Tài liệu Phương trình và hệ phương trình ôn thi vào 10 năm 2017 2018 lê minh cường phạm quốc sang

Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 1 by Mr. Cuo ng T A oM by Mr. Cuo ng T A oM The ART of MATHEMATICS TUYỂN TẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - TUYỂN SINH LỚP 10, năm 2017-2018 Biên soạn: Lê Minh Cường và Phạm Quốc Sang §Phương trình vô tỷ √ Bài 1. Giải phương trình 2( x2 − 3x + 2) = 3 x3 + 8. Trích từ đề thi vào 10, Sở giáo dục Vĩnh Long, 2017. Lời giải. Điều kiện: x √ ≥ −2. 3 Ta có: 2( x2 − 3x + 2) = 3 p x +8 2 ⇔ 2( x − 3x + 2) = 3 ( x + 2)( x2p − 2x + 4) 2 ⇔ −2( x + 2) + 2( x − 2x + 4) − 3 ( x + 2)( x2 − 2x + 4) = 0 . (1) Vì x2 − 2x + 4 > 0 nên chia hai vế phương trình trình (1) cho x2 − 2x + 4 ta được r   x+2 x+2 −2 −3 +2 = 0 2 2 x − 2x + 4 x − 2x + 4 " r t = −2 1 x+2 2 − 3t + 2 = 0 ⇔ Đặt t = ≥ 0 ta có − 2t do t ≥ 0 ⇒ t = 1 2 2 x − 2x + 4 t= 2 r x+2 1 1 Với t = ⇔ = ⇔ x2 − 2x + 4 = 4( x + 2) 2 2 2 √ x − 2x+ 4 x = 3 + √13 (n) . ⇔ x2 − 6x − 4 = 0 ⇔ x = 3 − 13 (n) . √ Bài 2. Giải phương trình x2 − x3 + x = 6x − 1. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Tiền Giang, 2017. √ √ Lời giải. Điều kiện xác định: x ≥ 3 + 2 2 hoặc 0 ≤ x ≤ 3 − 2 2. q p 2 2 3 x − x + x = 6x − 1 ⇔ x + 1 − x ( x2 + 1) − 6x = 0 √ √ Đặt a = x, b = x2 + 1 (a ≥ 0, b ≥ 1). Khi đó phương trình trở thành: " b = 3a (TM) b2 − ab − 6a2 = 0 ⇔ (b − 3a)(b + 2a) = 0 ⇔ . b = −2a (Loại) ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang √ √ 2 9± √ 77 − 9x + 1 = 0 ⇔ x = (nhận). 2 ( oM √ ) T A 9 ± 77 Kết luận: tập nghiệm của phương trình là . 2 √ Bài 3. Giải phương trình 5x − x2 + 2x2 − 10x + 6 = 0. Trích từ đề thi vào 10, SoGiaoDucHaNoi-ChuyenTin, 2017. Với b = 3a ⇔ x2 + 1 = 3 x ⇔ x2 by Mr. Cuo ng Lời giải. Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 5. Phương trình đã cho tương đương: q q q x (5 − x ) + 2x ( x − 5) + 6 = 0 ⇔ x (5 − x − 2x (5 − x ) + 6 = 0 ⇔ 2x (5 − x ) − x (5 − x ) − 6 = 0 p Đặt t = x (5 − x ) ≥ 0. Khi đó ta có phương trình:  t=2 2  2t − t − 6 = 0 ⇔ (t − 2)(2t + 3) = 0 ⇔ 3 t = − (loại) 2 " p x = 1 (thỏa) Khi t = 2 ⇔ x (5 − x ) = 2 ⇔ x2 − 5x + 4 = 0 ⇔ . x = 4 (thỏa) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {1; 4} 1 3 − − 2 = 0. x4 x2 Trích từ đề thi vào 10 chuyên Nguyễn Tất Thành, Kon Tum 2017. Bài 4. Giải phương trình: x4 + 3x2 − 1 = t ( ĐK: t ≥ 2). x2 " t = −1 (loại) Phương trình trở thành t2 − 3t − 4 = 0 ⇔ t = 4 (nhận)  q " √ √ 2 x = 2 + 3 x = ± 2 + 3 1  q √ Với t = 4 có x2 + 2 = 4 ⇔ x4 − 4x2 + 1 = 0 ⇔ ⇔  √ (TM). x x2 = 2 − 3 x = ± 2− 3 √ Bài 5. Giải phương trình ( x − 1) ( x + 2) + 2 x2 + x + 1 = 0. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi, 2017. Lời giải. ĐKXĐ: x 6= 0. Đặt x2 + Lời giải. Do x2  +x+1 = p 1 x+ 2 2 + 3 > 0. Ta có: 4 x2 + x + 1 = 0 ⇔ x2 + x + 1 + 2 p x2 + x + 1 − 3 = 0. (1) " √ t=1 Đặt t = x2 + x + 1, t > 0. Thay vào (1), ta được: t2 + 2t − 3 = 0 ⇔ t = −3 2 Ta chỉ nhận t = 1 hay x + x + 1 = 1. Giải phương trình này ta được các nghiệm x = −1, x = 0. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 0 và x = −1. √ Bài 6. Giải phương trình x3 − x2 − x x − 1 − 2 = 0. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh, 2017. ( x − 1) ( x + 2) + 2 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 3 √ 2 ( x − 1) − x x − 1 − 2 = 0. Lời giải. ĐK: x ≥ 1. Biến đổi về phương trình x √ Đặt t = x x − 1(t ≥ 0) ⇒ t2 = x2 ( x − 1). Phương trình đã cho trở thành: T A  t = −1 t2 − t − 2 = 0 ⇔ t=2 by Mr. Cuo ng oM Kết hợp với điều √ kiện, ta được 3t = 2.2 Với t = 2 ⇒ x x − 1 = 2 ⇔ x − x = 4 ⇔ ( x − 2)( x2 + x + 2) = 0 ⇔ x = 2 √ 3√ 4 Bài 7. Giải phương trình: x2 − 3x + 1 = − x + x2 + 1. 3 Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh, 2017. Lời giải. Ta có: √ q −1 − 3p 4 x + x2 + 1 ⇔ ( x2 − x + 1) − 2x = √ ( x2 − x + 1)( x2 + x + 1) x − 3x + 1 = 3 3 2 Đặt a = x2 − x + 1, b = x2 + x + 1. Khi đó phương trình trở thành: −1 √ ab 2a − b = √ ab ⇒ (2a − b)2 = ⇔ 12a2 − 13ab + 3b2 = 0 3 3  4a = 3b ⇔ (4a − 3b)(3a − b) = 0 ⇒ 3a = b Do đó ta có: √ 7+3 5  x=  2 2√  x − 7x + 1 = 0 ⇒ 7−3 5 2  x − 2x + 1 = 0  x= 2 x=1  √ √
√ Bài 8. Giải phương trình x+4− x−1 x2 + 3x − 4 + 1 = 5.  Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lương Văn Tuỵ, Ninh Bình, 2017. Lời giải. √ Điều kiện x ≥ 1. √ Đặt u = x + 4 > 0 và v = x − 1 ≥ 0. Khi đó phương trình trở thành ( (u − v)(uv + 1) = 5 (1) . u2 − v2 = 5 (2) Thay (2) vào (1) với chú ý u > v ta được uv + 1 = u + v hay √ u = 1 hoặc v = 1. Tuy nhiên từ 2 (2), ta thấy u > 5 > 1 nên v = 1. Thay vào (2) ta được u = 6. Do đó ta có (√ √ x+4 = 6 ⇔ x = 2. √ x−1 = 1 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {2}. √ Bài 9. Giải phương trình 3x x2 + x + 1 = 3x2 + x + 1. Trích từ đề thi vào 10, chuyên Vinh vòng 2, 2017. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 4 √ Phương trình đã cho ⇔ 3x x2 + x + 1 = 2x2 + ( x2 + x + 1)  2 Lời giải. x x oM ⇔2 √ − 3√ + 1 =T0.A 2 2 x +x+1 x +x + 1 t=1 x 2  Đặt t = √ , phương trình trở thành 2t − 3t + 1 = 0 ⇔ 1. x2 + x + 1 t= 2 √ 2 Với t = 1, ta có x = x + x + 1 (Vô nghiệm). ( √ √ x≥0 1 + 13 1 ⇔x= Với t = , ta có 2x = x2 + x + 1 ⇔ . 2 2 2 6 4x = x + x + 1 √ √ Bài 10. Giải phương trình 2 3 − x + 2 + x = 5. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị, 2017. by Mr. Cuo ng √ Lời giải. Đặt t = 2 + x, ta được phương trình theo t: t2 − 2t + 1 = 0 ⇒ t = 1. Đối chiếu điều kiện thấy t = 1 thỏa mãn, do đó t = 1 ⇔ x = −1. p Bài 11. Giải phương trình ( x + 1)4 + 3 = x2 + 2x + 2. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn Vũng Tàu Vòng 1, 2017. Lời giải. Dễ thấy x2 + 2x + 2 = ( x + 1)2 + 1 > 0 với mọi số thực x. Bình phương hai vế của phương trình, ta có: h i2 4 2 ( x + 1) + 3 = ( x + 1) + 1 ⇔ ( x + 1)4 + 3 = ( x + 1)4 + 2( x + 1)2 + 1 " x=0 ⇔ 2( x + 1)2 = 2 ⇔ ( x + 1)2 = 1 ⇔ . x = −2 Vậy x = 0; x = −2 là nghiệm của phương trình. Bài 12. Giải phương trình ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) = 24. Trích từ đề thi vào Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai, 2017. Lời giải. Phương trình tương đương với ( x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = 24. Đặt t = x2 + 5x + 4, ta có phương trình t(t + 2) = 24 ⇔ t2 + 2t − 24 = 0. Giải phương trình này ta được các nghiệm t = −6, t = 4. Với t = 4 ta được x = 0, x = −5. Với t = −6 ta thấy phương trình vô nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình là x = 0, x = −5.  √ √ √ √
 Bài 13. Giải phương trình: 2( x + 1) x + 1 = x + 1 + 1 − x 2 − 1 − x2 . Trích từ đề thi vào 10, Chuyên KHTN Hà Nội, vòng 1, 2017. ( Lời giải. ĐKXĐ: −1 ≤ x ≤ 1. Đặt ( u= v= u2 + v2 = 2 2u3 = (u + v)(2 − uv) √ √ ⇔ x+1 . Ta có hệ: 1−x ( u2 + v2 = 2 2u3 = (u + v)(u2 + v2 − uv) ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 5 √ √ Suy ra ⇒ 2u3 = u3 + v3 ⇔ u = v, thay vào được x + 1 = 1 − x ⇔ x = 0(thỏa mãn). √ oM T A Bài 14. Giải phương trình 4x2 + 5 + 3x + 1 = 13x. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ, Vòng 1, 2017. by Mr. Cuo ng √ Lời giải. Đặt 2t + 3 = 3x + 1. Ta có hệ ( 4t2 + 12t + 9 = 3x + 1 4x2 + 5 + 2t + 3 = 13x ( ⇔ 4t2 + 12t − 3x + 8 = 0(1) 4x2 − 13x + 2t + 8 = 0(2) . Trừ vế với vế của (1) và (2) ta được 4t2 − 4x2 + 10x + 10t = 0 ⇔ (t + x )(4t − 4x + 10) = 0  t = −x ⇔ 5. t = x− 2 TH1. t = − x suy ra − 2x + 3 = √ 3x + 1 3 ⇔ 4x2 − 15x + 8 = 0( x ≤ ) 2 √  15 + 97 (loại) x = 8√ ⇔ .  15 − 97 x= 8 TH2. t = x − 5 suy ra 2 2x − 2 = √ 3x + 1 ⇔ 4x2 − 11x + 3 = 0( x ≥ 1) √  11 + 73 x = 8√ ⇔  11 − 73 x= (loại) 8 √ √ ) 15 − 97 11 + 73 Vậy x ∈ ; . 8 8 √ Bài 15. Giải phương trình 6x − x2 + 2x2 − 12x + 15 = 0. Trích từ đề thi vào chuyên 10, Sở giáo dục Hà Nội, 2017. ( 2 Lời √ giải. ĐKXĐ: 6x − x ≥ 20 ⇔ 0 ≤ x ≤ 6.2 Đặt 6x − x2 = t. Ta có 6x − x = 9 − ( x − 3) ≤ 9nên 0 ≤ t ≤ 3. t = 3 (tmđk) 2  Phương trình đã cho có dạng −2t + t + 15 = 0 ⇔ 3 t = − (loại). 2 √ Với t = 3, ta có 6x − x2 = 3 ⇔ 6x − x2 = 9 ⇔ x2 − 6x + 9 = 0 ⇔ x = 3 (tmđk). Vậy phương trình có nghiệm x = 3. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 6 √ √ Bài 16. Giải phương trình: 3x + 7 x − 4 = 14 x + 4 − 20. oM Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ T AAn, 2017. by Mr. Cuo ng √ √ Lời giải. Xét phương trình 3x + 7 x − 4 = 14 x + 4 − 20. Với điều kiện xác định x ≥ 4, phương trình tương đương với: √ √ 3x + 20 − 7(2 x + 4 − x − 4) = 0 √ √ (2 x + 4)2 − ( x − 4)2 √ √ =0 ⇔3x + 20 − 7. 2 x+4+ x−4 7 √ ⇔(3x + 20)(1 − √ )=0 2 x+4+ x−4 √ √ ⇔2 x + 4 + x − 4 = 7 (vì điều kện x ≥ 4 nên 3x + 20 > 0) √ √ ⇔2( x + 4 − 3) + ( x − 4 − 1) = 0   2 1 ⇔( x − 5) √ +√ =0 x+4+3 x−4+1 ⇔ x = 5 (thỏa mãn điều kiện). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 5. √ √ Bài 17. Giải phương trình x2 + 3x + 7 − 3 x + 3 − 7x + 18 = 0 Lời giải. √ √ x2 + 3x + 7 − 3 x + 3 − √ 7x + 18 = 0 √ 2 ⇔ x + x − 2 + ( x + 5) − 3 x + 3 + ( x + 4) − 7x + 18 = 0 x2 + x − 2 x2 + x − 2 √ √ =0 ⇔ x2 + x − 2 + + x + 5 + 3 x + 3 7x + 18 x + 4 + ( ) ( )  
1 1 2 √ √ ⇔ x +x−2 1+ =0 + ( x + 5) + 3 x + 3 ( x + 4) + 7x + 18 x=1 ⇔ x2 + x − 2 = 0 ⇔ x = −2 r Bài 18. Giải phương trình 1 − 2x 3x + x2 = 2 . x x +1 Trích từ đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Hưng Yên, 2017. 1 − 2x Lời giải. Điều kiện ≥0⇔x∈ x   1 0; . 2 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 7 by Mr. Cuo ng r r   ⇔ (1 − 3x )    1 1 − 2x 3x + x2 1 − 2x 3x + x2 ⇔ −1 = 2 −1 = 2 x x x +1 x +1 1 − 2x −1 3x − 1 1 − 3x 3x − 1 ! = 2 = 2 ⇔r x ⇔ r x +1 x +1 1 − 2x 1 − 2x +1 +1 x x x   1 ⇔ x = . Vì 3 r x 1 − 2x +1 x 1 r x 1 − 2x +1 x T A oM  1  =0 !+ 1 + x2   1 !+ > 0, ∀ x ∈ 1 + x2  1 0; 2  √ √ √ √ Bài 19. Giải phương trình: x 2x + 3 + 3( x + 5 + 1) = 3x + 2x2 + 13x + 15 + 2x + 3. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, 2017.  (   2x + 3 ≥ 0 2x + 3 ≥ 0 3 Lời giải. Điều kiện: x + 5 ≥ 0 ⇔ ⇔x≥− .  2 x+5 ≥ 0  2 2x + 13x + 15 ≥ 0 Phương trình đã cho tương đương với q √ √ 2x + 3 ( x − 1) + 3 x + 5 + 3 − 3x − (2x + 3) ( x + 5) = 0   √ √ √ ⇔ 2x + 3 ( x − 1) − 3 ( x − 1) + x + 5 3 − 2x + 3 = 0 √  √ √ ⇔ ( x − 1) 2x + 3 − 3 − 2x + 3 − 3 x+5 = 0 √  √  ⇔ 2x + 3 − 3 x+5−x+1 = 0 "√ 2x + 3 = 3 . ⇔ √ x+5 = x−1 Với √ 2x + 3 = 3 ta có x(= 3. ( √ x−1 ≥ 0 x≥1 Với x + 5 = x − 1 ⇔ ⇔ ⇔ x = 4. 2 x + 5 = ( x − 1) x2 − 3x − 4 = 0 Vậy nghiệm của phương trình là x = 3, x = 4.  √ √
√ 2 Bài 20. Giải phương trình x+5− x+1 x + 6x + 5 + 1 = 4. Trích từ đề Lê Hồng Phong Nam Định vòng 2, 2017. √ √ Lời giải. Điều kiện xác định: x ≥ −1. Nhân hai vế với x + 5 + x + 1 > 0 ta được: √  √  p √ √ x2 + 6x + 5 + 1 = x + 5 + x + 1 ⇔ x+5−1 x+1−1 = 0 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 8 Từ đó ⇔ x = 0 hoặc x = −4 (loại). Bài 21. Giải phương trình 4x2 = (3x − 2) by Mr. Cuo ng √ oM T A 2x + 1 − 1 . Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Hà Tĩnh, 2017.
2 1 Lời giải. Điều kiện x ≥ − . Khi đó ta có 2 √ 2 4x2 = (3x − 2) 2x + 1 − 1 √ 2  √ 2 √ 2 ⇔ 2x + 1 − 1 2x + 1 + 1 = (3x − 2) 2x + 1 − 1  √ 2   √ 2 ⇔ 2x + 1 − 1 2x + 1 + 1 − 3x + 2 = 0 "√ 2x + 1 = 1 ⇔ √ 2 2x + 1 = x − 4 √ Giải từng phương trình và kết hợp điều kiện ta được nghiệm là x = 0; x = 8 + 2 13. √ √ √ Bài 22. Giải phương trình: x + 2 7 − x = 2 x − 1 + − x2 + 8x − 7 + 1. Trích từ đề thi vào 10 Chuyên, Sở giáo dục Bình Phước, 2017. Lời giải. Điều kiện 1 ≤ x ≤ 7. Ta có: p √ √ x + 2 7 − x = 2 x − 1 + − x2 + 8x − 7 + 1 q √ √ ⇔2( 7 − x − x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1)(7 − x ) = 0 √ √ √ √ √ ⇔2( 7 − x − x − 1) + x − 1( x − 1 − 7 − x ) = 0 √ √ √ ⇔( 7 − x − x − 1)(2 − x − 1) = 0 "√ " x−1 = 2 x=5 ⇔ √ ⇔ (thỏa mãn điều kiện). √ x=4 x−1 = 7−x Vậy phương trình có hai nghiệm x = 4, x = 5. Bài 23. Giải phương trình: √ 2 ( x − 1) x2 + 2x − x − 1 + √ = 0. x2 + 2x " x < −2 . Khi đó: x>0 p p 2 ( x − 1) x2 + 2x − x − 1 + √ = 0 ⇔ x2 + 2x − ( x + 1) x2 + 2x + 2 ( x − 1) = 0 x2 + 2x p p ⇔ x2 + 2x − ( x − 1) x2 + 2x − 2 x2 + 2x + 2 ( x − 1) = 0 p  p  p ⇔ x2 + 2x x2 + 2x − x + 1 − 2 x2 + 2x − x + 1 = 0 "p p  p  x2 + 2x = 2 2 2 ⇔ x + 2x − 2 x + 2x − x + 1 = 0 ⇔ p . x2 + 2x = x − 1 Lời giải. Điều kiện: ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang • • √ √ " x2 + 2x = 2 ⇔ x2 + 2x − 4 = 0 ⇔ 9 x = −1 − √ 5 √ (TMĐK). x = −1 + 5 x2 + 2x = x − 1 ( x ≥ 1) ⇔ x2 + 2x = x2 − 2x + 1 ⇔ x = n Vậy tập nghiệm của phương trình là S = −1 − √ Bài 24. Giải phương trình: 3x + 4 − √ 3x + 2 √
 by Mr. Cuo ng T A oM 1 (Loại). 4 √ o 5; −1 + 5 . 1+ √  9x2 + 18x + 8 = 2. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Đắk Lắk, 2017. 2 Lời giải. Điều kiện: x ≥ − . Khi đó: √   p3 √ 2 3x + 4 − 3x + 2 1 + 9x + 18x + 8 = 2   √  √  √ p √ √ √ 3x + 4 − 3x + 2 1 + 9x2 + 18x + 8 = 3x + 4 − 3x + 2 3x + 4 + 3x + 2 ⇔ √ "√ 3x + 4 − 3x + 2 = 0 p ⇔ . √ √ 1 + 9x2 + 18x + 8 = 3x + 4 + 3x + 2 √ √ 2 √ = 0 ⇒ Phương trình vô nghiệm. 3x + 4 + 3x + 2 √ √ √ 2 + 18x + 8 = • 1 + 9xq 3x + 4 + 3x + 2 √ √ ⇔ 1 + (3x + 4) (3x + 2) − 3x + 4 − 3x + 2 = 0  "√ x = −1 (loại)    √ √ 3x + 4 = 1  ⇔ ⇔ 1 − 3x + 4 1 − 3x + 2 = 0 ⇔ √ . 1 x=− 3x + 2 = 1 3 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = − . 3 √ √ Bài 25. Giải phương trình x2 + 4x + 12 = 2x − 4 + x + 1. Trích từ đề thi vào 10, Sở giáo dục Thái Bình, 2017. • 3x + 4 − 3x + 2 = 0 ⇔ √ Lời giải. ĐK: x ≥ −1. √ 25 − 65 Nhận thấy VP = 2x − 4 + x + 1 > 2 ⇔ x > > 2 (*). 8 Phương trình đã cho tương đương với q √ ( x − 2)2 + 8( x + 1) = 2( x − 2) + x + 1 √ 2 ⇔ ( x − 2) + 8 √ 2 2 √ √ = 4( x − 2) + 4( x − 2) x + 1 + √ 2 √ x+1 = 0 ⇔ 3( x − 2)2 + 4( x − 2) x + 1 − 7    √ √ ⇔ x − 2 − x + 1 3( x − 2) + 7 x + 1 = 0 √ ⇔ x − 2 − x + 1 = 0 do (∗) √ ⇔ x+1 = x−2 x+1 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? x+1 2 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 10  5− √ 13 (loại) x=  2 2  oM T A √ ⇔ x − 5x + 3 = 0 ⇔  5 + 13 x= 2 √ 5 + 13 Vậy nghiệm của phương trình là x = . 2 √ √ Bài 26. Giải phương trình 2x + 1 − x − 3 = 2. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Toán Hùng Vương Phú Thọ, 2017. by Mr. Cuo ng Lời √ giải. Điều √ kiện: x ≥ 3, ta có: (1) 2x + 1 = x − 3 + 2 √ ⇔ 2x + 1 = x − 3 + 4 x − 3 + 4 √ ⇔ 4 x−3 = x " x=4 Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều x = 12 kiện. Vậy PT đã cho có hai nghiệm x = 4; x = 12. s r 1 1 1 Bài 27. Giải phương trình 3 x2 − + x2 + x + = (2x3 + x2 + 2x + 1). 4 4 2 Trích từ đề tuyển sinh lớp 10, chuyên Đồng Tháp, 2017. ⇔ 16( x − 3) = x2 ⇔ x2 − 16x + 48 = 0 ⇔ s r 1 1 1 Lời giải. 3 x2 − + x2 + x + = (2x3 + x2 + 2x + 1) 4 4 2 v  s u 2  2x + 1 ≥ 0 u 1 1 1 2 r t 2 ⇔3 x − + x+ = ( x + 1)(2x + 1) ⇔  3 x2 − 1 + x + 1 = 1 ( x2 + 1)(2x + 1) 4 2 2 4 2 2   1  1      x ≥ −2 x ≥ − 2 s  ⇔   2  ⇔ 1   1 1   ( x 2 + 1 − 3) = 0   x+ = ( x 2 + 1) x + x+ 3 2 2 2  1   x≥−   2  1 . ⇔ x=−    2   √  x=± 2 √ 1 Vậy phương trình có hai nghiệm x = − ; x = 2. 2 q q 2 2 2 2 Bài 28. Giải phương trình ( x + 2x ) + 4 ( x + 1) − x2 + ( x + 1)2 + ( x2 + x ) = 2007. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Sư phạm Hà Nội vòng 2, 2017. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 11 Lời giải. ĐKXĐ: ∀ x ∈ R q q T A 2 2 2 2 2 2 2 ( x + 2x ) + 4 ( x + 1) − x + ( x + 1) + ( x + x ) = 2007 q q 2 2 2 ⇔ (( x + 1) − 1) + 4 ( x + 1) − 1 + 2( x2 + x ) + ( x2 + x )2 = 2007 q q ⇔ ( x2 + 2x + 2)2 − ( x2 + x + 1)2 = 2007 by Mr. Cuo ng oM ⇔ x2 + 2x + 2 − x2 − x − 1 = 2007 ⇔ x = 2006.
√
Bài 29. Giải phương trình: x2 − 6x + 5 x − 2 − x + 4 = 0. Trích từ đề thi vào 10, Trường THPT Năng Khiếu V1, 2017. Lời giải. Điều " kiện xác định x ≥ 2 x = 1 (loại) x2 − 6x + 5 ⇔ x = 5 (nhận) ( √ x≥4 x−2−x+4 = 0 ⇔ ⇔x=6 x − 2 = x2 − 8x + 16 Kết luận, tập nghiệm của phương trình là S = {5; 6} √ √ √ Bài 30. Giải phương trình x + 1 − x − 7 = 12 − x. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Trần Phú, Hải Phòng năm 2017. Lời giải. Điều kiện của phương trình là 7 ≤ x ≤ 12. Với điều kiện đó, phương trình tương đương √ √ √ x + 1 = 12 − x + x − 7 √ √ ⇔ x + 1 = 12 − x + 2 12 − x x − 7 + x − 7 √ √ ⇔ x − 4 = 2 12 − x x − 7 ⇔ x2 − 8x + 16 = −4x2 + 76x − 336 ⇔5x2 − 84x + 352 = 0  44 x=  ⇔ 5 x=8  Thử lại, ta được tập nghiệm của phương trình là S =  44 ;8 . 5 √ Bài 31. Giải phương trình ( x + 1)3 = ( x4 + 3x3 ) x + 3. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng, 2017. Lời giải. Điều kiện x ≥ −3. √ √ √
3 Ta có ( x + 1)3 = ( x4 + 3x3 ) x + 3 ⇔ ( x + 1)3 = x x + 3 ⇔ x + 1 = x x + 3. Bình phương hai vế suy ra: x2 + 2x + 1 = x2 ( x + 3) ⇔ x3 + 2x2 − 2x − 1 = 0  x=1 √ 2 Ta có (∗) ⇔ ( x − 1)( x + 3x + 1) = 0 ⇔  −3 ± 5 . x= 2 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? (*) Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang −3 − Thử lại ta chọn được hai nghiệm x1 = 1, x2 = 2 12 √ 5 . by Mr. Cuo ng T A §Hệ phương trình  3  2   4x = y + y Bài 32. Giải hệ phương trình .  3  2  4y = x + x Lời giải. ĐKXĐ: x, y 6= 0. ( Hệ phương trình đã cho tương đương 4x2 y = y2 + 3 (1) 4y2 x = x2 + 3 (2) . Trừ hai phương trình cho nhau ta có: 4x2 y − 4y2 x = y2 − x2 ⇔ 4xy( x − y) + ( x − y)( x + y) = 0 ⇔ ( x − y)( x + y + 4xy) = 0 " x=y ⇔ x + y + 4xy = 0 TH1: x = y. Thay vào phương trình (1) ta có 4x3 = x2 + 3 ⇔ 4x3 − x2 − 3 = 0 ⇔ ( x − 1)(4x2 + 3x + 3) = 0   3 2 39 2 Vì 4x + 3x + 3 = 2x + + > 0 nên ta có x = 1. 4 16 Hệ có nghiệm ( x, y) = (1, 1). TH2: x + y + 4xy = 0 ⇒ 4xy = − x − y. Thay vào phương trình (1) ta có x (− x − y) = y2 + 3 ⇔ x2 + xy + y2 + 3 = 0 (vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y) = (1, 1). ( x2 + y2 − xy = 1 Bài 33. Giải hệ phương trình: x + x2 y = 2y3 . Lời giải. Hệ đã cho tương đương với: ( x2 + y2 − xy = 1 (1) x.1 + x2 y = 2y3 . (2) Từ (1) và (2) suy ra: x ( x2 + y2 − xy) + x2 y = 2y3 ⇔ x3 − 2y3 + xy2 = 0. Với y = 0 ⇒ x = 0 : không thỏa mãn hệ.  3 x x 3 Với y 6= 0, chia cả hai vế cho y ta được − 2 + = 0. y y x 3 2 Đặt t = ta có: t + t − 2 = 0 ⇔ (t − 1)(t + t + 2) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ x = y. y ( ( x=y x=y Do đó ta có: ⇔ ⇔ x = y = ±1. x2 + y2 − xy = 1 x2 = 1 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? oM Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang Bài 34. Giải hệ phương trình: 13 ( √ √ x y+y x = 6 x2 y + xy2 = 20 by Mr. Cuo ng T A oM Lời giải. ĐKXĐ: x ≥( 0; y ≥ 0. √ √ √ xy( x + y) = 6 Hệ đã cho tương đương xy( x + y) = 20. (√ xy = u Đặt √ ĐK: u, v > 0. √ x+ y = v  6    ( ( v=  6   uv = 6 u v=3 v= ! (TM) Hệ trở thành ⇔ ⇔ ⇔ u   3 u=2 u2 (v2 − 2u) = 20 2 36   u − 2u = 20 u =8  u2  (√ ( x=4 x=2 (√ (TM)  √  y=1   y=1 xy = 2 Hay √ ⇔ ⇔ √  (√ ( x+ y =3 x = 1   x=1 (TM). √ y=4 y=2  Bài 35. Giải hệ phương trình  Lời giải. Đặt x + y + 2xy = 2 x 3 + y3 = 8 S = x+y P = x.y Điều kiện S2 ≥ 4P.  2−S   P= S + 2P = 2
2   Hệ phương trình đã cho trở thành ⇔ 6 − 3S S S2 − 3P = 8  2  S S − =8 2
⇒ 2S3 + 3S2 − 6S − 16 = 0 ⇔ (S − 2) 2S2 + 7S + 8 = 0 ⇔ S = 2 ⇒ P = 0. Suy ra x,  y là hai nghiệm  của phương trình:X 2 − 2X = 0 ⇔ X = 0, X = 2. x=0 x=2 Kết luận: . hoặc y=2 y=0 ( x3 + xy2 − 10y = 0 Bài 36. Giải hệ phương trình . x2 + 6y2 = 10  Lời giải. Dễ thấy x 6= 0 và y 6= 0. Khi đó, hệ phương trình đã cho tương đương   3 x x 10    + = 2  y y y   2  10 x    +6 = 2 y y  3  2 x x x x Trừ hai phương trình theo vế ta được − + − 6 = 0 hay = 2. Thay vào phương y y y y 2 trình thứ hai của hệ ta được y = 1 hay y = ±1. Từ đó x = ±2. Vậy các nghiệm của hệ phương trình đã cho là (2; 1) và (−2; −1). ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang ( 14 x2 + 2y = xy + 4 √ p ( x, y ∈ R) .T A oM x 2 − x + 3 − x 6 − x = ( y − 3) y − 3 Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Bắc Ninh, 2017. by Mr. Cuo ng Bài 37. Giải hệ phương trình Lời giải. Điều kiện x ≤ 6; y ≥ 3. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với " x=2 ( x − 2)( x + 2 − y) = 0 ⇔ y = x+2 p • Với x = 2, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được 1 = (y − 3)3 ⇔ y = 4. • Với y = x + 2, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được √ √ x 2 − x + 3 = ( x − 1) x − 1 + x 6 − x Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số thực dương ta có √ √ ( x − 1)2 + ( x − 1) x 2 + 6 − x ( x − 1) x − 1 + x 6 − x ≤ + = x2 − x + 3 2 2 ( √ x−1 = x−1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⇔ x = 2 ⇒ y = 4 (thỏa mãn điều √ x = 6−x kiện). Vậy hệ có nghiệm ( x; y) = (2; 4) Chú ý: Có thể trình bày lời giải phương trình trên bằng cách phân tích thành tổng của các bình phương. ( xy + x + y = x2 − 2y2 √ Bài 38. Giải hệ phương trình . p x 2y − y x − 1 = 2( x − y) Trích từ đề thi vào 10 chuyên Hùng Vương, Gia Lai, 2017. Lời giải. Điều kiện x ≥ 1, y ≥ 0. Ta có: xy + x + y = x2 − 2y2 ⇔ ( x + y)( x − 2y − 1) = 0. Do điều kiện x ≥ 1, y ≥ 0 nên x + y > 0, vì vậy (1) ⇔ x = 2y + 1. Do đó  √ p p y = −1 x 2y − y x − 1 = 2( x − y) ⇔ (y + 1)( 2y − 2) = 0 ⇔ y = 2. Kết hợp với điều kiện x ≥ 1, y ≥ 0, ta được nghiệm của hệ phương trình là ( x; y)=(5; 2). ( x2 − 2xy = 2y − x Bài 39. Giải hệ phương trình . x2 + 2x = 9 − y Lời giải. Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có 2 x + x − 2xy − 2y = 0 ⇔ ( x + 1)( x − 2y) = 0 ⇔ ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?  x = −1 x = 2y (1) Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 15 Xét x = −1 thay vào phương trình còn lại ta thu được y = 10. by Mr. Cuo ng " Xét x = 2y thay vào phương trình còn lại ta thu được 4y2 + 5y − 9 = 0 ⇔   9 9 Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm ( x; y) là (−1; 10), (2; 1), − ; − . 2 4    2 2 2   x + y − 4xy − 1 = 4(4 + xy) x − y Bài 40. Giải hệ phương trình . q  p 2 2 x − y + 3 2y − y + 1 = 2y − x + 3 y=1⇒ x=2 oM T A 9 9 . y=− ⇒x=− 4 2 Lời giải. ĐK: x − y > 0 (**). Xét phương trình 2  2 x + y − 4xy 2 −1 x−y ⇔ x2 − 2xy + y2 + 2xy −  = 4(4 + xy) 8xy − 16 = 0 x−y   ⇔ ( x − y) ( x − y)2 − 16 + 2xy( x − y − 4) = 0   ⇔ ( x − y − 4) x 2 + y2 + 4( x − y ) = 0 ⇔ x = y + 4 do (∗∗). Thay x = y + 4 vào phương trình sau ta được q 2y2 − y + 1 − 3 2y2 − y + 1 − 4 = 0 q 2  2y − y + 1 = −1 (loại) ⇔ q 2y2 − y + 1 = 4  5 3 ⇒ x = y = − 2 2 2 ⇔ 2y − y − 15 = 0 ⇔  y=3⇒x=7   3 5 Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm ;− và (7; 3). 2 2 ( x3 + y3 + 1 = 3xy Bài 41. Giải hệ phương trình . x2 + 2xy + 2y2 = 5 Lời giải. Ta có: h i x3 + y3 + 1 = 3xy ⇔ ( x + y + 1) ( x − y)2 + ( x − 1)2 + (y − 1)2 = 0 ⇔ " x+y+1 = 0 x=y=1 • Rõ ràng x = y = 1 là một nghiệm của hệ. • Với x + y + 1 = 0 ta có y = − x − 1 thay vào phương trình còn lại ta được x2 + 2x − 3 = 0. Giải ra ta được x = 1 và x = −3. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 16 Vậy hệ có 3 nghiệm (1; 1), (1; −2), (−3, 2).
√ p x x + 2y − 3 = 0 Bài 42. Giải hệ phương trình: x2 − 6xy − y2 = 6 by Mr. Cuo ng T A oM x Lời giải. Điều kiện xác định: x ≥ 0 và y ≥ − . 2  √ p x x + 2y − 3 = 0 ⇔ ( x=0 x + 2y = 9 • TH1. x = 0 suy ra −y2 = 6 (loại) • TH2. x + 2y = 9 ⇒ x = 9 − 2y. Thay vào ta có: (9 − 2y)2 − 6 (9 − 2y) y − y2 = 6 ⇒ 15y2 − 90y + 75 = 0 ( y = 5 ⇒ x = −1 (loại) ⇒ y = 1 ⇒ x = 7(nhận) Vậy tập nghiệm của hệ là: ( x; y) = (7; 1) ( x2 + y2 − xy + 4y + 1 = 0 Bài 43. Giải hệ phương trình sau: . y(7 − x2 − y2 + 2xy) = 2( x2 + 1) Trích từ đề thi vào 10 chuyên Thái Nguyên, 2017. Lời giải. Ta có: ( x2 + y2 − xy + 4y + 1 = 0 y(7 − x2 − y2 + 2xy) = 2( x2 + 1) ( ⇔ x2 + 1 = −y2 + xy − 4y y(7 − x2 − y2 + 2xy) = 2(−y2 + xy − 4y) ( ⇔ (1) x2 + 1 = −y2 + xy − 4y y[15 − ( x − y)2 − 2( x − y)] = 0. Do y = 0 không thỏa mãn hệ đã cho nên từ (2), ta có: ( x2 + 1 = −y2 + xy − 4y 15 − ( x − y)2 − 2( x − y) = 0   x − y = −5 x−y = 3 ⇔  2 x + 1 = −y2 + xy − 4y  ( x − y = −5   x2 + 1 = −y2 + xy − 4y ⇔ (  x−y = 3 x2 + 1 = −y2 + xy − 4y. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? (2) Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 17 Ta có: by Mr. Cuo ng ( ( ⇔ x − y = −5 x + 1 = −y2 + xy − 4y ( ⇔ T A x = y−5 (y − 5)2 + 1 = −y2 + (y − 5)y − 4y x = y−5 y2 − y + 26 = 0. oM (hệ vô nghiệm) Ta có: ( ( ⇔ x−y = 3 x2 + 1 = −y2 + xy − 4y x = y+3 y2 + 7y + 10 = 0 ( x = y+3 (y + 3)2 + 1 = −y2 + (y + 3)y − 4y  ( x=1   y = −2 ⇔ (  x = −2 y = −5. ⇔ Vậy nghiệm của hệ là (1; −2); (−2; −5).   x + 2 = 2y + 1 x y Bài 44. Giải hệ phương trình . p √ x−1+ 2−y = 1 Trích từ đề thi vào 10, chuyên Vinh vòng 2, 2017. Lời giải. Điều kiện: x ≥ 1, y ≤ 2, y 6= 0. Phương trình đầu tương đương với ( x − 2y = 0 x2 y + 2y = 2y2 + x ⇔ ( x − 2y)( xy − 1) = 0 ⇔ . xy − 1 = 0 Với x = 2y, thay vào phương trình còn lại ta được p p p 2y − 1 + 2 − y = 1 ⇔ 2 (2y − 1)(2 − y) = −y (Vô nghiệm). r √ 1 1 Với y = , thay vào phương trình còn lại ta được x − 1 + 2 − = 1. Vì x ≥ 1 nên x x VT ≥ 1 = VP, do đó x = 1. Vậy hệ có nghiệm ( x; y) = (1; 1). ( x2 − 4xy + x + 4y = 2 Bài 45. Giải hệ phương trình . x 2 − y2 = −3 Lời giải. Ta viết phương trình thứ nhất của hệ như sau x2 + x − 2 − 4xy + 4t = 0 hay ( x − 1)( x + 2) − 4y( x − 1) = 0 Suy ra ( x − 1)( x + 2 − 4y) = 0, dẫn tới x = 1 hoặc x = 4y − 2. Với x = 1 thay vào phương trình thứ hai ta có y = ±2. Với x = 4y − 2 thay vào phương trình thứ hai ta được 15y2 − 16y + 7 = 0. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 18 Ta thấy phương trình này vô nghiệm. Vậy nghiệm của hệ là ( x; y) = (1; ±2).  q √   4 x + 1 − xy y2 + 4 = 0 . Bài 46. Giải hệ phương trình: q √   x2 − xy2 + 1 + 3 x − 1 = xy2 ( Lời giải. Điều kiện x≥1 x2 − xy2 + 1 ≥ 0 by Mr. Cuo ng T A oM , kết hợp với phương trình (1), ta có: y > 0. Từ p √(1), ta có: p √ 4 x + 1 − xy y2 + 4 = 0 ⇔ 4 x + 1 = xy y2 + 4 ⇔ 16( x + 1) = x2 y2 (y2 + 4) ⇔ (y4 + 4y2 ) x2 − 16x − 16 = 0. −4 4 < 0 (loại). Giải phương trình theo ẩn x ta được x = 2 hoặc x = 2 y y +4 √ √ 4 Với x = 2 ⇔ xy2 = 4 thế vào phương trình (2), ta được: x2 − 3 + 3 x − 1 = 4. y √ Điều kiện x ≥ p √3, ta có: 2 x −3+3 x−1 = 4 p √ ⇔( x2 − 3 − 1) + 3( x − 1 − 1) = 0 x2 − 4 3( x − 2) +√ =0 x−1+1 − 3+ 1  x+2 3 ⇔( x − 2) √ +√ =0 2−3+1 x−1+1 x   3 x+2 > 0 ⇔ x = 2. +√ ⇔ x − 2 = 0 vì √ 2 x−1+1 ( x −3+1 √ y2 = 2 ⇔ y = 2. Kết hợp với điều kiện trên, hệ phương trình có nghiệm Với x = 2 ta có y>0 √ (2, 2). ( x2 − 2y2 = xy + x + y √ Bài 47. Giải hệ phương trình p x 2y − y x − 1 = 4x − 4y. ⇔√ x2 Lời giải. Điều kiện x ≥ 1; y ≥ 0. Phương trình thứ nhất trong hệ tương đương với " x2 − xy − 2y2 − ( x + y) = 0 ⇔ ( x + y)( x − 2y − 1) = 0 ⇔ x = −y x = 2y + 1  Trường hợp 1: x = −y Từ điều kiện của bài toán x ≥ 1 ⇒ −y ≥ 1 ⇔ y ≤ −1. Mặt khác y ≥ 0. Do đó hệ vô nghiệm.  Trường hợp 2: x = 2y + 1, thay vào phương trình thứ 2 trong hệ ta được p p (2y + 1) 2y − y 2y = 4(2y + 1) − 4y p ⇔(y + 1) 2y = 4(y + 1) p ⇔ 2y = 4(do y + 1 > 0) ⇔ y = 8 Khi đó hệ có nghiệm ( x; y) = (17; 8). ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang ( Bài 48. Giải hệ phương trình 19 x2 + xy − 2y2 = 0 (1) xy + 3y2 + x = 3 by Mr. Cuo ng T A (2) oM
Lời giải. Phương trình (1) ⇔ x2 − y2 + y( x − y) = 0 ⇔ ( x − y) ( x + 2y) = 0, ta được x = y hoặc x = −2y 3 • Với x = y, từ (2) ta có: 4x2 + x − 3 = 0, ta được x1 = −1, x2 = . Khi đó, x1 = y1 = 4 3 −1, x2 = y2 = . 4 • Với x = −2y, từ (2) ta có y2 − 2y − 3 = 0, ta được y1 = −1, y2 = 3 Nếu y = −1 ⇒ x = 2. Nếu y = 3 ⇒ x = −6.   3 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là: (−1; −1); ; ; (2; −1); (−6; ). 4 4 ( x2 + y2 + xy = 1 Bài 49. Giải hệ phương trình . 2x6 − 1 = xy(2x2 y2 − 3) Lời giải. Ta có 6 2 2 6  2 2  2x − 1 = xy(2x y − 3) ⇔ 2x = 2xy x y − 1 − xy + 1   ⇔ 2x6 = ( xy − 1) 2x2 y2 + 2xy − 1 h i ⇔ 2x6 = ( xy − 1) 3x2 y2 − ( xy − 1)2   2  6 2 2 2 2 2 2 ⇔ 2x = (− x − y ) 3x y − x + y do x2 + y2 + xy = 1 ⇔ 2x6 = x6 + y6 " x=y ⇔ x 6 = y6 ⇔ x = −y. √ Với x = y ta có 3x2 = 1 nên hệ phương trình có hai nghiệm √ ! 3 3 ; và 3 3 √ √ ! 3 3 − ;− . 3 3 Với x = −y ta có x2 = 1 nên hệ phương trình có hai nghiệm (1; −1) và (−1; 1).  q  x2 + 4y − 13 + ( x − 3) x2 + y − 4 = 0 Bài 50. Giải hệ phương trình: .  ( x + y − 3)√y + (y − 1)p x + y + 1 = x + 3y − 5   y ≥ 0 Lời giải. Điều kiện: x + y + 1 ≥ 0 .   2 x +y−4 ≥ 0 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 20 Phương trình thứ hai của hệ tương đương với p T A √ ( x + y − 3)( y − 1) + (y − 1)( x + y + 1 − 2) = 0 ( x + y − 3)(y − 1) ( x + y − 3)(y − 1) ⇔ + p =0 √ y+1 x+y+1+2 ! " y=1 1 1 . ⇔ ( x + y − 3)(y − 1) √ +p =0⇔ y+1 y = 3−x x+y+1+2 by Mr. Cuo ng oM Với y = 1, thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được p ( x2 − 9) + ( x − 3) x2 − 3 = 0, Hay " ( x − 3)( x + 3 + p x 2 − 3) = 0 ⇔ x−3 = 0 p . x + 3 + x2 − 3 = 0 Thay y = 3 − x vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: p x2 − 4x − 1 + ( x − 3) x2 − x − 1 = 0, Hay "p ( x 2 − x − 1) − (3 − x ) p x2 − x − 1 − 3x = 0 ⇔ x2 − x − 1 = 3 x2 − x − 1 = − x . √ 5 + 41 Giải các phương trình này ta được x = ⇒y= và x = −1 ⇒ y = 4. 2√ 2 √ ! 1 − 41 5 + 41 Vậy nghiệm của hệ là (3; 1), (−1; 4), ; . 2 2 ( p x + y = x + 3y Bài 51. Giải hệ phương trình x2 + y2 + xy = 3. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên KHTN Hà Nội vòng 2, 2017. 1− √ p 41 Lời giải. Điều kiện xác định : x + y ≥ 0, x + 3y ≥ 0. ( ( ( p ( x − 3)(y − 1) = 0 x2 + y2 + 2xy = x + 3y x + y = x + 3y ⇔ ⇔ 2 2 2 2 x2 + y2 + xy = 3 x + y + xy = 3 x + y + xy = 3 • Với x = 3, y2 + 3y + 6 = 0 (vô nghiệm). • Với y = 1, x2 + x − 2 = 0 ⇔ x = 1, x = −2, ta loại nghiệm x = −2 do x + y = −2 + 1 < 0. Vậy nghiệm của hệ là ( x; y) = (1; 1). ( √ 5x + x + 12 − 2y = −2 (1) √ Bài 52. Giải hệ phương trình 2x + 6 x + 12 + 3y = −3 (2) Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang, 2017. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?