Mô tả:
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
http://www.toanthpt.net
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Dạng cơ bản
Giải phương trình :
4 3 2 1
− = −
x2 4 x 2
2 1
4 − x
0 < x ≤ 4
x − 2 ≥ 0
2x ≥ 0
4 3 2 1
− = − ⇔
⇔ 2
⇔ x=2
2 ⇔
2
4
3
4
2
1
x
4 x 2
−
=
4
3
2
1
1
0
− =
− =
x
− +
−
x 2 4 x 2 x 4
x 2 4 x 2
Giải phương trình :
x +6 x −9 + x −6 x −9 =
x+6
23
Đặt t = x − 9, t ≥ 0 ⇒ x = t 2 + 9 ≥ 9
t 2 − 4 = 0
t = 2
0 ≤ t < 3
2
Phương trình cho viết lại : 6 t + 3 + 6 t − 3 = t + 32 ⇔
⇔ t = 4
2
t
−
12t
+
32
=
0
t = 8
t ≥ 3
• t = 2 ⇔ x − 9 = 2 ⇔ x = 13
• t = 4 ⇔ x − 9 = 4 ⇔ x = 25
• t = 8 ⇔ x − 9 = 8 ⇔ x = 73
Vậy phương trình cho có 3 nghiệm x = 13, x = 25, x = 73
2
= 1 + 3 + 2x − x 2
x +1 + 3 − x
x +1 ≥ 0
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
⇔ −1 ≤ x ≤ 3 .
3 − x ≥ 0
Đặt
Giải phương trình :
t = x +1 + 3 − x , 2 ≤ t ≤ 2 2 ⇒ t2 = 4 + 2
( x + 1)( 3 − x ) = 4 + 2
3 + 2x − x 2 ⇒ 3 + 2x − x 2 =
t2 − 4
2
2
2
t2 − 4
= 1 + 3 + 2x − x 2 ⇔ = 1 +
⇔ t 3 − 2t − 4 = 0 ⇔ ( t − 2 ) ( t 2 + 2t + 2 ) = 0 (*)
t
2
x +1 + 3 − x
Vì t 2 + 2t + 2 > 0 nên (*) ⇔ t = 2 ⇔ x + 1 + 3 − x = 2 ⇔
Chú ý : Cho hai số a ≥ 0, b ≥ 0 nếu t = a + b thì
( x + 1)( 3 − x ) = 0 ⇔ x = −1, x = 3
a + b ≤ t ≤ 2 ( a + b ) ( Đại số 9)
Dễ thấy
t = a + b ⇔ t 2 = a + b + 2 ab ⇔ a + b ≤ t 2 = a + b + 2 ab
AM − GM
≤
AM − GM viết tắt bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân.
2 (a + b) ⇔ a + b ≤ t ≤ 2 (a + b)
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
http://www.toanthpt.net
Giải phương trình : ( 4x − 1) x 2 + 1 = 2x 2 + 2x + 1 (1)
( 4x − 1)
x 2 + 1 = 2x 2 + 2x + 1 ⇔ ( 4x − 1) x 2 + 1 = 2 ( x 2 + 1) + 1
Đặt t = x 2 + 1, t ≥ 1
Phương trình (1) ⇔ ( 4x − 1) t = 2t 2 + 2x − 1 ⇔ 2t 2 − ( 4x − 1) t + 2x − 1 = 0 ⇔ ( 2t − 1)( t − 2x + 1) = 0
1
1
2x − 1 > 0
t = <1
4
x >
⇔
⇔ 2
⇔x=
2
2
2 ⇔
3
x + 1 = ( 2x − 1)
3x 2 − 4x = 0
t = 2x − 1
Giải phương trình : 1 + 2x − x 2 + 1 − 2x − x 2 = 2 (1 − x ) ( 2x 2 − 4x + 1)
4
Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 .
1 + 2x − x 2 + 1 − 2x − x 2 = 2 (1 − x ) ( 2x 2 − 4x + 1)
4
(
)
⇔ 1 + 1 − ( x 2 − 2x + 1) + 1 − 1 − ( x 2 − 2x + 1) = 2 (1 − x ) 2 ( x 2 − 2x + 1) − 1
4
⇔ 1 + 1 − ( x − 1) + 1 − 1 − ( x − 1) = 2 (1 − x ) 2 ( x − 1)
2
2
4
2
(*)
Đặt t = ( x − 1) , x ∈ [ 0; 2] ⇔ t ∈ [ 0;1] ( a )
2
Phương trình (*) ⇔ 1 + 1 − t + 1 − 1 − t = 2t ( 2t − 1)
Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2t − 1 ≥ 0 ⇔ t ≥
2
(**)
1
1
( b ) .Từ ( a ) , ( b ) ⇒ t ∈ ;1 .
2
2
1
Với t ∈ ;1 , bình phương 2 vế phương trình (**) ta được
2
1
1
2
2
1 + t = 2t 4 ( 2t − 1) ⇔ 4 + 3
= 2 ( 2t − 1)
t
t t
1
1
1 VT = t 4 + t 3 t ≥ 2
t ∈ ;1 ⇒
⇒ VT = VP = 2 xảy ra khi t = 1 ⇔ x = 2
2
2
VP = 2 ( 2t − 1) ≤ 2
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 .
3
Giải phương trình : x 2 − 3x + 1 = −
x4 + x2 +1
3
3
3
x 2 − 3x + 1 = −
x 4 + x 2 + 1 ⇔ 2 ( x 2 − x + 1) − ( x 2 + x + 1) = −
x 2 − x + 1)( x 2 + x + 1)
(
3
3
⇔2
x2 − x +1
3
+
2
x + x +1 3
Đặt t =
x2 − x +1
− 1 = 0 ( *)
x2 + x +1
x2 − x +1
,0 < t ≠1
x2 + x +1
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
http://www.toanthpt.net
3
t=−
<0
3
x2 − x +1
3
3
2
Phương trình (*) ⇔ 2t +
t −1 = 0 ⇔
⇔
=
⇔ x 2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1
2
3
x
+
x
+
1
3
3
t =
3
Vậy phương trình có nghiệm x = 1 .
x
35
Giải phương trình : x +
=
(1)
x 2 − 1 12
Điều kiện để phương trình có nghĩa : x > 1 .
1
Đặt x = , x > 1 ⇒ 0 < y < 1 ( a )
y
x
35
1
1
35
35
x+
=
=
⇔ y + 1 − y2 =
y 1 − y2 ( 2)
(1) ⇔ +
2
2
y
12
12
x − 1 12
1− y
t 2 −1
( 3) với 0 < y < 1 ⇒ 1 < t ≤ 2
2
7
2
t = 5
35 t − 1
Phương trình ( 2 ) viết lại : t = .
⇔ 35t 2 − 24t − 35 = 0 ⇔
12 2
t = − 5 ∉ 1; 2
7
4
2 16
49
y =
y=±
−1
2
t − 1 25
12
144
144
25
5
y 1− y2 =
=
=
⇔ y 2 (1 − y 2 ) =
⇔ y4 − y2 +
=0⇔
⇔
(b)
2
2
25
625
625
y2 = 9
y = ± 3
25
5
5 4 5 3
Từ ( a ) và ( b ) suy ra ( x; y ) = ; , ;
4 5 3 5
5
5
Vậy phương trình cho có nghiệm : x = , x =
4
3
1
Chú ý : Với điều kiện x > 1 gợi liên tưởng bài toán này có cách giải lượng giác , với x =
hoặc
cos t
1
x=
sin t
Đặt t = y + 1 − y 2 ⇒ y 1 − y 2 =
(
Giải phương trình : x 2 − 4x − 3 = x + 5
Điều kiện để phương trình có nghĩa : x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ −5
x 2 − 4x − 3 = x + 5 ⇔ ( x − 2 ) − 7 = x + 5
2
Đặt y − 2 = x + 5, y ≥ 2 ⇔ ( y − 2 ) = x + 5
2
( x − 2 )
2
Ta có hệ : ( y − 2 )
y ≥ 2
2
( x − 2 ) 2 = y + 5
= y+5
( x − 2 )2 = y + 5
x − y = 0
5 + 29
x=
2
= x + 5 ⇔ ( x − y )( x + y + 3) = 0 ⇔ ( x − 2 ) = y + 5 ⇔
2
y ≥ 2
x = −1
x + y + 3 = 0
y ≥ 2
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Giải phương trình :
http://www.toanthpt.net
2x + 15 = 32x 2 + 32x − 20
15
.
2
2
2x + 15 = 32x 2 + 32x − 20 ⇔ 2x + 15 = 2 ( 4x + 2 ) − 28
Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2 x + 15 ≥ 0 ⇔ x ≥ −
Đặt 4y + 2 = 2x + 15, y ≥ −
1
2
⇔ ( 4y + 2 ) = 2x + 15
2
Ta có hệ :
( 4x + 2 )2 = 2y + 15
2
x = y
1
( 4y + 2 ) = 2x + 15
( x − y )( 8x + 8y + 9 ) = 0
x=
2
2
2
2
⇔ ( 4x + 2 ) = 2y + 15 ⇔
( 4x + 2 ) = 2y + 15 ⇔ ( 4x + 2 ) = 2y + 15
−9 − 221
8x + 8y + 9 = 0
x=
1
1
y ≥ −
y ≥ −
16
2
2
1
y ≥ − 2
Dạng tổng hiệu – bình phương
Giải phương trình :
x + 1 − x + 2 x (1 − x ) − 2 4 x (1 − x ) = 1
x ≥ 0
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
⇔ 0 ≤ x ≤1.
1 − x ≥ 0
x + 1 − x + 2 x (1 − x ) − 2 4 x (1 − x ) = 1 ⇔
⇔
(
4
x − 4 1− x
) −(
2
x − 1− x
)
2
=0⇔
(
4
(
) (
x − 4 1− x − x + 1− x
)(
4
Phương trình
1
1
x − 4 1 − x − x + 1 − x = 0 (1) ⇔ 1 − x − 4 1 − x + − x − 4 x + = 0
4
4
2
2
1
1
⇔ 4 1− x − − 4 x − = 0 ⇔
2
2
4
4
1− x − x = 0
(a )
⇔
4 1 − x + 4 x − 1 = 0 ( b )
(
4
1− x − 4 x
)(
4
)
1 − x + 4 x −1 = 0
1
2
•
4
1− x − 4 x = 0(a ) ⇔ 4 1− x = 4 x ⇔ 1− x = x ⇔ x =
•
4
1 − x + 4 x −1 = 0 ( b) ⇔ 4 1 − x = 1 − 4 x ⇔ 1 − x = 1 − 4 4 x + 6 4 x 2 − 4 4 x3 + x
⇔4x
(
4
)
x3 − 2 4 x2 + 34 x − 2 = 0 ⇔ 4 x
(
4
)(
x −1
4
)
x2 − 4 x + 2 = 0
)
x − 4 1− x + x − 1− x = 0
4 x − 4 1 − x − x + 1 − x = 0 (1)
⇔
4 x − 4 1 − x + x − 1 − x = 0 ( 2 )
4
)
x − 2 4 x (1 − x ) + 1 − x − x − 2 x (1 − x ) + 1 − x = 0
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
http://www.toanthpt.net
4 x = 0
4 x = 0
x = 0
⇔ 4 x −1 = 0
⇔
⇔
x = 1
4 2 4
4 x = 1
x − x + 2 > 0
Phương trình
4
1
1
x − 4 1 − x + x − 1 − x = 0 ( 2) ⇔ x + 4 x + − 1 − x + 4 1 − x + = 0
4
4
2
2
(
)(
)
1
1
⇔ 4 x + − 4 1− x + = 0 ⇔ 4 x − 4 1− x 4 x + 4 1− x +1 = 0
2
2
4 x − 4 1− x = 0
1
⇔
⇔ 4 x = 4 1− x ⇔ x = 1− x ⇔ x =
4
4
2
x + 1 − x + 1 > 0
1
Vậy phương trình cho có 3 nghiệm x = 0, x = , x = 1.
2
Dạng dùng bất đẳng thức
x 2 + x −1 + −x 2 + x + 1 = x 2 − x + 2
x 2 + x − 1 ≥ 0
Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2
.
− x + x + 1 ≥ 0
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ,
2
1 + x2 + x −1 x2 + x
2
=
x + x − 1 = 1. ( x + x − 1) ≤
2
2
2
2
− x 2 + x + 1 = 1. − x 2 + x + 1 ≤ 1 + − x + x + 1 = − x + x + 2
(
)
2
2
Giải phương trình :
⇒ x 2 + x − 1 + −x 2 + x + 1 ≤ x + 1
Phương trình : x 2 − x + 2 = x 2 + x − 1 + − x 2 + x + 1 ⇔ x 2 − x + 2 ≤ x + 1 ⇔ ( x − 1) ≤ 0 ⇔ x = 1
Vập phương trình cho có nghiệm x = 1
2
Giải phương trình :
2x 2 − x + −3x 2 + 3x + 1 = x 2 − 2x + 3
2x 2 − x ≥ 0
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
.
2
−3x + 3x + 1 ≥ 0
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ,
1 + 2x 2 − x
2
2
2x
−
x
=
1.
2x
−
x
≤
(
)
2
2
2
−3x 2 + 3x + 1 = 1. −3x 2 + 3x + 1 ≤ 1 + −3x + 3x + 1 = −3x + 3x + 2
(
)
2
2
( x − 1) ≤ 2
− x 2 + 3x + 2
⇒ VT = 2x − x + −3x + 3x + 1 ≤
= 2−
2
2
2
2
VP = x − 2x + 3 = ( x − 1) + 2 ≥ 2
2
2
2
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
http://www.toanthpt.net
x − 1 = 0
VT = VP = 2 khi 1 = 2x 2 − x
⇔ x =1
1 = 1 + 3x − 3x 2
Vậy phương trình có nghiệm x = 1 .
Dạng khác
Giải phương trình :
a) x + 4 − x 2 = 2 + 3x 4 − x 2
Hướng dẫn :
b)
x +1 + x − 4 +
( x + 1)( x − 4 ) = 5
c)
4x − 1 + 4x 2 − 1 = 1
a) x + 4 − x 2 = 2 + 3x 4 − x 2
Đặt t = x + 4 − x 2 ; x ≤ 2 có t ' = 1 −
x
4 − x2
; t ' = 0 ⇔ x = 2 ⇒ t ∈ −2; 2 2 Phương trình :
x + 4 − x 2 = 2 + 3x 4 − x 2 ⇔ 3t 2 − 2t − 8 = 0 ⇔ x = 0, x = 2, x =
( x + 1)( x − 4 ) = 5
4 − x; x ∈ [ −1; 4] ⇒ t ' = 0 ⇒ t ∈
− 2 − 14
3
x +1 + x − 4 +
b)
Đặt t = x + 1 +
x +1 + x − 4 +
( x + 1)( x − 4 ) = 5 ⇔ t +
5; 10
t2 −5
= 5 ⇔ x = 0∨ x = 3
2
4x − 1 + 4x 2 − 1 = 1
1
1
1
x ≥
2
⇒ f ( x) = 1 = f ( ) ⇒ x =
2
2
f ( x) = 4 x − 1 + 4 x 2 − 1; f ' ( x) > 0
c)
Nhân lượng liên hợp
Giải các phương trình :
a) x + 1 + 1 x + 1 + 2x − 5 = x
(
a) (
)(
x + 1 + 1)(
)
x + 1 + 2x − 5 ) = x
(
) (
x + 1 + 2x − 5 = x
2x 2 + 3x + 5 + 2x 2 − 3x + 5 = 3x
x + 1 − 1 ta được phương trình hệ quả
x + 1 − 1 ⇔ x x + 1 + 2x − 5 − x + 1 − 1 = 0
Nhân cả hai vế phương trình với
x
b)
)
(
) (
)
x = 0
x = 0
⇔
⇔
x + 1 + 2x − 5 − x + 1 − 1 = 0
x = 2
Thử lại ta thấy x = 2 thỏa mãn .
(
b)
) (
)
2x 2 + 3x + 5 + 2x 2 − 3x + 5 = 3x
Nhân cả hai vế phương trình với
(1)
2x 2 + 3x + 5 − 2x 2 − 3x + 5 ta được phương trình hệ quả :
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
6x = 3x
(
http://www.toanthpt.net
x = 0
2x 2 + 3x + 5 − 2x 2 − 3x + 5 ⇔
2
2
2x + 3x + 5 − 2x − 3x + 5 = 2
)
( 2)
Lấy (1) + ( 2 ) ta được 2 2x 2 + 3x + 5 = 2 + 3x ⇔ 4 ( 2x 2 + 3x + 5 ) = ( 2 + 3x ) phương trình hệ quả
2
x = 4
⇔ 8x 2 + 12x + 20 = 4 + 12x + 9x 2 ⇔ x 2 = 16 ⇔
x = −4
Kiểm tra lại các nghiệm x = 4; x = −4; x = 0 ta thấy x = 4 thỏa mãn
Giải các phương trình :
x2
b) 4x 2 − 1 − 2x + 1 = 1 + x − 2x 2
a) x + 1 + 1 − x = 2 −
4
x2
4
Độc giả thấy quá quen thuộc bài toán trên giải bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức , đánh giá ,
lượng giác… nay tôi giới thiệu cách giải nhân lượng liên hợp .
x +1 ≥ 0
⇔ −1 ≤ x ≤ 1 .
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
1 − x ≥ 0
a)
x +1 + 1− x = 2 −
Vì −1 ≤ x ≤ 1 nên 2 −
x2
>0
4
Phương trình cho
⇔ 2 + 2 1− x2 = 4 − x2 +
(
)(
(
)
x2
x4
⇔ 2 1 − 1 − x 2 = x 2 1 −
16
16
)
(
)
x2
⇔ 2 1 − 1 − x 2 1 + 1 − x 2 = x 2 1 − 1 + 1 − x 2
16
x 2 = 0
2
x
⇔ 2x 2 = x 2 1 − 1 + 1 − x 2 ⇔
x2
2
2
=
16
1 − 1 + 1 − x
16
x2
<1
x2
1 −
Vì x ≠ 0 nên 16
⇒ 1 − 1 + 1 − x 2 < 2
1 + 1 − x 2 < 2 16
Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0
(
)
(
(
b)
)
⇔ x=0
)
4x 2 − 1 − 2x + 1 = 1 + x − 2x 2
1
x ≥ 2
4 x 2 − 1 ≥ 0
⇔
kiện để phương trình có nghĩa :
x = − 1
2 x + 1 ≥ 0
2
1
1
• Nếu x = − thì phương trình nghiệm đúng . Suy ra x = − là nghiệm phương trình .
2
2
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
http://www.toanthpt.net
1
thì phương trình cho
2
⇔ ( 2 x + 1)( 2 x − 1) + ( 2 x + 1)( x − 1) = 2 x + 1 ⇔ 2 x − 1 + 2 x + 1 ( x − 1) = 1
• Nếu x ≥
⇔ 2 x − 1 − 1 = 2 x + 1 ( − x + 1) ⇔
(
)(
2x −1 −1
)
2 x − 1 + 1 = 2 x + 1 ( − x + 1)
x =1
2x −1 +1 ⇔
2 + 2 x + 1
1
Vậy phương trình cho có nghiệm x = − , x = 1
2
⇔ 2 ( x − 1) = 2 x + 1 ( − x + 1)
(
)
(
)
2x −1 +1 = 0
(
)
2x −1 + 1
⇔ x =1
Dùng đạo hàm
Giải phương trình :
3
3
x + 7 + 6 x 2 − 2x + 1 = 2
x + 7 + 6 x 2 − 2x + 1 = 2 ⇔ 3 x + 7 + 3
3 x + 7 + 3 x − 1 = 2
x ≥ 1
x −1 = 2 ⇔
3
3
x + 7 − x − 1 = 2
x < 1
3 x + 7 + 3 x − 1 = 2
Trường hợp 1:
. Xét hàm số f ( x ) = 3 x + 7 + 3 x − 1 .
x ≥ 1
Hàm số f ( x ) là hàm số đồng biến và luôn cắt đường thẳng y = 2 tại 1 giao điểm ; do đó phương trình
cho có nghiệm duy nhất và f (1) = 2 ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình .
3 x + 7 − 3 x − 1 = 2
Trường hợp 2 :
x < 1
Đặt u = 3 x + 7, v = 3 x − 1
x < 1
3
u = 0
x + 7 = 0
3
3
u − v = 2
x + 7 − x − 1 = 2
v = −2 ⇔ 3 x − 1 = −2 ⇔ x = −7
Hệ
⇔ 3
⇔
3
u = 2
u − v = 8
x < 1
3
x + 7 = 2
v = 0
3 x − 1 = 0
Vậy hệ cho có nghiệm x = −7; x = 1 .
(
Tìm các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: x x + x + 12 = m 5 − x + 4 − x
(
Phương trình cho ⇔ x x + x + 12
(
)(
)
5− x − 4− x = m
)(
)
X ét f ( x ) = x x + x + 12
5 − x − 4 − x ; D ∈ [0,4]
1442443 1442443
g( x)
(
h( x )
)
g ( x ) = x x + x + 12 : đồng biến trong D
)
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
h '( x) =
−1
1
+
>0
2 5− x 2 4− x
http://www.toanthpt.net
∀x ( 0; 4 ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) h ( x ) : đồng biến mọi x ∈ D ⇒ phương
(
)
trình có nghiệm khi và chỉ khi f (0 ) ≤ f ( x ) ≤ f (4 ) ⇔ 2 3 5 − 4 ≤ m ≤ 12 .
Bài tập :
Bài tập 1: Xác định m để phương trình : x 2 − 6 x + m +
(
)(
)
t = x − 5 1 − x ; 0 ≤ t ≤ 4
Hướng dẫn :
2
m = t − t + 5
(x − 5)(1 − x ) = 0
⇒
có nghiệm.
19
≤ m ≤ 17
4
Bài tập 2: Tìm m để phương trình : sin x + 2 − sin 2 x + sin x 2 − sin 2 x = m có nghiệm.
2 − z2 − z
t = sin x + 2 − sin 2 x
⇒ t ∈ [0;2]
Hướng dẫn :
⇒ t' =
z = sin x ; | z |≤ 1
2 − z2
2m = t 2 + 2t − 2 = f (t )
t2 − 2
⇒ sin x 2 − sin 2 x =
⇒
⇒ −1 ≤ m ≤ 3
2
t ∈ [0;2]
2 − sin x + sin 2 x + 1 + sin x + cos 2 x = m
1. Giải phương trình khi m = 2 2
π π
2. Định m để phương trình cho có nghiệm x ∈ − ;
2 2
Hướng dẫn :
9
t = 2 + sin x − sin 2 x
t ∈ 0;
9
⇒2≤m≤2 2
⇒ t ' = 1 − 2 z ⇒ t ∈ 0; ⇒ 4
4
z = sin x ; | z |≤ 1
f (t ) = 4 − 1 + t = m
Bài tập 3 : Cho phương trình :
Bài tập 4: Xác định theo m số nghiệm phương trình :
x 4 + 4 x + m + 4 x 4 + 4m + m = 6
Hướng dẫn : t = 4 x 4 + 4 x + m ; f ( x) = − x 4 − 4 x + 16 = m
m > 19 : vô nghiệm ; m = 19 : 1 nghiệm ; m < 19 : 2 nghiệm
Tìm m để bất phương trình :
Đặt t =
(1 + 2 x )( 3 − x ) ; x ∈ −
t'=0⇔ x =
1
;3
2
5
4
1
thỏa mãn ∀x ∈ − ;3 .
2
5 − 4x
1
có t ' =
, x ∈ − ;3
2
2 (1 + 2 x )( 3 − x )
(1 + 2 x )( 3 − x ) > m + ( 2 x 2 − 5 x + 3)
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
x
−1
http://www.toanthpt.net
5
2
t’
3
4
+
0
–
1
7
: x ∈ − ;3 ⇒ t ∈ 0;
2
2
7
t
2
0
0
1
7
Để bất phương trình cho đúng x ∈ − ;3 thì : t + t 2 > m + 6 đúng t ∈ 0; .
2
2
1
Đặt f (t ) = t 2 + t ⇒ f '(t ) = 2t + 1 ⇒ f '(t ) = 0 ⇔ t = −
2
7
t
−∞
−1
0
2
2
f’(t)
+
f(t)
0
7
⇒ m + 6 < min f (t ) = f (0) = 0 t ∈ 0; ⇒ m < −6
2
- Xem thêm -