Tài liệu Quỹ tích không cohen- macaulay và quỹ tích không cohen-macaulay suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THANH GIANG QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY VÀ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THANH GIANG QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY VÀ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học:PGS. TS. LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên – 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là hoàn toàn trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn đã được sự đồng ý của cá nhân và tổ chức. Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc. Tác giả luận văn Trần Thanh Giang i Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Kiến thức cơ sở 3 6 1.1 Chiều Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Dãy chính quy và độ sâu của môđun trong một iđêan . . 11 1.4 Tính catenary cho các vành Noether . . . . . . . . . . . 16 1.5 Biểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin . . . . . . . . . . 18 2 Quỹ tích không Cohen - Macaulay và không Cohen Macaulay suy rộng 23 2.1 Vành và môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Tập giả giá và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . 27 2.4 Vành và môđun Cohen-Macaulay suy rộng . . . . . . . . 33 2.5 Giá suy rộng và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . 34 2.6 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình của PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô. Tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán, Khoa Sau đại học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất về công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục, đào tạo của nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân quan tâm, tạo điều kiện, động viên, cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. 2 3 Lời nói đầu Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương với iđêan cực đại duy nhất m. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d. Lớp môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun quan trọng trong đại số giao hoán. Kí hiệu depth M là độ sâu của M trong m. Ta luôn có dim M ≥ depth M . Ta nói M là môđun Cohen-Macaulay nếu depth M = dim M . Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M , kí hiệu nCM(M ), là tập tất cả các iđêan nguyên tố p của R sao cho Mp không là môđun CohenMacaulay. Năm 2002, M. Brodmann và R. Y. Sharp (Xem [BS1] ) đã giới thiệu khái niệm tập giả giá của một môđun hữu hạn sinh nhằm xây dựng công thức bội cho các môđun đối đồng điều địa phương. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Giả giá thứ i của môđun M , kí hiệu là PsuppiR (M ) được cho bởi công thức: i−dim(R/p) PsuppiR (M ) = {p ∈ Spec(R)|HpRp (Mp ) 6= 0}. Năm 2010, trong [CNN], Nguyễn Tự Cường, Lê Thanh Nhàn, Nguyễn Thị Kiều Nga đã mô tả tập nCM(M ) qua tập PsuppiR (M ): nCM(M ) = S 06i 0; (vi) Nếu 0 → L0 → L → L00 → 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun thì tồn tại với mỗi số tự nhiên n một đồng cấu δn : HIn (L00 ) → HIn+1 (L0 ) gọi là đồng cấu nối, sao cho ta có dãy khớp dài: δ 0 0 → ΓI (L0 ) → ΓI (L) → ΓI (L00 ) − → HI1 (L0 ) → HI1 (L) → HI1 (L00 ) δ 1 − → HI2 (L0 ) → HI2 (L) → ... Một kết quả rất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương là Định lí triệt tiêu của Grothendieck. Định lý 1.2.4. (Định lí triệt tiêu của Grothendieck). Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R. Khi đó HIi (M ) = 0 với mọi i > dim M. Ví dụ 1.2.5. Cho R = Z là vành các số nguyên, M = Z/6Z là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = 0 và I = 12Z. Ta có HI0 (M ) = M và theo Định lí triệt tiêu của Grothendieck thì HIi (M ) = 0 với mọi i > 0. 11 1.3 Dãy chính quy và độ sâu của môđun trong một iđêan Định nghĩa 1.3.1. (i) Một phần tử x ∈ R được gọi là phần tử không là ước của không đối với M nếu (0 :M x) = 0, tức là xm = 0 kéo theo m = 0 với mọi m ∈ M. (ii) Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử M -chính quy nếu ta có (0 :M x) = 0 và M 6= xM , tức là x không là ước của không đối với M và xM 6= M . (iii) Một dãy các phần tử (x1 , ..., xk ) trong vành R được gọi là M dãy chính quy hay M -dãy nếu xi là M/(x1 , ..., xi−1 )-chính quy với mọi i=1,...k, tức là M 6= (x1 , ..., xk )M và ((x1 , ..., xi−1 )M :M xi ) = (x1 , ..., xi−1 )M với mọi i = 1, ..., k. Nếu bỏ giả thiết M 6= (x1 , ..., xk )M trong khái niệm dãy chính quy thì ta được khái niệm dãy chính quy nghèo. Định nghĩa 1.3.2. Dãy các phần tử (x1 , ..., xk ) của vành R được gọi là M -dãy nghèo nếu với mọi i = 1, ..., k ta có ((x1 , ..., xi−1 )M :M xi ) = (x1 , ..., xi−1 )M. Nếu (x1 , ..., xk ) ⊆ m thì M 6= (x1 , ..., xk )M theo Bổ đề Nakayama (Gọi J là căn Jacobson của R, tức J là giao của tất cả các iđêan tối đại của R. Bổ đề Nakayama phát biểu rằng nếu I là iđêan chứa trong J và M 6= 0 là hữu hạn sinh thì M 6= IM ). Trong trường hợp này (x1 , ..., xk ) là M -dãy nếu và chỉ nếu nó là M -dãy nghèo. Ví dụ 1.3.3. Cho R = k[[x, y, z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức ba biến x, y, z trên một trường k. Khi đó: 12 (i) x, y, z là R-dãy vì R 6= (x, y, z)R, và ta có (0 :R x) = 0, (0 :R/xR y = 0), (0 :R/(x,y)R z) = 0. (ii) Ta có thể kiểm tra được x, y(1 − x), z(1 − x) là R-dãy. Bổ đề 1.3.4. Cho x, x1 , ..., xk ∈ m. Khi đó ta có: (i) x là M -dãy chính quy nếu và chỉ nếu x ∈ / p với mọi p ∈ AssR M . (ii) (x1 , ..., xk ) là M -dãy nếu và chỉ nếu với mọi i = 1, ..., k ta có xi ∈ / p với mọi p ∈ AssR (M/(x1 , ..., xi−1 )M ). Chứng minh. Khẳng định (ii) được suy ra ngay từ (i). Vì thế ta chỉ cần chứng minh (i). Giả sử x ∈ m là M -dãy chính quy. Khi đó (0 :M x) = 0. Lấy p ∈ AssR M . Khi đó p = AnnR m với 0 6= m ∈ M . Suy ra pm = 0. Nếu x ∈ p thì xm = 0 và do đó 0 6= m ∈ (0 :M x). Do đó x ∈ / p. Ngược lại, giả sử x ∈ / p với mọi p ∈ AssR M . Nếu (0 :M x) 6= 0 thì tồn tại p ∈ AssR (0 :M x) ⊆ AssR M . Vì p ⊇ AnnR (0 :M x) nên x ∈ p, mâu thuẫn. Vậy, (0 :M x) = 0 và do đó x là M -chính quy. Nếu thay giả thiết x, x1 , ..., xk ∈ m bởi giả thiết x, x1 , ..., xk ∈ R thì bằng các lập luận tương tự như chứng minh Bổ đề 1.3.4 ta có đặc trưng sau đây cho dãy chính quy nghèo. Bổ đề 1.3.5. Cho x, x1 , ..., xk ∈ R. Khi đó ta có: (i) x là M -chính quy nghèo nếu và chỉ nếu x ∈ / p với mọi p ∈ AssR M . (ii) (x1 , ..., xk ) là M -dãy nghèo nếu và chỉ nếu với mọi i = 1, ..., k ta có x1 ∈ / p với mọi p ∈ AssR (M/(x1 , ..., xi−1 )M ). Bổ đề 1.3.6. Mỗi M -dãy trong m đều là một phần hệ tham số của M . 13 Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp dãy chính quy gồm 1 phần tử. Cho x ∈ m là một phần tử M -chính quy. Theo Bổ đề 1.3.4, x∈ / p với mọi p ∈ AssR M . Lấy q ∈ AssR (M/xM ) sao cho dim(R/q) = dim(M/xM ). Khi đó x ∈ q và tồn tại p ∈ min AssR M sao cho p ⊆ q. Do x ∈ / p và x ∈ q nên: dim(M/xM ) = dim(R/q) ≤ dim(R/p) − 1 ≤ dim M − 1. Theo Hệ quả 1.1.7 ta suy ra x là phần tử tham số của M . Mệnh đề sau đây chỉ ra rằng độ dài của các M -dãy trong một iđêan có thể đặc trưng qua tính triệt tiêu của môđun mở rộng ExtiR (R/I; M ) cũng như tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương HIi (M ). Mệnh đề 1.3.7. Cho r ∈ N. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) Tồn tại một M -dãy có độ dài r trong I. (ii) ExtiR (R/I; M ) = 0 với mọi i < r. (iii) HIi (M ) = 0 với mọi i < r. Chứng minh. (i)⇔(iii). Giả sử HIi (M ) với mọi i < r. Ta chứng minh bằng qui nạp theo r rằng tồn tại một dãy (x1 , ..., xr ) trong I. Cho r = 1, khi đó HI0 (M ) = 0. Suy ra I không chứa trong p với mọi p ∈ AssR M . Theo Bổ đề 1.3.4, x1 là M -chính quy. Mệnh đề đúng với r = 1. Cho r > 1, theo trên tồn tại x1 ∈ I là M -chính quy. Đặt x1 = x. Khi đó (0 :M x) = 0. Từ dãy khớp x 0→M → − M → M/xM ) → M ta có dãy khớp HIi (M ) → HIi (M/xM ) → HIi+1 (M ) với mọi i > 0. Vì HIi (M ) = 0 với mọi i < r, nên ta có HIi (M/xM ) = 0 với mọi i < r − 1. 14 Theo giả thiết quy nạp, tồn tại một M/xM -dãy (x2 , ..., xr ) trong I. Vì thế,(x1 , ..., xr ) là M -dãy trong I. Ngược lại, cho (x1 , ..., xr ) là một M -dãy trong I. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo r rằng HIi (M/xM ) = 0 với mọi i < r. Cho r = 1, vì x1 ∈ I là M -chính quy nên 0 = (0 :M x1 ) ⊇ (0 :M I). Do đó (0 :M I n ) = 0 với mọi n, tức là HI0 (M ) = 0, kết quả đúng với r = 1. Cho r > 1 theo chứng minh trên ta có HI0 (M ) = 0. Vì (x2 , ..., xr ) là một M/x1 M -dãy trong I nên theo giả thiết quy nạp ta có HIi (M/xM ) = 0 với mọi i < r−1. Từ dãy khớp x 1 0→M − → M → M/x1 M → 0 ta có dãy khớp HIi (M ) → HIi (M/xM ) → HIi+1 (M ) với mọi i ≥ 0. Với i < r − 1, vì HIi (M/x1 M ) = 0 nên phép nhân bới x1 trong dãy khớp trên là đơn cấu. Do đó phép nhân bởi xn1 trên HIi+1 (M ) cũng là đơn cấu với mọi n. Tức là: Γx1 R HIi+1 (M ) = [ (0 :HIi+1 (M/(0:M x)) xn1 ) = 0. n≥0 Do đó HIi+1 (M ) là I-xoắn và x1 ∈ I nên: HIi+1 (M ) = ΓI HIi+1 (M ) ⊆ Γx1 R HIi+1 (M ) = 0. Do đó HIi (M ) = 0 với mọi i < r. (i)⇔(ii) Bằng quy nạp theo r và bằng các lập luận tương tự như chứng minh trên ta suy ra kết quả. Định nghĩa 1.3.8. Một M -dãy (x1 , ..., xk ) các phần tử trong I được gọi là M -dãy tối đại trong I nếu không tồn tại một phần tử y ∈ I sao cho (x1 , ..., xk , y) là M -dãy. Mệnh đề 1.3.9. Giả sử M 6= IM . Khi đó mỗi M -dãy trong I đều mở rộng được thành M -dãy tối đại trong I và hai M -dãy tối đại trong I có 15 chung độ dài. Độ dài chung này chính là số nguyên i nhỏ nhất sao cho HIi (M ) 6= 0, cũng là số nguyên i nhỏ nhất sao cho ExtiR (R/I; M ). Chứng minh. Đặt dim M = d. Theo Bổ đề 1.3.6, mỗi M -dãy là một phần hệ tham số của M . Vì thế độ dài của M -dãy không vượt quá d. Do đó mỗi M -dãy trong I đều có thể mở rộng thành M -dãy tối đại trong I. Cho (x1 , ..., xr ) và (y1 , ..., yt ) là hai M -dãy tối đại trong I. Giả sử r 6= t, chẳng hạn r < t. Theo Mệnh đề 1.3.7 ta có HIi (M ) = 0 với mọi i < t và vì thế HIi (M ) = 0 với mọi i ≤ r. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 2.1.7, ta có thể chỉ ra bằng quy nạp theo k rằng HIi (M/(x1 , ..., xr )M ) = 0. Vì thế tồn tại một phần tử trong I là M/(x1 , ..., xr )M -chính quy. Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của M -dãy (x1 , ..., xr ). Từ đó suy ra các M -dãy tối đại trong I đều có chung dộ dài và độ dài chung này chính là số nguyên i bé nhất sao cho HIi (M ) 6= 0. Theo Mệnh đề 1.3.7, độ dài của một M -dãy tối đại trong I cũng là số nguyên i bé nhất sao cho ExtiR (R/I, M ) 6= 0. Bằng quy nạp và bằng các lập luận tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.3.7 ta có kết quả sau: Hệ quả 1.3.10. Các phát biểu sau là tương đương: (i) M = IM . (ii) HIi (M ) = 0 với mỗi i ∈ N. (iii) ExtiR (R/I; M ) = 0 với mọi i ∈ N. Định nghĩa 1.3.11. Độ dài của một M -dãy chính quy tối đại trong I được gọi là độ sâu của M trong I và được kí hiệu là depth(I; M ). Độ sâu của M trong iđêan cực đại m, được kí hiệu là depth M và được gọi là độ sâu của M . Từ chứng minh Mệnh đề 1.3.7 và Hệ quả 1.3.10 ta có kết quả sau đây. 16 Hệ quả 1.3.12. Nếu M 6= IM thì ta có đẳng thức sau. depth(I, M ) = inf{i|HIi (M ) 6= 0} = inf{i| ExtiR (R/I; M ) 6= 0}. . Hệ quả 1.3.13. Với mọi iđêan I của R ta có c. depth M = depth M Chứng minh. Với mọi số nguyên i ≥ 0 ta có HIi (M ) = 0 nếu và chỉ nếu c) = 0. Vì thế kết quả được suy ra ngay từ Hệ quả 1.3.12. HIi Rb (M 1.4 Tính catenary cho các vành Noether Định nghĩa 1.4.1. Cho q ⊂ p là các iđêan nguyên tố của R. Một dãy các iđêan nguyên tố q = p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn = p sao cho pi 6= pi+1 , với mọi i = 0, . . . n − 1, được gọi là một dãy các iđêan nguyên tố bão hòa giữa p và q nếu với mọi 0 ≤ i ≤ n − 1 không tồn tại iđêan nguyên tố P nào thỏa mãn pi ⊂ P ⊂ pi+1 và pi 6= P 6= pi+1 . Khi đó n được gọi là độ dài của dãy iđêan nguyên tố bão hòa trên. Định nghĩa 1.4.2. R được gọi là vành catenary nếu với mọi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại một dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa q và p, và mọi dãy nguyên tố bão hòa giữa p và q đều có chúng độ dài. Chú ý rằng, vì (R, m) là vành Noether địa phương nên chiều của R là hữu hạn, do đó mỗi dãy nguyên tố giữa p và q đều có thể mở rộng thành một dãy nguyên tố bão hòa, tức là luôn tồn tại dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa 2 iđêan nguyên tố q ⊂ p. Vì thế R là vành catenary nếu và chỉ nếu mọi dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa p và q đều có chung độ dài. 17 Bổ đề 1.4.3. Các phát biểu sau là đúng: (i) Vành thương của vành catenary cũng là vành catenary. (ii) Nếu dim R ≤ 2 thì R là catenary. Chứng minh. (i) Giả sử R là vành catenary và I là iđêan của R. Khi đó mỗi dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa hai iđêan nguyên tố q̄ ⊂ p̄ của R/I tương ứng với một dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa hai iđêan nguyên tố q ⊂ p của R chứa I, trong đó q̄ và p̄ là ảnh của q và p trong R/I. Vì thế R/I là catenary. (ii). Giả sử dim R ≤ 2. Cho q ⊂ p là hai iđêan nguyên tố của R. Khi đó chỉ có một trong hai khả năng xảy ra: hoặc chèn được thêm một iđêan nguyên tố giữa q và p để được dãy bão hòa, hoặc q ⊂ p đã bão hòa. Vì thế R là catenary. c là môđun đầy đủ theo tô pô m-adic của Định nghĩa 1.4.4. Kí hiệu M M . Ta nói rằng M là đẳng chiều nếu dim(R/p) = dim M với mọi p ∈ c là đẳng min Ass M . Ta nói rằng M là tựa không trộn lẫn nếu môđun M b ) = dim M c với mọi P ∈ min Ass b (M c). M gọi là chiều, tức là dim(R/P R b ) = dim M c với mọi P ∈ Ass b (M c). không trộn lẫn nếu dim(R/P R Kết quả sau được R. J. Ratliff đưa ra vào năm 1972. Mệnh đề 1.4.5. Miền nguyên Noether địa phương R là catenary nếu và chỉ nếu: ht p + dim(R/p) = dim R với mọi p ∈ Spec R. Năm 1974 Mc Adam và R. J. Raliff đã mở rộng mệnh đề trên cho các vành địa phương Noether đẳng chiều. Mệnh đề 1.4.6. Giả sử R là vành địa phương Noether đẳng chiều. Khi đó R là catenary nếu và chỉ nếu với mọi iđêan nguyên tố p của R ta có: ht p + dim(R/p) = dim R.