Båi dìng cho häc sinh kh¸ giái líp 8
C¸c c¸ch vÏ h×nh phô khi gi¶i to¸n h×nh häc
---o0o--I. NhËn thøc
To¸n häc lµ mét bé m«n khoa häc trõu tîng. Muèn t×m hiÓu chÝnh
x¸c, theo t«i khi d¹y To¸n cho häc sinh, mé yªu cÇu næi bËt nhÊt lµ
ph¸t triÓn t duy cho häc sinh, ®Æc biÖt lµ häc sinh kh¸ giái ®èi víi
nh÷ng bµi to¸n khã. Do ®ã, ®ßi hái häc sinh ph¶i cã t duy logic cao,
biÕt kÕt hîp kiÕn thøc cò vµ míi mét c¸ch chÆt chÏ.
Th«ng thêng, trong h×nh häc mçi bµi to¸n cã mét t×nh huèng míi l¹.
Cã nh÷ng bµi to¸n cha cho phÐp häc sinh vËn dông trùc tiÕp ®Þnh lý,
tÝnh chÊt, dÊu hiÖu nhËn biÕt … ®Ó t×m ra ®¸p sè.
Trong qu¸ tr×nh t×m kiÕm lêi gi¶i, häc sinh ph¶i biÕt c¸ch ®a vÒ h×nh
huèng quen thuéc ®Ó cã thÓ vËn dông trùc tiÕp c¸c kiÕn thøc ®· biÕt.
Ngoµi viÖc ph¶i vÏ h×nh chÝnh x¸c, tæng qu¸t theo d÷ kiÖn bµi to¸n
(tr¸nh vÏ h×nh r¬i vµo trêng hîp ®Æc biÖt, häc sinh dÔ ngé nhËn h×nh),
th× mét trong c¸c biÖn ph¸p cã hiÖu qu¶ lµ ph¬ng ph¸p vÏ h×nh phô.
ViÖc vÏ h×nh phô rÊt ®a d¹ng, kh«ng theo khu«n mÉu nhÊt ®Þnh nµo
vµ ®ßi hái häc sinh ph¶i biÕt dù ®o¸n tèt, trªn c¬ së c¸c suy luËn hîp
lý. V× vËy, cÇn thiÕt cã thÓ båi dìng cho häc sinh ph¸t triÓn n¨ng lùc
nµy.
ë ®©y t«i kh«ng muèn ®Ò cËp tíi c¸c d¹ng bµi tËp, c¸c hÖ thèng c©u
hái gîi më. Mµ t«i chØ muèn nªu lªn mét sè c¸ch híng dÉn häc sinh ®i
t×m lêi gi¶i cho bµi to¸n h×nh häc líp 8 th«ng qua viÖc vÏ h×nh phô.
II. BiÖn ph¸p
1. Ph¬ng ph¸p 1 : T×m yÕu tè trung gian.
Thùc chÊt cña ph¬ng ph¸p nµy lµ dùa vµo kÕt luËn, lùa chän ®iÒu
kiÖn cÇn cã, gîi ra híng vÏ h×nh phô ®Ó tõ gi¶ thiÕt cã thÓ suy luËn ®Õn
yÕu tè trung gian ®ã ®Ó suy ra kÕt luËn.
VÝ dô 1: (Bµi 155 trang 76 SBT)
Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi E, F theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, BC.
a) Chøng minh r»ng CE vu«ng gãc víi DF.
b) Gäi M lµ giao ®iÓm cña CE vµ DF. Chøng
minhEr»ng AM B= AD.
A
H×nh vu«ng ABCD
GT CE c¾t DF t¹i M
EA = EB; FB = FC
F
KL a) CE DF
N
M
b) AM = AD
D
Ph©n tÝch
1
K
C
a. Häc sinh cha cÇn t¹o ra yÕu tè phô trªn h×nh vÏ còng chøng minh
®îc :
� = CDF
�
BEC = CFD (c – g – c) => MCF
� + CFD
� = CDF
� + CFD
� = 900 => CMF
� = 900
Do ®ã MCF
b. §èi víi trêng hîp nµy, gi¸o viªn dÉn d¾t häc sinh ph¶i kÎ ®êng
phô nh sau: §Ó AM = AD khi vµ chØ khi tam gi¸c AMD c©n t¹i A, khi vµ
chØ khi trung tuyÕn ®ång thêi lµ ®êng cao. VËy dÉn tíi kÎ thªm ®êng
phô ph¶i mang yÕu tè trung ®iÓm vµ vu«ng gãc. Tõ ®ã ph¶i xuÊt ph¸t
tõ trung ®iÓm K cña DC. LÊy K lµ trung ®iÓm cña DC nèi AK c¾t DF t¹i
N. Ta Chøng minh cho AN lµ trung tuyÕn, lµ ®êng cao cña tam gi¸c
ADM.
Lêi gi¶i
a) XÐt hai tam gi¸c BEC vµ CFD cã :
� = FCD
� = 1v , CF = BE ( = 1 CD )
CD = BC (c¹nh h×nh vu«ng), EBC
2
� = CDF
� .
nªn BEC = CFD (c – g – c) => MCF
� + CFD
� = CDF
� + CFD
� = 900 => CMF
� = 900
Do ®ã MCF
Hay CE DF
(1)
b) Gäi K lµ trung ®iÓm cña CD, N lµ giao ®iÓm cña AK vµ CD.
Tø gi¸c AECK lµ h×nh b×nh hµnh v× AE // CK, AE = CK.
Suy ra AK // CE (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra AK DF
(3)
Mµ K lµ trung ®iÓm cña CD, AK // CE (c/m trªn) nªn ND = NM (4)
Tõ (3) vµ (4) suy ra AN võa lµ ®êng cao võa lµ ®êng trung tuyÕn cña
tam gi¸c ADM. Do ®ã tam gi¸c ADM c©n t¹i A.
Hay AD = AM (®pcm).
2. Ph¬ng ph¸p 2 : BiÕn ®æi kÕt luËn cña bµi to¸n vÒ d¹ng t¬ng ®¬ng.
Thùc chÊt cña ph¬ng ph¸p nµy lµ biÕn ®æi kÕt luËn (ë d¹ng cha
thÊy híng gi¶i) thµnh mét trong c¸c d¹ng t¬ng ®¬ng cã kh¶ n¨ng gîi ra
híng vÏ h×nh phô vµ tõ ®ã ®i ®Õn híng gi¶i. §©y lµ ph¬ng ph¸p ®¬n
gi¶n vµ thêng ®îc “ thö nghiÖm” ®Çu tiªn.
F
VÝ dô 2 : Dùng vÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng
ABDE vµ BCKF. Chøng minh r»ng trung tuyÕnDBM cña tam gi¸c ABC b»ng
nöa ®o¹n th¼ng DF.
K
B
ABC
GT Dùng c¸c h×nh vu«ng
ABDE; BCKF
E
MA = MC
M
C
A
2
N
1
BM = DF
2
Ph©n tÝch
Ta thö biÕn ®æi kÕt luËn:
1
BM = DF(1) � 2BM=DF(2)
2
VÕ tr¸i cña ®¼ng thøc (2) gîi ý kÐo dµi BM ®Ó cã BN = 2BM khi ®ã ta
thö t×m c¸ch chøng minh BN = DF.
Nèi NC, NA (nÐt ®øt biÓu hiÖn yÕu tè míi vÏ thªm).
KL
H×nh b×nh hµnh ABCN vµ cÆp tam gi¸c b»ng nhau. BDF = CNB
1
(c.g.c) sÏ cho ta lêi gi¶i BN = DF hay BM = DF.
2
Chøng minh
LÊy N ®èi xøng víi B qua N. Tø gi¸c ABNC cã hai ®êng chÐo c¾t
nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng nª nã lµ h×nh b×nh hµnh.
� + BCN
� = 1800 . Mµ AB = BD (c¹nh
Tõ ®ã suy ra NC = AB vµ ABC
� + DBF
� = 3600 - (90o + 90o) = 1800
h×nh vu«ng) vµ ABC
� = BCN
� .
nªn BD = NC vµ DBF
� = BCN
� , nªn
Hai tam gi¸c BDF vµ CNB cã BC = BF, BD = NC vµ DBF
chóng b»ng nhau theo trêng hîp c – g – c.
VËy DF = BN hay DF = 2BM
3. Ph¬ng ph¸p 3: VÏ h×nh phô b»ng hoÆc tØ lÖ víi c¸c h×nh cã
trong kÕt luËn.
Thùc chÊt cña ph¬ng ph¸p nµy lµ vÏ thªm c¸c yÕu tè phô hoÆc
b»ng, hoÆc tØ lÖ (hoÆc cã diÖn tÝch b»ng hoÆc tØ lÖ) phô thuéc vµo yªu
cÇu bµi to¸n víi c¸c h×nh cã trong kÕt luËn ë d¹ng nh×n thÊy híng gi¶i
râ h¬n.
VÝ dô 3: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, mét ®iÒm M ch¹y trªn c¹nh CD.
Gäi P, Q vµ R theo thø tù lµ ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc h¹ tõ B, C, D
xuèng ®êng th¼ng AM. Chøng minh r»ng BP = DQ + CR.
GT
KL
ABCD lµ h×nh b×nh hµnh
CR AM , M CD;
A
B
Q
BP AM; QD AM
BP = DQ + CR
D
3
C’
P
M
R
R’
C
Ph©n tÝch :
Ta thÊy c¸c ®o¹n th¼ng cã trong ®¼ng thøc cña KL cha cã mèi liªn
hÖ trùc tiÕp nµo. Cã thÓ nghÜ ®Õn t¹o ra c¸c ®o¹n th¼ng trung gian
b»ng c¸c ®o¹n th¼ng trong ®¼ng thøc ë kÕt luËn trªn h×nh vÏ, nªn cã
c¸c híng sau:
1. VÏ trªn ®o¹n th¼ng lín BP mét ®o¹n th¼ng b»ng DQ (hoÆc b»ng
CR) vµ t×m c¸ch cm phÇn cßn l¹i cña ®o¹n th¼ng thø hai.
2. KÐo dµi ®o¹n th¼ng CR (hoÆc DQ) mét ®o¹n th¼ng b»ng ®o¹n
th¼ng ng¾n thø hai vµ t×m c¸ch c/m phÇn cßn l¹i cña ®o¹n th¼ng
thø hai.
Híng thø nhÊt gîi cho ta hai c¸ch vÏ h×nh phô:
a. §Ó PC’ = CR (hoÆc CC’ = PR) chØ cßn ph¶i c/m BC ’ = DQ ( DÔ
dµng c/m ®îc BC’C = DQA trêng hîp c¹nh huyÒn - gãc nhän).
b. KÎ RR’ // BC => BR’ = CR. CÇn c/m PR’ = QD ta còng cã c¸ch
vÏ t¬ng tù víi híng thø hai.
Chøng minh
C¸ch 1 : KÎ CC’ AM. Tø gi¸c CRPC’ lcã ba gãc vu«ng nªn nã lµ h×nh
ch÷ nhËt, suy ra CR = C’P.
� = C'
� = 900, AD = BC ( c¹nh
XÐt hai tam gi¸c vu«ng DQA vµ BC’C cã Q
� = C'BC
�
®èi cña h×nh b×nh hµnh, ADQ
(gãc cã c¹nh t¬ng øng song
song) nªn D ADQ = D CBC' (c¹nh huyÒn – gãc nhän)
Suy ra DQ = BC’
Tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
C¸ch 2 : KÎ RR’ // BC, chøng minh RC = BR’, DR/ = DQ. Tõ ®ã suy ra
®iÒu ph¶i chøng minh..
VÝ dô 4: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã diÖn tÝch b»ng 1. Nèi A víi
trung ®iÓm M cña c¹nh BC, AM c¾t ®êng chÐo BD t¹i O. TÝnh diÖn tÝch
cña tø gi¸c OMCD.
B
M
C
N
MB = MC
GT SABCD = 1
O
AM BD = 0
KL TÝnh SOMCD = ?
I
P
A
E
D
Ph©n tÝch
4
Trªn h×nh vÏ cÇn t¹o ra b»ng hoÆc cã diÖn tÝch b»ng BOM vµ c¸c
tø gi¸c cã diÖn tÝch b»ng nhau (cã thÓ tÝnh ®îc), sao cho gi÷a tø gi¸c
OMCD cã mèi liªn hÖ diÖn tÝch víi c¸c tø gi¸c, tam gi¸c nãi trªn, víi
h×nh b×nh hµnh ABCD.
Muèn thÕ tõ B, trung ®iÓm E cña AD vµ D vÏ c¸c ®êng // víi AM
chóng c¾t BC, BD, AD, t¹o thµnh c¸c tø gi¸c.
DÔ dµng chøng minh ®îc:
SAMCE = S BCD ( =
1
2
SABCD)
SOMCI = SOBM + SCID; SOMCI = 3 SBOM
SOMCD =
5
6
.
1
2
5
12
SABCD =
V× SABCD = 1 => SOMCD =
5
12
SABCD
.
Chøng minh
Tõ B, trung ®iÓm E cña AD vµ D vÏ c¸c ®êng // víi AM chóng c¾t
BC, BD, AD, t¹o thµnh c¸c tø gi¸c.
DÔ dµng chøng minh ®îc:
SAMCE = S BCD ( =
1
2
SABCD)
SOMCI = SOBM + SCID; SOMCI = 3 SBOM
SOMCD =
5
6
.
1
2
SABCD =
V× SABCD = 1 => SOMCD =
5
12
5
12
SABCD
.
Bµi tËp v©n dông
Bµi 1 : Cho h×nh vu«ng ABCD. E thuéc miÒn trong cña h×nh vu«ng sao
� = FDA
� = 150 . Chøng minh tam gi¸c ABE lµ tam gi¸c ®Òu.
cho FAD
Bµi 2 : Cho h×nh thang vu«ng ABCD cã . Qua ®iÓm E thuéc c¹nh AB,
kÎ ®êng vu«ng gãc víi DE, c¾t BC t¹i F. Chøng minh r»ng ED = EF.
Bµi 3 : Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Tõ mét ®iÓm D trªn ®¸y BC, vÏ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi Bc, c¾t c¸c ®êng th¼ng AB, AC ë E, F. VÏ c¸c
h×nh ch÷ nhËt BDEH vµ CDFK. Chøng minh A lµ trung ®iÓm cña HK.
Bµi 4. Cho tam gi¸c ABC. Lêy c¸c ®iÓm D, E theo thø tù thuéc tia ®èi
cña c¸c tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gäi O lµ giao ®iÓm cña BE
vµ CD. Qua O vÏ ®êng th¼ng song song víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, ®êng th¼ng nµy c¾t AC ë K. Chøng minh r»ng AB = CK.
5
Bµi 5 : Cho tø gi¸c låi ABCD. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm P tuú ý. H·y kÎ
qua P ®êng th¼ng chia tø gi¸c thµnh 2 ®a gi¸c cã diÖn tÝch b»ng nhau.
Bµi 6: Cho h×nh b×nh hµnh OBCA. Gäi E vµ F lÇn lît lµ c¸c ®iÓm trªn
1
c¹nh OA vµ OB sao cho OE = OA; OF =
OB.
3
OM
§o¹n th¼ng EF c¾t ®êng chÐo OC t¹i M. TÝnh tØ lÖ sè
=?
OC
III. KÕt qu¶ vµ nh÷ng bµi häc rót ra.
Trong tiÕp thu kiÕn thøc h×nh, t×m ®êng lèi chøng minh h×nh lµ mét
®iÒu khã víi häc sinh. Víi häc sinh kh¸ giái, ngoµi viÖc biÕt chøng minh
c¸c bµi tËp c¬ b¶n cßn ph¶i biÕt gi¶i c¸c bµi to¸n khã. Víi c¸ch híng
dÉn trªn gi¸o viªn ®· chuÈn bÞ, t¹o ra t×nh huèng dÉn d¾t häc sinh häc
tËp b»ng c¸ch tù häc lµ chÝnh. Tuy nhiªn, ®Ó lµm ®îc ®iÒu ®ã, gi¸o viªn
ph¶i ®Çu t thêi gian cho viÖc chuÈn bÞ néi dung vµ ph¬ng ph¸p gi¶ng
d¹y cña m×nh. Muèn båi dìng cho häc sinh giái to¸n, cã kü n¨ng gi¶i
c¸c bµi to¸n h×nh chÝnh x¸c, lËp luËn ph¶i cã c¨n cø th× gi¸o viªn båi dìng ph¶i n©ng dÇn t duy cho häc sinh vµ n¾m ch¾c ph¬ng ph¸p gi¶i
to¸n.
B»ng c¸ch híng dÉn ®ã, chung ta sÏ h×nh thµnh cho häc sinh kh¶
n¨ng gi¶i c¸c bµi tËp, ®Æc biÖt c¸c bµi tËp khã.
Trªn ®©y lµ nh÷ng ý kiÕn cña c¸ nh©n t«i, mong c¸c ®ång nghiÖp
tham kh¶o gãp ý kiÕn chung ®Ó cã ®îc ph¬ng ph¸p båi dìng häc sinh
giái tèt.
Thôy Phóc, ngµy 10 th¸ng 11 n¨m 2007
Ngêi viÕt
TrÇn Ngäc §¹i
6
- Xem thêm -