Tài liệu Phương trình truyền nhiệt một chiều

  • Số trang: 79 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 346 |
  • Lượt tải: 1
nhattuvisu

Đã đăng 27125 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN KHẮC THÀNH PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT MỘT CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN KHẮC THÀNH PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT MỘT CHIỀU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN - 2014 1 Mục lục Mở đầu 1 1 Cơ sở nhiệt học và phương trình truyền nhiệt 1.1 Khái niệm về nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Nhiệt năng-Nhiệt lượng . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Nhiệt năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Nhiệt lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Trao đổi nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Dòng nhiệt- Định luật Fourier . . . . . . . . . . . 1.3.1 Dòng nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Định luật Fourier . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Các nguyên lý của nhiệt động lực học . . . . . . 1.4.1 Nguyên lý thứ nhất . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Nguyên lý thứ hai . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Nguyên lý thứ ba . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Phương trình truyền nhiệt và các bài toán . . . 1.5.1 Thành lập phương trình . . . . . . . . . . 1.5.2 Các điều kiện biên và điều kiện đầu . . . 1.5.3 Bài toán đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . 2 Chuỗi Fourier và các bài toán Sturm-Liouville 2.1 Chuỗi Fourier thông thường . . . . . . . . . . . 2.1.1 Khái niệm về chuỗi Fourier . . . . . . . 2.1.2 Hội tụ của chuỗi Fourier . . . . . . . . . 2.2 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier- Sin . . 2.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Hội tụ của chuỗi Fourier trong L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 5 5 6 7 7 7 7 7 8 8 9 9 10 10 . . . . . . . 12 12 12 13 13 13 14 15 2 2.4 2.5 2.3.1 Dãy trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval . Khái niệm về bài toán Sturm-Liouville . . . . . . 2.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . Một số ví dụ về hàm riêng và trị riêng cho toán hai trên khoảng hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Các ví dụ đơn giản . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Các ví dụ phức tạp hơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tử vi phân cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 19 19 21 . 22 . 22 . 25 3 Phương trình truyền nhiệt trên khoảng hữu hạn 3.1 Tích phân năng lượng và tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . 3.1.1 Tích phân năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Tính duy nhất nghiệm của phương trình truyền nhiệt . . . 3.2 Nguyên lý cực trị đối với phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . 3.2.1 Bài toán Dirichlet cho phương trình truyền nhiệt . . . . . 3.2.2 Nguyên lý cực trị đối với phương trình truyền nhiệt của thanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Một số kết quả khác liên quan đến nguyên lý cực trị của phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Phương trình thuần nhất (Truyền nhiệt trong thanh hữu hạn) . . 3.4 Truyền nhiệt trong hình trụ tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Nguyên lý Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Phương trình truyền nhiệt không thuần nhất trên khoảng hữu hạn với các điều kiện biên thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Trường hợp phương trình và các điều kiện biên không thuần nhất 3.8 Những thay đổi của bài toán truyền nhiệt cơ bản . . . . . . . . . . 3.8.1 Điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2 Giải bài toán truyền nhiệt với điều kiện biên không thuần nhất (độc lập thời gian) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 30 30 31 31 31 32 34 37 43 45 45 46 46 52 54 54 56 4 Phương pháp biến đổi Fourier giải bài toán Cauchy của phương trình truyền nhiệt 58 4.1 Định nghĩa biến đổi Fourier và các tính chất . . . . . . . . . . . . 58 3 4.2 4.3 4.4 4.1.1 Biến đổi Fourier trong L1 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Các tính chất của biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Biến đổi Fourier trong L2 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . Tính duy nhất nghiệm của phương truyền nhiệt trong thanh dài vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài toán Cauchy cho phương truyền nhiệt trong thanh dài vô hạn 4.3.1 Công thức Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt . . . . . . . Bài toán Cauchy của phương trình truyền nhiệt không thuần nhất 58 59 61 62 64 64 68 69 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có mối quan hệ trực tiếp về lý thuyết với các bài toán vật lý. Quá trình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng thường gặp trong vật lý đã dẫn tới việc hình thành một ngành mới của giải tích, phương trình vật lý toán vào giữa thế kỷ XVIII. Các phương pháp nghiên cứu và giải quyết các bài toán cụ thể của vật lý toán đối với các bài toán về phương trình truyền nhiệt có ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển tổng quát phương trình đạo hàm riêng vào cuối thế kỷ XIX. Điển hình là phương pháp biến đổi Fourier để giải bài toán Cauchy của phương trình truyền nhiệt của nhà toán học và nhà vật lý nổi tiếng người Pháp Joseph Fourier (21/3/1768 - 16/5/1830). Bên cạnh đó, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng cũng có mối quan hệ mật thiết với các ngành toán học khác như giải tích hàm và lý thuyết hàm, tô pô, đại số, giải tích phức. Một mặt lý thuyết phương trình đạo hàm riêng sử dụng rộng rãi các khái niệm cơ bản, phương pháp của các lĩnh vực toán học này, mặt khác nó cũng ảnh hưởng lại các vấn đề và hướng nghiên cứu của chúng. Phương trình truyền nhiệt là một trong những phương trình cơ bản và quan trọng của lý thuyết các phương trình đạo hàm riêng và vật lý toán. Phương trình truyền nhiệt mô tả các hiện tượng về sự truyền nhiệt trong các vật, sự khuếch tán của các phân tử không khí, sự truyền tải các tạp chất trong khí quyển, v.v.., và thuộc dạng parabolic. Các bài toán đối với các phương trình thuộc dạng parabolic thường là rất khó vì cùng với các biến không gian nó còn chứa biến thời gian, nhất là các phương trình nhiều chiều, hay phi tuyến. Do tính phức tạp nói trên, nhiều tính chất quan trọng và lý thú của nghiệm các phương trình truyền nhiệt chủ yếu được phát hiện đối với phương trình truyền nhiệt cấp hai và có số chiều thấp. Một số hiện tượng nhiệt có số chiều bất kỳ có thể được nghiên cứu một cách tương tự như đối với trường hợp một chiều. Trong thực tế có nhiều hiện tượng của cơ học và vật lý được mô tả dưới dạng phương trình truyền nhiệt tuyến tính cấp hai một chiều. Do đó việc tìm hiểu 2 sâu hơn về phương trình truyền nhiệt thông qua phương trình truyền nhiệt cấp hai một chiều là cần thiết. Đó chính là đề tài học tập và nghiên cứu của luận văn này. 2. Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm và đọc các tài liệu, giáo trình trong nước và quốc tế liên quan đến phương trình truyền nhiệt và phương pháp giải phương trình truyền nhiệt. 3. Mục đích của luận văn Mục đích của luận văn là học tập, nghiên cứu sâu hơn về phương trình truyền nhiệt và trình bày lý thuyết của phương trình truyền nhiệt không gian một chiều với các vấn đề liên quan như: Cơ sở nhiệt học và phương trình truyền nhiệt; chuỗi Fourier và các bài toán Sturm-Liouville; phương trình truyền nhiệt trên khoảng hữu hạn và phương pháp biến đổi Fourier giải bài toán Cauchy của phương trình truyền nhiệt. 4. Bố cục của luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, bốn chương nội dung chính, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1: Cơ sở nhiệt học và phương trình truyền nhiệt Chương này trình bày các khái niệm về nhiệt độ, nhiệt năng, các nguyên lý của nhiệt động lực học; giới thiệu Định luật Fourier về dòng nhiệt, trên cơ sở đó thành lập phương trình truyền nhiệt; trình bày các bài toán biên-giá trị ban đầu đối với phương trình truyền nhiệt. Chương 2: Chuỗi Fourier và các bài toán Sturm-Liouville Chương này trình bày những kiến thức bổ trợ cần thiết cho các vấn đề như: Chuỗi Fourier và khai triển chuỗi Fourier theo các hàm riêng của các bài toán Sturm-Liouville có nhiều ứng dụng trong phương pháp tách biến giải các bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng. Chương 3: Phương trình truyền nhiệt trên khoảng hữu hạn Trong chương này trình bày phương trình truyền nhiệt cấp hai một chiều thuần nhất và không thuần nhất. Những vấn đề cơ bản được đề cập trong tích phân năng lượng và ứng dụng vào chứng minh tính duy nhất nghiệm của phương trình truyền nhiệt, nguyên lý cực trị và các ứng dụng. Nội dung chính của chương này là trình bày phương pháp tách biến giải các bài toán biên của phương trình truyền nhiệt thuần nhất và không thuần nhất trên khoảng hữu hạn. Nội dung của chương trình bày nhiều ví dụ cụ thể để minh họa. 3 Chương 4: Phương pháp biến đổi Fourier giải bài toán Cauchy của phương trình truyền nhiệt Chương này trình bày lý thuyết tóm lược của biến đổi Fourier trong các không gian L1 (R) và L2 (R). Nội dung chính của chương này là vận dụng biến đổi Fourier giải bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất mà mấu chốt là công thức Poisson. Tiếp đó là trình bày công thức nghiệm và tính trơn của nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt không thuần nhất. Nội dung của luận văn này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1] - [7] dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của Thầy Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy! Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô của trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, các thầy cô giảng dạy lớp cao học Toán K6D trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, Phòng đào tạo trường Đại học Khoa học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này! Thái Nguyên, ngày 15 tháng 4 năm 2014 Tác giả Đoàn Khắc Thành 4 Chương 1 Cơ sở nhiệt học và phương trình truyền nhiệt Chương này trình bày cơ sở nhiệt học và phương trình truyền nhiệt. Các kiến thức của chương này chủ yếu được trích ra từ tài liệu [5]. 1.1 Khái niệm về nhiệt độ Nhiệt phát sinh từ nhiều nguồn, thí dụ như, lửa, ánh sáng, điện hay khi va chạm, hoặc cọ xát giữa các vật. Nhiệt độ là một khái niệm vật lý dùng để mô tả cảm nhận nhiệt của một vật khi nó tiếp xúc với nguồn nhiệt, được dùng để đo mức độ nhiệt. Thí dụ, như buổi trưa ta cảm thấy ấm do cơ thể hấp thụ năng lượng nhiệt từ ánh sáng mặt trời. Nhiệt độ là đơn vị đo lường cho biết mức độ nhiệt đo bằng đơn vị độ (o ). Có ba hệ thống đo lường nhiệt độ: nhiệt độ C(Celsius), nhiệt độ K (Kelvin) và nhiệt độ F (Farenheit). Các hệ thống nhiệt độ này được chuyển đổi như sau: 1K = 1o C, K =o C + 273, o F =o C × 1, 8 + 32. • Vào năm 1742, nhà thiên văn học người Thụy Điển là Anders Celsius đề xuất một thang nhiệt độ, trong đó băng tan ở Oo và nước sôi ở 100o . Người ta gọi thang nhiệt độ này là thang bách phân vì có 100 độ chia giữa hai điểm cố định đã nói. Nhiệt độ trên thang độ này là o C. Nhược điểm của thang nhiệt Celsius là nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ đóng băng trên lý thuyết của nước có giá trị âm. •. Độ Fahrenheit được nghĩ ra vào đầu Thế kỷ XVIII. Trên thang đo này, điểm băng là 32o và điểm hơi nước là 212o . Thang đo Farenheit thỉnh thoảng vẫn được sử dụng trên bản tin thời tiết ở Mĩ, còn trong khoa học nó đã thuộc về lịch sử. • Vào năm 1846, William Thomson (sau này là huân tước Kelvin, nước Anh) 5 đề xuất một thang đo nhiệt độ bắt đầu tại nhiệt độ thấp nhất có thể có trên lý thuyết, độ không tuyêt đối. Thang đo nhiệt này được gọi là nhiệt giai tuyệt đối, hay nhiệt giai Kelvin. Các độ chia trên thang đo này được gọi là Kelvin và được ký hiệu là K (không phải là o K ). Một độ chia Kelvin bằng cỡ với một độ chia Celsius, tức là K =o C. 1.2 1.2.1 Nhiệt năng-Nhiệt lượng Nhiệt năng Nhiệt năng, hay còn gọi là nhiệt, là dạng năng lượng dự trữ trong vật chất nhờ vào sự chuyển động hỗn loạn của các hạt vật chất cấu tạo nên vật. Trong vật chất, các phân tử chuyển động hỗn loạn không ngừng, do đó chúng có động năng. Động năng này bao gồm động năng chuyển động của khối tâm của các phân tử, cộng với động năng trong dao động của các nguyên tử cấu tạo nên phân tử quanh khối tâm của chúng. Nhiệt năng có quan hệ chặt chẽ với nhiệt độ. Nhiệt độ của vật càng cao thì các phân tử cấu tạo nên vật chuyển động càng nhanh, nên nhiệt năng của vật càng lớn. Nhiệt năng có thể được trao đổi giữa các vật, hay giữa các hệ thống do sự khác biệt về nhiệt độ. Nhiệt cũng giống như công, luôn gắn liền với các quá trình biến đổi. Vì vậy có thể coi nhiệt là một đại lượng quá trình, khác với các đại lượng trạng thái. 1.2.2 Nhiệt lượng Nhiệt năng có thể được tạo ra hoặc thay đổi. Lượng nhiệt năng dự trữ hay chuyển tải trên các vật còn được gọi là nhiệt lượng và thường được ký hiệu trong các tính toán bằng chữ Q. Nhiệt lượng chỉ truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp hơn. Giả sử một vật đồng chất có nhiệt độ To , khi hấp thụ nhiệt, nhiệt độ của vật sẽ là T. Thay đổi nhiệt độ trên vật là ∆T = T − To . Nếu khối lượng của vật là m(kg), nhiệt dung riêng của chất làm vật là c(J/kgK). Khi đó vật sẽ hấp thụ một nhiệt lượng là: Q = cm∆T (J). (1.1) Dạng vi phân của nhiệt lượng dQ = cmdT. (1.2) 6 1.2.3 Trao đổi nhiệt Trao đổi nhiệt là sự truyền nhiệt năng khi có sự chênh lệch nhiệt độ. Lượng nhiệt năng trong quá trình trao đổi nhiệt được gọi là nhiệt lượng và là một quá trình biến thiên. Quá trình trao đổi nhiệt diễn ra theo hướng đến vùng lạnh hơn. Cân bằng nhiệt là sự trao đổi nhiệt giữa hai hay nhiều vật tham gia quá trình trao đổi nhiệt cho đến khi đạt được cùng một nhiệt độ chung. Trao đổi nhiệt được diễn ra dưới ba hình thức: dẫn nhiệt, đối lưu nhiệt và bức xạ nhiệt. • Dẫn nhiệt (tán xạ nhiệt) là sự truyền động năng giữa các nguyên tử hay phân tử lân cận mà không kèm theo sự trao đổi phần tử vật chất. Hình thức trao đổi nhiệt luôn diễn ra từ vùng có năng lượng cao hơn (với nhiệt độ cao hơn) đến vùng có mức năng lượng thấp hơn (với nhiệt độ thấp hơn). Sự truyền nhiệt trong kim loại thông qua sự chuyển động của các electron tự do và cấu trúc của mạng tinh thể cũng là sự dẫn nhiệt. Trong các chất khí và chất lỏng, dẫn nhiệt là sự va chạm và khuếch tán của các phân tử chuyển động ngẫu nhiên của chúng. Trong một quy mô nhỏ, dẫn nhiệt xảy ra khi các phân tử, nguyên tử hay các hạt nhỏ hơn (như electron) ở vùng nóng, dao động nhanh tương tác với các hạt lân cận (ở vùng lạnh hơn, dao động chậm hơn), chuyển giao một số động năng sang các hạt dao động chậm. Nói cách khác, sức nóng được trao đổi giữa các nguyên tử hay phân tử lân cận khi chúng dao động và va chạm với nhau. • Đối lưu nhiệt là quá trình trao đổi nhiệt được thực hiện nhờ sự chuyển động của các chất lỏng hay khí giữa các vùng có nhiệt độ khác nhau, hoặc sự truyền nhiệt từ một hệ rắn sang một hệ lỏng (hoặc khí, gọi chung là chất lưu) và ngược lại. Người ta phân biệt giữa đối lưu tự nhiên (dòng vật chất chuyển động trong chất lưu) và đối lưu cưỡng bức (dòng chuyển động do ngoại lực tác động, ví dụ như quạt, bơm, v.v..) • Bức xạ nhiệt là sự trao đổi nhiệt thông qua sóng điện từ. Bức xạ nhiệt có thể truyền qua mọi loại vật chất cũng như qua chân không. Tất cả các vật thể có nhiệt độ lớn hơn độ không tuyệt đối (0 Kelvin) đều bức xạ nhiệt. Trong bức xạ nhiệt, dòng nhiệt không chỉ truyền từ nơi nóng sang nơi lạnh mà còn theo chiều ngược lại. Tuy nhiên, vì dòng nhiệt từ nóng sang lạnh luôn mạnh hơn dòng nhiệt từ lạnh sang nóng, nên dòng nhiệt tổng hợp luôn theo chiều từ nóng sang lạnh. Trong bức xạ nhiệt, dòng nhiệt được tính thông qua Định luật Stefan-Boltzmann. 7 Lý thuyết về sự trao đổi nhiệt có ứng dụng rất lớn trong hoạt động của nhiều thiết bị và hệ thống. Một vài ví dụ: tản nhiệt cho động cơ điện, sưởi ấm trong mùa đông, thiết bị truyền dẫn v.v.. 1.3 Dòng nhiệt- Định luật Fourier Định luật Fourier là định luật cơ bản cho hiện tượng dẫn nhiệt. Trước hết ta cần khái niệm về dòng nhiệt. 1.3.1 Dòng nhiệt Q J × n ( 2 ), (1.3) S.s m .s trong đó n là véc tơ pháp tuyến đơn vị của mặt S có chiều dương là chiều của q= dòng nhiệt năng chuyển qua mặt này. Sau này ta dùng nét đậm để ám chỉ các véc tơ và ma trận, ví dụ, như q = ~q. 1.3.2 Định luật Fourier Định luật Fourier: Nhiệt lượng trong thời gian ∆t chuyển qua diện tích đủ nhỏ ∆S bên trong vật được xác định theo thông thức ∆Q = −K(x, u) ∂u .∆S∆t ∂n (1.4) trong đó n là pháp tuyến đơn vị của ∆S hướng theo hướng truyền nhiêt, K(x, u) là hệ số dẫn nhiệt, u(x, t) là nhiệt độ ở tại điểm x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn ở thời điểm t. Độ dẫn nhiệt K thường được coi là hằng số, nhưng thực tế nó có thể thay đổi nhỏ theo nhiệt độ và các yếu tố khác. Trong vật liệu không đẳng hướng, độ dẫn nhiệt có thể thay đổi theo hướng. Trong vật liệu không đồng nhất, độ dẫn nhiệt K thay đổi theo điểm trong vật. 1.4 Các nguyên lý của nhiệt động lực học 1.4.1 Nguyên lý thứ nhất Nguyên lý thứ nhất, hay Định luật 1 của nhiệt động lực học, chính là định luật bảo toàn năng lượng áp dụng vào hiện tượng nhiệt. 8 Độ biến thiên nội năng của hệ bằng tổng công và nhiệt lượng mà hệ nhận được ∆U = A + Q (1.5) với các quy ước về dấu của các đại lượng như sau • Q > 0 : hệ nhận nhiệt lượng, • Q < 0 : hệ truyền nhiệt lượng, • A > 0 : hệ nhận công, • A < 0 : hệ thực hiện công. 1.4.2 Nguyên lý thứ hai Nguyên lý thứ hai, hay Định luật 2 của thuyết động lực học còn được gọi là nguyên lý về entropy, liên quan đến tính không thể đảo ngược của một quá trình nhiệt động lực học và đề ra khái niệm entropy. Nguyên lý này phát biểu rằng entropy của một hệ kín chỉ có hai khả năng: hoặc là tăng lên, hoặc là giữ nguyên. Từ đó dẫn đến định luật là không thể chuyển từ trạng thái " mất trật tự" sang trạng thái "trật tự", nếu như không có sự can thiệp từ bên ngoài. Một cách khác, nguyên lý phát biểu là Một hệ lớn và không trao đổi năng lượng với môi trường sẽ có entropy luôn tăng hoặc không đổi theo thời gian. Mọi dẫn truyền hoặc biến đổi năng lượng đều làm tăng entropy của vũ trụ. Vì entropy là mức độ hỗn loạn của hệ, nguyên lý này nói rằng, vũ trụ sẽ ngày càng hỗn loạn hơn. Cơ học thống kê đã chứng minh rằng Định luật này là một Định lý đúng cho mọi hệ lớn và trong một thời gian dài. Đối với hệ nhỏ và thời gian ngắn, có thể có những thay đổi ngẫu nhiên không tuân theo Định luật 2. Nói cách khác, không như Định luật 1, các định luật vật lý chi phối thế giới vi mô chỉ tuân theo Định luật 2 một cách gián tiếp và có tính thống kê. Người phát hiện ra nguyên lý trên đây là nhà vật lý người Phổ là Rudolf Clausius. 1.4.3 Nguyên lý thứ ba Nguyên lý thứ ba, hay nguyên lý Nernst của nhiệt động lực học còn được gọi là nguyên lý "độ không tuyệt đối" đã từng được bàn cãi nhiều nhất, gắn liền với sự tụt xuống của một trạng thái lượng tử cơ bản khi nhiệt độ của của hệ tiến đến giới hạn của độ không tuyệt đối. Định luật này được phát biểu như sau. Trạng thái của mọi hệ sẽ không thay đổi tại nhiệt độ không tuyệt đối. 9 1.5 Phương trình truyền nhiệt và các bài toán 1.5.1 Thành lập phương trình Để thành lập phương trình truyền nhiệt, ta tưởng tượng xét một thể tích Ω đủ nhỏ được giới hạn bởi mặt kín S. Theo Định luật Fourier, nhiệt lượng chuyển vào Ω qua mặt S trong khoảng thời gian [t1 , t2 ] là Z t2 Z Z t2 Z dt t1 K S ∂u ds = ∂n dt t1 div(Kgradu)dx. Ω Nếu f (x, t) là mật độ của nguồn nhiệt, thì nhiệt lượng do nó sinh ra trong Ω trong khoảng thời gian nói trên sẽ là Z t2 Z dt t1 F (x, t)dx. Ω Tổng nhiệt lượng chuyển vào Ω được tính theo công thức Z Z t2 Z Cρ[u(x, t2 ) − u(x, t1 )]dx = dt t1 Ω Cρ Ω ∂u dx, ∂t trong đó C(x) và ρ(x) tương ứng là nhiệt dung riêng và mật độ khối của chất tạo nên thể tích Ω. Do đó ta có Z t2 Z   ∂u dt Cρ − div(Kgradu) − F (x, t) dx = 0. (1.6) t1 ∂t Ω Do tính tùy ý của Ω và khoảng thời gian [t1 , t2 ], từ (1.6) suy ra Cρ ∂u − div(Kgradu) = F (x, t). ∂t (1.7) Nếu hệ số dẫn nhiệt K không phụ thuộc vào nhiệt độ u, K(x, u) = K(x), thì phương trình (1.7) sẽ là phương trình tuyến tính. Nếu vật liệu là đồng nhất, thì C(x) = const, ρ(x) = const, K = const và phương trình (1.7) sẽ có dạng ut − a2 ∆u = f, (1.8) trong đó r K K a2 = , a= - hệ số khuếch tán nhiệt. Cρ Cρ F (x, t) f = f (x, t) = - đặc trưng cho nguồn nhiệt. Cρ Các phương trình (1.7) hay (1.8) được gọi là phương trình truyền nhiệt. 10 1.5.2 Các điều kiện biên và điều kiện đầu Ngoài phương trình truyền nhiệt, nhiệt độ u(x, t) còn phải thỏa mãn các điều kiện sau đây. • Điều kiện đầu u|t=0 = ϕ(x), x ∈ Ω (1.9) cho biết nhiệt độ ban đầu của vật. Ngoài điều kiện đầu (1.9), còn có một trong các điều kiện trên biên ∂Ω của miền Ω sau đây. • Biết nhiệt độ trên biên (1.10) u|∂Ω = ψ • Biết thông lượng nhiệt qua biên K ∂u =q ∂ν ∂Ω (1.11) trong đó q là thông lượng nhiệt qua biên của miền, ν là pháp tuyến ngoài. • Cách nhiệt với môi trường bên ngoài ∂u K =0 ∂ν ∂Ω (1.12) • Trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài theo quy luật Newton ∂u K = α(u − u1 ) hay ∂ν ∂Ω ∂Ω  ∂u ∂ν  + hu ∂Ω = ϕ1 , (1.13) α là hệ số trao đổi nhiệt với môi trường, u1 là nhiệt độ của môi trường. 1.5.3 Bài toán đặt chỉnh Ta nói một mô hình toán học hay phương trình hay bài toán là đặt chỉnh nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau: 1. (Tồn tại nghiệm): Mô hình toán học có ít nhất 1 nghiệm. Giải thích vật lý: hệ tồn tại ít nhất trong khoảng thời gian hữu hạn. 11 2. (Nghiệm duy nhất): Mô hình toán học chỉ có 1 nghiệm. Giải thích vật lý: các trạng thái ban đầu đồng nhất thì cùng dẫn tới một kết quả. 3. (Phụ thuộc tham số liên tục): Nghiệm của mô hình toán học phụ thuộc một cách liên tục điều kiện ban đầu và tham số. Giải thích vật lý: thay đổi nhỏ trong trạng thái ban đầu (hay tham số) của hệ sinh ra thay đổi nhỏ của kết quả. Nếu một bài toán giá trị ban đầu hay bài toán giá trị biên ban đầu (ví dụ bài toán truyền nhiệt) thỏa mãn 1, 2, 3 thì nó giả định đúng. 12 Chương 2 Chuỗi Fourier và các bài toán Sturm-Liouville Chương này trình bày cơ sở lý thuyết về chuỗi Fourier đối với các hàm lượng giác và những ứng dụng giải các bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng trong miền hữu hạn. Các kiến thức của chương này chủ yếu được trích ra từ tài liệu [1]. 2.1 Chuỗi Fourier thông thường 2.1.1 Khái niệm về chuỗi Fourier Với hàm f ∈ L1 [−π, π], nghĩa là f khả tích Lesbesgue trên [−π, π], ta định nghĩa chuỗi Fourier của f là chuỗi hàm lượng giác như sau ∞ a0 X + (an cos x + bn sin nx), 2 (2.1) n=1 trong đó 1 an = π Zπ f x0 cos nx0 dx0 , n = 0, 1, 2, ...  −π Zπ 1 bn = π f x0 sin nx0 dx0 , n = 1, 2, ...  (2.2) −π Chuỗi (2.1) được gọi là chuỗi lượng giác của hàm f (x) và mối quan hệ trên đây được ký hiệu là ∞ a0 X f (x) ∼ 2 + (an cos x + bn sin nx). n=1 13 Lưu ý rằng ký hiệu ∼ không mang ý nghĩa gì về sự hội tụ của chuỗi trên, đơn giản là nó chỉ mối liên hệ (2.1)- (2.2) mà thôi. Nếu f tuần hoàn với chu kỳ 2π , ta có định nghĩa chuỗi Fourier của f tương tự như trên. Trong đó các hệ số an , bn được tính trên mỗi đoạn tùy ý [a, a + 2π]. Nếu f tuần hoàn với chu kỳ 2l, bằng phép đổi biến t = πx l , ta đưa về trường hợp tuần hoàn với chu kỳ 2π . Để ý rằng vì f ∈ L1 [−π, π] nên các tích phân trong (2.2) tồn tại. 2.1.2 Hội tụ của chuỗi Fourier Ta nói hàm f (x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên một khoảng hữu hạn, nếu nó có biến phân hữu hạn và có một số hữu hạn các điểm cực trị trên khoảng đó. Định nghĩa 2.1. (Điều kiện Dirichlet). Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên (a, b). Các điều kiện sau đây được gọi là điều kiện Dirichlet (i) Tồn tại f (a+ ), f (b− ) và f có biến phân bị chặn trên [a, b]. (ii) Có nhiều nhất là hữu hạn các điểm thuộc đoạn [a, b] sao cho khi bỏ đi các lân cận bé tùy ý của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần còn lại của đoạn [a, b], hơn nữa f ∈ L1 (a, b). Định lý 2.1. Cho f ∈ L1 [−π, π]. Nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong (−π, π) thì chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ về f (x) tại các điểm x ∈ (−π, π) mà tại đó hàm f liên tục, hội tụ về       1 + + f x− nếu x là điểm gián đoạn thông thường, hội tụ về 12 f −π + + f π − 2 f x   tại x = ±π nếu f π − và f −π + tồn tại. 2.2 2.2.1 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier- Sin Khái niệm Cho f ∈ L1 [0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π). Ta định nghĩa f trên (−π, 0) bằng công thức f (x) = f (−x) . Khi đó, f ∈ L1 [−π, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (−π, π) vì vậy có thể 14 áp dụng kết quả phần trên. Ngoài ra, do f là hàm chẵn 1 a0 = π Zπ f x0 dx0 ,  0 2 π an = Zπ f x0 cosnx0 dx0 ,  0 bn = 0, n = 1, 2, ... Ta có định lý sau [1] Định lý 2.2. Cho f ∈ L1 [0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π). Khi đó ta có chuỗi cosin 1 π Zπ π Z ∞ X  2 f x dx0 + cos nx f x0 cos nx0 dx0 π  0 n=1 0 (2.3) 0   tại những điểm x ∈ (0, π) mà f x+ và f x− tồn hội tụ về 2 f x + f x    tại, hội tụ về f 0+ tại x = 0 nếu f 0+ tồn tại, hội tụ về f π − tại x = π nếu  f π − tồn tại.  1  +  − Định lý 2.3. Cho f ∈ L1 [0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π). Khi đó, ta có chuỗi sin Zπ ∞  2X sin nx f x0 sin nx0 dx0 (2.4) π n=1 0   hội tụ về 2 f x + f x tại những điểm x ∈ (0, π) mà f x+ và f x− tồn tại; hội tụ về 0 tại x = 0 hay x = π .  1 2.2.2  +  − Sự hội tụ Định lý 2.4. Cho f ∈ L1 [0, π]. Giả sử rằng f bị chặn, thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (−π, π). Giả sử f liên tục trên khoảng (u, v) ⊂ (−π, π). Khi đó, chuỗi Fourier của f hội tụ đều về f trên một đoạn bất kỳ [a, b] ⊂ (u, v) . Ví dụ 2.1. Với f (x) = x, 0 ≤ x ≤ 2π thì 1 a0 = π Z2π 0 x0 dx0 = 2π 15 Z2π 1 an = π x0 cos nx0 dx0 = 0, n ≥ 1 0 bn = Z2π 1 π 2 x0 sin nx0 dx0 = − , n ≥ 1 n 0 Do định lý (2.1), chuỗi Fourier của f hội tụ về f (x) tại x ∈ (0, 2π) và hội tụ về 1 2 [f (0) + f (2π)] = π tại x = 0, 2π . Vậy   x = π − 2 sin x + sin x2x sin x3x + − · · · , ∀x ∈ (0, 2π) . 2 3 Ví dụ 2.2. Cho f (x) = x2 , 0 ≤ x ≤ 2π . Tương tự ví dụ 2.1 ta có  ∞  2 X x2 = 4π +4 3 n=1 cos nx π sin nx , ∀x ∈ (0, 2π) . − n2 n tại x = 0, 2π thì chuỗi trên hội tụ về 2π 2 . 2.3 2.3.1 Hội tụ của chuỗi Fourier trong L2 Dãy trực giao Xét không gian L2 các hàm thực bình phương khả tích trên [−π, π]. Trong L2 , dãy hàm {ϕn |n ∈ N} được gọi là một hệ trực giao nếu Zπ ϕm (x) ϕn (x) dx = 0, ∀m 6= n −π và nếu hệ {ϕn |n ∈ N} có thêm tính chất Zπ ϕ2 n (x) dx = 1, ∀n −π thì ta nói hệ {ϕn } trực chuẩn. Cho hàm f ∈ L2 , với hệ trực chuẩn {ϕn }, ta đặt Zπ f (x) .ϕn (x) dx, ∀n ∈ N cn = −π
- Xem thêm -