Tài liệu Phương trình tích phân ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– TRẦN THỊ THỦY PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– TRẦN THỊ THỦY PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2015 Mục lục LỜI CẢM ƠN 3 MỞ ĐẦU 3 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1 Phương trình tích phân tất định: . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Giới thiệu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Phương trình Fredholm loại 2 với hạch suy biến: . . 9 1.1.3 Phương trình tích phân phi tuyến: . . . . . . . . . . 11 1.2 Phép tính vi tích phân cho hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . 12 1.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục . . . . . . . 25 1.3.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn: . . . . . . . 29 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN FREDHOLM VÀ VOLTERRA 33 2.1 Phương trình Fredholm và Volterra với hàm vế phải là ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1 Giới thiệu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.2 Nghiệm của phương trình tích phân: . . . . . . . . . 34 1 2.1.3 Nghiệm của hàm hiệp phương sai: . . . . . . . . . . 37 2.1.4 Sự liên tục bình phương trung bình của nghiệm: . . 40 2.1.5 Phương trình tích phân Volterra với đầu vào Wiener: 41 2.2 Hạch K(x, y, ω) là ngẫu nhiên suy biến . . . . . . . . . . . 42 2.3 Hạch K(x, y, ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian các hàm gián đoạn vừa phải . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 49 3.1 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên . . . . . . . . . 49 3.1.1 Thiết lập phương trình tích phân của một số các phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên . . . . . 49 3.1.2 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên trong không gian các hàm liên tục: . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Phương trình tích phân phi tuyến với vế phải ngẫu nhiên . . 58 3.3 Phương trình tích phân phi tuyến loại Volterra với hạch ngẫu nhiên và vế phải ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.1 3.3.2 Giới thiệu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Tồn tại và duy nhất: Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 67 2 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của GS.TS.Đặng Hùng Thắng- Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQGHN. Thầy đã dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, Tháng 4 năm 2015. 3 MỞ ĐẦU Từ cuối thế kỉ 17, Newton và Leibniz đã xây dựng phép tính vi phân và tích phân cổ điển. Tới nửa đầu thế kỉ 20, tích phân ngẫu nhiên bắt đầu được xây dựng. Cùng với phương trình vi phân ngẫu nhiên thì phép tính tích phân ngẫu nhiên đã trở thành công cụ quan trọng ứng dụng nhiều trong toán học, vật lý, sinh học và kinh tế. Trong phương trình toán tử tuyến tính, phương trình tích phân ngẫu nhiên giúp cho việc nghiên cứu toán học hiện đại mang lại nhiều kết quả. Trong luận văn "Phương trình tích phân ngẫu nhiên" này, chúng ta xét hai loại phương trình tích phân ngẫu nhiên là Fredholm và Volterra. Ngoài ra, chúng ta xét một số phương trình tích phân ngẫu nhiên phi tuyến. Chúng được quan tâm lớn và có tầm quan trọng trong nhiều nhánh của khoa học, kinh tế và công nghệ. Đặc biệt, những phương trình tích phân phi tuyến xuất hiện trong những hiện tượng vật lý cụ thể và trong việc xây dựng phương trình tích phân của những phương trình vi phân phi tuyến. 4 Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Phương trình tích phân tất định: Giới thiệu: Xét phương trình tích phân: Z b K(x, y)f (y)dy = g(x) (1.1) a Z b K(x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x) a (1.2) là phương trình Fredholm không thuần nhất của loại thứ nhất và thứ hai tương ứng và phương trình tích phân tuyến tính: Z x K(x, y)f (y)dy = g(x) (1.3) a Z x a K(x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x) (1.4) là phương trình Volterra không thuần nhất của loại thứ nhất và thứ hai tương ứng. Từ sự phân loại của phương trình tuyến tính trên, ta thấy phương trình Volterra là trường hợp đặc biệt của một phương trình Fredholm với hạch:  K(x, y) nếu x > y e K(x, y) = 0 nếu x < y (1.5) Phương trình tích phân tuyến tính chiếm một phần quan trọng của phương trình toán tử tuyến tính trong ứng dụng toán học. 5 Chúng ta xét 3 ví dụ chỉ ra mối quan hệ của phương trình tích phân và phương trình khác. 1. Bài toán giá trị ban đầu: Xét phương trình vi phân cấp 2: dx d2 x + a + bx = f (t) dt2 dt (1.6) cùng với điều kiện ban đầu x′(0) = v0 x(0) = x0, (1.7) Trong (1.6) a và b có thể là những hàm của t. Nếu chúng ta viết lại phương trình (1.6) là: d2 x dx = −a − bx + f (t) dt2 dt và tích phân trong khoảng (0, t) chúng ta có được, sử dụng (1.7) Z t Z t Z t dx dx f dr a dr − bxdr + =− dt dt 0 0 0 Z t Z t f dr + a(0)x0 + v0 = −ax − (b − a′ )xdr + 0 0 Tích phân trên chúng ta có được: Z tZ t Z t [b(r) − a(r)]x(r)drdr a(r)x(r)dr − x(t) = x0 − 0 0 0 Z tZ t f (r)drdr + [a(0)x0 + v0 ]t + 0 0 mà có thể được viết với hình thức là: Z t a(r) + (t − r)[b(r) − a′ (r)]x(r)dr x(t) = − Z0 t + (t − r)f (r)dr + [a(0)x0 + v0]t + x0 0 Có thể viết lại là: x(t) − Z t K(t, r)x(r)dr = g(t) 0 6 (1.8) Trong đó: K(t, r) = (r − t)[b(r) − a′ (r)] − a(r) Z t (t − r)f (r)dr + [a(0)x0 + v0]t + x0 g(t) = 0 Do đó chúng ta đã chỉ ra rằng phương trình (1.6) và (1.7) và phương trình tích phân (1.8) như một phương trình Volterra của loại thứ hai. 2. Bài toán biên: Xét phương trình vi phân sau: d2 x + λx = 0, dt2 x(0) = 0, (1.9) x(a) = 0 Tiến hành như trong ví dụ đầu tiên, tích phân trong khoảng (0, t) : Z t dx x(r)dr + x′ (0) = −λ dt 0 Ở đây x′(0) chưa biết. Tích phân lặp lại khoảng (0, t) và sử dụng điều kiện x(0) = 0, chúng ta có được: x(t) = −λ Z 0 t (t − r)x(r)dr + x′ (0)t (1.10) Thay điều kiện thứ hai x(a) = 0 chúng ta có: Z a ′ (a − r)x(r)dr x (0) = (λ/a) 0 Do đó, (1.10) có thể được viết lại là : Z a Z t (a − r)x(r)dr x(t) = −λ (t − r)x(r)dr + t(λ/a) 0 0 Z a Z t t(a − r)x(r)dr r(a − t)x(r)dr + (λ/a) = (λ/a) 0 t Nếu chúng ta đặt :  (r/a)(a − t) với r < t K(t, r) = (t/a)(a − r) với r > t 7 (1.11) Phương trình (1.11) có thể được viết lại là: Z a K(t, r)x(r)dr x(t) = λ (1.12) 0 Do đó, phương trình (1.9) dẫn đến phương trình Fredholm của loại thứ hai. 3. Xét toán tử vi phân tuyến tính cấp 2 sau:   dx d p(t) + q(t)x L[x] = dt dt (1.13) Ở đó, p(t) > 0. Chúng ta sẽ xét hàm x(t) ở hai đầu của một khoảng đã cho (a, b) thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất: αx(a) + βx′(a) = 0, γx(b) + δx′ (b) = 0 (1.14) Chúng ta cũng giả sử rằng nghiệm duy nhất x(t) của phương trình Lx = 0 thỏa mãn điều kiện biên (1.14) và để x(t) và x′(t) là liên tục thì nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0. Hàm Green’s hoặc hàm ảnh hưởng liên kết với toán tử L khác và điều kiện biên là hàm G(t, r) với những tính chất dưới đây: (i) G(t, r) là liên tục với t, r ∈ [a, b] ∂G (ii) Mỗi khoảng [a, r] và [r, b], đạo hàm ∂G ∂t và ∂r là liên tục. (iii) G(t, r) là liên tục tại t = r 1 (iv) Đạo hàm của G là điểm gián đoạn của độ lớn − p(r) tại t = r, đó là:   ∂G 1 ∂G − = ∂r t=r+ ∂r t=r− p(r) (v) Cho r cố định , G(t, r) thỏa mãn phương trình L[G] = 0 trong mỗi khoảng [a, r), (r, b] (vi)Hàm của t, G(t, r) thỏa mãn điều kiện của biên (1.14) Để định nghĩa hàm Green’s chúng ta xây dựng tích phân u(t) và v(t) của L[x] = 0 thỏa mãn điều kiện Cauchy: u′(a) = −α u(a) = β v ′ (b) = −γ v(b) = δ 8 Tích phân u(t) và v(t) tuyến tính độc lập và từ lý thuyết của phương trình tuyến tính khác, chúng ta có: p(t)[u(t)v ′(t) − u′(t)v(t)] = c 6= 0 Bây giờ chúng ta có thể định nghĩa một hàm G(t, r) bằng:  u(t)v(r)/c với t ∈ [a, r] G(t, r) = u(r)v(t)/c với t ∈ [r, b] (1.15) Và nó không khó để xác minh rằng hàm định nghĩa như trên thỏa mãn tính chất (i)-(vi) của hàm Green’s. Từ (1.15) hàm G(t, r) tương ứng với thuộc tính dưới đây: (vii) G(t, r) = G(r, t) tức là G(t, r) là một hàm đối xứng. Tiếp theo chúng ta phát biểu hai kết quả là tầm quan trọng trong việc đưa phương trình vi phân dạng Lx = f (t) đến phương trình Fredholm. Định lý 1.1. Cho f (t) là một hàm liên tục được xác định trên [a,b]. Nếu x(t) là một nghiệm của phương trình vi phân: Lx + f (t) = 0 (1.16) thỏa mãn điều kiện biên (1.14), thì x(t) có thể được viết dưới dạng: Z b G(t, r)f (r)dr (1.17) x(t) = a 1.1.2 Phương trình Fredholm loại 2 với hạch suy biến: Trong phần này, chúng ta xét phương trình tích phân Fredholm loại hai: Z 1 0 K(x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x) (1.18) Một hạch Fredholm K(x, y) được gọi là suy biến nếu nó có dạng: K(x, y) = n X αi (x)βi(y) (1.19) i=1 với αi (x)ni=1 và βi (y)ni=1 là hai bộ độc lập của hàm L2 (0, 1) độc lập tuyến tính. Trong trường hợp này, phương trình tích phân Fredholm (1.18) tương 9 đương hệ n phương trình đại số tuyến tính với n chưa biết. Nếu chúng ta đặt : ξj = Z 1 βj (x)f (x)dx j = 1, 2, . . . , n (1.20) 0 Phương trình (1.18) với hạch (1.19) trở thành: n X j=1 ξj αj (x) − λf (x) = g(x) (1.21) ξj chưa biết không đổi, hàm f (x) chưa biết . Từ phương trình (1.21), chúng ta thu được: n 1X ξj αj (x) − g(x) (1.22) f (x) = λ j=1 Nếu chúng ta nhân phương trình (1.21) với βi trong đó i = 1, 2, . . . , n và sau đó tích phân lên chúng ta thu được: Z Z 1 n X αj (x)βi(x)dx − λξi = ξj j=1 0 n X aij ξi = bi 1 βi (x)g(x)dx 0 i = 1, 2, . . . , n (1.23) j=1 ai = Z bi = 1 αj (x)βi(x)dx 0 Z 1 βi (x)g(x)dx (1.24) 0 Viết lại phương trình (1.23) dưới hình thức ma trận, chúng ta được : (A − λI)xi = b (1.25) Với A = (aij ) là ma trận cỡ n × n và ξ và b là n-vecto (1.23) tương đương với phương trình (1.18). Do đó, nếu ξj là nghiệm của phương trình (1.23), tương ứng với nghiệm của phương trình (1.18) được tính bởi phương trình (1.22). 10 1.1.3 Phương trình tích phân phi tuyến: Những phương trình tích phân phi tuyến được quan tâm lớn và có tầm quan trọng trong nhiều nhánh của khoa học, kinh tế và công nghệ. Trong trường hợp của những phương trình tích phân tuyến tính, những phương trình tích phân phi tuyến xuất hiện trong toán học hiện đại của những hiện tượng vật lý cụ thể và trong việc xây dựng phương trình tích phân của những phương trình vi phân phi tuyến. Ví dụ, bài toán giá trị ban đầu: x(t) = x(a) + Z t f (r, x(r))dr (1.26) a Và bài toán giá trị biên có thể dẫn đến phương trình tích phân Hammerstein có dạng: x(t) + Z K (t, r)f (r, x(r))dr = 0 (1.27) a Nghiên cứu bài toán phi tuyến trong thuyết mạch điều khiển dẫn tới phương trình tích phân có dạng: Z ∞ K(t − r)ψ(x(r), r)dr = y(t) x(t) − (1.28) −∞ Trong phương trình (1.28) hàm ψ(x, t) đại diện cho phần tử phi tuyến biến thời gian. K(t) đặc trưng tần số của hệ tuyến tính và vế phải y(t) là tín hiệu vào. Benes đã nghiên cứu phương trình (1.28) trong không gian Marcinkiewicz M2 . Không gian hàm M2 (−∞, ∞) là lớp các tích phân địa phương đo được. Những hàm giá trị thực x(t), t ∈ T = (−∞, ∞) mà: Z A 2 |x(t)|2dt (1.29) ||x|| = lim sup(1/2A) A→∞ −A (1.29) có thể chỉ ra điều kiện độ hữu hạn yếu. M0 định nghĩa cho không gian con của hàm có độ 0, x(t) ∈ M2 , ||x|| = 0 và không gian thương M2 /M0 bao gồm tất cả lớp x + M0 , trong đó x ∈ M2 . Với chuẩn ||x|| = ||x + M0 ||, không gian thương M2 /M0 là không gian Banach. Đồng cấu tự nhiên λ của M2 vào M2 /M0 định nghĩa bởi: λ : x → ξ : ||ξ − x|| = 0, x ∈ M2 11 Ánh xạ toán tử M2 vào chính nó có thể mở rộng vào M2 /M0 theo λ. Nếu T : M2 → M2 khi đó T [λx] = λT x với x ∈ M2 . Sử dụng định lý ánh xạ co Banach, Benes đã tìm ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm định lý của phương trình (1.28). Định lý 1.2. Giả sử: (i) ψ(x, t) thỏa mãn điều kiện: α(x1 − x2) 6 ψ(x1, t) − ψ(x2, t) 6 β(x1 − x2 ) ∀t, x1, x2, x1 > x2 và một vài hằng số α, β(β > 0 (ii) K(t) là một hàm L2 sao cho: Z ∞ t2 |K(t)|2dt < ∞ −∞  1   2 (α + β) − 1  1 R ∞  > (β − α)  −iµt K(t)dt  2 −∞ e (1.30) (1.31) (1.32) y(t) là hàm bất kì trong M2 . Khi đó tồn tại nghiệm x(t) ∈ M2 của phương trình (1.28) và λx là duy nhất trong M2 /M0 và cũng là hàm thuộc M0 . 1.2 Phép tính vi tích phân cho hàm ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1. Cho T=[a;b] và hàm ngẫu nhiên X = X(t), t ∈ T 1. X = X(t), t ∈ T được gọi là L0 khả vi tại điểm s nếu tồn tại giới hạn: X(t) − X(s) t→s t−s p − lim Giới hạn này được kí hiệu là L0 − X ′ (s). X = X(t), t ∈ T được gọi là L0 khả vi trên T nếu L0 khả vi tại mọi điểm s∈T 2. Giả sử X(t) ∈ Lp , ∀t ∈ T, X = X(t), t ∈ T được gọi là (0 < p < ∞) tại điểm s nếu tồn tại giới hạn: X(t) − X(s) t→s t−s lim 12 trong Lp. Giới hạn này được kí hiệu là Lp − X ′ (s). X = X(t), t ∈ T được gọi là Lp khả vi nếu nó Lp tại mọi điểm s ∈ T Dễ thấy nếu X = X(t), t ∈ T là Lp -khả vi thì với mọi 0 6 q 6 p thì X là Lq -khả vi và Lq − X ′ (s) = Lp − X ′ (s). Do đó từ nay trở đi để cho gọn ta chỉ viết X ′ (t) là đủ. Định lý 1.3. Hàm ngẫu nhiên X = X(t), t ∈ T là L2 khả vi tại điểm t0 nếu và chỉ nếu: 1. Hàm trung bình m(t) khả vi tại t0 2. Tồn tại giới hạn: K(t0 + h, t0 + k) − K(t0 + h; t0 ) − K(t0; t0 + k) + K(t0; t0) h,k→0 hk (1.33) lim Từ đó suy ra X là L2 khả vi nếu hàm trung bình m(t) khả vi và đạo hàm cấp 2 ∂ 2 K(s,t) ∂s∂t của hàm tương quan K(s,t) tồn tại và liên tục. Trong trường hợp đó ta có: EX ′ (t) = m′ (t) ∂ 2K(s, t) ′ ′ cov(X (s), X (t)) = ∂s∂t Chứng minh: Ta thấy X = X(t), t ∈ T là L2 khả vi tại t0 nếu và chỉ nếu: 1. Tồn tại giới hạn:    X(t0 + h) − X(t0 ) m(t0 + h) − m(t0 ) lim E = lim E h→0 h→0 h h 2. Tồn tại giới hạn:  X(t0 + h) − X(t0 ) X(t0 + k) − X(t0 ) , = lim cov h k (h,k)→(0,0) K(t0 + h, t0 + k) − K(t0 + h, t0 ) − K(t0, t0 + k) + K(t0, t0) lim h,k→0 hk  Mặt khác nếu ∂ 2 K(s,t) ∂s∂t tồn tại và liên tục thì tồn tại giới hạn 1.33. 13 Định lý 1.4. Giả sử X = X(t), t ∈ [a, b] là Lp khả tích trên (a,b) ở đó p > 1. Khi đó với a 6 s < t 6 b ta có: E|X(t) − X(s)|p 6 [ sup E|X ′ (t)|p ](t − s)p t∈(a,b) Từ đó suy ra nếu X ′ (t) = 0 ∀t ∈ T thì X(t) = ξ ∀t Chứng minh: Xét ánh xạ t 7−→ X(t) từ T vào không gian Banach Lp . Khi đó tính Lp khả vi chính là tính khả vi của ánh xạ X. Do đó kết luận của định lý suy ra từ định lý số gia giới nội của đạo hàm hàm giá trị Banach. Ví dụ 1.1. Giả sử X = X(t), t ∈ T là hàm ngẫu nhiên Poisson với tham số λ. Ta chứng minh rằng X = X(t), t ∈ T không L2 -khả vi ở bất cứ điểm t0 nào. Thật vậy, hàm tự tương quan của X là K(s, t) = λmin(s, t). Với h = k > 0 ta có: K(t0 + h, t0 + h) − K(t0 + h, t0 ) − K(t0, t0 + h) + K(t0, t0 ) (h,k)→(0,0) h2 t0 + h − t0 − t0 + t0 1 = lim λ = lim λ =∞ h→0 h→0 h h2 lim Chú ý rằng tồn tại bản sao của X với hầu hết các quỹ đạo là hàm bậc thang không giảm với bước nhảy bằng 1. Mỗi quỹ đạo như vậy chỉ không khả vi tại các điểm bước nhảy. Tương tự hàm ngẫu nhiên Wiener W không L2 -khả vi ở bất cứ điểm t0 nào. Bây giờ ta định nghĩa khái niệm tích phân Riemann cho hàm ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.2. Cho T=[a,b] và hàm ngẫu nhiên X = X(t), t ∈ T Với phép phân hoạch I của đoạn [a,b] a = t0 < t1 < . . . < tn = b với |I| = max(ti+1 − ti ) là đường kính của I, ta lập tổng tích phân Riemann: SI = n−1 X i=0 X(si )(ti+1 − ti ) 14 trong đó si ∈ [ti+1, ti ] Nếu tồn tại giới hạn trong Lp (0 6 p < ∞) không phụ thuộc vào việc chọn các điểm si . lim SI |I|→0 thì ta nói X là Lp khả tích Riemann và viết Z b X(t)dt lim SI = (Lp) − |I|→0 a Chú ý: Nếu X = X(t), t ∈ T là Lp-khả tích thì Rb X(t)dt là một biến ngẫu nhiên trong Lp(Ω). Hơn nữa, với mọi 0 6 q 6 p thì X cũng là Lq -khả Rb Rb tích và Lq − a X(t)dt = Lp − a X(t)dt. Do đó từ nay trở đi để cho gọn Rb ta chỉ viết a X(t)dt là đủ. Mặt khác giả sử với hầu hết ω hàm chọn X(., ω) là khả tích Riemann. Khi đó tổng tích phân SI hội tụ hầu chắc chắn do đó: Z b Z b X(t)dt X(t, ω)dt = (Lp) − a Như vậy trong trường hợp này có thể hiểu thông thường trên mỗi quỹ đạo. Rb a a a X(t)dt là tích phân Riemann Tích phân của hàm ngẫu nhiên có các tính chất quen thuộc như của tích phân Riemann của hàm tất định. Rb Rb Rc (a < c < b) Định lý 1.5. 1. a X(t)dt + c X(t)dt = a X(t)dt Rb 2. a [αX(t) + βY (t)dt trong đó α, β là các biến ngẫu nhiên. Chứng minh tương tự như trong trường hợp tích phân của hàm tất định. Định lý 1.6. Giả sử X = X(t) là Lp liên tục (p > 1). Khi đó: 1. || Z b X(t)dt|| 6 Z a a 2. Đặt: Y (t) = Z b ||X(t)||dt t X(s)ds a 15 Khi đó Y = Y (t), t ∈ [a, b] là Lp -khả vi và Y ′ (t) = X(t) 3. Nếu X = X(t) là Lp -khả vi liên tục trên [a,b] thì Z b X ′ (t)dt = X(b) − X(a) a Chứng minh: 1. Hàm t 7−→ ||X(t)|| là liên tục do đó khả tích Riemann. Từ bất đẳng thức: ||SI || 6 ||X(si )||(ti+1 − ti ) cho qua giới hạn khi |I| → 0 ta có điều phải chứng minh. 2. Xét điểm t0 ∈ (a, b) Giả sử ||.|| là chuẩn của không gian Banach Lp (Ω). Cho ε > 0 vì X(t) là Lp liên tục tại t0 nên tồn tại δ > 0 sao cho: ||X(t) − X(t0 )|| < ε nếu |t − t0 | < ε ta có:     Z t  Y (t) − Y (t0 )    1   =  (X(s) − X(t0 ))ds − X(t ) 0    t − t  t − t0 0 t0 Z t 1 ||X(s) − X(t0 )||ds 6 t − t0 t0 1 6 ε(t − t0 ) = ε t − t0 Điều này chứng minh rằng trong Lp ta có: Y (t) − Y (t0) = X(t0 ) → Y ′ (t0) = X(t0 ) t→t0 t − t0 Rt 3. Đặt Y (t) = a X ′ (s)ds theo khẳng định trên Y ′ (t) = X ′ (t) với mọi t. Do đó theo định lý 1.4 Y (t) = X(t) + ξ ∀t trong đó ξ ∈ Lp . Vì Y (a) = 0 → Rb ξ = −X(a). Do đó Y (b) = X(b) − X(a) tức là a X ′ (t)dt = X(b) − X(a). Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn về tính L2 khả tích của X thông qua tính khả tích của hàm trung bình và hàm tự tương quan. lim Định lý 1.7. Hàm ngẫu nhiên X = X(t), t ∈ T = [a, b] là L2 khả tích nếu và chỉ nếu hàm trung bình m(t) khả tích trên T và hàm tự tương quan 16 K(s, t) khả tích trên T × T . Trong trường hợp đó ta có: Z b Z b Z b m(t)dt EX(t)dt = E[ X(t)dt] = a a a Z bZ b Z b K(s, t)dsdt V ar[ X(t)dt] = a a a Z bZ d Z d Z b K(s, t)dsdt X(t)dt] = cov[ X(t)dt, a c a c Nếu X = X(t), t ∈ T = [a, b], Y = Y (t), t ∈ T = [c, d] là L2 khả tích thì: Z bZ d Z d Z b E[X(t)Y (s)]dsdt (1.34) Y (t)dt] = E[ X(t)dt][ a c a c Từ đó suy ra cov[ Z b a Chứng minh: X(t)dt, Z d X(t)dt] = Z bZ a c b cov[X(t)Y (s)]dsdt a Điều kiện đủ: Giả sử X là L2 khả tích. Đặt: Z b X(t)dt ξ= a SI = n−1 X i=0 X(si )(ti+1 − ti ) Vì SI hội tụ tới ξ trong L2 nên lim = E(SI ) = Eξ . Mặt khác: |I|→0 E(SI ) = n−1 X i=0 m(si )(ti+1 − ti ) Rb m(t)dt. Trước hết ta chứng minh 1.34. Giả sử J là một phân hoạch của đoạn [c,d] c = t′0 < t′1 < . . . < t′m = d. Đặt: Z d Y (t)dt η= Do đó, m(t) khả tích và Eξ = a c h(t, s) = E[X(t)Y (s)] m−1 X Y SJ = Y (s′j )(t′j+1 − t′ j) i=0 17 Ta có lim |I|→0|J|→0 E(SI SJY ) = Eξη . Mặt khác: ESI SJY = n−1 m−1 X X h(si , s′j )(ti+1 − ti )(t′j+1 − t′j ) Eξη = Z bZ i=0 j=0 Do đó: a d h(s, t)dsdt c Điều này chứng minh 1.34. Tiếp theo do 1.34 (với (Y (t) = X(t)) ta có: Z bZ d E[X(t)X(s)]dsdt Eξη = c a Z bZ d Z bZ d m(t)m(s)dsdt K(s, t)dsdt + = a a c c Z d Z b Z bZ d m(s)ds] K(s, t)dsdt + [ m(t)dt][ = c a a c Z bZ d K(s, t)dsdt + (Eξ)(Eη). = c a Z bZ d K(s, t)dsdt → cov(ξ, η) = a c Cho a = c, b = d ta được ξ = η do đó: V ar(ξ) = cov(ξ, ξ) = Z bZ a d K(s, t)dsdt c Điều kiện cần: Giả sử I và J là hai phép phân hoạch tùy ý của [a,b] I : a = t0 < t1 < . . . < tn = b J : a = t0 < t1 < . . . < tm = b với các điểm si ∈ [ti ; ti+1], s′i ∈ [t′i ; t′i+1]. Xét các tổng: SI = SJ = n−1 X i=0 m−1 X i=0 X(si )(ti+1 − ti ) X(s′i )(t′i+1 − t′i ) 18