Tài liệu Pt_mu-loga_p_2

Bµi 5 BÊt ph−¬ng tr×nh mò vµ logarit 1. BÊt ph−¬ng tr×nh mò §ã lµ bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng a f(x) > a g(x) (hoÆc a f(x) ≥ a g(x) ). (1) §Ó gi¶i (1), ng−êi ta th−êng dùa vµo c¸c phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng sau a f(x) > a g(x) f(x) > g(x) ⇔   a > 1 a > 1 a f(x) > a g(x) f(x) < g(x) ⇔   0 < a < 1. 0 < a < 1 VÝ dô 1. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau 4x2 −15x +13 1 > 1 ; b)   < 43x −4 . (1) a) 2 4 Gi¶i. a) BÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi x 2 − x −6 2 x − x − 6 > 0 ⇔ (x − 3)(x + 2) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (3, +∞). 2 b) (1) ⇔ 4x − 15x + 13 < 4 − 3x (v× 4 2 3x − 4 1 =   4 4 −x 2 ). ⇔ 4x − 12x + 9 < 0 ⇔ (2x − 3) < 0 ⇔ x ∈ ∅. (v« nghiÖm) 2 x VÝ dô 2. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh x 5 − 5 x 2 2 2 2 x+2 Gi¶i. (2) ⇔ 5 .(x − 5 ) ≤ 0 ⇔ x − 5 ≤ 0 x (v× 5 > 0) ⇔ −5 ≤ x ≤ 5. VÝ dô 3. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh a) 7 x −x2 8 b) 2 6 − x(5x −7,2x +3,9 − 25 5) ≥ 0. (4) 2 < 71−x ( 8 7)x + 6, (3) a) (3) ⇔ 7 §Æt x −x2 7 8 x −x2 8 < 7.7 ( ) + 6 . (5) 2 − x −x 8 = y . Tõ (5) ta cã 7   (y − 7)(y + 1) <0  y < + 6 y y ⇔   y > 0 y > 0   ⇔ 0 < y < 7. Trë l¹i biÕn cò, ta cã 1 ≤ 0. (2) x2 < 1 ⇔ (x − 4 + 2 2)(x − 4 − 2 2) < 0 8 (5) ⇔ x − ⇔ x ∈ (−∞, 4 − (−∞,4 − 2 2 ) ∪ (4 + 2 2, + ∞).  6−x =0 x = 6   b) (4) ⇔  5x2 −7,2x +3,9 − 25 5 ≥ 0 ⇔  x2 − 7,2x + 1,4 ≥ 0    x < 6  x < 6. x = 6  1   1 ⇔   x −  (x − 7) ≥ 0 ⇔ x ∈  −∞,  ∪ {6}.   5  5   x < 6 Chó ý. §Ó ®¬n gi¶n trong qu¸ tr×nh gi¶i, ta cã thÓ dïng Èn phô. Ch¼ng h¹n ®èi víi bÊt ph−¬ng tr×nh x f(a ) ≥ 0, 0 < a ≠ 1, x ta ®Æt t = a ®Ó ®i ®Õn hÖ f(t) ≥ 0  t > 0. VÝ dô 4. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau x 1 1 a) 372      3  3 b) 1 > x 1 3 − 1 1 − 2x −1 x > 1, (6) . (7) Gi¶i. a) (6) ⇔ 372 −x − x > 1 ⇔ 72 − x − t 2 + t − 72 < 0 x >0⇒  t = x ≥ 0 0 ≤ t < 8 ⇔  ⇔ 0 ≤ x < 64. t = x b) (7) ⇔ 1 − 3x −1 − 3x + 1 (3x − 1)(1 − 3x −1 ) > 0. (8) x §Æt t= 3 , (8) cã d¹ng 2 t > 0 t > 0    2 −  4  t  2− t −t ⇔   3 3 >0 >0   t  t   (t − 1)  1 −   (t − 1)  1 −   3   3  3  t− 3   1 t < < 2  >0 ⇔ ⇔  2 (t − 1)(4 − t)    t > 4 t > 0 3   3 1 < 3x < 0 < x < log3     2 ⇔ Tõ ®ã (8) ⇔  2  x  4 < 3  log3 4 < x. VÝ dô 5. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh ( 2)3x + (4 2)x ≥ 2.8x. (9)  2 (9) ⇔    2  3x t 3 + t − 2 ≥ 0   2 +  ≥ 2 ⇔   2 x  2  t =   >0   2  x (t − 1)(t 2 + t + 2) ≥ 0 x   2 x ⇔ ⇔     ≥1 2   2 t =   >0   2  2 (v× t + t + 2 > 0) ⇔ x ≤ x ⇔ x ∈ (−∞, 0]. Chó ý : Khi gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh mò ta cã thÓ logarit hãa hai vÕ. VÝ dô 6. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh a) 52x −1 < 73−x , (10) b) 4 4   5  5 x −1 > 5(3/ 4)x −1 5 (11) Gi¶i. a) (10) ⇔ 2x − 1 < (log57)(3 − x) (v× hai vÕ d−¬ng) ⇔ (2 + log57)x < 3log 57 + 1. 1 + 3log5 7 . ⇔x< 2 + log5 7 b) (11) ⇔ (x − 1) log5 4 1 4 3  3 + log5 >  x − 1  −  2 5 2 5 4 4 3 1 4 5  ⇔ x  log5 −  > log5 −  5 4 2 5 2 3 4 log5   − 5  5 ⇔x< .   4  3 2  log5   −   5  4  VÝ dô 7. T×m a ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau nghiÖm ®óng víi mäi x, 9x + 2(2a + 1)3x + 4a 2 − 3 > 0. (12) x §Æt t = 3 , (12) cã d¹ng 2 2 f(t) := t + 2(2a + 1)t + 4a − 3 > 0. (13) Bµi to¸n trë thµnh : t×m a ®Ó (13) ®óng víi mäi t > 0. 2 Ta cã f(t) = (t + 2a + 1) − 4(a + 1) a) a + 1 < 0 (⇔ a < −1), (13) ®óng víi mäi t. b) a + 1 ≥ 0, (13) ⇔ (t + 2a + 1 − 2 a + 1 )(t + 2a + 1 + 2 a + 1 ) > 0  t < −2a − 1 − 2 a + 1 ⇔   t > −2a − 1 + 2 a + 1 §Ó (13) ®óng víi mäi t > 0, cÇn vµ ®ñ lµ −2a − 1 + 2 a + 1 ≤ 0 ⇔ 2 a + 1 ≤ 2a + 1 (14) 1  4(a + 1) ≤ 4a 2 + 4a + 1 a ≥ − 2 ⇔  ⇔  2a + 1 ≥ 0 4a 2 − 3 ≥ 0  ⇔a≥ 3 . 2  3 §¸p sè a ∈ (−∞, −1) ∪  , +∞).  2 VÝ dô 8. Gi¶i vµ biÖn luËn 2 a) a − 9 2 x+1 b) a − 2.4 x − 8a.3 > 0, (15) x+1 − a.2 2 x+1 x > 0. (16) a) (15) ⇔ a − 8a.3 − 9 x+1 > 0 ⇔ (a − 4.3x )2 − 25.9x > 0  4.3x − a > 5.3x (17) ⇔ (4.3x − a)2 > (5.3x )2 ⇔   4.3x − a < −5.3x. (18) 3x < −a ⇔  (19) 3x +2 < a. + Víi a = 0, (19) v« nghiÖm x + Víi a < 0 (19) ⇔ 3 < −a ⇔ x < log3(−a) 4 + Víi a > 0 (19) ⇔ 3 x+2 < a ⇔ x < log3a − 2. x b) §Æt t = 2 , (16) cã d¹ng 8t 2 + 2at − a 2 < 0  t > 0 (a − t)2 − 9t 2 > 0 (a − 4t)(a + 2t) > 0 ⇔  ⇔  t > 0 t > 0 ⇔ + Víi a = 0, hÖ v« nghiÖm + Víi a < 0, hÖ t−¬ng ®−¬ng víi t < − a 2   a  nghÜa lµ (16) nghiÖm ®óng víi mäi x ∈  −∞, log2  −    2   + Víi a > 0, hÖ t−¬ng ®−¬ng víi 0 0, a ≠ 1), gi¶i a 2x + a x +2 − 1 ≥ 1. (20) §Æt t = a x > 0. Lóc ®ã (20) cã d¹ng t 2 + a 2 t − 1 ≥ 1 ⇔ (21  −a 2 − a 4 + 4  −a 2 + a 4 + 4    ≥ 1. ⇔  t −  t − 2 2     2 4  0 < t < −a + a + 4 (v« nghiÖm)  2  2 2   t + a t − 1 ≤ −1   −a 2 + a 4 + 4  t ≥ = to  ⇔ 2   2 4   t ≥ −a + a + 4   −a 2 − a 4 + 8 ⇔ t ≤  2 = t1 2   2 2   t + a t − 1 ≥ 1 2 4   −a + a + 8  ≥ = t2 t  2    V× t2 > to > 0 vµ t1 < 0 nªn (21) ⇔ t ≥ t2. Tõ ®ã a) NÕu 0 < a < 1 th× (20) ⇔ x ≤ logat2. 5 b) NÕu a > 1 th× (20) ⇒ x ≥ logat2. VÝ dô 10. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh ax > 1 + a −x a x − 1 1 − 2a −x (22) ⇔ ⇔ ax − víi a > 0, a ≠ 1. (22) 1 + a −x a x − 1 1 − 2a −x (a −x − 2)a x (a x − 1)(a x − 2) >0 ⇔ >0 ⇔ a x − 2 − a x − 1 + 1 + a −x (a x − 1)(1 − 2a −x ) 1 − 2a x (a x − 1)(a x − 2) > 0 . (23) x §Æt t = a > 0, (23) cho ta 1 1  0 − loga 2   0 > x > loga 2. 1 < a x < 2 b) Víi a > 1  x < − loga 2 (24) ⇔  0 < x < loga 2 2. BÊt ph−¬ng tr×nh logarit C¸c tÝnh chÊt sau ®©y cña logarit hay ®−îc sö dông g(x) > 0 loga f(x) > loga g(x)  a)  ⇔ f(x) > g(x) a > 1 a > 1,  f(x) > 0 loga f(x) > loga g(x)  ⇔ g(x) > f(x) b)  0 < a < 1 0 < a < 1,   0 < f(x) < 1  0 < g(x) < 1  c) logf(x) g(x) > 0 ⇔  f(x) > 1   g(x) > 1, 6 >0  0 < f(x) < 1  g(x) > 1 d) logf(x) g(x) < 0 ⇔   f(x) > 1   0 < g(x) < 1, VÝ dô 1. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 2 a) log5(x − x) < 0 (1) x −1 > 0, (2) b) log3 x−2 x(x − 1) > 0 2 Gi¶i. a) (1) ⇔ 0 < x − x < 1 ⇔  2 x − x − 1 < 0 x < 0  1− 5   1+ 5  x > 1 ⇔x∈  ,0  ∪  1, ⇔    2   2  1 − 5 1+ 5  2 < x < 2 x −1 1 >1 ⇔ > 0 ⇔ x > 2. x−2 x−2 VÝ dô 2. Gi¶i b) (2) ⇔ x log 1 (x 2 + x + 1) > 0. (3) 5 (3) ⇔ x log5 (x2 + x + 1) < 0 ⇔  x > 0  2 x 2 + x > 0  x + x + 1 < 1 ⇔ x < −1. ⇔  ⇔  x < 0  x < 0  2  x + x + 1 > 1 VÝ dô 3. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh a) log3 (3x − 1).log 1 (3x +2 − 9) > − 3 (4) 3 b) 7 − log2 x 2 + log2 x 4 > 4. (5) x Gi¶i. a) §Æt t = log3(3 − 1). Khi ®ã (4) cã d¹ng t(−2 − t) > −3 ⇔ t 2 + 2t − 3 < 0 ⇔ −3 < t < 1. Do ®ã 28 x (4) ⇔ 3−3 < 3x − 1 < 3 ⇔ <3 <4 27 7  28  ⇔ log3   < x < log3 4  27  b) §Æt t = log2 x 2 ta nhËn ®−îc bÊt ph−¬ng tr×nh 7 − t + 2t > 4 ⇔ 7 − t > 4 − 2t  7 − t ≥ 0  2 < t ≤ 7   4 − 2t < 0 ⇔  ⇔ 3  < t ≤ 2.  4 − 2t ≥ 0    4  7 − t ≥ 4t 2 − 16t + 16  Chó ý. Trong khi gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh logarit, ®«i khi ng−êi ta dïng c«ng thøc f(x)g(x) = a g(x)loga f(x) . VÝ dô 4. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 2.x 2 lg(x −1) ≥ 1 + (x − 1)lg x . (6) (6) ⇔ 2.102 lg(x −1)lg x ≥ 1 + 10lg(x −1)lgx §Æt t = 10lg(x −1)lgx , ta cã 2t 2 − t − 1 ≥ 0 (2t + 1)(t − 1) ≤ 0 ⇔  ⇔ t ≥ 1.  t > 0  t > 0 Tõ ®ã, (6) ⇔ 10lg(x −1)lg x ≥ 1 ⇔ lg(x − 1)lgx ≥ 0   lg(x − 1) ≥ 0  x ≥ 2 hay x ∈ [2, +∞).  lg x ≥ 0 ⇔  ⇔   lg(x − 1) ≤ 0 (v× hÖ sau v« nghiÖm)    lg x ≤ 0 VÝ dô 5. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau a) log x2  4x − 5  1   ≥ (7) |x −2| 2 b) logx 2x ≤ logx (2x3 ). (8) Gi¶i. a) §iÒu kiÖn cã nghÜa lµ x 2 > 0, x 2 ≠ 1 5  ⇔ x > , x ≠ 2.  4x − 5 4 >0  | x − 2 | 5  5  x > 4 ,x ≠ 2 x > , x ≠ 2 (7) ⇔  ⇔  (9) 4 − 4x 5  ≥x  4x − 5 ≥ x | x − 2 |  | x − 2 | 8  x > 2  x > 2  2  4x 5 x(x 2) − ≥ −   x − 6x + 5 ≤ 0   (9) ⇔   5 ⇔ 5  0. §Æt t = log x2, (8) cã d¹ng t + 1 ≤ t+3 ⇔  t + 1 < 0   −3 ≤ t < −1  t + 3 ≥ 0 ⇔   t + 1 ≥ 0  −1 ≤ t ≤ 1   2  (t + 1) ≤ t + 3   x > 1  −3 ≤ logx 2 ≤ 1  Tõ ®ã (8) ⇔ −3 ≤ logx2 ≤ 1 ⇔  0 < x < 1   −3 ≤ logx 2 ≤ 1 x ≥ 2  1 ⇔  ⇔ x ∈  0, 3  ∪ [2, + ∞). 1  2 0 0 ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2 − §iÒu kiÖn  2 − 5x − 3x2 ≠ 0 15 , +∞) = D Víi x ∈ D, log11 (x2 − 4x − 11) = 3log5 (x 2 − 4x − 11) . log5 11 Do ®ã, trªn D 3  log5 (x2 − 4x − 11)  (10) ⇒  2 − (11) log5 11  2 − 5x − 3x 2  ⇔ log5 (x 2 − 4x − 11) 2 − 5x − 3x 2 ≤ 0 (v× 2 − 3 <0) log5 11 9 15 ) ∪ (2 +  log (x2 − 4x − 11) ≥ 0  x2 − 4x − 11 ≥ 1  5   2 − 5x − 3x 2 < 0  3x2 + 5x − 2 > 0  ⇔ ⇔   log (x2 − 4x − 11) ≤ 0  x2 − 4x − 11 ≤ 1  5   2 − 5x − 3x 2 > 0  3x2 + 5x − 2 < 0    x ∈ (−∞, − 2) ∪ [6, + ∞) ⇔    x ∈  −2, 1  3   ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2 − 15 ) ∪ [6, +∞). VÝ dô 7. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh a) x logx +1 (x −1) + (x − 1)logx +1 x ≤ 2. (12) Gi¶i : §iÒu kiÖn x > 0 x − 1 > 0  ⇔ x > 1.  x + 1 > 0 x + 1 ≠ 1 §Æt x logx +1 (x −1) = t . Khi ®ã 1 t > 0, x = t logx +1 (x −1) , logx +1 x = 1 logx +1 t logx +1 (x − 1) hay logx +1 x = logx −1 t ⇔ t = (x − 1)logx +1 x . Tõ ®ã (12) cã d¹ng 2t ≤ 2 ⇔ t ≤ 1 hay x logx +1 (x −1) ≤ 1 ⇔ logx +1 (x − 1) ≤ 0 (v× x > 1) ⇔ x − 1 ≤ 1 ⇔ x ≤ 2. KÕt luËn 1 < x ≤ 2. VÝ dô 8. Gi¶i loga(x − a) > log 1 (x + 1), (13) a ë ®©y 0 < a ≠ 1. Gi¶i. §iÒu kiÖn x > a. Khi ®ã (13) ⇔ loga (x − a) > − loga (x + a) ⇔ loga (x 2 − a 2 ) > 0 . (14) x 2 − a 2 > 1 a) a > 1, khi ®ã (14) ⇔  ⇔x> x > a 1 + a2 x 2 − a 2 < 1 b) 0 < a < 1, lóc ®ã (14) ⇔  ⇔a a 10 1 + a2 . §¸p sè : x ∈ ( 1 + a 2 , + ∞) víi a > 1 x ∈ (a, 1 + a 2 ) víi 0 < a < 1. VÝ dô 9. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh loga2 x + loga x + 2 > 1 ; 0 < a ≠ 1. (15) loga x − 2 §iÒu kiÖn x > 0, log ax − 2 ≠ 0 hay 2 01 ⇔ >0 ⇔ t > 2 t −2 t −2 Trë l¹i biÕn cò  x > a 2   a > 1 t > 2 ⇔ loga x > 2 ⇔   0 < x < a 2   0 < a < 1.  x ∈ (a 2 , + ∞) khi a > 1 KÕt luËn   x ∈ (0, a 2 ) khi 0 < a < 1. 11