Tài liệu Rèn kỷ năng giải bài tập tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: sè b»ng nhau '..' RÌn kØ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ Phßng gi¸o dôc ®µo t¹o lÖ thuû Trêng thcs kiÕn giang -----------  ----------- §Ò tµi Mét sè kinh nghiÖm vÒ viÖc rÌn kÜ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau trong ®¹i sè 7 NguyÔn Cao Tý Hä vµ tªn: §¬n vÞ : trêng thcs kiÕn giang Th¸ng 1 n¨m 2010 Ngêi thùc hiªn: NguyÔn Cao Tý trêng THCS kiÕn giang 1 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: sè b»ng nhau '..' RÌn kØ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ A: §Æt vÊn ®Ò: I: LÝ do chän ®Ò tµi : §µo t¹o thÕ hÖ trÎ trë thµnh nh÷ng ngêi n¨ng ®éng s¸ng t¹o, ®éc lËp tiÕp thu tri thøc khoa häc kü thuËt hiÖn ®¹i, biÕt vËn dông vµ thùc hiÖn c¸c gi¶i ph¸p hîp lý cho nh÷ng vÊn ®Ò trong cuéc sèng x· héi vµ trong thÕ giíi kh¸ch quan lµ mét vÊn ®Ò mµ nhiÒu nhµ gi¸o dôc ®· vµ ®ang quan t©m.VÊn ®Ò trªn kh«ng n»m ngoµi môc tiªu gi¸o dôc cña §¶ng vµ Nhµ níc ta trong giai ®o¹n lÞch sö hiÖn nay. Trong tËp hîp c¸c m«n n»m trong ch¬ng tr×nh cña gi¸o dôc phæ th«ng nãi chung, trêng THCS nãi riªng, m«n To¸n lµ mét m«n khoa häc quan träng, nã lµ cÇu nèi c¸c ngµnh khoa häc víi nhau ®ång thêi nã cã tÝnh thùc tiÔn rÊt cao trong cuéc sèng x· héi vµ víi mçi c¸ nh©n. Lµ mét m«n häc cã liªn quan ®Õn qu¸ tr×nh t duy l« gÝc tæng hîp vµ c¸c m«n häc kh¸c. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y bé m«n to¸n t«i thÊy phÇn kiÕn thøc vÒ tû lÖ thøc vµ d·y tû sè b»ng nhau lµ hÕt søc c¬ b¶n trong ch¬ng tr×nh §¹i sè líp 7. Tõ mét tû lÖ thøc ta cã thÓ chuyÓn thµnh mét ®¼ng thøc gi÷a 2 tÝch, trong mét tû lÖ thøc nÕu biÕt ®îc 3 sè h¹ng ta cã thÓ tÝnh ®îc sè h¹ng thø t. Trong ch¬ng II, khi häc vÒ ®¹i lîng tû lÖ thuËn, tû lÖ nghÞch ta thÊy tû lÖ thøc lµ mét ph¬ng tiÖn quan träng gióp ta gi¶i to¸n. Trong ph©n m«n H×nh häc, ®Ó häc ®îc ®Þnh lý Talet, tam gi¸c ®ång d¹ng (líp 8) th× kh«ng thÓ thiÕu kiÕn thøc vÒ tû lÖ thøc. MÆt kh¸c khi häc tû lÖ thøc vµ tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau cßn rÌn t duy cho häc sinh rÊt tèt gióp c¸c em cã kh¶ n¨ng khai th¸c bµi to¸n, lËp ra bµi to¸n míi. Víi nh÷ng lý do trªn ®©y, trong ®Ò tµi nµy t«i ®a ra mét sè d¹ng bµi tËp vÒ tû lÖ thøc vµ d·y tû sè b»ng nhau trong §¹i sè líp 7. II: Ph¹m vi vµ thêi gian thùc hiÖn: Ph¹m vi nghiªn cøu: Ch¬ng I ®¹i sè líp 7 §èi tîng nghiªn cøu: häc sinh líp 7 trêng THCS KiÕn Giang Thêi gian: tõ n¨m häc 2008-2009 ®Õn nay III. Môc ®Ých: a) KiÕn thøc. - Häc sinh hiÓu vµ lµm ®îc mét sè d¹ng to¸n vÒ tû lÖ thøc vµ d·y tû sè b»ng nhau nh: T×m sè h¹ng cha biÕt, chøng minh liªn quan ®Õn tû sè b»ng nhau, to¸n chia tû lÖ, tr¸nh nh÷ng sai lÇm thêng gÆp trong gi¶i to¸n liªn quan ®Õn d·y tû sè b»ng nhau. b) Kü n¨ng: HS cã kü n¨ng t×m sè h¹ng cha biÕt, chøng minh tû lÖ thøc, gi¶i to¸n chia tû lÖ. c) Th¸i ®é: HS cã kh¶ n¨ng t duy, thµnh lËp c¸c bµi to¸n míi, tÝnh cÈn thËn trong tÝnh to¸n. Ngêi thùc hiªn: NguyÔn Cao Tý trêng THCS kiÕn giang 2 RÌn kØ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: sè b»ng nhau '..' B: Néi dung I: C¬ së lÝ luËn: §Ó n©ng cao hiÖu qu¶ cña tiÕt häc cã néi dung vÒ tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau th× ngêi gi¸o viªn ph¶i cung cÊp ®ñ cho häc sinh c¸c néi dung kiÕn thøc träng t©m bao gåm: 1. §Þnh nghÜa, tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc a) §Þnh nghÜa: TØ lÖ thøc lµ ®¼ng thøc cña hai tØ sè a c  b d C¸c sè h¹ng a vµ d gäi lµ ngo¹i tØ, b vµ d gäi lµ trung tØ. b) TÝnh chÊt TÝnh chÊt 1( tÝnh chÊt c¬ b¶n) a c  th× ad = bc b d NÕu tÝnh chÊt 2( tÝnh chÊt ho¸n vÞ) NÕu ad = bc vµ a, b, c, d kh¸c 0 th× ta cã c¸c tØ lÖ thøc a c a b d c d b  ;  ;  ;  b d c d b a c a 2) TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau: + tõ tØ lÖ thøc a  c ta suy ra a  c  a  c b d b bd d  a c e +më réng: tõ d·y tØ sè b»ng nhau b  d  f a c e ace ace ta suy ra b  d  f  b  d  f  b  d  f  .... 3.Chó ý: + Khi cã d·y tØ sè a:b:c = 2:3:5. + Tõ tØ lÖ thøc 2 a b c   ta 2 3 5 a c  b d ac  b  d  bd nãi c¸c sè a, b, c tØ lÖ víi c¸c sè 2; 3; 5 ta còng viÕt suy ra 2 a c k1a k2 c a   c  a c  (k1 , k2  0)       . ; k.  k.  k  0  ; b d k1b k2 d b  d  b d tõ a c e   b d f suy ra 3 3 3 2 c e a   c   e  a c e a             ;    b  d   f  b d f b  d f II: C¬ së thùc tiÔn. 1/ Nh÷ng khã kh¨n khi trùc tiÕp gi¶ng d¹y: Thùc tÕ qua mét sè n¨m trùc tiÕp gi¶ng d¹y bé m«n to¸n còng nh qua t×m hiÓu b¹n bÌ ®ång nghiÖp, t«i ®Òu nghe nhiÒu gi¸o viªn d¹y to¸n ph¶n ¸nh r»ng häc sinh kh«ng n¾m ®îc mét sè d¹ng to¸n vÒ tû lÖ thøc vµ d·y tû sè b»ng nhau nh: T×m sè h¹ng Ngêi thùc hiªn: NguyÔn Cao Tý trêng THCS kiÕn giang 3 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: sè b»ng nhau '..' RÌn kØ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ cha biÕt, chøng minh liªn quan ®Õn tû sè b»ng nhau, to¸n chia tû lÖ …NhiÒu häc sinh rÊt ng¹i gi¶i to¸n, trong giê häc chØ ngåi chÐp bµi mÉu cña gi¸o viªn hoÆc cña c¸c b¹n häc kh¸, kh«ng chÞu khã suy nghÜ ®Ó lµm bµi. Trong mét cuéc ®iÒu tra th¨m dß t×m hiÓu høng thó häc tËp cña häc sinh ®èi víi bé m«n to¸n häc, tØ lÖ sè häc sinh kh«ng muèn häc to¸n so víi c¸c m«n häc kh¸c lµ kh¸ cao (52,5%). §èi víi gi¸o viªn còng cã nh÷ng khã kh¨n nhÊt ®Þnh bëi bµi tËp trong ch¬ng rÊt phong phó vµ ®a d¹ng nªn kh«ng cã thêi gian vµ lùa chän ph¬ng ph¸p thÝch hîp. V× vËy trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cßn gÆp khã kh¨n dÉn ®Õn dÔ bÞ phiÕn diÖn, kh«ng ®ñ thêi gian hoÆc chØ chó ý ®Õn viÖc gi¶i sè lîng bµi tËp trong SGK mµ quªn mÊt viÖc híng dÉn kØ c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i cho häc sinh. Tõ ®ã g©y cho häc sinh t©m lý sî sÖt, kh«ng tù tin khi gÆp nh÷ng bµi to¸n t¬ng tù hoÆc khã h¬n. Trêng ®ãng trªn ®Þa bµn vïng trung t©m huyÖn lÞ nªn cã phÇn ¶nh hëng kh«ng nhá ®Õn mÆt tr¸i cña x· héi, mét sè bé phËn gia ®×nh cha quan t©m ®Õn viÖc häc cña con em nªn lµm ¶nh hëng kh«ng nhá ®Õn viÖc häc cña c¸c em. 2/ T×nh h×nh gi¶ng d¹y: Tríc khi cha thùc hiÖn ¸p dông ®Ò tµi: §èi víØ häc sinh: NhiÒu em cha n¾m b¾t ®îc ph¬ng ph¸p chøng minh bµi to¸n liªn quan ®Õn d·y ti sè b»ng nhau, d¹ng to¸n chia tØ lÖ, c¸c bµi to¸n d¹ng t¬ng tù mµ gi¸o viªn ®· gi¶i mÈu cho häc sinh cã më r«ng chót Ýt. §èi víi gi¸o viªn: §· tiÕn hµnh ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc theo híng tÝch cùc hãa ho¹t ®éng cña häc sinh nhng chÊt lîng vµ hiÖu qu¶ vÉn cha cao . NhiÒu tiÕt d¹y vÉn cßn sa vµo ph¬ng ph¸p cæ truyÒn (thuyÕt tr×nh cã kÕt hîp víi ®µm tho¹i lµ chñ yÕu vÒ thùc chÊt vÉn lµ thÇy truyÒn ®¹t trß tiÕp nhËn ghi chÐp) nªn vÉn cha g©y ®îc høng thó häc tËp cho hoc sinh nhiÒu khi cßn g©y cho c¸c em t©m lÝ sî to¸n. Khi b¾t ®Çu ¸p dông viÖc d¹y häc theo ph¬ng ph¸p nµy b¶n th©n t«i ®· ®iÒu tra kÜ ë häc sinh th«ng qua ph¬ng ph¸p kh¶o s¸t kÕt qu¶ chÊt lù¬ng bµi kiÓm tra mét tiÕt ®Çu n¨m häc 2008 - 2009: 2  <5 5  <7 7  <9 9  10 5  10 <5 S % SL % S % S % S % S % L L L L L 44 3 6. 14 31,8 19 43,2 7 15,9 1 2, 17 44 27 56 8 3 Qua b¶ng kÕt qu¶ cho thÊy sè häc sinh kh¸ giái cßn Ýt, vÉn cßn nhiÒu häc sinh bÞ ®iÓm yÕu, kÐm. SL 0  <2 SL % III.Néi dung vµ ph¬ng ph¸p nghiªn cøu Th«ng qua viÖc gi¶ng d¹y häc sinh t«i xin ®a ra mét sè d¹ng bµi tËp sau: Ngêi thùc hiªn: NguyÔn Cao Tý trêng THCS kiÕn giang 4 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: sè b»ng nhau '..' RÌn kØ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ D¹ng 1. T×m sè h¹ng cha biÕt 1.T×m mét sè h¹ng cha biÕt Ph¬ng ph¸p: ¸p dông tÝnh chÊt c¬ b¶n tØ lÖ thøc a) NÕu a c b.c a.d a.d   a.d  b.c  a  ;b  ;c  b d d c b Muèn t×m ngo¹i tØ cha biÕt ta lÊy tÝch cña 2 trung tØ chia cho ngo¹i tØ ®· biÕt, muèn t×m trung tØ cha biÕt ta lÊy tÝch cña hai ngo¹i tØ chia cho trung tØ ®· biÕt. b) Bµi tËp: Bµi tËp 1: t×m x trong tØ lÖ thøc sau ( bµi 46 – SGK 26 b) - 0,52 : x = - 9,36 : 16,38  x.  9,36   0.52.16,38 0,52.16,38  x  0,91 9,36 Häc sinh cã thÓ t×m x b»ng c¸ch xem x lµ sè chia, ta cã thÓ n©ng møc ®é khã h¬n nh sau : 2 1 3 4 a)  x  :  1 :   4 5 5  3 1 3 2 5 b) 0,3 :1  :  3x  6  cã thÓ ®a c¸c tØ lÖ thøc trªn vÒ tØ lÖ thøc ®¬n gi¶n h¬n råi t×m x. Bµi tËp 2: T×m x biÕt ( bµi 69 SBT T 13 – a) x 60  15 x Gi¶i Tõ x 60  x.x    15.  60   15 x  x 2  900  x 2  30 2 Suy ra x = 30 hoÆc -30 Ta thÊy trong tØ lÖ thøc cã 2 sè h¹ng cha biÕt nhng 2 sè h¹ng ®ã gièng nhau nªn ta ®a vÒ luü thõa bËc hai cã thÓ n©ng cao b»ng tØ lÖ thøc x  1 60 x  1 9 ;   15 x  1 7 x 1 Bµi tËp 3: T×m x trong tØ lÖ thøc Gi¶i: x 3 x3 5  5 x 7 5 C¸ch 1: tõ 5  x  7   x  3 .7   5  x  .5  7 x  21  25  5 x  12 x  46 5  x3 6 Ngêi thùc hiªn: NguyÔn Cao Tý trêng THCS kiÕn giang 5 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: sè b»ng nhau '..' RÌn kØ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ x3 5 x 3 5 x    5 x 7 5 7 C¸ch 2: tõ ¸p dông t/c c¬ b¶n cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã x 3 5 x x 3 5 x 2 1     5 7 57 12 6 x3 1    6  x  3  5 5 6 5 5  x3  x  3 6 6 Bµi tËp 4: T×m x trong tØ lÖ thøc x2 x4  x 1 x  7   x  2   x  7    x  4   x  1  x 2  7 x  2 x  14  x 2  x  4 x  4  5 x  14  3 x  4  5 x  3 x  4  14  2 x  10  x  5 Trong bµi tËp nµy x n»m ë c¶ 4 sè h¹ng cña tØ lÖ thøc vµ hÖ sè ®Òu b»ng 1 do ®ã sau khi biÕn ®æi th× x2 bÞ triÖt tiªu, cã thÓ lµm bµi tËp trªn b»ng c¸ch ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau 2.T×m nhiÒu sè h¹ng cha biÕt a) XÐt bµi to¸n c¬ b¶n thêng gÆp sau: T×m c¸c sè x, y, z tho¶ m·n x y z   (1) vµ x +y + z =d (2) a b c ( trong ®ã a, b, c, a+b+c  0 vµ a, b, c, d lµ c¸c sè cho tríc) C¸ch gi¶i: x y z - C¸ch 1: ®Æt a  b  c  k  x  k .a; y  k .b; z  k .c thay vµo (2) Ta cã k.a + k.b + k.c = d d abc a.d bd cd Tõ ®ã t×m ®îc x  ;y ;z  a bc abc abc  k  a  b  c  d  k  - C¸ch 2: ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã x y z x yz d     a b c abc abc a.d b.d c.d  x ;y ;z  abc abc abc b).Bµi tËp Bµi tËp 1: t×m 3 sè x, y, z biÕt Ngêi thùc hiªn: NguyÔn x y z   vµ x +y + z = 27 2 3 4 Cao Tý trêng THCS kiÕn giang 6 RÌn kØ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: sè b»ng nhau '..' Gi¶i: C¸ch 1. x y z    k  x  2k , y  3k , z  4k 2 3 4 Tõ x + y + z = 27 ta suy ra 2k  3k  4k  27  9k  27  k  3 §Æt Khi ®ã x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12 VËy x = 6; y = 9; z = 12. - C¸ch 2. ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã. x y z x  y  z 27     3 2 3 4 23 4 9  x  2.3  6; y  3.3  9; z  4.3  12 Tõ bµi tËp trªn ta cã thÓ thµnh lËp c¸c bµi to¸n sau: Bµi tËp 2: T×m 3 sè x,y,z biÕt x y z   vµ 2x + 3y – 5z = -21 2 3 4 Gi¶i: x y z   =k 2 3 4 x y z 2 x 3 y 5z C¸ch 2: Tõ   suy ra   2 3 4 4 9 20 - C¸ch 1: §Æt - ¸p dông t/c cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: 2 x 3 y 5 z 2 x  3 y  5 z 21     3 4 9 20 4  9  20 7  x  6; y  9; z  12 x y z Bµi tËp 3: T×m 3 sè x, y, z biÕt   vµ 2 x 2  3 y 2  5 z 2  405 2 3 4 x y z Gi¶i: C¸ch 1: §Æt   =k 2 3 4 x y z C¸ch 2: tõ   2 3 4 2 2 x y z2   suy ra 4 9 16  2 x2 3 y 2 5z 2   8 27 90 ¸p dông t/c d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: 2 x 2 3 y 2 5 z 2 2 x 2  3 y 2  5 z 2 405     9 8 27 90 8  27  90 45 Suy ra x2  9  x 2  36  x   6 42 y  9  y 2  81  y   9 9 z2  9  z 2  144  z   12 16 Ngêi thùc hiªn: NguyÔn Cao Tý trêng THCS kiÕn giang 7 RÌn kØ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: sè b»ng nhau '..' VËy x= 6; y = 9; z = 12 hoÆc x = -6; y = -9; z = -12. Bµi tËp 4: T×m 3 sè x, y, z biÕt x y z   vµ x.y.z = 648 2 3 4 Gi¶i: - x y z   =k 2 3 4 x y z C¸ch 2: Tõ   2 3 4 3  x  x y z xyz 648          27 24  2  2 3 4 24 x3   27  x 3  216  x  6 8 C¸ch 1: §Æt Tõ ®ã t×m ®îc y = 9; z = 12. x  6 x y x Gi¶i: tõ 6  9  2  Bµi tËp 5. T×m x,y, z biÕt z 2 x y z   2 3 4 Tõ x   Suy ra y z ; x  vµ x +y +z = 27 9 2 y 3 x z  2 4 Sau ®ã ta gi¶i tiÕp nh bµi tËp 1. Bµi tËp 6. T×m x, y, z biÕt 3x = 2y; 4x = 2z vµ x + y+ z = 27 x y  2 3 x z Tõ 4 x  2 z   2 4 x y z Suy ra   sau ®ã gi¶i nh bµi tËp 1 2 3 4 Gi¶i: Tõ 3x  2 y  Bµi tËp 7: T×m x,y,z biÕt x 4 y 6 z 8 vµ x +y +z =27   2 3 4 x  4 y 6 z 8 Gi¶i: C¸ch 1: §Æt =k   2 3 4 C¸ch 2: ¸p dông t/c cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã Ngêi thùc hiªn: NguyÔn Cao Tý x  4 y 6 z 8   2 3 4 trêng THCS kiÕn giang 8 RÌn kØ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: sè b»ng nhau '..'  x  4  y  6  z  8 x  y  z  18 27  18   1 23 4 9 9 x4 1 x  6 2 y 6 1 y  9 3 z 8  1  z  12 4  VËy x = 6; y= 9; z = 12 D¹ng 2 :Chøng minh liªn quan ®Õn d·y tØ sè b»ng nhau 1)C¸c ph¬ng ph¸p : a b §Ó Chøng minh tû lÖ thøc :  c Ta cã c¸c ph¬ng ph¸p sau : d Ph¬ng ph¸p 1 : Chøng tá r»ng : ad= bc . Ph¬ng Ph¸p 2 : Chøng tá 2 tû sè a c ; cã cïng mét gi¸ trÞ nÕu trong ®Ò bµi ®· cho tríc b d mét tû lÖ thøc ta ®Æt gi¸ trÞ chung cña c¸c tû sè tû lÖ thøc ®· cho lµ k tõ ®ã tÝnh gi¸ trÞ cña mçi tû sè ë tØ lÖ thøc ph¶i chøng minh theo k. Ph¬ng ph¸p 3: Dïng t/c ho¸n vÞ , t/c cña d·y tû sè b»ng nhau, t/c cña ®¼ng thøc biÕn ®æi tû sè ë vÕ tr¸i ( cña tØ lÖ thøc cÇn chøng minh ) thµnh vÕ ph¶i. Ph¬ng ph¸p 4: dïng t/c ho¸n vÞ, t/c cña d·y tû sè b»ng nhau, t/c cña ®¼ng thøc ®Ó tõ tû lÖ thøc ®· cho biÕn ®æi dÇn thµnh tû lÖ thøc ph¶i chøng minh. 2) Bµi tËp: a b Bµi tËp 1( Bµi 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d kh¸c 0 tõ tû lÖ thøc:  thøc: a b cd .  a c c h·y suy ra tû lÖ d Lêi gi¶i: a  b c  ac  bc(1) C¸ch 1: XÐt tÝch a c  d  ac  ad (2)   Tõ a c   ad  bc(3) b d Tõ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra - C¸ch 2: §Æt Ta cã: a b cd  a c a c   k  a  bk , c  dk b d a  b bk  b b  k  1 k  1    (1), (b  0) a bk bk k c  d dk  d d  k  1 k  1    (2), (d  0) c dk dk k Ngêi thùc hiªn: NguyÔn Cao Tý trêng THCS kiÕn giang 9 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: sè b»ng nhau '..' RÌn kØ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ a b c d  a c a c b d - C¸ch 3: tõ    b d a c a b a b b d cd Ta cã: a  a  a  1  a  1  c  c Tõ (1) vµ (2) suy ra: Do ®ã: a b c d  a c - C¸ch 4: Tõ a c a b a b     b d c d cd  a a b ab cd    c cd a c - C¸ch 5: tõ a c b d b d     1  1 b d a c a c ab cd   a c B»ng c¸ch chøng minh t¬ng tù tõ tØ lÖ thøc a c  ta cã thÓ suy ra c¸c tØ lÖ thøc sau: b d a b c d ab cd  ;  b d a c (TÝnh chÊt nµy gäi lµ t/c tæng hoÆc hiÖu tØ lÖ) Bµi tËp 2: chøng minh r»ng nÕu a 2  bc th× 2 2 a) a  b  c  a ; b) a2  c 2  c , (b  0) (víi a  b, a  c) a b ca b a b Lêi gi¶i: a) - C¸ch 1: XÐt tÝch chÐo - C¸ch 2: tõ a 2  bc  §Æt a c  b a a c   k  a  bk , c  ak b a Ta cã: a  b bk  b b  k  1 k  1    ,  b  0  (1) a  b bk  b b  k  1 k  1 c  a ak  a a  k  1 k  1     a  0  , (2) c  a ak  a a  k  1 k  1 Tõ (1) vµ (2) suy ra: ab ca  a b c a - C¸ch 3: Ta cã Ngêi thùc hiªn: NguyÔn Cao Tý trêng THCS kiÕn giang 10 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: sè b»ng nhau '..' RÌn kØ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ a  b a  a  b  a 2  ab bc  ab     do, a 2  bc  a  b a  a  b  a 2  ab bc  ab b c  a c  a    a, b  0  b c  a c  a ab ca  a b c b ab ca Ngîc l¹i tõ ta còng suy ra ®îc a2 = bc  a b c b ab ca Tõ ®ã ta cã bµi to¸n cho chøng minh r»ng nÕu 3 sè a, b, c ®Òu kh¸c 0 th× tõ  a b c b Do ®ã: 3 sè a, b, c cã 1 sè ®îc dïng 2 lÇn, cã thÓ lËp thµnh 1 tØ lÖ thøc . - C¸ch 4: Tõ a2 = bc  a c a b a b a b      b a c a ca ca ab ca  ab ca  b) C¸ch 1: xÐt tÝch chÐo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c) = (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c) a2  c2 c  2 Do ®ã (a + c )b = ( b + a )c b  a 2  b 2 2 2 2 a c  b a - C¸ch 2: Tõ a2 = bc  §Æt a c   k suy ra a = bk, c = ak = bk2 b a Ta cã 2 2 2 a 2  c2 b2k 2  b2k 4 b k  1  k   2  2  k 2 ,  b  0 b2  a 2 b  b2 k 2 b 1 k 2  c k 2b   k2 b b a2  c2 c Do ®ã: b2  a 2  b 2 2 2 2 a c  a  c  a  c (1) - C¸ch 3: tõ a = bc   b2 a 2 b2  a 2 b a 2 2 Tõ a  c  a2  a  c  c (2), (a  0) b a b b a b a  c2 c Tõ (1) vµ (2) suy ra: b2  a 2  b 2 Ngêi thùc hiªn: NguyÔn Cao Tý trêng THCS kiÕn giang 11 RÌn kØ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: sè b»ng nhau '..' a 2  c 2 bc  c 2 c  b  c  c - C¸ch 4: Ta cã b2  a 2  b 2  bc  b  b  c   b ,  b  c  0  a2  c2 c Do ®ã: b2  a 2  b Bµi tËp 3: Cho 4 sè kh¸c 0 lµ a1 , a2 , a3 , a4 tho¶ m·n a2 2  a1a3 ; a33  a2 a4 chøng tá a13  a23  a33 a1  a23  a33  a43 a4 Lêi gi¶i: Tõ a1 a2  (1) a2 a3 a a a33  a2 a4  2  3 (2) a3 a4 a2 2  a1a3  a1 a2 a3 a3 a 3 a 3 a a a a    13  23  3  1  2  3  1 (3) 3 Tõ (1) vµ (2) suy ra a a a a2 a3 a 4 a2 a3 a4 a4 2 3 4 ¸p dông t/c cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: a 31 a 32 a 33 a 31  a 32  a 33    (4) a 3 2 a 33 a 3 4 a 3 2  a 3 3  a 3 4 a 31  a 32  a 33 a1 Tõ (3) vµ (4) suy ra: a 3  a 3  a3  a 2 3 4 4 Ta còng cã thÓ chuyÓn bµi tËp 3 thµnh bµi tËp sau: 3 a a a   Cho 1  2  4 chøng minh r»ng  a1  a2  a3   a1 a2 a3 a4  a2  a3  a4  a4 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i D¹ng 3: To¸n chia tØ lÖ Bíc 1:Dïng c¸c ch÷ c¸i ®Ó biÓu diÔn c¸c ®¹i lîng cha biÕt Bíc 2:Thµnh lËp d·y tØ sè b»ng nhau vµ c¸c ®iÒu kiÖn Bíc 3:T×m c¸c sè h¹ng cha biÕt Bíc 4:KÕt luËn. 2.Bµi tËp Bµi tËp 1:(Bµi kiÓm tra héc k× I n¨m häc 2009 - 2010):TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh mét tam gi¸c biÕt n÷a chu vi lµ 90 cm vµ c¸c c¹nh cña tam gi¸c tØ lÖ víi c¸c sè 3;5;7 Lêi gi¶i: Gäi ®é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c lµ a,b,c (cm,a,b,c  0 ) V× n÷a chu vi cña tam gi¸c b»ng 90 nªn chu vi cña tam gi¸c lµ 90.2 =180 cm Ta cã a+b+c = 180 V× c¸c c¹nh cña tam gi¸c tØ lÖ víi 3 ; 5 ;7 nªn ta cã a  b  c 3 Ngêi thùc hiªn: NguyÔn Cao Tý 5 7 trêng THCS kiÕn giang 12 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: sè b»ng nhau '..' RÌn kØ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ,ta cã a b c a  b  c 180      12 3 5 7 3  5  7 15 a  12  a  36 3 b  12  b  60 5 c  12  c  84 7 Thö l¹i c¸c gi¸ trªn ta thÊy tho¶ m·n VËy ®é dµi ba c¹nh cña tam gi¸c ®ã lµ 36cm, 60cm, 84 cm Bµi tËp 2: TÝnh sè ®o c¸c gãc cña m«t tam gi¸c biÕt c¸c gãc ®ã tØ lÖ víi c¸c sè 1; 2; 3 Lêi gi¶i Gäi sè ®o c¸c gãc cña mét tam gi¸c lÇn lît lµ x,y,z Ta cã x + y + z = 180 0 (tæng ba gãc cña mét tam gi¸c ) V× x,y,z tØ lÖ víi c¸c sè 1; 2;3 nªn ta cã x y z   1 2 3 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ,ta cã x y z x  y  z 180 0      30 0 1 2 3 1 2  3 6 x  30 0  x  30 0 1 y  30 0  y  30 0.2  60 0 2 z  30 0  z  30 0.3  90 0 3 V©y sè ®o ba gãc cña tam gi¸c lÇn lît lµ 30 0 ; 60 0 ; 90 0 Bµi tËp 3: Ba kho thãc cã tÊt c¶ 710 tÊn thãc, sau khi chuyÓn ®i 1 sè thãc ë kho I, 1 5 6 1 sè thãc ë kho II vµ sè thãc ë kho III th× sè thãc cßn l¹i cña 3 kho b»ng nhau .Hái lóc 11 ®Çu mçi kho cã bao nhiªu tÊn thãc Lêi gi¶i: Gäi sè thãc cña 3 kho I,II,III lóc ®Çu lÇn lît lµ a,b,c (tÊn, a,b,c>0) 1 4 5 5 1 5 Sè thãc cña kho II sau khi chuyÓn lµ b  b  b 6 6 1 10 Sè thãc cña kho III sau khi chuyÓn lµ c  c  c 11 11 4 5 10 theo bµi ra ta cã a  b  c vµ a+b+c=710 5 6 11 Sè thãc cña kho I sau khi chuyÓn lµ a  a  a Ngêi thùc hiªn: NguyÔn Cao Tý trêng THCS kiÕn giang 13 RÌn kØ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: sè b»ng nhau '..' 4 5 10 4 5 10 a b c a b 5 6 11 5.20 6.20 11.20c a b c a b c 710       10 25 24 22 25  24  22 71 tõ Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220. Thö l¹i c¸c gi¸ trªn ta thÊy tho¶ m·n VËy sè thãc lóc ®Çu cña cña kho I; II; III lÇn lît lµ 250 tÊn , 240 tÊn, 220 tÊn. D¹ng 4:Mét sè sai lÇm thêng gÆp trong gi¶i to¸n liªn quan ®Õn tû sè b»ng nhau 1) Sai lÇm khi ¸p dông t¬ng tù H/s ¸p dông x y x. y   a b a.b hay x y z x. y.z    a b c a.b.c Bµi tËp 1: (Bµi kiÓm tra häc k× I n¨m häc 2009 - 2010) T×m 2 sè x,y biÕt r»ng x  y vµ x.y=10 2 H/s sai lÇm nh sau : Bµi lµm ®óng nh sau: 2 Tõ x  y  x.x  x. y  x 2 5 2 5 2  5 x y x. y 10    1 2 5 2.5 10 10  x2  4  x   2 5 vËy x= 2,y= 5 hoÆc x=-2, y= -5 hoÆc tõ x  y  x  x . y  x  10  1  x 2 hoÆc 2 2 5 4 2 5 4 10 ®Æt x  y  k  x  2k ; y  5k v× 2 5 2 suy ra x=2,y=5 tõ ®ã suy ra y  5  4  x  2 x.y=10 nªn 2k.5k = 10  k 2  1  k  1 Bµi tËp 2: T×m c¸c sè x,y,z biÕt r»ng x y z   vµ x.y.z= 648 2 3 4 H/s sai lÇm nh sau: x y z x. y.z 648      27 2 3 4 2.3.4 24 Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bµi lµm ®óng nh bµi tËp 4 d¹ng 1 2)Sai lÇm khi bá qua ®iÒu kiÖn kh¸c 0 Khi rót gän h/s thêng bá qua ®iÒu kiÖn sè chia kh¸c 0 dÉn ®Õn thiÕu gi¸ trÞ cÇn t×m Bµi tËp 3: Cho 3 tØ sè b»ng nhau lµ a  b  c . T×m gi¸ trÞ cña mçi tû sè ®ã Ta cã a  b  c bc ca bc ca ab a b Ngêi thùc hiªn: NguyÔn Cao Tý trêng THCS kiÕn giang 14 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: sè b»ng nhau '..' RÌn kØ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã a b c a b c a b c     b  c c  a a  b  b  c   c  a   a  b 2 a  b  c 1 2 h/s thêng bá quªn ®k a+b+c=0 mµ rót gän lu«n b»ng ta lµm nh sau + NÕu a+b+c=0 th× b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c nªn mçi tØ sè a ; b ; c ®Òu b»ng -1 + NÕu a+b+c bc ca ab a b c a bc 1      0 khi ®ã b  c c  a a  b 2 a  b  c 2 IV øng dông vµo c«ng t¸c gi¶ng d¹y: 1. Qu¸ tr×nh ¸p dông cña b¶n th©n Qua viÖc ¸p dông s¸ng kiÕn vµo viÖc d¹y häc ®iÒu quan träng nhÊt lµ gi¸o viªn ®· lµm ®îc g×? häc sinh ®· ®îc g×?. §èi víi t«i biÖn ph¸p ®Ó n©ng cao hiÖu qu¶ trong viÖc d¹y häc theo ph¬ng ph¸p nµy bíc ®Çu t«i thÊy thµnh c«ng lµ häc sinh ®· cã høng thó häc bé m«n, cã ý thøc tù gi¸c häc tËp ë nhµ, s«i næi trong giê häc. Nh÷ng häc sinh häc chËm h¬n th× ®· biÕt lµm c¸c bµi tËp c¬ b¶n, nh÷ng bµi khã h¬n th× còng ®· biÕt ph©n tÝch vµ n¾m ®îc c¸c kiÕn thøc cã liªn quan. c¸c em tù tin h¬n khi b¾t tay lµm nh÷ng bµi to¸n cã d¹ng t¬ng tù nh÷ng bµi mµ gi¸o viªn ®· gi¶i mÉu. Nãi chung lµ h¹n chÕ ®îc t×nh tr¹ng häc sinh chÐp s¸ch gi¶i ®Ó chèng ®èi mçi khi cã giê luyÖn tËp. B¶n th©n t«i sau khi nghiªn cøu xong ®Ò tµi nµy ®· thÊy m×nh hiÓu s©u s¾c h¬n vÒ tû lÖ thøc vµ d·y tû sè b»ng nhau. T«i gi¶ng d¹y chuyªn ®Ò nµy cho 3 ®èi tîng häc sinh TB, Kh¸, Giái, tuú tõng ®èi tîng mµ t«i chän bµi cho phï hîp th× thÊy ®a sè c¸c em tiÕp thu néi dung trong chuyªn ®Ò mét c¸ch dÒ dµng, c¸c em rÊt høng thó khi tù m×nh cã thÓ lËp ra c¸c bµi to¸n. ChÊt lîng vµ hiÖu qu¶ cña häc sinh cã sù tiÕn bé râ rÖt : qua ®ît kh¶o s¸t thö chÊt lîng bµi kiÓm tra cuèi ch¬ng n¨m häc 2009 – 2010 cña líp t«i gi¶ng d¹y cho thÊy sè häc sinh kh¸ giái t¨ng, sè häc sinh yÕu kÐm gi¶m so víi bµi kiÓm tra ®Çu n¨m cña n¨m häc tríc KÕt qu¶ cô thÓ : 5  <7 7  <9 9  10 5  10 <5 SL 0  <2 2  <5 SL % S % SL % S % S % S % S % L L L L L 44 1 2, 10 22,7 19 43,2 11 25 3 6, 11 25 27 75 3 8 2. Nh÷ng bµi häc kinh nghiÖm Ngêi thùc hiªn: NguyÔn Cao Tý trêng THCS kiÕn giang 15 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: sè b»ng nhau '..' RÌn kØ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ Qua ®Ò tµi nµy t«i nhËn thÊy r»ng muèn d¹y cho häc sinh hiÓu vµ vËn dông mét vÊn ®Ò nµo ®ã tríc hÕt ngêi thÇy ph¶i hiÓu vÊn ®Ò mét c¸ch s©u s¾c v× vËy ngêi thÇy ph¶i lu«n häc hái, t×m tßi, ®µo s©u suy nghÜ tõng bµi to¸n, kh«ng ngõng n©ng cao tr×nh ®é cho b¶n th©n. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y gi¸o viªn ph¶i híng dÉn vµ gi¶i kØ c¸c bµi to¸n c¬ b¶n. BiÕt ph¸t triÓn bµi to¸n thµnh c¸c bµi tËp míi hoÆc c¸c bµi tËp t¬ng tù: cã thÓ gi¶i c¸c bµi to¸n míi hay yªu cÇu häc sinh tù nghiªn cøu bµi to¸n hoÆc tù ra bµi tËp míi. Gi¸o viªn ph¶i t«n träng c¸c c¸ch gi¶i s¸ng t¹o cña häc sinh vµ chÞu khã s÷a sai cho c¸c em, ph¶i ®iÒu chØnh kÞp thêi c¸c sai lÖch cña häc sinh 3. Nh÷ng kiÕn nghÞ, ®Ò xuÊt Khi gi¶ng d¹y ®Ò tµi nµy cho häc sinh, gi¸o viªn cÇn nghiªn cøu kü ®Ó vËn dông phï hîp víi ®èi tîng häc sinh cña m×nh, cã thÓ chia nhá bµi tËp ®Ó gîi ý cho häc sinh C. KÕt luËn Khi nghiªn cøu ®Ò tµi mét sè d¹ng bµi tËp vÒ tØ lÖ thøc vµ d·y c¸c tû sè b»ng nhau trong m«n §¹i sè líp 7 t«i thÊy viÖc ¸p dông vµo gi¶ng d¹y rÊt cã hiÖu qu¶, häc sinh dÔ hiÓu vµ høng thó trong qu¸ tr×nh tiÕp thu kiÕn thøc, c¸c em ®· biÕt khai th¸c s©u bµi to¸n, biÕt tù ®Æt ra c¸c bµi to¸n míi, tr¸nh ®îc nh÷ng sai lÇm mµ m×nh hay m¾c ph¶i. Trªn ®©y lµ mét sè kinh nghiÖm cña b¶n th©n rót ra ®îc trong qu¸ tr×nh d¹y hoc, rÊt mong nhËn ®îc sù gãp ý cña quý cÊp l·nh ®¹o, b¹n bÌ ®ång nghiÖp ®Ó t«i cã thÓ hoµn chØnh h¬n ®Ò tµi nµy, gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng d¹y vµ häc. - Cuèi cïng t«i xin c¶m ¬n sù quan t©m gióp ®ì cña tæ chuyªn m«n, Ban gi¸m hiÖu nhµ trêng, Phßng gi¸o dôc vµ c¸c ®ång chÝ gi¸m kh¶o ®· gióp ®ì t«i hoµn thµnh nhiÖm vô n¨m häc. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Ngêi thùc hiªn: NguyÔn Cao Tý trêng THCS kiÕn giang 16 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: sè b»ng nhau '..' RÌn kØ n¨ng gi¶i bµi tËp tØ lÖ thøc vµ d·y tØ IV/ Tµi liÖu tham kh¶o - S¸ch gi¸o khoa To¸n 7 - S¸ch gi¸o viªn To¸n 7 - S¸ch bµi tËp to¸n 7 - S¸ch thiÕt kÕ bµi so¹n to¸n 7 - Ph¸t triÓn to¸n 7 - To¸n n©ng cao 7 - Ph¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp to¸n 7 - TuyÓn chän mét sè ®Ò kiÓm tra häc k× I qua c¸c n¨m - Chuyªn ®Ò båi dìng häc sinh giái to¸n THCS. - Tµi liÖu ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc to¸n THCS. X¸c nhËn cña H§KH trêng KiÕn Giang, ngµy 2 th¸ng 1 n¨m 2010 Ngêi viÕt: NguyÔn Cao Tý Ngêi thùc hiªn: NguyÔn Cao Tý trêng THCS kiÕn giang 17