A. SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: ĐẶNG THỊ HỒNG VÂN.
2. Ngày tháng năm sinh: 01 - 05 - 1978.
3. Giới tính: Nữ.
4. Địa chỉ: 1/4, Tổ 24, Kp 4, P. Bửu Long, Tp Biên Hòa.
5. Điện thoại: 0613 951729.
6. Chức vụ: Giáo viên.
7. Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
1. Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học.
2. Năm nhận bằng: 2000.
3. Chuyên ngành đào tạo: Toán học.
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
1. Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy toán.
2. Số năm kinh nghiệm: 11 năm.
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Trang 2
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
II. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM:
I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH; gọi BH, CH lần lượt là hình
chiếu của AB và AC trên cạnh huyền BC, đặt AB = c, AC = b, BC = a, AH = h,
CH = b, BH = c. Ta có các hệ thức sau:
a 2 b2 c 2
b 2 b ' .a ; c 2 c ' .a
b.c = a.h
h2 b ' c '
1
1 1
5. 2 2 2
h
b c
1.
2.
3.
4.
6. sin B
A
c
b
c
b
c
; cos B ; tan B ; cot B
a
a
c
b
c
a
7. sin C ; cos C
B
b
h
c’
b’
H
C
a
b
c
b
; tan C ; cot C
a
b
c
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a và AC = b
1. Định lý côsin:
B
a b c 2bc.cos A
b 2 a 2 c 2 2ac.cos B
c 2 a 2 b 2 2ab.cos C
2
2
2
c
A
a
b
2. Định lý sin:
a
b
c
2 R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC)
sin A sin B sin C
Trang 3
C
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
3. Công thức tính độ dài đường trung tuyến:
Cho tam giác ABC, gọi ma , mb , mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến
ứng với các cạnh a, b, c. Ta có:
2
2
2
2 b c a
ma
2
4
a 2 c 2 b2
2
4
2
2
a b
c2
2
mc
2
4
m2
b
4. Công thức tính diện tích:
S
1
1
1
a.ha b.h c.hc
b
2
2
2
1
1
1
S ab sin C ac sin B bc sin A
2
2
2
S
abc
( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác )
4R
S pr ( với p
abc
; r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác )
2
S p( p a)( p b)( p c) (công thức Hê rông)
Trang 4
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
B. BÀI TẬP
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, hai trung tuyến AM = 2 và BN = 3. Tính
các cạnh của tam giác ABC .
Giải
A
Vì ABC vuông tại A, nên:
BC = 2AM = 4
Ta có: BN2 = AB2 + AN2
N
1
AC 2
4
� 36 = 4AB2 + AC 2 (1)
�
9 = AB2 +
B
C
M
Mặt khác: BC2 = AB2 + AC2
�
16 = AB2 + AC2 (2)
Từ (1)và (2), ta được: AB =
20
và AC =
3
28
3
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC,
CA, AB và EM là đường cao của tam giác EBC. Chứng minh rằng:
a) BE 2 CF 2 5 AD 2
b) MB 2 MC 2 AB 2
Giải
a) BE 2 CF 2 = AB 2 AE 2 AC 2 AF 2
1
4
1
4
= AB 2 AC 2 AC 2 AB 2
=
=
b) MB 2 MC 2 =
=
=
5
( AB 2 AC 2 )
4
5
BC 2 = 5AD 2 (đpcm)
4
BE 2 EM 2 EC 2 EM 2
BE 2 EC 2
BE 2 AE 2 = AB 2 (đpcm)
Trang 5
B
F
A
D M
E
C
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 3: Cho hình thang ABCD với đường cao AB. Biết rằng AD = 3a, BC = 4a,
� 900 . Tính AB, CD và AC.
BDC
Giải
Vẽ DH BC ( H BC)
Ta có ADHB là hình chữ nhật, nên:
BH = AD = 3a
�
�
AB = DH
�
A
D
BCD vuông tại D, nên:
DH 2 HB.HC HB BC BH
B
H
C
2
= 3a 4a 3a 3a
DH = a 3 AB = DH = a 3
Ta lại có: CD 2 CH .CB a.4a 4a 2 CD = 2a
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC, ta có:
AC = AB 2 BC 2 3a 2 16a 2 a 19
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ các đường cao AH, BK. Chứng minh
1
1
1
rằng:
2
2
BK
BC
4 AH 2
Giải
Trong tam giác vuông AHC, dựng đường cao HI
Tam giác vuông BKC có:
�HI // BK
1
HI = BK (1)
�
2
�HB HC
1
1
1
Ta lại có:
(2)
2
2
HI
AH
HC 2
( HI là đường cao của tam giác vuông AHC)
1
1
1
Từ (1) và (2) BK 2 AH 2 BC 2
B
4
4
1
1
1
2
2
BK
BC
4 AH 2
Trang 6
A
K
I
H
C
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 5: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ vuông tại A và A’ và đồng dạnh với
nhau. Chứng minh rằng:
a) aa ' bb ' cc '
1
1
1
b)
hh ' bb ' cc '
Giải
a) Do ABC A’B’C’, nên:
c c'
sin =
a a'
b b'
cos =
a a'
2
2
cc ' bb ' aa ' sin cos aa '
C
h
Vậy: aa ' bb ' cc '
b) Do ABC A’B’C’, nên:
h h'
sin =
b b'
h h'
cos =
c c'
1
1 sin 2 cos 2
1
bb ' cc '
hh '
hh '
hh '
1
1
1
Vậy:
hh ' bb ' cc '
Trang 7
A
H
B
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BD là đường phân giác trong của góc
B̂ (D � AC). Tính chu vi của tam giác trong mỗi trường hợp sau:
a) AD = 4, DC = 5
b) AD = 1, BD = 10
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A , có
AB 2
, đường cao AH = 6. Tính
AC 3
HB, AB và AC.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có chu vi bằng 36. Tiếp điểm của đường
tròn nội tiếp tam giác với cạnh huyền chia cạnh huyền làm hai đoạn theo tỉ số
2
.
3
Tính độ dài các cạnh.
Bài 4: Một tam giác vuông nội tiếp đường tròn đường kính 37 và ngoại tiếp
đường tròn đường kính 10. Tính các cạnh của tam giác này.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác trong của góc A chia
15
20
cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài bằng
và
. Tính các cạnh góc
7
7
vuông và đường cao AH .
Bài 6: Cho hình vuông ABCD, từ A kẻ đường bất kỳ cắt BC và CD lần lượt tại E
và F. Chứng minh rằng:
1
1
1
2
2
AE
AF
AB 2
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là một điểm trên cạnh huyền BC.
Chứng minh rằng: MB 2 MC 2 2 MA2 .
Bài 8: Cho tam giác ABC, có A, B, C là các góc nhọn. Gọi AA’là đường cao hạ
từ A, H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC..
AA '
a) Chứng minh: tanB. tanC =
HA '
�
b) Chứng minh: HG // BC
tanB.tanC = 3
Trang 8
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC = a và Â =
a) Tính BC theo a và .
b) Gọi r là bán kínnh đường tròn nội tiếp ABC . CM:
r
a.sin
2(1 sin )
2
Giải
a) BC 2 AB 2 AC 2 2 AB. AC.cos A
= a 2 a 2 2a 2 c os
= 2a 2 (1 cos )
b) Ta có: BC = 2BH = 2a sin
A
2
Diện tích ABC là S =
1 2
a .sin
2
Mặt khác: S = p.r
S
Do đó: r =
=
p
B
1 2
a .sin
2
a a 2a.sin
C
H
2
1 2
a.sin
a .sin
2
=
= 2(1 sin ) (đpcm)
2a (1 sin )
2
2
� 600 . Từ điểm M trong góc xOy
� , ta dựng MA Ox và
Bài 2: Cho góc xOy
MB Oy. Biết AB = 5. Tính OM.
Giải
Vì MA Ox và MB Oy
Nên tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn đường kính OM
Do đó OAB nội tiếp đường tròn đường kính OM
Áp dụng định lý sin cho OAB, ta có:
5
10
OM
AB
OM �
3
3
sin 600
2
y
A
M
O
Trang 9
600
5
B
x
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng:
AC 2 BD 2 2 AD 2 AB 2
Giải
Áp dụng định lý côsin cho ACD, ta có:
AC 2 DA2 DC 2 2 DA.DC .cos D
Áp dụng định lý côsin cho BC, ta có:
BD 2 AB 2 AD 2 2 AB. AD.cos A
= DC 2 AD 2 2 DC . AD.cos D
( vì AB = DC và cosD = -cosA )
A
D
B
C
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, cho AB = c, AC = b; r là bán kính đường
tròn nội tiếp tam giác ABC và la là độ dài đường phân giác trong của góc A.
2bc
a) Chứng minh rằng: la
bc
1
b) Chứng minh rằng: r �
�b c b 2 c 2 �
�
2
� 600 . Chứng minh rằng:
c) Gọi M là điểm trên cạnh BC thỏa BAM
2bc
AM
.
b 3c
Giải
a) Ta có: S ABC S ABD S ACD
B
1
1
1
b.c AB. AD.sin 450 AC. AD.sin 450
2
2
2
D
M
1
1
l
a
b.la .
b.c c.la .
2
2
1
A
c b la
b.c
2
2bc
la
(đpcm)
b c
2
2
abc
.r 1 bc b c b c .r
2
2
2
bc �
b c b2 c2 �
bc
�
�
=
2
2
2
b2 c 2 b c
b c b c
b) Ta có: S ABC
r
bc �
b c b2 c2 � 1
�
� �b c b 2 c 2 �
=
�
2bc
2�
Trang 10
C
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
c) Ta có: S ABC S ABM S ACM
1
1
1
b.c AB. AM .sin 600 AC. AM .sin 30 0
2
2
2
3
1
b.c c. AM .
b. AM .
2
2
2b.c
AM
3.c b AM
2bc
(đpcm)
b 3c
Bài 5: Cho tam giác ABC có a = 4, b = 3, c = 2. Gọi M là trung điểm của AB.
Tính bán kính x của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM.
Giải
Xét tam giác ABC, ta có:
A
9 16 4 23
b2 a 2 c 2
CM 2
=
2
4 2
2
4
23
46
CM =
2
2
a 2 c 2 b 2 16 4 9 11
2ac
16
16
121
sin B 1 cos 2 B 1
256
Mặt khác cos B
=
M
B
135 3 15
256
16
Áp dụng định lý sin cho tam giác BCM, ta có:
46
CM
4 46
CM
2
.
2x x
2sin B
3 15 3 15
sin B
2.
16
Bài 6: Ba cạnh của một tam giác có số đo là : x 2 x 1 ; 2x + 1; x 2 1
a) Tìm x để tồn tại tam giác như trên
b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc là 1200.
Trang 11
C
O
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Giải
a) Để tồn tại tam giác thỏa yêu cầu bài toán, điều kiện là:
1
�
x
2x 1 0
�
�
2
�2
�
x
1
0
�
�x 1 hay x 1
�2
�
2
�x 1
x>1
�x 3 x 2 x 1
�
�
1
2x2 x 2 x 1
�
�x hay x 1
2
2
2
�
�
�x 2 x x x 1
�
�x 1
Vậy: Khi x = 1 thì tồn tại tam giác thỏa yêu cầu bài toán.
b) Đặt a = x 2 x 1
b = x2 1
c = 2x + 1
2
2
b 2 c 2 a 2 x 1 2 x 1 x x 1
Ta có: cosA =
2b.c
2 x 2 1 . 2 x 1
2
2
2
2 x 3 x 2 2 x 1
2 x 1 1 x 2
1
=
=
2
2
2 x 1 . 2 x 1
2
2 2 x 1 x 1
 = 1200.
Bài 7: Cho tam giác ABC có cạnh a = 9, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh BC
2
tại D sao cho AD = DC, cosC = .
3
a) Đặt AD = x. Tính b, c theo x.
b) Suy ra giá trị của b và c.
A
Giải
a) Đường tròn tâm O nội tiếp ABC và tiếp xúc
với cạnh BC tại D, nên:
x=
abc
-c
2
x
H
O
b – c = 2x – a
B
x
D
b – c = 2x – 9 (1)
Vì AD = CD, nên ADC cân tại D
Mà DH là đường trung tuyến (H là trung điểm của AC) DH AC
Trang 12
C
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Tam giác CDH vuông tại H, có:
CH
b
b 2
4
b = x (2)
cosC =
CD 2.x
2.x 3
3
Thay (2) vào (1), ta được c = 9 -
2
x
3
b) Áp dụng định lý côsin cho ABC, ta có:
c 2 a 2 b 2 2a.b.cos C
2
16 2
4 2
� 2 �
9 x � 81
x 2.9. x.
�
9
3 3
� 3 �
4
16 2
x 16 x
81 12 x x 2 81
9
9
x0
�
12 x 2 36 x 0 �
x3
�
Vậy: b = 4 và c = 7.
Bài 8: CMR với mọi tam giác có ba cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2 b 2 �c 2 ,
ta luôn có : 0, 4
r
0,5 trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp, h là dộ dài
h
đường cao hạ xuống cạnh c.
Giải
1
1
(a b c).r c.h
2
2
r
c
�
h abc
r
c
c
0,5 (1)
Vì a + b > c, nên
<
h abc cc
�
c 2 �a 2 b 2
�
Mặt khác: � 2
a b 2 �2ab
�
� 2c 2 �2a 2 2b 2 �a 2 b 2 2ab
� 2c 2 �a 2 b 2 2ab
� 2c 2 �( a b) 2
Diện tích của tam giác: S =
�
c 2 �a b
c
1
r
c
�
2 1 0, 4 (2)
Do đó:
2 1
h abc c 2 c
r
Từ (1) và (2) suy ra : 0, 4 0,5
h
Trang 13
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 9: Chứng minh công thức Hê rông S
p( p a)( p b)( p c ) trong đó S là
abc
diện tích , a, b, c là ba cạnh của tam giác và p
.
2
Giải
abc
bca
Ta có p
p–a =
2
2
acb
p–b =
2
abc
p–c =
2
a bc bc a a c b a bc
Do đó: p(p – a)(p – b)(p – c) =
.
.
.
2
2
2
2
1
b c a . b c a . a c b . a c b
=
16
2
2
1 �
�
a2 c b �
�b c a 2 �
=
.
��
�
16
1 2 2
b c a 2 2bc . a 2 b 2 c 2 2bc
=
16
1
2bc.cos A 2bc 2bc.cos A 2bc
=
16
1
2bc 1 cos A 2bc 1 cos A
=
16
2
1 2 2
1
2
�
�
b .c 1 cos A = � b.c.sin A � = S2
=
4
�2
�
Vậy: S p( p a)( p b)( p c)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính các góc của tam giác ABC biết:
a) a 2 3 ; b = 3 2 ; c = 3 3
b) a 6 ; b = 2 6 ; c = 3 2 6
Bài 2: Cho tam giác ABC có cạnh a = 6, b = 7, c = 8. Chỉ áp dụng định lý côsin
một lần, chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn.
Bài 3: Cho tam giác ABC . Tính độ dài AC, biết:
a) Bˆ 1200 , AB = 6, BC = 10.
b) Â = 600 , AB = 8, BC = 13.
Trang 14
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 4: Cho tam giác ABC, biết  = 120 0 , cạnh BC = 13 và AB + AC = 15. Tính
AB và AC.
Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a, O là giao điểm của AC và BD, M là trung
điểm của AB. Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác OMC.
Bài 6: Tính góc  của tam giác ABC, biết ba cạnh của nó thỏa:
a) b(b 2 a 2 ) c( a 2 c 2 )
b3 c 3 a 3
a2
b)
bca
Bài 7: Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần
� 600 . Tính các cạnh của tam giác.
lượt tại M, D, N. Biết AN = 2, CN = 3, C
Bài 8: Gọi B là điểm cố định nằm trong (O,R). Hai dây AB và CD di động luôn
qua P và vuông góc với nhau.
a) CMR: AC2 + BD2 = const
b) CMR: PA2 + PB2 +PC2 + PD2 = const
c) Gọi I là trung điểm của AC, chứng minh OI =
1
BD
2
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A , hai cạnh góc vuông là b và c. M là một
b.c
� . CMR: AM
điểm trên cạnh BC sao cho BAM
b.cos c.sin
Bài 10: Cho tam giác ABC có Bˆ 600 , R = 2, I là tâm đường tròn nội tiếp. Tính
bán kính x của đường tròn ngoại tiếp ACI.
1
3
1
4
1
5
Bài 11: Cho tam giác ABC có các đường cao ha , hb , hc . Tính diện
tích tam giác ABC.
Bài 12: Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c và trung tuyến AM =
c
. Chứng
a
minh rằng:
a) 2b 2 a 2 c 2
b) sin 2 A 2sin 2 B sin 2 C
Bài 13: Cho tứ giác lồi ABCD, gọi là góc tạo bởi hai đường chéo AC và BD.
1
a) Chứng minh diện tích của tứ giác ABCD là S = AC.BD.sin.
2
b) Nêu kết quả trong trường hợp AC và BD vuông góc nhau.
Trang 15
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 14: Chứng minh trong tam giác ABC, ta có:
a 2 b2 c 2
.R
a) cot A cot B cot C
abc
2
2
b) b c a b cos C c cos B
2
2
c) b c cos A a c cos C b cos B
d) sin C sin A.cos B sin B.cos A
Bài 15: Gọi a, b, c lần lượt là độ dài của ba cạnh của tam giác ABC. Tam giác
ABC là tam giác gì nếu:
a) a cos B b cos A
sin A
2cos C
b)
sin B
�b3 c3 a 3
a2
�
c) � b c a
�
a 2b cos C
�
Bài 16: Gọi S là diện tích tam giác. Chứng minh
a) S 2 R 2 sin A.sin B.sin C
1 cos C
2
b) c 2 a b 4 S .
sin C
c) S R.r sin A sin B sin C
A
d) S p ( p a ).tan
2
Bài 17: Cho tam giác ABC có cosA =
5
. Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho
9
�
� , DA = 6, BD = 16 . Tính chu vi tam giác ABC.
ABC DAC
3
Bài 18: Cho tam giác ABC có độ đài ba cạnh a, b, c; p là nửa chu vi, r là bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác đó. Chứng minh:
1
1
1
1
�2
2
2
2
p a p b p c r
Bài 19: Chứng minh rằng, nếu tam giác ABC thỏa hệ thức: ha hb hc 9r thì
tam giác ABC là tam giác đều (trong đó ha , hb , hc là các đường cao kẻ từ A, B, C
và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC).
Trang 16
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
SỬ DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ
THỨC GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
Bài 1: Cho tam giác ABC . CMR: a.cosA + b.cosB + c.cosC = 4R.sinA.sinB.sinC
Giải
VT = 2RsinA.cosA + 2RsinB.cosB + 2R.sinC.cosC
= R(sin2A + sin2B + 2sinC.cosC)
= R(2sin(A +B).cos(A – B) + 2sinC.cosC)
= R(2sinC.cos(A – B) + 2sinC.cosC)
= 2RsinC[cos(A – B) - cos(A + B)]
= -4RsinC.sinA.sin(-B)
= 4RsinC.sinA.sinB
Bài 2: Cho tam giác ABC . CMR: (a - b)cot
C
A
B
+ (b - c)cot + (c - a)cot = 0
2
2
2
Giải
Áp dụng định lý sin, ta có:
(a - b)cot
C
C
= 2R(sinA - sinB)cot
2
2
C
A B
A B
2
= 4Rcos
. sin
.
C
2
2
sin
2
A B
sin
C
A B
2
= 4Rsin . sin
.
C
2
2
sin
2
A B
A B
= 4R.sin
. sin
2
2
cos
= 2R(cosB – cosA) (1)
A
= 2R(cosC – cosB) (2)
2
B
(c - a)cot = 2R(cosA – cosC) (3)
2
CM tương tự: (b - c)cot
Từ (1), (2), (3) ta suy ra:
(a - b)cot
C
A
B
+ (b - c)cot + (c - a)cot
2
2
2
= 2R(cosB – cosA + cosC – cosB + cosA – cosC) = 0 (đpcm)
Trang 17
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho ABC. CMR: b 2 sin 2C + c2 sin 2 B 2bc.sin( B C )
Bài 2: Cho ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh tại A' , B ' , C ' . CMR:
'
a) a (b c a )sin
A
2
a' b'
B� C
� A
2�
sin sin �
.sin
a b
2� 2
� 2
S'
A
B
C
2sin .sin .sin với S, S’ là diện tích ABC và A’B’C’ .
c)
S
2
2
2
b)
� 2B
� 4A
�
Bài 3: Cho ABC, có: C
�, C
�, A
� .
a) Tính B
b) Chứng minh:
1 1 1
.
a b c
Bài 4: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a) b cos B c cos C a cos B C
b) S 2 R 2 sin A.sin B.sin C
c) 2S R a cos A b cos B c cos C
A
B
C
d) r 4 R sin .sin .sin
2
2
2
-------------------------------
Trang 18
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
LỊCH SỬ CỦA HERON
( Thế kỷ I - II sau công nguyên)
Heron là nhà toán học và vật lý vùng Alexandria, không biết ngày
sinh và ngày mất. Các công trình của ông về các chủ đề về toán học và vật
lý học thì quá phong phú về nội dung cũng như nhiều về số lượng tới mức
mà người ta thường xem ông là một tác gia bách khoa trong lĩnh vực này.
Có những lý do giả định rằng ông là một người Ai Cập được huấn luyện
theo kiểu Hy Lạp. Trong mọi luận văn của ông thường nhắm đến tính hữu
dụng thực tiễn hơn là tính hoàn chỉnh về lý thuyết, điều đó cho thấy có sự
pha trộn giữa Hy Lạp và phương Đông. Ông quan tâm đến việc xây dựng
một nền móng khoa học cho kỹ thuật và cho trắc địa.
Các công trình của Heron có thể chia thành hai lớp : hình học ( công
trình Metrica) và cơ học. Các công trình về hình học nói đến các vấn đề đo
lường còn các công trình về cơ học thì mô tả các thiết bị cơ học rất khéo léo
(công trình Pneumatica, Dioptra và Catotrica).
Công trình quan trọng nhất của Heron là "Metrica" về hình học gồm
ba quyển và được tìm thấy ở Constantinple bởi R. Schone vào năm 1896.
Quyển I nói về việc đo diện tích của hình vuông, hình chữ nhật, hình tam
giác, hình thang, các tứ giác đặc biệt khác nhau, các đa giác đều , vòng tròn
và các cung tròn, ellip, diện tích các hình trụ, hình nón, hình cầu và đới cầu
Trong tác phẩm này, Heron đã rút ra được một công thức nổi tiếng để tính
diện tích một tam giác theo ba cạnh S = p p a p b p c trong đó
p=
abc
. Heron còn đưa ra cách tính xấp xỉ về căn bậc hai của một số
2
nguyên không chính phương. Quyển II của Metrica nói về cách tính thể tích
các hình nón, trụ, hình hộp, hình lăng trụ, hình chóp, hình nón cụt, hình cầu,
các đới cầu. Quyển III nói về cách chia một số diện tích và thể tích các
thành phần theo các tỉ số cho trước.
Trang 19
- Xem thêm -