Tài liệu Skkn các bài toán quỹ tích về đường tròn

PhÇn I: Më ®Çu i/ Lý do chän ®Ò tµi: 1/ C¬ së lý luËn: - To¸n häc lµ mét m«n khoa häc c¬ b¶n trong nhµ trêng phæ th«ng v× nã liªn quan chÆt chÏ, lµ cÇu nèi cho c¸c m«n khoa häc kh¸c. Th«ng qua viÖc d¹y häc m«n To¸n gióp häc sinh ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o, suy luËn l«gÝc. §èi víi häc sinh viÖc häc giái m«n To¸n lµ ®iÒu kiÖn ®Ó häc giái c¸c bé m«n kh¸c. ViÖc häc To¸n gióp c¸c em h×nh thµnh phÈm chÊt nh©n c¸ch nh tÝnh cÇn cï chÞu khã, tÝnh tù lùc, tÝnh kiªn tr× s¸ng t¹o kh«ng chÞu khuÊt phôc tríc khã kh¨n. ViÖc häc To¸n còng gióp c¸c em c¶m thô c¸i hay c¸i ®Ñp cña tù nhiªn, x· héi, lµ nguån c¶m høng gióp c¸c em häc tËp tèt c¸c m«n kh¸c. ChÝnh v× vËy to¸n häc lµ nÒn t¶ng cho khoa häc kü thuËt cña ®Êt níc vµ c¶ trªn thÕ giíi. - HiÖn t¹i trong c¸c m«n häc ë trêng THCS th× m«n To¸n ®îc coi lµ mét m«n khã ®èi víi ®¹i ®a sè häc sinh v× bµi tËp to¸n cã nhiÒu lo¹i nh: bµi tËp ®¹i sè, bµi tËp sè häc, bµi tËp h×nh häc. Trong mçi lo¹i cã nhiÒu d¹ng kh¸c nhau, mçi d¹ng cã tÝnh chÊt, ®Æc thï riªng, nhÊt lµ c¸c bµi to¸n n©ng cao th× l¹i cµng khã víi häc sinh ®¹i trµ nãi chung vµ häc sinh giái nãi riªng. 2/ C¬ së thùc tiÔn: - Qua viÖc gi¶ng d¹y to¸n ë THCS vµ c¸c tiÕt dù giê (v× ®iÒu kiÖn thêi gian h¹n hÑp víi 45 phót trong mét tiÕt d¹y) nªn t«i thÊy ®¹i ®a sè gi¸o viªn chØ dõng l¹i ë viÖc gi¶i xong bµi to¸n, chØ d¹y kiÕn thøc ®¹i trµ cha chó träng kiÕn thøc n©ng cao cho häc sinh giái, cha hÖ thèng kiÕn thøc thµnh c¸c chuyªn ®Ò, c¸c d¹ng. Nªn trong mét sè kú thi häc sinh giái t«i nhËn thÊy ®Ò thi chØ thay ®æi chót Ýt d÷ kiÖn, thay ®æi mét chót ®Çu bµi so víi bµi tËp c¸c em ®· ®îc häc nhng c¸c em vÉn kh«ng lµm ®îc. Nguyªn nh©n chÝnh theo t«i lµ viÖc häc thô ®éng “ häc ®©u biÕt ®Êy”, kh«ng ph©n d¹ng, kh«ng cã ph¬ng ph¸p gi¶i tæng qu¸t cho tõng d¹ng. V× vËy viÖc häc to¸n gi¸o viªn ph¶i ph©n d¹ng, cã ph¬ng ph¸p gi¶i tæng qu¸t cho tõng d¹ng gióp häc sinh hiÓu s©u kiÕn thøc ®· häc, ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o tiÕp thu tèt kiÕn thøc, h×nh thµnh c¸ch häc cho c¸c em tõ ®ã g©y høng thó vµ lßng say mª häc To¸n. - Trong ®iÒu kiÖn ®Êt níc ta hiÖn nay, tr×nh ®é d©n trÝ ngµy cµng cao. PhÇn lín c¸c em x¸c ®Þnh ®óng ®éng c¬ häc tËp, ®Æc biÖt cã nhiÒu em say mª häc To¸n. Tríc t×nh h×nh nh vËy t«i nghÜ mçi gi¸o viªn cÇn ph¶i cã ph¬ng ph¸p d¹y thÝch hîp, biªn so¹n c¸c chuyªn ®Ò nh»m cung cÊp cho c¸c em mét ph¬ng ph¸p häc tÝch cùc vµ tiÕp thu kiÕn thøc hiÖu qu¶ nhÊt. Víi quan ®iÓm d¹y lµ d¹y ph¬ng ph¸p häc, d¹y ph¬ng ph¸p t duy suy luËn s¸ng t¹o, ®Êy còng lµ mét ®iÒu kiÖn ®Ó 1 n©ng cao chÊt lîng d¹y vµ häc trong nhµ trêng. XuÊt ph¸t tõ lý do trªn nªn t«i chän ®Ò tµi: “ Phương pháp giải bµi to¸n quü tÝch vÒ ®êng trßn vµ cung chøa gãc” II/ Môc ®Ých nghiªn cøu: “ Phương pháp giải bµi to¸n quü tÝch vÒ ®êng trßn vµ cung chøa gãc” nh»m hÖ thèng c¸c d¹ng bµi tËp vµ t¹o cho häc sinh thãi quen, ph¬ng ph¸p lµm, c¸ch t duy (v× bµi to¸n quü tÝch lµ mét trong c¸c d¹ng khã nhÊt kh«ng chØ víi häc sinh ®¹i trµ mµ c¶ víi häc sinh giái). Tõ ®ã nh»m kh¾c s©u kiÕn thøc cho häc sinh, ph¸t triÓn t duy l«gÝc s¸ng t¹o, tÝnh chñ ®éng, ham mª t×m tßi, ham hiÓu biÕt cña häc sinh. Trªn c¬ së nh÷ng u khuyÕt ®iÓm ®Ò ra gi¶i ph¸p thùc hiÖn, ®ång thêi rót ra bµi häc kinh nghiÖm tõ thùc tÕ. III/ Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: - §äc tµi liÖu tham kh¶o. - §iÒu tra, kh¶o s¸t. - Ph¬ng ph¸p thùc nghiÖm ( Th«ng qua c¸c tiÕt d¹y thùc nghiÖm, c¸c tiÕt d¹y trªn líp vµ ®éi tuyÓn To¸n 9 trêng THCS TT NÕnh vµ THCS Th©n Nh©n Trung). - Ph¬ng ph¸p th¶o luËn ( Trao ®æi víi ®ång nghiÖp trong c¸c tiÕt dù giê, vµ c¸c buæi sinh ho¹t nhãm chuyªn m«n). IV/ §èi tîng nghiªn cøu vµ ph¹m vi nghiªn cøu: Häc sinh líp 9A3 trêng THCS Th©n Nh©n Trung, ®éi tuyÓn häc sinh giái To¸n 9 trêng THCS thÞ trÊn NÕnh vµ THCS Th©n Nh©n Trung. PhÇn II: Néi dung cô thÓ A/ §iÒu tra ban ®Çu: Qua viÖc gi¶ng d¹y mét sè n¨m tríc, mét sè tiÕt d¹y thùc nghiÖm cña n¨m häc nµy, viÖc gi¶ng d¹y trªn líp vµ ®éi tuyÓn To¸n 9 trêng THCS thÞ trÊn NÕnh vµ THCS Th©n Nh©n Trung t«i nhËn thÊy: - NhËn thøc cña c¸c em cha ®ång ®Òu, nhiÒu em cha say mª häc To¸n. - KiÕn thøc c¬ b¶n n¾m cha ch¾c. - Kü n¨ng ph©n tÝch, tæng hîp mét bµi to¸n cha thµnh th¹o; t duy l«gÝc, t duy tr×u tîng cha phong phó; cha liªn hÖ gi÷a kiÕn thøc cò vµ míi; viÖc vËn dông gi÷a lý thuyÕt vµ thùc hµnh cßn chËm. MÆc dï mét sè häc sinh th«ng minh, n¾m b¾t bµi nhanh nhng c¸c em thêng chØ dõng l¹i ë viÖc n¾m b¾t kiÕn thøc vµ dõng l¹i ë viÖc gi¶i ra kÕt qu¶ bµi to¸n, cha chó ý ®Õn ph¬ng ph¸p gi¶i, t×m ®Õn bµi to¸n 2 tæng qu¸t vµ liªn hÖ ®Õn nh÷ng bµi to¸n ®· häc nªn c¸c em rÊt nhanh quªn kiÕn thøc. * KÕt qu¶ kh¶o s¸t ®Çu n¨m cña líp 9B trêng THCS thÞ trÊn NÕnh vµ 9A3 cña trêng THCS Th©n Nh©n Trung nh sau: Tæng sè Giái Kh¸ TB YÕu KÐm 51 16 17 14 4 0 ThÝch häc To¸n: 27/51 häc sinh. * KÕt qu¶ kh¶o s¸t ®Çu n¨m cña ®éi tuyÓn trêng THCS thÞ trÊn NÕnh nh sau: 4/ 6 em ®¹t yªu cÇu. B/ TiÕn hµnh: I. §ÞNH NGhÜa quü tÝch. Mét h×nh H ®îc gäi lµ quü tÝch cña c¸c ®iÓm M cã tÝnh chÊt T (hay tËp hîp c¸c ®iÓm M cã tÝnh chÊt T) khi vµ chØ khi nã chøa c¸c ®iÓm cã tÝnh chÊt T. II. C¸ch gi¶i bµi to¸n quü tÝch. Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần : 1) Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H. Trong nhiều bài tập, khi chứng minh phần thuận, ta tìm được hình H, chứa các điểm M có tính chất T, nhưng do các điều kiện hạn chế của bài toán, tập hợp điểm M là hình H’ chỉ là một bộ phận của hình H. Trong trường hợp này ta phải thực hiện thêm một công việc nữa gọi là: “ giới hạn quỹ tích”. 2) Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H ( hoặc hình H’) đều có tính chất T. Sau khi chứng minh cả hai phần trên ta rút ra kết luận: Quỹ tích những điểm M thỏa mãn tính chất T là hình H ( hoặc hình H’). Đối với bài toán tìm tập hợp điểm có tính chất T thì phải lập luận để đưa về một trong các tập hợp điểm cơ bản ( Trong chương trình hình học ở THCS có 5 tập hợp điểm cơ bản), nhưng vì thời gian có hạn tôi xin giới thiệu hai tập hợp cơ bản là “ đường tròn” và “cung chứa góc”. III. TẬP HỢP ĐIỂM VỀ ĐƯỜNG TRÒN VÀ CUNG CHỨA GÓC. 1) Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng R ( R > 0) không đổi là đường tròn tâm O, bán kính R. 3 2) Tập hợp điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo bằng  (0  1800 ) cho trước là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB, gọi là cung chứa góc  dựng trên đoạn AB. Chú ý: - Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích. - Khi  900 thì hai cung này là hai nửa đường tròn đường kính AB. Như vậy ta có: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB. IV. NHỮNG ĐIỀU CẦN CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH. 1) Tìm hiểu kĩ bài toán: Tìm hiểu kĩ bài toán để nắm vững các yếu tố đặc trưng cho bài toán. Trong một bài toán quỹ tích thường có ba loại yếu tố. a) Yếu tố cố định: thông thường là các điểm, đoạn thẳng, đường thẳng. b) Yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích của hình … c) Yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích, hoặc các đoạn thẳng, hoặc các hình mà trên đó chứa điểm ta cần tìm quỹ tích. 2) Dự đoán quỹ tích: Trong nhiều trường hợp, ta cần dự đoán hình H trước khi chứng minh. Để đoán nhận quỹ tích ta thường tìm ba điểm của quỹ tích. Muốn vậy nên xét ba vị trí đặc biệt, tốt nhất là sử dụng các vị trí giới hạn, với điều kiện hình vẽ chính xác, bằng trực giác sẽ giúp ta hình dung được hình dạng của quỹ tích. - Nếu ba điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đường thẳng (ta không xét trong chuyên đề này). - Nếu ba điểm ta vẽ được không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường tròn hoặc cung tròn. 4 V. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA. 1) QUỸ TÍCH VỀ ĐƯỜNG TRÒN. Phương pháp: Tìm được tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng R ( R > 0) không đổi là đường tròn tâm O, bán kính R. Bài 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A cố định trên đường tròn. Điểm M di động trên tiếp tuyến d tại điểm A của (O; R). Qua M vẽ tiếp tuyến thứ hai với (O; R). Gọi B là tiếp điểm. Gọi H là trực tâm của tam giác AMB. a) Chứng minh tứ giác AOBH là hình thoi. b) Tìm quỹ tích điểm H. * Hướng dẫn: Yếu tố cố định: Điểm A, O, đoạn OA Yếu tố không đổi: Độ dài OA, OB Yếu tố thay đổi: điểm M, B, H, độ dài MB, MO, MH… Ở câu a) ta đã chứng minh được AOBH là hình thoi nên suy ra HA = R (không đổi), A cố định. Vậy ta đã đưa về bài toán quỹ tích cơ bản đường tròn, từ đó ta có lời giải như sau: 5 * Tóm tắt lời giải: B' M' H' a ) OA  AM , BH  AM  OA // BH OB  BM , AH  BM  OB // AH  Tứ giác AOBH là hình bình hành, có OB = OA = R  Tứ giác AOBH là hình thoi (dhnb)  HA = AO = R (không đổi) b) * Phần thuận: Ta có HA = AO = R (không đổi) (CMT); A cố định. Vậy M di động thì H di động theo nhưng H luôn cách A cố định một khoảng không đổi là HA = AO = R. Nên H thuộc đường tròn tâm A, bán kính R. 6 * Phần đảo: Lấy H’ thuộc (A; R), nối OH’ cắt d tại M’, vẽ tiếp tuyến M’B’. Chứng minh H’ là trực tâm của tam giác AM’B’. Thật vậy: Ta chứng minh được tứ giác AOB’H’ là hình thoi  OA // B’H’, OA  AM’  B’H’  AM’ (1) Chứng minh tương tự AH’  B’M’ (2) Từ (1), (2)  H’ là trực tâm của tam giác AM’B’. * Kết luận quỹ tích: Vậy M di động thì H di động theo nhưng H luôn cách A cố định một khoảng không đổi là HA = AO = R. Nên H thuộc đường tròn tâm A, bán kính R. Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, AC là một dây cung bất kỳ, M là điểm chính giữa của cung AC . Hai đường thẳng AM và BC cắt nhau ở D. a) Chứng minh tam giác BAD cân. b) Tìm quỹ tích điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đã cho. * Hướng dẫn: Yếu tố cố định: Điểm A, O, B đoạn OA, OB, AB D D' E Yếu tố không đổi: Độ dài OA, OB, AB… Yếu tố thay đổi: điểm M, C, D, độ dài BM, AC... M M' C Ở câu a) ta đã chứng minh được tam giác BAD C' cân nên suy ra BA = BD = 2R (không đổi), B cố định. Vậy ta đã đưa về bài toán quỹ tích cơ bản A đường tròn, từ đó ta có lời giải như sau: * Tóm tắt lời giải:  MC   MBA   a) MA MBC AMB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))  BM  AD . 7 O B Tam giác ABD có BM vừa là đường phân giác vừa là đường cao nên là tam giác cân tại B. b) * Phần thuận: Tam giác ABD cân tại B (cmt)  BA = BD = 2R (không đổi), B cố định Vậy C di động thì D di động theo nhưng D luôn cách B cố định một khoảng không đổi là BD = AB = 2R. Nên D thuộc đường tròn tâm B, bán kính BA = 2R. * Giới hạn quỹ tích: Vì điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính BC nên: - Khi C trùng với A thì D trùng với A. - Khi C trùng với B thì BC trở thành tiếp tuyến của đường tròn (O) ở B, khi đó D trùng với E là giao điểm của đường tròn tâm B, bán kính BA với tiếp tuyến nói trên. Vậy D chạy trên 1 đường tròn tâm B, bán kính BA (trên cùng nửa mặt phẳng bờ 4 AB chứa nửa đường tròn (O) là cung AE như hình vẽ). * Phần đảo: Lấy D’ bất kỳ thuộc cung AE . Nối D’A, D’B cắt nửa đường tròn (O) lần lượt tại M’ và C’. Ta phải chứng minh M’ là điểm chính giữa của AC ' . Thật vậy: Ta có tam giác BAD’ cân tại B (vì BA = BD’ = 2R)  ' A 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))  BM '  AD ' Mà BM  BM’ là đường cao đồng thời là phân giác của tam giác ABD’  ' BM '  AM ' M  'C '  ABM ' D Vậy M’ là điểm chính giữa của AC ' . * Kết luận quỹ tích: Vậy C di động thì D di động theo nhưng D luôn cách B cố định một khoảng không đổi là BD = AB = 2R. Nên D thuộc 8 1 đường tròn tâm B, bán kính 4 BA (trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) là cung AE như hình vẽ). Bài 3: Cho đường tròn (O; R) cố định, B và C là hai điểm cố định trên đường tròn, A là một điểm tuỳ ý trên đường tròn. Gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua trung điểm I của AB. Tìm quỹ tích các điểm M. Hướng dẫn: B C O' O I' M' I A' M A Yếu tố cố định: Điểm B, C, O đoạn OC, OB, BC Yếu tố không đổi: Độ dài OB, OC, BC… Yếu tố thay đổi: điểm M, I, A, độ dài BA, CM, CA, BM... Theo bài ra ta dễ dàng chứng minh được tứ giác AMBC là hình bình hành  MB = AC nhưng AC thay đổi nên không thể sử dụng được bài toán quỹ tích đường tròn. Nên có thể ta sử dụng độ dài không đổi là bán kính R và BC, từ đó ta nghĩ tạo thêm đường phụ, tạo thêm điểm cố định bằng cách vẽ OO’// BC và OO’= BC  O’ cố định và dễ dàng chứng minh được AMO’O là hình bình hành  MO’ = OA = R (không đổi). Vậy ta đã đưa về bài toán quỹ tích cơ bản đường tròn, từ đó ta có lời giải như sau: * Tóm tắt lời giải: a) * Phần thuận: Kẻ OO’// BC và OO’= BC (O’ và B trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC) 9  O’ cố định (vì O, B, C cố định và BC không đổi) Tứ giác AMBC là hình bình hành (vì I là trung điểm của hai đường chéo AB và MC)  MA // BC và MA = BC mà OO’// BC và OO’= BC (cd)  MA // OO’ và MA = OO’  Tứ giác AMO’O là hình bình hành (dhnb)  O’M = OA = R (không đổi), O’ cố định Vậy A di động thì M di động theo nhưng M luôn cách O’ cố định một khoảng không đổi là O’M = OA = R. Nên M thuộc đường tròn tâm O’, bán kính OA = R. b)* Phần đảo: Trên (O’, R) lấy điểm M’ bất kỳ. Nối M’B. Qua C kẻ đường thẳng song song với BM’ cắt đường tròn (O) ở điểm thứ hai A’. Ta phải chứng minh M’ đối xứng với C qua trung điểm I’ của A’B (Bạn đọc tự chứng minh). * Kết luận quỹ tích: Vậy A di động thì M di động theo nhưng M luôn cách O’ cố định một khoảng không đổi là O’M = OA = R. Nên M thuộc đường tròn tâm O’, bán kính OA = R. 1) QUỸ TÍCH VỀ CUNG CHỨA GÓC. Phương pháp: Tìm tập hợp điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo bằng  (0  1800 ) cho trước là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB, gọi là cung chứa góc  dựng trên đoạn AB. Chú ý: - Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích. 10 - Khi  900 thì hai cung này là hai nửa đường tròn đường kính AB. Như vậy ta có: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB. Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C, D là hai điểm trên nửa đường tròn sao cho OC  OD (C thuộc cung AD). Các tia AC và BD cắt nhau ở P. Tìm tập hợp điểm P khi C và D chuyển động trên nửa đường tròn. Hướng dẫn: Yếu tố cố định: Điểm A, O, B đoạn OA, OB, x y AB P P' Yếu tố không đổi: Độ dài OA, OB, AB, P2 P1   ACB 900 , OCD 900 ; CBD 450 . Yếu tố thay đổi: điểm C, D, P, độ dài AC, BC, BD, BP, AP... C C' Theo bài ra ta dễ dàng chứng minh được APB 450 (không đổi), AB cố định. Áp K A D' D O B dụng bài toán cơ bản về quỹ tích cung chứa góc, từ đó ta có lời giải như sau. * Tóm tắt lời giải: a) * Phần thuận: ACB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))  BCP  900 1   Tam giác BCP vuông mà CBP  COD (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm 2  ); COD   cùng chắn CD 450 900 (vì OC  OD )  CBP   Tam giác BCP vuông cân ở C, ta có BPC 450 450 hay BPA  Điểm P tạo với hai mút A, B của đoạn thẳng AB cố định góc BPA 450 nên P thuộc cung chứa góc 450 vẽ trên đoạn AB. 11 * Giới hạn: Qua A và B vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn (O) cắt cung chứa góc nói trên ở P1, P2. Kẻ bán kính OK  AB. - Khi C trùng với A thì D trùng với K, AC trùng với tia tiếp tuyến Ax nên P trùng với P1. - Khi C trùng với K thì D trùng với B, BD trùng với tia tiếp tuyến By nên P trùng với P2.  P thuộc cung chứa góc 450 vẽ trên AB (hình vẽ). Vậy P chạy trên cung P 1 2 b)* Phần đảo:  P nói trên, lấy điểm P’ bất kỳ. Nối P’A, P’B cắt nửa đường Trên cung P 1 2 tròn (O) ở C’ và D’. Ta phải chứng minh OC’  OD’. Thật vậy: Nối A với D’, ta có AD ' B 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))  AD ' P ' 900 (hai góc kề bù)  AD ' P ' vuông ở D’ AP ' B 450 (vì P’ thuộc cung chứa góc 450 vẽ trên AB)  AD ' P ' vuông cân ở D’  ' AD ' 450  C  ' OD ' 2 P  ' AD ' 2.450 900  P Nên OC’  OD’.  P thuộc cung chứa góc 450 vẽ trên * Kết luận: Vậy tập hợp điểm P là cung P 1 2 đoạn AB (hình vẽ). Bài 2: Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O) vẽ tam giác đều BAC, AB cắt nửa đường tròn (O) ở E. Gọi M là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn. Vẽ tam giác đều MCN sao cho đỉnh N nằm khác phía với điểm B qua MC. a) Chứng minh ba điểm M, E, N thẳng hàng; b) Tìm quỹ tích điểm N. Hướng dẫn: Nếu chứng minh E, M, N thẳng hàng thì ta có : Yếu tố cố định: Điểm A, C, B, E đoạn OC, OB, BC, CE… 12   Yếu tố không đổi: Độ dài BC, AB, CE, CAB 600 , ENC 600 … Yếu tố thay đổi: điểm M, N, độ dài MC, NC, NM, NE...  Theo câu a) chứng minh được ENC 600 (không đổi), EC cố định. Vậy áp dụng bài toán cơ bản về quỹ tích cung chứa góc, từ đó ta có lời giải như sau:  a) BEC 900  CE  AB A CE là đường cao của tam giác đều ABC nên CE là phân giác của góc N M   BCA  BCE 300 E M' N'    EMB ECB 300 (2 góc nội tiếp cùng chắn một cung)  BMC 900 (góc nội tiếp chắn nửa B O C đường tròn)  NMC 600 (tam giác NMC đều)     EMB  BMC  CMN 300  900  600 1800 Nên ba điểm E, M, N thẳng hàng. a) * Phần thuận:  ENC 600 (vì ba điểm E, M, N thẳng hàng)   600 , điểm B cố định, đường tròn (O) cố định BCE 300 (cmt )  sđ BE  E cố định, C cố định  CE cố định  Điểm N tạo với hai mút C, E của đoạn thẳng CE cố định góc ENC 600 nên N thuộc cung chứa góc 600 vẽ trên đoạn CE. * Giới hạn: Vì M chuyển động trên nửa đường tròn (O) nên: - Khi M trùng với B thì N trùng với A. - Khi M trùng với C thì N trùng với C. 13 Vậy M chuyển động trên cung AC thuộc cung chứa góc 600 vẽ trên đoạn CE (hình vẽ). b)* Phần đảo: Trên cung AC nói trên, lấy điểm N’ bất kỳ. Nối N’E cắt nửa đường tròn (O) ở M’. Ta phải chứng minh tam giác CM’N’ đều. Thật vậy: Nối C với M’, C với N’ ta có  ' C 600  M  ' N ' C 600 (vì N’ thuộc cung chứa góc 600 vẽ trên CE) EN  Ta chứng minh được  N ' M ' C EBC 600 (góc ngoài của tứ giác nội tiếp BEM’C bằng góc trong của đỉnh đối diện)  CM ' N ' đều * Kết luận: Vậy quỹ tích điểm N là cung AC thuộc cung chứa góc 600 vẽ trên đoạn CE (hình vẽ). Bài 3: Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định. Gọi N là một điểm chuyển động trên đường tròn, I là trung điểm của AN, M là hình chiếu của điểm I trên BN. Tìm tập hợp các điểm M. Hướng dẫn: Yếu tố cố định: Điểm A, O, B đoạn AB N' N Yếu tố không đổi: Độ dài OA, OB, AB, M P  ANB , IMB 900 … M' I' Yếu tố thay đổi: điểm N, I, M, độ dài I Q O AN, BN, AI, BM,... Theo bài ra ta chỉ có AB cố định. Vậy ta xem có chứng minh được M nhìn AB dưới một góc không đổi không? Nếu không chứng minh được thì ta phải vẽ thêm đường phụ để tìm ra thêm đoạn cố định bằng cách gọi giao điểm của BO với 14 A B đường tròn (O) là P thì điểm P cố định, nên AP cố định. Gọi MI cắt AP ở Q thì  cũng chứng minh được Q cố định, nên PQ cố định  QMB 900 , BQ cố định. Vậy ta đã đưa về bài toán cơ bản về quỹ tích cung chứa góc (trường hợp  900 ), từ đó ta có lời giải như sau: * Tóm tắt lời giải: a) * Phần thuận: Gọi giao điểm của BO với đường tròn (O) là P thì điểm P cố định, nên AP cố định. Gọi MI cắt AP ở Q. Ta có NP // MQ (vì cùng vuông góc với NB) Ta chứng minh được IQ là đường trung bình của tam giác ANP nên Q là trung điểm của AP  Q cố định  BQ cố định Vậy điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng BQ cố định một góc  QMB 900 , do đó M thuộc đường tròn đường kính BQ b)* Phần đảo: Lấy M’ thuộc đường tròn đường kính BQ. Tia BM’ cắt đường tròn (O) ở N’. Gọi I’ là giao điểm của AN’ và M’Q. Ta phải chứng minh I’ là trung điểm của AN’ và M’ là hình chiếu của I’ trên BN’ (Bạn đọc tự chứng minh). * Kết luận: Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính BQ. 15 VI. KÕt qu¶ thùc tÕ ®· lµm: Trªn ®©y lµ mét sè biÖn ph¸p vµ mét sè bµi to¸n minh häa vÒ “ phương pháp giải bµi to¸n quü tÝch vÒ ®êng trßn vµ cung chøa gãc” tõ nh÷ng bµi to¸n ®¬n gi¶n mµ trong qu¸ tr×nh d¹y häc vµ d¹y ®éi tuyÓn t«i ®· thùc hiÖn vµ trao ®æi cho c¸c ®ång nghiÖp kh«ng chØ m«n To¸n mµ cßn mét sè m«n kh¸c. T«i nhËn thÊy c¸c em ®· høng thó häc tËp h¬n, c¸c em ®· cuèn hót vµo nh÷ng bµi to¸n rÊt ®¬n gi¶n sau ®ã ®i ®Õn nh÷ng bµi to¸n khã. Tõ ®ã ph¸t triÓn tÝnh ®éc lËp, chñ ®éng, s¸ng t¹o, ham mª, t×m tßi, ham hiÓu biÕt cña häc sinh trong häc To¸n.  KÕt qu¶ ®· ®¹t ®îc nh sau: * ChÊt lîng ®¹i trµ: ( vît chØ tiªu) Tæng sè Giái Kh¸ TB Y 51 37 12 2 0 * §éi tuyÓn To¸n 9 : CÊp HuyÖn: 6 gi¶i (Trong ®ã: 3 gi¶i Nh×, 3 gi¶i Ba) (HS trường Nếnh) Cấp Tỉnh: 2 giải (Giải toán qua mạng) (Trong ®ã: 1 gi¶i Nhất, 1 gi¶i Ba) * §éi tuyÓn To¸n 8 : CÊp HuyÖn: 10 gi¶i (Trong ®ã: 2 gi¶i NhÊt, 3 gi¶i Nh×, 3gi¶i Ba, 2 gi¶i KhuyÕn khÝch). CÊp TØnh: 8 gi¶i (Trong ®ã: 2 gi¶i NhÊt, 2 gi¶i Nh×, 1 gi¶i Ba, 3 gi¶i KhuyÕn khÝch). * Cã ®Õn 42/51 em thÝch häc To¸n. C/ TriÓn väng cña ®Ò tµi: Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y víi c¸ch lµm nh trªn cã thÓ thùc hiÖn ®îc ë tÊt c¶ c¸c líp vµ tïy theo ®èi tîng häc sinh mµ møc ®é yªu cÇu kh¸c nhau. Tõ ®ã t¹o tiÒn ®Ò ®Þnh híng c¸ch häc tËp vµ tù nghiªn cøu cña häc sinh. §©y còng lµ c¬ së cho viÖc båi dìng häc sinh giái ë ngay c¸c giê häc trªn líp mµ ®¸p øng ®îc các ®èi tîng häc sinh. 16 PhÇn III: Bµi häc kinh nghiÖm Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y To¸n nãi chung vµ “phương pháp giải bµi to¸n quü tÝch vÒ ®êng trßn vµ cung chøa gãc” nãi riªng cã t¸c dông nh sau: - T¹o cho häc sinh nhu cÇu t×m tßi khai th¸c tõ ®ã kÝch thÝch ho¹t ®éng trÝ tuÖ cña häc sinh nh»m ®¹t nhu cÇu Êy. - Häc sinh tËp dît, rÌn luyÖn thãi quen tù ®Ò xuÊt vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò, thãi quen tù häc, tù nghiªn cøu. - Häc sinh biÕt ph¸t hiÖn vµ chiÕm lÜnh tri thøc, tõ ®ã cñng cè kiÕn thøc cò, biÕt liªn hÖ tõ kiÕn thøc cò sang kiÕn thøc míi. - Häc sinh ph¶i “ nghÜ nhiÒu h¬n, lµm nhiÒu h¬n” tõ ®ã ph¸t huy tÝnh tÝch cùc ®éc lËp, chñ ®éng s¸ng t¹o trong gi¶i to¸n còng chÝnh lµ s¸ng t¹o trong cuéc sèng ®iÒu mµ t¬ng lai ®ßi hái c¸c em sau nµy. Song viÖc “ Gi¶i bµi to¸n quü tÝch vÒ ®êng trßn vµ cung chøa gãc” thµnh c«ng th× ngêi gi¸o viªn ph¶i lu«n t¹o cho häc sinh cã thãi quen quan t©m, t×m tßi suy luËn s¸ng t¹o. Kh«ng chØ dõng l¹i ë mçi lêi gi¶i cña bµi to¸n, ta h·y suy nghÜ tiÕp vµ sÏ thÊy nhiÒu ®iÒu rÊt thó vÞ. §©y lµ c«ng viÖc thêng xuyªn cã ¶nh hëng trùc tiÕp ®Õn kÕt qu¶ gi¶ng d¹y nhÊt lµ viÖc BDHSG. Bªn c¹nh ®ã ngêi gi¸o viªn cÇn chó ý nh÷ng ®iÓm sau: - ChuÈn bÞ bµi tËp tõ dÔ ®Õn khã, t×m mèi t¬ng quan gi÷a c¸c bµi to¸n. - CÇn lùa chän c¸c d¹ng bµi tËp phæ biÕn, trong mçi d¹ng lùa chän nh÷ng bµi tËp ®iÓn h×nh cã tÝnh chÊt lµm nÒn cho c¸c bµi tËp kh¸c. - Lu«n t¹o cho häc sinh thãi quen ph©n tÝch kü bµi to¸n tríc khi tr×nh bµy lêi gi¶i. Sau khi t×m ra mét c¸ch gi¶i cÇn t×m ra c¸ch gi¶i kh¸c, trªn c¬ së ®ã chän ra c¸ch gi¶i phï hîp tr¸nh dµi dßng vµ khã hiÓu. - Kh«ng nªn coi thêng bµi to¸n ®¬n gi¶n v× chÝnh bµi tËp c¬ b¶n trong SGK lµ c¬ së ban ®Çu ®Ó lµm nh÷ng bµi tËp khã. - CÇn t¹o kh«ng khÝ tho¶i m¸i trong giê häc, khuyÕn khÝch c¸c em häc tËp lÉn nhau, thêng xuyªn cã sù giao tiÕp gi÷a trß víi trß, thµy víi trß. - Sau khi gi¶i mçi bµi to¸n kh«ng chØ dõng l¹i ë ®ã mµ cÇn rÌn luyÖn cho häc sinh c¸ch t×m ra ph¬ng ph¸p tæng qu¸t. - Cuèi cïng muèn häc sinh gi¶i to¸n mét c¸ch s¸ng t¹o th× ngêi gi¸o viªn còng ph¶i s¸ng t¹o trong c¸ch d¹y. Nªn mçi gi¸o viªn ph¶i trau dåi kü n¨ng kiÕn thøc, thêng xuyªn häc hái ®ång nghiÖp, thêng xuyªn tù häc, tù ®äc s¸ch vµ cã kÕ ho¹ch gi¶i to¸n hµng ngµy, su tÇm c¸c bµi tËp hay, c¸c lêi gi¶i ®Ñp vµ ®óc rót kinh nghiÖm sau mçi tiÕt häc, mçi ch¬ng. Cã nh vËy míi t¹o ®iÒu kiÖn thùc sù cho viÖc §MPPDH. 17 MÆc dï cã rÊt nhiÒu cè g¾ng song do thêi gian cã h¹n, n¨ng lùc cßn h¹n chÕ nªn nh÷ng vÊn ®Ò t«i tr×nh bµy trªn ®©y cha h¼n lµ tèi u nhÊt. T«i thùc sù mong nhËn ®îc ý kiÕn ®ãng gãp cña c¸c ®ång chÝ ®Ó b¶n th©n lu«n tiÕn bé vµ kÕt qu¶ gi¶ng d¹y ngµy mét tèt h¬n, ®ã lµ mét trong nh÷ng yªu cÇu cÊp b¸ch trong viÖc gi¶ng d¹y hiÖn nay. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Thân Nhân Trung, ngµy 28 th¸ng 5 n¨m 2013 Ngêi viÕt NguyÔn ThÞ Linh C¶m Tµi liÖu tham kh¶o TT Tªn t¸c gi¶ Tªn gi¸o tr×nh Nhµ xuÊt b¶n N¨m XB 1 Nhãm t¸c gi¶ NXBGD 2002 2 3 Nhãm t¸c gi¶ Vũ Dương Thụy – NXBGD NXBGD 2003 1995 4 Nguyễn Ngọc Đạm Vò H÷u B×nh §æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc To¸n tuæi th¬ 2 Kinh nghiÖm d¹y to¸n vµ häc to¸n Toán nâng cao và các NXBGD 2005 5 Vò H÷u B×nh chuyên đề hình học 9 N©ng cao vµ ph¸t triÓn NXBGD 2004 18 6 NguyÔn Văn Vĩnh to¸n 9 23 chuyên đề giải 1001 7 Nguyễn Đức Đồng Ph¹m §an QuÕ bài toán sơ cấp To¸n chän läc – Hình học 19 NXBGD 2005 NXBTP Hå ChÝ Minh 1995 D' D E B M' M O' C O I' C' O A C B B' A' M' M N' N I A M' A H' M P M' N M I' I Q E O M' N' A B B C O 20