Tài liệu Phương trình sai phân riêng tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thị Thúy PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN RIÊNG TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thị Thúy PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN RIÊNG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán học Tính toán Mã số: 60.46.30 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ CÔNG LỢI Hà Nội - 2012 Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Những tập con của mặt phẳng lưới . . . . . . 1.3 Phân loại phương trình sai phân riêng . . . . 1.4 Dãy một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Dãy hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Một số kết quả khác sử dụng ở các chương sau 2 Nghiệm hiển 2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . 2.2 Phương pháp hàm sinh . . . 2.3 Phương pháp tịnh tiến . . . 2.4 Phương pháp toán tử . . . . 2.5 Phương pháp nghiệm tách . 2.6 Phương pháp tích chập . . . 2.7 Phương pháp hệ tuyến tính 3 Sự 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tồn tại nghiệm Nghiệm dạng truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . Nghiệm dương và bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương pháp đơn điệu cho phương trình Laplace rời rạc Phương pháp ánh xạ co cho phương trình Laplace rời rạc Phương pháp đơn điệu cho những phương trình tiến hóa Phương pháp đơn điệu cho bài toán biên . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 4 7 12 13 . . . . . . . 15 15 17 20 22 24 27 34 . . . . . . 38 38 42 45 50 51 54 60 iv Bảng ký hiệu A∪B hợp của tập A và B A∩B giao của hai tập A và B N tập số tự nhiên Z tập số nguyên Z+ tập số nguyên dương R tập số thực C tập số phức ∂Ω biên của miền Ω lΩ tập tất cả các dãy phức xác định trên Ω lN×N tập tất cả dãy phức hai chiều xác định trên N × N lZ×Z tập tất cả dãy phức hai chiều xác định trên Z × Z lcZ tập tất cả các dãy phức trong lZ có hữu hạn phần tử khác không ∆uk sai phân cấp 1 của dãy {uk } E m {fk } dãy tịnh tiến của dãy {fk } Exm Eyn {fij } dãy tịnh tiến của dãy {fij } f ∗g tích chập của dãy f và dãy g ∆x uij sai phân theo biến thứ nhất của dãy {uij } ∆y uij sai phân theo biến thứ hai của dãy {uij } Dvij hàm Laplace của dãy {vij } iii Lời nói đầu Những mối quan hệ toán học bao gồm các hàm với hai hay nhiều biến độc lập đã xuất hiện từ rất lâu trước khi có những khái niệm của giải tích như đạo hàm hay tích phân. Trong luận văn này, chúng tôi giới thiệu một lớp quan hệ hàm quan trọng đó là phương trình sai phân riêng. Nói một cách khái quát, đó là những quan hệ hàm với cấu trúc đệ quy. Như ta đã biết một quan hệ hàm của hai biến rời rạc sau m−1 m Cnm = Cn−1 + Cn−1 , 1 ≤ m ≤ n, n ∈ N. (*) Dễ thấy (*) có một nghiệm là một hàm {Cnm } được xác định bởi Cnm = n! , 0 ≤ m ≤ n, n ∈ N. m!(n − m)! Mặc dù phương trình sai phân riêng (*) xuất hiện trước khi có khái niệm về phương trình đạo hàm riêng, nhưng nó đã không thu hút được sự chú ý của các nhà toán học như phương trình đạo hàm riêng. Cho tới khi có sự phát triển của khoa học máy tính trong cả Toán học, Vật lý, kĩ thuật,. . . thì những hàm chưa biết với các biến rời rạc, độc lập trong các phương trình sai phân riêng có thể được mô phỏng một cách dễ dàng. Sự mô phỏng này đưa ra những thông tin quan trọng về định lượng cũng như định tính từ đó giúp chúng ta có thể hiểu được dáng điệu phức tạp của nghiệm của những phương trình cần xem xét. Trong luận văn này chúng tôi tập trung trình bày một số phương pháp được sử dụng để tìm nghiệm cũng như tiêu chuẩn tồn tại nghiệm của những phương trình sai phân riêng dựa theo tài liệu [2]. Những ví dụ về phương trình sai phân riêng được trình bày chủ yếu là những lớp phương trình nhiệt, phương trình tăng trưởng,... Luận văn của chúng tôi bao gồm 3 chương: Chương 1 là những kiến thức chuẩn bị của luận văn. Chương này bắt đầu với việc giới thiệu một vài phương trình sai phân riêng. Vì những nghiệm của phương trình sai phân riêng là những dãy nên những thông tin cơ bản về dãy một và hai chiều cần được trình bày chi tiết. Ngoài ra chúng tôi điểm qua những khái niệm và kết quả chính có sử dụng trong các chương sau và chứng minh một số định lý như: Nguyên lý cực đại và các hệ quả của nó. i Lời nói đầu Chương 2 dành riêng cho việc đi tìm nghiệm hiển của một số phương trình sai phân riêng cụ thể. Với mỗi phương pháp được minh họa bằng những ví dụ cụ thể. Các phương pháp được trình bày trong chương này là: phương pháp hàm sinh, phương pháp toán tử, phương pháp tịnh tiến, phương pháp tuyến tính, phương pháp nghiệm tách và phương pháp tích chập. Nội dung chủ yếu ở Chương 3 là đưa ra những tiêu chuẩn tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình sai phân riêng chẳng hạn như các tiêu chuẩn tồn tại nghiệm: truyền sóng đối với phương trình nhiệt; nghiệm dương và bị chặn của phương trình nhiệt trong trường hợp tổng quát; nghiệm đơn điệu với bài toán biên Dirichlet, phương trình Laplace;... Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình, TS. Lê Công Lợi, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tôi. Đồng thời tôi cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tôi về tài liệu và thủ tục hành chính để tôi hoàn thành bản luận văn này. Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến bạn bè, đặc biệt là bạn bè trong nhóm Toán học tính toán lớp Cao học 09 - 11, đã động viên giúp đỡ tôi về tài liệu tham khảo và kỹ thuật biên soạn Latex. Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè, tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, năm 2012 Học viên Phạm Thị Thúy ii Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cần thiết sử dụng ở hai chương sau của luận văn. 1.1 Giới thiệu Một dãy hai chiều hay nhiều chiều là một hàm xác định trên tập Ω ⊂ Z2 (hoặc Zn .) Tập tất cả các dãy phức xác định trên Ω kí hiệu là lΩ . Ta có thể kí hiệu một (j) dãy hai chiều theo nhiều cách: {ui,j }, {uij } hoặc {ui }. Sau đây là một số ví dụ về phương trình sai phân riêng. Ví dụ 1.1. Phương trình nhiệt Ta xét phân bố nhiệt của một thanh sắt rất dài, giả sử thanh sắt dài có thể (n) phủ lên tập số nguyên Z. Cho um là nhiệt độ tại thời điểm nguyên dương n và vị (n) (n) trí nguyên m của thanh sắt. Tại thời điểm n, nếu um−1 > um thì nhiệt sẽ truyền (n+1) (n) từ điểm m − 1 tới điểm m. Tổng số nhiệt tăng thêm là um − um . Ta có thể (n) (n) giả sử rằng lượng nhiệt tăng đó xấp xỉ sai phân um−1 − um , nghĩa là (n) (n) u(n+1) − u(n) m m = r(um−1 − um ) với r > 0 là hằng số dương chỉ tốc độ truyền nhiệt. Tương tự, nếu tại thời điểm (n) (n) n mà um+1 > um thì nhiệt sẽ truyền từ điểm m + 1 tới điểm m. Khi đó, ta có thể biểu diễn phương trình tổng nhiệt (n) (n) (n) (n) u(n+1) − u(n) m m = r(um−1 − um ) + r(um+1 − um ), m ∈ Z, n ∈ N. (1.1) Vì giả sử thanh sắt có thể phủ lên tập số nguyên nên miền xác định của phương trình này là Z × N. Nếu thanh sắt nửa vô hạn hoặc hữu hạn thì miền xác định tương ứng là {(m, n)|m ∈ Z+ ; n ∈ N} và {(m, n)|m = 1, 2, ...., M ; n ∈ N}. 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Nếu thanh sắt làm bằng vật liệu không thuần nhất thì (1.1) có dạng (n) (n) u(n+1) = aum−1 + bu(n) m m + cum+1 , m ∈ Z, n ∈ N, a, b, c ∈ R. Tương tự, thay vì việc xét thanh sắt dài ta xét tấm kim loại mỏng và rất rộng, (n) giả sử rộng có thể phủ lên tập Z2 . Cho uij là nhiệt độ của tấm kim loại tại điểm (i, j) và thời điểm nguyên dương n. Khi đó phương trình nhiệt có dạng (n+1) uij (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) − uij = r(ui−1,j − 2uij + ui+1,j ) + r(ui,j−1 − 2uij + ui,j+1 ) (n) (n) (n) (n) (n) = r(ui−1,j + ui+1,j + ui,j−1 + ui,j+1 − 4uij ), (i, j) ∈ Z2 , n ∈ N. Nếu tấm kim loại mỏng làm bằng hợp chất thì phương trình nhiệt là (n+1) uij (n) (n) (n) (n) (n) (n) − uij = αij ui−1,j + βij ui+1,j + γij ui,j−1 + δij ui,j+1 − σij uij . (1.2) Ví dụ 1.2. Phương trình độc lập thời gian rời rạc Xét phương trình truyền nhiệt trên tấm kim loại dạng (1.2), nếu phân bố nhiệt ban đầu tại n = 0, thì dưới điều kiện phù hợp, ta hy vọng sau một khoảng thời gian đủ dài, nhiệt bên trong tấm kim loại sẽ ổn định và phân bố nhiệt tại thời (n) điểm n bất kì {uij } ≡ {uij }.Khi đó {uij } thỏa mãn αij ui−1,j + βij ui+1,j + γij ui,j−1 + δij ui,j+1 − σij uij = 0. Nếu nhiệt độ tại mỗi điểm lưới trong bằng trung bình cộng của 4 điểm lưới lân cận thì ta thu được một lớp phương trình là phương trình Laplace ui−1,j + ui+1,j + ui,j−1 + ui,j+1 − 4uij = 0 và nó gọi là những phương trình độc lập thời gian rời rạc. 1.2 Những tập con của mặt phẳng lưới Chúng ta sẽ làm việc với những phương trình sai phân riêng của dãy hai chiều xác định trên Z2 . Vì vậy ta xét một số khái niệm sau. Hai điểm lưới gọi là lân cận nếu khoảng cách Euclid giữa chúng bằng 1. Cho z = (i, j) kí hiệu zL := (i − 1, j), zR := (i + 1, j), zD := (i, j − 1), zT := (i, j + 1). Một đường là một tập các điểm lưới z1 , z2 , ..., zn với các điểm đầu mút z1 , zn sao cho z1 là lân cận của z2 , z2 là lân cận của z3 , . . . Một tập các điểm lưới gọi là liên thông nếu hai điểm bất kì của tập này là điểm đầu và điểm cuối của một đường nào đó. Một thành phần của tập Ω là một tập con khác rỗng, liên thông lớn nhất của Ω. Một tập con liên thông, khác rỗng của mặt phẳng lưới gọi là một miền xác định. 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Cho Ω là miền xác định, biên ngoài của Ω kí hiệu ∂Ω là tập tất cả các điểm lưới không thuộc Ω nhưng có ít nhất một lân cận thuộc Ω. Một điểm thuộc ∂Ω gọi là điểm biên ngoài. Tương tự, biên trong của Ω là tập tất cả những điểm thuộc Ω và là lân cận của một điểm biên ngoài của Ω, kí hiệu ∂ 0 Ω. Hơn nữa, ∂L Ω = {z ∈ ∂Ω : zR ∈ Ω}, ∂R Ω = {z ∈ ∂Ω : zL ∈ Ω}, ∂D Ω = {z ∈ ∂Ω : zT ∈ Ω}, ∂T Ω = {z ∈ ∂Ω : zD ∈ Ω}. Ví dụ cho Ω = {(1, 2), (2, 2), (1, 1)} thì ∂Ω = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), (2, 4), (1, 4), (0, 2), (0, 1)} và ∂ 0 Ω = Ω. Bậc của một điểm lưới trong miền Ω là số các điểm lân cận của nó thuộc Ω. Một xích là tập các điểm lưới trong đó chỉ có hai điểm bậc 1, các điểm còn lại bậc 2. Ví dụ tập {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (4, 5)} là một xích. Tiếp theo, chúng ta đưa ra một quan hệ thứ tự trên tập N × N. Trước tiên, ta chia tập N × N thành một lớp tập Q0 , Q1 , Q2 , ... xác định bởi Qk = {(i, j) ∈ N × N|i + j = k}, k ∈ N. Vì vậy, Q0 = {(0, 0)}, Q1 = {(0, 1), (1, 0)}, ... Trên N×N xét quan hệ thứ tự sau: (i, j), (m, n) ∈ N×N, (i, j) 4 (m, n) nếu hoặc (i): (i, j) ∈ Qk và (m, n) ∈ Ql và k < l, hoặc (ii): (i, j), (m, n) ∈ Qk và i > m. Rõ ràng, với quan hệ thứ tự này tập các điểm lưới có thể sắp xếp theo thứ tự sau: (0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 1), (0, 2), ... 1.3 Phân loại phương trình sai phân riêng Phương trình sai phân riêng có thể viết dưới dạng tổng quát F (uij , ui+1,j , ...) = 0. Có nhiều cách để phân loại phương trình sai phân riêng. Chẳng hạn như: Ta có thể phân loại phương trình sai phân riêng dựa vào miền xác định của nó. Ví dụ, phương trình xác định trên một xích, trên nửa mặt phẳng... Hoặc Ta cũng có thể phân loại dựa vào số biến của F. Ví dụ một phương trình 4 điểm có dạng sau ui+1,j+1 = ui+1,j + ui,j+1 + uij . Hoặc đặt tên cho phương trình sai phân riêng, như ui,j+1 + ui+1,j + ui,j−1 + ui−1,j − 4uij = 0, là phương trình Laplace rời rạc; ui,j+1 + ui+1,j + ui,j−1 + ui−1,j − 4uij = gij , 3 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị là phương trình Possion rời rạc. Một lớp phương trình sai phân riêng quan trọng là phương trình tuyến tính. Ta nói phương trình F (uij , ui+1,j , . . .) = gij gọi là tuyến tính nếu F (x1 , x2 , . . .) tuyến tính. Nghĩa là F (αx1 + βy1 , . . . , αxn + βyn ) = αF (x1 , . . . , xn ) + βF (y1 , . . . , yn ), α, β ∈ C. Nếu gij ≡ 0 thì phương trình gọi là thuần nhất, ngược lại gọi là phương trình không thuần nhất. Sau đây là một tính chất quan trọng của phương trình tuyến tính: cho g (1) = (1) (t) {gij }, . . . , g (t) = {gij } là những hàm bất kì và α1 , . . . , αt là những hằng số. Nếu F tuyến tính và nếu u(1) , . . . , u(t) là nghiệm của những phương trình (1) (t) F (uij , ui+1,j , . . .) = gij , . . . , F (uij , ui+1,j , . . .) = gij , thì α1 u(1) + · · · + αt u(t) là nghiệm của phương trình (1) (t) F (uij , ui+1,j , . . .) = α1 gij + · · · + αt gij . 1.4 Dãy một chiều Cho Ω là một tập con của Z. Dãy một chiều là một hàm xác định trên tập Ω ∞ có dạng {uk }∞ k=a hoặc {uk }− ∞ . lΩ là tập tất cả các dãy phức xác định trên Ω dạng f = {fk }k∈Ω . Gọi fk là thành phần thứ k của dãy. Với α ∈ C và các dãy f = {fk }, g = {gk } ∈ lΩ , xác định −f = {−fk }; αf = {αfk }; f + g = {fk + gk }. Trong lN ta định nghĩa một số dãy đặc biệt sau ᾱ := {α, 0, ...}, α ∈ C, 0̄ := {0, 0, ...}, 1̄ := {1, 0, 0, ...}, σ̄ := {1, 1, ...}, δ̄ = {1, −1, 0, ...}, với m là một số nguyên không âm, xác định dãy    1, k = m, m h̄k =   0, k 6= m, với m = 1 thì {h̄1k } := {h̄k } = {0, 1, 0, ...}. Ta thấy h̄ + δ̄ = 1̄. Sai phân Với {uk } là một dãy phức bất kì. Đặt ∆uk := uk+1 − uk . Khi đó dãy ∆u := {∆u0 , ∆u1 , ...} thu được bằng cách lấy liên tiếp sai phân từng thành phần của dãy {uk }, gọi là sai phân bậc 1 của dãy u = {uk }. Sai phân bậc m, ∆m u := ∆(∆m−1 u), m = 2, 3, ..., được định nghĩa bằng đệ quy. Ta cũng dễ dàng kiểm tra ∆(uk ∆vk − vk ∆uk ) = uk+1 ∆2 vk − vk+1 ∆2 uk . 4 (1.3) Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Dãy tịnh tiến Xét ánh xạ tịnh tiến xác định bởi E m : lN −→ lN {fk }k∈N 7−→ {fm+k }k∈N , m ∈ N. Dãy {fm+k } gọi là dãy tịnh tiến của dãy f = {fk }, k ∈ N. Ta có một số tính chất của ánh xạ tịnh tiến 1. E 0 f = f, E m {f + g} = E m f + E m g, 2. E m (αE n f ) = αE m+n f, ∀α ∈ C, m, n ∈ N, f ∈ lN , 3. i j n (E + E ) f = n X Cnm E i(n−m) E jm f m=0 = n X Cnm E in+jm−im f, f ∈ lN , i, j, n, m ∈ N. m=0 Tích chập Cho dãy f = {fk }, g = {gk } ∈ lZ , Ω là một tập con của Z. Khi đó tích chập của f và g là hàm f ∗ g : Ω → C định nghĩa bởi ∞ X (f ∗ g)k = fi gk−i , k ∈ Ω, i=−∞ mỗi khi tổng này hữu hạn. Tương tự trong lN ta có (f ∗ g)k = k X fi gk−i , k ∈ N. i=0 Để thuận tiện, ta kí hiệu f g, f 2 , f 3 , ... thay cho kí hiệu f ∗ g, f ∗ f, f ∗ f ∗ f, ... Ví dụ 1̄ ∗ f = f, 0̄ ∗ f = 0̄, ᾱ ∗ β̄ = αβ. Nhận xét 1. Với f = {fk }, g = {gk } ∈ lZ thì có f ∗ g = g ∗ f . 2. Kí hiệu lcZ là tập các dãy trong lZ có hữu hạn phần tử khác không. Với f, g, h ∈ lcZ , α, β ∈ C thì tồn tại và xác định f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h, (αf ) ∗ (βg) = (αβ)(f ∗ g). 3. Với f, g ∈ lN nếu f ∗ g = 0̄ thì f = 0̄ hoặc g = 0̄. Thật vậy, giả sử f0 = · · · = fm−1 = 0, fm 6= 0, g0 = · · · = gn−1 = 0, gn 6= 0. Ta có thể giả sử m ≤ n. Khi đó (f g)m+n = f0 gm+n + · · · + fm gn + · · · + fm+n g0 = fm gn 6= 0 suy ra f ∗ g 6= 0̄. 5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Toán tử Ta có thể kiểm tra (lN , +, ∗) là một miền nguyên với phép cộng thông thường và phép nhân tích chập, đơn vị cộng và nhân tương ứng là 0̄, 1̄. Ta đi xây dựng từ lN một trường lN /lN trên tập {(f, g)|f, g ∈ lN , g 6= 0}, xác định quan hệ ∼: (f, g) ∼ (p, q) ⇔ f q = pg. Dễ dàng thấy ∼ là một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương là một cặp có thứ tự (f, g) viết dưới dạng f /g. Tập tất cả các thương này kí hiệu bởi lN /lN . f /g = p/q ⇐⇒ f q = pg. Ta xây dựng phép nhân và cộng trên thương bởi f p f q + pg f p fp = và + = . gq gq g q gq Với phép cộng và phép nhân định nghĩa ở trên, lN /lN là một trường với đơn vị cộng 0̄/1̄, đơn vị nhân 1̄/1̄. Để thuận tiện ta gọi mỗi thương f /g là một toán tử. Nghịch đảo cộng của toán tử f /g là toán tử −f /g = −(f /g). Nếu φ = p/q và ψ = f /g là hai toán tử, với p, q, f, g ∈ lN thì thương φ/ψ = pg/qf . Đặc biệt, khi ψ 6= 0 thì 1̄/ψ := ψ −1 gọi là nghịch đảo nhân của toán tử ψ và mọi dãy f = {fk } có thể coi như một toán tử vì f = f /1̄. Sau đây ta xét định lí mà sẽ sử dụng về sau. Định lý 1.4.1. [2, Định lý 27] Cho f ∈ lN , f0 := {f0 , 0, 0, ...}, khi đó δ̄f = ∆f + f0 − δ̄(∆f ) = f0 + h̄(∆f ). Chứng minh. Trước hết δ̄ ∗ {fk } = {f0 , f1 − f0 , f2 − f1 , ...} = f0 + h̄(∆f ). Do δ̄ = 1̄ − h̄ nên f0 + h̄(∆f ) = f0 + (1̄ − δ̄)(∆f ) = ∆f + f0 − δ̄(∆f ). Ví dụ áp dụng cho fk = 2k , k ≥ 0, vì ∆fk = 2k và f0 = 1̄ nên δ̄f = f + f0 − δ̄f ⇔ f = {2k } = 1̄ 1̄ = . 2̄δ̄ − 1̄ 1̄ − 2̄h̄ Tổng quát {αk } = 1̄ 1̄ = . ᾱδ̄ − ᾱ + 1̄ 1̄ − ᾱh̄ Sự hội tụ Cho dãy {f (j) }j∈N trong lΩ , ta nói {f (j) } hội tụ (điểm) tới dãy f = {fk } trong lΩ nếu (j) lim fk = fk , k ∈ Ω. j→∞ 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.5 Dãy hai chiều Cho Ω là một tập con của tập Z × Z. Dãy hai chiều là một hàm xác định trên Ω, có dạng f = {fij }(i,j)∈Ω . Kí hiệu lΩ là tập tất cả các dãy phức hai chiều xác định trên Ω. Cho α ∈ C và f = {fij }, g = {gij } ∈ lZ×Z , ta xác định các dãy tương ứng −f = {−fij }; αf = {αfij }; f + g = {fij + gij }. Dãy f = {fij } gọi là không âm nếu mỗi phần tử của nó không âm. Dãy thực {fij } gọi là nhỏ hơn hoặc bằng dãy thực g = {gij } nếu dãy {gij − fij } không âm, kí hiệu bởi f ≤ g. Dãy f = {fij } ∈ lN×N gọi là dương tại vô cùng nếu fij > 0 với mọi i, j đủ lớn. Cho lN×N là tập hợp tất cả các dãy phức hai chiều dạng f = {fij }i,j∈N , nó có thể coi như một ma trận vô hạn dạng   f00 f01 · · ·   f f · · · .  10 11    ··· ··· ··· X0 (lN×N ) là tập tất cả các dãy có mọi hàng bằng 0 ngoại trừ hàng thứ 0, Y0 (lN×N ) là tập tất cả các dãy có mọi cột bằng 0 ngoại trừ cột thứ 0. Tương tự ta định nghĩa các dãy hai chiều sau       0, 0, m 6= i, n 6= j, (Xi f )mn = và (Yj f )mn = ∀m, n ∈ N.     fin , m = i, fmj , n = j, Dãy ᾱ là dãy có thành phần thứ (0,0) bằng α còn các thành phần khác bằng 0, gọi là dãy vô hướng. Dãy 0̄ là dãy có tất cả các thành phần đều bằng 0. Các m dãy hm x ( hoặc hy ) là dãy mà thành phần thứ (m,0) (tương ứng (0,m)) bằng m 1 còn tất cả các thành phần khác bằng 0. Tương ứng hm x hy có thành phần thứ (m,n) bằng 1 còn tất cả các thành phần khác bằng 0. Ví dụ,     0 0 0   1 0 0 1 hx := hx =   0 0 0   ··· ··· ··· · · · 0 1 0     · · · 1 0 0 0  , hy := hy =    0 0 0 · · ·     ··· ··· ··· ··· 7 · · ·   · · · ,  · · ·   ··· Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Các dãy σx , σy , δx , δy được xác định như sau    1 0 0   1 0 0 σx =   1 0 0   ··· ··· ··· · · · 1 1 1     · · · 0 0 0  , σy =    0 0 0 · · ·     ··· ··· ··· ··· 1 0 0   −1 0 0 δx =   0 0 0   ··· ··· ··· · · ·   · · · ,  · · ·   ···      · · ·  1 −1 0     · · · 0 0 0  , δy =    0 0 0 · · ·     ··· ··· ··· ··· · · ·   · · · .  · · ·   ··· Chú ý δx + hx = 1̄, δy + hy = 1̄. Dãy tịnh tiến Xét ánh xạ tịnh tiến xác định bởi Exm Eyn : lZ×Z −→ lZ×Z {fij } 7−→ {fi+m,j+n }, m, n ∈ N. Khi đó, dãy {fi+m,j+n } gọi là dãy tịnh tiến của một dãy f = {fij }, i, j ∈ Z. Với m = 0 ta viết Ex0 Eyn f = Eyn f và với n = 0 thì Exm Ey0 f = Exm f . Sai phân Sau đây là khái niệm về sai phân riêng của dãy hai chiều {uij } ∆x uij = ui+1,j − uij và ∆y uij = ui,j+1 − uij lần lượt là sai phân riêng cấp 1 theo biến thứ nhất và biến thứ 2 của dãy {uij }. Sai phân riêng cấp 2 được xác định như sau ∆2x uij = ∆x (∆x uij ), ∆y ∆x uij = ∆y (∆x uij ), ... Các sai phân riêng cấp cao hơn định nghĩa tương tự. Ta có thể kiểm tra tính chất sau. Cho Ω là miền hữu hạn, {uij } là dãy sao cho ∆x ui−1,j , ∆y ui,j−1 xác định trên Ω. Khi đó X X X ∆x ui−1,j = ui−1,j − uij , (1.4) (i,j)∈Ω (i,j)∈∂R Ω 8 (i,j)∈∂L Ω Chương 1. Kiến thức chuẩn bị X ∆y ui,j−1 = (i,j)∈Ω X X ui,j−1 − (i,j)∈∂T Ω uij . (1.5) (i,j)∈∂D Ω Thật vậy, cho H(j) là đường thẳng nằm ngang đi qua điểm (0, j). Với mỗi j ta có X X X ∆x ui−1,j = ui−1,j − uij , (i,j)∈H(j)∩Ω (i,j)∈H(j)∩∂R Ω (i,j)∈H(j)∩∂L Ω nên X ∆x ui−1,j = X = X X ∆x ui−1,j j∈Z (i,j)∈H(j)∩Ω (i,j)∈Ω X ui−1,j − j∈Z (i,j)∈H(j)∩∂R Ω X = ui−1,j − (i,j)∈∂R Ω X X uij j∈Z (i,j)∈H(j)∩∂L Ω X uij . (i,j)∈∂L Ω Ta có định lý sau. Định lý 1.5.1. [2, Định lý 2] Cho Ω là một miền hữu hạn trong Z2 và giả sử u, v là những dãy hai chiều xác định trên Ω + ∂Ω. Khi đó X {vij [∆2x ui−1,j + ∆2y ui,j−1 ] − uij [∆2x vi−1,j + ∆2y vi,j−1 ]} (i,j)∈Ω = + X [vi−1,j ∆x ui−1,j − ui−1,j ∆x vi−1,j ] − X [vij ∆x uij − uij ∆x vij ] (i,j)∈∂R Ω (i,j)∈∂L Ω X X [vi,j−1 ∆y ui,j−1 − ui,j−1 ∆y vi,j−1 ] − (i,j)∈∂T Ω [vij ∆y uij − uij ∆y vij ]. (i,j)∈∂D Ω Thật vậy, theo (1.3) ta có vế trái của phương trình trên VT = X ∆x [vi−1,j ∆x ui−1,j − ui−1,j ∆x vi−1,j ] (i,j)∈Ω + X ∆y [vi,j−1 ∆y ui,j−1 − ui,j−1 ∆y vi,j−1 ], (i,j)∈Ω mặt khác, theo (1.4) và (1.5) suy ra VT=VP. Tích chập Cho f = {fij }, g = {gij } ∈ lN×N tích chập của f, g kí hiệu là f ∗ g xác định bởi (f ∗ g)ij = j i X X fuv gi−u,j−v , i, j ≥ 0. u=0 v=0 9 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Để thuận tiện, ta kí hiệu f g thay vì f ∗ g và f ∗ g = f 2 , f ∗ (f ∗ f ) = f 3 , .... Với quan hệ thứ tự 4 đã trình bày ở Phần 1.2 ta có thể tính được các thành phần của f ∗ g theo quan hệ này như sau f00 g00 , f10 g00 + f00 g10 , f01 g00 + f00 g01 , f20 g00 + f10 g10 + f00 g20 , ... Ví dụ 0̄ ∗ f = 0̄, 1̄ ∗ f = f , ᾱ ∗ β̄ = αβ. Nhận xét: Với f = {fij }, g = {gij }, h = {hij } ta có 1. f g = gf . 2. f (gh) = (f g)h. 3. f 6= 0̄, g 6= 0̄ thì f g 6= 0̄. Toán tử Ta có thể kiểm tra (lN×N , +, ∗) là một miền nguyên với phép cộng thông thường và phép nhân tích chập, đơn vị cộng và nhân tương ứng là 0̄, 1̄. Ta đi xây dựng từ lN×N một trường lN×N /lN×N trên tập {(f, g)|f, g ∈ lN×N , g 6= 0}, xác định quan hệ ∼: (f, g) ∼ (p, g) ⇔ f q = pg. Dễ dàng thấy ∼ là một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương là một cặp có thứ tự (f, g) được viết dưới dạng f /g. Tập tất cả các thương này kí hiệu bởi lN×N /lN×N . f /g = p/q ⇐⇒ f q = pg. Ta xây dựng phép nhân và cộng trên thương bởi f p fp f p f q + pg = và + = , gq gq g q gq với phép cộng và phép nhân định nghĩa ở trên, lN×N /lN×N là một trường có đơn vị cộng 0̄/1̄, đơn vị nhân 1̄/1̄. Để thuận tiện ta gọi thương f /g là một toán tử. Nghịch đảo cộng của toán tử f /g là toán tử −f /g = −(f /g). Nếu φ = p/q và ψ = f /g là hai toán tử, với p, q, f, g ∈ lN×N thì thương φ/ψ = pg/qf . Đặc biệt, khi ψ 6= 0 thì 1̄/ψ := ψ −1 gọi là nghịch đảo nhân của toán tử ψ. Mọi dãy f = {fij } có thể coi như một toán tử vì f = f /1̄. Với ψ, φ là hai toán tử bất kì, ta kí hiệu φ + φ = 2φ, φ + ψ + ψ = φ + 2ψ tương ứng thay cho kí hiệu 2̄φ, φ + 2̄ψ, ..., kí hiệu α nghĩa là ᾱ. Chú ý, X0 (lN×N ) là tập tất cả các dãy có mọi hàng đều bằng 0 ngoại trừ hàng thứ 0. Nếu ta đồng nhất một dãy f trong X0 (lN×N ) với hàng đầu tiên của nó. Ta sẽ được một đẳng cấu φ từ X0 (lN×N ) vào lN sao cho φ(f + g) = φf + φg và φ(f ∗ g) = (φf ) ∗ (φg). 10 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Rõ ràng, mỗi dãy hoặc một toán tử trong lN sẽ cho tương ứng một dãy hoặc một toán tử trong X0 (lN×N ). Vì vậy, theo nghĩa đẳng cấu ta đồng nhất ᾱ := {α, 0, 0, ....}, σ̄ := {1, 1, .....}, δ̄ = {1, −1, 0, ...}, h̄ = {0, 1, 0, ...} trong lN với ᾱ, σx , δx ,hx trong Y0 (lN×N ) và ᾱ, σy , δy , hy trong X0 (lN×N ). Áp dụng, trong lN×N xét các dãy {2j }ij = 2j ; {2i }ij = 2i . Do dãy một chiều f = {2k } = nên ta có X0 {2j }i,j∈N = 1̄ 1̄ = , 2̄δ̄ − 1̄ 1̄ − 2̄h̄ 1̄ 1̄ , = 2̄δy − 1̄ 1̄ − 2̄hy và 1̄ 1̄ . = 2̄δx − 1̄ 1̄ − 2̄hx Sau đây là một tính chất quan trọng cho những dãy tách có dạng {fi gj }i,j∈N . Y0 {2i }i,j∈N = Định lý 1.5.2. [2, Định lý 40] Cho f = {gi hj }i,j∈N , khi đó f = (Y0 {gi }i,j∈N ) ∗ (X0 {hj }i,j∈N ). Chứng minh. Ta có thể kiểm tra trực tiếp rằng        g0 0 · · ·     h0 h1 h2 · · · g0 h0 g0 h1 · · ·     g1 0 · · ·    ∗  0 0 0 · · · . g h g h · · · =        1 0 1 1    g2 0 · · ·       ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· Từ định lý trên ta nhận được {2i+j } = Y0 {2i } ∗ X0 {2j } = 1 . (2δx − 1)(2δy − 1) Ngoài ra, ta có thể kiểm tra trực tiếp công thức sau n m n hm x hy (Ex Ey f ) =f− m−1 X Xs f − s=0 n−1 X t=0 Yt f + m−1 n−1 XX n fuv hm x hy . (1.6) u=0 v=0 Sự hội tụ (k) Cho một dãy {fij } là một dãy hai chiều trong lΩ , ta nói nó hội tụ điểm tới f = {fij } trong lΩ nếu (k) limk→∞ fij = fij , (i, j) ∈ Ω. 11 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.6 Nguyên lý cực đại Cho Ω ⊂ Z2 là miền hữu hạn, khác rỗng. Dãy thực {vij }(i,j)∈Ω+∂Ω và f (i, j, vij ) là hàm thực xác định với (i, j) ∈ Ω. Hàm Laplace của {vij } xác định Dvij = ∆2x vij + ∆2y vij = vi−1,j + vi+1,j + vi,j−1 + vi,j+1 − 4vij . Trong phần này chúng ta sẽ xét những dãy {vij } thỏa mãn những quan hệ hàm đơn điệu, hoặc hàm lồi dưới dạng ∆x vi−1,j ≥ 0, Dvij ≥ 0, Dvij + f (i, j, vij) ≥ 0, Dvij + pij vij = 0, ... Cho (i, j) ∈ Ω, giả sử giá trị của v tại (i, j) không nhỏ hơn giá trị tại bốn điểm lân cận của nó, nghĩa là ∆x vi−1,j ≥ 0, ∆x vij ≤ 0, ∆y vi,j−1 ≥ 0, ∆y vij ≤ 0, khi đó Dvij ≤ 0. Ngược lại, nếu v thỏa mãn Dvij > 0, (i, j) ∈ Ω, khi đó với Dvij ≤ 0 thì v không thể thỏa mãn tại bất kì điểm (i, j) nào trong Ω. Nói cách khác Dvij ≥ 0, đúng với mọi (i, j) ∈ Ω và cực đại của v không thể đạt tại điểm nào trong Ω + ∂Ω ngoại trừ tại điểm biên ngoài của Ω. Ta có nguyên lý cực đại sau. Định lý 1.6.1. [10] Cho {vij }(i,j)∈Ω+∂Ω là dãy thực thỏa mãn Dvij + f (i, j, vij ) ≥ 0, (i, j) ∈ Ω. Với mỗi (i, j) ∈ Ω thì f (i, j, vij ) ≤ 0 khi vij ≥ 0. Hơn nữa, nếu M = max{vij | (i, j) ∈ Ω + ∂Ω} ≥ 0 thì vij < M, ∀(i, j) ∈ Ω, trừ khi vij ≡ M, ∀(i, j) ∈ Ω + ∂Ω. Chứng minh. Giả sử tồn tại (α, β) ∈ Ω nào đó sao cho vαβ = M. Ta đi chứng minh ∀(i, j) ∈ Ω + ∂Ω thì vij = vαβ . Thật vậy Xét xích (α, β) = (i1 , j1 ), (i2 , j2 ), . . . , (in , jn ) = (i, j) là những điểm lưới trong Ω + ∂Ω. Vì vαβ = M nên vα−1,β , vα+1,β , vα,β−1 , vα,β+1 ≤ M suy ra Dvαβ ≤ 0. Ta có 0 ≥ Dvαβ ≥ −f (α, β, vαβ ) ≤ 0 suy ra Dvαβ = 0 nên vα−1,β + vα+1,β + vα,β−1 + vα,β+1 − 4M = 0, hay vα−1,β = vα+1,β = vα,β−1 = vα,β+1 = M. Do đang xét trên xích nên vi2 j2 = M. Nếu (i2 , j2 ) 6= (i, j) ta lặp lại quá trình này cho tới khi vij = vαβ = M, ∀(i, j) ∈ Ω + ∂Ω. Vậy vij < M, ∀(i, j) ∈ Ω, trừ khi vij ≡ M, ∀(i, j) ∈ Ω + ∂Ω. 12 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Hệ quả 1.6.2. [10] Với điều kiện như trong Định lý 1.6.1. Khi đó nếu vij ≤ 0, ∀(i, j) ∈ ∂Ω thì vij < 0, ∀(i, j) ∈ Ω trừ khi v ≡ 0. Chứng minh. Giả sử M = 0, nếu M đạt tại một điểm trong Ω, khi đó theo Định lý 1.6.1 thì u ≡ M = 0. Nếu M không đạt tại một điểm trong Ω thì theo định nghĩa M là cực đại ta có uij < M, ∀(i, j) ∈ Ω. Hệ quả 1.6.3. [10] Xét hệ tuyến tính thuần nhất Dvij + pij vij = 0, vij = 0, (i, j) ∈ Ω, (i, j) ∈ ∂Ω, với Ω là miền hữu hạn, pij ≤ 0, ∀i, j ∈ Z. Khi đó, hệ chỉ có nghiệm tầm thường. Chứng minh. Giả sử ngược lại v = {vij }(i,j)∈Ω+∂Ω là một nghiệm không tầm thường. Đặt vαβ = max(i,j)∈Ω+∂Ω vij > 0. Ta có f (i, j, vij ) = pij vij ≤ 0 nếu vij ≥ 0. Theo Định lý 1.6.1 thì (α, β) ∈ ∂Ω suy ra vαβ = 0, mâu thuẫn. Hệ quả 1.6.4. [10] Cho Ω là một miền hữu hạn trong Z2 , pij ≤ 0, ∀i, j ∈ Z. Khi đó hệ tuyến tính không thuần nhất Dvij + pij vij = ωij , (i, j) ∈ Ω, (i, j) ∈ ∂Ω vij = gij , có nghiệm duy nhất. Chứng minh. Giả sử ngược lại hệ này có hai nghiệm {vij } và {uij } khác nhau với mọi (i, j) ∈ Ω + ∂Ω. Khi đó, D(vij − uij ) + pij (vij − uij ) = 0, uij − vij = 0, (i, j) ∈ Ω, (i, j) ∈ ∂Ω. Theo Hệ quả 1.6.3, hệ này chỉ có nghiệm tầm thường, suy ra vij ≡ uij . 1.7 Một số kết quả khác sử dụng ở các chương sau Định lý 1.7.1. [2, Định lý 16] Giả  b  a    M = · · ·   0   0 sử ac > 0, khi đó giá trị riêng của ma trận  c 0 · · · 0  b c · · · 0     ··· ···   · · · a b c   ··· 0 a b n×n 13 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị cho bởi công thức √ kπ λk (M ) = b + 2σ ac cos , n+1 k = 1, 2, ..., n trong đó σ là dấu của a và các véc tơ riêng tương ứng là  kπ c
−1/2 2kπ c
−(n−1)/2 nkπ T sin , sin ,..., sin , n+1 a n+1 a n+1 k = 1, 2, ..., n. Định lý 1.7.2. [2, Định lý 20] Cho Ω là tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn trong Rn , f : Ω −→ Ω là ánh xạ tuyến tính. Khi đó f có một điểm bất động trong Ω. Định lý 1.7.3. [2, Định lý 21] Cho Ω là không gian metric đủ, khác rỗng và T : Ω −→ Ω là một ánh xạ co. Thì T có một điểm bất động trong Ω. Định lý 1.7.4. [2, Định lý 22] Xét phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất xn+σ + c1 xn+σ−1 + c2 xn+σ−2 + · · · + cσ xn = 0, n ∈ N, ở đây σ ∈ N và c1 , ..., cσ là những số thực. Khi đó nó có nghiệm dương tại vô cùng khi và chỉ khi phương trình đặc trưng λσ + c1 λσ−1 + · · · + cσ = 0 có nghiệm dương. 14