Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
MUÏC LUÏC
A. MÔÛ ÑAÀU....................................................................trang 02
I.
Lí do choïn ñeà taøi.........................................................trang 02
II.
Ñoái töôïng nghieân cöùu.................................................trang 03
III.
Phaïm vi nghieân cöùu...................................................trang 03
IV.
Phöông phaùp nghieân cöùu............................................trang 03
B. NOÄI DUNG..................................................................trang 06
I.
Cô sôû lí luaän.................................................................trang 06
II.
Cô sôû thöïc tieãn............................................................trang 07
III.
Giaûi quyeát vaán ñeà.......................................................trang 09
C. KEÁT LUAÄN..................................................................trang 21
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
1
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
A- MÔÛ ÑAÀU
I- LYÙ DO CHOÏN ÑEÀ TAØI:
- Toaùn hoïc laø moät moân khoa hoïc neáu hoïc gioûi toaùn thì seõ coù ñieàu kieän ñeå hoïc
toát caùc moân khaùc. Tuy nhieân toaùn hoïc ñaëc tröng laø moân hoïc töï nhieân raát khoù hoïc
vì vaäy khoâng phaûi hoïc sinh naøo cuõng hieåu, cuõng hoïc toát ñöôïc toaùn.
- Thöïc teá trong nhöõng naêm gaàn ñaây, töø khi chính phuû ta cho trieån khai ñaïi traø
saùch giaùo khoa vaø phöông phaùp giaûng daïy môùi thì töø naêm 2002 ñeán nay chaát
löôïng giaùo duïc nöôùc ta töøng böôùc ñöôïc naâng leân. Tuy nhieân beân caïnh ñoù chuùng
ta khoâng theå choái boû moät ñeàu laø hieän nay soá löôïng hoïc sinh yeáu keùm cuûa nöôùc
ta noùi chung cuûa tænh ta noùi rieâng vaãn coøn chieám soá löôïng raát ñoâng . Vaäy ñieàu
ñoù laø do ñaâu?
- Trong chöông trình Ñaïi soá 8, daïng toaùn phaân tích ña yhöùc thaønh nhaân töû laø
noäi dung heát söùc quan troïng, vieäc aùp duïng cuûa daïng toaùn naøy raát phong phuù ña
daïng cho vieäc hoïc sau naøy nhö ruùt goïn phaân thöùc, quy ñoàng maãu thöùc nhieàu
phaân thöùc, giaûi phöông trình,… Qua quaù trình giaûng daïy, cuõng nhö qua vieäc theo
doõi keát quaû baøi kieåm tra, baøi thi cuûa hoïc sinh lôùp 8, vieäc phaân tích ña thöùc thaønh
nhaân töû laø khoâng khoù, nhöng vaãn coøn nhieàu hoïc sinh laøm sai hoaëc chöa thöïc
hieän ñöôïc. Nguyeân nhaân hoïc sinh hoïc yeáu laø do hoïc sinh chöa naém vöõng caùc
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
2
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
phöông phaùp giaûi, chöa vaän duïng kyõ naêng bieán ñoåi moät caùch thaønh thaïo, linh
hoaït, saùng taïo vaøo töøng baøi toaùn cuï theå.
- Vì vaäy laø moät giaùo vieân giaûng daïy toaùn, toâi nhaän thaáy beân caïnh vieäc trang bò
voán kieán thöùc caàn thieát cho coâng taùc giaûng daïy cuûa mình thì cuõng caàn phaûi
thöôøng xuyeân nghieân cöùu tìm ra phöông phaùp daïy hoïc thích hôïp ñeå chaát löôïng
giaûng daïy ngaøy caøng ñöôïc naâng cao nhaèm giaûm bôùt soá löôïng hoïc sinh yeáu keùm,
naâng cao soá löôïng hoïc sinh khaù gioûi. Vì vaäy toâi quyeát ñònh choïn ñeà taøi nghieân
cöùu laø: “ Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû ” ôû
lôùp 8a2 tröôøng THCS Taân Ñoâng.
II- ÑOÁI TÖÔÏNG NGHIEÂN CÖÙU:
Caùc giaûi phaùp reøn kyõ naêng phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû.
III- PHAÏM VI NGHIEÂN CÖÙU:
-Khoâng gian : Hoïc sinh lôùp 8A2 Tröôøng THCS Taân Ñoâng
-Thôøi gian : 3 giai ñoaïn trong naêm hoïc 2008 – 2009
Giai ñoaïn 1: Töø thaùng 9 ñeán khaûo saùt chaát löôïng ñaàu naêm
Giai ñoaïn 2: Töø thaùng 11/ 2009 ñeán thi hoïc kì I
Giai ñoaïn 3: Töø thaùng 01/ 2009 ñeán giöõa hoïc kì II.
IV- PHÖÔNG PHAÙP NGHIEÂN CÖÙU:
1. Ñoïc taøi lieäu : Tham Khaûo taøi lieäu chuyeân moân coù lieân quan
+ Saùch giaùo khoa 8, saùch giaùo vieân, saùch baøi taäp, vôû baøi taäp.
+ Moät soá vaán ñeà phöông phaùp daïy hoïc ôû tröôøng phoå thoâng.
+ Taøi lieäu boài döôõng GV daïy moân toaùn.
+ Ñoåi môùi phöông phaùp daïy hoïc toaùn.
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
3
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
+ Toång hôïp kieán thöùc Toaùn 8 THCS.
+ Baøi taäp naâng cao vaø moät soá chuyeân ñeà Toaùn 8.
Choïn loïc kieán thöùc phuø hôïp vôùi ñôn vò. Hoïc hoûi caùc giaûi phaùp hay ñaõ aùp
duïng ñeå tích luõy kinh nghieäm.
2. Ñieàu tra:
a.Döï giôø:
- Döï giôø hoïc hoûi kinh nghieäm caùc giaùo vieân trong toå.
- Ruùt kinh nghieäm tieát daïy treân lôùp, tieát döï giôø. Qua ñoù, toâi luoân chuù yù ñeán
phöông phaùp giaûng daïy cuõng nhö caùch toå chöùc tieát daïy cuûa moãi giaùo vieân, töø ñoù
giuùp toâi tích luõy moät soá kinh nghieäm vaø hieäu quaû cuûa vieäc ñoåi môùi phöông phaùp
daïy hoïc .
b.Ñaøm thoaïi:
-Trong quaù trình giaûng daïy giaùo vieân trao ñoåi vôùi hoïc sinh ñeå tìm ra caùc
nguyeân nhaân hoïc sinh chöa coù phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû ôû
töøng daïng toaùn cuï theå. Xem hoïc sinh hoûng kieán thöùc naøo, phaàn naøo hoïc sinh
chöa bieát caùch trình baøy ñeå coù bieän phaùp xöû lí kòp thôøi.
-Trao ñoåi vôùi giaùo vieân ôû toå chuyeân moân trong nhaø tröôøng cuøng baøn bieän
phaùp naâng cao chaát löôïng, tìm hieåu nguyeân nhaân hoïc sinh hoïc yeáu ôû caùc lôùp
khaùc.
c.Thaêm doø:
-Naém laïi tình hình chaát löôïng moân Toaùn lôùp 8A2 trong naêm hoïc tröôùc.
TSHS : 42/ 28
Trong ñoù: HS daân toäc : 1/ 1
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
4
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
TSH
S
42
GIOÛI
SL TL
KHAÙ
SL
TL
TR. BÌNH
SL
TL
YEÁU
SL
TL
4
2
17
16
9.5
4.8
40.5
38.1
KEÙM
SL TL
7.1
3
-Tìm hieåu trong naêm hoïc naøy, giaùo vieân laäp danh saùch hoïc sinh yeáu, caäp nhaät
vaøo soå keá hoaïch boä moân, tìm hieåu nguyeân nhaân hoïc sinh yeáu baèng phöông phaùp
vaán ñaùp, kieåm tra phaân loaïi hoïc sinh yeáu . Töø ñoù tìm bieän phaùp khaéc phuïc phuø
hôïp vôùi töøng ñoái töôïng hoïc sinh.
d. Thöïc nghieäm:
- Toaùn hoïc laø moät moân khoa hoïc thöïc nghieäm ñoøi hoûi hoïc sinh phaûi thöïc
haønh ngay taïi lôùp, ñeå thöïc hieän ñöôïc ñieàu ñoù giaùo vieân phaûi giuùp hoïc sinh cuõng
coá kieán thöùc ngay taïi lôùp qua caùc baøi taäp vaø caùc ?/SGK nhaèm giuùp caùc em naém
vöõng caùc kieán thöùc cô baûn moät caùch saâu saéc töø ñoù hình thaønh kó naêng giaûi toaùn
cho hoïc sinh. Ñoàng thôøi giaùo vieân phaûi chuù troïng böôùc höôùng daãn hoïc sinh töï
hoïc ôû nhaø ñeå hoïc sinh cuûng coá laïi kieán thöùc ñaõ hoïc vaø vaän duïng giaûi caùc baøi taäp
ôû nhaø taïo thoùi quen töï hoïc cho hoïc sinh.
e.Theo doõi caùc baøi kieåm tra:
- Khi kieåm tra mieäng, 15 phuùt, 1 tieát toâi phaân loaïi hoïc sinh yeáu, trung bình,
khaù, gioûi caäp nhaät vaøo soå ñieåm rieâng. Töø ñoù giaùo vieân tìm ra caùc giaûi phaùp thích
hôïp cho töøng ñoái töôïng hoïc sinh.
g.Giaû thieát khoa hoïc.
- Qua caùc noäi dung chöông trình Saùch giaùo khoa, neáu toå chöùc daïy hoïc theo
höôùng tích cöïc hoùa hoaït ñoäng nhaän thöùc cuûa hoïc sinh vaø keát hôïp vôùi caùc tieát
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
5
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
luyeän taäp, oân taäp khaéc saâu baèng baøi hoïc kinh nghieäm hôïp lí coù theå goùp phaàn
naâng cao chaát löôïng giaûng daïy boä moân.
I- CÔ SÔÛ LÍ LUAÄN:
B- NOÄI DUNG
- ÔÛ tröôøng phoå thoâng moân toaùn laø moân hoïc chính, moân hoïc cô sôû, laø coâng cuï
cho caùc moân hoïc khaùc vaø giaûi toaùn laø hình thöùc chuû yeáu cuûa hoaït ñoäng toaùn hoïc.
Caùc baøi toaùn trong chöông trình phoå thoâng laø moät phöông tieän ñem laïi hieäu quaû
cao vaø khoâng theå thay theá ñöôïc trong vieäc giuùp hoïc sinh naém vöõng tri thöùc, phaùt
trieån tö duy, hình thaønh caùc kyõ naêng vaø bieát öùng duïng toaùn hoïc vaøo thöïc tieãn. Vì
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
6
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
vaäy toå chöùc coù hieäu quaû vieäc reøn cho hoïc sinh coù kyõ naêng giaûi baøi taäp toaùn coù
vai troø quyeát ñònh trong vieäc naâng cao chaát löôïng hoïc taäp cuûa hoïc sinh.
- Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû laø noäi dung kieán thöùc quan troïng, lyù thuù,
phong phuù, ña daïng vaø khoâng ñôn giaûn ñoái vôùi hoïc sinh THCS. Noäi dung naøy
ñöôïc ñöa vaøo chöông trình toaùn 8, nhöng thaät ra caùc em ñaõ ñöôïc ñeà caäp ñeán töø
tröôùc vôùi daïng baøi toaùn ngöôïc aùp duïng tích chaát phaân phoái cuûa pheùp nhaân ñoái
vôùi pheùp coäng treân caùc taäp hôïp soá. Vôùi löôïng thôøi gian phaân phoái chæ coù 6 tieát töø
tieát 9 ñeán tieát 14 song noäi dung naøy laø cô sôû vaän duïng cho caùc chöông sau vaø lôùp
sau trong caùc phaàn: “ Ruùt goïn phaân thöùc, quy ñoàng maãu soá caùc phaân thöùc, bieán
ñoåi caùc bieåu thöùc höõu tæ, giaûi phöông trình,…”
- Vì vaäy vaán ñeà ñaët ra laø laøm theá naøo ñeå hoïc sinh giaûi baøi toaùn phaân tích ña
thöùc thaønh nhaân töû moät caùch chính xaùc, nhanh choùng vaø ñaït hieäu quaû cao. Ñeå
thöïc hieän toát ñieàu naøy ñoøi hoûi ngöôøi giaùo vieân phaûi xaây döïng cho hoïc sinh
nhöõng kyõ naêng nhö quan saùt, nhaän xeùt, ñaùnh giaù baøi toaùn vaø ñaët bieät laø kyõ naêng
giaûi toaùn, vaän duïng baøi toaùn. Tuyø theo töøng ñoái töôïng hoïc sinh maø giaùo vieân xaây
döïng caùch giaûi cho phuø hôïp treân cô sôû caùc phöông phaùp ñaõ hoïc, ñoàng thôøi phaûi
môû roäng theâm caùc caùch giaûi khaùc nhaèm naâng cao chaát löôïng hoïc taäp boä moân cuûa
hoïc sinh.
II- CÔ SÔÛ THÖÏC TIEÃN:
- Trong quaù trình giaûng daïy vôùi löôïng thôøi gian theo phaân phoái chöông trình
chæ coù 6 tieát töø tuaàn 5 cho ñeán tuaàn 7 neân khi hoïc daïng toaùn naøy ña soá hoïc sinh
coøn raát luùng tuùng trong vieäc aùp duïng phöông phaùp, ñoái vôùi hoïc sinh khaù gioûi coøn
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
7
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
nhieàu vaán ñeà chöa ñöôïc ñeà caäp ñeán. Do ñoù keát quaû qua caùc baøi kieåm tra cuûa hoïc
sinh coøn thaáp, coøn nhieàu hoïc sinh yeáu, keùm, soá löôïng hoïc sinh gioûi thaáp.
- Qua thöïc teá giaûng daïy toâi nhaän thaáy tình traïng cuûa hoïc sinh khi giaûi toaùn
nhö sau:
+ Khi gaëp moät baøi toaùn hoïc sinh khoâng bieát laøm gì? Khoâng bieát ñi theo höôùng
naøo ? Khoâng bieát lieân heä nhöõng gì ñaõ cho trong ñeà baøi vôùi caùc kieán thöùc ñaõ hoïc.
+ Suy luaän keùm, chöa bieát vaän duïng caùc phöông phaùp ñaõ hoïc vaøo töøng daïng
toaùn khaùc nhau.
+ Trình baøy khoâng roõ raøng, thieáu khoa hoïc, loâgic.
- Toâi ñaõ tìm hieåu nguyeân nhaân khaùch quan vaø chuû quan daãn ñeán ña soá hoïc
sinh chöa coù kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû nhö sau :
Ñoái vôùi giaùo vieân :
Trong tieát daïy giaùo vieân thöôøng phoái hôïp nhieàu phöông phaùp ñeã daãn daét hoïc
sinh tìm hieåu kieán thöùc nhöng noäi dung baøi hoïc nhieàu khoâng ñaûm baûo ñöôïc thôøi
löôïng 45 phuùt neân chöa coù ñöôïc phöông phaùp giaûi baøi taäp cuï theå cho töøng loaïi
ñoái töôïng hoïc sinh.
Ñoái vôùi phuï huynh:
Chöa thaät söï quan taâm ñeán vieäc hoïc taäp cuûa con em mình nhö theo doõi, kieåm
tra, ñoân ñoác vieäc hoïc cuûa hoïc sinh. Ña soá phuï huynh thöôøng phoù maëc cho nhaø
tröôøng, khoâng kieåm tra ñöôïc vieäc hoïc ôû nhaø cuõng nhö vieäc chuaån bò baøi tröôùc
khi ñeán lôùp.
Ñoái vôùi hoïc sinh :
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
8
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
+ Hoïc sinh coù yù thöùc hoïc taäp khoâng ñoàng ñeàu, ít taäp trung chuù yù trong giôø
hoïc.
+ Ña soá hoïc sinh yeáu veà kyõ naêng tính toaùn, quan saùt nhaän xeùt, bieán ñoåi vaø
thöïc haønh giaûi toaùn. Nguyeân nhaân laø do maát kieán thöùc caên baûn ôû caùc lôùp döôùi
coäng theâm vieäc khoâng chuû ñoäng trong hoïc taäp ngay töø ñaàu naêm hoïc daãn ñeán
chay löôøi trong hoïc taäp.
+ Caùc em chöa coù phöông phaùp hoïc taäp toát thöôøng hoïc veït, hoïc maùy moùc
thieáu nhaãn naïi khi gaëp baøi toaùn khoù.
+ Khoâng coù thoùi quen töï hoïc ôû nhaø : khoâng laøm baøi, hoïc baøi , soaïn baøi tröôùc
khi ñeán lôùp.
+ Baïn beø loâi keùo, ruû reâ ham chôi.
- Vì vaäy laøm sao ñeå hoïc sinh yeâu thích moân toaùn, laøm sao ñeå hoïc sinh coù kyõ
naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû, laøm sao ñeå khoâng coøn hoïc
sinh yeáu keùm boä moân. Ñeå giaûi quyeát caùc vaán ñeà treân trong quaù trình giaûng daïy
toâi ñaõ ñeà ra nhöõng phöông phaùp cô baûn, phöông phaùp ñaët bieät thoâng qua nhöõng
baøi taäp cuï theå giuùp caùc em hieåu roõ vaø vaän duïng caùc phöông phaùp naøy khi giaûi
baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû nhaèm naâng cao chaát löôïng hoïc taäp cho
hoïc sinh.
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
9
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
III- GIAÛI QUYEÁT VAÁN ÑEÀ:
PHAÀN 1: CAÙC GIAÛI PHAÙP CUÛA ÑEÀ TAØI
- Saép xeáp baøi toaùn theo caùc möùc ñoä, nhöõng daïng toaùn cô baûn.
- Xaây döïng caùc phöông phaùp giaûi cô baûn veà phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû.
1) Ñoái vôùi hoïc sinh yeáu, keùm: Cuûng coá kieán thöùc cô baûn
+ Phöông phaùp ñaët nhaân töû chung
+ Phöông phaùp duøng haèng ñaúng thöùc
+ Phöông phaùp nhoùm nhieàu haïng töû
2) Ñoái vôùi hoïc sinh trung bình: Vaän duïng vaø phaùt trieån kyõ naêng
+ Phoái hôïp nhieàu phöông phaùp ( caùc phöông phaùp treân)
Chöõa caùc sai laàm thöôøng gaëp cuûa hoïc sinh trong giaûi toaùn.
Cuõng coá caùc pheùp bieán ñoåi cô baûn vaø hoaøn thieän caùc kyõ naêng thöïc haønh.
Tìm caùch giaûi hay, khai thaùc baøi toaùn.
3) Ñoái vôùi hoïc sinh khaù, gioûi: Phaùt trieån tö duy
+ Phöông phaùp taùch haïng töû
+ Phöông phaùp theâm bôùt cuøng moät haïng töû
PHAÀN 2: CAÙC PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH ÑA THÖÙC THAØNH NHAÂN TÖÛ
I- Caùc phöông phaùp cô baûn: Cuûng coá kieán thöùc cô baûn
1) Phöông phaùp ñaët nhaân töû chung:
Duøng khi caùc haïng töû cuûa ña thöùc coù nhaân töû chung.
A.B + A.C = A ( B + C).
Caùch laøm:
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
10
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
+ Tìm nhaân töû chung cuûa caùc heä soá (ÖCLN cuûa caùc heä soá).
+ Tìm nhaân töû chung cuûa caùc bieán (laáy vôùi soá muõ nhoû nhaát).
+ Nhieàu khi ñeå laøm xuaát hieän nhaân töû chung ta caàn ñoåi daáu caùc haïng töû.
VD1: Phaân tích ña thöùc 14x2y – 21 xy2 + 28 x2y2 thaønh nhaân töû.
Gv: Tìm nhaân töû chung cuûa caùc heä soá 14, 21, 28 trong caùc haïng töû treân?
Hs: 7 vì ÖCLN (14, 21, 28) = 7.
Gv: Tìm nhaân töû chung cuûa caùc bieán x2y, xy2, x2y2 ?
Hs: xy
Gv: Nhaân töû chung cuûa caùc haïng töû trong ña thöùc ñaõ cho laø gì?
Hs: 7xy
Giaûi:
14x2y – 21 xy2 + 28 x2y2 = 7xy. 2x – 7xy. 3y + 7xy. 4xy
= 7xy. (2x – 3y + 4xy).
VD2: Phaân tích ña thöùc 10x( x – y) – 8y( y – x) thaønh nhaân töû.
Gv: Tìm nhaân töû chung cuûa caùc heä soá 10 vaø 8 ?
Hs: 2
Gv: Tìm nhaân töû chung cuûa x( x – y) vaø y( y – x)?
Hs: ( x – y) hoaëc ( y – x).
Gv: Haõy thöïc hieän ñoåi daáu tích 10x( x – y) hoaëc – 8y( y – x) ñeå coù nhaân töû
chung ( x – y) hoaëc ( y – x)?
Hs: Ñoåi daáu tích 10x( x – y) = - 10x( y – x)
Hoaëc ñoåi daáu tích – 8y( y – x) = 8y( x – y).
Giaûi:
10x( x – y) – 8y( y – x) = 10x( x – y) + 8y( x – y)
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
11
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
= 2( x – y).5x + 2( x – y).4y
= 2( x – y)( 5x + 4y).
VD3: Phaân tích ña thöùc 9x( x – y) – 10( y – x)2 thaønh nhaân töû.
Caùch giaûi sai:
9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2
= ( x – y) [9x + 10( x – y)]
= ( x – y)(19x – 10y).
Sai laàm:
- Thöïc hieän ñoåi daáu sai: 9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2
- Sai laàm laø do ñoåi daáu ba nhaân töû: - 10 vaø ( y – x)2 cuûa tích – 10( y – x)2
Vì – 10( y – x)2 = - 10( y – x)( y –x).
Caùch giaûi ñuùng:
9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) - 10( x - y)2
= ( x – y) [9x - 10( x – y)]
= ( x – y)(10y – x).
Qua caùc ví duï treân giaùo vieân cuûng coá caùc kieán thöùc cô baûn cho hoïc sinh:
- Caùch tìm nhaân töû chung cuûa caùc haïng töû.
- Quy taéc ñoåi daáu vaø caùch ñoåi daáu cuûa caùc nhaân töû trong moät tích.
2) Phöông phaùp duøng haèng ñaúng thöùc:
Duøng khi caùc haïng töû cuûa ña thöùc coù daïng haèng ñaúng thöùc.
* Hoïc sinh caàn naém vöõng 7 haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù sau:
1.( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
2.( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
12
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
3.A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
4.( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
5.( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
6.A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2)
7.A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2)
VD4: Phaân tích ña thöùc ( x + y )2 – ( x – y )2 thaønh nhaân töû.
Gv: Ña thöùc treân coù daïng haèng ñaúng thöùc naøo?
Hs: Coù daïng A2 - B2
Caùch giaûi sai:
( x + y )2 – ( x – y )2 = ( x + y + x – y ) – ( x + y – x – y ) = 2x.0 = 0.
Sai laàm: Thöïc hieän thieáu daáu ngoaëc.
Caùch giaûi ñuùng:
( x + y )2 – ( x – y )2 = [( x + y ) + ( x – y )].[( x + y ) - ( x – y )]
= ( x + y + x – y ).( x + y – x + y )
= 2x.2y = 4xy.
Khai thaùc baøi toaùn: Ñoái vôùi hoïc sinh khaù gioûi giaùo vieân coù theå cho baøi taäp
döôùi daïng phöùc taïp hôn.
+ Phaân tích ña thöùc ( x + y )3 – ( x – y )3 thaønh nhaân töû.
+ Phaân tích ña thöùc a6 – b6 thaønh nhaân töû.
VD5: Phaân tích ña thöùc a6 – b6 thaønh nhaân töû.
Giaûi:
a6 – b6 = ( a3 )2 – ( b3 )2
= ( a3 + b3 ) ( a3 - b3 )
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
13
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
= ( a + b )( a2 + ab + b2 )( a – b )( a2 - ab + b2 ).
Qua caùc ví duï treân giaùo vieân cuûng coá caùc kieán thöùc cô baûn cho hoïc sinh:
- Quy taéc daáu ngoaëc.
- Kyõ naêng nhaän daïng haèng ñaúng thöùc qua baøi toaùn döïa vaøo caùc haïng töû, soá
muõ cuûa caùc haïng töû ñeå söû duïng haèng ñaúng thöùc thích hôïp, chính xaùc.
3) Phöông phaùp nhoùm nhieàu haïng töû:
Keát hôïp nhieàu haïng töû thích hôïp cuûa ña thöùc khi ña thöùc chöa coù nhaân töû
chung hoaëc chöa aùp duïng ñöôïc haèng ñaúng thöùc.
Caùch laøm:
+ Phaùt hieän nhaân töû chung hoaëc haèng ñaúng thöùc ôû töøng nhoùm.
+ Nhoùm ñeå aùp duïng phöông phaùp ñaët nhaân töû chung hoaëc haèng ñaúng thöùc.
+ Ñaët nhaân töû chung cho toaøn ña thöùc.
VD6: Phaân tích ña thöùc x2 – xy + x – y thaønh nhaân töû.
Caùch 1: ( x2 – xy ) + ( x – y )
Caùch 2: ( x2 + x ) - ( xy + y )
Caùch giaûi sai:
x2 – xy + x – y = ( x2 – xy ) + ( x – y )
= x( x – y ) + ( x – y )
= ( x – y )( x + 0)
Sai laàm: Boû soùt haïng töû sau khi ñaët nhaân töû chung.
Caùch giaûi ñuùng:
x2 – xy + x – y = ( x2 – xy ) + ( x – y )
= x( x – y ) + 1.( x – y )
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
14
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
= ( x – y )( x + 1)
VD7: Phaân tích ña thöùc x2 – 2x + 1 – 4y2 thaønh nhaân töû.
Giaûi:
x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – ( 2y )2
= ( x – 1 )2 – ( 2y )2
= ( x – 1 + 2y ) ( x – 1 – 2y )
VD8: Phaân tích ña thöùc x2 – 2x – 4y2 – 4y thaønh nhaân töû.
Caùch giaûi sai:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x – 4y)
= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x – 2y )
= ( x – 2y )( x + 2y – 2 )
Sai laàm: Ñaët daáu sai khi nhoùm haïng töû ôû nhoùm thöù hai.
Caùch giaûi ñuùng:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x + 4y)
= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x + 2y )
= ( x + 2y )( x – 2y – 2 )
Qua caùc ví duï treân giaùo vieân cuûng coá caùc kieán thöùc cô baûn cho hoïc sinh:
- Löïa choïn caùc haïng töû thích hôïp ñeå nhoùm haïng töû.
- Kieåm tra laïi caùch ñaët daáu khi thöïc hieän nhoùm caùc haïng töû cuûa ña thöùc.
II- Phoái hôïp caùc phöông phaùp cô baûn: Vaän duïng vaø phaùt trieån kyõ naêng
Laø söï keát hôïp nhuaàn nhuyeãn caùc phöông phaùp cô baûn:
+ Phöông phaùp ñaët nhaân töû chung
+ Phöông phaùp duøng haèng ñaúng thöùc
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
15
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
+ Phöông phaùp nhoùm nhieàu haïng töû
VD9: Phaân tích ña thöùc x4 – 9x3 + x2 – 9x thaønh nhaân töû.
Gv: Xeùt töøng phöông phaùp
Hs: Thöôøng maéc sai laàm laø giaûi chöa hoaøn chænh nhö sau:
° x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9 )
° x4 – 9x3 + x2 – 9x = ( x4 – 9x3 ) + ( x2 – 9x)
= x3( x – 9 ) + x( x – 9 )
= ( x – 9 )( x3 + x )
Caùch giaûi ñuùng:
x4 – 9x3 + x2 – 9x = x( x3 – 9x2 + x – 9 )
= x[(x3 – 9x2 ) + ( x – 9 )]
= x[x2( x – 9 ) + 1. ( x – 9 )]
= x( x – 9 )(x2 + 1)
VD10: Phaân tích ña thöùc A = ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3 thaønh nhaân töû.
Gôïi yù: Aùp duïng haèng ñaúng thöùc:
( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
= A3+ B3 + 3AB( A + B)
A3+ B3 = ( A + B )3 – 3AB( A + B)
Giaûi:
A = ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3
= [( x + y ) + z]3 – x3 – y3 – z3
= ( x + y )3 + z3 + 3z( x + y )( x + y + z ) – x3 – y3 – z3
= [( x + y )3 – x3 – y3 ] + 3z( x + y )( x + y + z )
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
16
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
= 3xy( x + y ) + 3( x + y)( xz + yz + z2 )
= 3( x + y )( xy + xz + yz + z2 )
= 3( x + y )( y + z )( x + z )
Khai thaùc baøi toaùn:
1) Chöùng minh raèng A chia heát cho 6 vôùi moïi x, y, z nguyeân.
2) Cho x + y + z = 0. Chöùng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz
Höôùng daãn:
x3 + y3 = ( x + y )3 – 3xy( x + y )
x+y+z=0 x+y=-z
III- Caùc phöông phaùp ñaëc bieät: Phaùt trieån tö duy
1)Phöông phaùp taùch haïng töû:
Söû duïng cho caùc baøi taäp khoâng theå aùp duïng ngay ñöôïc ba phöông phaùp cô
baûn ñaõ hoïc ñeå giaûi.
Caùch laøm:
Taùch moät haïng töû thaønh nhieàu haïng töû khaùc moät caùch thích hôïp roài aùp duïng
caùc phöông phaùp cô baûn ñeå giaûi.
VD11: Phaân tích ña thöùc f(x) = 3x2 – 8x + 4 thaønh nhaân töû.
Gôïi yù: Coù nhieàu caùch phaân tích.
Giaûi:
- Caùch 1: Taùch haïng töû 3x2
f(x) = 3x2 – 8x + 4
= 4x2 – 8x + 4 – x2
= ( 2x – 2 )2 – x2
= ( 2x – 2 + x )( 2x – 2 – x )
= ( 3x – 2 )( x – 2 )
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
17
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
- Caùch 2: Taùch haïng töû - 8x
f(x) = 3x2 – 8x + 4
= 3x2 – 6x – 2x + 4
= 3x( x – 2 ) – 2( x – 2 )
= ( x – 2 )( 3x – 2 )
- Caùch 3: Taùch haïng töû 4
f(x) = 3x2 – 8x + 4
= 3x2 – 12 – 8x + 16
= 3( x2 – 22 ) – 8( x – 2 )
= 3( x + 2 )( x – 2 ) – 8( x – 2 )
= ( x – 2 )( 3x + 6 – 8 )
= ( x – 2 )( 3x – 2 )
* Nhaän xeùt:
- Caùch 1: Taùch haïng töû 3x 2 laøm xuaát hieän haèng ñaúng thöùc hieäu cuûa hai bình
phöông.
- Caùch 2: Taùch haïng töû - 8x laøm xuaát hieän caùc heä soá ôû moãi haïng töû tyû leä
vôùi nhau töø ñoù xuaát hieän nhaân töû chung ( x – 2 ).
- Caùch 3: Taùch haïng töû 4 laøm xuaát hieän haèng ñaúng thöùc vaø nhaân töû chung.
Nhö vaäy, vieäc taùch haïng töû thaønh nhieàu haïng töû khaùc nhaèm laøm xuaát hieän
caùc phöông phaùp ñaõ hoïc nhö ñaët nhaân töû chung, duøng haèng ñaúng thöùc, nhoùm
nhieàu haïng töû laø khaâu quan troïng vaø caàn thieát ñoái voái hoïc sinh trong vieäc giaûi
baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû.
Khai thaùc caùch giaûi: Taùch haïng töû - 8x
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
18
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
Trong ña thöùc 3x2 – 6x – 2x + 4 coù caùc heä soá ôû caùc soá haïng laø: 3, -6, -2, 4 tæ
6
4
leä vôùi nhau 3 2 hay (-6).(-2) = 3.4 vaø (-6) + (-2) = -8
f(x) = 3x2 – 8x + 4
Ñaët a = 3, b = -8, c = 4 vaø phaân tích a.c = b1.b2 ( b = b1 + b2 )
Ta coù: a.c = b1.b2 = 3.4 = (-6).(-2) = 12; b1 + b2 = (-6) + (-2) = -8.
Toång quaùt:
+ Tìm tích ac.
+ Phaân tích ac thaønh tích hai soá nguyeân.
+ Choïn hai thöøa soá coù toång baèng b.
VD12: Phaân tích ña thöùc f(x) = - 6x2 + 7x – 2 thaønh nhaân töû.
Ñaët a = -6, b = 7, c = -2
+ a.c = (-6).(-2) = 12;
+ a.c = 3.4 = (-3).(-4) = (-6).(-2) = 6.2 = 12.1 = (-12).(-1) ;
+b=7=3+4
Giaûi:
f(x) = - 6x2 + 7x – 2
= (- 6x2 + 4x ) + ( 3x – 2 )
= -2x( 3x – 2 ) + ( 3x – 2 )
= ( 3x – 2 )( -2x + 1 )
* Löu yù:
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
19
Giaûi phaùp reøn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
Ñoái vôùi ña thöùc töø baäc ba trôû leân ñeå laøm xuaát hieän caùc heä soá tæ leä, tuyø theo
ñaëc ñieåm cuûa caùc heä soá maø vaän duïng caùch taùch haïng töû cho phuø hôïp nhaèm vaän
duïng ñöôïc caùc phöông phaùp phaân tích cô baûn ñaõ hoïc.
VD13: Phaân tích ña thöùc f(x) = x4 – 30x2 + 31x – 30 thaønh nhaân töû.
Gôïi yù:
Taùch nhö sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30
Giaûi:
f(x) = x4 – 30x2 + 31x – 30
= x4 + x – 30x2 + 30x – 30
= x( x3 + 1 ) – 30( x2 – x + 1 )
= x( x + 1 )( x2 – x + 1 ) – 30( x2 – x + 1 )
= ( x2 – x + 1 )( x2 + x – 30 )
= ( x2 – x + 1 )( x – 5 )( x + 6 ).
2)Phöông phaùp theâm, bôùt cuøng moät haïng töû:
Söû duïng cho caùc baøi taäp khoâng theå aùp duïng ngay ñöôïc ba phöông phaùp cô
baûn ñaõ hoïc ñeå giaûi.
Caùch laøm:
Phaûi theâm bôùt cuøng moät haïng töû naøo ñoù ñeå ña thöùc chuyeån veà daïng hieäu
hai bình phöông hoaëc aùp duïng phöông phaùp nhoùm.
VD14: Phaân tích ña thöùc f(x) = x4 + 4 thaønh nhaân töû.
Giaûi:
f(x) = x4 + 4
= x4 + 4x2 + 4 – 4x2
Ngöôøi thöïc hieän: Leâ Truùc Linh
20
- Xem thêm -
.DOC 
31 
107 
67 
