Tài liệu Phương trình toán tử ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Kim Thanh PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH.Đặng Hùng Thắng i Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.Toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động ngẫu nhiên 6 Chương 2. Các kết quả về sự tồn tại điểm bất động và lời giải của phương trình toán tử ngẫu nhiên 11 2.1.Sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.Phương trình toán tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1. Phương trình toán tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2. Phương trình toán tử ngẫu nhiên có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 3. Áp dụng phương pháp lặp để tìm điểm bất động và giải phương trình toán tử ngẫu nhiên 29 3.1.Quy trình lặp ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 29 3.2.Sự hội tụ của thuật toán lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3.Áp dụng phương pháp lặp để tìm điểm bất động và giải phương trình toán tử ngẫu nhiên . . . . . 39 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 iii MỞ ĐẦU Định lí điểm bất động của Banach đối với ánh xạ co trên không gian mêtric đủ là một kết quả kinh điển của Toán học. Sau Banach, lý thuyết điểm bất động là một trong những vấn đề thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà Toán học trên thế giới và từ đó đã có các ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác như: Giải tích, Phương trình vi tích phân, Lý thuyết tối ưu, Các bao hàm thức vi phân, Vật lí, ....Việc nghiên cứu điểm bất động là cơ sở cho lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên. Các công trình về điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên của O.Hans và A.Spacek trong những năm 1950 là sự khởi đầu cho hướng nghiên cứu này. Các bài viết đặc sắc của A. T. Bharucha Ried năm 1976 thực sự là bước tiến nhảy vọt cho mảng lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên. Ngày nay, phương trình toán tử ngẫu nhiên trở thành trung tâm nghiên cứu của Giải tích phi tuyến và Lý thuyết xác suất. Đến nay, trên thế giới đã có nhiều công trình nghiên cứu rất phong phú về phương trình toán tử ngẫu nhiên cho nhiều kiểu toán tử và trên nhiều loại không gian khác nhau, từ đó cho thấy sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử đơn trị và đa trị. Với mong muốn tìm hiểu một cách chi tiết và hệ thống về hướng lý thuyết này, tôi đã lựa chọn đề tài: Phương trình toán tử ngẫu nhiên dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH Đặng Hùng Thắng. Luận văn của tôi gồm 3 chương. 1 Chương 1: trình bày các kiến thức chuẩn bị bao gồm các khái niệm được sử dụng và một số kết quả không chứng minh khác. Chương 2: trình bày các kết quả về sự tồn tại điểm bất động và giải phương trình toán tử ngẫu nhiên. Ở đây, chúng tôi nghiên cứu nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên tổng quát và phương trình toán tử ngẫu nhiên có nhiễu trên không gian Banach tách được. Chương 3: trình bày phương pháp lặp để tìm điểm bất động và giải phương trình toán tử ngẫu nhiên. Chúng tôi giới thiệu hai sơ đồ lặp tổng quát để giải phương trình toán tử ngẫu nhiên, đó là sơ đồ lặp Mann và sơ đồ lặp Ishikawa. Sau đó, chúng tôi trình bày điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ của sơ đồ lặp ngẫu nhiên để tìm điểm bất động của phương trình toán tử tiệm cận tựa - không giãn trên không gian Banach. Từ những lý thuyết trên, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa điểm bất động ngẫu nhiên(ở đây dãy lặp được xây dựng hội tụ về điểm bất động ngẫu nhiên) và nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH Đặng Hùng Thắng. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành tới GS. TSKH Đặng Hùng Thắng, Thầy đã quan tâm hướng dẫn và động viên tôi trong quá trình tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo 2 khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên luôn quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tôi xin chân thành cảm ơn các thành viên seminar Toán tử ngẫu nhiên do GS. TSKH Đặng Hùng Thắng chủ trì đã giúp tôi nhiều kinh nghiệm học tập và nghiên cứu khoa hoc. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các cấp lãnh đạo, các đồng nghiệp trong trường ĐH Kinh tế - Kỹ thuật công nghiệp, gia đình và người thân tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của các thầy, cô giáo và các bạn học viên để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 02 tháng 12 năm 2011 Tác giả Trần Thị Kim Thanh 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trích dẫn những khái niệm cơ bản và một số kết quả (không chứng minh) trên không gian Banach mà chúng tôi sử dụng trong các chương sau. 1.1. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là tập khác ∅ được gọi là không gian mẫu. Gọi A là σ - đại số các tập con của Ω. Mỗi phần tử của σ đại số A được gọi là một tập đo được. Bộ hai (Ω, A) gọi là một không gian đo. Ánh xạ P : A → [0, 1] được gọi là độ đo xác suất S P∞ nếu thỏa mãn P(∅) = 0, P(Ω) = 1 và P( ∞ A ) = n=1 n n=1 P(An ) T với mọi An ∈ A sao cho An Am = ∅, m 6= n. Với mỗi A ∈ A, P(A) được gọi là xác suất của tập A. Bộ ba (Ω, A, P) gọi là không gian xác suất.. Định nghĩa 1.1.2. Không gian Banach X gọi là thỏa mãn điều 4 kiện Opial nếu một dãy {xn } trong X hội tụ yếu đến x ∈ X và x 6= y thì: lim inf n k xn − y k> lim inf n k xn − x k Định nghĩa 1.1.3. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu δX (ε) > 0, ∀ε > 0 trong đó: δX (ε) = inf {1 − kx+yk 2 :k x k=k y k= 1, k x − y k= ε} được gọi là môđun lồi của không gian X. Chúng ta cần các bổ đề sau để chỉ ra các tính chất đặc trưng của không gian Banach lồi đều. Bổ đề 1.1.4. Cho p > 1 và r > 1 là hai số thực cố định, không gian Banach X gọi là lồi đều khi và chỉ khi tồn tại hàm lồi, tăng chặt, liên tục g: [0, ∞) → [0, ∞) với g(0) = 0 sao cho ∀x, y ∈ B(0, r), λ ∈ [0, 1] và wp (λ) = λ · (1 − λ)p + λp · (1 − λ) : k λx + (1 − λ)y kp ≤ λ k x kp +(1 − λ) k y kp −wp (λ)g(k x − y k) Bổ đề 1.1.5. Giả thiết rằng X là không gian Banach lồi đều, 0 < p ≤ λn ≤ q < 1∀n = 1, 2, · · · và {xn }, {yn } là hai dãy trên không gian X sao cho r ≥ 0: lim supn→∞ k xn k≤ r; lim supn→∞ k yn k≤ r; limn→∞ k λn xn + (1 − λn )yn k= r; thì limn→∞ k xn − yn k= 0 Bổ đề 1.1.6. Cho các dãy số không âm {αn }, {βn } và {γn } 5 thoả mãn: αn+1 ≤ (1 + γn )αn + βn ∀n = 1, 2, 3, ... và P ∞, ∞ n=1 γn < ∞ thì P∞ n=1 βn < 1) Tồn tại limn→∞ αn 2) Hơn nữa nếu lim inf n→∞ αn = 0 thì limn→∞ αn = 0 1.2. Toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động ngẫu nhiên Cho F là tập con khác ∅ trên không gian Banach tách được X. Định nghĩa 1.2.1. Ánh xạ T : Ω × F → F được gọi là toán tử ngẫu nhiên nếu mỗi x ∈ F , T( . , x) là đo được. Ánh xạ T : Ω × F → F được gọi là toán tử liên tục nếu ∀ω ∈ Ω, ánh xạ T (ω, .) : F → F là liên tục. Ký hiệu n lần lặp lại của T: T (ω, T (ω, T (ω, ..., T (ω, x))) là T n (ω, x), khi đó ánh xạ ngẫu nhiên I : Ω × F → F xác định bởi I(x, ω) = x và T 0 = I Định nghĩa 1.2.2. Toán tử ngẫu nhiên T : Ω × F → F được gọi là a) toán tử ngẫu nhiên k(ω) - co nếu ∀x, y ∈ F và ω ∈ Ω ta có k T (ω, x) − T (ω, y) k≤ k(ω) k x − y k trong đó k : Ω → [0, 1] là ánh xạ đo được. Nếu k(ω) = 1∀ω ∈ Ω thì T được gọi là toán tử ngẫu nhiên không giãn. 6 b) toán tử ngẫu nhiên co nếu ∀x, y ∈ F và ω ∈ Ω ta có k T (ω, x) − T (ω, y) kk x − y k với mỗi ω ∈ Ω d) toán tử ngẫu nhiên tựa - không giãn nếu G(ω) = {x ∈ F : x = T (ω, x)} = 6 ∅, ω ∈ Ω, và bất kỳ x ∈ F, y ∈ G(ω), ta có k T (ω, x) − y k≤k x − y k với mỗi ω ∈ Ω. e) toán tử ngẫu nhiên tiệm cận co nếu ∃x0 ∈ F limkxk→∞ supx∈F kT (ω,x)−T (ω,x0 )k kx−x0 k < 1. f) toán tử ngẫu nhiên tiệm cận không giãn nếu ∃{kn }(phụ thuộc ω) trong [1, ∞) với limn→∞ kn = 1 khi n ∈ N sao cho ∀x, y ∈ F, ∀ω ∈ Ω k T n (ω, x) − T n (ω, y) k≤ kn k x − y k Lấy kn = 1 và n = 1 ta có khái niệm toán tử ngẫu nhiên không giãn g) toán tử ngẫu nhiên tiệm cận tựa - không giãn nếu với mỗi ω ∈ Ω : G(ω) = {x ∈ F : x = T (ω, x)} 6= ∅ và ∃{kn } (phụ thuộc ω) trong [0, ∞) với limn→∞ kn = 0 khi n ∈ N sao cho x ∈ F và y ∈ G(ω) thì k T n (ω, x) − y k≤ (1 + kn ) k x − y k ∀ω ∈ Ω h) toán tử ngẫu nhiên liên tục đủ nếu dãy {xn } trong F hội tụ yếu đến x0 kéo theo {T (ω, xn )} hội tụ mạnh tới T (ω, x0 ) với mỗi ω ∈ Ω. 7 i) toán tử ngẫu nhiên giả co nếu bất kỳ ánh xạ đo được r : Ω → (0, ∞) và bất kỳ x, y ∈ F , ∀ω ∈ Ω ta có: k x−y k≤k (1+r(ω))(x−y)−r(ω)(T (ω, x)−T (ω, y)) k Lớp các toán tử ngẫu nhiên giả co là tổng quát hơn các toán tử ngẫu nhiên không giãn. k) toán tử ngẫu nhiên k(ω) - giả co mạnh cho ánh xạ đo được k : Ω → (0, 1) nếu bất kỳ ánh xạ đo được r : Ω → (0, ∞) và mỗi x ∈ F , với mỗi ω ∈ Ω, y ∈ F ta có k x−y k≤ k(ω) k 1+r(ω)(x−y)−r(ω)(T (ω, x)−T (ω, y)) k. l) toán tử ngẫu nhiên L - Lipsichz đều nếu với bất kỳ x, y ∈ F ta có k T n (ω, x) − T n (ω, y) k≤ L k x − y k với ∀n = 1, 2, 3, ...và L là hằng số dương. Nếu lấy n = 1 thì ta có định nghĩa toán tử ngẫu nhiên L - Lipsichz. Toán tử ngẫu nhiên tiệm cận không giãn là toán tử ngẫu nhiên L - Lipsichz đều với L ≥ 1. m) toán tử ngẫu nhiên (k − α) - Lipsichz đều nếu bất kỳ x, y ∈ F ta có: k T n (ω, x) − T n (ω, y) k≤ k k x − y kα với mỗi ω ∈ Ω, ∀n = 1, 2, 3, ... là hằng số dương và α > 0. Định nghĩa 1.2.3. Cho F là tập con khác ∅ trên không gian Banach X. Toán tử ngẫu nhiên T : Ω × F → F được gọi là toán tử ngẫu nhiên (k, n) - quay với k < n nếu mỗi ω ∈ Ω: 8 k x − T n (ω, x) k≤ k k x − T (ω, x) k(x ∈ F, n ∈ N ). Chú ý 1.2.4. Cho T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên k(ω) co với F là tập con đóng của không gian Banach X với n > 1 và ∀x ∈ F , mỗi ω ∈ Ω ta có: P k x − T n (ω, x) k≤ nk=1 k T k−1 (ω, k) − T k (ω, x) k ≤ (1 + k(ω) + (k(ω))2 + ... + (k(ω))n−1 ) k x − T (ω, x) k < n k x − T (ω, x) k. Khi đó, T là toán tử ngẫu nhiên quay. Định nghĩa 1.2.5. Cho F là tập con khác ∅, lồi và bị chặn trên không gian Banach X. Ánh xạ T : F → X được gọi là nửa đóng đối với điểm y ∈ X nếu mỗi dãy {xn } trong F sao cho dãy {xn } hội tụ yếu đến x ∈ X và dãy {T xn } hội tụ mạnh tới y kéo theo x ∈ F và T(x) = y. Toán tử ngẫu nhiên T : Ω × F → F được gọi là nửa đóng nếu T (ω, .) là nửa đóng với mỗi ω ∈ Ω. Chú ý 1.2.6. Cho F là tập con khác ∅, compăc yếu, lồi của không gian Banach X thoả mãn điều kiện Opial. Khi đó, f : F → X là ánh xạ không giãn thì I - f là nửa đóng. Bổ đề 1.2.7. Cho F là tập con lồi đóng khác ∅ và bị chặn trên không gian Banach lồi đều, tách được X thoả mãn điều kiện Opial. Nếu T là ánh xạ tiệm cận không giãn từ F vào chính nó thì I - T là nửa đóng đối với điểm 0. 9 Định nghĩa 1.2.8. Ánh xạ đo được ξ : Ω → F là điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên T : Ω × F → F khi và chỉ khi T (ω, ξ(ω)) = ξ(ω)∀ω ∈ Ω. Ký hiệu tập các điểm bất động của T là RF (T ). Nếu ánh xạ T : Ω × F → F có điểm bất động ngẫu nhiên thì với mỗi ω ∈ Ω, T (ω, .) có điểm bất động ngẫu nhiên trong F. Chúng tôi nêu một số kết quả đã biết về điểm bất động ngẫu nhiên. Định lí 1.2.9. [12] Cho F là tập compăc và lồi của không gian Banach X. Nếu toán tử T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên liên tục thì T có một điểm bất động ngẫu nhiên. Định lí 1.2.10. [12] Cho X là không gian Banach tách được và T : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên k(ω) - co thì tồn tại một ánh xạ đo được ξ : Ω → X là điểm bất động duy nhất của T. 10 Chương 2 Các kết quả về sự tồn tại điểm bất động và lời giải của phương trình toán tử ngẫu nhiên 2.1. Sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên Định lí 2.1.1. Cho X là không gian Banach tách được, T : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên co và ξ0 : Ω → X là ánh xạ đo được sao cho dãy {T n (ω, ξ0 (ω))} có dãy con hội tụ với mọi ω ∈ Ω. Khi đó, T có điểm bất động ngẫu nhiên duy nhất. Chứng minh. Cho {T ni (ω, ξ0 (ω))} là dãy con của dãy {T n (ω, ξ0 (ω))} 11 với {T ni (ω, ξ0 (ω))} → ξ(ω) khi ni → ∞ với mỗi ω ∈ Ω và {ni } là dãy các số nguyên dương tăng chặt. Ánh xạ ξ : Ω → X là giới hạn theo từng điểm của dãy các ánh xạ đo được nên đo được. Định nghĩa một dãy các ánh xạ đo được ξni : Ω → X với ξni (ω) = T ni (ω, ξ0 (ω)). Cho  > 0, tồn tại một số nguyên n0 sao cho d(ξni (ω), ξ(ω)) <  4 với ni ≥ n0 và ω ∈ Ω. Ta xét d(ξni +1 (ω), T (ω, ξ(ω))) = d(T (ω, ξni (ω)), T (ω, ξ(ω))) < d(ξni (ω), ξ(ω)) < 4 ∀ω ∈ Ω. Khi đó d(ξ(ω), T (ω, ξ(ω))) ≤ d(ξni +1 (ω), T (ω, ξ(ω))) + d(ξni +1 (ω), ξ(ω)) <  4 +  4 =  2 Vậy ξ là điểm bất động ngẫu nhiên của T. Bây giờ ta chứng minh ξ là điểm bất động ngẫu nhiên duy nhất của ánh xạ T. Thật vậy, Xét ánh xạ η : Ω → X sao cho η(ω) = T (ω, ξ(ω)) suy ra η đo được. Giả sử η(ω) 6= ξ(ω) (1) với ω ∈ Ω nào đó . Vì T là toán tử ngẫu nhiên co nên ∀ω ∈ Ω và (1) ta có d(T (ω, ξ(ω)), T (ω, η(ω))) < d(ξ(ω), η(ω)) Xét h : Ω × X 2 → R sao cho h(ω, x, y) = d(T (ω,x),T (ω,y)) d(x,y) với x 6= y ∈ X, ∀ω ∈ Ω thì h(ω, ., .) là liên tục tại (ξ(ω), η(ω))∀ω ∈ Ω mà thỏa mãn (1). Lấy 0 < α < 1 thì tồn tại δ > 0 sao cho xω ∈ B(ξ(ω), δ), yω ∈ B(η(ω), δ) và 12 d(T (ω, xω ), T (ω, yω )) < αd(xω , yω ) Vì ∀ω ∈ Ω : limr→∞ T (ω, ξr (ω)) = T (ω, ξ(ω)) = η(ω) nên ∃n1 ≥ n0 sao cho d(ξr (ω), ξ(ω)) < δ và d(T (ω, ξr (ω)), η(ω)) < δ. Với r ≥ n1 ≥ n0 và ω ∈ Ω d(T (ω, ξr (ω)), T (ω, T (ω, ξr (ω)))) < αd(ξr (ω), T (ω, ξr (ω))) (2) Do đó d(ξr (ω), T (ω, ξr (ω))) ≤ d(ξr (ω), ξ(ω)) + d(ξ(ω), T (ω, ξ(ω))) +d(T (ω, ξ(ω)), T (ω, ξr (ω))) <  4 + 2 +  4 =  (3) Từ (2) và (3) ta có d(T (ω, ξr (ω)), T (ω, T (ω, ξr (ω)))) < αd(ξr (ω), T (ω, ξr (ω))) < d(ξr (ω), T (ω, ξr (ω))) <  với r ≥ n1 Vì T là toán tử ngẫu nhiên co với r ≥ n1 ta có d(T (ω, ξr (ω)), T (ω, T (ω, ξr (ω)))) < d(ξr (ω), T (ω, ξr (ω))) < nên d(ξr+1 (ω), T (ω, ξr+1 (ω))) <  α  α Do đó d(ξs (ω), T (ω, ξs (ω))) < αs−r Với ω ∈ Ω thỏa mãn (1) d(ξ(ω), η(ω)) ≤ d(ξ(ω), ξs (ω)) + d(ξs (ω), T (ω, ξs (ω))) + d(T (ω, ξs (ω)), η(ω)) −→ 0 khi s → ∞ Điều này mâu thuẫn. Vậy ξ là điểm bất động ngẫu nhiên duy nhất của ánh xạ T. Định lí 2.1.2. Cho F là tập con khác ∅, lồi đóng trên không gian Banach tách được X và T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên 13 quay và không giãn. Khi đó, T có điểm bất động ngẫu nhiên. Chứng minh. Gọi ξ là ánh xạ đo được bất kì từ Ω vào F. Với 0 < α < 1, xác định Tα : Ω × F → F như sau Tα (ω, x) = (1 − α)ξ(ω) + αT (ω, x) trong đó, với mỗi α thì toán tử ngẫu nhiên Tα là Lipschitz với hằng số α. Áp dụng Định lý 1.2.10, ta thu được dãy {ξα } các điểm bất động ngẫu nhiên. Lấy ánh xạ đo được bất kì η từ Ω vào F, xác định Fα : Ω × F → F sao cho Fα (ω, η(ω))) = ξα (ω). Từ đó, ta có Fα (ω, ξ(ω)) = (1 − α)ξ(ω) + αT (ω, Fα (ω, ξ(ω))) Dễ dàng kiểm tra được Fα là toán tử ngẫu nhiên không giãn. Bằng lặp Fα k lần với k ∈ N ta thu được Fαk (ω, ξ(ω)) = (1 − α)Fαk−1 (ω, ξ(ω)) + αT (ω, Fαk (ω, ξ(ω)))(4) Chú ý rằng (1−α)Fα (ω, ξ(ω)) = (1−α)ξ(ω)+αT (ω, Fα (ω, ξ(ω)))−αFα (ω, ξ(ω)) = (1 − α)ξ(ω) + α(T (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα (ω, ξ(ω))) Do đó (1−α)(ξ(ω)−Fα (ω, ξ(ω))) = α(Fα (ω, ξ(ω))−T (ω, Fα (ω, ξ(ω))))(5) Mà T là toán tử (a, n) - quay nên k ξ(ω) − T n (ω, ξ(ω)) k≤ a k ξ(ω) − T (ω, ξ(ω)) k, với mỗi ω ∈ Ω Ta có k Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω)) k= =k (1 − α)ξ(ω) + αT (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − (1 − α)Fα (ω, ξ(ω)) − αT (ω, Fα2 (ω, ξ(ω))) k 14 =k (1 − α)(ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω))) + αT (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − αT (ω, Fα2 (ω, ξ(ω))) k =k α(Fα (ω, ξ(ω)) − T (ω, Fα (ω, ξ(ω)))) + αT (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − αT (ω, Fα2 (ω, ξ(ω))) k = α k Fα (ω, ξ(ω)) − T (ω, Fα2 (ω, ξ(ω))) k ≤ α k Fα (ω, ξ(ω)) − T n (ω, Fα (ω, ξ(ω))) k + + α k T n (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − T (ω, Fα2 (ω, ξ(ω))) k ≤ αa k Fα (ω, ξ(ω)) − T (ω, Fα (ω, ξ(ω))) k + + α k T n−1 (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα2 (ω, ξ(ω)) k = (1 − α)a k Fα (ω, ξ(ω)) − ξ(ω) k + + α k T n−1 (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα2 (ω, ξ(ω)) k với mỗi ω ∈ Ω. Ta cần chứng minh với mỗi ω ∈ Ω và m > 2 α k T m−1 (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα2 (ω, ξ(ω)) k ≤ (m − 1) − mα + αm k ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω)) k + αm k Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω)) k (*) Thật vậy, Ta có α k T (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα2 (ω, ξ(ω)) k = α k T (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − (1 − α)Fα (ω, ξ(ω)) − αT (ω, Fα2 (ω, ξ(ω))) k = α k (1 − α)(T (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα (ω, ξ(ω))) − α(T (ω, Fα2 (ω, ξ(ω))) − T (ω, Fα (ω, ξ(ω)))) k ≤ (1 − α) k α(T (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα (ω, ξ(ω))) k + α2 k T (ω, Fα2 (ω, ξ(ω)) − T (ω, Fα (ω, ξ(ω))) k = (1 − α)2 k ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω)) k 15 + α2 k T (ω, Fα2 (ω, ξ(ω))) − T (ω, Fα (ω, ξ(ω))) k ≤ (1 − α)2 k ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω)) k + α2 k Fα2 (ω, ξ(ω)) − Fα (ω, ξ(ω)) k Chứng minh (*) bằng quy nạp. • m = 2: điều này là đúng ∀ω ∈ Ω • giả sử (*) đúng với m = j và với ∀ω ∈ Ω. Ta xét α k T j (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα2 (ω, ξ(ω)) k = α k T j (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − (1 − α)Fα (ω, ξ(ω)) − αT (ω, Fα2 (ω, ξ(ω))) k = α k (1 − α)(T j (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα (ω, ξ(ω))) + α(T j (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − T (ω, Fα2 (ω, ξ(ω))) k ≤ α(1 − α) k T j (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα (ω, ξ(ω)) k + α2 k T j (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − T (ω, Fα2 (ω, ξ(ω)) k ≤ jα(1 − α) k Fα (ω, ξ(ω)) − T (ω, Fα (ω, ξ(ω))) k + α2 k T j−1 (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα2 (ω, ξ(ω)) k ≤ jα(1 − α) k Fα (ω, ξ(ω)) − T (ω, Fα (ω, ξ(ω)) k +α[(j − 1) − jα + αj ] k ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω)) k +αj+1 k Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω)) k ≤ j(1 − α)2 + α[(j − 1) − jα + αj ] k ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω)) k + αj+1 k Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω)) k ≤ [j − (j + 1)α + αj+1 ] k ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω)) k + αj+1 k Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω)) k Từ đó ta có bất đẳng thức (*). 16 Ta có k Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω)) k≤ (1 − α)a k Fα (ω, ξ(ω)) − ξ(ω) k + + α k T m−1 (ω, Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω)) k ≤ (1 − α)a k Fα (ω, ξ(ω)) − ξ(ω) k +[(n − 1) − nα + αn ] k ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω)) k +αn k Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω)) k Hơn nữa (1 − αn ) k Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω)) k ≤ [(1 − α)a + (n − 1) − nα + αn ] k ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω)) k Do đó k Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω)) k ≤ (1 − αn )−1 [(1 − α)a + (n − 1) − nα + αn ] k ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω)) k ≤ (a + n)(1 − α)(1 − αn )−1 − k ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω)) k i −1 = (a + n)(Σn−1 i=0 α ) − k ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω)) k = g(α) k ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω)) k với mỗi ω ∈ Ω. Vì g liên tục và giảm với α ∈ (0, 1] trong đó g(1) = a n < 1 nên ∃b ∈ (0, 1] sao cho g(1) < 1 với α ∈ (b, 1]. Với mỗi α, dãy các ánh xạ đo được xác định bởi ηn (ω) = Fαn (ω, ξ(ω)) → η(ω) với mỗi ω ∈ Ω, η : Ω → F là giới hạn của dãy ánh xạ đo được nên cũng đo được, do đó η là điểm bất động ngẫu nhiên của T. Định lí 2.1.3. Cho F là tập con khác ∅, lồi đóng trên không gian Banach tách được X và T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên co và tiệm cận không giãn với T (ω, .)F ⊆ F và T (ω, .) là compăc với mỗi ω ∈ Ω. Khi đó, T có điểm bất động ngẫu nhiên. Chứng minh. Lấy {tn } là dãy các số thực trên (0, 1) với giới hạn 17