Tài liệu Ptvoti

T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Dạng cơ bản Giải phương trình : 4 3 2 1 − = − x2 4 x 2 2 1 4 − x 0 < x ≤ 4 x − 2 ≥ 0  2x ≥ 0 4 3 2 1   − = − ⇔ ⇔ 2 ⇔ x=2 2 ⇔  2 4 3 4 2 1 x 4 x 2 − = 4 3 2 1 1 0    − =  − =  x − + −  x 2 4 x 2 x 4  x 2 4  x 2  Giải phương trình : x +6 x −9 + x −6 x −9 = x+6 23 Đặt t = x − 9, t ≥ 0 ⇒ x = t 2 + 9 ≥ 9 t 2 − 4 = 0  t = 2  0 ≤ t < 3  2 Phương trình cho viết lại : 6 t + 3 + 6 t − 3 = t + 32 ⇔  ⇔ t = 4 2  t − 12t + 32 = 0   t = 8   t ≥ 3 • t = 2 ⇔ x − 9 = 2 ⇔ x = 13 • t = 4 ⇔ x − 9 = 4 ⇔ x = 25 • t = 8 ⇔ x − 9 = 8 ⇔ x = 73 Vậy phương trình cho có 3 nghiệm x = 13, x = 25, x = 73 2 = 1 + 3 + 2x − x 2 x +1 + 3 − x x +1 ≥ 0 Điều kiện để phương trình có nghĩa :  ⇔ −1 ≤ x ≤ 3 . 3 − x ≥ 0 Đặt Giải phương trình : t = x +1 + 3 − x , 2 ≤ t ≤ 2 2 ⇒ t2 = 4 + 2 ( x + 1)( 3 − x ) = 4 + 2 3 + 2x − x 2 ⇒ 3 + 2x − x 2 = t2 − 4 2 2 2 t2 − 4 = 1 + 3 + 2x − x 2 ⇔ = 1 + ⇔ t 3 − 2t − 4 = 0 ⇔ ( t − 2 ) ( t 2 + 2t + 2 ) = 0 (*) t 2 x +1 + 3 − x Vì t 2 + 2t + 2 > 0 nên (*) ⇔ t = 2 ⇔ x + 1 + 3 − x = 2 ⇔ Chú ý : Cho hai số a ≥ 0, b ≥ 0 nếu t = a + b thì ( x + 1)( 3 − x ) = 0 ⇔ x = −1, x = 3 a + b ≤ t ≤ 2 ( a + b ) ( Đại số 9) Dễ thấy t = a + b ⇔ t 2 = a + b + 2 ab ⇔ a + b ≤ t 2 = a + b + 2 ab AM − GM ≤ AM − GM viết tắt bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân. 2 (a + b) ⇔ a + b ≤ t ≤ 2 (a + b) T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net Giải phương trình : ( 4x − 1) x 2 + 1 = 2x 2 + 2x + 1 (1) ( 4x − 1) x 2 + 1 = 2x 2 + 2x + 1 ⇔ ( 4x − 1) x 2 + 1 = 2 ( x 2 + 1) + 1 Đặt t = x 2 + 1, t ≥ 1 Phương trình (1) ⇔ ( 4x − 1) t = 2t 2 + 2x − 1 ⇔ 2t 2 − ( 4x − 1) t + 2x − 1 = 0 ⇔ ( 2t − 1)( t − 2x + 1) = 0 1   1 2x − 1 > 0 t = <1 4 x >  ⇔ ⇔ 2 ⇔x= 2 2 2 ⇔   3  x + 1 = ( 2x − 1) 3x 2 − 4x = 0  t = 2x − 1   Giải phương trình : 1 + 2x − x 2 + 1 − 2x − x 2 = 2 (1 − x ) ( 2x 2 − 4x + 1) 4 Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 . 1 + 2x − x 2 + 1 − 2x − x 2 = 2 (1 − x ) ( 2x 2 − 4x + 1) 4 ( ) ⇔ 1 + 1 − ( x 2 − 2x + 1) + 1 − 1 − ( x 2 − 2x + 1) = 2 (1 − x ) 2 ( x 2 − 2x + 1) − 1 4 ⇔ 1 + 1 − ( x − 1) + 1 − 1 − ( x − 1) = 2 (1 − x ) 2 ( x − 1) 2 2 4 2 (*) Đặt t = ( x − 1) , x ∈ [ 0; 2] ⇔ t ∈ [ 0;1] ( a ) 2 Phương trình (*) ⇔ 1 + 1 − t + 1 − 1 − t = 2t ( 2t − 1) Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2t − 1 ≥ 0 ⇔ t ≥ 2 (**) 1 1 ( b ) .Từ ( a ) , ( b ) ⇒ t ∈  ;1 . 2 2  1  Với t ∈  ;1 , bình phương 2 vế phương trình (**) ta được 2  1 1 2 2 1 + t = 2t 4 ( 2t − 1) ⇔ 4 + 3 = 2 ( 2t − 1) t t t 1 1   1  VT = t 4 + t 3 t ≥ 2 t ∈  ;1 ⇒  ⇒ VT = VP = 2 xảy ra khi t = 1 ⇔ x = 2 2   2 VP = 2 ( 2t − 1) ≤ 2 Vậy phương trình có nghiệm x = 2 . 3 Giải phương trình : x 2 − 3x + 1 = − x4 + x2 +1 3 3 3 x 2 − 3x + 1 = − x 4 + x 2 + 1 ⇔ 2 ( x 2 − x + 1) − ( x 2 + x + 1) = − x 2 − x + 1)( x 2 + x + 1) ( 3 3 ⇔2 x2 − x +1 3 + 2 x + x +1 3 Đặt t = x2 − x +1 − 1 = 0 ( *) x2 + x +1 x2 − x +1 ,0 < t ≠1 x2 + x +1 T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net  3 t=− <0  3 x2 − x +1 3 3 2  Phương trình (*) ⇔ 2t + t −1 = 0 ⇔ ⇔ = ⇔ x 2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1 2 3 x + x + 1 3  3 t = 3  Vậy phương trình có nghiệm x = 1 . x 35 Giải phương trình : x + = (1) x 2 − 1 12 Điều kiện để phương trình có nghĩa : x > 1 . 1 Đặt x = , x > 1 ⇒ 0 < y < 1 ( a ) y x 35 1 1 35 35 x+ = = ⇔ y + 1 − y2 = y 1 − y2 ( 2) (1) ⇔ + 2 2 y 12 12 x − 1 12 1− y t 2 −1 ( 3) với 0 < y < 1 ⇒ 1 < t ≤ 2 2  7 2 t = 5 35 t − 1 Phương trình ( 2 ) viết lại : t = . ⇔ 35t 2 − 24t − 35 = 0 ⇔  12 2  t = − 5 ∉ 1; 2    7 4  2 16  49 y = y=± −1 2   t − 1 25 12 144 144 25 5 y 1− y2 = = = ⇔ y 2 (1 − y 2 ) = ⇔ y4 − y2 + =0⇔ ⇔ (b) 2 2 25 625 625  y2 = 9 y = ± 3 25 5   5 4 5 3 Từ ( a ) và ( b ) suy ra ( x; y ) =  ;  ,  ;   4 5 3 5 5 5 Vậy phương trình cho có nghiệm : x = , x = 4 3 1 Chú ý : Với điều kiện x > 1 gợi liên tưởng bài toán này có cách giải lượng giác , với x = hoặc cos t 1 x= sin t Đặt t = y + 1 − y 2 ⇒ y 1 − y 2 = ( Giải phương trình : x 2 − 4x − 3 = x + 5 Điều kiện để phương trình có nghĩa : x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ −5 x 2 − 4x − 3 = x + 5 ⇔ ( x − 2 ) − 7 = x + 5 2 Đặt y − 2 = x + 5, y ≥ 2 ⇔ ( y − 2 ) = x + 5 2 ( x − 2 )  2  Ta có hệ : ( y − 2 )   y ≥ 2 2   ( x − 2 ) 2 = y + 5  = y+5 ( x − 2 )2 = y + 5    x − y = 0  5 + 29   x=  2 = x + 5 ⇔ ( x − y )( x + y + 3) = 0 ⇔   ( x − 2 ) = y + 5 ⇔ 2  y ≥ 2   x = −1     x + y + 3 = 0  y ≥ 2 T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Giải phương trình : http://www.toanthpt.net 2x + 15 = 32x 2 + 32x − 20 15 . 2 2 2x + 15 = 32x 2 + 32x − 20 ⇔ 2x + 15 = 2 ( 4x + 2 ) − 28 Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2 x + 15 ≥ 0 ⇔ x ≥ − Đặt 4y + 2 = 2x + 15, y ≥ − 1 2 ⇔ ( 4y + 2 ) = 2x + 15 2 Ta có hệ :   ( 4x + 2 )2 = 2y + 15    2    x = y 1  ( 4y + 2 ) = 2x + 15 ( x − y )( 8x + 8y + 9 ) = 0 x=    2   2 2 2  ⇔   ( 4x + 2 ) = 2y + 15 ⇔  ( 4x + 2 ) = 2y + 15 ⇔ ( 4x + 2 ) = 2y + 15  −9 − 221      8x + 8y + 9 = 0 x= 1 1   y ≥ − y ≥ −  16  2 2   1   y ≥ − 2 Dạng tổng hiệu – bình phương Giải phương trình : x + 1 − x + 2 x (1 − x ) − 2 4 x (1 − x ) = 1 x ≥ 0 Điều kiện để phương trình có nghĩa :  ⇔ 0 ≤ x ≤1. 1 − x ≥ 0 x + 1 − x + 2 x (1 − x ) − 2 4 x (1 − x ) = 1 ⇔ ⇔ ( 4 x − 4 1− x ) −( 2 x − 1− x ) 2 =0⇔ ( 4 ( ) ( x − 4 1− x − x + 1− x )( 4 Phương trình 1  1  x − 4 1 − x − x + 1 − x = 0 (1) ⇔  1 − x − 4 1 − x +  −  x − 4 x +  = 0 4  4  2 2 1  1  ⇔  4 1− x −  −  4 x −  = 0 ⇔ 2  2  4 4  1− x − x = 0 (a ) ⇔  4 1 − x + 4 x − 1 = 0 ( b ) ( 4 1− x − 4 x )( 4 ) 1 − x + 4 x −1 = 0 1 2 • 4 1− x − 4 x = 0(a ) ⇔ 4 1− x = 4 x ⇔ 1− x = x ⇔ x = • 4 1 − x + 4 x −1 = 0 ( b) ⇔ 4 1 − x = 1 − 4 x ⇔ 1 − x = 1 − 4 4 x + 6 4 x 2 − 4 4 x3 + x ⇔4x ( 4 ) x3 − 2 4 x2 + 34 x − 2 = 0 ⇔ 4 x ( 4 )( x −1 4 ) x2 − 4 x + 2 = 0 ) x − 4 1− x + x − 1− x = 0  4 x − 4 1 − x − x + 1 − x = 0 (1) ⇔  4 x − 4 1 − x + x − 1 − x = 0 ( 2 ) 4 ) x − 2 4 x (1 − x ) + 1 − x − x − 2 x (1 − x ) + 1 − x = 0 T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 4 x = 0  4 x = 0 x = 0 ⇔  4 x −1 = 0 ⇔ ⇔ x = 1 4 2 4  4 x = 1  x − x + 2 > 0 Phương trình 4 1  1  x − 4 1 − x + x − 1 − x = 0 ( 2) ⇔  x + 4 x +  −  1 − x + 4 1 − x +  = 0 4  4  2 2 ( )( ) 1  1  ⇔  4 x +  −  4 1− x +  = 0 ⇔ 4 x − 4 1− x 4 x + 4 1− x +1 = 0 2  2   4 x − 4 1− x = 0 1 ⇔ ⇔ 4 x = 4 1− x ⇔ x = 1− x ⇔ x = 4 4 2  x + 1 − x + 1 > 0 1 Vậy phương trình cho có 3 nghiệm x = 0, x = , x = 1. 2 Dạng dùng bất đẳng thức x 2 + x −1 + −x 2 + x + 1 = x 2 − x + 2  x 2 + x − 1 ≥ 0 Điều kiện để phương trình có nghĩa :  2 . − x + x + 1 ≥ 0 Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ,  2 1 + x2 + x −1 x2 + x 2 =  x + x − 1 = 1. ( x + x − 1) ≤ 2 2  2 2  − x 2 + x + 1 = 1. − x 2 + x + 1 ≤ 1 + − x + x + 1 = − x + x + 2 ( )  2 2 Giải phương trình : ⇒ x 2 + x − 1 + −x 2 + x + 1 ≤ x + 1 Phương trình : x 2 − x + 2 = x 2 + x − 1 + − x 2 + x + 1 ⇔ x 2 − x + 2 ≤ x + 1 ⇔ ( x − 1) ≤ 0 ⇔ x = 1 Vập phương trình cho có nghiệm x = 1 2 Giải phương trình : 2x 2 − x + −3x 2 + 3x + 1 = x 2 − 2x + 3 2x 2 − x ≥ 0 Điều kiện để phương trình có nghĩa :  . 2 −3x + 3x + 1 ≥ 0 Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ,  1 + 2x 2 − x 2 2 2x − x = 1. 2x − x ≤ ( )  2  2 2  −3x 2 + 3x + 1 = 1. −3x 2 + 3x + 1 ≤ 1 + −3x + 3x + 1 = −3x + 3x + 2 ( )  2 2 ( x − 1) ≤ 2 − x 2 + 3x + 2 ⇒ VT = 2x − x + −3x + 3x + 1 ≤ = 2− 2 2 2 2 VP = x − 2x + 3 = ( x − 1) + 2 ≥ 2 2 2 2 T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net x − 1 = 0  VT = VP = 2 khi 1 = 2x 2 − x ⇔ x =1 1 = 1 + 3x − 3x 2  Vậy phương trình có nghiệm x = 1 . Dạng khác Giải phương trình : a) x + 4 − x 2 = 2 + 3x 4 − x 2 Hướng dẫn : b) x +1 + x − 4 + ( x + 1)( x − 4 ) = 5 c) 4x − 1 + 4x 2 − 1 = 1 a) x + 4 − x 2 = 2 + 3x 4 − x 2 Đặt t = x + 4 − x 2 ; x ≤ 2 có t ' = 1 − x 4 − x2 ; t ' = 0 ⇔ x = 2 ⇒ t ∈  −2; 2 2  Phương trình : x + 4 − x 2 = 2 + 3x 4 − x 2 ⇔ 3t 2 − 2t − 8 = 0 ⇔ x = 0, x = 2, x = ( x + 1)( x − 4 ) = 5 4 − x; x ∈ [ −1; 4] ⇒ t ' = 0 ⇒ t ∈  − 2 − 14 3 x +1 + x − 4 + b) Đặt t = x + 1 + x +1 + x − 4 + ( x + 1)( x − 4 ) = 5 ⇔ t + 5; 10  t2 −5 = 5 ⇔ x = 0∨ x = 3 2 4x − 1 + 4x 2 − 1 = 1 1  1 1 x ≥ 2 ⇒ f ( x) = 1 = f ( ) ⇒ x =  2 2  f ( x) = 4 x − 1 + 4 x 2 − 1; f ' ( x) > 0  c) Nhân lượng liên hợp Giải các phương trình : a) x + 1 + 1 x + 1 + 2x − 5 = x ( a) ( )( x + 1 + 1)( ) x + 1 + 2x − 5 ) = x ( ) ( x + 1 + 2x − 5 = x 2x 2 + 3x + 5 + 2x 2 − 3x + 5 = 3x x + 1 − 1 ta được phương trình hệ quả x + 1 − 1 ⇔ x  x + 1 + 2x − 5 − x + 1 − 1  = 0   Nhân cả hai vế phương trình với x b) ) ( ) ( ) x = 0 x = 0 ⇔ ⇔ x + 1 + 2x − 5 − x + 1 − 1 = 0 x = 2  Thử lại ta thấy x = 2 thỏa mãn . ( b) ) ( ) 2x 2 + 3x + 5 + 2x 2 − 3x + 5 = 3x Nhân cả hai vế phương trình với (1) 2x 2 + 3x + 5 − 2x 2 − 3x + 5 ta được phương trình hệ quả : T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 6x = 3x ( http://www.toanthpt.net x = 0 2x 2 + 3x + 5 − 2x 2 − 3x + 5 ⇔  2 2  2x + 3x + 5 − 2x − 3x + 5 = 2 ) ( 2) Lấy (1) + ( 2 ) ta được 2 2x 2 + 3x + 5 = 2 + 3x ⇔ 4 ( 2x 2 + 3x + 5 ) = ( 2 + 3x ) phương trình hệ quả 2 x = 4 ⇔ 8x 2 + 12x + 20 = 4 + 12x + 9x 2 ⇔ x 2 = 16 ⇔   x = −4 Kiểm tra lại các nghiệm x = 4; x = −4; x = 0 ta thấy x = 4 thỏa mãn Giải các phương trình : x2 b) 4x 2 − 1 − 2x + 1 = 1 + x − 2x 2 a) x + 1 + 1 − x = 2 − 4 x2 4 Độc giả thấy quá quen thuộc bài toán trên giải bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức , đánh giá , lượng giác… nay tôi giới thiệu cách giải nhân lượng liên hợp . x +1 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 . Điều kiện để phương trình có nghĩa :  1 − x ≥ 0 a) x +1 + 1− x = 2 − Vì −1 ≤ x ≤ 1 nên 2 − x2 >0 4 Phương trình cho ⇔ 2 + 2 1− x2 = 4 − x2 + ( )( ( )  x2  x4 ⇔ 2 1 − 1 − x 2 = x 2 1 −  16  16  ) ( )  x2  ⇔ 2 1 − 1 − x 2 1 + 1 − x 2 = x 2 1 −  1 + 1 − x 2  16  x 2 = 0 2  x   ⇔ 2x 2 = x 2 1 −  1 + 1 − x 2 ⇔   x2  2 2 =  16  1 −  1 + 1 − x   16    x2 <1  x2  1 − Vì x ≠ 0 nên  16 ⇒ 1 −  1 + 1 − x 2 < 2 1 + 1 − x 2 < 2  16   Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0 ( ) ( ( b) ) ⇔ x=0 ) 4x 2 − 1 − 2x + 1 = 1 + x − 2x 2 1  x ≥ 2 4 x 2 − 1 ≥ 0 ⇔ kiện để phương trình có nghĩa :  x = − 1 2 x + 1 ≥ 0  2 1 1 • Nếu x = − thì phương trình nghiệm đúng . Suy ra x = − là nghiệm phương trình . 2 2 T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 1 thì phương trình cho 2 ⇔ ( 2 x + 1)( 2 x − 1) + ( 2 x + 1)( x − 1) = 2 x + 1 ⇔ 2 x − 1 + 2 x + 1 ( x − 1) = 1 • Nếu x ≥ ⇔ 2 x − 1 − 1 = 2 x + 1 ( − x + 1) ⇔ ( )( 2x −1 −1 ) 2 x − 1 + 1 = 2 x + 1 ( − x + 1) x =1 2x −1 +1 ⇔   2 + 2 x + 1 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = − , x = 1 2 ⇔ 2 ( x − 1) = 2 x + 1 ( − x + 1) ( ) ( ) 2x −1 +1 = 0 ( ) 2x −1 + 1 ⇔ x =1 Dùng đạo hàm Giải phương trình : 3 3 x + 7 + 6 x 2 − 2x + 1 = 2 x + 7 + 6 x 2 − 2x + 1 = 2 ⇔ 3 x + 7 + 3   3 x + 7 + 3 x − 1 = 2   x ≥ 1 x −1 = 2 ⇔  3 3   x + 7 − x − 1 = 2     x < 1  3 x + 7 + 3 x − 1 = 2 Trường hợp 1:  . Xét hàm số f ( x ) = 3 x + 7 + 3 x − 1 .  x ≥ 1 Hàm số f ( x ) là hàm số đồng biến và luôn cắt đường thẳng y = 2 tại 1 giao điểm ; do đó phương trình cho có nghiệm duy nhất và f (1) = 2 ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình .  3 x + 7 − 3 x − 1 = 2 Trường hợp 2 :   x < 1 Đặt u = 3 x + 7, v = 3 x − 1 x < 1  3  u = 0    x + 7 = 0   3 3 u − v = 2  x + 7 − x − 1 = 2   v = −2 ⇔    3 x − 1 = −2 ⇔ x = −7 Hệ  ⇔ 3 ⇔   3  u = 2 u − v = 8  x < 1  3     x + 7 = 2   v = 0  3 x − 1 = 0    Vậy hệ cho có nghiệm x = −7; x = 1 . ( Tìm các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: x x + x + 12 = m 5 − x + 4 − x ( Phương trình cho ⇔ x x + x + 12 ( )( ) 5− x − 4− x = m )( ) X ét f ( x ) = x x + x + 12 5 − x − 4 − x ; D ∈ [0,4] 1442443 1442443 g( x) ( h( x ) ) g ( x ) = x x + x + 12 : đồng biến trong D ) T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt h '( x) = −1 1 + >0 2 5− x 2 4− x http://www.toanthpt.net ∀x ( 0; 4 ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) h ( x ) : đồng biến mọi x ∈ D ⇒ phương ( ) trình có nghiệm khi và chỉ khi f (0 ) ≤ f ( x ) ≤ f (4 ) ⇔ 2 3 5 − 4 ≤ m ≤ 12 . Bài tập : Bài tập 1: Xác định m để phương trình : x 2 − 6 x + m + ( )( ) t = x − 5 1 − x ; 0 ≤ t ≤ 4  Hướng dẫn :  2 m = t − t + 5 (x − 5)(1 − x ) = 0 ⇒ có nghiệm. 19 ≤ m ≤ 17 4 Bài tập 2: Tìm m để phương trình : sin x + 2 − sin 2 x + sin x 2 − sin 2 x = m có nghiệm. 2 − z2 − z t = sin x + 2 − sin 2 x ⇒ t ∈ [0;2] Hướng dẫn :  ⇒ t' =  z = sin x ; | z |≤ 1 2 − z2 2m = t 2 + 2t − 2 = f (t ) t2 − 2 ⇒ sin x 2 − sin 2 x = ⇒ ⇒ −1 ≤ m ≤ 3 2 t ∈ [0;2] 2 − sin x + sin 2 x + 1 + sin x + cos 2 x = m 1. Giải phương trình khi m = 2 2  π π 2. Định m để phương trình cho có nghiệm x ∈ − ;   2 2 Hướng dẫn :   9 t = 2 + sin x − sin 2 x t ∈ 0;  9 ⇒2≤m≤2 2 ⇒ t ' = 1 − 2 z ⇒ t ∈ 0;  ⇒   4    4  z = sin x ; | z |≤ 1  f (t ) = 4 − 1 + t = m  Bài tập 3 : Cho phương trình : Bài tập 4: Xác định theo m số nghiệm phương trình : x 4 + 4 x + m + 4 x 4 + 4m + m = 6 Hướng dẫn : t = 4 x 4 + 4 x + m ; f ( x) = − x 4 − 4 x + 16 = m m > 19 : vô nghiệm ; m = 19 : 1 nghiệm ; m < 19 : 2 nghiệm Tìm m để bất phương trình : Đặt t = (1 + 2 x )( 3 − x ) ; x ∈  − t'=0⇔ x = 1  ;3  2  5 4  1  thỏa mãn ∀x ∈  − ;3 .  2  5 − 4x  1  có t ' = , x ∈  − ;3   2  2 (1 + 2 x )( 3 − x ) (1 + 2 x )( 3 − x ) > m + ( 2 x 2 − 5 x + 3) T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt x −1 http://www.toanthpt.net 5 2 t’ 3 4 + 0 –  1   7 : x ∈  − ;3 ⇒ t ∈ 0;   2   2 7 t 2 0 0  1   7 Để bất phương trình cho đúng x ∈  − ;3 thì : t + t 2 > m + 6 đúng t ∈ 0;  .  2   2 1 Đặt f (t ) = t 2 + t ⇒ f '(t ) = 2t + 1 ⇒ f '(t ) = 0 ⇔ t = − 2 7 t −∞ −1 0 2 2 f’(t) + f(t) 0  7 ⇒ m + 6 < min f (t ) = f (0) = 0 t ∈ 0;  ⇒ m < −6  2