Tài liệu SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

TÀI LIỆU THPT HAY Chuyªn ®Ò: Ph-¬ng ph¸p gi¶i ph-¬ng tr×nh vµ hÖ ph-¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc A/ §Æt vÊn ®Ò: Trong qu¸ tr×nh häc To¸n, c¸c em häc sinh cã thÓ gÆp c¸c bµi to¸n mµ ®Çu ®Ò cã vÎ l¹, kh«ng b×nh th-êng, nh÷ng bµi to¸n kh«ng thÓ gi¶i trùc tiÕp b»ng c¸c quy t¾c, c¸c ph-¬ng ph¸p quen thuéc. Nh÷ng bµi to¸n nh­ vËy th­êng ®­îc gäi lµ “kh«ng mÉu mùc”, cã t¸c dông kh«ng nhá trong viÖc rÌn luyÖn t- duy To¸n häc vµ th-êng lµ sù thö th¸ch ®èi víi häc sinh trong c¸c kú thi HSG, thi vµo cÊp 3, c¸c líp chuyªn to¸n,… Tuy nhiªn quen thuéc hay “kh«ng mÉu mùc”, phô thuéc vµo tr×nh ®é cña ng­êi gi¶i To¸n. T«i xin ®-a ra mét sè ph-¬ng ph¸p gi¶i mét sè ph-¬ng tr×nh vµ hÖ ph-¬ng tr×nh “kh«ng mÉu mùc”, víi ph-¬ng ph¸p nµy t«i ®· gióp ®ì c¸c em häc sinh luyÖn tËp vµ lµm quen víi ph-¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh “kh«ng mÉu mùc” ®Ó tõ ®ã biÕt c¸ch tduy suy nghÜ tr­íc nh÷ng ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh “kh«ng mÉu mùc” kh¸c. B. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò I. PhÇn I: Ph-¬ng tr×nh. 1. Ph-¬ng tr×nh mét Èn: Víi ph-¬ng tr×nh mét Èn cã 4 ph-¬ng ph¸p th-êng vËn dông lµ: §-a vÒ ph-¬ng tr×nh tÝch, ¸p dông c¸c bÊt ®¼ng thøc chøng minh nghiÖm duy nhÊt vµ ®-a vÒ hÖ ph-¬ng tr×nh. a. Ph-¬ng ph¸p ®-a vÒ ph-¬ng tr×nh tÝch. * C¸c b-íc: - T×m tËp x¸c ®Þnh cña ph-¬ng tr×nh. - Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè, ®-a ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x).g(x)….h(x) = 0 (gäi lµ ph-¬ng tr×nh tÝch). Tõ ®ã suy ra f(x) = 0; g(x) = 0; … h(x) = 0 lµ nh÷ng ph-¬ng tr×nh quen thuéc. NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ tËp hîp c¸c nghiÖm cña c¸c ph-¬ng tr×nh f(x) = 0, g(x) = 0, … h(x) = 0 thuéc tËp x¸c ®Þnh. - §«i khi dïng Èn phô thay thÕ cho mét biÓu thøc chøa ©n ®-a ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch (víi Èn phô). Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi Èn phô, tõ ®ã t×m nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ®· cho. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY - Dïng c¸ch nhãm sè h¹ng, hoÆc t¸ch c¸c sè h¹ng…®Ó ®-a ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng quen thuéc mµ ta ®· biÕt c¸ch gi¶i . *VÝ dô ¸p dông: VÝ dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x 2  10x  21  3 x  3  2 x  7  6 §K: x ≥ -3. x 2  10x  21  3 x  3  2 x  7  6  ( x  3)( x  7)  3 x  3  2 x  7  6  0  x  3 ( x  7  3)  2( x  7  3)  0  ( x  7  3)( x  3  2)  0  x7 3 0  x7 3    x  3  2  x  3  2  0 V× 2 vÕ ®Òu d-¬ng nªn ta cã: x  7  9  x  2(TM )   x  3  4  x  1(TM ) VËy tËp hîp nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ S = 1;2. VÝ dô 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 3x+1 + 2x.3x - 18x - 27 = 0 TX§: x  R. Gi¶i 3x+1 + 2x.3x - 18x - 27 = 0  3x(3 + 2x) – 9(2x + 3) = 0  (2x + 3) (3x - 9) = 0 2 x  3  0  x 3  9  0 3  x   2  x  2  3 VËy tËp nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ S =  ;2  2  VÝ dô 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: (x2 - 4x + 2)3 = (x2 - x - 1)3 - (3x - 2)3; TX§: R. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Page 2 TÀI LIỆU THPT HAY ¸p dông h»ng ®¼ng thøc (a - b)3 - (a3 - b3) = -3ab(a - b) (x2 - 4x + 1)3 = (x2 - x - 1) - (3x - 2)3 x 2       x  1  3 x  2   x 2  x  1  3 x  2   0 3 3 3  3( x  x  1)(3 x  2)( x  4 x  1)  0 2 2  x 2  x  1  0 (1)   3 x  2  0 (2)  x 2  4 x  1  0 (3)  Gi¶i (1): x2 - x - 1 = 0  = 1 + 4 = 5 > 0, Pt cã 2 nghiÖm x1  1 5 1 5 ; x2  2 2 Gi¶i (2): 2 3 3x - 2 = 0  x  . Gi¶i (3): x2 - 4x + 1 = 0  ’ = 4 - 1 = 3 > 0, Pt cã 2 nghiÖm x1  2  3; x2  2  3 . VËy tËp nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ: 1  5 1  5 2  ; ; ;2  3 ; 2  3  2 3  2  S=  VÝ dô 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: (x - 2)(x - 4)(x + 6)(x + 8) = -36 TX§: R  x  2x  6x  4( x  8)  36  ( x 2  4 x  12)( x 2  4 x  32)  36(*) §Æt y = x2 + 4x - 12  x 2  4 x  32  y  20 Ph-¬ng tr×nh (*) trë thµnh: y ( y  20)  36  y 2  20 y  36  0  ( y  18)( y  2)  0  y  18  0  y  18  y  2  0  y  2  x 2  4 x  12  18(1)   PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 2  x  4 x  12  2(2) Page 3 TÀI LIỆU THPT HAY Gi¶i (1) ta cã: x 2  4 x  12  18  x 2  4 x  30  0 '  4  30  34  0 Ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt: x1  2  34; x 2  2  34 Gi¶i (2) ta cã: x 2  4 x  12  2  x 2  4 x  14  0 '  4  14  18  0 Ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt: x1  2  18  2  3 2 x 2  2  18  2  3 2 VËy tËp nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ: S =  34  2; 34  2;3 2  2;3 2  2 VÝ dô 5: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: (x + 2)4 + x4 = 82 §Æt y = x + 1 (x + 2)4 + x4 = 82  (y + 1)4 + (y - 1)4 = 82  y4 + 6y2 - 40 = 0 §Æt y2 = t ≥ 0  t2 + 6t - 40 = 0  ’ = 9 + 40 = 49 > 0, Pt cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. t1 = -3 + 7 = 4; t2 = -3 - 7 = -10 (lo¹i)  y2 = 4,  y =  2. Víi y = 2  x + 1 = 2  x = 1. Víi y = -2  x + 1 = -2  x = -3. VËy tËp nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ: S = {1;-3}. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Page 4 TÀI LIỆU THPT HAY Chó ý: Ph-¬ng tr×nh d¹ng (x + a)4 + (x + b)4 = c (a, b, c lµ h»ng sè) ®Æt Èn phô y =x+ ab , th× ph-¬ng tr×nh ®-a ®-îc vÒ d¹ng dy4 + ey2 + g = 0 (d, e, g lµ h»ng sè). 2 VÝ dô 6: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 1 1 1 1  2  2  x  9 x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 1 1 1 1     ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 18 2 §K: x  -4; x  -5; x  -6; x  -7. 1 1 1 1 1 1 1       ( x  4) ( x  5) ( x  5) x  6 x  6 x  7 18 1 1 1    ( x  4) x  7 18  18( x  7)  18( x  4)  ( x  4)( x  7)   x 2  11x  26  0  x  13 x  2   0  x  13  0  x  13  x  2  0  x  2 Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. VËy tËp nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh S = {-13; 2}. b. Ph-¬ng ph¸p ¸p dông bÊt ®¼ng thøc. *C¸c b-íc: - BiÕn ®æi ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) = g(x) mµ f(x)  a; g(x)  a (a lµ h»ng sè). - NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ tho¶ m·n ®ång thêi f(x)=a vµ g(x)=a. - BiÕn ®æi ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng h(x)=m (m lµ h»ng sè), mµ ta lu«n cã h(x)  m hoÆc h(x)  m th× nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ cña x lµm cho dÊu ®¼ng thøc x¶y ra. - ¸p dông c¸c bÊt ®¼ng thøc C«si, Bunhiac«pxki… *VÝ dô ¸p dông: VÝ dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Page 5 TÀI LIỆU THPT HAY 3x 2  6 x  7  5 x 2  10 x  14  4  2 x  x 2  3( x  1)2  4  5( x  1)2  9  5  ( x  1) 2 : x  R 3( x  1) 2  4  5  x  1  9  4  9  5 2 Mµ: 5   x  1  5 2 Nªn ta cã: (x+1)2 = 0  x = -1. VËy nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ x = -1. VÝ dô 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x 2  6 x  11  x 2  6 x  13  4 x 2  4 x  5  3  2  ( x  3)2  2  ( x  3)2  4  4 ( x  2) 2  1  3  2 Mµ: ( x  3)2  2  ( x  3)2  4  4 ( x  2)2  1  2  4  1  3  2 ( x  3) 2  0 Nªn dÊu “=”x¶y ra   x  2  0 §iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y ra. VËy ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. VÝ dô 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x 2  3x  3,5  ( x 2  2 x  2)( x 2  4 x  5) Ta cã: x 2  2 x  2  ( x  1) 2  1  0 x 2  4 x  5  ( x  2) 2  1  0 x 2  3x  3,5  ( x 2  2 x  2)  ( x 2  4 x  5) 2 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho 2 sè d-¬ng ( x 2  2 x  2);( x 2  4 x  5) ta cã: ( x 2  2 x  2)  ( x 2  4 x  5)  ( x 2  2 x  2)( x 2  4 x  5) 2 VËy x2  3x  3,5  ( x2  2 x  2)( x 2  4 x  5) DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi: ( x 2  2 x  2)  ( x 2  4 x  5)  2x  3 3 x 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Page 6 TÀI LIỆU THPT HAY 3 2 VËy nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ x= . VÝ dô 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh:      2 2 13  x 2  3x  6  x 2  2 x  7   5 x 2  12 x  33    2 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki cho 4 sè : a 2    b2 c 2  d 2  (ac  bd )2 DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi: a.d=b.c Víi a=2 ; b=3 ; c=x2-3x+6 ; d= x2-2x+7 ta cã: 2         2 2 2  32  x 2  3x  6  x 2  2 x  7    2 x 2  3x  6  3 x 2  2 x  7    2 2 2 13  x 2  3x  6  x 2  2 x  7   5 x 2  12 x  33   2       DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi: 3( x 2  3x  6)  2( x 2  2 x  7)  3x 2  9 x  18  2 x 2  4 x  14  x2  5x  4  0 a  b  c  1 5  4  0 c a Ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: x1  1; x2   4 VËy nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ x1  1; x2  4 c. Ph-¬ng ph¸p chøng minh nghiÖm duy nhÊt. *C¸c b-íc gi¶i: ë mét sè ph-¬ng tr×nh ta cã thÓ thö trùc tiÕp ®Ó t×m nghiÖm cña chóng råi sau ®ã t×m c¸ch chøng minh r»ng ngoµi nghiÖm nµy ra chóng kh«ng cßn nghiÖm nµo kh¸c n÷a. *VÝ dô ¸p dông: VÝ dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 2x 2 3  3x  9(1) Gi¶i: +) x=0 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1) +) NÕu x  0 ta cã: x 2  0  2x 2 3  3x  203  30  9 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Page 7 TÀI LIỆU THPT HAY Do ®ã x  0 kh«ng thÓ lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1). VËy nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1) lµ x=0. VÝ dô 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x x  10 x  x (2); Víi x > 0. 2 Gi¶i: +Ta nhËn thÊy x=1 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh(2). +Víi x>1 ta cã : x x  1x  1 10 x  x  100  1 2 x  x nªn x  x  0 do ®ã 2 2  10 x  x  x x 2 VËy x>1 kh«ng thÓ lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh x x  1x  1 +Víi 0y vµ x>z. Nªn 4x>2(y+z)=x2 vËy x=2  y=z=1. C¸c gi¸ trÞ nµy tho¶ m·n hÖ ph-¬ng tr×nh . VËy nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh lµ: x=2; y=1; z=1. MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trong các đề thi đại học những năm gần đây , ta gặp rất nhiều bài toán về hệ phương trình . Nhằm giúp các bạn ôn thi tốt , bài viết này tôi xin giới thiệu một số dạng bài và kĩ năng giải chúng I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo y hoặc ngược lại ) rồi thế vào PT còn lại trong hệ . *Loại thứ nhất , trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại  x 2  y  1 x  y  1  3x 2  4x  1 1 Ví dụ 1 . Giải hệ phương trình  2  2  xy  x  1  x Giải. x2 1 Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có : y  1  thay vào (1) ta được x x2 1  x2 1  2 2 2 x2 x    3x  4x  1   x  1 2x  1   x  1 3x  1 x  x  x  1   x  1  2x  2x  x  1   x  1 3x  1   x  1  2x  2x  4x   0  x  0 (loại)  x  2 5 Từ đó , ta được các nghiệm của hệ là : (1;-1) , (-2;  ) 2 *Loại thứ hai , Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn  xy  x  y  x 2  2y 2 1 Ví dụ 2 . Giải hệ phương trình   2  x 2y  y x  1  2x  2y Giải . Điều kiện : x≥1 ; y≥0 3 2 3 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Page 11 TÀI LIỆU THPT HAY PT (1)  x 2  xy  2y2   x  y   0   x  y  x  2y    x  y   0 ( từ điều kiện ta có x+y>0)  x  2y  1  0  x  2y  1 thay vào PT (2) ta được : y 2x  2y  2y  2   y  1   2y  2  0  do y  0   y  2  x  5 *loại thứ ba , đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn , ẩn còn lại là tham số  y 2 =  5x  4  4  x  1 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình  2 2  2  y  5x  4xy  16x  8y  16  0 Giải . Biến đổi PT (2) về dạng y2   4x  8 y  5x 2  16x  16  0 Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có  '  9x 2 từ đó ta được nghiệm  y  5x  4  3   y  4  x  4  4  x y0 2  Thay (3) vào (1) ta được :  5x  4    5x  4  4  x   5  x  0  y  4 x  4  y  0 2 Thay (4) vào (1) ta được :  4  x    5x  4  4  x    x  0  y  4 4 Vậy nghiệm của hệ là : (0;4) , (4;0) , (  ;0) 5 II.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ a  f  x, y  ; b  g  x, y  có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0. 2  1  x  1  y  y  x   4y Ví dụ 4. Giải hệ phương trình  2   x  1  y  x  2   y  2  Giải .  x2 1  y yx  4  Dễ thấy y=0 không thỏa mãn PT(1) nên HPT   2  x  1   y  x  2   1  y   2 x 2  1  y a  b  2 x 1 Đặt a  giải hệ ta được a=b=1 từ đó ta có hệ  ,b  y  x 2   y ab  1 x  y  3 Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Page 12 TÀI LIỆU THPT HAY 3  2 2 7 2 4xy  4  x  y   x  y   Ví dụ 5. Giải hệ phương trình  2x  1  3  xy Giải . Điều kiện : x +y ≠0 3 2 2  7 2 3  x  y    x  y   x  y   HPT   x  y  1  x  y  3  xy 2 2  3a  b  13 1 a  2 ; b  x  y ta được hệ     2  a  b  3 Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( do |a|≥2 ) từ đó ta có hệ 1  2 x  y  1 x  1 x  y  xy    x  y  1  y  0 x  y  1  III.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng f(x)=0 (1)và f(x)=f(y) (2) với f là hàm đơn điệu trên tập D và x,y thuộc D .Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x,y để x,y thuộc tập mà hàm f đơn điệu * Loại thứ nhất , một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để trên để trên đó hàm f đơn điệu 3 3   x  5x  y  5y 1 Ví dụ 6 . Giải hệ phương trình  8 4 2  x  y  1 Giải . Từ PT (2) ta có x 8  1; y4  1  x  1; y  1 Đặt a  x  y  1 xy Xét hàm số f  t   t 3  5t; t   1;1 có f '  t   3t 2  5  0; t   1;1 do đó f(t) nghịch biến trên khoảng (-1;1) hay PT (1)  x  y thay vào PT (2) ta được PT : x 8  x 4  1  0 1  5 1  5  y  x  4 2 2 *loại thứ hai , là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến cả hai trường hợp (1) và (2) 2 y 1  x  x  2x  2  3  1 Ví dụ 7. Giải hệ phương trình  2 x 1   y  y  2y  2  3  1 Giải . a  a 2  1  3b 1  Đặt a  x  1; b  y  1 ta được hệ  b  b 2  1  3a 2 Đặt a=x4 ≥0 và giải phương trình ta được a Trừ vế với vế 2 PT ta được : a  a 2  1  3a  b  b 2  1  3b (3) Xét hàm số f  t   t  t 2  1  3t ;f '  t   t2 1  t t 1 2  3t ln 3 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Page 13 TÀI LIỆU THPT HAY Vì t 2  1  t 2   t  t 2  1  t  0  f '  t   0, t do đó hàm số f(t) đồng biến trên R Nên PT (3)  a  b thay vào PT (1) ta được a  a 2  1  3a (4)   Theo nhận xét trên thì a  a 2  1  0 nên PT (4)  ln a  a 2  1  a ln 3  0 ( lấy ln hai vế )   Xét hàm số g  a   ln a  a 2  1  a ln 3; g'  a   1  ln 3  1  ln 3  0, a  R a2 1 hay hàm g(a) nghịch biến trên R và do PT (4) có nghiệm a=0 nên PT (4) có nghiệm duy nhất a=0 Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là : x=y=1 IV.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Với phương pháp này, cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản 2xy  x   x2  y  3 2 x  2x  9  Ví dụ 8 . Giải hệ phương trình  2xy y   y2  x 2 3  y  2y  9 Giải. 2xy 2xy Cộng vế với vế hai PT ta được   x 2  y 2 (1) 3 2 3 2 x  2x  9 y  2y  9 Ta có : 3 Tương tự x 2  2x  9  3  x  1  8  2  2xy 2 2xy 3 x  2x  9 2 3 x  2x  9 2  2 xy 3 x  2x  9 2   xy mà theo bất đẳng thức Côsi x 2  y2  2 xy 2 xy  xy 2 nên VT(1)≤VP(1) x  y  1 Dấu bằng xảy ra khi  thử lại ta được nghiệm của hệ là : (0;0) , (1;1) x  y  0  y   x 3  3x  4 Ví dụ 9 . Giải hệ phương trình  3  x  2y  6y  2 Giải.  y  2    x 3  3x  2   y  2    x  12  x  2  1   HPT   2 3  x  2  2  y  3y  2   x  2  2  y  1  y  2   2  Nếu x>2 từ (1) suy ra y-2<0 diều này mâu thuẫn với PT(2) có (x-2) và (y-2) cùng dấu Tương tự với x<2 ta cũng suy ra điều vô lí . Vậy nghiệm của hệ là x=y=2 Hy vọng một số ví dụ trên sẽ giúp bạn phần nào kĩ năng giải hệ .Để kết thúc bài viết mời các bạn cùng giải các hệ phương trình sau PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Page 14 TÀI LIỆU THPT HAY  xy  3x  2y  16 1)  2 2  x  y  2x  4y  33 2  x  3y  9 3)  4 2  y  4  2x  3 y  48y  48x  155  0  x  x  2  x  4  y  1  y  3  y  5 5)  2 2  x  y  x  y  44 y  x e  2007  2 y 1  7)  e y  2007  x  x2 1  x 3  2  3y   8 2)  3  x  y  2   6 2  x 3  2x  y  1  x 2  y  1  4)  3 2  y  4x  1  ln  y  2x   0 3 2  x  y  2 6)  2 2  x  xy  y  y  0  x 2 y 2  2x  y 2  0 8)  3 2 2x  3x  6y  12x  13  0 C/ KÕt thóc vÊn ®Ò: Trªn ®©y lµ 1 sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh “Kh«ng mÉu mùc” cña b¶n th©n t«i, trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n t«i gÆp ph¶i vµ ®· vËn dông, mét sè vÝ dô gi¶i to¸n ®Ó c¸c ®ång nghiÖp cïng tham kh¶o. Trong qu¸ tr×nh vËn dông còng cÇn nhiÒu ®ãng gãp cña ®ång nghiÖp Phù Ng-êi viÕt PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Page 15