + 3 2x + 3 −5x − 10 Do đó y = là phương trình hàm số vật của (C 0 ). 2x + 3 Thực hiện tương tự tiến trình của ý a) ta có: b) #» v = (0; −3). 3x + 2 y= là phương trình hàm số vật của (C 0 ). 2x + 3 c) #» v = (2; 0). −3x − 13 y= là phương trình hàm số vật của (C 0 ). 2x + 7 d) #» v = (−1; 0). −3x − 4 y= là phương trình hàm số vật của (C 0 ). 2x + 1 e) #» v = (1; −2). x là phương trình hàm số vật của (C 0 ). y= 2x + 5 CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN 19  Ví dụ 2. Cho hàm số ảnh y 0 = 2x0 − 3 có đồ thị (C 0 ). Tìm hàm số vật (C) qua phép tịnh tiến T #»v . a) #» v = (0; 2). b) #» v = (0; −1). c) #» v = (3; 0). d) #» v = (−2; 0). e) #» v = (4; 1). Lời giải. a) #» v = (0; 2). Ta có: − #» v = (0; −2). Mà: T #»v (C) 7→ (C 0 ) ⇒ T #»v (C 0 ) 7→ (C). Giả sử: M (x0 ; y 0 ) ∈ (C 0 ) ⇒ y 0 = 2x0 − 3. (2) M (x; y) là ảnh của M 0 qua phép tịnh tiến theo véc-tơ − #» v , nên   x = x + (−a) y = y 0 + (−b) M ∈ (C) ⇒  0    x0 =x y 0 = y + 2. ⇒ Thay vào (2) ⇒ y + 2 = 2x − 3 ⇔ y = 2x − 5. Do đó y = 2x − 5 là phương trình hàm số vật của (C 0 ). Thực hiện tương tự tiến trình của ý a, ta có: b) #» v = (0; −1). y = 2x − 2 là phương trình hàm số vật của (C 0 ). c) #» v = (3; 0). y = 2x + 3 là phương trình hàm số vật của (C 0 ). d) #» v = (−2; 0). y = 2x − 7 là phương trình hàm số vật của (C 0 ). e) #» v = (4; 1). y = 2x + 4 là phương trình hàm số vật của (C 0 ).  Ví dụ 3. Cho hàm số ảnh y 0 = x02 − 4x0 + 6 có đồ thị (C 0 ). Tìm hàm số vật (C) qua phép tịnh tiến T #»v . a) #» v = (0; 1). Lời giải. b) #» v = (0; −2). c) #» v = (2; 0). d) #» v = (−1; 0). e) #» v = (1; 2). CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN 20 a) #» v = (0; 1). Ta có: − #» v = (0; −1). Mà: T #»v (C) 7→ (C 0 ) ⇒ T #»v (C 0 ) 7→ (C). Giả sử: M (x0 ; y 0 ) ∈ (C 0 ) ⇒ y 0 = x02 − 4x0 + 6. (3) M (x; y) là ảnh của M 0 qua phép tịnh tiến theo véc-tơ − #» v , nên   x = x0 + (−a) y = y 0 + (−b) M ∈ (C) ⇒     x0 =x y 0 = y + 1. ⇒ Thay vào (3), ta có ⇒ y + 1 = x2 − 4x + 6 ⇔ y = x2 − 4x + 5. Do đó y = x2 − 4x + 5 là phương trình hàm số vật của (C 0 ). Thực hiện tương tự tiến trình của ý a, ta có: b) #» v = (0; −2). y = x2 − 4x + 8 là phương trình hàm số vật của (C 0 ). c) #» v = (2; 0). y = x2 + 10 là phương trình hàm số vật của (C 0 ). d) #» v = (−1; 0). y = x2 − 6x + 7 là phương trình hàm số vật của (C 0 ). e) #» v = (1; 2). y = x2 − 2x + 1 là phương trình hàm số vật của (C 0 ).  Ví dụ 4. Cho hàm số ảnh y 0 = x03 + 6x02 + 12x0 + 7 có đồ thị (C 0 ). Tìm hàm số vật (C) qua phép tịnh tiến T #»v . a) #» v = (0; 1). b) #» v = (0; −1). c) #» v = (2; 0). d) #» v = (−2; 0). Lời giải. a) #» v = (0; 1). Ta có: − #» v = (0; −1). Mà: T #»v (C) 7→ (C 0 ) ⇒ T #»v (C 0 ) 7→ (C). Giả sử: M (x0 ; y 0 ) ∈ (C 0 ) ⇒ y 0 = x03 + 6x02 + 12x0 + 7. (4) M (x; y) là ảnh của M 0 qua phép tịnh tiến theo véc-tơ − #» v , nên   x 0 =x ⇒ y = y 0 + (−b) y 0 = y + 1. M ∈ (C) ⇒  = x + (−a)   x0 e) #» v = (−1; 2).
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan

Tài liệu vừa đăng