Tài liệu Phương trình toán tử tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ

  • Số trang: 46 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 33 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 27125 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẶNG TÚ HỒI PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ: THAM SỐ HIỆU CHỈNH VÀ SỰ HỘI TỤ CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ỨNG DỤNG Mà SỐ : 60.46.36 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình đựoc hoàn thành tại : TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ THU THUỶ Phản biện 1: GS.TS. Nguyễn Bường Phản biện 2: GS.TS. Trần Vũ Thiệu Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Ngày 07 tháng 11 năm 2010 Có thể tìm hiểu luận văn tại Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên và thư viện Trường Đại học Khoa học Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN Nguyễn Thị Thu Thuỷ và Đặng Tú Hồi (2010). “Kết quả số của phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình toán tử đơn điệu”. Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 70(08), tr.61 - 64. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Më ®Çu 3 Ch­¬ng 1. Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh vµ ph­¬ng tr×nh to¸n tö ®¬n ®iÖu 7 1.1 Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . . . . . . . . . . . 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh 1.1.2. VÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh 1.2 Ph­¬ng tr×nh to¸n tö ®¬n ®iÖu 1.2.1. To¸n tö ®¬n ®iÖu 1.2.2. Ph­¬ng tr×nh víi to¸n tö ®¬n ®iÖu 1.2.3. Ph­¬ng ph¸p hiÖu chØnh Ch­¬ng 2. NghiÖm hiÖu chØnh vµ tham sè hiÖu chØnh 20 2.1 HiÖu chØnh ph­¬ng tr×nh to¸n tö ®¬n ®iÖu . . . . . . . . . . 20 2.2 Tham sè hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 KÕt qu¶ sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 KÕt luËn 40 Tµi liÖu tham kh¶o 41 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lêi c¶m ¬n LuËn v¨n nµy ®­îc hoµn thµnh t¹i Tr­êng §¹i häc Khoa häc, §¹i häc Th¸i Nguyªn. Trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ lµm luËn v¨n, th«ng qua c¸c bµi gi¶ng, t¸c gi¶ lu«n nhËn ®­îc sù quan t©m gióp ®ì vµ nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp quý b¸u cña c¸c gi¸o s­ cña ViÖn To¸n häc, ViÖn C«ng nghÖ Th«ng tin thuéc viÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam, c¸c thÇy c« gi¸o trong §¹i häc Th¸i Nguyªn. Tõ ®¸y lßng m×nh, t¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn c¸c ThÇy C«. T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n Ban gi¸m hiÖu, phßng §µo t¹o Khoa häc vµ Quan hÖ Quèc tÕ, Khoa To¸n -Tin Tr­êng §¹i häc Khoa häc, §¹i häc Th¸i Nguyªn ®· quan t©m vµ gióp ®ì t¸c gi¶ trong suèt thêi gian häc tËp t¹i Tr­êng. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi c« gi¸o TiÕn sÜ NguyÔn ThÞ Thu Thuû, c« ®· rÊt tËn t×nh h­íng dÉn, chØ b¶o t¸c gi¶ trong suèt thêi gian t¸c gi¶ thùc hiÖn luËn v¨n vµ trùc tiÕp h­íng dÉn t¸c gi¶ hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Cuèi cïng, t¸c gi¶ xin göi lêi c¶m ¬n tíi gia ®×nh, b¹n bÌ ®· lu«n theo s¸t ®éng viªn, chia sÎ nh÷ng khã kh¨n trong cuéc sèng, gióp t¸c gi¶ cã ®iÒu kiÖn tèt nhÊt trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ lµm luËn v¨n. Th¸i Nguyªn, th¸ng 9 n¨m 2010 T¸c gi¶ §Æng Tó Håi 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Më ®Çu RÊt nhiÒu bµi to¸n cña thùc tiÔn, khoa häc, c«ng nghÖ dÉn tíi bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh (ill-posed) theo nghÜa Hadamard, nghÜa lµ bµi to¸n (khi d÷ kiÖn thay ®æi nhá) hoÆc kh«ng tån t¹i nghiÖm, hoÆc nghiÖm kh«ng duy nhÊt, hoÆc nghiÖm kh«ng phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. Do tÝnh kh«ng æn ®Þnh nµy cña bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh nªn viÖc gi¶i sè cña nã gÆp khã kh¨n. Lý do lµ mét sai sè nhá trong d÷ kiÖn cña bµi to¸n cã thÓ dÉn ®Õn mét sai sè bÊt kú trong lêi gi¶i. Trong ®Ò tµi luËn v¨n nµy chóng t«i nghiªn cøu bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh d­íi d¹ng ph­¬ng tr×nh to¸n tö (0.1) Ax = f, trong ®ã A : X −→ X ∗ lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu ®¬n trÞ h-liªn tôc tõ kh«ng gian Banach ph¶n x¹ X vµo kh«ng gian liªn hîp X ∗ cña X . §Ó gi¶i lo¹i bµi to¸n nµy, ta ph¶i sö dông nh÷ng ph­¬ng ph¸p æn ®Þnh, sao cho khi sai sè cña c¸c d÷ kiÖn cµng nhá th× nghiÖm xÊp xØ t×m ®­îc cµng gÇn víi nghiÖm ®óng cña bµi to¸n xuÊt ph¸t. N¨m 1963, A. N. Tikhonov [10] ®­a ra ph­¬ng ph¸p hiÖu chØnh næi tiÕng vµ kÓ tõ ®ã lý thuyÕt c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh ®­îc ph¸t triÓn hÕt søc s«i ®éng vµ cã mÆt ë hÇu hÕt c¸c bµi to¸n thùc tÕ. Néi dung chñ yÕu cña ph­¬ng ph¸p nµy lµ x©y dùng nghiÖm hiÖu chØnh cho ph­¬ng tr×nh to¸n tö (0.1) trong kh«ng gian Hilbert thùc t×m phÇn tö cùc tiÓu H dùa trªn viÖc xh,δ α cña phiÕm hµm Tikhonov Fαh,δ (x) = kAh (x) − fδ k2 + αkx∗ − xk2 trong ®ã (0.2) α > 0 lµ tham sè hiÖu chØnh phô thuéc vµo h vµ δ , x∗ lµ phÇn tö cho tr­íc ®ãng vai trß lµ tiªu chuÈn chän vµ 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên (Ah , fδ ) lµ xÊp xØ cña (A, f ). http://www.lrc-tnu.edu.vn Hai vÊn ®Ò cÇn ®­îc gi¶i quyÕt ë ®©y lµ t×m phÇn tö cùc tiÓu cña phiÕm hµm Tikhonov vµ chän tham sè hiÖu chØnh tö cùc tiÓu α = α(h, δ) thÝch hîp ®Ó phÇn xh,δ α(h,δ) dÇn tíi nghiÖm chÝnh x¸c cña bµi to¸n (0.1) khi h vµ δ dÇn tíi kh«ng. ViÖc t×m phÇn tö cùc tiÓu cña phiÕm hµm Tikhonov sÏ gÆp nhiÒu khã kh¨n trong tr­êng hîp bµi to¸n phi tuyÕn. §èi víi líp bµi to¸n phi tuyÕn víi to¸n tö ®¬n ®iÖu A : X → X ∗ , F. Browder [8] ®­a ra mét d¹ng kh¸c cña ph­¬ng ph¸p hiÖu chØnh Tikhonov. T­ t­ëng chñ yÕu cña ph­¬ng ph¸p do F. Browder ®Ò xuÊt lµ sö dông mét to¸n tö M : X → X ∗ cã tÝnh chÊt h-liªn tôc (hemicontinuous), ®¬n ®iÖu m¹nh lµm thµnh phÇn hiÖu chØnh. U s , ¸nh x¹ ®èi ngÉu tæng qu¸t cña X , lµ mét to¸n tö cã tÝnh chÊt nh­ vËy. B»ng ph­¬ng ph¸p nµy, Ya. I. Alber [2] nghiªn cøu ph­¬ng tr×nh hiÖu chØnh Ah (x) + αU s (x − x∗ ) = fδ (0.3) cho bµi to¸n (0.1). ViÖc chän tham sè hiÖu chØnh α chØnh (0.3) khi r»ng tham sè Ah ≡ A ®· ®­îc nghiªn cøu trong [2]. ë ®ã ng­êi ta chØ ra α phô thuéc vµo δ ®­îc ®¸nh gi¸ bëi ®¼ng thøc ρ(α) = K̃δ p , víi = α(δ) thÝch hîp cho ph­¬ng tr×nh hiÖu 0 < p < 1, K̃ ≥ 1, ρ(α) = αkxδα k. Ph­¬ng tr×nh hiÖu chØnh (0.3) cïng c¸ch chän tham sè α = α(δ) nh­ trªn lµ mét thuËt to¸n hiÖu chØnh Tikhonov cho ph­¬ng tr×nh to¸n tö kh«ng chØnh (0.1). N¨m 2005, NguyÔn B­êng [6] ®· nghiªn cøu viÖc chän gi¸ trÞ cña tham sè hiÖu chØnh theo nguyªn lÝ ®é lÖch suy réng trªn c¬ së gi¶i ph­¬ng tr×nh ρ(α) = δ p α−q , 0 0 tån t¹i mét sè δ(ε) > 0 sao cho tõ ρY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) cho ta ρX (x1 , x2 ) ≤ ε, ë ®©y xi = R(fi ), xi ∈ X, fi ∈ Y, i = 1, 2. Chó ý 1.1.2. Mét bµi to¸n cã thÓ ®Æt chØnh trªn cÆp kh«ng gian nµy nh­ng l¹i ®Æt kh«ng chØnh trªn cÆp kh«ng gian kh¸c. Trong nhiÒu øng dông th× vÕ ph¶i cña (1.1) th­êng ®­îc cho bëi ®o ®¹c, nghÜa lµ thay cho gi¸ trÞ chÝnh x¸c f , ta chØ biÕt xÊp xØ fδ cña nã tho¶ m·n kfδ − f k ≤ δ . Gi¶ sö xδ lµ nghiÖm cña (1.1) víi f thay bëi fδ (gi¶ thiÕt r»ng nghiÖm tån t¹i). Khi chØnh th× δ → 0 th× fδ → f nh­ng víi bµi to¸n ®Æt kh«ng xδ nãi chung kh«ng héi tô ®Õn x. 1.1.2. VÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh Tr­íc khi tr×nh bµy mét sè vÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh, trong môc nµy chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n cña gi¶i tÝch hµm cã liªn quan ®Õn néi dung nghiªn cøu cña ®Ò tµi. C¸c kh¸i niÖm nµy ®­îc tham kh¶o trong c¸c tµi liÖu [1], [4], [9] vµ [12]. • Kh«ng gian Banach: Kh«ng gian ®Þnh chuÈn lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh X trong ®ã øng víi mçi phÇn tö x ∈ X ta cã mét sè kxk gäi lµ chuÈn cña x, tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: 1) kxk > 0, ∀x 6= 0, kxk = 0 ⇔ x = 0; 2) kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ X (bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c); 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3) kαxk = |α|.kxk, ∀x ∈ X, α ∈ R. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn ®Çy ®ñ gäi lµ kh«ng gian Banach. VÝ dô 1.1.1. Kh«ng gian Lp [a, b] víi 1 ≤ p < ∞ lµ kh«ng gian Banach víi chuÈn kϕk = Z b p |ϕ(x)| dx  p1 , ϕ ∈ Lp [a, b]. a • Sù héi tô trong kh«ng gian Banach: gian Banach D·y c¸c phÇn tö xn trong kh«ng X ®­îc gäi lµ héi tô ®Õn phÇn tö x0 ∈ X khi n → ∞, nÕu kxn − x0 k → 0 khi n → ∞, ký hiÖu lµ xn → x0 . Sù héi tô theo chuÈn ®­îc gäi lµ héi tô m¹nh. D·y {xn } ⊂ X ®­îc gäi lµ héi tô yÕu ®Õn x0 ∈ X , ký hiÖu lµ xn * x0 , nÕu víi ∀f ∈ X ∗ , kh«ng gian liªn hîp cña X , ta cã f (xn ) → f (x0 ), khi n → ∞. Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta cã c¸c tÝnh chÊt sau. TÝnh chÊt 1.1.1. i) Tõ sù héi tô m¹nh cña mét d·y {xn } suy ra sù héi tô yÕu cña d·y ®ã; ii) Giíi h¹n yÕu cña mét d·y nÕu cã lµ duy nhÊt; iii) NÕu xn * x th× sup kxn k < ∞ vµ kxk ≤ limn→∞ kxn k. 1≤n<∞ NhËn xÐt 1.1.1. Mét sè tr­êng hîp tõ héi tô yÕu cã thÓ suy ra héi tô m¹nh lµ: i) ii) • X lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu; {xn } ⊂ M víi M lµ mét tËp compact trong X . Kh«ng gian ph¶n x¹: Gi¶ sö kh«ng gian liªn hîp cña thø hai cña X lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn trªn R, X ∗ lµ X vµ gäi X ∗∗ = L(X ∗ , R) lµ kh«ng gian liªn hîp X . Ta cho t­¬ng øng víi mçi x ∈ X mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn liªn tôc x∗∗ trªn X ∗∗ nhê hÖ thøc ë ®©y x∗∗ , f = f, x , ∀f ∈ X ∗∗ , hf, xi lµ kÝ hiÖu gi¸ trÞ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc f ∈ X ∗ t¹i x ∈ X . Ta cã kxk = kx∗∗ k. §Æt h(x) = x∗∗ , nÕu h : X → X ∗∗ lµ toµn ¸nh th× kh«ng gian VÝ dô 1.1.2. X ®­îc gäi lµ kh«ng gian ph¶n x¹. Kh«ng gian Lp [0, 1], p > 1 lµ kh«ng gian ph¶n x¹. Mäi kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu ®Òu ph¶n x¹. §Þnh lý 1.1.1. (xem [12]) NÕu X lµ kh«ng gian Banach th× c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t­¬ng ®­¬ng: 1) X ph¶n x¹; 2) Mäi d·y giíi néi lµ compact yÕu, nghÜa lµ ∀ {xn } ⊂ X : kxn k ≤ K ⇒ ∃ {xnk }, xnk * x ∈ X ; 3) H×nh cÇu ®¬n vÞ ®ãng trong X lµ compact yÕu; 4) Mçi tËp bÞ chÆn ®ãng yÕu trong 5) Mçi tËp låi ®ãng bÞ chÆn trong • X X Kh«ng gian E-S (Ephimov Stechkin): lµ compact yÕu; lµ compact yÕu. Kh«ng gian Banach X ®­îc gäi lµ kh«ng gian Ephimov Stechkin (hay kh«ng gian cã tÝnh chÊt E-S) x¹ vµ trong nÕu X ph¶n X sù héi tô yÕu c¸c phÇn tö (xn * x) vµ sù héi tô chuÈn (kxn k → kxk) lu«n kÐo theo sù héi tô m¹nh (kxn − xk → 0). VÝ dô 1.1.3. Kh«ng gian Hilbert cã tÝnh chÊt E-S. Víi to¸n tö r : X → Y tõ kh«ng gian Banach X vµo kh«ng gian Banach Y , ta sÏ viÕt r(x) = O(kxk) víi x → θX , nÕu r(x)/kxk → 0 khi x → θX . KÝ hiÖu L(X, Y ) lµ tËp tÊt c¶ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc T : X → Y . 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn • §¹o hµm FrÐchet: Cho A : X → Y lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian Banach X vµo kh«ng gian Banach Y . To¸n tö A ®­îc gäi lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i ®iÓm x ∈ X , nÕu tån t¹i T ∈ L(X, Y ) sao cho A(x + h) = A(x) + T h + O(khk), víi mäi h thuéc mét l©n cËn cña ®iÓm θ. NÕu tån t¹i, th× T ®­îc gäi lµ ®¹o hµm FrÐchet cña • h→0 A t¹i x, vµ ta viÕt A0 (x) = T . TËp ®ãng yÕu: TËp M ⊂ X ®­îc gäi lµ tËp ®ãng (®ãng yÕu) nÕu tõ xn → x (xn * x), trong ®ã xn ∈ M, ∀n ≥ 0, suy ra x ∈ M . §Þnh lý 1.1.2. (xem [12]) (Mazur) Mét tËp låi ®ãng trong kh«ng gian Ba- nach lµ ®ãng yÕu. Sau ®©y ta sÏ chØ ra mét vµi vÝ dô vÒ to¸n tö A mµ (1.1) lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. §Þnh nghÜa 1.1.3. To¸n tö (phi tuyÕn) A ®­îc gäi lµ liªn tôc m¹nh, nÕu nã ¸nh x¹ mäi d·y héi tô yÕu thµnh d·y héi tô m¹nh tøc lµ nÕu xn * x suy ra Axn → Ax. MÖnh ®Ò 1.1.1. NÕu (xem [12]) Cho X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian Banach thùc. A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh compact th× A liªn tôc m¹nh. VÝ dô 1.1.4. NÕu A lµ to¸n tö liªn tôc m¹nh th× bµi to¸n (1.1) (v« h¹n chiÒu) nãi chung lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. ThËt vËy, gi¶ sö vµ {xn } lµ mét d·y chØ héi tô yÕu ®Õn x, xn * x, xn 6→ x yn = A(xn ), y = A(x). Khi ®ã, do tÝnh liªn tôc m¹nh cña A suy ra yn → y vµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh A(x) = f kh«ng phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. Tuy nhiªn, còng cã mét vµi tr­êng hîp ®Æc biÖt cho ph­¬ng tr×nh to¸n tö víi to¸n tö liªn tôc m¹nh. Ch¼ng h¹n, nÕu miÒn x¸c ®Þnh 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên D(A) cña http://www.lrc-tnu.edu.vn to¸n tö A lµ h÷u h¹n chiÒu th× mäi d·y héi tô yÕu ®Òu héi tô m¹nh, do ®ã chøng minh trªn kh«ng ¸p dông ®­îc. Vµ nÕu ta xÐt mét to¸n tö tuyÕn tÝnh compact víi miÒn ¶nh R(A) h÷u h¹n chiÒu th× to¸n tö ng­îc A−1 nãi chung lµ liªn tôc vµ khi ®ã bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh A(x) = f lµ bµi to¸n ®Æt chØnh. VÝ dô 1.1.5. (xem [1]) XÐt ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n Fredholm lo¹i I Z b K(x, s)ϕ(s)ds = f0 (x), (1.2) x ∈ [a, b], a ë ®©y nghiÖm lµ mét hµm ϕ(x), vÕ ph¶i f0 (x) lµ mét hµm cho tr­íc, K(x, s) lµ h¹ch cña tÝch ph©n. Gi¶ thiÕt h¹ch trªn h×nh vu«ng K(x, s) cïng víi [a, b] × [a, b]. Ta xÐt hai tr­êng hîp sau: ∂K(x, s) liªn tôc ∂x • Tr­êng hîp 1 A: C[a, b] → L2 [a, b] Z ϕ(x) 7→ f0 (x) = b K(x, s)ϕ(s)ds. a Sù thay ®æi cña vÕ ph¶i ®­îc ®o b»ng ®é lÖch trong kh«ng gian L2 [a, b], tøc L2 [a, b] ®­îc cho bëi Z b  21 ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) = |f0 (x) − f1 (x)|2 dx . lµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai hµm f0 (x) vµ f1 (x) trong a Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh (1.2) cã nghiÖm lµ ϕ0 (x). Khi ®ã víi vÕ ph¶i b Z f1 (x) = f0 (x) + N K(x, s)sin(ωs)ds a th× ph­¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm ϕ1 (x) = ϕ0 (x) + N sin(ωx). Víi N bÊt k× vµ ω ®ñ lín th× kho¶ng c¸ch gi÷a hai hµm f0 vµ f1 trong kh«ng gian L2 [a, b] lµ Z bZ b 2  21 ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) = |N | K(x, s)sin(ωs)ds dx a a 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cã thÓ lµm nhá tuú ý. ThËt vËy, ®Æt Kmax = |K(x, s)|, max x∈[a,b],s∈[a,b] ta tÝnh ®­îc Z ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) ≤ |N | d c ≤ b 1 Kmax cos(ωs) a ω  12 2 dx |N |Kmax c0 , ω ë ®©y c0 lµ mét h»ng sè d­¬ng. Ta chän N vµ ω lín tuú ý nh­ng N/ω l¹i nhá. Trong khi ®ã ρC[a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = max |ϕ0 (x) − ϕ1 (x)| = |N | x∈[a,b] cã thÓ lín bÊt k×. • Tr­êng hîp 2 A: L2 [a, b] → L2 [a, b] Z ϕ(x) 7→ f0 (x) = b K(x, s)ϕ(s)ds. a T­¬ng tù, ta còng chØ ra kho¶ng c¸ch gi÷a hai nghiÖm ϕ0 vµ ϕ1 trong kh«ng L2 [a, b] cã thÓ lín bÊt k×. ThËt vËy, Z b  21 Z b  12 ρL2 [a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = |ϕ0 (x) − ϕ1 (x)|2 dx = |N | sin2 (ωx)dx a a r b−a 1 = |N | − sin(ω(b − a))cos(ω(b + a)). 2 2ω gian DÔ dµng nhËn thÊy r»ng hai sè N vµ ω cã thÓ chän sao cho ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) rÊt nhá nh­ng ρL2 [a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) l¹i rÊt lín. V× tÝnh kh«ng duy nhÊt cña nghiÖm cña bµi to¸n (1.1), nªn ng­êi ta th­êng cã mét tiªu chuÈn cho sù lùa chän cña nghiÖm. Ta sÏ sö dông 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nghiÖm x0 cã x∗ -chuÈn nhá nhÊt, nghÜa lµ ta t×m nghiÖm tho¶ m·n A(x0 ) = f, vµ kx0 − x∗ k = min{kx − x∗ k : A(x) = f }. B»ng c¸ch chän 1.2 x∗ ta cã thÓ cã ®­îc nghiÖm mµ ta muèn xÊp xØ. Ph­¬ng tr×nh to¸n tö ®¬n ®iÖu 1.2.1. To¸n tö ®¬n ®iÖu Cho X lµ kh«ng gian Banach thùc, A : D(A) → X ∗ lµ mét to¸n tö víi miÒn x¸c ®Þnh lµ D(A) = X vµ miÒn ¶nh R(A) n»m trong X ∗ . C¸c kh¸i niÖm trong môc nµy ®­îc tham kh¶o trong c¸c tµi liÖu [1], [3], [4] vµ [12]. • To¸n tö ®¬n ®iÖu: To¸n tö A ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu (monotone) nÕu (1.3) hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X. To¸n tö A ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu chÆt x¶y ra khi (strictly monotone) nÕu dÊu b»ng chØ x = y . Trong tr­êng hîp A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh th× tÝnh ®¬n ®iÖu t­¬ng ®­¬ng víi tÝnh kh«ng ©m cña to¸n tö. • To¸n tö ®¬n ®iÖu m¹nh: To¸n tö A ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu ®Òu nÕu tån t¹i mét hµm kh«ng ©m δ(t) kh«ng gi¶m víi t ≤ 0, δ(0) = 0 vµ  hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ kx − yk , ∀x, y ∈ D(A). NÕu δ(t) = cA t2 víi cA lµ mét h»ng sè d­¬ng th× to¸n tö A ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu m¹nh. VÝ dô 1.2.1. To¸n tö tuyÕn tÝnh A : RM → RM ®­îc x¸c ®Þnh bëi A = B T B, 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn víi • B lµ mét ma trËn vu«ng cÊp M , lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu. To¸n tö h-liªn continuous) trªn tôc, d-liªn tôc: To¸n tö A ®­îc gäi lµ h-liªn tôc (hemi- X nÕu A(x + ty) * Ax khi t → 0 víi mäi x, y ∈ X vµ A ®­îc gäi lµ d-liªn tôc (demicontinuous) trªn X nÕu tõ xn → x suy ra Axn * Ax khi n → ∞. VÝ dô 1.2.2. Hµm hai biÕn liªn tôc theo tõng biÕn t¹i ϕ(x, y) = xy 2 (x2 + y 4 )−1 kh«ng liªn tôc, nh­ng (0, 0) do ®ã nã h-liªn tôc t¹i (0, 0). • To¸n tö bøc: To¸n tö A ®­îc gäi lµ to¸n tö bøc (coercive) nÕu Ax, x lim = +∞, ∀x ∈ X. ||x||→+∞ ||x|| Sù tån t¹i nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh to¸n tö (1.1) ®­îc cho trong ®Þnh lý sau. §Þnh lý 1.2.1. (xem [9]) Cho A lµ mét to¸n tö h-liªn tôc, ®¬n ®iÖu vµ bøc tõ kh«ng gian Banach ph¶n x¹ cã nghiÖm víi mäi X vµo X ∗. Khi ®ã ph­¬ng tr×nh A(x) = f f ∈ X ∗. • ¸nh x¹ ®èi ngÉu: ¸nh x¹ U s : X → X ∗ ®­îc ®Þnh nghÜa bëi U s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = ||x∗ ||s−1 ||x|| = ||x||s }, s ≥ 2 ®­îc gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu tæng qu¸t cña viÕt lµ (1.4) X . Trong tr­êng hîp s = 2 ta U vµ gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c cña X . TÝnh ®¬n trÞ cña ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c ®­îc cho trong mÖnh ®Ò sau. MÖnh ®Ò 1.2.1. (xem [9]) Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian Banach. Khi ®ã, 1) U (x) lµ tËp låi, U (λx) = λU (x) víi mäi λ ∈ R; 2) U lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ khi vµ chØ khi tr­êng hîp X lµ kh«ng gian Hilbert th× 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên X∗ lµ kh«ng gian låi chÆt. Trong U = I , to¸n tö ®¬n vÞ trong X . http://www.lrc-tnu.edu.vn ¸nh x¹ ®èi ngÉu lµ mét trong nh÷ng vÝ dô vÒ to¸n tö ®¬n ®iÖu, nã tån t¹i trong mäi kh«ng gian Banach. §Þnh lý 1.2.2. (xem [4]) NÕu ®èi ngÉu chuÈn t¾c H¬n n÷a, nÕu X X∗ lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× ¸nh x¹ U : X → X∗ lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu, bøc vµ lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× U d-liªn tôc. lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu chÆt. Sau ®©y lµ mét kÕt qu¶ cña lý thuyÕt to¸n tö ®¬n ®iÖu ®­îc sö dông trong phÇn sau. Bæ ®Ò 1.2.1. thùc, f ∈ X∗ (xem [1] vµ tµi liÖu dÉn) vµ Cho lµ mét kh«ng gian Banach A lµ mét to¸n tö h-liªn tôc tõ X hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0, th× X vµo X ∗ . Khi ®ã, nÕu ∀x ∈ X A(x0 ) = f. NÕu A lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu trªn X th× ®iÒu kiÖn trªn t­¬ng ®­¬ng víi hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X. Bæ ®Ò 1.2.1 cã tªn lµ bæ ®Ò Minty, tªn mét nhµ to¸n häc Mü, ng­êi ®· chøng minh kÕt qu¶ trªn trong tr­êng hîp kh«ng gian Hilbert vµ sau nµy chÝnh «ng vµ Browder ®· chøng minh mét c¸ch ®éc lËp trong kh«ng gian Banach. 1.2.2. Ph­¬ng tr×nh víi to¸n tö ®¬n ®iÖu Cho hîp cña X lµ mét kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc, X ∗ lµ kh«ng gian liªn X . Víi f ∈ X ∗ cho tr­íc, ph­¬ng tr×nh (1.1) ®­îc gäi lµ ph­¬ng tr×nh to¸n tö. NÕu A : X → X ∗ lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu th× ph­¬ng tr×nh to¸n tö (1.1) nãi chung lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -