C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n
¬ng Mai
I- C¬ së lý luËn.
GV: Hoµng Ph-
Ch¬ng I: Lêi nãi ®Çu
T×m tßi lêi gi¶i lµ mét bíc quan träng trong ho¹t ®éng gi¶i to¸n. Nã
quyÕt ®Þnh sù thµnh c«ng hay kh«ng thµnh c«ng, ®i ®Õn sù thµnh c«ng nhanh
hay chËm cña viÖc gi¶i to¸n. §iÒu c¬ b¶n ë bíc nµy lµ biÕt ®Þnh híng ®óng ®Ó
t×m ra ®îc ®êng ®i ®óng. Kh«ng cã mét thuËt to¸n tæng qu¸t nµo ®Ó gi¶i ®îc
mäi bµi to¸n c¶.
Mét vµi kinh nghiÖm gi¶i to¸n ®ã lµ:
- Sö dông c¸c bµi to¸n ®· gi¶i.
- BiÕn ®æi bµi to¸n.
- Ph©n tÝch bµi to¸n thµnh nh÷ng bµi to¸n ®¬n gi¶n h¬n.
- Mß mÉm, dù ®o¸n b»ng nhiÒu c¸ch thö mét sè trêng hîp cã thÓ x¶y
ra.
HoÆc tù ®Æt ra cho m×nh c©u hái:
- B¹n ®· gÆp bµi to¸n nµy lÇn nµo cha? Hay ®· gÆp bµi to¸n nµy ë mét
d¹ng kh¸c?
- B¹n cã biÕt mét bµi to¸n nµo cã liªn quan kh«ng? Mét ®Þnh lý cã thÓ
dïng ®îc kh«ng?
- Cã thÓ ph¸t biÓu bµi to¸n mét c¸ch kh¸c kh«ng? Mét c¸ch kh¸c n÷a?
- NÕu b¹n cha gi¶i ®îc bµi to¸n th× h·y gi¶i bµi to¸n cã liªn quan mµ dÔ
h¬n. HoÆc gi¶i mét phÇn bµi to¸n, biÕn ®æi bµi to¸n, thay ®æi Èn cña bµi
to¸n....
- B¹n ®· sö dông mäi d÷ kiÖn hay cha? §· sö dông toµn bé ®iÒu kiÖn
hay cha? §· ®Ó ý ®Õn mäi kh¸i niÖm chñ yÕu trong bµi to¸n hay cha?
§Ó thùc hiÖn nh÷ng ý ®å s ph¹m nhÊt ®Þnh, trong tõng t×nh huèng cô
thÓ ®èi víi tõng lo¹i ®èi tîng häc sinh, gi¸o viªn ph¶i cã kh¶ n¨ng lµm dÔ ®i
nh÷ng bµi to¸n khã, lµm khã nh÷ng bµi to¸n dÔ,t¹o ra nh÷ng bµi to¸n cã møc
®é khã kh¨n, phøc t¹p nh nhau hoÆc kh¸c nhau, ®a d¹ng ho¸ c¸c bµi to¸n theo
mét chñ ®Ò nhÊt ®Þnh ®Ó ®¹t ®îc nh÷ng môc tiªu d¹y häc. Do vËy, viÖc khai
th¸c mét bµi to¸n lµ hÕt søc cÇn thiÕt.
Ii- c¬ së thùc tiÔn.
Trêng THCS Tiªn HiÖp lµ mét trêng cã sè lîng häc sinh Ýt, n»m
c¸ch xa trung t©m huyÖn. Trêng chØ cã 8 líp. HÇu hÕt c¸c em ®Òu lµ con em
cña c¸c gia ®×nh thuÇn n«ng, thu nhËp chÝnh lµ lµm ruéng. §êi sçng cña c¸c
gia ®×nh cßn gÆp nhiÒu khã kh¨n. ChÝnh v× thÕ, c¸c gia ®×nh cha thùc sù quan
t©m nhiÒu ®Õn viÖc häc tËp cña con em m×nh. Häc sinh cña trêng nãi chung
cã søc häc chØ ë møc trung b×nh, nhiÒu häc sinh ë møc yÕu, ®Æc biÖt lµ vÒ
m«n to¸n. HÇu hÕt lµ do c¸c em cha cã c¸ch häc, cha ch¨m lµm bµi tËp vµ do
1
C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n
¬ng Mai
GV: Hoµng Ph-
hoµn c¶nh gia ®×nh, c¸c em ph¶i gióp gia ®×nh nªn c¸c em cha thËt sù quan
t©m ®Õn viÖc häc tËp cña m×nh.
Lµ mét gi¸o viªn trÎ míi ra trêng, khi nhËn c«ng t¸c t¹i trêng THCS
Tiªn HiÖp, t«i gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n v× nh÷ng lý do ®ã. T«i lu«n lu«n suy
nghÜ, tr¨n trë lµm thÕ nµo ®Ó c¸c em häc tèt h¬n, lµm thÕ nµo ®Ó c¸c em say
mª m«n to¸n h¬n, yªu thÝch m«n to¸n h¬n. V× t«i nghÜ r»ng, c¸c em cã yªu
thÝch, cã say mª th× c¸c em míi cã høng thó ®Ó ch¨m chØ h¬n trong viÖc häc
to¸n. Vµ lµm thÕ nµo ®Ó c¸c em häc kÐm häc tèt h¬n, c¸c em häc kh¸ giái th×
häc v÷ng vµng h¬n.
Sau mét thêi gian gi¶ng d¹y trùc tiÕp trªn líp, t«i nhËn thÊy r»ng nÕu
ngêi gi¸o viªn biÕt khai th¸c tèt mét bµi to¸n th× bµi häc sÏ trë nªn dÔ hiÓu vµ
häc sinh c¶m thÊy høng thó h¬n khi gi¶i c¸c bµi to¸n. §Æc biÖt, trong giê
LuyÖn tËp, c¶ häc sinh kÐm lÉn häc sinh giái ®Òu cè g¾ng suy nghÜ t×m ra lêi
gi¶i v× bµi tËp ®· ®îc c« gîi ý rÊt chi tiÕt vµ dÔ hiÓu.
ChÝnh v× thÕ, t«i viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm víi néi dung “C¸c híng
khai th¸c mét bµi to¸n”. §ång thêi, sù quan t©m gióp ®ì, ®ãng gãp ý kiÕn cña
c¸c ®ång nghiÖp trong trêng ®· gióp t«i rÊt nhiÒu trong qu¸ tr×nh t«i thùc hiÖn
s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy.
§©y lµ s¸ng kiÕn kinh nghiÖm ®Çu tiªn t«i thùc hiÖn nªn cßn gÆp nhiÒu
sai sãt. T«i rÊt mong muèn nhËn ®îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp cña c¸c ®ång chÝ
®Ó t«i rót ra ®îc nh÷ng kinh nghiÖm cho ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y cña m×nh tèt
h¬n.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
Gi¸o viªn
Hoµng Ph¬ng Mai
Néi dung chÝnh cña ®Ò tµi gåm:
Ch¬ng I: Lêi nãi ®Çu
Ch¬ng II: C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n
I- T×m nhiÒu c¸ch gi¶i cho mét bµi to¸n
II- t×m thªm kÕt qu¶ míi
III- c¸c tri thøc ph¬ng ph¸p
iV- Thay ®æi bµi to¸n theo môc ®Ých d¹y häc
v- mét sè con ®êng t¹o ra bµi to¸n míi tõ bµi to¸n ban ®Çu
Ch¬ng Iii: phÇn thùc nghiÖm
Ch¬ng Iv: kÕt luËn
2
C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n
¬ng Mai
GV: Hoµng Ph-
Ch¬ng II: C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n
I- T×m nhiÒu c¸ch gi¶i cho mét bµi to¸n:
Mét bµi to¸n cã thÓ nh×n ë nhiÒu gãc ®é kh¸c nhau, mçi c¸ch nh×n cho
ta mét c¸ch gi¶i kh¸c nhau. ViÖc t×m nhiÒu c¸ch gi¶i cho mét bµi to¸n gióp ta
t¸i hiÖn ®îc nhiÒu kiÕn thøc, mçi c¸ch gi¶i øng víi kiÕn thøc thuéc nhiÒu môc
kh¸c nhau. CÇn nhiÒu c¸ch gi¶i cho mét bµi to¸n gióp cho häc sinh kh¾c s©u
kiÕn thøc, hÖ thèng kiÕn thøc, nhí bµi tËp ®ã l©u h¬n vµ lµ tiÒn ®Ò gióp cho ta
gi¶i c¸c bµi to¸n kh¸c. V× vËy viÖc t×m nhiÒu c¸ch gi¶i cho mét bµi to¸n lµ hÕt
søc cÇn thiÕt. Song v× thêi gian lµm bµi cã h¹n nªn viÖc chän lêi gi¶i ®Ó tr×nh
bµy l¹i lµ mét nghÖ thuËt cña ngêi gi¶i to¸n.
Bµi to¸n 1: Cho ABC c©n t¹i A, ®êng trung tuyÕn CD. Trªn tia ®èi
cña tia BA lÊy ®iÓm K sao cho BK = BA. Chøng minh r»ng CD =
1
CK
2
Lêi gi¶i: NÕu nh×n bµi to¸n díi gãc ®é lµ mét tam gi¸c c©n vµ
gi¶i quyÕt bµi to¸n b»ng nh÷ng kiÕn thøc vÒ tam gi¸c c©n vµ ®êng trung b×nh
cña tam gi¸c th× ta cã c¸ch gi¶i nh sau:
C¸ch 1:
A
Gäi I lµ trung ®iÓm cña CK
CI =
D
B
C
I
K
1
CK
2
CBI = CBD (c.g.c)
1
CI = CD = 2 CK
3
C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n
¬ng Mai
A
C¸ch 2:
GV: Hoµng Ph-
Gäi E lµ trung ®iÓm cña AC th× BE =
D
E
1
CK
2
Chøng minh:
BE = CD do CBI = CBD (c.g.c)
B
C Híng t¹o thø 2 lµ t¹o ra ®o¹n th¼ng
gÊp ®«i CD ta cã c¸ch gi¶i sau:
C¸ch 3:
K
Trªn tia ®èi cña tia CB lÊy CM = CB
A
CD lµ ®êng trung b×nh cña ABM
D
AM = 2CD
B
M
C
Sau ®ã chøng minh: AM = CK
do ACM = KBC (c.g.c) v× AC=KB (gt)
K
CM = BC (c¸ch dùng)
ACM = KBC
C¸ch 4:
A
Trªn tia ®èi cña tia CAlÊy CN=CA
th× BN = 2CD
D
(v× CD lµ ®êng trung b×nh cña ABN).
B
C
Do BCN = CBK (c.g.c). V× BC chung
BCN = CBK = A + B = A + C
K
(gãc ngoµi cña )
N
NC = KB
C¸ch 5:
E
Trªn tia ®èi cña tia DC lÊy E sao cho:
A
DE = DC BE = AC, BE // AC
D
(V× BDE = ACD (c.g.c)
B
C
Sau ®ã chøng minh: CBE = CBK (c.g.c)
Tõ ®ã suy ra: CE = CK
4
C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n
¬ng Mai
GV: Hoµng Ph-
CK = 2 CD
K
C¸ch gi¶i 1, 2, 3, 4 sö dông c¸c kiÕn thøc vÒ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c.
C¸ch gi¶i 5 sö dông tÝnh chÊt cña tam gi¸c c©n vµ gãc ngoµi cña tam gi¸c.
Bµi to¸n trªn, vÎ ngoµi nh×n rÊt ®¬n gi¶n nhng nÕu ngêi gi¶i to¸n biÕt
c¸ch khai th¸c bµi to¸n th× sÏ lÜnh héi ®îc nhiÒu tri thøc còng nh ph¬ng ph¸p
ghÐp h×nh tõ bµi to¸n trªn.
Bµi to¸n 2: Chøng minh r»ng nÕu mét tam gi¸c cã trung tuyÕn còng lµ
ph©n gi¸c th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c c©n.
C¸ch 1:
Trªn tia ®èi cña tia MA lÊy ®iÓm D
sao cho: MA = MD
XÐt AMB vµ DMC
A
cã: AM = BM (c¸ch dùng)
AMB = DMC (®èi ®Ønh)
1 2
MB = MC (AM lµ trung tuyÕn)
VËy AMB = DMC (c.g.c)
1
M 2
B
C
A1 = D1
(gãc t¬ng øng cña tam gi¸c b»ng nhau)
Mµ A1 = A2 (gt)
D
A2 = D1
1
ADC c©n
AC = DC
L¹i cã: AB = DC
AB = AC hay ABC c©n t¹i A
NÕu sö dông tÝnh
K chÊt ®êng trung b×nh cña tam gi¸c th× ta cã c¸c c¸ch
gi¶i sau:
C¸ch 2:
Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy K sao cho AK = AB
A
AM lµ ®êng trung b×nh cñ
1 2
A1 = K (gãc ®ång vÞ cña AM vµ KC)
5
B
M
C
a BKC
C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n
¬ng Mai
GV: Hoµng Ph-
A2 = C1 (so le trong)
Mµ AK = AC (tÝnh chÊt tam gi¸c c©n)
1
AB=AK(C¸ch dùng)AB =AC ABC c©n
C¸ch 3:Chøng minh b»ng ph¶n chøng
Gi¶ sö AB > AC. Trªn c¹nh AB
lÊy AD = AC th× ADC c©n.
Gäi I lµ giao ®iÓm cña CD vµ AM
A
ADCc©n cã AI lµ ph©n gi¸c
øng víi c¹nh ®¸y nªn DI = IC
Mµ MC = MC (gt)
D
IM lµ ®êng trung b×nh cña CBD
I
B
C
M
BD // IM
§iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt lµ BD c¾t AM ë A
Gi¶ sö AB < AC còng chøng minh t¬ng tù
dÉn ®Õn m©u thuÉn.
VËy AB = AC hay ABC c©n t¹i A
NÕu sö dông trêng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c vu«ng th× ta cã c¸ch
gi¶i sau:
C¸ch 4:
A
VÏ MH AB; MK AC
Sau ®ã chøng minh: AK = AH, BH = CK
H
B
K
M
C
AB = AC
ABC c©n t¹i A
6
C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n
¬ng Mai
GV: Hoµng Ph-
NÕu sö dông tÝnh chÊt cña tam gi¸c c©n ta còng cã lêi gi¶i sau:
7
C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n
¬ng Mai
GV: Hoµng Ph-
C¸ch 5:
- Gi¶ sö AB > AC. Trªn c¹nh AB lÊy D
sao cho AD = AC ta cã:
A
AMD = AMC (c.g.c)
D1 = C (1)
MD = MC. Ta l¹i cã MC = MB (gt)
MB = MD
D 1
2
B
DMB c©n
M
B = D2 (2)
C
Tõ (1) vµ (2): B + C = D1 + D2 = 180o (v« lý)
- Gi¶ sö AB < AC. Còng lµm t¬ng tù nh trªn
dÉn ®Õn m©u thuÉn
VËy AB = AC hay ABC c©n t¹i A
Mét sè bµi to¸n tuy rÊt ®¬n gi¶n nÕu ta chØ gi¶i mét c¸ch ®¬n thuÇn mµ
ta còng cã thÓ nhËn ra, quªn ®i viÖc t×m nhiÒu c¸ch gi¶i th× sÏ mÊt sù thó vÞ sÏ
kh«ng thÊy c¸i hay cña bµi to¸n.
II- t×m thªm kÕt qu¶ míi:
NÕu ta biÕt c¸ch khai th¸c triÖt ®Ó gi¶ thiÕt b»ng c¸ch t×m thªm c¸c kÕt
qu¶ míi th× kh«ng nh÷ng hiÓu s©u vÒ bµi to¸n mµ cßn tr¶i ra cho ta mét con ®êng ®Ó ®i t×m kiÕn thøc míi.
VÝ dô 1: Gäi H lµ trùc t©m vµ AP, BN, CM lµ c¸c ®êng cao cña ABC
cã c¸c gãc nhän. Chøng minh r»ng tø gi¸c AMHN vµ BMCN néi tiÕp.
A
1I
M
1
2
H
N
G
K
NhËn xÐt 1: B× ABC nhän nªn vai trß M, N, P lµ nh nhau. Do ®ã ta cã
C
B thªm c©u
thÓ ®Ò xuÊt
P hái: T×m tÊt c¶ c¸c tø gi¸c néi tiÕp cã trong h×nh vÏ.
8
C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n
¬ng Mai
GV: Hoµng Ph-
NhËn xÐt 2: XÐt BHC cã HP BC, NC BH, MB HC mµ 3 ®êng
cao HB, NC, BM ®ång quy t¹i A A lµ trùc t©m cña BHC.
§Ò xuÊt kÕt qu¶ míi: Chøng minh r»ng mçi ®Ønh cña ABC lµ trùc t©m
cña tam gi¸c t¹o bëi H vµ 2 ®Ønh cßn l¹i.
NhËn xÐt 3: Do AMHN nèi tiÕp A1 = N1 (cïng ch¾n cung MH)
ANPB néi tiÕp A1 = N2 (cïng ch¾n cung BP)
N1 = N2
NH lµ ph©n gi¸c trong cña MNP
§Ò xuÊt kÕt qu¶ míi: Chøng minh H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp MNP
NhËn xÐt 4:
NH lµ ph©n gi¸c trong cña MNP
Mµ CN HN (gt)
NC lµ ph©n gi¸c ngoµi cña gãc MNP (1)
Do NH lµ ph©n gi¸c trong cña MNP
HM
MN
HG
NG
(TÝnh chÊt ph©n gi¸c trong)
Do NC lµ ph©n gi¸c ngoµi cña gãc MNG trong MNG nªn:
HM
MC
HG
CG
(2) (TÝnh chÊt ph©n gi¸c ngoµi)
Tõ (1) vµ (2)
HM
MN CM
HG
NG
CG
KÕt qu¶ míi: Chøng minh r»ng:
HM
MC
HG
CG
:
HM
BN
HK
BK
:
HP
AP
HI
AI
NhËn xÐt 5: XÐt MNP ta cã MC lµ ph©n gi¸c trong cña gãc NMP cßn
PC, CN lµ ph©n gi¸c ngoµi cña gãc MPN vµ MNP C lµ t©m ®êng trßn bµng
tiÕp MNP. Nªn ta cã thÓ ®Ò xuÊt kÕt qu¶ míi: Chøngminh r»ng c¸c ®Ønh A,
B, C lµ c¸c t©m ®êng trßn bµng tiÕp cña MNP.
VÝ dô 2: Chøng minh ®¼ng thøc:
(x - y)3 + (y - x)3 + (z - x)3 = 3 (x-y) (y-z) (z-x)
9
C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n
¬ng Mai
GV: Hoµng Ph-
NhËn xÐt: (x - y) - (y - z) - (z - x) = 0
§Æt x - y = A, y - z = B, z - x = C
A+B+C=0
A = -(B + C)
A3 = [(B3 + C3 + 3 (B + C)]
A3 = -B3 - C3 + 3 ABC
Tõ bµi to¸n nµy ta ®Ò xuÊt 2 kÕt qu¶ míi:
Chøng minh r»ng nÕu A + B + C = 0 th× A3 + B3 + C3 = 3 ABC
.
Chøng minh r»ng nÕu A + B + C = 0 th× A3 + B3 + C3 : A.B.C
III- c¸c tri thøc ph¬ng ph¸p:
NÕu ngêi gi¸o viªn chØ ch¨m chó vµo viÖc gi¶i to¸n mµ kh«ng rót ra tri
thøc ph¬ng ph¸p th× häc sinh chØ biÕt nh÷ng bµi tËp ®ã ma kh«ng biÕt ph¬ng
ph¸p ®Ó gi¶i nh÷ng bµi to¸n t¬ng tù hay tæng qu¸t h¬n.
VÝ dô 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
B=
3
1
Gi¶i: B =
3
=
3
21 12
1
3
21 12
3 1
3
3
1 2
3 3
3
4 2
3
1 1
Tri thøc ph¬ng ph¸p:
- Khai c¨n tõ trong ra.
- Chó ý h»ng ®¼ng thøc:
A A
- Chó ý tÝch 2 sè ®Ó x¸c ®Þnh sè thø nhÊt, sè thø hai
iV- Thay ®æi bµi to¸n theo môc ®Ých d¹y häc:
§Ó ®¶m nhiÖm ®îc vai trß "ngêi träng tµi" ngêi gi¸o viªn ph¶i cã kh¶
n¨ng thay ®æi bµi to¸n lµm bµi to¸n dÔ ®i, lµm bµi to¸n khã lªn theo môc ®Ých
d¹y häc phï hîp víi tõng ®èi tîng häc sinh.
Gi¶i hÖ bÊt ph¬ng tr×nh:
5x - 9 < 2x - 3
5x - 10 > 20 - 3x
3x < 6
5x > 30
10
x<2
x>6
x
C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n
¬ng Mai
3x + 5 -2x + 9
x -4
GV: Hoµng Phx -4
VËy hÖ bÊt ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
Muèn lµ bµi to¸n khã h¬n ta ®a mét ph¬ng tr×nh tÝch vµo:
VÝ dô: Gi¶i hÖ bÊt ph¬ng tr×nh:
(3x - 1) (5x + 2) 0
5x - 10 > 20 - 3x
3x + 5 -2x + 9
Gi¶i bµi to¸n nµy sÏ khã h¬n bµi to¸n trªn. Dµnh cho ®èi tîng häc sinh
kh¸. Tuy nhiªn ta còng cã thÓ lµm cho bµi to¸n dÔ ®i.
VÝ dô: Gi¶i hÖ bÊt ph¬ng tr×nh:
3x - 1 0
5x - 10 0
x-2>0
v-mét sè con ®êng t¹o ra bµi to¸n míi tõ bµi to¸nban®Çu
I- T¸c dông cña viÖc t¹o ra bµi to¸n míi tõ bµi to¸n ban ®Çu:
§Ó ®¶m nhËn ®îc vai trß “ Ngêi thiÕt kÕ” x©y dùng néi dung gi¶ng d¹y,
thiÕt kÕ nh÷ng t×nh huèng ®Ó häc sinh tù gi¸c häc tËp, tù gi¸c tham gia c¸c
ho¹t ®éng gi¶i to¸n, ngêi gi¸o viªn ph¶i cã n¨ng lùc t¹o ra c¸c bµi to¸n míi
phï hîp víi yªu cÇu cña tiÕt d¹y, phï hîp víi tr×nh ®é thùc tÕ cña häc sinh.
Bµi to¸n míi cã thÓ la bµi to¸n hoµn toµn míi, còng cã thÓ lµ sù më réng, ®µo
s©u khai th¸c nh÷ng bµi to¸n ®· biÕt. ThËt ra, khã cã thÓ t¹o nªn mét bµi to¸n
hoµn toµn kh«ng cã quan hÖ g× vÒ néi dung, ph¬ng ph¸p víi nh÷ng bµi to¸n ®·
cã. §Ó thùc hiÖn nh÷ng ý ®å s ph¹m, trong tõng t×nh huèng cô thÓ, ®èi víi
tõng lo¹i ®èi tîng häc sinh, gi¸o viªn ph¶i cã kh¨ n¨ng lµm dÔ ®i nh÷ng bµi
to¸n khã, lµm khã thªm nh÷ng bµi to¸n dÔ, t¹o ra nh÷ng bµi to¸n cã møc ®é
khã kh¨n, phøc t¹p nh nhau hoÆc ®a d¹ng ho¸ c¸c lo¹i bµi to¸n theo mét chñ
®Ò nhÊt ®Þnh.
®Çu.
Díi ®©y lµ mét sè con ®êng dÉn ®Õn c¸cbµi to¸n míi tõ bµi to¸n ban
iI-c¸c con ®êng t¹o ra bµi to¸n míi
BµI
TO¸N
BAN
§ÇU
LËp
LËp bµi
bµi to¸n
to¸n t¬ng
®¶o tù
Thªm mét sè yÕu tè, ®Æc biÖt hãa
Bít mét sè yÕu tè, kh¸i qu¸t hãa
Thay ®æi mét sè yÕu tè
11
BµI
TO¸N
MíI
C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n
¬ng Mai
GV: Hoµng Ph-
1. LËp bµi to¸n t¬ng tù víi bµi to¸n ban ®Çu
VÝ dô 1: Bµi to¸n ban ®Çu: Cho tØ lÖ thøc
Chøng minh r»ng:
a
c
b d
a
c
a b c d
Bµi to¸n míi: Gi÷ nguyªn gi¶ thiÕt trªn nhng thay kÕt luËn b»ng:
Chøng minh r»ng:
2a 3b 2c 3d
2a 3b 2c 3d
C¸ch gi¶i bµi to¸n míi vµ bµi to¸n ban ®Çu t¬ng tù nhau nhng chóng ®·
t¹o cho häc sinh nh÷ng kÕt qu¶ míi vµ quan träng. H¬n n÷a, víi ph¬ng ph¸p
vµ kinh nghiÖm thu ®îc qua viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n trªn, häc sinh cã thÓ tù
m×nh t×m ra nh÷ng kÕt qu¶ kh¸c tõ c¸c bµi to¸n ban ®Çu. Ch¼ng h¹n, tõ tØ lÖ
thøc:
a
c
b d
häc sinh cã thÓ chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau:
a b c d ab a 2 b 2
;
;
a b c d cd c 2 d 2
v….v
2. lËp bµi to¸n ®¶o cña bµi to¸n ban ®Çu:
Con ®êng thø hai ®i ®Õn bµi to¸n míi lµ bµi to¸n ®¶o cña bµi to¸n ban
®Çu. §Ó lËp ®îc bµi to¸n ®¶o, ta cÇn biÕt c¸ch lËp mÖnh ®Ò ®¶o cña mÖnh ®Ò
cho tríc.
VÝ dô 1: Chøng minh r»ng nÕu tam gi¸c vu«ng cã mét gãc b»ng 30 0 th×
c¹nh ®èi diÖn víi gãc Êy b»ng mét nöa c¹nh huyÒn.
1
Gi¶ sö ABC gãc A b»ng 900, B = 300. Ta ph¶i chøng minh AC = 2 BC
Bµi to¸n cã d¹ng: P (A = 90 0) Q(B = 300) => R (AC =
thÓ lËp ®îc 3 mÖnh ®Ò ®¶o:
MÖnh ®Ò ®¶o 1: P => P Q
AC =
1
2
BC => A = 900; B = 300
MÖnh ®Ò ®¶o 2: P R => Q
A = 900; AC =
1
2
BC => B = 300
12
1
2
BC). Ta cã
C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n
¬ng Mai
GV: Hoµng Ph-
MÖnh ®Ò ®¶o 3: Q R => P
B = 300; AC =
1
2
BC => A = 900
V× mÖnh ®Ò ®¶o 1 sai, mÖnh ®Ò 2 vµ 3 ®óng nªn ta cã hai bµi to¸n ®¶o
nh sau:
Bµi to¸n ®¶o 1: Chøng minh r»ng nÕu mét tam gi¸c cã mét gãc b»ng
30 vµ c¹nh ®èi diÖn víi gãc b»ng nöa cña mét trong 2 c¹nh cßn l¹i th× tam
gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng.
0
VÝ dô 2: Trong tam gi¸c c©n, trung tuyÕn øng víi c¹nh ®¸y còng lµ ®êng
cao, ®êng ph©n gi¸c.
§Þnh lý ®¶o 1: Trong tam gi¸c c©n, ®êng cao øng víi c¹nh ®¸y còng lµ
ph©n gi¸c trung tuyÕn.
§Þnh lý ®¶o 2: Trong tam gi¸c c©n, ph©n gi¸c øng víi c¹nh ®¸y còng lµ
®êng cao trung tuyÕn.
Hai ®Þnh lý nµy lµ néi dung cña ®Þnh lý thuËn.
§Þnh lý ®¶o 3: NÕu mét tam gi¸c cã ®êng cao còng lµ trung tuyÕn th×
tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c c©n.
§Þnh lý ®¶o 4: NÕu mét tam gi¸c cã ®êng cao còng lµ trung tuyÕn th×
tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c c©n.
§Þnh lý ®¶o 5: NÕu mét tam gi¸c cã ph©n gi¸c còng lµ trung tuyÕn th×
tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c c©n.
3. Thªm vµo bµi to¸n ban ®Çu mét sè yÕu tè ®Æc biÖt ho¸ bµi to¸n:
§Ó t¹o ra bµi to¸n míi ta cã thÓ thªm vµo bµi to¸n ban ®Çu mét sè yÕu
tè. Cã thÓ thªm vµo gi¶ thiÕt mét sè d÷ kiÖn hoÆc thªm vµo kÕt luËn mét sè
®iÒu ph¶i chøng minh. ViÖc thªm yÕu tè vµo bµi to¸n ban ®Çu cã thÓ lµm cho
nã phøc t¹p h¬n nhng còng cã thÓ lµm cho nã trë nªn dÔ dµng h¬n cho viÖc
gi¶i bµi to¸n.
VÝ dô 1: Tõ bµi to¸n ban ®Çu.
H·y tÝnh tæng sau:
A=
1
1
1
1
1
_ ...
1.2 2.3 3.4
8.9 9.10
Bµi to¸n míi: H·y tÝnh tæng sau:
B=
1
1
1
1
1 1
1
1
20 30 42 56 72 90 110 132
Khi gi¶i bµi to¸n ban ®Çu, ta ®· cã s½n c¸c mÉu cña c¸c ph©n sè ®îc viÕt
díi d¹ng tÝch hai sè tù nhiªn liªn tiÕp, trong khi gi¶i bµi to¸n sau ta ph¶i lµm
13
C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n
¬ng Mai
GV: Hoµng Ph-
thªm c«ng viÖc ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh tÝch cña hai sè cã ®Æc ®iÓm nh trªn.
ViÖc nµy kh«ng ph¶i bao giê còng nhËn thÊy ngay vµ g©y khã kh¨n cho ngêi
gi¶i.
Møc ®é phøc t¹p cña bµi toµn cµng t¨ng nÕu ta l¹i t¨ng thªm c«ng viÖc
ph¶i lµm. Ch¼ng h¹n: H·y tÝnh tæng sau:
C=
3
3
3
3
3
3 3
3
3
20 30 42 56 72 90 110 132 156
VÝ dô 2: Bµi to¸n ®Çu: Cho ABC c©n cã gãc A = 100 0. Trong gãc C vÏ
tia Cx sao cho gãc BCx = 30 0. Tia nµy c¾t tia ph©n gi¸c cña gãc B t¹i E.
Chøng minh r»ng AB = EB vµ tÝnh gãc AEB.
Bµi to¸n nµy vµo lo¹i khã v× nã ®ßi hái ph¶i vÏ thªm ®êng phô kh¸ ®Æc
biÖt. V× vËy, ®Ó lµm bµi to¸n dÔ gi¶i h¬n, ta cã thÓ thªm c©u hái nh»m gîi ý
cho viÖc gi¶i bµi to¸n.
Bµi to¸n míi: Cho ABC c©n cã gãc A b»ng 100 0. Trong gãc C vÏ tia
Cx sao cho gãc BCx b»ng 300. Tia nµy c¾t ph©n gi¸c cña gãc B t¹i E.
a) VÏ ABC ®Òu (A vµ D thuéc cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê BC).
Chøng minh r»ng DA lµ ph©n gi¸c cña gãc BDC.
b) Chøng minh r»ng AB-EB vµ tÝnh gãc AEB.
Râ rµng viÖc ®a thªm c©u hái a lµ nh»m gîi ý cho viÖc gi¶i c©u b.
Trong trêng hîp, viÖc ®a thªm mét sè yÕu tè cña bµi to¸n ban ®Çu cã
thÓ chuyÓn viÖc nghiªn cøu ®èi tîng ®· cho sang viÖc nghiªn cøu mét tËp hîp
®· cho. Nãi c¸ch kh¸c, khi ®a thªm c¸c ®iÒu kiÖn h¹n chÕ, ta chuyÓn tõ trêng
hîp chung sang trêng hîp riªng, ®· tiÕn hµnh ®Æc biÖt ho¸ bµi to¸n ban ®Çu.
VÝ dô 3: Bµi to¸n ban ®Çu: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh.
xy = x + y + 1995
Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi:
(x - 1) (y-1) = 1996, gi¶ sö x y
x
y
1997
2
999
3
500
5
0
-1995
-1
-997
Bµi to¸n míi: T×m nghiÖm nguyªn lín h¬n 4 cña ph¬ng tr×nh:
xy = x + y = 1995
14
-3
-498
C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n
¬ng Mai
GV: Hoµng Ph-
ViÖc ®a thªm ®iÒu kiÖn "Lín h¬n 4” ®· thu hÑp tËp nghiÖm cña ph¬ng
tr×nh chØ cßn mét cÆp sè (500,5) lµ tho¶ m·n. Ph¬ng tr×nh sÏ trë thµnh v«
nghiÖm nÕu thªm vµo ®iÒu kiÖn "Lín h¬n 5".
4. Bít ®i mét sè yÕu tè cña bµi to¸n kh¸i qu¸t ho¸ bµi to¸n ban ®Çu.
Khi ®Ò xuÊt bµi to¸n míi b»ng c¸ch bít ®i mét sè yÕu tè cña bµi to¸n
hai ®Çu, ta cã thÓ bá ®i mét vµi ®iÒu kiÖn ®· cho, bá ®i mét vµi ®iÒu kiÖn rµng
buéc hoÆc bá ®i mét vµi ®ßi hái cña kÕt luËn. ViÖc bít ®i mét sè yÕu tè ph¶i
hîp lý, nh»m t¹o ra bµi to¸n míi mét c¸ch x¸c ®Þnh. Khi ®ã ra më réng ph¹m
vi cña bµi to¸n, hoÆc t¨ng sè lêi gi¶i hoÆc t¨ng møc ®é phøc t¹p cña bµi to¸n.
Khi bít ®i mét hoÆc mét sè ®iÒu kiÖn cña gi¶ thiÕt, ta ®· chuyÓn viÖc
nghiªn cøu mét tËp hîp ®èi tîng ®· cho sang viÖc nghiªn cøu mét tËp hîp lín
h¬n tËp hîp ban ®Çu. Ta ®· chyÓn bµi to¸n tõ trêng hîp ®Æc biÖt sang trêng
hîp tæng qu¸t h¬n, nãi c¸ch kh¸c ta ®· kh¸i qu¸t ho¸ bµi to¸n.
VÝ dô 1: Bµi to¸n ban ®Çu: T×m c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho 2
- Xem thêm -