Tài liệu Rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chương số phức - giải tích lớp 12 nâng cao trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ---------- TRẦN ĐỨC THIỆN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHƢƠNG SỐ PHỨC – GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (Bộ môn Toán học) Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN NHỤY Hµ Néi - 2010 1 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo đang công tác giảng dạy tại trường đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài. Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy PGS. TS. Nguyễn Nhụy , người thầ y đã tân tình hướng dẫn giúp đỡ tác giả trong suấ t thời gian học tập cũng như trong thời gian làm luậ n văn để luận văn hoàn thành đúng thời hạn . Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đế n Sở Giáo dục & Đào tạo Nam Đi ̣nh , Ban Giám hiê ̣u cùng các thầ y cô giáo tổ Toán và các em học sinh trường THPT Lý Tự Trọng đã tạo điề u kiê ̣n giúp đỡ tác giả trong qúa trình thực hiện bản luận văn này . Sự quan tâm giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi của gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp trong quá trình học tập, thực hiện nghiên cứu đề tài là một nguồn động viên, cổ vũ tiếp thêm sức mạnh cho tác giả. Tác giả xin chân thành cảm ơn. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn luận văn không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn. Nam Đinh ̣ , ngày....tháng....năm 2010 Tác giả Trầ n Đƣ́c Thiêṇ 2 DANH MỤC CÁC CHƢ̃ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ BCH Ban chấ p hành Nxb Nhà xuất bản SGK Sách giáo khoa tr. Trang THPT Trung học phổ thông 3 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang 1. Lý do chọn đề tài. .................................................................................... 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ................................................. 3 3. Giả thuyết khoa học ...................................................................... 3 4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................... 3 5. Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu ........................................ 4 6. Cấu trúc luận văn ........................................................................... 4 Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN .................................................................. 5 1.1. Kỹ năng giải toán ................................................................................. 5 1.1.1. Khái niệm kỹ năng ............................................................................ 5 1.1.2 Vai trò của kỹ năng ............................................................................ 8 1.1.3. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ........................................ 9 1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn toán .................................................... 13 1.2. Tư duy và tư duy sáng tạo .................................................................... 14 1.2.1. Tư duy, các hình thức cơ bản của tư duy, các thao tác tư duy.......... 14 1.2.2. Sáng tạo, quá trình sáng tạo .............................................................. 21 1.2.3. Khái niệm về tư duy sáng tạo ............................................................ 23 1.2.4. Các yếu tố tạo thành tư duy sáng tạo ................................................ 25 1.2.5. Cấu trúc của tư duy sáng tạo ............................................................. 26 1.3. Phương hướng rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong môn toán ở trường phổ thông ................................. 30 1.4. Kết luận ................................................................................................ 33 Chƣơng 2: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHƢƠNG SỐ PHỨC – GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO TRUNG HỌC PHỔ THÔNG. ................................................ 34 2.1. Phân tích nội dung chương trình Số phức trong sách giải tích 12 Trung học phổ thông ......................................................................... 4 34 2.1.1. Sơ lược về chương trình sách giáo khoa mới hiện nay ..................... 34 2.1.2. Nội dung chương trình chương Số phức - giải tích 12 Trung học phổ thông .................................................................................... 36 2.2. Những khó khăn học sinh gặp phải khi học chương Số phức ........... 40 2.3. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học chương Số phức .......................................................................................................................... 42 2.3.1. Rèn luyện kỹ năng tính toán ............................................................. 42 2.3.2. Rèn luyện kỹ năng thực hiện các phép biến đổi ............................... 46 2.3.3. Rèn luyện kỹ năng suy luận .............................................................. 49 2.4. Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chương Số phức .......................................................................................................................... 51 2.4.1. Rèn luyện theo các thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo ............ 52 2.4.2. Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải cho một bài toán ............. 60 2.4.3. Rèn luyện cho học sinh năng lực sáng tạo bài mới trên cơ sở tăng cường phối hợp các hoạt động trí tuệ .......................................................... 63 2.4.4. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học ứng dụng Số phức để giải toán ........................................................................... 66 2.5. Xây dựng hệ thống bài tập chương Số phức nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. .................................. 69 2.5.1. Một số vấn đề cần lưu ý khi xây dựng hệ thống bài tập chương Số phức ............................................................................................................. 69 2.5.2. Hệ thống bài tập ................................................................................ 71 2.6. Kết luận. ............................................................................................... 83 Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................ 84 3.1. Mục đích và nhiê ̣m vu ̣ thực nghiệm ............................................ 84 3.1.1. Mục đích .................................................................................. 84 3.1.2. Nhiệm vụ ........................................................................................... 84 3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm ............................................... 84 3.2.1. Tổ chức thực nghiệm......................................................................... 84 5 3.2.2. Nội dung thực nghiệm ....................................................................... 85 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm .................................................................... 91 3.3.1. Đánh giá định tính .................................................................................... 91 3.3.2. Đánh giá định lượng ................................................................................. 92 3.4. Kết luận chung về thực nghiệm .................................................................. 93 KẾT LUẬN ................................................................................................ 94 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 95 6 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được chỉ rõ trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV BCH Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (khóa IV, 1993): "Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thể hiện mục tiêu lớn của đất nước”. Về phương pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II BCH Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (khóa VIII, 1997) đã đề ra: "Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu". Điều 29, Luật Giáo dục (2005) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, ... của học sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học; khả năng làm vệc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Thực hiện nhiệm vụ trên trong những năm qua nghành Giáo dục đã và đang tích cực tiến hành đổi mới cả về nội dung và phương pháp dạy học. Quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, chống lại thói quen học thụ động. Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở 1 trường THPT, việc rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là đặc biệt quan trọng và cần được tiến hành thường xuyên. Về nội dung môn Toán: Trong hệ thống kiến thức được đưa vào chương trình giảng dạy cho học sinh THPT, ngoài những nội dung kiến thức quen thuộc như: Lượng giác, giới hạn, hàm số mũ và hàm số lôgarit, phương trình và bất phương trình,...thì Số phức đã được đưa vào chương trình Giải tích 12. Mục tiêu của việc đưa nội dung Số phức vào chương trình môn Toán ở THPT là giúp hoàn thiện hệ thống số và khai thác một số ứng dụng của Số phức trong Đại số, Hình học và Lượng giác. Chủ đề Số phức là một chủ đề mới và khó trong chương trình môn Toán THPT. Do là một chủ đề kiến thức mới đối với học sinh THPT nên sau khi học xong chương Số phức học sinh mới hiểu được một cách rất đơn sơ: Sử dụng Số phức có thể giải được tất cả các phương trình bậc hai, tính được một số tổng đặc biệt.... Thực tế giảng dạy Số phức ở phổ thông hiện nay còn rất sơ sài, chưa có hệ thống các bài toán áp dụng. Sách giáo khoa, với lý do sư phạm cũng chỉ dừng lại ở mức độ cơ bản, do vậy học sinh cũng chưa thực sự nắm được nhiều về nội dung kiến thức này. Để nắm được kiến thức hoàn chỉnh và đầy đủ về Số phức đòi hỏi học sinh phải có năng lực nhất định, phải có khả năng tư duy trừu tượng và khái quát tốt mới có thể giải toán linh hoạt và sáng tạo. Do đó, dạy học chủ đề này có tác dụng lớn trong việc bồi dưỡng, phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh thông qua các thao tác tư duy, đồng thời giúp học sinh linh hoạt, hệ thống hoá được kiến thức, tăng cường năng lực giải toán. Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài: ‘‘Rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chương Số phức – Giải tích lớp 12 nâng cao Trung học Phổ thông’’ làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình. 2 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu vai trò của rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học Số phức – Giải tích lớp 12 nâng cao nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận về kỹ năng giải toán, tư duy sáng tạo. - Nghiên cứu thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học chương Số phức. - Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi dạy học chương Số phức. - Hệ thống hoá các thành tố của tư duy sáng tạo và quan điểm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khi dạy học chương Số phức. - Qua thực nghiệm, kiểm tra đánh giá, rút ra các bài học thực tế, tính khả thi để áp dụng vào giảng dạy. 3. Giả thuyết khoa học Nếu dạy Số phức theo định hướng rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thì có thể góp phần đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay và nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường THPT. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu tham khảo có liên quan. - Phương pháp điều tra: Điều tra chất lượng học sinh trước và sau thử nghiệm. - Phương pháp quan sát: Thông qua dự giờ, trao đổi với giáo viên, phân tích kết quả học tập của học sinh nhằm tìm hiểu thực trạng về rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong nhà trường phổ thông. 3 - Phương pháp phỏng vấn. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm. 5. Đối tƣợng, khách thể và phạm vi nghiên cứu 5.1. Đối tượng nghiên cứu Trên cơ sở lý luận của kỹ năng giải toán, tư duy sáng tạo, áp dụng vào dạy học nội dung Số phức – Giải tích lớp 12 nâng cao THPT. Từ đó phân loại và phát triển hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo, gợi động cơ hứng thú học tập cho học sinh. 5.2. Khách thể và phạm vi nghiên cứu Học sinh và giáo viên dạy toán thuộc các trường THPT Lý Tự Trọng, THPT Trần Văn Bảo, Nam Trực – Nam Định. Kiểm nghiệm và đối chứng ở 2 lớp. 6. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương Chƣơng 1. Cơ sở lý luận Chƣơng 2. Rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chương số phức - giải tích lớp 12 nâng cao trung học phổ thông Chƣơng 3. Thực nghiệm sư phạm 4 Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1. Kỹ năng giải toán 1.1.1. Khái niệm kỹ năng Trong thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức và thực hành nhất định cho con người, đòi hỏi con người phải giải quyết các nhiệm vụ đó. Để giải quyết được công việc đòi hỏi con người phải sử dụng vốn hiểu biết, kinh nghiệm của mình, lựa chọn ra những phương thức hành động phù hợp. Từ đó con người dần dần hình thành cho mình hệ thống các kỹ năng giải quyết các vấn đề. Trong tài liệu tâm lý giáo dục, đã nêu lên một số khái niệm kỹ năng như sau: Từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế" [34, tr. 426]. Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [8, tr. 149]. Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết một nhiệm vụ mới” [11, tr.131]. Hoặc “Kỹ năng là sự lựa chọn trong tình huống cụ thể các phương thức đúng đắn của hành động để đạt được mục đích” [29, tr.15]. Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng đều nói rằng kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới. Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp...) vào giải quyết các bài tập cụ thể. Học sinh thường không tách ra được những chi tiết thứ yếu, không bản 5 chất ra khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, những mối quan hệ vốn có giữa kiến thức và đối tượng. Sở dĩ như vậy là do học sinh nắm kiến thức không chắc chắn, không gắn liền cơ sở của kỹ năng. Muốn kiến thức là cơ sở của kỹ năng thì kiến thức đó phải phản ánh đầy đủ thuộc tính của bản chất, được thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động (kỹ năng). Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức (hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và những quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho. Theo các nhà Tâm lý học sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hưởng của các yếu tố sau: a. Nội dung của nhiệm vụ, nội dung của bài toán được đặt ra trừu tượng hoá, bị che phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng. Ví dụ 1.1. Cho Số phức z là một nghiệm của phương trình z2  z  1  0 . Rút gọn 2 2 2 1  1  1  1  biểu thức P   z     z 2  2    z3  3    z 4  4  z  z   z   z   2 Mới nhìn bài toán dễ gây cho học sinh tâm lý hoảng sợ vì nghĩ z là nghiệm phức của phương trình z2  z  1  0 do đó phải tính nghiệm của phương trình sau đó thay nghiệm tính được vào biểu thức P để tính giá trị biểu thức do đó việc tính P trở nên dài dòng và khá phức tạp, tuy nhiên nếu chịu khó suy nghĩ thì việc tính toán biểu thức P trở nên dễ dàng: Ta thấy z  0 không thỏa mãn phương trình z2  z  1  0 . Nên z2  z  1  0  z  1  2 1 1  0  z   1 z z 1  1  1 1  1 Ta có: z  2   z    2  1 ; z3  3   z   z 2  1  2   1 2   2 z  z  z  z  z 2 6 2 1  1 2 z  4   z 2  2   2   1  2  1 z  z  4 2 2 2 2 1  1  1 2 2 2  1  Vậy P   z     z 2  2    z3  3    z 4  4    1   1  22   1  7 z  z   z   z   Như vậy, việc cho z là nghiệm phức của phương trình z2  z  1  0 chỉ nhằm mục đích ngụy trang làm cho học sinh định hướng sai cách giải của bài toán. Việc lột bỏ hình thức bề ngoài của bài toán, phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa trong bài toán, giúp học sinh xác định đúng bản chất của bài toán. Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán, học sinh không chỉ phát hiện, phân tích những yếu tố riêng biệt của bài toán mà cần thâu tóm, tổng hợp toàn bộ những yếu tố có mặt trong bài toán. Ví dụ 1.2. Giải phương trình sau trên tập số  iz 2  2z  3i    z 2  2  i  1 z  6   i  1 z 2  2  i  2  z  3 i  2  3 3 3 Cần phải quan sát, phân tích tất cả các các biểu thức có mặt trong các ngoặc vuông của phương trình, từ đó mới phát hiện được mối quan hệ bản chất có mặt trong bài toán đó là iz2  2z  3i  z 2  2  i  1 z  6  i  1 z 2  2 i  2  z  3 i  2  do đó phương trình đã cho có dạng a 3  b3   a  b   ab  a  b   0 , vì vậy việc 3 giải phương trình trở nên dễ dàng. b. Khả năng khái quát, mở rộng ảnh hưởng không nhỏ đến việc hình thành kỹ năng. c. Tâm lý và thói quen tâm lý cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng. Khi học sinh hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp họ dễ dàng hình thành kỹ năng, còn ngược lại sẽ cản trở việc học tập. Thói quen tâm lý là một trở ngại thường gặp trong học tập. Nguyên nhân chủ yếu hình thành thói quen tâm lý đó là tư duy của con người có tính phương hướng. Một loại kiến thức hoặc phương pháp cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn tượng sâu làm cho học sinh 7 không bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen tư duy cũ để mở ra một hướng suy nghĩ mới. Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là nhận thức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng bài toán cụ thể. Ví dụ 1.3. Gọi z1;z2 ;z3 ;z 4 là 4 nghiệm của phương trình trên  . Tính tổng S  z4  2z3  6z2  8z  8  0 1 1 1 1    . z14 z 24 z34 z 44 Nếu chỉ đọc sơ qua bài toán thông thường học sinh sẽ chỉ nghĩ đến phải tính nghiệm cụ thể của phương trình sau đó thay vào biểu thức để tính S , một khó khăn mà học sinh gặp phải là phương trình bậc 4 không có cách giải chung do đó không thể tính nghiệm. Tuy nhiên, nếu chú ý quan sát, phân tích đặc điểm bài toán ta thấy phương trình có thể đưa được về dạng tích, thật vậy: Phương trình đã cho  z4  2z3  2z2  4z2  8z  8  0  z 2  z 2  2z  2   4  z 2  2z  2   0   z 2  4  z 2  2z  2   0 Suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm z1  2i;z 2  2i ; z3 ; z 4 là hai nghiệm z3  z 4  2 z3 .z 4  2 của phương trình z2  2z  2  0 nên  2 Do đó 14  14  1 4  z1 1 8 z2  2i  1 2 3 8 1  2i  4  z3  z 4 2  2z3z 4   2z32 .z 42 1 1 1 1      và 4  4  z3 z3 z34 .z 44 2 8 Vậy S     . Như vậy, thói quen tâm lý là một thứ tiêu cực, làm cho tư duy trở nên cứng nhắc, bảo thủ và cản trở quá trình học tập của học sinh. 1.1.2. Vai trò của kỹ năng Trong các môn học ở trường phổ thông, môn Toán là môn học giữ một vai trò và vị trí quan trọng trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách cho học sinh. Khi học môn Toán, kỹ năng giữ một vai trò quan trọng và đặc biệt 8 cần thiết, bởi vì nếu không có kỹ năng học sinh sẽ không phát huy được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề. Rèn luyện kỹ năng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ giữa học với hành. Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng định nghĩa, khái niệm, định lý mà không biết vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập. 1.1.3. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực hiện được phải dựa trên mục đích này. Và kiến thức trên một phương diện nào đó sẽ không được củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng như vào các ngành khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động tương ứng. Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều này đã được nhiều tác giả đề cập như: “Suy nghĩ tức là hành động” ( J. Piaget), “Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm” ( Kant), “Học để hành, học và hành phải đi đôi” ( Hồ Chí Minh). Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập. Theo Nguyễn Cảnh Toàn dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng tư duy và tính cách cho học sinh. Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thời rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó, bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho học sinh. 9 Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể. Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những cách khác nhau như: - Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn tri thức cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài toán liên quan theo mức độ tăng dần. - Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể định hướng một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó. - Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc vận dụng tri thức. Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng cho học sinh cần được tiến hành trên các bình diện khác nhau như: - Kỹ năng vận dụng tri thức trong quá trình học môn toán, thể hiện rõ dưới dạng giải bài tập toán. - Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác như vật lý, hoá học. - Kỹ năng vận dụng tri thức vào đời sống. Có thể nói, bài tập toán chính là ''mảnh đất'' để rèn luyện kỹ năng toán. Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau: a. Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán. 1 i   1 i  Ví dụ 1.4. Tính giá trị biểu thức T       1 i  1 i  16 10 8 1  i    1  i   cos     isin    1 i Ta nhận thấy:      1  i 1  i 1  i   2    4   4  2 2 2 1  i    1  i   cos      isin     1 i Và      1  i 1  i 1  i   2    4   4  2 2 2 32    1 i     do đó:    cos    isin     cos8  isin8  1  1 i   4   4 16 16  1 i            cos     isin      cos  4   isin  4   1 1 i    4   4  8 Vậy T  1  1  2 . b. Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại. c. Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng. Ngoài ra, cần tạo nhu cầu hướng thú cho học sinh, khắc phục ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt sau: - Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạch khác nhau, từ đó so sánh các cách giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức. - Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán 1 i   1 i  Ví dụ 1.5. Tính giá trị biểu thức T       1 i  1 i  16 8 Ở ví dụ trên đã trình bày cách giải sử dụng dạng lượng giác của Số phức để giải, tuy nhiên nếu chịu khó suy nghĩ, tìm tòi hướng giải mới thì ta sẽ tìm được cách giải hay và ngắn gọn hơn rất nhiều 16 16 16  1  i 2   i 2  2i  1  16 1 i  Ta có      i  1   2  1 i   1  i 1  i     8 2 8   1  2i  i 2 8 8  1  i   1  i    i   1        2  1  i   1  i 1  i     11 Do đó T  1  1  2 Như vậy, các cách giải hay, độc đáo đều gắn liền với đặc điểm của từng bài. Do đó cần phải quan sát kỹ và chú ý đầy đủ mới có thể nhìn ra đặc điểm ẩn sâu trong bài toán. - Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán. Học sinh không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo phương pháp và các bước làm rõ ràng mà còn gặp khá nhiều bài phức tạp, không có phương pháp sẵn. Đòi hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo. Ví dụ 1.6. Giải phương trình  z 2  3iz  4   3i  z 2  3iz  4   z  4 trên tập số  2 Khi gặp bài toán trên, thông thường học sinh nghĩ đến cách làm là phá ngoặc, rồi rút gọn, khi đó bài toán trở thành phương trình bậc 4 như vậy học sinh sẽ gặp nhiều khó khăn để giải. Tuy nhiên nếu chịu khó suy nghĩ chú ý đến đặc điểm của phương trình ta sẽ tìm được cách giải hay và độc đáo cho bài toán. Đặt u  z2  3iz  4 khi đó phương trình 1  u 2  3iu  z  4  2  2  z  3iz  u  4 Ta lại có z  3iz  u  4  3 , Từ  2  và  3 ta có hệ phương trình  2  u  3iu  z  4 2 z 2  u 2  3i  z  u   u  z  z  u  z  u  3i  1  0    2  2 z  3iz  u  4 z  3iz  u  4    z  u  z  u  0  z  u  2  2  2 1  z   3i  1 z  4  0  z  3iz  u  4  z  3iz  z  4    z  u  3i  1  0 z  u  3i  1  z  u  3i  1      z 2   3i  1 z  3i  3  0  2   z 2  3iz  u  4  z 2  3iz  z  3i  1  4  Việc giải các phương trình 1 và  2  trở nên dễ dàng vì đó là các phương trình bậc 2. 12 Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh. 1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn toán Có nhiều cách phân loại kỹ năng. Theo tâm lý giáo dục, người ta thường chia kỹ năng học tập cơ bản thành 4 nhóm: a. Kỹ năng nhận thức Kĩ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: kĩ năng nắm một khái niệm, định lý, kĩ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc, trong đó yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc,... b. Kỹ năng thực hành Kĩ năng thực hành trong môn toán bao gồm kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán, kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (trong bài toán hoặc trong đời sống), kĩ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế. c. Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức Việc rèn luyện kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi học sinh phải có kế hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực bản thân, nhằm phấn đấu đạt được mục đích đặt ra trong từng giai đoạn. Đối với học sinh yếu, phải tạo điều kiện để các em học tập với tốc độ chậm, học kĩ, nắm được những kiến thức cơ bản, làm được những bài tập tối thiểu, thường xuyên ôn tập, củng cố kiến thức đã học và chuẩn bị cho việc tiếp thu kiến thức mới, từ đó nâng dần yêu cầu để các em vươn lên. Đặc biệt đối với những học sinh có khả năng học tập toán thì trước hết cần phát triển ở các em hứng thú học môn này, dần dần hướng dẫn làm thêm những bài toán hay, toán khó, đọc sách tham khảo để mở rộng thêm kiến thức, phương pháp. Tuy nhiên ở những học sinh này đòi hỏi phải học kĩ lí thuyết để nắm vững kiến thức cơ bản, làm thật đầy đủ kiến thức cơ bản mà giáo viên đã đề ra. Đồng thời, nên khuyến khích các em này vận dụng toán học vào thực tiễn phù hợp với trình độ bản thân thông qua các hoạt động thực hành toán học. 13 d. Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá Thông thường ta hay quan tâm tới kết quả kiểm tra từ phía thầy đối với trò, từ đó thầy có cơ sở để điều chỉnh cách dạy mà chưa quan tâm đến việc học sinh tự đánh giá. Trong khi đó, hoạt động học của học sinh là quá trình tự vận động để chiếm lĩnh tri thức lại có vai trò quyết định chất lượng đào tạo của nhà trường. Vì thế người học không chỉ thụ động tiếp thu sự điều chỉnh để đạt kết quả mong muốn. Do vậy, học sinh phải có kĩ năng tự kiểm tra đánh giá để làm căn cứ cho sự tự điều chỉnh. Đây là sự thể hiện mối quan hệ ngược bên trong của quá trình dạy học. Để rèn luyện kĩ năng này, trước hết phải xác định rõ mục tiêu học tập của từng giai đoạn, từng phần kiến thức của chương trình đối với bản thân mình. Căn cứ vào sự kiểm tra của giáo viên và nhất là căn cứ vào sự đánh giá của bản thân thông qua việc học lí thuyết, việc giải từng bài tập để tự đánh giá việc nắm vững khái niệm, định lí, khả năng vận dụng tri thức vào việc giải từng dạng bài tập, từ đó thấy được chỗ còn yếu, chỗ còn thiếu sót của bản thân về những mặt nào đó mà đề ra hướng khắc phục: hỏi giáo viên, nhờ bạn bè giảng giải hộ …Một khi học sinh có khả năng tự kiểm tra, đánh giá và biết tự điều chỉnh thì kết quả học tập sẽ được nâng lên. Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh. 1.2. Tƣ duy và tƣ duy sáng tạo 1.2.1. Tư duy, các hình thức cơ bản của tư duy, các thao tác tư duy 1.2.1.1. Khái niệm tư duy và một số yếu tố cơ bản của tư duy Ý thức của con người bắt nguồn từ thuộc tính phổ biến của vật chất là thuộc tính phản ánh, mà bộ óc người là một dạng vật chất tiến hóa cao nhất 14