Tài liệu Pt_luonggic

ATRANGTB.COM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Thầy: Trần Phương Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC NHẤT VỚI SINX, COSX 1. Phương pháp chung: a sin x + b cos x = c ; a 2 + b 2 > 0 (1) c Cách 1. (1) ⇔ 2 a +b a Với 2 a +b 2 = sin α ; 2 a = 2 a +b b 2 a +b 2 2 sin x + = cos α ; b cos x = cos ( x − α ) 2 a + b2 c 2 a + b2 = cos β ⇒ x = α ± β + 2k π Chú ý: (1) có nghiệm ⇔ c 2 ≤ a 2 + b 2 Cách 2. Xét cos x = 0 là nghiệm của (1) ⇔ b + c = 0 2 2 Xét b + c ≠ 0 . Đặt t = tan x thì sin x = 2t 2 ; cos x = 1 − t 2 . Khi đó 2 1+ t 1+ t (1) ⇔ f ( t ) = ( c + b ) t 2 − 2at + ( c − b ) = 0 Cách 3. Phân tích thành phương trình tích 2. Các bài tập mẫu minh họa Bài 1. Giải phương trình: 3sin 3x − 3 cos 9 x = 1 + sin 3 3x Giải 3sin 3x − 3 cos 9 x = 1 + 4 sin 3 3 x ⇔ ( 3sin 3x − 4 sin 3 3 x ) − 3 cos 9 x = 1 ( ) 3 ⇔ sin 9 x − 3 cos 9 x = 1 ⇔ 1 sin 9 x − cos 9 x = 1 ⇔ sin 9 x − π = 1 2 2 2 3 2 9 x − π = π + 2 k π  x = π + 2k π   3 6 18 9 ( ⇔ ⇔ k ∈
) π 5 π 7 π 2 k π + 2k π + 9 x − = x = 3 6 54 9   Bài 2. Giải phương trình: cos 7 x.cos 5 x − 3 sin 2 x = 1 − sin 7 x.sin 5 x (1) Giải (1) ⇔ ( cos 7 x.cos 5 x + sin 7 x.sin 5 x ) − 3 sin 2 x = 1 ⇔ cos ( 7 x − 5 x ) − 3 sin 2 x ⇔ cos 2 x − 3.sin 2 x = 1 3 ⇔ 1 cos 2 x − sin 2 x = 1 ⇔ cos π cos 2 x − sin π sin 2 x = 1 2 2 2 3 3 2 ( ) ⇔ cos 2 x + π = 1 ⇔ 2 x + π = ± π + 2k π ⇔ x = k π ∨ x = −π + k π ( k ∈
) 3 2 3 3 3 Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com 219 Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương Bài 3. Giải phương trình: 2 2 ( sin x + cos x ) cos x = 3 + cos 2 x (1) Giải (1) ⇔ 2 sin 2 x + 2 (1 + cos 2 x ) = 3 + cos 2 x ⇔ 2 sin 2 x + ( 2 − 1) cos 2 x = 3 − 2  a 2 + b 2 = ( 2 ) 2 + ( 2 − 1) 2 = 5 − 2 2  .Ta có  . Ta sẽ chứng minh: a 2 + b 2 < c 2 2 2 c = ( 3 − 2 ) = 11 − 6 2 2 ⇔ 5 − 2 2 < 11 − 6 2 ⇔ ( 4 2 ) < 6 2 ⇔ 32 < 36 (đúng). Vậy (1) vô nghiệm. ) ( ) ( ( ) Bài 4. Giải phương trình: 3sin x − π + 4 sin x + π + 5 sin 5 x + π = 0 3 6 6 Giải ( ( ) ) ) ( ) ( ⇔ 3sin x − π + 4 cos  π − x + π  = −5sin 5 x + π  2 3 6  6 ⇔ 3sin x − π + 4 cos π − x = 5sin  5 x + π + π . Đặt sin α = 4 , cos α = 3 5 5 3 3 6   ( ) ⇔ cos α sin  x − π  + sin α.cos ( x − π ) = sin ( 5 x + 7 π ) 3  3 6  ⇔ sin ( x − π ) + α  = sin ( 5 x + 7 π ) ⇔ x = 9π + α + k π ∨ x = π − α + k π 24 4 2 36 6 3 3 6   ( ) Bài 5. Giải phương trình: 4 sin 3 x cos 3x + 4 cos 3 x sin 3 x + 3 3 cos 4 x = 3 (1) Giải (1) ⇔ [3sin x − sin 3 x ] cos 3x + [ 3cos x + cos 3x ] sin 3x + 3 3 cos 4 x = 3 ⇔ 3 [sin x cos 3 x + sin 3 x cos x ] + 3 3 cos 4 x = 3 ⇔ sin 4 x + 3 cos 4 x = 1 ( ) 3 ⇔ 1 sin 4 x + cos 4 x = 1 ⇔ cos π sin 4 x + sin π cos 4 x = sin 4 x + π = 1 2 2 2 3 3 3 2 ⇔ x = −π + k π ∨ x = π + k π ( k ∈
) 24 2 8 2 Bài 6. Giải phương trình: 3sin x + cos x = 1 Giải Ta có 3sin x + cos x = 1 ⇔ 3sin x = 1 − cos x ⇔ 6 sin x cos x = 2 sin 2 x ⇔ 2 sin x 3cos x − sin x = 0 . Xét 2 khả năng 2 2 2 2 2 2 a. sin x = 0 ⇔ x = k π ⇔ x = 2k π 2 2 b. 3cos x − sin x = 0 ⇔ tg x = 3 ⇔ x = α + k π ⇔ x = 2α + 2k π ( k ∈ » ) 2 2 2 2 ( ) 220 Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx Bài 7. Giải phương trình: sin x + 5 cos x = 1 (1) Giải )( ( ) ( (1) ⇔ 5 cos x = 1 − sin x ⇔ 5 cos x − sin x cos x + sin x = cos x − sin x 2 2 2 2 2 2 )( ( ) 2 ) ⇔ cos x − sin x 4 cos x + 6 sin x = 0 ⇔ tan x = 1 ∨ tan x = − 2 = tan α 2 2 2 2 2 2 3 ⇔ x = π + k π ∨ x = α + k π ⇔ x = π + 2 k π ∨ x = 2α + 2 k π ( k ∈ » ) 2 4 2 2 Bài 8. Giải phương trình: sin x + 3 cos x + sin x + 3 cos x = 2 (1) Giải   3 Ta có: sin x + 3 cos x = 2  1 sin x + cos x  = 2 sin x + π 2 2  3 ( ) ) ( Đặt t = sin x + 3 cos x = 2 sin x + π ⇒ 0 ≤ t ≤ 2 , khi đó 3 (1) ⇔ t + t = 2 ⇔ t = 2 − t ⇔ t = ( 2 − t ) 2 ⇔ t 2 − 5t + 4 = 0 ⇔ t = 1∈ [ 0; 2] ( ) ( ) ⇔ 2 sin x + π = 1 ⇔ sin x + π = 1 ⇔ x = −π + 2k π ∨ x = π + 2k π ( k ∈
) 6 2 3 3 2 Bài 9. Giải phương trình: (1 + 3 ) sin x + (1 − 3 ) cos x = 2 (1) Giải Do b + c = (1 + 3 ) + 2 = 2 − 3 ≠ 0 nên cos x = 0 không là nghiệm của (1) 2 2 Đặt t = tan x ⇒ sin x 2t 2 và cos x = 1 − t 2 , khi đó 2 1+t 1+ t 2 (1) ⇔ (1 + 3 ) 2t + (1 − 3 ) 1 − t = 2 ⇔ 2 (1 + 3 ) t + (1 − 3 ) (1 − t 2 ) = 2 (1 + t 2 ) 1+ t2 1+ t2 ⇔ ( 3 − 3 ) t 2 − 2 (1 + 3 ) t + (1 + 3 ) = 0 ⇔ 1+ 3 t = 1 ∨ t =− ⇔ tan x = tan π ∨ tan x = tan 5π ⇔ x = π + 2k π ∨ x = 5π + 2k π 2 6 2 12 3 6 3 1− 3 Bài 10. Giải phương trình: sin 3 x + ( 3 − 2 ) cos 3 x = 1 (1) Giải Do b + c = ( 3 − 2 ) + 1 = 3 − 1 ≠ 0 nên cos 3 x = 0 không là nghiệm của (1) 2 221 Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 2 Đặt t = tan 3 x ⇒ sin 3 x = 2t 2 và cos 3 x = 1 − t 2 , khi đó 2 1+ t 1+ t (1) ⇔ 2t + ( 3 − 2 ) (1 − t 2 ) = 1 + t 2 ⇔ (1 − 3 ) t 2 + 2t + ( 3 − 3) = 0 t = 1 ⇔ ⇔ tan 3x = 1 ∨ tan 3 x = 3 ⇔ x = π + 2k π ∨ x = 2π + 2k π ( k ∈
) 6 3 9 3 2 2 t = 3 Bài 11. Tìm m để 2 sin x + m cos x = 1 − m (1) có nghiệm x ∈  −π , π   2 2  Giải Do b + c = m + (1 − m ) ≠ 0 nên cos x = 0 không là nghiệm của (1) 2 2 Đặt t = tan x thì (1) ⇔ 2 ⋅ 2t 2 + m ⋅ 1 − t 2 = 1 − m 2 1+ t 1+ t ⇔ 4t + m (1 − t 2 ) = (1 − m ) (1 + t 2 ) ⇔ f ( t ) = t 2 − 4t + 1 − 2m = 0 Cách 1: Yêu cầu bài toán ⇔ f ( t ) = t 2 − 4t + 1 − 2m = 0 có nghiệm t ∈ [ −1,1] Xét f ( −1) = 0 ⇔ 6 − 2m = 0 ⇔ m = 3 thỏa mãn Xét f (1) = 0 ⇔ −2 − 2m = 0 ⇔ m = −1 thỏa mãn Xét f ( t ) = 0 có 1 nghiệm t ∈ ( −1,1) và 1 nghiệm t ∉ [ −1,1] ⇔ f ( −1) f (1) = ( 6 − 2m ) ( −2 − 2m ) < 0 ⇔ ( 2m − 6 ) ( 2m + 2 ) < 0 ⇔ −1 < m < 3 Xét f ( t ) = 0 có 2 nghiệm t1 , t 2 thỏa mãn −1 < t1 ≤ t 2 < 1 { } ⇔ ∆ ′ ≥ 0; 1. f ( −1) > 0 ; 1. f (1) > 0; − 1 < S < 1 , hệ này vô nghiệm 2 Kết luận: (1) có nghiệm x ∈  −π , π  ⇔ −1 ≤ m ≤ 3 .  2 2  Cách 2: f ( t ) = t 2 − 4t + 1 − 2m = 0 có nghiệm t ∈ [ −1,1] ⇔ g ( t ) = 1 t 2 − 2t + 1 = m có nghiệm t ∈ [ −1,1] 2 2 Ta có: g ′ ( t ) = t − 2 < 0 ∀t ∈ [ −1,1] ⇒ g ( t ) nghịch biến trên [ −1,1] Suy ra tập giá trị g ( t ) là đoạn  g (1) , g ( −1) ≡ [ −1, 3] . Từ đó (1) có nghiệm x ∈  −π , π  ⇔ g ( t ) = m có nghiệm t ∈ [ −1,1] ⇔ −1 ≤ m ≤ 3  2 2  222 Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2 VỚI SINX, COSX 1. Phương pháp chung a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x + d = 0 với a 2 + b 2 + c 2 > 0 (1) Bước 1: Xét cos x = 0 có là nghiệm của (1) hay không ⇔ a + d = 0 Bước 2: Xét a + d ≠ 0 ⇒ cos x = 0 không là nghiệm của (1) Chia 2 vế của (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta nhận được phương trình (1) ⇔ a tan 2 x + b tan x + c + d (1 + tan 2 x ) = 0 . Đặt t = tan x (1) ⇔ f ( t ) = ( a + d ) t 2 + bt + ( c + d ) = 0 Bước 3: Giải và biện luận f ( t ) = 0 ⇒ Nghiệm t 0 = tg x ⇒ nghiệm x. 2. Các bài tập mẫu minh họa Bài 1. a. Giải phương trình: sin 2 x + 2 sin x cos x + 3cos 2 x − 3 = 0 b. Giải phương trình: sin 2 x − 3sin x cos x + 1 = 0 Giải a. sin 2 x + 2 sin x cos x + 3cos 2 x − 3 = 0 (1) 2 cos x = 0 sin x = 1 Nếu cos x = 0 là nghiệm của (1) thì từ (1) ⇒  2 ⇔ 2 sin x − 3 = 0 sin x = 3 ⇒ Vô lý. Chia 2 vế của (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta nhận được (1) ⇔ tan 2 x + 2 tan x + 3 − 3 (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ 2 tan x − 2 tan 2 x = 0 x = kπ  tan x = 0 (k ∈
) ⇔ 2 tan x (1 − tan x ) = 0 ⇔  ⇔ x = π + kπ  tan x = 1  4 b. sin 2 x − 3sin x cos x + 1 = 0 (2) cos x = 0 Nếu cos x = 0 là nghiệm của (2) thì từ (2) ⇒  2 ⇒ Vô lý sin x + 1 = 0 Chia 2 vế của (2) cho cos 2 x ≠ 0 ta nhận được phương trình ( 2 ) ⇔ tan 2 x − 3 tan x + (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ 2 tan 2 x − 3 tan x + 1 = 0  tan x = 1 = tan π x = π + kπ  4 ( ) ( ) ( k ∈
) 4 ⇔ tan x − 1 2 tan x − 1 = 0 ⇔  ⇔ 1   tan x = = tan α x = α + kπ  2 223 Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương Bài 2. a. Giải phương trình: 4 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2 sin 2 x + 5 2 ) ( ( ) ) ( b. GPT: 3sin 2 x ( 3π − x ) + 2 sin 5π + x cos π + x − 5sin 2 3π + x = 0 2 2 2 Giải a. Phương trình ⇔ 2 sin 2 x − 4 3 sin x cos x − 4 cos 2 x + 5 = 0 (1) 2 2 Nếu cos x = 0 là nghiệm của (1) thì từ (1) ⇒ 2 sin x + 5 = 0 ⇒ Vô lý 2 Chia 2 vế của (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta nhận được phương trình (1) ⇔ 2 tan 2 x − 4 3 tan x − 4 + 5 (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ 9 tan 2 x − 8 3 tan − 3 = 0 2 − 3 ⇔ tan x = 3 = tan π ∨ tan x = = tan α ⇔ x = π + k π ∨ x = α + k π ( k ∈
) 3 9 3 ( ) ( ) ( ) b. 3sin 2 x ( 3π − x ) + 2 sin 5π + x cos π + x − 5sin 2 3π + x = 0 2 2 2 ⇔ 3sin 2 x − 2 sin x cos x − 5 cos 2 x = 0 ( 2 ) cos x = 0 Nếu cos x = 0 là nghiệm của (1) thì từ (2) ⇒  ⇒ Vô lý sin x = 0 Chia 2 vế của (2) cho cos 2 x ≠ 0 ta nhận được phương trình  tan x = −1 = tan −π  x = −π + k π  4 ( 2 ) ⇔ 3 tan x − 2 tan x − 5 = 0 ⇔  4 ⇔ 5 = tan α x = α = kπ tan x =   3  2 Bài 3. GPT: a. 3 sin x + cos x = 1 cos x b. 4 sin x + 6 cos x = 1 cos x Giải 1 ⇔ 3 sin x + cos x = 1 ⇔ 3 tan x + 1 = 1 + tan 2 x cos x cos x cos 2 x  tan x = 0 ⇔ tan 2 x − 3 tan x = 0 ⇔ tan x ( tan x − 3 ) = 0 ⇔  ⇔ x ∈ k π; π + k π 3 tan x = 3  b. 4 sin x + 6 cos x = 1 ⇔ 4 sin x + 6 cos x = 12 ⇔ 4 tan x + 6 = 1 + tan 2 x ⇔ cos x cos x cos x tan x = −1 = tan −π  x = −π + k π 4 ⇔ 4 tan 2 x − 4 tan x − 5 = 0 ⇔ ( tan x + 1)( tan x − 5) = 0 ⇔  tan x = 5 = tan α x = α + kπ   a. 3 sin x + cos x = { 224 } Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx Bài 4. Giải phương trình: 7 sin 2 x + 2 sin 2 x − 3cos 2 x − 3 3 15 = 0 (1) Giải cos x = 0 Nếu cos x = 0 là nghiệm của (1) thì từ (1) ⇒  ⇒ Vô lý 2 7 sin x = 3 3 15 Chia 2 vế của (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta có (1) ⇔ 7 tan 2 x + 4 tan x − 3 − 33 15 (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ ( 7 − 3 3 15 ) tan 2 x + 4 tan x − ( 3 + 3 3 15 ) = 0 ( 2 ) . Ta có ∆ ′ = 25 + 12 3 15 − 9 3 15 2 Đặt t = 3 15 ⇒ t 3 = 15 ⇒ 5 t 3 = 25 , ta sẽ chứng minh ∆′<0 . Thật vậy, ta có: 3 ( ) 3 ∆′ = 5 t 3 − 9t 2 + 12t = 5 t ( t − 3) t − 12 . Do ( 2, 4) < 15 < 33 ⇔ 2, 4 = 12 < t = 3 15 < 3 5 3 3 5 nên suy ra: ∆ ′ < 0 ⇒ ( 2 ) vô nghiệm ⇒ (1) vô nghiệm. ( ) Bài 5. Tìm m để: m cos 2 x − 4 sin x cos x + m − 2 = 0 có nghiệm x ∈ 0, π 4 Giải ( ) Với x ∈ 0, π thì cos x ≠ 0 nên chia 2 vế phương trình cho cos 2 x ≠ 0 ta có 4 m − 4 tan x + ( m − 2 ) (1 + tan 2 x ) = 0 . Đặt t = tan x ∈ ( 0,1) . Khi đó: ( m − 2 ) t 2 − 4t + 2m − 2 = 0 ⇔ m ( t 2 + 2 ) = 2t 2 + 4t + 2 ⇔ g (t ) = (2 ) 2 ( t 2 + 2t + 1) ( t ) = −4 t − t − 2 = 4 ( 2 − t )( t + 1) > 0, ∀t ∈( 0, 1) ′ g = m . Ta có 2 2 t +2 ( t 2 + 2) ( t 2 + 2) 2 ⇒ g ( t ) tăng / ( 0,1) ⇒ g ( t ) = m có nghiệm t ∈ ( 0,1) ⇔ m ∈ ( g ( 0 ) , g (1) ) ≡ (1, 2 ) . Bài 6. Cho phương trình: sin 2 x + ( 2m − 2 ) sin x cos x − ( m + 1) cos 2 x = m (1) a. GPT: m = −2 b. Tìm m để phương trình có nghiệm. Giải Nếu cos x = 0 là nghiệm của phương trình (1) thì từ (1) suy ra m = 1 sin 2 x = 1 cos x = 0 m = 1  m = 1  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  2  2    2 π sin x = m sin x = m sin x = 1 cos x = 0  x = 2 + k π Nếu m ≠ 1 thì cos x = 0 không là nghiệm của (1), khi đó chia 2 vế của (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta có: (1) ⇔ tan 2 x + ( 2m − 2 ) tan x − ( m + 1) = m (1 + tan 2 x ) 225 Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương ⇔ f ( tan x ) = ( m − 1) tan 2 x − 2 ( m − 1) tan x + 2m + 1 = 0 2 a. Nếu m = −2 thì (1) ⇔ −3 ( tan x − 1) = 0 ⇔ x = π + k π 4 m = 1 m = 1   b. (1) có nghiệm ⇔   m ≠ 1 ⇔   m ≠ 1 ⇔ −2 ≤ m ≤ 1    −m 2 − m + 2 ≥ 0   ∆ ′ ≥ 0  Bài 7. Cho phương trình: cos 2 x − sin x cos x − 2 sin 2 x − m − 0 (1) a. Giải phương trình (1) khi m = 1 b. Giải biện luận theo m Giải a. Với m = 1 ta có (1) ⇔ cos 2 x − sin x cos x − 2 sin 2 x − 1 = 0 ⇔ ( cos x + 3sin x ) sin x = 0 ⇔ sin x = 0 ∨ co tg x = −3 = cotg α ⇔ x ∈ {k π ; α + k π} b. (1) ⇔ 1 + cos 2 x − 1 sin 2 x − (1 − cos 2 x ) − m = 0 ⇔ 3cos 2 x − sin 2 x = 2m + 1 2 2 ⇔ 3 cos 2 x − 1 sin 2 x = 2m + 1 . Đặt cos α = 3 , sin α = 1 , khi đó ta có 10 10 10 10 10 cos α cos 2 x − sin α sin 2 x = 2m + 1 ⇔ cos ( 2 x + α ) = 2m + 1 10 10  −1 − 10   −1 + 10  + Nếu 2m + 1 > 1 ⇔  m <  ∪ m >  thì (2) vô nghiệm     2 2 10  −1 − 10 −1 + 10  2m + 1 = cos β + Nếu 2m + 1 ≤ 1 ⇔ m ∈  ,  thì đặt  2 2 10 10 ±β − α + kπ Khi đó (1) ⇔ ( 2 ) ⇔ cos ( 2 x + α ) = cos β ⇔ x = 2 Bài 8. Giải và biện luận: m sin 2 x + 4 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 (1) Giải cos x = 0 • m = 0 , (1) ⇔ 2 cos x ( 2sin x + cos x ) = 0 ⇔  ⇔ x ∈ π + kπ; α + kπ 2 cot x = −2 = cot α { • m ≠ 0 thì (1) ⇔ m tan 2 x + 4 tan x + 2 = 0 với ∆ ′ = 4 − 2m + Nếu m > 2 thì (1) vô nghiệm; Nếu m = 2 thì tan x = −1 ⇔ x = −π + k π 4 −2 ± 4 − 2m + Nếu 0 ≠ m < 2 thì tan x = = tan β ⇔ x = β + k π . m 226 } Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx III. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 3 VỚI SINX, COSX 1. Phương pháp chung a sin 3 x + b sin 2 x cos x + c sin x cos 2 x + d cos 3 x = 0 với a 2 + b 2 + c 2 + d 2 > 0 (1) a sin 3 x + b sin 2 x cos x + c sin x cos 2 x + d cos 3 x + ( m sin x + n cos x ) = 0 Bước 1: Xét cos x = 0 có là nghiệm của phương trình hay không Bước 2: Xét cos x ≠ 0 không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của (1) 1 = 1 + tan 2 x ; sin x = tan x (1 + tan 2 x ) cos 2 x cos 3 x ta nhận được phương trình bậc 3 ẩn tan x . cho cos 3 x ≠ 0 và sử dụng công thức Bước 3: Giải và biện luận phương trình bậc 3 ẩn tg x . 2. Các bài tập mẫu minh họa Bài 1. Giải phương trình: 4 sin 3 x + 3cos 3 x − 3sin x − sin 2 x cos x = 0 (1) Giải Nếu cos x = 0 là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra cos x = 0 sin x = 1 ∨ sin x = −1 ⇔ ⇒ Vô lý  3 3  4 sin x − 3sin x = 0  4 sin x − 3sin x = 0 Chia 2 vế của (1) cho cos 3 x ≠ 0 ta có (1) ⇔ 4tan 3 x + 3 − 3tan x (1+ tan 2 x) − tan 2 x = 0 ⇔ tan 3 x − tan 2 x − 3 tan x (1 + tan 2 x ) − tan 2 x = 0 ⇔ ( tan x − 1) ( tan x 2 − 3) = 0 ⇔ tan x = 1 ∨ tan x = ± 3 ⇔ x = π + k π ∨ x = ± π + k π ( k ∈
) 4 3 Bài 2. Giải phương trình: sin 2 x.sin 2 x + sin 3 x = 6 cos 3 x (1) Giải (1) ⇔ sin x ( 2 sin x cos x ) + 3sin x − 4 sin 3 x = 6 cos 3 x ⇔ 4 sin 3 x − 3sin x − 2 sin 2 x cos x + 6 cos 3 x = 0 (2) Nếu cos x = 0 là nghiệm của (2) thì từ (2) suy ra cos x = 0 sin x = 1 ∨ sin x = −1 ⇔ ⇒ Vô lý  3 3  4 sin x − 3sin x = 0  4 sin x − 3sin x = 0 Chia 2 vế của (2) cho cos 3 x ≠ 0 ta có ( 2 ) ⇔ tan 3 x − 2 tan 2 x − 3 tan x + 6 = 0 { } ⇔ ( tan x − 2) ( tan 2 x − 3) = 0 ⇔ tan x = 2 = tan α ∨ tan x = ± 3 ⇔ x ∈ α + k π ; ± π + k π 3 227 Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương Bài 3. Giải phương trình: 1 + 3sin 2 x = 2 tan x Giải Điều kiện: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ π + k π (1) 2 1 + 3sin 2 x = 2 tan x ⇔ 1 + 6 sin x cos x = 2 tan x ⇔ 1 + 6 tan x = 2 tan x ⋅ 1 cos 2 x cos 2 x ⇔ (1 + tan 2 x ) + 6 tan x = 2 tan x (1 + tan 2 x ) ⇔ 2 tan 3 x − tan 2 x − 4 tan x − 1 = 0  tan x = −1  x = − π + nπ  4 ⇔ ( tan x + 1) ( 2 tan x − 3 tan x − 1) = 0 ⇔  ⇔  tan x = 3 ± 17 = tan α  x = α + nπ 1,2  1,2  4 2 Bài 4. Giải phương trình: ) ( 2 sin 3 x + π = 2 sin x (1) 4 Giải ( ) ( ) 3 (1) ⇔ 2 2 sin 3 x + π = 4sin x ⇔  2 sin x + π  = 4sin x ⇔ ( sin x + cos x ) 3 = 4sin x  4 4  Nếu cos x = 0 là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra cos x = 0 sin x = 1 ∨ sin x = −1 ⇔ 3 ⇒ Vô lý  3 sin x = 4 sin x sin x − 4 sin x = 0 Chia 2 vế của (1) cho cos 3 x ≠ 0 ta có (1) ⇔ ( tan x + 1) 3 = 4 tan x (1 + tan 2 x ) ⇔ tan 2 x + 3tan 2 x + 3tan x + 1 = 4 tan 3 x + 4 tan x ⇔ 3tan 3 x − 3tan 2 x + tan x −1 = 0 ⇔ ( tan x −1) ( 3tan 2 x +1) = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π + k π 4 ( ) Bài 5. Giải phương trình: 8 cos 3 x + π = cos 3 x 3 Giải ( 3 ) 8 cos 3 x + π = cos 3 x ⇔ 8  cos x.cos π − sin x sin π  = cos 3x 3 3 3   3 3 ⇔ ( cos x − 3 sin x ) = 4 cos 3 x − 3cos x ⇔ ( 3 sin x − cos x ) − 3cos x + 4 cos 3 x = 0 (1) Nếu cos x = 0 là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra cos x = 1 ⇒ 0 = cos 2 x + sin 2 x = 1 ⇒ 0 = 1 ⇒ Vô lý  sin x = 0 228 Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx 3 Chia 2 vế của (1) cho cos 3 x ≠ 0 ta có (1) ⇔ ( 3. tan x − 1) − 3 (1 + tan 2 x ) + 4 = 0 2 ⇔ 3 3 tan 3 x − 3 ( 3 tan x ) + 3 3 tan x − 1 − 3 (1 + tan 2 x ) + 4 = 0 ⇔ 3 3 tan 3 x − 12 tan 2 x + 3 3 tan x = 0 ⇔ tan x ( 3 tan 2 x − 4 tan x + 3 ) = 0 { } ⇔ tan x = 0 ∨ tan x = 1 ∨ tan x = 3 ⇔ x ∈ k π ; π + k π ; π + k π ( k ∈
) 6 3 3 ( ) Bài 6. Giải phương trình: sin 3 x − π = 2 sin x (1) 4 Giải ( ) ( ) 3 (1) ⇔ 2 2 sin 3 x − π = 4 sin x ⇔  2 sin x − π  = 4 sin x  4 4  3 3 ⇔ ( sin x − cos x ) = 4 sin x ⇔ ( tan x − 1) = 4 tan x (1 + tan 2 x ) ⇔ tan 3 x − 3 tan 2 x + 3 tan x − 1 = 4 tan 3 x + 4 tan x ⇔ 3 tan 3 x + 3 tan 2 x + tan x + 1 = 0 ⇔ ( tan x + 1) ( 3 tan 2 x + 1) = 0 ⇔ tan x + 1 = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − π + k π ( k ∈
) 4 Bài 7. Giải phương trình: 6 sin x − 2 cos 3 x = 5sin 4 x cos x 2 cos 2 x (1) Giải Điều kiện: cos 2 x ≠ 0 ⇔ 2 x ≠ π + k π ⇔ x ≠ π + k π ( 2 ) 2 4 2 Với điều kiện (2) ta có (1) ⇔ 6 sin x − 2 cos 3 x = 5sin 2 x cos x ⇔ 6 sin x − 2 cos 3 x = 5 ( 2 sin x cos x ) cos x ⇔ 3sin x − cos 3 x − 5 sin x cos 2 x = 0 (3) Nếu cos x = 0 là nghiệm của (3) thì từ (3) suy ra cos x = 0 ⇒ 0 = sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇒ 0 = 1 ⇒ Vô lý  sin x = 0  Chia 2 vế của (3) cho cos 3 x ≠ 0 ta có 3 tan x (1 + tan 2 x ) − 1 − 5 tan x = 0 ⇔ ( tan x − 1) ( 3. tan 2 x + 3 tan x + 1) = 0  ⇔ ( tan x − 1) 3 tan x + 1 2  ( ) 2  + 1  = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π + nπ 4 4 Do x = π + nπ mâu thuẫn với (2): x ≠ π + k π nên phương trình (1) vô nghiệm. 4 4 2 229 Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương Bài 8. ( 4 − 6m ) sin 3 x + 3 ( 2m − 1) sin x + 2 ( m − 2 ) sin 2 x cos x − ( 4m − 3) cos x = 0 a. Giải phương trình khi m = 2 b. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất x ∈  0, π   4  Giải Nếu cos x = 0 là nghiệm của phương trình thì từ phương trình suy ra cos x = 0 sin x = 1 ∨ sin x = −1 ⇔ ⇒ Vô lý  3 3 ( 4 − 6 ) sin x + ( 6m − 3) sin x = 0 ( 4 − 6m ) sin x + ( 6m − 3) sin x Chia 2 vế của phương trình cho cos 3 x ≠ 0 ta có phương trình ⇔ ( 4 − 6m) tan 3 x + 3 ( 2m − 1) tan x (1 + tan 2 x ) + 2 ( m − 2) tan 2 x − ( 4m − 3) (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ tan 3 x − ( 2m + 1) tan 2 x + 3 ( 2m − 1) tan x − ( 4m − 3) = 0 ⇔ ( tan x − 1) [ tan 2 x − 2m tan x + ( 4m − 3)] = 0 (1) a. Nếu m = 2 thì (1) ⇔ ( tan x − 1) ( tan 2 x − 4 tan x + 5 ) = 0 2 ⇔ ( tan x − 1) ( tan x − 2 ) + 1 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π − k π ( k ∈
) 4 b. Đặt t = tan x ∈ [ 0,1] ∀x ∈  0, π  , khi đó phương trình  4  t − 1 = 0 ⇔ t = 1∈ [ 0,1] (1) ⇔ ( t − 1) ( t 2 − 2mt + 4m − 3) = 0 ⇔  2 t − 2mt + 4m − 3 = 0 Xét phương trình: t 2 − 2mt + 4m − 3 = 0 với t ∈ [ 0,1] 2 ( t − 1) ( t − 3) ⇔ t 2 − 3 = 2m ( t − 2 ) ⇔ g ( t ) = t − 3 = 2m . Ta có g ′ ( t ) = ≥ 0 ∀t ∈ [ 0, 1] t −2 ( t − 2) 2 ⇒ g ( t ) đồng biến trên [ 0,1] ⇒ Tập giá trị g ( t ) là [ g ( 0 ) , g (1)] =  3 ; 2   2  ( ) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất x ∈ 0, π thì phương trình g ( t ) = 2m 4 hoặc vô nghiệm t ∈ [ 0,1] hoặc có đúng 1 nghiệm t = 1  2m ≥ 2 m ≥ 1  ⇔ g ( t ) = 2m vô nghiệm t ∈ [ 0,1) ⇔  ⇔  2m < 3 m < 3  2  4 230 Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx 231 Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG I. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ NỬA ĐỐI XỨNG VỚI SINX, COSX 1. Phương pháp chung a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x + c = 0 a ( sin x − cos x ) + b sin x cos x + c = 0 ) ) ( ( t = sin x + cos x = 2 sin x + π ∈  − 2; 2  ⇒ sin x cos x = 1 ( t 2 − 1)   4  2 Bước 1. Đặt  t = sin x − cos x = 2 sin x − π ∈  − 2; 2  ⇒ sin x cos x = 1 (1 − t 2 ) 4 2  Biến đổi đưa về phương trình bậc 2 ẩn t. Bước 2. Giải phương trình bậc 2 ẩn t. Từ đó suy ra nghiệm x. 2. Các bài tập mẫu minh họa Bài 1. Giải phương trình: 2 ( sin x + cos x ) − sin x cos x = 1 (1) Giải ( ) 2 Đặt t = sin x + cos x = 2 cos x − π ∈  − 2, 2  ⇒ sin x cos x = t − 1 . Ta có 4 2 ( ) (1) ⇔ t 2 − 2 2t + 1 = 0 ⇔ t = 2 − 1∈  − 2; 2  ⇔ cos x − π = 2 − 2 = cos α 4 2 x − π = ±α + 2k π ⇔ x = π ± α + 2k π ( k ∈ » ) 4 4 Bài 2. Giải phương trình: cos x + 1 + sin x + 1 = 10 (1) cos x sin x 3 Giải Điều kiện: sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k π ( 2 ) 2 Với điều kiện (2) thì (1) ⇔ sin x cos x ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) = 10 sin x cos x 3 ) ( ) ( ⇔ 3 sin x + cos x sin x cos x + 1 = 10 sin x cos x ( ) 2 Đặt t = sin x + cos x = 2 cos x − π ∈  − 2, 2  ⇒ sin x cos x = t − 1 . Khi đó 4 2 2 2 (1) ⇔ 3t  t − 1 + 1 = 10. t − 1 ⇔ 3t ( t 2 + 1) = 10 ( t 2 − 1) ⇔ 3t 3 − 10t 2 + 3t + 10 = 0  2  2 2 − 19  ∈  − 2; 2  3 2 − 19 2 − 19 ⇔ 2 cos x − π = ⇔ cos x − π = = cos α 4 3 4 3 2 ⇔ x − π = ±α + 2nπ ⇔ x = π ± α + 2nπ ( n ∈ » ) (thỏa mãn (2)) 4 4 ⇔ ( t − 2 ) ( 3t 2 − 4t − 5 ) = 0 ⇔ t = ( ) ( ) 231 Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương Bài 3. Giải phương trình: 1 + sin 3 x + cos 3 x = 3 sin 2 x (1) 2 Giải 3 (1) ⇔ 1 + ( sin x + cos x ) − 3sin x cos x ( sin x + cos x ) = 3 sin 2 x 2 2 π Đặt t = sin x + cos x = 2 cos x − ∈  − 2, 2  ⇒ sin x cos x = t − 1 4 2 2   Khi đó (1) ⇔ 1 + t 3 − 3t  t − 1  = 3 ( t 2 − 1) ⇔ 2 + 3t 3 − 3t ( t 2 − 1) = 3 ( t 2 − 1)  2  2 3 2 ⇔ t + 3t − 3t − 5 = 0 ⇔ ( t + 1) ( t 2 + 2t − 5 ) = 0 ⇔ t = −1∈  − 2; 2  ( ) ( ) ) ( { } ⇔ 2 cos x − π = −1 ⇔ cos x − π = −1 ⇔ x ∈ π + 2k π ; − π + 2k π ( k ∈ » ) 4 4 2 2 2 3 1 + sin x cos x (1) 3 Giải 2 Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + π ∈  − 2, 2  ⇒ sin x cos x = t − 1 4 2 t ∈  0; 2  t ∈ 0; 2  Khi đó (1) ⇔ 6. t 2 + 1 = 3t ⇔  ⇔  2 6 ( t 2 + 1) = 9t 2 t = 2 ⇔ t = 2 ⇔ sin x + π = 1 ⇔ x = π + 2k π ( k ∈ » ) 4 4 Bài 4. Giải phương trình: sin x + cos x = ) ( ) ( Bài 5. Giải phương trình: sin x − cos x + 7 sin 2 x = 1 (1) Giải ) ( Đặt t = sin x − cos x = − 2 cos x + π ∈  − 2, 2  ⇒ sin 2 x = 1 − t 2 4 2 Khi đó (1) ⇔ t + 7 (1 − t ) = 1 ⇔ 7t 2 − t − 6 = 0 ( ( ) )  cos x + π = − 1 = cos 3π  x = −π + 2k π t = 1   4 4 2 (k ∈ ») ⇔  −6 ⇔  ⇔  x = π + 2k π 2 t =  3 2  π 7   cos x + 4 = 7 = cos α  x = − π ± α + 2k π  4 Bài 6. Giải phương trình: (1 + 2 ) ( sin x − cos x ) + 2 sin x cos x = 1 + 2 (1) Giải ) ( Đặt t = sin x − cos x = − 2 cos x + π ∈  − 2, 2  ⇒ 2 sin x cos x = 1 − t 2 . Khi đó 4 2 (1) ⇔ (1 + 2 ) t + (1 − t ) = 1 + 2 ⇔ t 2 − (1 − 2 ) t + 2 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 2 ( ) ( ) { } ⇔ cos x + π = −1 ∨ cos x + π = −1 ⇔ x ∈ −π + 2k π ; π + 2k π ; 3π + 2k π ( k ∈» ) 4 4 2 4 2 232 Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng ) ( Bài 7. Giải phương trình: sin 2 x + 2 sin x x − π = 1 4 Giải ( ) sin 2 x + 2 sin x x − π = 1 ⇔ sin 2 x + ( sin x − cos x ) = 1 4 ( (1) ) Đặt t = sin x − cos x = 2 sin x − π ∈  − 2, 2  ⇒ sin 2 x = 1 − t 2 4 Khi đó (1) ⇔ 1 − t 2 + t = 1 ⇔ t (1 − t ) = 0 ⇔ t = 0; t = 1  tg x = 1 sin x − cos x = 0 π π  ⇔ ⇔ π = 1 ⇔ x ∈ 4 + k π ; 2 + 2k π ; π + 2k π π  sin x −  2 sin x − = 1 4 4   2 ( ) ( { ) } ( k ∈ ») Bài 8. Giải phương trình: sin 3 x − cos 3x + 2 ( sin x + cos x ) = 1 Giải (1) ⇔ ( 3sin x − 4 sin 3 x ) − ( 4 cos 3 x − 3cos x ) + 2 ( sin x + cos x ) = 1 ⇔ −4 ( sin x + cos x ) (1 − sin x cos x ) + 5 ( sin x + cos x ) = 1 ( ) Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + π ∈  − 2; 2  , khi đó ta có phương trình: 4 2   −4t 1 − t − 1  + 5t = 1 ⇔ ( t − 1) ( 2t 2 + 2t + 1) = 0 ⇔ t = 1 ⇔ x = π + 2k π 4  2  Bài 9. Giải phương trình: 2 + ( 2 + sin 2 x ) ( sin1 x + cos1 x + tan x + cot x ) = 0 Giải ( ) Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + π ∈  − 2; 2  , t ≠ ±1 . Biến đổi ta nhận được 4 2 + ( t 2 + 1)  2t2 + 2  = 0 ⇔ 2t 2 − 2 + ( t 2 + 1) ( 2t + 2 ) = 0 ⇔ 2t 3 + 4t 2 + 2t = 0  t −1  2 ⇔ 2t ( t + 1) = 0 ⇒ t = 0 ( t ≠ ±1) ⇔ sin x + cos x = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − π + k π 4 Bài 10. Tìm m để phương trình: m ( sin x + cos x ) + sin 2 x = 0 có nghiệm. Giải ( ) Đặt t = sin x + cos x = 2 cos x − π ∈  − 2; 4 2  ⇒ sin 2 x = t 2 − 1 Khi đó phương trình ⇔ mt + t 2 − 1 = 0 ⇔ f ( t ) = t 2 + mt − 1 = 0 với t ∈ − 2; 2  Để ý rằng: ∆ 1 = m 2 + 4 > 0 nên f ( t ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt t1 , t 2 233 Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 0 < t1 ≤ 1 < 2 t ∈( − 2, 2 ) 1 Theo định lý Viét, ta có t1 .t 2 = −1 ⇒ t1 . t 2 = 1 ⇒  ⇒ 0 < t 2 ≤ 1 < 2 t 2 ∈( − 2, 2 ) Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm ∀ m ∈ » Bài 11. Tìm m để phương trình: sin 2 x + 4 ( cos x − sin x ) = m có nghiệm Giải Đặt t = cos x − sin x ∈  − 2; 2  và sin 2 x = 1 − t 2 , khi đó phương trình đã cho ⇔ f ( t ) = −t 2 + 4t + 1 = m với t ∈− 2; 2  . Ta có f ′ ( t ) = 4 − 2t > 0 ∀t ∈ − 2, 2  ⇒ f ( t ) đồng biến trên  − 2, ⇒ Tập giá trị f ( t ) là  f ( − 2 ) , f ( 2  2 )  =  −4 2 − 1, 4 2 + 1 Do đó phương trình đã cho có nghiệm ⇔ f ( t ) = m có nghiệm t ∈  − 2, 2  ⇔ −4 2 − 1 ≤ m ≤ 4 2 + 1 Bài 12. Tìm m để: sin 3 x − cos 3 x = m có 3 nghiệm phân biệt x ∈ [ 0, π] Giải 3 Biến đổi: sin 3 x − cos 3 x = m ⇔ ( sin x − cos x ) + 3sin x cos x ( sin x − cos x ) = m ( ) 2 Đặt t = sin x − cos x = 2 sin x − π ∈  −1, 2  ∀x ∈ [ 0, π] ; sin x cos x = 1 − t . 2 4 Khi đó phương trình 2   ⇔ t 3 − 3t  1 − t  = m ⇔ 2t 3 + 3t (1 − t 2 ) = 2m ⇔ f ( t ) = −t 3 + 3t = 2m  2  Ta có f ′ ( t ) = −3t 2 + 3 = 0 ⇔ t = ±1 ⇒ Bảng biến thiên Với t = 2 ∨ t ∈ ( −1, 1) cho ta 1 nghiệm x ∈ [ 0, π] và với mỗi t ∈ 1, 2 ) cho ta 2 nghiệm x ∈ [ 0, π] . Nên để phương trình sin 3 x − cos 3 x = m có 3 nghiệm phân biệt x ∈ [ 0, π] 234 –1 f′(t) 0 2 < m < 1. 2 1 + 0 2 – 2 f(t) –2 thì f ( t ) = 2m phải có 2 nghiệm t1 , t 2 sao cho −1 < t1 < 1 < t 2 < 2 ⇔ 2 < 2m < 2 ⇔ t 2 Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng II. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI TAN, COT I. CÔNG THỨC SỬ DỤNG tan a + tan b = sin ( a + b ) sin ( a − b ) cos ( a − b ) ; tan a − tan b = ; tan a + cot b = cos a cos b cos a cos b cos a sin b cot a − tan b = cos ( a + b ) ; tan a + cot a = 2 ; cot a − tan a = 2 cot 2a sin a cos b sin 2a II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. Giải phương trình: 3 ( tan x + cot x ) = 4 (1) Giải (1) ⇔ 2 3 = 4 ⇔ sin 2 x = 2 3 = 3 ⇔ x = π + nπ ∨ x = π + nπ sin 2 x 4 2 6 3 Bài 2. Giải phương trình: 2 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x (1) Giải Điều kiện: sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k π ( 2 ) 2 ) ( Đặt t = sin x + cos x = 2 cos x − π ∈  − 2, 2  ⇒ sin 2 x = t 2 − 1 4 (1) ⇔ 2 ( sin x + cos x ) = 2 ⇔ t ( t 2 − 1) = 2 ⇔ t 3 − t − 2 = 0 ( t ≠ ±1) sin 2 x ( ) ⇔ ( t − 2 )( t 2 + 2t + 1) = 0 ⇔ t = 2 ⇔ cos x − π = 1 ⇔ x = π + 2nπ 4 4 Bài 3. Giải phương trình: 3 ( tan x + cot x ) = 2 ( 2 + sin 2 x ) (1) Giải Điều kiện: sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k π ( 2 ) 2 (1) ⇔ 3 = 2 + sin 2 x ⇔ sin 2 2 x + 2 sin 2 x − 3 = 0 ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ x = π + nπ sin 2 x 4 Bài 4. Giải phương trình: tan 2 x + cot x = 8 cos 2 x (1) Giải ĐK: sin x.cos 2 x ≠ 0 , ( 2 ) , ta có (1) ⇔ cos ( 2x − x) = 8cos 2 x ⇔ cos x = 8cos 2 x.cos2x.sin x cos2x.sin x ⇔ cos x (1 − 8 cos x cos 2 x sin x ) = 0 ⇔ cos x (1 − 2 sin 4 x ) = 0 { ⇔ cos x = 0 ∨ sin 4 x = 1 ⇔ x ∈ π + k π ; π + k π ; 5π + k π 2 2 2 24 2 24 2 } 235 Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương Bài 5. Giải phương trình: tan x = cot x + 2 cot 3 2 x (1) Giải Điều kiện: sin x cos x sin 2 x ≠ 0 ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k π ( 2 ) 2 (1) ⇔ tan x − cot x = 2 cot 3 2 x ⇔ ⇔ −2 cos 2 x = 2 cot 3 2 x 2 sin x cos x ⇔ cot 2 x (1 + cot 2 x ) = 0 ⇔ cot 2 x = 0 ⇔ 2 x = π + nπ ⇔ x = π + nπ 2 4 2 Bài 6. Giải phương trình: tan x + cot x = 2 ( sin 2 x + cos 2 x ) (1) Giải Điều kiện: sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k π ( 2 ) 2 (1) ⇔ 2 = 2 ( sin 2 x + cos 2 x ) ⇔ sin 2 x ( sin 2 x + cos 2 x ) = 1 sin 2 x ⇔ sin 2 x cos 2 x − (1 − sin 2 2 x ) = 0 ⇔ cos 2 x ( sin 2 x − cos 2 x ) = 0 ⇔ cos 2 x = 0 ∨ tan 2 x = 1 ⇔ x = π + nπ ∨ x = π + nπ 4 2 8 2 Bài 7. Giải phương trình: 6 tan x + 5 cot 3x = tan 2 x (1) Giải (1) ⇔ 5 ( tan x + cot 3 x ) = tan 2 x − tan x ⇔ 5 cos ( 3x − x ) = sin ( 2 x − x ) cos x.sin 3 x cos 2 x.cos x ⇔ 5 cos 2 2 x = sin 3x.sin x ⇔ 10 cos 2 2 x = 2 sin 3 x sin x ⇔ 10 cos 2 2 x = cos 2 x − cos 4 x ⇔ 10 cos 2 2 x = cos 2 x − ( 2 cos 2 2 x − 1) ⇔ 12 cos 2 2 x − cos 2 x − 1 = 0 x = ± α + kπ cos 2 x = 1 = cos α  2 x = ±α + 2k π  2  3 ⇔ ⇔ ⇔ (thỏa mãn (2)) ( n ∈ » ) β x = ±β + k π 2 2 1 x = ± + kπ cos 2 x = − = cos β   4  2 Bài 8. Giải phương trình: 2[ cot 2x − cot g3x] = tg2x + cot g3x (1) Giải Điều kiện: sin 2 x sin 3x cos 2 x ≠ 0 ⇔ sin 4 x sin 3 x ≠ 0 ( 2 ) (1) ⇔ 2 sin ( 3 x − 2 x ) = cos ( 3 x − 2 x ) ⇔ 2.sin x ( cos 2 x − sin 2 x ) − cos 2 x  = 0 sin 2 x.sin 3 x sin 3x.cos 2 x ⇔ sin 3 x = 0 ⇔ sin x = 0 ⇒ sin 2 x = 2 sin x cos x = 0 ⇒ sin 4 x = 0 ⇒ sin 4 x.sin 3x = 0 (3) Do (2) và (3) mâu thuẫn nhau nên phương trình (1) vô nghiệm. 236 Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng Bài 9. Giải phương trình: 2 tan x + cot x = 3 + 2 sin x (1) Giải Điều kiện: sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k π ( 2 ) 2 (1) ⇔ tan x + ( tan x + cot x ) = 3 + 2 ⇔ tan x + 2 = 3 + 2 sin x sin x sin x ⇔ tan x = 3 ⇔ x = π + nπ (thỏa mãn (2)) ( n ∈ » ) 3 Bài 10. Giải phương trình: 3 tan 3 x + cot 2 x = 2 tan x + 2 (1) sin 4 x Giải Điều kiện: sin 2 x sin 4 x cos x cos x cos 3x ≠ 0 ⇔ sin 4 x.cos 3 x ≠ 0 ( 2 ) (1) ⇔ 2 ( tan 3x − tan x ) + ( tan 3 x + cot 2 x ) = ⇔ 2 sin 4 x 2 sin 2 x + cos x = 2 ⇔ 4 sin x sin 4 x + 2 cos x cos 2 x = 2 cos 3 x cos 3x cos x cos x3 x sin 2 x sin 4 x ⇔ 4 sin x sin 4 x + cos x + cos 3x = 2 cos 3 x ⇔ 4 sin x sin 4 x + cos x − cos 3x = 0 sin x sin 2 x ( loai ) ⇔ 2 sin x sin 2 x ( 4 cos 2 x + 1) ⇔  ⇔ cos 2 x = −1 = cos x 4 4 cos 2 x + 1 = 0  ⇔ 2 x = ±α + 2k π ⇔ x = ± α + k π (thỏa mãn (2)) ( n ∈ » ) 2 Bài 11. Giải phương trình: 2 tan x + cot 2 x = 2 sin 2 x + 1 (1) sin 2 x Giải Điều kiện: sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k π (2) 2 Sử dụng: tan x + cot 2 x = sin 2 x sin x + cos 2c cos x = cos x = 1 cos x.sin 2 x cos x sin x sin 2 x (1) ⇔ tan x + ( tan x + cot x ) = 2 sin 2 x + ( tan x + cot x ) ⇔ tan x = 4 sin x cos x ⇔ sin x = 4 sin x cos 2 x ⇔ sin x (1 − 4 cos 2 x ) = 0 sin x = 0 ( ( 2)) ⇔ 2  → cos 2 x = − 1 ⇔ 2 x = ± 2π + 2nπ ⇔ x = ± π + nπ ( n ∈ » ) 1 2 3 3  cos x =  4 237