Tài liệu Sách tham khảo môn Toán - Công Phá Toán Tập 3 (Lớp 12) – Ngọc Huyền LB

LOVEBOOK.VN|2 LỜI M Ở Đ ẦU gay từ khi bước chân vào ngưỡng cửa đai học (tháng 8/2016), tôi đã suy nghĩ rất nhiều về một cuốn sách có thể giúp cho các em học sinh tự tin với môn Toán và yêu thích nó hơn. Hơn nữa, kể từ năm nay, các em học sinh phải làm bài thi môn Toán dưới hình thức Trắc nghiệm với áp lực thời gian rất lớn (riêng kì thi THPT quốc gia, các em phải làm 50 câu/90 phút). Bởi vậy mà một tài liệu giúp các em tối ưu thời gian ôn luyện càng trở nên cần thiết hơn bao giờ hết. Chính vì thế, sau khi tham khảo ý kiến của thầy cô và bạn bè, tôi đã quyết định bắt tay vào viết cuốn sách này (1/11/2016). Sau gần 5 tháng miệt mài làm việc, cùng với sự giúp đỡ của thầy cô, bạn bè, tôi đã hoàn thành xong đứa con tinh thần của mình. N Sách được phát hành lần đầu tiên vào 6/4/2017. Chỉ trong tháng đầu tiên phát hành, hơn 4000 cuốn đã được bán ra, phá bỏ mọi kỉ lục của nhà sách Lovebook từ năm 2012 đến giờ. Không chỉ có thế, cuốn sách còn nhận được rất nhiều những phản hồi tích cực của các em học sinh, quý thầy cô trên cả nước. Dưới đây, tôi xin phép chia sẻ một số phản hồi của thầy cô và các em học sinh đã đọc cuốn Công Phá Toán trong lần phát hành đầu tiên: “Cảm nhận ban đầu của thầy là sách rất đẹp và chất. Đầy đủ các dạng toán, bài tập thì hết sức thời sự và nóng được tuyển chọn từ các trường trên cả nước. Hơn nữa lại có lời giải chi tiết và dễ hiểu, điều này giúp học sinh có điều kiện so sánh đối chiếu kết quả sau khi làm bài. Thầy nghĩ là nó thực sự rất có ích cho các em học sinh trong kì thi sắp tới.” Thầy Nguyễn Thư, giáo viên Toán, THPT Phương Xá, Phú Thọ. “Công Phá Toán có giải thích cách sử dụng máy tính tích hợp rất rõ ràng và mạch lạc. Cuốn sách rất phù hợp với các bạn đang cần tổng ôn lại tất cả các dạng toán qua một tư liệu giải thích rất rõ ràng rành mạch những dạng toán từ 7,0-8,8 điểm. Cuốn sách phù hợp đặc biệt với những bạn khủng hoảng môn toán, có thể cày tập trung 1 tháng hết 1 cuốn sách và nếu như điểm của các em đang lẹt đẹt mức 6,0-7,0 thì các em có thể tăng mạnh 1,0-2,0 điểm sau khi học hết cuốn sách này.” Thầy Đoàn Trí Dũng, giáo viên Toán, TTLT Thành Công, Hà Nội. “Cô đọc hơn nửa CPT của em rồi! Cơ bản là rất chi tiết và đẹp. Đây là cuốn sách hay nhất trong các quyển sách tham khảo cô đã từng đọc!” Cô Trần Cẩm Huyền, giáo viên Toán, THPT Cẩm Phả, Quảng Ninh. “Cuốn sách thực sự khiến chị ngỡ ngàng và bị cuốn hút. Công phá toán là một cuốn sách rất chuyên nghiệp và giống như một tài liệu nước ngoài thực thụ. Thực sự, chị rất thích cách mà em trình bày, rất khoa học, bắt mắt.” Cô Đỗ Bảo Thoa, giáo viên Toán xã Đông Yên, huyện Quốc Oai, Hà Nội. “Sáng nay, thầy mua cuốn sách Công Phá Toán em viết, thầy rất ấn tượng. Qua cuốn sách, thầy thấy được khả năng của em, niềm đam mê cùng sự tận tâm với công việc.” Thầy Mạc Đăng Nghi, phó Hiệu Trưởng THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương. “Công Phá Toán (tập 3) rất đầy đủ nội dung và rất phù hợp cho các em học sinh giai đoạn tổng ôn luyện! Cuốn sách trình bày màu đẹp với 7 chủ đề trọng tâm và phần cuối tổng ôn luyện đề. Sách dày 400 trang mà cứ ngỡ cả ngàn trang, nội dung phủ khắp các mảng Toán 12, với câu hỏi và lời giải chi tiết có kết hợp kỹ năng sử dụng máy tính bỏ túi làm bài trắc nghiệm nhanh”. Thầy Lưu Công Hoàn, THPT Nguyễn Trãi, Hòa Bình “Ở cuốn Công Phá Toán, lý thuyết cơ bản, cách giải từng dạng bài tập, công thức giải nhanh, cách tính bằng casio… đều được cô giáo tương lai trình bày đầy đủ, chi tiết và dễ hiểu. Cùng với đó là cách trình bày cột đôi một bên phải nội dung sách, bên trái là Study Tip. Ngoài ra còn trình bày nhiều cách giải cùng lúc, bao gồm cách giải truyền thống, giải bằng công thức giải nhanh, giải bằng casio. Có bài tập tự luyện và đề thi tự luyện cho các em học sinh. Tất cả nội dung được phối hợp với nhau một cách sáng tạo, logic và mang phong cách rất riêng!”. Thầy Nguyễn Văn Lực, giáo viên Toán TP Cần Thơ. “Đọc xong cuốn Công Phá Toán và Bộ đề chuyên, tôi nhận thấy cô đầu tư rất nhiều tâm huyết với nó. Sách viết rất chi tiết, cập nhật kiến thức mới và rất dễ hiểu, mong Huyền cố gắng hơn nữa để cho ra những tác phẩm hay hơn, mang tính chất chuyên nghiệp hơn trong viết sách.” Thầy Mai Tiến Linh, giáo viên Toán, THPT Tĩnh Gia 4, Thanh Hóa. “Nhờ có quyển sách Công Phá Toán mà em xử lí các bài tập nhanh hơn, mấy câu đồ thị thì chỉ cần nhẩm vài giây mà không cần bấm chị ạ.” Em Nguyễn Phụng Yến, THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp “Phải nói rằng Công Phá Toán quá tuyệt, từ ngữ dễ hiểu, bài tập giải rõ ràng, 2 tháng cuối em làm người yêu với sách của chị. Em chỉ thắc mắc là phần hàm số không có tương giao giữa đồ thị. Tuyệt vời nhất là Hình học không gian thuần túy, em ngu phần đó có tiếng, đọc sách của chị khá hơn rồi”. Em Phan Thị Thùy Giang, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Nam. “Cuốn Công Phá Toán đã thay đổi điểm số của em rất nhiều, em chăm chỉ học hỏi ghi chép từng mảng kiến thức ghi vào đầu sách. Em cảm ơn chị rất nhiều vì đã viết nên cuốn sách tuyệt vời như vậy.” Em Lê Nhựt Hào, THPT TP Cao Lãnh, Đồng Tháp. “Em từ 1 đứa không nắm chắc kiến thức toán. Suốt mấy ngày qua, em tập trung đọc Công Phá Toán của chị, giờ em chỉ còn 3 chương thôi, CPT của chị có tất tần tật, nhờ đó mà em nắm chắc lý thuyết, LOVEBOOK.VN|4 bây giờ các câu lí thuyết em có thể tự tin mà làm được. Những công thức giải nhanh cho các bài mà nếu giải thường mất cả giờ mới làm được thì chị cũng truyền đạt cho chúng em.” Em Nguyễn Thị Ngân, THPT Giá Rai, Bạc Liêu. “Công Phá Toán của chị wonderful quá cơ. Đọc mãi, tìm hiểu mãi mà không biết chán. Từ hôm nay em bắt đầu lên kế hoạch cày từng chuyên đề một, cày tới khi nào nát bét ra thì thôi. Mẹ em bảo cứ nhìn sách vở là biết imnfh học hành thế nào mà, giữ sách vở mới quá cũng không tốt chị nhỉ.” Em Nguyễn Thị Thu Thủy, THPT Ninh Giang, Hải Dương. Còn rất nhiều tin nhắn facebook, email chia sẻ về cuốn sách mà tôi không thể kể hết ở đây. Thực sự, tình cảm và sự quan tâm của mọi người danh cho CPT đã vượt quá sự kì vọng của tôi. Sau khi kì thì THPT Quốc gia 2017 kết thúc, niềm vui lại tiếp tục đến với tôi khi những người em ngày đêm nghiền ngẫm cuốn sách đạt kết quả cao liên tục báo tin vui cho tôi, ví dụ như em Nguyễn Đức Giang (10 điểm), em Mai Thùy Dương (10 điểm), em Lê Viết Thắng (9,8 điểm), em Phạm Trung Hiếu (9,6 điểm), em Thái An Phú (9,2 điểm),… Mặc dù vậy, trong lần phát hành đầu tiên, cuốn sách cũng không thể tránh khỏi những mặt hạn chế, thiếu sót. Tuy nhiên, thật may mắn khi tôi liên tục được thầy cô và các em góp ý để cuốn sách hoàn thiện hơn. Trong suốt hơn 4 tháng quá, tôi đã liên tục cập nhật những mảnh ghép còn thiếu và những ý tưởng mới mẻ để khi trở lại trong năm học này cuốn sách trở nên hoàn thiện và tối ưu hơn. Ngoài ra, trong lần tái bản thứ nhất này, tôi cũng cập nhật toàn bộ các bài tập trong đề thi THPT Quốc gia 2017 vừa rồi theo từng dạng trong sách. Có thể vẫn còn chỗ nào đó chưa được hoàn hảo 100% nhưng tôi tin chắc chắn rằng Công Phá Toán 3 trong lần tái bản thứ nhất này sẽ hoàn thiện hơn, tối ưu hơn rất nhiều. Công phá toán giúp em được những gì? Thứ nhất, cuốn sách giúp các em hệ thống lại toàn bộ phương pháp, tư duy giải toán cần thiết trong chương trình lớp 12. Đặc biệt, tôi rất chú trọng tới những vấn đề mà học sinh thường hay nhầm lẫn. Thứ hai, cuốn sách giúp các em nắm được toàn bộ những vấn đề hay nhất, cần thiết nhất trong 200 đề thi thử của các trưởng, Sở Giáo dục và Đào tạo trên toàn quốc. Hàng ngày có rất nhiều đề thi không đảm bảo chất lượng, các câu hỏi không bám sát cấu trúc đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Cuốn sách sẽ giúp các em sàng lọc những vấn đề quan trọng và CẦN phải học để tiết kiệm thời gian sưu tầm, in ấn đề. Ngoài ra, những bài tập chất lượng này còn giúp các em khắc sâu thêm tư duy giải toán trắc nghiệm lớp 12. Thứ ba, cuốn sách giúp các em nắm được những kĩ năng xử lý casio cần thiết trong việc học toán lớp 12. Tuy nhiên ở cuốn Công phá toán này, tất cả kĩ năng MTCT đều gắn chặt với tư duy giải Toán, không chỉ đơn thuần là các thao tác bấm máy thông thường. Thứ tư, cuốn sách tích hợp hệ thống gửi tài liệu qua Mail, để học sinh có thể khai thác triệt để cuốn sách. Ngoài gửi qua Mail đáp án chi tiết 10 đề tự luyện theo trình tự thời gian, tôi còn gửi thêm 1 số tài liệu hay, liên quan tới nội dung cuốn sách khi sưu tầm được để các em thêm một lần nữa khai thác triệt để giá trị của sách. Đây cũng là một cách để đảm bảo quyền lợi cho các em, quý độc giả sử dụng sách chính hãng. Chính vì những đặc điểm trên, tôi rất mong các em học sinh, quý độc giả hãy thường xuyên trao đổi, liên hệ với tôi để tôi có cơ hội được phục vụ quý vị tốt nhất. Trước khi đọc kĩ vào nội dung sách, tôi mong các em, quý độc giả nắm tổng thể nội dung sách. Cuốn sách tôi viết được chia thành 2 phần chính như sau: - Phần thứ nhất:  Hệ thống tư duy, phương pháp giải các dạng toán theo chuyên đề  Hệ thống ví dụ, bài tập minh họa điển hình kèm phân tích, đánh giá, mở rộng  Hệ thống bài tập rèn luyện kèm lời giải chi tiết được chọn lọc kĩ càng từ 250 đề thi thử của các trường trên toàn quốc. - Phần thứ hai: 11 bài kiểm tra tổng ôn luyện sau mỗi chủ đề. Đáp án và lời giải chi tiết sẽ được tôi và nhà sách Lovebook gửi đều đặn qua Mail. (Quý độc giả vui lòng khai báo chính hãng tại: congphatoan.com để nhận được Mail). Cách học như thế nào cho hiệu quả? Để sử dụng cuốn sách hiệu quả, các em nên có một kế hoạch cụ thể. Khi có kế hoạch cụ thể thì chúng ta mới đo lường được hiệu quả sử dụng sách. Ở đây, tôi xin phép được chia học sinh thành 3 đối tượng sử dụng sách: Đối tượng 1: Mới bắt đầu học chương trình lớp 12 (các em chuẩn bị lên lớp 12) Trong trường hợp này, cách duy nhất tôi khuyên là các em nên học theo trình tự đã được sắp xếp ở trong sách, cứ lần lượt học: Đầu tiên đọc kĩ lý thuyết, phương pháp, tiếp theo đọc vào ví dụ minh họa và cuối cùng là luyện tập các bài tập rèn luyện. Tuy nhiên khi đọc lý thuyết hay phương pháp mà vẫn mơ màng, các em có thể bỏ qua, đọc tiếp vào phần Ví dụ minh họa. Trong một số trường hợp, thông qua lời giải và phân tích ở phần Ví dụ minh họa sẽ giúp các em hiểu ra và nắm vững phần lý thuyết, phương pháp hơn. Sau khi kết thúc mỗi chủ đề, các em bấm thời gian 90 phút để hoàn thiện các bài kiểm tra. Đối tượng 2: Học xong chương trình (hoặc chuẩn bị thi THPT Quốc gia) Các em xem phần nào còn yếu, chưa chắc chắn thì đánh dấu lại, xem kĩ phần ví dụ minh họa. Sau khi xem xong các em luyện hết mọi bài trong phần Bài tập rèn luyện. Trong quá trình làm bài tập rèn luyện, nhớ đối chiếu ngược trở lại phần lý thuyết và ví dụ minh họa để khắc sâu kiến thức. Ngoài ra, các em cũng có thể làm ngay bài kiểm tra ở cuối mỗi chủ đề trước khi đọc kĩ nội dung. Việc nắm bắt xem mình đang ở mức độ nào trong các chủ đề trước khi đọc sẽ giúp các em có những định hướng, điều chỉnh tốc độ đọc sách hợp lí hơn. Sau khi nghiền ngẫm thật kĩ các chủ đề và làm LOVEBOOK.VN|6 nhuần nhuyễn 11 bài kiểm tra chủ đề, nhớ luyện kĩ thêm 25 đề trong “Bộ đề tinh túy 2018” để vận dụng kiến thức trong đề thi thực tế hiệu quả hơn, tối ưu hơn. Đối tượng 3: Các em xuất sắc hẳn Đối với các em có mức học giỏi trở lên thì chỉ cần tập trung 2 việc chính. Thứ nhất, các em chỉ cần lưu ý đặc biệt tới các phần STUDY TIP và hệ thống bài tập rèn luyện. Những bài đã quá quen thuộc rồi thì có thể bỏ qua. Ngoài ra, riêng đối với các em học sinh thuộc đối tượng 2 và đối tượng 3, các em nên tham khảo thêm 25 đề trong “Bộ đề tinh túy 2018” để củng cố thật chắc kiến thức lớp 12. Trong mọi trường hợp, khi làm đề, các em nên tạo môi trường, không khí GIỐNG Y NHƯ LÚC THI THẬT. Thứ hai, dù bận đến mấy, sau khi làm đề xong cũng phải làm hai việc: XEM LẠI ĐÁP ÁN CHI TIẾT và CHẤM ĐIỂM. Do tôi vừa mới bước chân vào đại học, kinh nghiệm sư phạm còn chưa nhiều, hơn nữa đây là cuốn sách viết riêng đầu tiên của tôi, chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý từ các em học sinh và quý độc giả trên toàn quốc. Mọi góp ý xin gửi về [email protected] hoặc fb: facebook.com/huyenvu2405. Group chuyên môn: facebook.com/groups/ngochuyenfamily/ Fan page: facebook.com/ngochuyenlb. Điện thoại/Zalo: 0981557224 Kênh chăm sóc của nhà sách: facebook.com/lovebookcaretoan MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ..................................................... 10 I. Tính đơn điệu của hàm số .............................................................................................. 10 II. Cực trị của hàm số và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.................................. 49 III. Đường tiệm cận ........................................................................................................ 152 IV. Các dạng đồ thị hàm số thường gặp ........................................................................... 181 V. Sự tương giao của hai đồ thị hàm số ............................................................................ 205 VI. Tổng ôn tập chủ đề 1 ................................................................................................ 222 CHỦ ĐỀ 2. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT .................................... 240 I. Lũy thừa – Hàm số lũy thừa ......................................................................................... 240 II. Logarit – Hàm số logarit.............................................................................................. 243 III. Hàm số mũ ............................................................................................................... 244 IV. Ứng dụng của hàm số mũ, hàm số logarit trong thực tế............................................... 246 V. Phương trình mũ và phương trình logarit ...................................................................... 272 VI. Các bài toán biến đổi logarit ....................................................................................... 292 VII. Tổng ôn tập chủ đề 2 ............................................................................................... 323 CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ................................................... 333 I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản ............................................................................ 333 II. Hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm ............................................................... 334 III. Các dạng toán về nguyên hàm ................................................................................... 338 IV. Bổ sung một số vấn đề về nguyên hàm ...................................................................... 344 V. Khái niệm và các tính chất cơ bản của tích phân ........................................................... 358 VI. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân....................................................................... 360 VII. Ứng dụng hình học của tích phân .............................................................................. 363 VIII. Một số bài toán tích phân gốc thường gặp ................................................................ 369 IX. Ứng dụng của nguyên hàm, tích phân trong thực tế .................................................... 396 X. Tổng ôn tập chủ đề 3 .................................................................................................. 404 LOVEBOOK.VN|8 CHỦ ĐỀ 4. SỐ PHỨC .......................................................................................................... 416 I. Số phức ...................................................................................................................... 416 II. Các phép toán với số phức .......................................................................................... 417 III. Tổng ôn tập chủ đề 4 ................................................................................................ 452 CHỦ ĐỀ 5. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ KHỐI ĐA DIỆN QUEN THUỘC ...... 457 I. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện .................................................................... 457 II. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều ............................................................................ 460 III. Thể tích khối đa diện ................................................................................................. 461 IV. Tổng ôn tập chủ đề 5 ................................................................................................ 501 CHỦ ĐỀ 6. MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN........................................................................ 507 I. Mặt cầu, khối cầu ........................................................................................................ 507 II. Mặt nón, hình nón, khối nón ....................................................................................... 541 III. Mặt trụ, hình trụ, khối nón ......................................................................................... 547 IV. Tổng ôn tập chủ đề 6 ................................................................................................ 564 CHỦ ĐỀ 7. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ............................................... 571 I. Hệ tọa độ trong không gian.......................................................................................... 571 II. Phương trình mặt phẳng ............................................................................................. 573 III. Phương trình đường thẳng......................................................................................... 581 IV. Mặt cầu ..................................................................................................................... 626 V. Tổng ôn tập chủ đề 7 .................................................................................................. 641 Công Phá Toán – Lớp 12 Chủ đề I Vấn đề cần nắm: I. Tính đơn điệu của hàm số II. Cực trị hàm số III. GTLN, GTNN của hàm số và ứng dụng IV. Đường tiệm cận V. Các dạng đồ thị VI. Tương giao Ngọc Huyền LB Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm I. Tính đơn điệu của hàm số A. Lý thuyết 1. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K (với K là một khoảng (đoạn), nửa khoảng) được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. 2. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm Định lý Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên K. a. Nếu f '  x   0 với mọi x thuộc K thì hàm số f  x  đồng biến trên K. b. Nếu f '  x   0 với mọi x thuộc K thì hàm số f  x  nghịch biến trên K. Chú ý Tóm lại, trên K: f '  x   0  f  x  đồng biến. f '  x   0  f  x  nghịch biến. Nếu f '  x   0, x  K thì f  x  không đổi trên K. Định lý mở rộng 1. Giả sử hàm số f  x  có đạo hàm trên khoảng K. a. Nếu f '  x   0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số đồng biến trên K. b. Nếu f '  x   0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số nghịch biến trên K. c. Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số không đổi trên K. 2. Giả sử hàm số f  x  liên tục trên nửa khoảng  a; b  và có đạo hàm trên khoảng  a; b  a. Nếu f '  x   0 (hoặc f '  x   0 ) với mọi x   a; b  thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên nửa khoảng  a; b  . b. Nếu f '  x   0 với mọi x   a; b  thì hàm số không đổi trên nửa khoảng  a; b  . - Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải. - Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải (hình 1.1). Ví dụ: Hàm số có đồ thị ở hình 1.1 nghịch biến trên khoảng  ;a  , không đổi trên khoảng  a; b  và đồng biến trên khoảng  b;   . LOVEBOOK.VN|10 Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm STUDY TIP Với các hàm sơ cấp, để xét dấu của đạo hàm trên khoảng  xn ; xn1  vừa tìm được hay không, ta chỉ cần xét dấu của đạo hàm tại một điểm trên khoảng đó. The best or nothing Ta có thể nói rằng hàm số có đồ thị ở hình 1.1 nghịch biến trên  ;a  bởi f  x   0 với mọi x   ; a  và dấu bằng chỉ xảy ra tại x  a (tức là hữu hạn nghiệm). Lí giải: Ở phần trên về cách xác định tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm phải có điều kiện dấu bằng xảy ra tại hữu hạn nghiệm bởi: Nếu là vô hạn nghiệm, hay là xảy ra trên toàn khoảng đó thì hàm số không còn tính đơn điệu nữa, mà là hàm không đổi trên khoảng đó. Ví dụ như ở hàm số có đồ thị như hình 1.1 thì trên  a; b  hàm số là hàm hằng. 3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số a. Tìm tập xác định. b. Tính đạo hàm f '  x  . Tìm các điểm xi  i  1, 2,3,...n  làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. c. Sắp xếp các điểm tìm được theo thứ tự tăng dần và xét dấu của đạo hàm trên các khoảng  xi ; xi 1  . d. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Dạng 1 Bài toán không chứa tham số Ví dụ 1: Hàm số y  STUDY TIP Ở đây ta chọn STEP ba   STEP   với 20    a; b  là khoảng cần xét là 0.1 bởi khoảng khá nhỏ, và ta cần xét tính đồng biến, nghịch biến  1 trên 2 khoảng là  0;   2 1  và  ;1 . 2  1  2  x  x 2 nghịch biến trên khoảng:   A.  ;1 1 2 C.  ;0  B.  0;  D. 1;  Đáp án A. Phân tích: Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số thì ta đi tìm nghiệm của phương trình y '  0 hoặc giá trị làm cho phương trình y '  0 không xác định, từ đó tìm được các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Lời giải Cách 1: Điều kiện: x  0;1 Ta có y '    x  x2 '  Ta có y '  0  2 x  1 2 xx 2 x  1 2 x  x2 2 ; y '  0 khi x  0 1   0;1 . 2 1  x  1 do đó hàm số nghịch biến trên 2 1   ;1 . 2  Hình 1.2 là đồ thị hàm số y  x  x 2 , ta thấy bài làm đã xác định đúng. Cách 2: Nhận thấy điều kiện là x  0;1 , do vậy loại luôn C và D. Công Phá Toán – Lớp 12 Sử dụng máy tính Sử dụng lệnh TABLE để liệt kê các giá trị của hàm số khi cho x chạy trên khoảng cần xét với bước nhảy nhất định. Ngọc Huyền LB Ở B và A, các đầu mút của các khoảng cách nhau 0,5, do vậy ta có thể chọn được STEP khi sử dụng TABLE trong máy tính. Giải thích: Lệnh TABLE trong máy tính dùng để tính giá trị của hàm số tại một vài điểm. Ta có thể sử dụng chức năng tính giá trị của hai hàm số f  x  và g  x  . Bởi vậy, khi sử dụng TABLE trong việc xác định hàm số đồng biến hay nghịch biến trong một khoảng là khá dễ dàng, bởi ta chỉ cần xét xem giá trị của hàm số tăng hay giảm khi x chạy trên khoảng đó thôi. Thao tác: 1. Ấn , nhập hàm số cần tính giá trị. 2. START? Nhập x bắt đầu từ đâu. 3. END? Nhập x kết thúc ở đâu. 4. STEP? Bước nhảy giữa các giá trị, tính từ điểm đầu mút. Áp dụng vào bài toán này ta được: , và nhập f  x   Ấn START? Nhập END? Nhập X  X 2 ấn . . . STEP? Nhập . Sau khi nhập máy hiện như hình bên: 1 thì giá trị của hàm số tăng, tức hàm số 2 1  1 đồng biến trên  0;  . Còn với x chạy từ đến 1 thì giá trị của hàm số giảm, tức 2  2 Nhận thấy từ khi x chạy từ 0 đến 0,5  1  2  hàm số nghịch biến trên  ;1 . Chọn A. Xét bài toán tổng quát sau: Xét sự biến thiên của hàm số y  ax 4  bx 2  c,  a  0  . Lời giải TXĐ: D  . Ta có y '  4ax3  2bx x  0 y '  0  2 x  2ax 2  b   0   2  2ax  b  0 +) TH1: b 0 a LOVEBOOK.VN|12 Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm Ghi nhớ Từ bài toán tổng quát bên, ta đưa ra các kết luận sau về sự biến thiên của hàm số y  ax 4  bx 2  c,  a  0  b * Trường hợp  0 a - Với a  0 thì hàm số đồng biến trên  b     ;0  và 2a     b   ;   ; nghịch 2a    b  biến trên  ;    2a    b  và  0;   . 2 a   - Với a  0 thì hàm số nghịch biến trên  b     ;0  và 2a     b   ;   ; đồng 2a    b  biến trên  ;    2a    b  và  0;   2a   * Trường hợp b 0 a - Với a  0 thì hàm số nghịch biến trên  ;0   b x    b 2a * Với  0 và a  0 (hay a  0; b  0 ) thì 2ax 2  b  0    a b x   2a  Lúc này ta có bảng xét dấu: x    f ' x  b 2a 0  0 + 0  b 2a 0  + Từ bảng xét dấu ta có hàm số y  ax 4  bx 2  c,  a  0  nghịch biến trên    b  b  b   ;    và  0;   ; hàm số đồng biến trên    ;0  và 2a  2a  2a       b   ;   . 2a    b x    b 2a * Với  0 và a  0 (hay a  0; b  0 ) thì 2ax 2  b  0    a b x   2a  Lúc này ta có bảng xét dấu: x f ' x    + 0 b 2a  0  0 + b 2a 0   Từ bảng xét dấu ta có hàm số y  ax 4  bx 2  c,  a  0  nghịch biến trên     b b  b     ;0  và   ;   ; hàm số đồng biến trên  ;    và 2 a 2 a 2 a        b   0;   . 2a   +) TH2: b  0 thì phương trình 2ax2  b  0 : a b 0 a và đồng biến trên  0;   . +) vô nghiệm khi - Với a  0 thì hàm số đồng biến trên  ;0  +) có duy nhất một nghiệm x  0 khi và nghịch biến trên  0;   . The best or nothing +) Với a  0 thì ta có bảng xét dấu: b  0. a Công Phá Toán – Lớp 12 x f ' x Ngọc Huyền LB   0  0 + Từ bảng xét dấu ta có hàm số y  ax 4  bx 2  c,  a  0  nghịch biến trên  ;0 ; hàm số đồng biến trên  0;  . +) Với a  0 thì ta có bảng xét dấu: x f ' x   0 + 0  Từ bảng xét dấu ta có hàm số y  ax 4  bx 2  c,  a  0  nghịch biến trên  0;  ; hàm số đồng biến trên  ;0 . STUDY TIP Với hàm số bậc bốn trùng phương có dạng y  ax 4  bx 2  c  a  0  b * Nếu  0 thì: a 1. Với a  0 thì đồ thị hàm số có dạng chữ W. Ví dụ 2: Cho hàm số y  1 4 x  2 x 2  1 . Chọn khẳng định đúng 4 A. Hàm số đồng biến trên các khoảng  2;0  và  2;  B. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2  và  0;2  C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 2  và  2;  D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  2;0  và  2;  Đáp án A. 2. Với a  0 thì đồ thị hàm số có dạng chữ M, (chỉ là mẹo nhớ đồ thị). b * Nếu  0 thì: a 1. Với a  0 đồ thị hàm số có dạng Parabol quay bề lõm lên trên. 2. Với a  0 thì đồ thị hàm số sẽ có dạng Parabol quay bề lõm xuống dưới. Phân tích Hướng tư duy 1: Ta thấy hàm số y  1 4 x  2 x 2  1 có: 4 1 b  0;  8  0 nên áp dụng kết quả của bài toán tổng quát phía 4 a 1 trên thì ta có hàm số y  x 4  2 x 2  1 đồng biến trên  2;0  và  2;  ; 4 nghịch biến trên  ; 2  và  0;2  . - Hệ số a  x  0 . Như đã x   2  Hướng tư duy 2: Xét phương trình y '  0  x3  4 x  0   1 0 4 nên ở đây ta có thể xác định nhanh hàm số đồng biến trên  2;0  và  2;  , giới thiệu về cách nhớ dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có hệ số a  hàm số nghịch biến trên  ; 2  và  0;2  . Hướng tư duy 3: Sử dụng lệnh TABLE. Sử dụng lệnh TABLE với START là 5 và END 5, STEP 1 ta có thể xác định được: giá trị của hàm số tăng khi x chạy từ 2 đến 0 và từ 2 đến 5, giá trị của hàm số giảm khi x chạy từ 5 đến 2 và từ 0 đến 2. LOVEBOOK.VN|14 Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Do đó ta có thể xác định được hàm số đồng biến trên  2;0  và  2;  . Hàm số nghịch biến trên  ; 2  và  0;2  . STUDY TIP 1. Với hàm số dạng ax  b ; y cx  d  ad  bc  0; c  0 ; thì y'  ad  bc  cx  d  2 , đặt   ad  bc thì: a. Với   0 thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. b. Với   0 thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Ví dụ 3: Cho hàm số y  x3 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? x3 A. Hàm số đồng biến trên . B. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 3 và  3;   . C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 3 và  3;   . D. Hàm số nghịch biến trên . Đáp án B. Tập xác định D  Ta có y '  \ 3 3.1   3 .1  x  3 2  6  x  3 2  0 với mọi x  D . Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Tức là hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 3 và STUDY TIP Các mệnh đề nói hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một tập số không liên tục, bị gián đoạn là mệnh đề sai.  3;   . Lưu ý: Ta nói: “Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 3 và  3;   ”. Mà không thể nói “Hàm số đồng biến trên  ; 3   3;   ” hoặc “Hàm số đồng biến trên tập xác định.” Ví dụ 4: Cho hàm số y  x 2  3  x  . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;0  . STUDY TIP Với hàm số bậc ba có dạng y  ax3  bx 2  cx  d  a  0  . Nếu phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt: Nếu a  0 thì đồ thị hàm số có dạng chữ N, tức hàm số có hai khoảng đồng biến một khoảng nghịch biến. Còn a  0 thì ngược lại. B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  2;  . C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  0;2  . D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;3 . Đáp án C. Lời giải x  0 x  2 Ta có y '  3x 2  6 x  0   Nhận thấy đây là hàm số bậc ba, có hệ số a  1  0 nên hàm số đồng biến trên  0;2  . Nhận xét: Việc nhớ dạng đồ thị giúp ta làm nhanh các bài toán đơn điệu mà không cần vẽ bảng biến thiên. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Ví dụ 5: Trong các hàm số sau hàm nào đồng biến trên ? x 1 x3 A. y  x 4  x 2  1 B. y  C. y  x 2  1 D. y  x3  x Đáp án D. Lời giải Ta có thể loại phương án A, B, C do: Hàm số bậc bốn trùng phương luôn có khoảng đồng biến và nghịch biến trên . Tương tự hàm bậc hai có đồ thị dạng parabol nên cũng luôn có khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến trên . Còn phương án B: Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất gián đoạn tại x  3 , do đó hàm số này không thể luôn đồng biến trên . Mà chỉ luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định. Qua bài toán trên ta rút ra các kết quả sau: Kết quả 1: Hàm số bậc bốn trùng phương luôn có một điểm cực trị là x  0 , do vậy hàm số bậc bốn trùng phương luôn có khoảng đồng biến, nghịch biến trên . Kết quả 2: Hàm bậc hai luôn có một điểm cực đại hoặc một điểm cực tiểu, hoặc nhớ nôm na là đồ thị hàm bậc hai là một parabol, do vậy hàm bậc hai không thể đơn điệu trên . Kết quả 3: Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không thể đơn điệu trên do hàm số bị gián đoạn tại giá trị làm cho mẫu số không xác định, do đó ta chỉ có thể nói hàm số này đơn điệu trên từng khoảng xác định chứ không nói đơn điệu trên tập xác định hoặc đơn điệu trên . Kết quả 4: Để hàm số bậc ba có dạng y  ax3  bx 2  cx  d  a  0  đơn điệu trên thì phương trình y '  0  3ax2  2bx  c  0 (có  '  b2  3ac ) vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất, tức  '  0  b2  3ac  0 (trong công thức này a, b, c lần lượt là các hệ số của hàm bậc ba ban đầu). Lúc này dấu của hệ số a quyết định tính đơn điệu của hàm số. a. Nếu a  0 thì hàm số nghịch biến trên b. Nếu a  0 thì hàm số đồng biến trên . . Ví dụ 6: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai về hàm số y  2x 1 ? x 1 A. Hàm số đồng biến trên 1;  B. Hàm số đồng biến trên C. Hàm số không có cực trị D. Hàm số đồng biến trên  ; 1 LOVEBOOK.VN|16 Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Đáp án B. Lời giải Từ kết quả 3 ở trên ta chọn luôn B. Ví dụ 7: Hỏi hàm số y  A.  2;  x 2  4 x  3 đồng biến trên khoảng nào? C.  ;1 B.  ;3 D.  3;  Đáp án D. Lời giải Tập xác định: D   ;1  3;   Ta có y '  2x  4 2 x2  4 x  3 x2  x2  4x  3 y '  0  x  2 , kết hợp với điều kiện xác định thì hàm số đồng biến trên  3;  Ví dụ 8: Cho hàm số y  x3  3x  2 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0  và nghịch biến trên khoảng  0;  . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;   . C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;   . STUDY TIP Với hàm số bậc ba có dạng y  ax3  bx 2  cx  d D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0  và đồng biến trên khoảng  0;  . Đáp án C.  a  0  . Nếu phương Lời giải trình y '  0 vô nghiệm thì: Cách 1: Lời giải thông thường * Với a  0 hàm số đồng biến trên . đồng biến trên  ;   . * Với a  0 hàm số nghịch biến trên .   Ta có y '  3x 2  3  3 x 2  1  0, x  . Suy ra hàm số y  x3  3x  2 luôn Cách 2: Ta thấy phương trình y '  0 vô nghiệm và a  1  0 nên hàm số đã cho luôn đồng biến trên  ;   . Ví dụ 9: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng  ;   ? A. y  x 1 x3 B. y  x3  x C. y  Đáp án B. Lời giải x 1 x2 D. y   x3  3x Công Phá Toán – Lớp 12 - Hàm số dạng y  Ngọc Huyền LB ax  b  d ,  x    luôn đơn điệu (đồng biến, hoặc nghịch cx  d  c   biến) trên mỗi khoảng  ;  d  d   và   ;   . c  c  Ta loại ngay hai đáp án A và C. - Với phương án B: Ta có y '  3x 2  1  0, x  nên hàm số đồng biến trên . LOVEBOOK.VN|18 Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Bài tập rèn luyện kỹ năng Câu 1: Cho hàm số y  x . Trong các khẳng ln x định dưới đây, khẳng định nào đúng? A. Hàm số luôn đồng biến trên  0;  B. Hàm số luôn nghịch biến trên  0;e  và đồng biến trên  e;   Câu 6: Cho hàm số y   x3  6 x 2  10 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;0 B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng C. Hàm số nghịch biến trên  0;1 và đồng biến trên 1;   ; 4 C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng D. Hàm số nghịch biến trên  0;1 và 1;e  ; đồng biến trên  e;   Câu 2: Cho hàm số y  x  ln  x  1 . Khẳng định nào dưới đây là đúng? \ 1 A. Hàm số có tập xác định là B. Hàm số đồng biến trên  1;   C. Hàm số đồng biến trên  ;0  D. Hàm số nghịch biến trên  1;0  Câu 3: Hỏi hàm số y  x  3x  4 nghịch biến trên khoảng nào? 3 2  0;  D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  4;0  Câu 7: Cho hàm số y  x 4  2 x 2  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ; 1 và khoảng  0;1 B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  0;  C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  ; 1 và khoảng  0;1 D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng A.  2;0  B.  ; 2   1;0  C.  0;  D. Câu x  2 Câu 4: Cho hàm số y  . Khẳng định nào x 1 dưới đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên mỗi (từng) khoảng  ;1 và 1;  B. Hàm số nghịch biến trên mỗi (từng) khoảng  ;1 và 1;  C. Hàm số nghịch biến trên D. Hàm số nghịch biến với mọi x  1 Câu 5: Hàm số y   x  3x  9 x đồng biến trên khoảng nào sau đây? 3 A.  2;3 D.  1;3 C. 2 B.  2; 1 8: Hàm số f  x có đạo hàm f '  x   x 2  x  2  . Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng  2;   B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 2 và  0;  C. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2  và  0;  D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;0  Câu 9: Hàm số y  2 x 4  1 đồng biến trên khoảng nào? Công Phá Toán – Lớp 12   1 2 B.  0;    D.  ;0  A.  ;    1  2 C.   ;   Câu Ngọc Huyền LB 10: Biết hàm rằng Câu 16: Hỏi hàm số y  trên khoảng nào? số y  ax  bx  c  a  0 đồng biến trên  0;  , 4 2 khẳng định nào sau đây đúng? A. a  0; b  0 B. ab  0 C. ab  0 D. a  0; b  0 Câu 11: Hàm số y   1 4 x  2 x 2  3 nghịch biến 4 trong khoảng nào sau đây: A.  ;0  B.  2;0  C.  2;   D.  0;  Câu 12: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó: x 1 x 1 A. y  x3  x  1 B. y  C. y  x3  2 x  3 D. y  x 4  2 x 2  3 Câu 13: Hỏi hàm số y  2 x  x 2 đồng biến trên khoảng nào?? A.  ;2  B.  0;1 C. 1;2  D. 1;  Câu 14: Cho hàm số y  sin x  cos x  3x . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Hàm số nghịch biến trên  ;0  x 2  4 x  3 nghịch biến A.  2;  B.  3;  C.  ;1 D.  ;2  Câu 17: Xét tính đơn điệu của hàm số y  x 3  3x  2 . A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  1;1 , đồng biến trên các khoảng  ; 1 và 1;  B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  1;1 , nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và 1;  C. Hàm số đã cho đồng biến trên  ;   D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  0;3 , đồng biến trên các khoảng  ;0 và  3;  Câu 18: Hàm số y  ln  x  2   3 đồng biến x2 trên khoảng nào? B. 1;  A.  ;1  1  2 1  2  Câu 19: Hàm số y  2 x 2  x 4 nghịch biến trên những khoảng nào? Tìm đáp án đúng. A.  1;0  ; 1;   B.  ; 1 ;  0;1 C.  1;0  D.  1;1 2x  3 B. Hàm số nghịch biến trên 1;2  Câu 20: Hàm số y  C. Hàm số là hàm lẻ khoảng nào trong các khoảng dưới đây? D. Hàm số đồng biến trên  ;   Câu 15: Hàm số y  x 4  2 x 2  7 nghịch biến trên khoảng nào? A.  0;1 B.  0;  C.  1;0  D.  ;0    D.   ;   C.  ;1  3  2 A.  ; 1 và 1;   3  2 C. 1;  x 1 2 nghịch biến trên 3 2   B.  ;   D.  ; 1 LOVEBOOK.VN|20