Tài liệu Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy học giải bài tập một số dạng phương trình sai phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC PHẠM VĂN GIA RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HÀ NỘI – 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC PHẠM VĂN GIA RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC Mã số: 60 14 01 11 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn HÀ NỘI – 2016 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên của luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn, ngƣời thầy không chỉ hƣớng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học mà còn luôn quan tâm, động viên, khích lệ và tận tình hƣớng dẫn để tác giả vƣơn lên trong học tập và vƣợt qua những khó khăn trong quá trình hoàn thành luận văn. Tác giả xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu trƣờng Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô giáo trong nhà trƣờng và các thầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Nhân đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, ngƣời thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, ngày 10 tháng 08 năm 2016 Học viên Phạm Văn Gia i MỤC LỤC Lời cảm ơn ....................................................................................... i Mục lục .......................................................................................... ii Danh mục bảng .............................................................................. iv MỞ ĐẦU .................................................................................................... 1 Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU .................... 6 1.1 Tƣ duy ......................................................................................... 6 1.1.1 Khái niệm ...................................................................................... 6 1.1.2 Đặc điểm cơ bản của tƣ duy ......................................................... 6 1.1.4 Các thao tác tƣ duy ....................................................................... 9 1.1.5 Vấn đề phát triển năng lực tƣ duy............................................... 11 1.1.6 Dấu hiệu đánh giá tƣ duy phát triển............................................ 12 1.2 Tƣ duy sáng tạo ......................................................................... 12 1.2.1 Khái niệm về sáng tạo................................................................. 12 1.2.2 Quá trình sáng tạo ....................................................................... 14 1.2.4 Cấu trúc của tƣ duy sáng tạo....................................................... 17 1.3 Phƣơng hƣớng bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán ..................................................................... 20 1.3.1 Bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác.................................................................................... 20 1.3.3 Chú trọng bồi dƣỡng từng yếu tố cụ thể của tƣ duy sáng tạo .... 21 1.3.4 Bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học .......................................... 22 1.4 Thực trạng quá trình dạy và học về dạng toán tìm số hạng tổng quát của dãy số ................................................................................. 22 Kết luận chƣơng 1 ............................................................................ 25 Chƣơng 2 RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ ...................................................................................................... 26 ii 2.1 Một số kiến thức cơ bản về dãy số ............................................ 26 2.2 Giải bài tập tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách sử dụng cấp số cộng và cấp số nhân .............................................................. 29 2.2.1 Phƣơng trình sai phân tuyến tính bậc 1 ...................................... 29 2.2.2 Phƣơng trình sai phân tuyến tính bậc 2 ...................................... 34 2.2.3 Một số dạng khác ........................................................................ 43 2.3 Giải bài tập tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách sử dụng phƣơng pháp quy nạp toán học ........................................................ 49 2.4 Giải bài tập tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách sử dụng phƣơng pháp đổi biến....................................................................... 53 2.5 Giải bài tập tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách sử dụng phƣơng pháp lƣợng giác hóa............................................................ 56 2.6 Giải bài tập tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách sử dụng hàm lặp ............................................................................................. 59 2.7 Ứng dụng bài toán tìm công thức tổng quát vào các bài toán dãy số và tổ hợp ...................................................................................... 77 Kết luận chƣơng 2 ............................................................................ 87 Chƣơng 3 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................... 88 3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sƣ phạm .................... 88 3.2. Phƣơng pháp thực nghiệm ........................................................ 88 3.3 Nội dung và tổ chức thực nghiệm ............................................. 89 3.4 Kết quả của thực nghiệm sƣ phạm.......................................... 103 Kết luận chƣơng 3 .......................................................................... 110 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ........................................................... 111 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................... 112 PHỤ LỤC .................................................................................................. 114 iii DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1. Số lƣợng học sinh lớp đối chứng và lớp thực nghiệm................ 90 Bảng 3.2. Thống kê điểm số các bài kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng ................................................................................................... 106 Bảng 3.3. Tỉ lệ các bài trên trung bình và dƣới trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng ........................................................................... 107 Bảng 3.4. Tỉ lệ bài khá giỏi của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng ......... 107 Bảng 3.5. Biểu đồ cột về kết quả điểm thi của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng ......................................................................................................... 108 iv MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Công cuộc đổi mới của đất nƣớc đã và đang đặt ra cho ngành Giáo dục và Đào tạo nhiệm vụ to lớn và hết sức nặng nề đó là đào tạo nguồn nhân lực chất lƣợng cao đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nƣớc. Để đáp ứng nhu cầu trên, bên cạnh việc đổi mới mục tiêu, nội dung chƣơng trình và sách giáo khoa ở mọi bậc học, chúng ta cần phải đổi mới phƣơng pháp dạy học. Nghị quyết Đại hội lần thứ XI của Đảng đã khẳng định “Thực hiện đồng bộ các giải pháp phát triển và nâng cao chất lượng giáo dục, đào tạo. Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý tưởng, đạo đức, năng lực sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội”. Để tạo ra những con ngƣời lao động mới có năng lực sáng tạo cần có những phƣơng pháp dạy học phù hợp để khơi dậy và phát huy đƣợc năng lực của ngƣời học. Do đó, một yêu cầu cấp thiết đƣợc đặt ra trong hoạt động giáo dục phổ thông là không ngừng nghiên cứu, cải tiến phƣơng pháp dạy học cho phù hợp với ngƣời học, với điều kiện giảng dạy và học tập. Sƣ phạm học hiện đại đề cao nguyên lý học là công việc của từng cá thể, thực chất quá trình tiếp nhận tri thức phải là quá trình tƣ duy bên trong của bản thân chủ thể. Vì thế nhiệm vụ của ngƣời giáo viên là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng cho học sinh chứ không phải làm đầy trí tuệ của các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã có. Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi giáo viên phải biết cách dạy cho học sinh tự suy nghĩ, phát huy hết khả năng, năng lực sáng tạo của bản thân mình để giải quyết vấn đề mà học sinh gặp phải trong quá trình học tập và trong cuộc sống. Thực tiễn còn cho thấy trong quá trình học toán có rất nhiều học sinh còn bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực tƣ duy sáng tạo. Những học 1 sinh này thƣờng nhìn các đối tƣợng toán học một cách rời rạc, chƣa thấy đƣợc mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, không linh hoạt trong điều chỉnh hƣớng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi. Đặc biệt những học sinh khá, giỏi chƣa phát huy đƣợc năng lực tƣ duy sáng tạo của bản thân để tìm ra những lời giải có tính độc đáo, để tổng hợp, phân tích các vấn đề một cách hệ thống, lôgic. Từ đó dẫn đến một hệ quả là nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải toán, đặc biệt là các bài toán đòi hỏi phải có sáng tạo trong lời giải. Bên cạnh việc giúp học sinh giải quyết các bài tập sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình. Chƣơng "Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân" chƣơng trình Đại số nâng cao lớp 11 là một nội dung quan trọng của môn Toán. Nếu hệ thống bài tập đƣợc khai thác và sử dụng hợp lý thì sẽ rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tƣ duy sáng tạo biểu hiện ở các mặt nhƣ: khả năng tìm hƣớng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán), khả năng sáng tạo ra bài toán mới trên cơ sở những bài toán quen thuộc. Trong chƣơng trình toán học trung học phổ thông các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11, học sinh thƣờng gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên qua đến dãy số và đặc biệt là bài toán xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi đã xác định đƣợc công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần nhƣ đƣợc giải quyết. Do đó xác định công thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất định trong các bài toán dãy số. 2 Nhận thức đƣợc tầm quan trọng của các vấn đề nêu trên nên tác giả chọn đề tài: “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy học giải bài tập một số dạng phương trình sai phân” làm luận văn tốt nghiệp của mình. 2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Đề xuất những biện pháp cần thiết nhằm rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học bài tập về tìm công thức số hạng tổng quát của một dãy số. 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, làm sáng tỏ một số vấn đề cơ bản của tƣ duy, tƣ duy sáng tạo. - Nghiên cứu những biểu hiện của tƣ duy sáng tạo của học sinh trung học phổ thông và sự cần thiết phải rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập. - Tìm hiểu thực trạng của dạy và học bài toán tìm công thức số hạng số hạng tổng quát của 1 dãy số. - Đề xuất các biện pháp cần thiết để rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh qua dạy bài tập tìm công thức số hạng số hạng tổng quát của 1 dãy số. - Tổ chức dạy thực nghiệm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 3 Giả thuyết khoa học Thông qua hệ thống các bài tập về tìm số hạng tổng quát của 1 dãy số sẽ giúp cho học sinh xây dựng khả năng tự học, tự nghiên cứu và lòng say mê toán học, qua đó rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh. 3 4 Phƣơng pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, các sách giáo khoa, sách bài tập, các tạp chí, sách, báo, đặc san tham khảo có liên quan tới logic toán học, tƣ duy sáng tạo, các phƣơng pháp tƣ duy toán học, các phƣơng pháp nhằm phát triển và rèn luyện tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh phổ thông, các bài tập mang nhiều tính tƣ duy sáng tạo. 4.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Bƣớc đầu tìm hiểu tình hình dạy học và rút ra một số nhận xét về việc “Rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy học giải bài tập một số dạng phƣơng trình sai phân”. 4.3 Phương pháp điều tra khảo sát, thực nghiệm sư phạm Thể hiện các biện pháp đã đề ra qua một số giờ dạy thực nghiệm ở một số lớp đã chọn. Trên cơ sở đó kiểm tra, đánh giá, bổ sung và sửa đổi để tăng thêm tính khả thi của các biện pháp. 5 Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu 5.1 Đối tượng nghiên cứu Trên cơ sở lý luận của kỹ năng giải toán, tƣ duy sáng tạo, áp dụng vào dạy học nội dung tìm số hạng tổng quát của dãy số trong chƣơng trình toán trung học phổ thông. Từ đó phân loại và phát triển hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tƣ duy sáng tạo, gợi động cơ hứng thú học tập cho học sinh. 5.2 Khách thể nghiên cứu 4 Lớp 11A1, 11A2 trƣờng trung học phổ thông Lạng Giang số 1, huyện Lạng Giang, tỉnh Bắc Giang và 11A9, 11A10 trƣờng trung học phổ thông Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang. 5.3 Phạm vi nghiên cứu Quá trình dạy học bài tập chƣơng „„Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân” cho học sinh khá, giỏi ở trƣờng trung học phổ thông. 6 Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, luận văn đƣợc trình bày trong 3 chƣơng: Chƣơng 1 Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu. Chƣơng 2 Rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về tìm số hạng tổng quát của dãy số. Chƣơng 3 Thực nghiệm sƣ phạm. 5 Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Tƣ duy 1.1.1 Khái niệm Theo từ điển Tiếng Việt phổ thông [16]: “Tƣ duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức nhƣ biểu tƣợng, khái niệm, phán đoán, suy lý”. Theo từ điển bách khoa toàn thƣ Việt Nam [7]: “Tƣ duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất đƣợc tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận,… Tƣ duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con ngƣời và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp với quy luật của thực tại”. Theo quan niệm của Tâm lý học [6]: “Tƣ duy là một quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính, là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tƣ duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tƣợng mà trƣớc đó ta chƣa biết”. 1.1.2 Đặc điểm cơ bản của tư duy a) Tính có vấn đề Khi gặp những tình huống mà với hiểu biết đã có, phƣơng pháp hành động đã biết, chúng ta không đủ giải quyết, lúc đó chúng ta rơi vào “tình huống có vấn đề”, và có xu hƣớng cố vƣợt ra khỏi phạm vi những hiểu biết cũ để đi tới cái mới, hay nói cách khác chúng ta phải tƣ duy. b) Tính khái quát Tƣ duy mang tính khái quát do có khả năng phản ánh những thuộc tính chung, những mối quan hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật hiện tƣợng. 6 c) Tính độc lập tương đối của tư duy Trong quá trình sống con ngƣời luôn giao tiếp với nhau, do đó tƣ duy của từng ngƣời vừa tự biến đổi qua quá trình hoạt động của bản thân vừa chịu sự tác động biến đổi từ tƣ duy của đồng loại thông qua những hoạt động có tính vật chất. Do đó, tƣ duy không chỉ gắn với bộ não của từng cá thể ngƣời mà còn gắn với sự tiến hóa của xã hội, trở thành một sản phẩm có tính xã hội trong khi vẫn duy trì đƣợc tính cá thể của một con ngƣời nhất định. Mặc dù đƣợc tạo thành từ kết quả hoạt động thực tiễn nhƣng tƣ duy có tính độc lập tƣơng đối. Sau khi xuất hiện, sự phát triển của tƣ duy còn chịu ảnh hƣởng của những tri thức mà nhân loại đã tích lũy đƣợc trƣớc đó. Tƣ duy cũng chịu ảnh hƣởng, tác động của các lý thuyết, quan điểm tồn tại cùng thời với nó. Mặt khác, tƣ duy cũng có logic phát triển nội tại riêng của nó, đó là sự phản ánh đặc thù logic khách quan theo cách hiểu riêng gắn với mỗi con ngƣời. Đó chính là tính độc lập tƣơng đối của tƣ duy. d) Mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ Nhu cầu giao tiếp của con ngƣời là điều kiện cần để phát sinh ngôn ngữ. Kết quả tƣ duy đƣợc ghi lại bằng ngôn ngữ. Ngay từ khi xuất hiện, tƣ duy đã gắn liền với ngôn ngữ và đƣợc thực hiện thông qua ngôn ngữ. Vì vậy, ngôn ngữ chính là cái vỏ hình thức của tƣ duy. Ở thời kỳ sơ khai, tƣ duy đuợc hình thành thông qua hoạt động vật chất của con ngƣời và từng bƣớc đƣợc ghi lại bằng các ký hiệu từ đơn giản đến phức tạp, từ đơn lẻ đến tập hợp, từ cụ thể đến trừu tƣợng. Hệ thống các ký hiệu đó thông qua quá trình xã hội hóa và trở thành ngôn ngữ. Sự ra đời của ngôn ngữ đánh dấu bƣớc phát triển nhảy vọt của tƣ duy và tƣ duy cũng bắt đầu phụ thuộc vào ngôn ngữ. Ngôn ngữ với tƣ cách là hệ thống tín hiệu thứ hai trở thành công cụ giao tiếp chủ yếu giữa con ngƣời với con ngƣời, phát triển cùng với nhu cầu của nền sản xuất xã hội cũng nhƣ sự xã hội hóa lao động. e) Mối quan hệ giữa tư duy và nhận thức 7 Tƣ duy là công cụ, là nguyên nhân, là kết quả của nhận thức, đồng thời là sự phát triển cấpcao của nhận thức. Xuất phát điểm của nhận thức là những cảm giác, tri giác và biểu tƣợng... đƣợc phản ánh từ thực tiễn khách quan với những thông tin về hình dạng, hiện tƣợng bên ngoài đƣợc phản ánh một cách riêng lẻ. Giai đoạn này đƣợc gọi là tƣ duy cụ thể. Ở giai đoạn sau, với sự hỗ trợ của ngôn ngữ, hoạt động tƣ duy tiến hành các thao tác so sánh, đối chiếu, phân tích, tổng hợp, khu biệt, quy nạp những thông tin đơn lẻ, gắn chúng vào mối liên hệ phổ biến, lọc bỏ những cái ngẫu nhiên, không căn bản của sự việc để tìm ra nội dung và bản chất của sự vật, hiện tƣợng, quy nạp nó thành những khái niệm, phạm trù, định luật... Giai đoạn này đƣợc gọi là giai đoạn tƣ duy trừu tƣợng. 1.1.3 Những phẩm chất của tư duy a) Khả năng định hướng: Ý thức nhanh chóng và chính xác đối tƣợng cần lĩnh hội, mục đích phải đạt đƣợc và những con đƣờng tối ƣu đạt đƣợc mục đích đó. b) Bề rộng: Có khả năng vận dụng nghiên cứu các đối tƣợng khác. c) Độ sâu: Nắm vững ngày càng sâu sắc hơn bản chất của sự vật, hiện tƣợng. d) Tính linh hoạt: Nhạy bén trong việc vận dụng những tri thức và cách thức hành động vào những tình huống khác nhau một cách sáng tạo. e) Tính mềm dẻo: Thể hiện ở hoạt động tƣ duy đƣợc tiến hành theo các hƣớng xuôi ngƣợc chiều. f) Tính độc lập: Thể hiện ở chỗ tự mình phát hiện ra vấn đề, đề xuất cách giải quyết và tự giải quyết đƣợc vấn đề. g) Tính khái quát: Khi giải quyết một loại vấn đề nào đó sẽ đƣa ra đƣợc mô hình khái quát, trên cơ sở đó để có thể vận dụng để giải quyết các vấn đề tƣơng tự, cùng loại. 8 1.1.4 Các thao tác tư duy Quá trình tƣ duy đƣợc diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ. Các thao tác trí tuệ cơ bản bao gồm a. Phân tích - tổng hợp Theo [13, tr.122]: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ. Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trƣờng xung quanh. Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tƣ duy. Những hoạt động trí tuệ đều diễn ra trên nền tảng của phân tích và tổng hợp. Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất. Phân tích tiến hành theo hƣớng tổng hợp, tổng hợp đƣợc thực hiện theo kết quả phân tích. Trong học tập môn toán phân tích và tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tƣ duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề. b. So sánh – tương tự So sánh là thao tác tƣ duy nhằm xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tƣợng. Muốn so sánh hai sự vật, hiện tƣợng ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau rồi tổng hợp lại xem hai sự vật, hiện tƣợng có cái gì giống và khác nhau. So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích - tổng hợp và đối với các hình thức tƣ duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhƣng vẫn có thể nhận thức đƣợc những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tƣợng. Tƣơng tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tƣợng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tƣợng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác. 9 Do đó, tƣơng tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tƣợng ở một mức độ nào đó, trong một quan hệ nào đó. Theo G.Polya: “Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa bộ phận tương ứng” [12, tr.29]. c. Khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá Khái quát hoá là thao tác tƣ duy nhằm hợp nhất nhiều đối tƣợng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung nhất định. Các thuộc tính chung đó gồm hai loại: những thuộc tính chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất. Theo [8, tr.46].: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát”. Theo Polya: “Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu” [20, tr.21]. Nhƣ vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát hơn. Trong toán học, ngƣời ta thƣờng khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, định lý, bài toán… thành những kết quả tổng quát. Đặc biệt hoá là thao tác tƣ duy ngƣợc lại với khái quát hoá. Mối quan hệ giữa khái quát hoá và đặc biệt hoá thƣờng đƣợc vận dụng trong tìm tòi, giải toán. Từ một tính chất nào đó, ta muốn khái quát hoá ta thử đặc biệt hoá. Nếu kết quả là của đặc biệt hoá là đúng thì ta mới tìm cách chứng minh dự đoán từ khái quát hoá. Nhƣng nếu sai thì dừng lại. Trừu tƣợng hoá: Trừu tƣợng hoá là thao tác tƣ duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tƣ duy. Sự phân biệt bản chất hay không 10 bản chất ở đây chỉ mang nghĩa tƣơng đối, nó phụ thuộc mục đích hành động. Tác giả [5] cho rằng: “Trừu tượng hoá và khái quát hoá liên hệ chặt chẽ với nhau. Nhờ trừu tượng hoá ta có thể khái quát hoá rộng hơn và nhận thức sự vật sâu sắc hơn. Và ngược lại khái quát hoá đến một mức nào đó giúp ta tách được những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, tức là đã trừu tượng hoá. Trừu tượng hoá là một “hoạt động tư duy”, hoạt động này của bộ não con người có thể hướng tới bất kì vấn đề gì của khoa học nói chung và nói riêng của Toán học”. 1.1.5 Vấn đề phát triển năng lực tư duy Việc phát triển tƣ duy cho học sinh trƣớc hết là giúp học sinh thông hiểu kiến thức một cách sâu sắc, không máy móc, biết cách vận dụng kiến thức vào bài tập, từ đó mà kiến thức học sinh thu nhận đƣợc trở nên vững chắc và sinh động. Chỉ thực sự lĩnh hội đƣợc tri thức khi tƣ duy tích cực của bản thân học sinh đƣợc phát triển và nhờ sự hƣớng dẫn của giáo viên các em biết phân tích, khái quát tài liệu có nội dung cụ thể và rút ra những kết luận cần thiết. Sự phát triển tƣ duy diễn ra trong quá trình tiếp thu kiến thức và vận dụng tri thức, khi tƣ duy phát triển sẽ tạo ra một kỹ năng và thói quen làm việc có suy nghĩ, có phƣơng pháp, chuẩn bị tiềm lực lâu dài cho học sinh trong hoạt động sáng tạo sau này. Muốn phát triển năng lực tƣ duy, phải xây dựng nội dung dạy học sao cho nó không phải “thích nghi” với trình độ phát triển có sẵn của học sinh mà đòi hỏi phải có trình độ phát triển cao hơn, có phƣơng thức hoạt động trí tuệ phức tạp hơn. Nếu học sinh thực sự nắm đƣợc nội dung đó, thì đây là chỉ tiêu rõ nhất về trình độ phát triển năng lực tƣ duy của học sinh. 11 1.1.6 Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển - Có khả năng tự lực chuyển tải tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới. Trong quá trình học tập, học sinh đều phải giải quyết những vấn đề đòi hỏi phải liên tƣởng đến những kiến thức đã học trƣớc đó. Nếu học sinh độc lập chuyển tải tri thức vào tình huống mới thì chứng tỏ đã có biểu hiện tƣ duy phát triển. - Tái hiện kiến thức và thiết lập những mối quan hệ bản chất một cách nhanh chóng. - Có khả năng phát hiện cái chung và cái đặc biệt giữa các bài toán. - Có năng lực áp dụng kiến thức để giải quyết tốt bài toán thực tế: Định hƣớng nhanh, biết phân tích suy đoán và vận dụng các thao tác tƣ duy để tìm cách tối ƣu và tổ chức thực hiện có hiệu quả. 1.2 Tƣ duy sáng tạo 1.2.1 Khái niệm về sáng tạo Các bài kiểm tra chuẩn thƣờng không đo đƣợc tính sáng tạo một cách chính xác: trong thực tế chúng ta gặp khó khăn trong việc nhất trí về sáng tạo một cách tiềm tàng, ấy thế nhƣng nhiều phụ huynh và giáo viên lại áp đặt nhiều giới hạn vào hành vi tự nhiên của chúng đến mức mà chúng thấy sáng tạo phiền hà cho chúng làm cho chúng không đồng ý. Phụ huynh thƣờng phản ứng tiêu cực đối với sự hiếu kỳ và sự bày bừa của con em mình. Giáo viên và phụ huynh thƣờng áp đặt các quy tắc trật tự, sự tuân thủ và “trạng thái bình thƣờng” để phù hợp với họ. Các học sinh có đầu óc sáng tạo thƣờng xuyên làm cho giáo viên lúng túng, các câu trả lời mới mẻ của chúng thƣờng bị đe dọa, và hành vi của chúng thƣờng đi chệch khỏi các hành vi đƣợc coi là bình thƣờng. Các chuyên gia về chƣơng trình có xu hƣớng bỏ qua vai trò của học sinh trong các kế hoạch của họ và giáo viên thƣờng bỏ qua chúng trong chƣơng trình 12 và các bài tập trên lớp của họ. Ngay cả khi họ nhận ra đƣợc tính sáng tạo thì các nhà giáo dục vẫn thƣờng xuyên gộp các học sinh “có năng khiếu” lại với nhau không phân biệt giữa tài năng sáng tạo và tài năng trí tuệ hay giữa các kiểu sáng tạo khác nhau. Bản chất của tính sáng tạo là sự mới mẻ và do đó chúng ta không có tiêu chí để đánh giá nó. Trong thực tế, sản phẩm càng độc đáo bao nhiêu thì nó càng có xu hƣớng bị những ngƣời đƣơng thời đánh giá là ngu ngốc bấy nhiêu. Sáng tạo nhƣ là sự tự nguyện để bị làm bối rối (làm quen chính mình với một cái gì đó chƣa đƣợc biết đến với sự khó chịu), khả năng tập trung, khả năng trải qua kinh nghiệm nhƣ là ngƣời tạo nguồn cho các hành động, sự tự nguyện chấp nhận mâu thuẫn và sự căng thẳng do sự thiếu kiên nhẫn gây ra cho các ý tƣởng sáng tạo. Theo [7] định nghĩa: “Sáng tạo là hoạt động của con ngƣời trên cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con ngƣời. Sáng tạo là hoạt động có tính đặc trƣng không lặp lại, tính độc đáo và duy nhất”. Theo [16, tr.1130]: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có”. Các công trình nghiên cứu này chỉ rằng ít có sự nhất trí về định nghĩa tính sáng tạo trừ việc cho rằng nó là một phẩm chất của trí tuệ và có quan hệ với tính thông minh. Sáng tạo là quá trình vừa hữu thức vừa vô thức và vừa có thể quan sát đƣợc vừa không thể quan sát đƣợc. Bởi vì các quá trình vô thức và không thể quan sát đƣợc khó xử lý trong lớp học, cho nên thƣờng có sự hiểu nhầm giữa giáo viên và những học sinh sáng tạo. Giáo viên thƣờng yêu cầu học sinh có tƣ duy “phản ứng” (reactive thinking); nghĩa là họ chờ đợi học sinh phản ứng lại với câu hỏi, các bài tập, hay các mục trong bài kiểm tra và đƣa ra câu trả lời ƣa chuộng hơn. Họ có xu hƣớng không khuyến khích tƣ duy “ngƣợc” (proactive); nghĩa là tạo 13 ra các câu hỏi và câu trả lời mới. Đây là cách mà hầu hết giáo viên đƣợc đào tạo, và họ cảm thấy không thoải mái về việc không có câu trả lời đúng. Một số giáo viên thực sự phát triển tƣ duy phê phán trong học sinh, nhƣng họ cần phải vƣợt ra khỏi tƣ duy phản ứng và thậm chí ra khỏi tƣ duy phê phán và khuyến khích học sinh tạo ra các ý tƣởng. Xã hội cần các nhà tạo tƣ tƣởng để lập kế hoạch, để ra các quyết định và để xử lý các vấn đề công nghệ và xã hội. Giáo viên cần phải để cho học sinh biết rằng có câu hỏi đúng không phải lúc nào cũng quan trọng, rằng hiểu sâu là điều quan trọng, rằng các hoạt động khác nhau yêu cầu các khả năng khác nhau. Giáo viên cần phải hiểu rằng hầu hết mọi học sinh đều có tiềm năng của tƣ duy sáng tạo. Qua các khái niệm trên có thể nói: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới không bị gò bó phụ thuộc vào những cái đã có”. 1.2.2 Quá trình sáng tạo Quá trình sáng tạo gồm 4 giai đoạn: Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn chủ thể thử giải quyết vấn đề bằng các cách khác nhau, huy động thông tin, suy luận. Giai đoạn ấp ủ: Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết vấn đề bị ngừng lại, còn lại các hoạt động tiềm thức, các hoạt động bổ xung cho vấn đề đƣợc quan tâm. Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến khi sự “bừng sáng” trực giác, một bƣớc nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo. Đây là giai đoạn quyết định trong quá trình tìm kiếm lời giải. Giai đoạn kiểm chứng: Là giai đoạn chủ thể kiểm tra trực giác, triển khai các luận chứng lôgíc để có thể chứng tỏ tính đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sự sáng tạo mới đƣợc khẳng định. 14