CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đại Phú, ngày
tháng
năm 201..
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
DỰ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2012 - 2013
I. Sơ yếu lý lịch
- Họ và tên: Nguyễn Lộc Văn Hà
- Ngày tháng năm sinh: 10-11-1982
- Trình độ chuyên môn: Đại học Sư phạm, ngành Vật lí; chức vụ: Giáo viên.
- Tổ chuyên môn: Toán - lý
- Trường: THCS Đại Phú – Sơn Dương – Tuyên Quang.
- Nhiệm vụ được phân công: Giảng dạy môn Toán.
II. Nội dung
1. Đặt vấn đề
a. Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Ở TRƯỜNG THCS ĐẠI PHÚ.
b. Lý do chọn sáng kiến kinh nghiệm:
Bồi dưỡng HSG môn Toán để học sinh đạt giải (đặc biệt là giải cao ) trong các
kỳ thi học sinh năng khiếu cấp huyện là một việc làm rất khó khăn, vất vả và tốn nhiều
công sức của cả thầy và trò. Việc tìm ra phương pháp bồi dưỡng hiệu quả là rất cần
thiết vì không những giúp học sinh học tập dễ dàng mà còn rèn cho các em bản lĩnh
kiên cường, tự tin khi bước vào kỳ thi.
Phân tích đa thức thành nhân tử là một chuyên đề khó và rộng, chiếm một vị trí
quan trọng trong chương trình bồi dưỡng với các dạng toán như: Phân tích đa thức
thành nhân tử, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị
lớn nhất của biểu thức, tìm nghiệm nguyên của phương trình, giải phương trình, chứng
minh chia hết,…Do đó việc tìm ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
nhanh chóng, thông minh, chính xác là rất cần thiết đối với cả giáo viên và học sinh.
Vì vậy tôi chọn đề tài này nhằm mục đích giúp cho học sinh hiểu sâu sắc và thực
hành thành thạo dạng toán trên để tăng số học sinh đạt giải, nâng chất lượng giải trong
các kỳ thi chọn học sinh năng khiếu môn toán 8 cấp huyện.
c. Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu:
-Nhóm Học sinh giỏi Toán lớp 8 Trường THCS Đại Phú - Sơn Dương
–Tuyên Quang.
2. Giải quyết vấn đề
a. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Để việc bồi dưỡng đạt kết quả thì giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền
đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy học sinh làm
trung tâm của quá trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tính tích cực, sáng tạo và
tự giác của học sinh.
Muốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và nhanh chóng thì
trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa thức đã cho thành
tích của những đa thức, sau đó nắm chắc những phương pháp cơ bản và các phương
pháp nâng cao để phân tích, đó là:
1) Phöông phaùp ñaët nhaân töû chung: A.B + A.C = A ( B + C).
2) Phöông phaùp duøng haèng ñaúng thöùc:
Duøng khi caùc haïng töû cuûa ña thöùc coù daïng haèng ñaúng thöùc.
1.( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
2.( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
3.A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
4.( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
5.( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
6.A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2)
7.A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2)
3) Phöông phaùp nhoùm nhieàu haïng töû:
Keát hôïp nhieàu haïng töû thích hôïp cuûa ña thöùc khi ña thöùc chöa coù nhaân töû chung
hoaëc chöa aùp duïng ñöôïc haèng ñaúng thöùc nhằm mục đích:
+ Phaùt hieän nhaân töû chung hoaëc haèng ñaúng thöùc ôû töøng nhoùm.
+ Nhoùm ñeå aùp duïng phöông phaùp ñaët nhaân töû chung hoaëc haèng ñaúng thöùc.
+ Ñaët nhaân töû chung cho toaøn ña thöùc.
4) Phoái hôïp caùc phöông phaùp cô baûn: Vaän duïng vaø phaùt trieån kyõ naêng
laø söï keát hôïp nhuaàn nhuyeãn caùc phöông phaùp cô baûn:
+ Phöông phaùp ñaët nhaân töû chung
+ Phöông phaùp duøng haèng ñaúng thöùc
+ Phöông phaùp nhoùm nhieàu haïng töû
5)Phöông phaùp tìm mghiệm của đa thức: Cần sử dụng định lí bổ sung sau:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là
ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng
tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì
f(1)
f(-1)
và
đều là số
a-1
a+1
nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
6)Phöông phaùp theâm, bôùt cuøng moät haïng töû:
Söû duïng cho caùc baøi taäp khoâng theå aùp duïng ngay ñöôïc ba phöông phaùp cô baûn
ñaõ hoïc ñeå giaûi.
7) Phương pháp tách hạng tử:
8) Phương pháp đặt biến phụ:
9)Phương pháp hệ số bất định: Đó là sự đồng nhất về hệ số của hai vế để từ đó suy
ra các hệ số cần tìm trong sự phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Thực trạng của vấn đề:
-Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt là
các bài toán khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo.
- Khi gaëp moät baøi toaùn hoïc sinh khoâng bieát laøm gì? Khoâng bieát ñi theo höôùng naøo ?
Khoâng bieát lieân heä nhöõng gì ñaõ cho trong ñeà baøi vôùi caùc kieán thöùc ñaõ hoïc.
-Suy luaän keùm, chöa bieát vaän duïng caùc phöông phaùp ñaõ hoïc vaøo töøng daïng toaùn
khaùc nhau.
-Trình baøy khoâng roõ raøng, thieáu khoa hoïc, loâgic.
-Caùc em chöa coù phöông phaùp hoïc taäp toát thöôøng hoïc veït, hoïc maùy moùc thieáu nhaãn
naïi khi gaëp baøi toaùn khoù.
c) Các giải pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:
* Quy trình và cách thức:
- Xây dựng kế hoạch thực hiện ngay từ đâu năm học
- Tổ chức thi tuyển chọn các em có năng khiếu về bộ môn. Đặc biệt là phải học
được môn Toán.
- Tổ chức cho học ôn luyện theo chuyên đề, trao đổi trực tiếp. Sau mỗi chuyên
đề ra một bài kiểm tra kiến thức của học sinh ( Đề ra dạng như đề thi để học sinh làm
quen dần )
- Giáo viên say mê, tích cực, giảng dạy và tự học; tìm tòi nhiều dạng bài tập
phong phú cho học sinh luyện tập không chỉ trên lớp mà cả ở nhà.
- Thổi vào học sinh sự tự tin, niềm tin chiến thắng, ý chí kiên cường và quyết tâm
thi đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh năng khiếu. Động viên, khích lệ học sinh
thường xuyên và liên tục. Đồng thời kết hợp tốt với việc uốn nắn hướng dẫn cụ thể học
sinh trong từng buổi học.
- Mỗi dạng toán cần hướng dẫn học sinh phương pháp giải một cách tỉ mỉ, khai
thác triệt để phương pháp giải và cho các em luyện tập ít nhất là 2 lần bằng những bài
toán tương tự trên lớp. Sau mỗi buổi học Giáo viên giao bài tập về nhà cho các em
luyện tập để các em được khắc sâu hơn về các dạng toán đã được ôn tâp.
Trong viÖc gi¶ng d¹y bé m«n to¸n gi¸o viªn cÇn ph¶i rÌn luyÖn cho häc sinh tÝnh
t duy, tÝnh ®éc lËp, tÝnh s¸ng t¹o vµ linh ho¹t, tù m×nh t×m tßi ra kiÕn thøc míi, ra ph¬ng
ph¸p lµm to¸n ë d¹ng c¬ b¶n nh c¸c ph¬ng ph¸p th«ng thêng mµ cßn ph¶i dïng mét sè
ph¬ng ph¸p khã h¬n ®ã lµ ph¶i cã thñ thuËt riªng ®Æc trng, tõ ®ã gióp c¸c em cã høng
thó häc tËp, ham mª häc to¸n vµ ph¸t huy n¨ng lùc s¸ng t¹o khi gÆp c¸c d¹ng to¸n khã.
Ngêi thÇy gi¸o trong khi gi¶ng d¹y cÇn rÌn luyÖn cho häc sinh cña m×nh víi kh¶
n¨ng s¸ng t¹o, ham thÝch häc bé m«n to¸n vµ gi¶i ®îc c¸c d¹ng bµi tËp mµ cÇn ph¶i
th«ng qua ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, n©ng cao chÊt lîng häc tËp, ®¹t kÕt qu¶ tèt
trong c¸c kú thi. Tõ ®ã t«i m¹nh d¹n chän ®Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm " Ph¬ng ph¸p
ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö" nh»m gióp gióp häc sinh cña m×nh n¾m v÷ng c¸c
ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh ph©n tö, gióp häc sinh ph¸t hiÖn ph¬ng ph¸p gi¶i
phï hîp víi tõng bµi cô thÓ ë c¸c d¹ng kh¸c nhau.
* Khảo sát thực tiễn
Khi chưa thực hiện đề tài này, thì hầu hết các em làm bài tập rất lúng túng, thời gian
làm mất nhiều, thậm chí không tìm ra cách giải. Để thực hiện đề tài này tôi đã tiến hành
khảo sát năng lực của học sinh thông qua một số bài kiểm tra kết quả như sau:
XÕp lo¹i
Tæng sè HS
2
Giái
Kh¸
Trung b×nh
YÕu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
0
0
1
50
1
50
0
0
Thông qua kết quả khảo sát tôi đã suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng
dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những yêu cầu trong quá trình giải những bài
toán về phân tích đa thức thành nhân tử. Tôi mạnh dạn nêu ra một số biện pháp dưới
đây:
* Một số biện pháp
1) BiÖn ph¸p thø nhÊt.
Gi¸o viªn ph¶i trang bÞ cho häc sinh cña m×nh c¸c ®¬n vÞ kiÕn thøc c¬ b¶n nh c¸c
quy t¾c, thµnh th¹o phÐp nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc, nh©n ®a thøc víi ®a thøc, phÐp chia
®¬n thøc cho ®¬n thøc, phÐp chia ®a thøc cho ®¬n thøc, chia hai ®a thøc ®· s¾p xÕp, c¸c
quy t¾c ®æi dÊu ®a thøc, thËt thuéc vµ vËn dông thµnh th¹o c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng
nhí.
2) BiÖn ph¸p thø hai.
Gi¸o viªn cho häc sinh n¾m v÷ng b¶n chÊt cña viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
§Þnh nghÜa: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (thõa sè) lµ biÕn ®æi ®a thøc thµnh tÝch
cña nhiÒu ®¬n thøc vµ ®a thøc kh¸c.
VÝ dô: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1)
2.1) C¸c ph¬ng ph¸p th«ng thêng.
+ §Æt nh©n tö chung.
+ Dïng h»ng ®¼ng thøc.
+ Nhãm nhiÒu h¹ng tö.
Trong thùc hµnh gi¶i to¸n thêng ph¶i phèi hîp c¶ ba ph¬ng ph¸p kÓ trªn ®Ó cã thÓ
ph©n tÝch ®a thíc thµnh nh©n tö.
VÝ dô1:
Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.
M1
= 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2)
(Nhãm c¸c h¹ng tö)
= 3(a - b) + (a - b)2 (®Æt NTC vµ dïng h»ng ®¼ng thøc)
= (a - b) (3 + a - b) (§Æt nh©n tö chung)
VÝ dô 2:
Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.
2
M2 = a - b2 - 2a + 2b
= (a2 - b2) - (3a - 2b)
(Nhãm c¸c h¹ng tö)
= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dïng h»ng ®¼ng thøc vµ ®Æt NTC)
= (a -b) (a + b - 2)
(§Æt NTC)
§Ó phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p trªn ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cÇn chó ý
c¸c bíc sau ®©y:
+ §Æt nh©n tö chung cho c¶ ®a thøc nÕu cã thÓ tõ ®ã lµm ®¬n gi¶n ®a thøc.
+ XÐt xem ®a thøc cã d¹ng b»ng ®¼ng thøc nµo kh«ng ?
+ NÕu kh«ng cã nh©n tö chung, hoÆc kh«ng cã h»ng ®¼ng thøc th× ph¶i nhãm c¸c
h¹ng tö vµo tõng nhãm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn mçi nhãm cã nh©n tö chung, lµm xuÊt hiÖn
nh©n tö chung cña c¸c
nhãm hoÆc xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc. Cô thÓ c¸c vÝ dô sau:
VÝ dô 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2
Ta thÊy M3 kh«ng cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc, c¸c h¹ng tö còng kh«ng cã nh©n tö chung,
vËy lµm g× ®Ó ph©n tÝch ®îc. Quan s¸t kü ta thÊy hai h¹ng tö 5a2 - 5b2 cã nh©n tö chung. V×
vËy ta dïng ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö ®Çu tiªn:
M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2.
Sau ®ã ®Æt nh©n tö chung cña nhãm thø nhÊt ®Ó lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc:
M3 = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2
Sö dông h»ng ®¼ng thøc ë nhãm ®Çu lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung cña c¶ hai
nhãm lµ (a + b):
M3 = 5(a + b) (a - b) + 3 (a + b)2 .
M3 ®· cã nh©n tö chung lµ: (a + b). Ta tiÕp tôc ®Æt nh©n tö chung.
M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)]
M3 = (a + b)(8a – 2b)
Nh vËy M3 ®· ®îc ph©n tÝch thµnh tÝch cña hai nh©n tö (a + b) vµ (8a - 2b).
VÝ dô 4: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy.
Tríc hÕt h·y x¸c ®Þnh xem dïng ph¬ng ph¸p nµo tríc ?
Ta thÊy c¸c h¹ng tö ®Òu chøa nh©n tö chung 3xy.
+ §Æt nh©n tö chung.
M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)
Trong ngoÆc cã 6 h¹ng tö h·y xÐt xem cã h»ng ®¼ng thøc nµo kh«ng?
+ Nhãm h¹ng tö: M4 = 3 xyx2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2
+ Dïng h»ng ®¼ng thøc: M4 = 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2 xem xÐt hai h¹ng tö trong
ngoÆc cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc nµo?
+ Sö dông h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh ph¬ng ta cã:
M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
VËy: M4 ®· ®îc ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tö.
Khi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ta cÇn chó ý quan s¸t ®a thøc, linh ho¹t phèi hîp
sö dông c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®· häc ®Ó c¸c bíc ph©n tÝch ®îc râ
rµng, m¹ch l¹c vµ triÖt ®Ó (®a thøc kh«ng thÓ ph©n tÝch ®îc n÷a).
2.2) Mét sè ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc kh¸c.
Gi¸o viªn tríc hÕt cÇn cho häc sinh sö dông thµnh th¹o c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch
thµnh nh©n tö th«ng thêng (®· häc trong SGK) vµ kÕt hîp c¸c ph¬ng ph¸p sau ®Ó lµm
c¸c bµi to¸n khã.
+ Ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö.
+ Ph¬ng ph¸p thªm, bít cïng mét h¹ng tö.
+ Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô.
+ Ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc.
+ Ph¬ng ph¸p dïng hÖ sè bÊt ®Þnh.
a) Ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö.
Ví dụ 5. Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)
= (x – 2)(3x – 2)
VÝ dô 6: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö ®a thøc sau:
N = a2 - 6a + 8.
C¸ch 1: a2 - 4a - 2a + 8 (T¸ch - 6a = (- 4a) + (-2a)
= (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhãm h¹ng tö)
= a (a - 4) - 2 (a - 4) (§Æt nh©n tö chung)
= (a - 4) (a - 2) (§Æt nh©n tö chung)
Cã thÓ t¸ch h¹ng tö tù do t¹o thµnh mét ®a thøc míi cã nhiÒu h¹ng tö trong ®ã cã thÓ
kÕt hîp lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hoÆc nh©n tö chung víi c¸c h¹ng tö cßn l¹i.
C¸ch 2: N = a2 - 6a + 9 - 1 (T¸ch 8 = 9 - 1)
= (a2 - 6a + 9) - 1 (nhãm h¹ng tö - xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc)
= (a - 3)2 - 1 (Sö dông h»ng ®¼ng thøc)
= (a - 2) (a + 2) (Dïng h»ng ®¼ng thøc vµ ®Æt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (§Æt NTC)
C¸ch 3:
N = a2 - 4a + 4 - 2a + 4 (T¸ch 8 = 4 + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a)
= ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhãm h¹ng tö)
= (a - 2)2 - 2(a -2) (Dïng h»ng ®¼ng thøc vµ ®Æt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (§Æt NTC - biÕn thµng 2 nh©n tö)
Ta thÊy cã ®Ó t¸ch mét h¹ng tö thµnh 2 h¹ng tö kh¸c trong ®ã 2 c¸ch t¸ch sau lµ
th«ng dông nhÊt;
- Ph¬ng ph¸p t¸ch 1: T¸ch h¹ng tö tù do thµnh 2 h¹ng tö sao cho ®a thøc míi ®îc
®a vÒ hiÖu hai b×nh ph¬ng (c¸ch 2) hoÆc lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc vµ cã nh©n tö
chung víi h¹ng tö cßn l¹i (c¸ch 3).
- Ph¬ng ph¸p t¸ch 2: T¸ch h¹ng tö bËc nhÊt thµnh 2 h¹ng tö råi dïng ph¬ng ph¸p
nhãm h¹ng tö vµ ®Æt nh©n tö chung lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung míi (c¸ch 1)
VÝ dô 7: Ph©n tÝch tam thøc bËc hai: ax2 + bx + c thµnh nh©n tö.
T¸ch hÖ sè b = b1 + b2 sao cho b1. b2 = a.c
Trong thùc hµnh ta lµm nh sau;
+ T×m tÝch a.c
+ Ph©n tÝch a.c ra thõa sè nguyªn víi mäi c¸ch
+ Chän 2 thõa sè mµ tæng b»ng b
Ngoµi ra cã thÓ t¸ch ®ång thêi c¶ hai h¹ng tö (h¹ng tö tù do vµ h¹ng tö bËc nhÊt)
(nh c¸ch 3)
b) Ph¬ng ph¸p thªm bít h¹ng tö.
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:
VÝ dô 8:
4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)
VÝ dô 9: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
VÝ dô 10: Ph©n tÝch ®a thøc P1 = x4 + 4 thµnh nh©n tö
P1 = x4 + 4
= x4 + 4x2 + 4 - 4x2
(thªm 4x2, bít 4x2)
= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2
(nhãm h¹ng tö)
= (x2 + 2)2 - (2x)2
(dïng h»ng ®¼ng thøc)
= (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)
VÝ dô 11: Ph©n tÝch ®a thøc : P2 = a4 + 64 thµnh nh©n tö.
P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thªm 16a2, bít 16a2)
= (a2 + 8)2 - (4a)2
= (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8)
Nh v©y viÖc thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc rÊt tiÖn lîi,
song ta cÇn xem xÐt thªm, bít h¹ng tö nµo? ®Ó xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc nµo? b×nh ph¬ng cña 1 tæng hay hiÖu hai b×nh ph¬ng... th× míi ph©n tÝch triÖt ®Ó ®îc.
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
VÝ dô 12: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
VÝ dô 13: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1)
c) Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
VÝ dô 14: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
= (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng
(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
VÝ dô 15: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Giả sử x 0 ta viết
6
1
1
1
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 – x + 2 ) = x2 [(x2 + 2 ) + 6(x )+7]
x
x
x
Đặt x -
1
1
= y thì x2 + 2 = y2 + 2, do đó
x
x
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x -
1 2
) + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2
x
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )
= x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2
VÝ dô 16: A = ( x 2 y 2 z 2 )( x y z )2 ( xy yz +zx)2
2 2
2 2
2
2
2
= ( x y z ) 2( xy yz +zx) ( x y z ) ( xy yz +zx)
Đặt x 2 y 2 z 2 = a, xy + yz + zx = b ta có
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x 2 y 2 z 2 + xy + yz + zx)2
VÝ dô 17:
B = 2( x4 y 4 z 4 ) ( x2 y 2 z 2 )2 2( x2 y2 z 2 )( x y z )2 ( x y z )4
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2
2 2
2 2
2 2
Ta lại có: a – b2 = - 2( x y y z z x ) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó;
2 2
2 2
2 2
B = - 4( x y y z z x ) + 4 (xy + yz + zx)2 =
4 x2 y 2 4 y 2 z 2 4 z 2 x2 4x 2 y 2 4 y 2 z 2 4 z 2 x2 8x2 yz 8xy 2 z 8xyz 2
8 xyz ( x y z )
VÝ dô 18: (a b c)3 4(a3 b3 c3 ) 12abc
Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2
2 2
a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + m - n ). Ta có:
4
3
2
C = (m + c)3 – 4. m + 3mn 4c3 3c(m2 - n 2 ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2)
4
= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
VÝ dô 19: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö:
D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhãm - lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung)
Ta thÊy 2 h¹ng tö ®Çu cã nh©n tö chung lµ (x2+ x), ta cã thÓ ®Æt
y = x2+ x = x(x + 1) (®æi biÕn). Khi ®ã ta cã:
D1 = y2 + 4y - 12
Ta cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p t¸ch hoÆc thªm bít
D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12)
(T¸ch 4y = 6y - 2y)
D1 = y (y - 2) + 6(y - 2)
(®Æt nh©n tö chung)
D1 = (y – 2)(y + 6)
(®Æt nh©n tö chung)
Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay l¹i biÕn x
D ®· ph©n tÝch thµnh 2 nh©n tö (x2 + x- 2) vµ (x2 + x+ 6)
ViÖc ph©n tÝch tiÕp c¸c nh©n tö cho triÖt ®Ó cã thÓ dùa vµo c¸c ph¬ng ph¸p
®· nªu ë trªn. Chó ý cã nh÷ng tam thøc kh«ng thÓ ph©n tÝch tiÕp ®îc nh :
x2 + x + 6 = (x +
1
2
)2 + 5 3 . Do vËy kh«ng ph©n tÝch tiÕp ®îc n÷a
4
Cßn x + x - 2 = (x - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi ®ã D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2).
d) Ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc.
2
2
Nguyªn t¾c: NÕu ®a thøc ax3 + bx2 + cx+ d (1) cã nghiÖm th× theo ®Þnh lý B¬ du
ta cã: NÕu m lµ nghiÖm cña (1) th× m chøa nh©n tö (x - m), khi ®ã dïng phÐp chia ®a
thøc ta cã:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x 2 + b'x + c'), nh©n tö bËc hai cã thÓ ph©n tÝch tiÕp
®îc dùa vµo c¸c ph¬ng ph¸p nªu ë trªn.
C¸c ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc bËc 3:
+ NÕu tæng c¸c hÖ sè: a + b + c + d = 0 ®a thøc cã nghiÖm x = 1.
®a thøc chøa nh©n tö chung (x - 1)
+ NÕu tæng c¸c hÖ sè bËc ch½n b»ng tæng hÖ sè bËc lÎ tøc lµ a - c = b +d ®a thøc cã x = -1.
®a thøc chøa nh©n tö chung (x + 1)
+ NÕu kh«ng xÐt ®îc tæng c¸c hÖ sè nh trªn th× ta xÐt c¸c íc cña hÖ sè tù do d
(hÖ sè kh«ng ®æi). NÕu íc nµo cña d lµm cho ®a thøc cã gi¸ trÞ b»ng 0 th× íc ®ã lµ nghiÖ
Ví dụ 20. Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – x2 - 4
Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = 1; 2; 4 , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là
nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có
xuất hiện một nhân tử là x – 2
Cách 1:
x3 – x2 – 4 =
x 2 x2 x 2
x3 2x2 x2 2 x 2 x 4 x2 x 2 x(x 2) 2(x 2)
Cách 2:
x3 x2 4 x3 8 x2 4 x3 8 x2 4 ( x 2)( x2 2 x 4) ( x 2)( x 2)
2
2
= x 2 x 2 x 4 ( x 2) ( x 2)( x x 2)
Ví dụ 21. Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xét: 1, 5 không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên.
Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy x =
1
là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên
3
=
f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 =
3x3 x2 6 x2 2 x 15 x 5 3x3 x2 6 x2 2 x 15 x 5
= x 2 (3x 1) 2 x(3x 1) 5(3x 1) (3x 1)( x2 2 x 5)
Vì x 2 2 x 5 ( x2 2 x 1) 4 ( x 1)2 4 0 với mọi x nên không phân tích được
thành nhân tử nữa
Ví dụ 22. Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 5x2 + 8x + 4
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử
bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
Ví dụ 23. Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta
có:
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)
Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên
không phân tích được nữa
VÝ dô 24: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
E1 = x3 + 3x2 - 4 xÐt tæng c¸c hÖ sè ta thÊy.
a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 x1 = 1
E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) chia E1 Cho (x - 1)
Sau ®ã dïng c¸c ph¬ng ph¸p ®· häc ®Ó ph©n tÝch tiÕp
E1 = (x - 1) (x + 2)2
VÝ dô 25: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
E2 = x3 - 3x + 2
Ta thÊy tæng vµ hiÖu c¸c hÖ sè cña E2 0 do ®ã lo¹i x = 1
XÐt c¸c ¦(2) = 2 cã x = -2 lµ nghiÖm cña E2
E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1)
(Chia E2 cho(x - 2))
E2 = (x + 2) (x -1)2
C¸c vÝ dô trªn ®©y lµ mét sè ph¬ng ph¸p ®Ó phèi kÕt hîp víi c¸c ph¬ng
ph¸p th«ng thêng gióp häc sinh ph©n tÝch ®îc c¸c bµi to¸n khã thµnh nh©n tö
gióp cho qu¸ tr×nh rót gän ph©n thøc còng nh gi¶i ph¬ng tr×nh.
e) Phương pháp hệ số bất định :
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là
ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng
tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì
f(1)
f(-1)
và
đều là số
a-1
a+1
nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
VÝ dô 26.
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nhận xét: các số 1, 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm
nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
a c 6
ac b d 12
ad bc 14
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: bd 3
Xét bd = 3 với b, d Z, b 1, 3 với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành
a c 6
ac 8
a 3c 14
bd 3
2c 8
ac 8
c 4
a 2
Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
VÝ dô 27
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)
a 4 3
b 2a 7
c
2
b
6
4
3
2
= 2x + (a - 4)x + (b - 2a)x + (c - 2b)x - 2c 2c 8
a 1
b 5
c 4
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4)
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn
bằng nhau nên có 1 nhân tử là x + 1 nên
2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
VÝ dô 28
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)
= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3
ac 12
bc ad 10
3c a 5
bd 12
3d b 12
a 4
c 3
b 6
d 2
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)
3) Mét sè bµi tËp ¸p dông.
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö.
1a.
x2 - 4x + 3 b»ng 4 c¸ch (ph¬ng ph¸p t¸ch).
Gîi ý 4 c¸ch lµm.
C1: T¸ch - 4x = - 3x + (-x)
C2: T¸ch 3 = 4 - 1.
C3: T¸ch 3 = 12 - 9
C4: T¸ch -4x = -2x + (-2x) vµ 3 = 2 + 1
Sau ®ã cã thÓ nhãm lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hoÆc nh©n tö chung.
1b.
81a4 + 4
(thªm bít h¹ng tö)
Gîi ý:Thªm 2 lÇn tÝch cña 9a2 vµ 2 H»ng ®¼ng thøc. Cô thÓ: 36x2
1c:
(x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (ph¬ng ph¸p ®æi biÕn).
Gîi ý: ®Æt (x2 +x ) = y
1d:
x3 - 2x2 - x + 2
(ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm).
Gîi ý: XÐt tæng c¸c hÖ sè a + b + c = 0
Ngoµi ra cã thÓ sö dông c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c ®Ó ph©n tÝch c¸c bµi tËp trªn thµnh
nh©n tö.
Bµi tËp 2: Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc.
3
2
M = a3 4a a 4 víi a = 102
a 7a 14a 8
Gîi ý:
+ Ph©n tÝch tö thøc a3 - 4a2 - a+ 4 b»ng ph¬ng ph¸p nhãm h»ng ®¼ng thøc ®a tö thµnh
nh©n tö.
+ Ph©n tÝch mÉu thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch dïng h»ng ®¼ng thøc, ®Æt nh©n tö chung,
t¸ch h¹ng tö.
+ Rót gän nh©n tö chung cña tö thøcvµ mÉu thøc.
+ Thay a = 102 vµo M ®· rót gän.
Bµi tËp 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
3.a)
y2 - 5y + 4 = 0.
Gîi ý: Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh c¸c nh©n tö ph¬ng tr×nh trë vÒ ph¬ng tr×nh tÝch.
3b: y 3 - 2y2 - 9y + 18 = 0.
Gîi ý: Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö, ®a ph¬ng tr×nh ®· cho thµnh ph¬ng tr×nh
tÝch gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch.
Bµi tËp 4: Chøng minh r»ng ®a thøc sau.
a)
A = (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hÕt cho 24.
Víi a lµ mét sè tù nhiªn.
Gîi ý:
+ Tríc hÕt ph©n tÝch ®a thøc ®· cho thµnh nh©n tö.
A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sö dông h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh ph¬ng)
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
(Sö dông ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö 3a = 2a + a)
* LËp luËn:
+ A ®· cho lµ tÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp chøng tá trong ba sè tù nhiªn liªn
tiÕp ¾t ph¶i cã mét sè chia hÕt cho 3 vËy: A 3
+ Trong 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê còng cã 2 sè ch½n liªn tiÕp nªn méc trong
hai sè ®ã chia hÕt cho 2 vµ sè cßn l¹i sÏ chia hÕt cho 4. VËy A 8
+ Nhng (3 ; 8) = 1 nªn tÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 24.
b)
B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hÕt cho 24.
Víi n lµ sè nguyªn d¬ng tuú ý.
Bµi tËp 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc.
A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12
Gîi ý:
+ Tríc hÕt sö dông c¸c ph¬ng ph¸p cña ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®Ó ph©n
tÝch A.
A = x2 - 4x + 4 + y2 +2y + 1 + 7 (t¸ch 12 = 7 + 4 + 1)
A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + 7 (nhãm h¹ng tö)
A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + 7
* LËp luËn.
V× (x - 2)2 o vµ (y + 1)2 0, dÊu " = "x¶y ra khi a = 2 vµ y = - 1 nªn A = (x - 2) 2
+ (y + 1)2 + 7 7
VËy AMin = 7 khi x = 2; y = -1
d) KÕt qu¶ ®¹t ®îc:
Áp dông s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy vµo gi¶ng d¹y ë trêng THCS §¹i Phó trong
n¨m häc 2011 - 2012 ®· thu ®îc c¸c kÕt qu¶ kh¶ quan .
KÕt qu¶ häc tËp cña häc sinh ®îc n©ng lªn râ rÖt qua c¸c giê häc, qua mçi kú thi,
®Æc biÖt lµ c¸c em høng thó häc to¸n h¬n, sö dông thµnh th¹o c¸c thñ thuËt ph©n tÝch ®a
thøc thµnh nh©n tö ®Ó lµm c¸c d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn viÖc ph©n tÝch ®a thøc ®¹t kÕt
qu¶ tèt. Bªn c¹nh ®ã c¸c ph¬ng ph¸p nµy gióp c¸c em dÔ dµng tiÕp cËn víi c¸c d¹ng
to¸n khã vµ c¸c kiÕn thøc míi còng nh viÖc h×nh thµnh mét sè kü n¨ng trong qu¸ tr×nh
häc tËp vµ gi¶i to¸n khi häc bé m«n to¸n.
HS 1 :§¹t 13,5/20 ®iÓm- §¹t gi¶i khuyÕn khÝch HSG To¸n cÊp huyÖn.
HS2 : §¹t 15,5/20 ®iÓm - §¹t gi¶i ba HSG To¸n cÊp huyÖn
3. KÕt luËn.
a)Bµi häc kinh nghiÖm:
Tr¶i qua thùc tÕ gi¶ng d¹y vËn dông s¸ng kiÕn kinh nghiÖm trªn ®©y cã kÕt qu¶
h÷u hiÖu cho viÖc häc tËp vµ gi¶i to¸n. RÊt nhiÒu häc sinh chñ ®éng t×m tßi vµ ®Þnh híng ph¬ng ph¸p lµm bµi khi cha cã sù gîi ý cña gi¸o viªn, mang l¹i nhiÒu s¸ng t¹o vµ
kÕt qu¶ tèt tõ viÖc gi¶i to¸n rót ra c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
V× lÏ ®ã v¬Ý mçi gi¸o viªn nãi chung vµ b¶n th©n t«i nãi riªng cÇn hiÓu râ kh¶
n¨ng tiÕp thu bµi cña c¸c ®èi tîng häc sinh ®Ó tõ ®ã ®a ra nh÷ng bµi tËp vµ ph¬ng ph¸p
gi¶i to¸n cho phï hîp gióp häc sinh lµm ®îc c¸c bµi tËp, g©y høng thó häc tËp, say sa
gi¶i to¸n, yªu thÝch häc to¸n. Tõ ®ã dÇn dÇn n©ng cao tõ dÔ ®Õn khã, cã ®îc nh vËy th×
ngêi thÇy gi¸o cÇn ph¶i t×m tßi nhiÒu ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n, cã nhiÒu bµi to¸n hay ®Ó híng dÉn häc sinh lµm, ®a ra cho häc sinh cïng lµm, cïng ph¸t hiÖn ra c¸c c¸ch gi¶i
kh¸c nhau còng nh c¸ch gi¶i hay, tÝnh tù gi¸c trong häc to¸n, ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n
nhanh, cã kü n¨ng ph¸t hiÖn ra c¸c c¸ch gi¶i to¸n nhanh, cã kü n¨ng ph¸t hiÖn ra c¸c
c¸ch gi¶i: Mét sè kinh nghiÖm trong ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ë trªn ®©y gióp
häc sinh rÊt nhiÒu trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n cã sö dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
C¸c kinh nghiÖm vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö mµ t«i ®· viÕt trªn ®©y cã lÏ sÏ cßn
rÊt nhiÒu h¹n chÕ. Mong tæ chuyªn m«n trong trêng, ®ång nghiÖp gãp ý ch©n thµnh ®Ó
t«i cã nhiÒu s¸ng kiÕn kinh nghiÖm tèt h¬n phôc vô tÝch cùc cho viÖc gi¶ng d¹y nh»m
thùc hiÖn tèt ch¬ng tr×nh míi THCS.
b) Kiến nghị, đề xuất:
Đối với Ban Giám Hiệu nhà trường:
Nhµ trêng s¾p xÕp ®¶m b¶o hîp lý, khoa häc vµ hiÖu qu¶ thêi gian båi dìng cïng
c¸c c¬ së vËt chÊt phôc vô cho viÖc d¹y vµ häc cña c¸c m«n.
ChÕ ®é thëng ®îc nhµ trêng thùc hiÖn kÞp thêi ngay sau khi cã th«ng b¸o kÕt qu¶
c¸c cuéc thi häc sinh giái c¸c cÊp, đạt giải.
Nhµ trêng nªn tËp trung x©y dùng kÕ ho¹ch båi dìng, chän läc qua c¸c n¨m vµ
chØ ®¹o c¸c tæ chuyªn m«n, c¸c gi¸o viªn x©y dùng kÕ ho¹ch båi dìng cô thÓ, cã tÝnh
chÊt t¹o nguån cho nh÷ng n¨m tiÕp theo.
Nhà trường nªn x©y dùng mét c¬ chÕ hç trî xøng ®¸ng t¹o ®iÒu kiÖn cho gi¸o
viªn tham gia båi dìng ®éi tuyÓn phÊn ®Êu, an t©m h¬n trong gi¶ng d¹y
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
.........................................................................
.........................................................................
.........................................................................
.........................................................................
.........................................................................
TỔ TRƯỞNG
NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN
(ký và ghi họ, tên)
NguyÔn Léc V¨n Hµ
.................................................
Phần đánh giá của Ban giám khảo Hội thi giáo viên giỏi cấp trường
Giám khảo thứ nhất
Giám khảo thứ hai
- Xem thêm -