Tài liệu Phương trình sai phân riccati và một số ứng dụng trong toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————o0o—————————— PHẠM THỊ NINH PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN RICCATI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Khải HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Sau một thời gian cố gắng, nỗ lực học tập và nghiên cứu, đến nay tôi đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình. Để có được kết quả này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy tôi, TS Nguyễn Văn Khải, người đã định hướng nghiên cứu cho tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trong bộ môn Toán Giải tích nói riêng và khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung. Cám ơn Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Trãi Thái Bình đã giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Xin cảm ơn những người thân trong gia đình và tất cả những người bạn thân yêu đã hết sức thông cảm, chia sẻ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi để tôi có thể học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn của mình. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 7 năm 2017 Tác giả Phạm Thị Ninh 1 Lời cam đoan Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Văn Khải. Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 7 năm 2017 Tác giả Phạm Thị Ninh 2 Mục lục Lời mở đầu 5 1 7 7 8 8 2 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số . 1.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗ của phương n trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số . 1.3.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗ của phương n trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất 1.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k với hệ số hằng số . 1.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗ của phương n trình sai phân tuyến tính cấp k không thuần nhất . Phương trình sai phân Riccati và một số toán sơ cấp 2.1 Phương trình sai phân Riccati . . . . . . 2.1.1 Một số khái niệm chung . . . . . . 2.1.2 Phương trình Riccati . . . . . . . 2.2 Ứng dụng trong toán sơ cấp . . . . . . . 2.2.1 Hệ phương trình sai phân dạng . 2.2.2 Phương trình sai phân dạng . . . 3 9 11 11 13 16 16 18 ứng dụng trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 22 22 23 40 40 45 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 67 4 Lời mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Nhiều vấn đề của khoa học kĩ thuật, sinh thái, môi trường... dẫn đến bài toán phương trình sai phân. Trong quá trình nghiên cứu các phương pháp số giải gần đúng phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng cũng dẫn đến bài toán phương trình sai phân. Chính vì vậy phương trình sai phân là một nội dung quan trọng của giải tích toán học và có nhiều ứng dụng rộng rãi. Với mong muốn được tìm hiểu sâu thêm về phương trình sai phân và ứng dụng của nó trong toán sơ cấp, tôi đã chọn đề tài: "Phương trình sai phân Riccati và một số ứng dụng trong toán sơ cấp". Phần lý thuyết về phương trình Riccati được dựa trên cuốn chuyên khảo Dynamics of second order rational difference equation with open Problems and conjectures của M.R.S Kulonovic và G.Ladas. Chapman and Hall/CRC. 2. Mục đích và nghiên cứu Nghiên cứu các tính chất cơ bản của phương trình sai phân Riccati và nêu được ứng dụng trong toán sơ cấp. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về phương trình sai phân nói chung, đặc biệt chú ý đến phương trình Riccati. Nghiên cứu một số ứng dụng của phương trình này trong toán sơ cấp. 5 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu : Phương trình sai phân Riccati. Phạm vi nghiên cứu : Phương trình sai phân, một số ứng dụng trong toán sơ cấp. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của giải tích để tiếp cận vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn Luận văn là một tài liệu bước đầu về phương trình sai phân Riccati và một số ứng dụng trong toán sơ cấp. 6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Sai phân Định nghĩa 1 Dãy số là một hàm số đối số nguyên, nói cách khác, dãy số x là một hàm số x: Z → R, ta ký hiệu x(n) = xn (cũng có thể thay Z bởi N hoặc tập con nào đó của Z). Định nghĩa 2 Ta gọi sai phân cấp 1 của xn là ∆xn xác định ∆xn = xn+1 − xn . Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của sai phân cấp 1 của xn : quy nạp sai phân cấp k của hàm số x(n) là sai phân của sai phân cấp (k − 1) của hàm số x(n)(với k ≥ 2) ∆k xn = ∆(∆k−1 xn ). Tính chất 1.1.1 Sai phân mọi cấp đều được biểu diễn qua các giá trị của hàm số k k i (−1)i Ck xn+k−i . ∆ xn = i=0 Tính chất 1.1.2 Sai phân mọi cấp đều là toán tử tuyến tính: ∆k (αxn + βyn ) = α∆k xn + β∆k yn với α, β là các số thực tùy ý. 7 Tính chất 1.1.3 Sai phân cấp k của đa thức bậc m của n bằng: a) Hằng số nếu k = m. b) 0 nếu k > m. c) Đa thức bậc (m − k) nếu k < m. 1.2 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số Khái niệm Định nghĩa 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn = x(n) tại các điểm khác nhau có dạng: axn+1 + bxn = fn , a = 0, b = 0 hoặc xn+1 = qxn + fn , q = 0. (1.1) Nếu a, b, q là các hằng số, thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng số. Nếu a, b, q phụ thuộc n thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số biến thiên. fn là một hàm đã biết của n, gọi là vế phải; hàm xn phải tìm là ẩn. Nếu fn ≡ 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất axn+1 + bxn = 0 xn+1 = qxn . hoặc (1.2) Nếu fn ≡ 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất. Định nghĩa 1.2.2 Hàm số xn = x(n) biến n thỏa mãn (1.1) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (1.1). Hàm số xn = x(n) phụ thuộc 1 tham số thỏa mãn (1.1) được gọi là nghiệm ˜ ˜ tổng quát của (1.1) nếu với mỗi x0 ban đầu đều xác định được duy nhất c1 để xn là một nghiệm riêng của (1.1), nghĩa là vừa thỏa mãn (1.1) vừa ˜ thỏa mãn x0 = x0 . ˜ Nghiệm tổng quát của (1.1) có dạng: xn = xn + x∗ , ˜ n 8 trong đó xn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính ˜ b thuần nhất (1.2) có dạng xn = Cλn với λ = − , hoặc λ = q, còn x∗ ˜ n a là một nghiệm riêng bất kỳ của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (1.1). 1.2.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗ của phương n trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất Phương pháp chọn(phương pháp hệ số bất định) a) Nếu fn là đa thức bậc m của n: fn = Pm (n): 1. λ = 1 thì x∗ tìm dưới dạng đa thức cùng bậc m với fn n ∗ xn = Qm (n); Qm (n) là đa thức bậc m của n. 2. λ = 1 thì tìm x∗ = nQm (n); trong đó Qm (n) là đa thức bậc m của n. n b) Nếu fn = Pm (n)β n (β = 0), với Pm (n) là đa thức bậc m của n thì x∗ n sẽ tìm dưới dạng: 1.x∗ = Qm (n)β n , nếu λ = β. n ∗ 2.xn = nQm (n)β n , nếu λ = β, trong đó Qm (n) là đa thức bậc m của n. c) Nếu fn = αsinnx + βcosnx, α2 + β 2 = 0, x = kπ, k ∈ Z thì tìm x∗ = Asinnx + Bcosnx. n s d) Nếu fn = s fnk , thì tìm nghiệm riêng k=1 x∗ n x∗ k , với x∗ k tương ứng n n = k=1 là nghiệm riêng của fnk , k = 1, 2, ..., s. Ví dụ 1.2.1. Tìm nghiệm của phương trình sai phân: xn+1 = 26xn − 494.7n − 2475n + 99, x0 = 26. Giải. Ta có xn = xn + x∗ trong đó xn là nghiệm tổng quát của phương ˜ ˜ n trình sai phân tuyến tính thuần nhất xn+1 − 26xn = 0, xn = c.26n , x∗ là ˜ n ∗ ∗ ∗ nghiệm riêng của phương trình ban đầu và xn = xn1 + xn2 . Tìm x∗ 1 = a7n . Thay vào phương trình xn+1 = 26xn − 494.7n ta được n a.7n+1 − 26.7n = −494.7n , a = 26. Vậy x∗ 1 = 26.7n . n Tìm x∗ 2 = an + b. Thay vào phương trình xn+1 = 26xn − 2475n + 99 ta n 9 được a = 99, b = 0. Vậy x∗ 2 = 99n. n Từ kết quả trên ta được x∗ = 26.7n + 99n. n n n Suy ra xn = c.26 + 26.7 + 99n với x0 = 26 ta được c = 0. Vậy xn = 26.7n + 99n. Ví dụ 1.2.2. Tìm nghiệm của phương trình sai phân: 1 1 nπ xn+1 = √ xn + √ cos , x0 = 1. 4 2 2 1 nπ nπ nπ Giải. Do fn = √ cos nên x∗ = Acos + Bsin thay vào phương n 4 4 4 2 trình ban đầu ta được π π 1 nπ 1 nπ nπ Acos(n + 1) + Bsin(n + 1) = √ Acos + Bsin + √ cos 4 4 4 4 4 2 2 1 nπ 1 nπ 1 nπ 1 nπ ⇔ √ Acos − √ Asin + √ Bsin + √ Bcos 4 4 4 4 2 2 2 2 1 1 1 nπ nπ nπ + √ Bsin + √ cos = √ Acos 4 4 4 2 2 2 nπ nπ nπ ⇔ −Asin + Bcos = cos . 4 4 4 nπ Đồng nhất hệ số 2 vế ta được: A = 0, B = 1 và x∗ = sin . n 4 1 n nπ 1 n Nghiệm xn = C( √ ) ⇒ xn = C( √ ) + sin ; x0 = 1 = C + 0 ˜ 4 2 2 1 nπ ⇒ C = −1; xn = −( √ )n + sin . 4 2 Phương pháp biến thiên hằng số Xét phương trình axn+1 + bxn = fn . b Phương trình này có nghiệm xn = Cλn với λ = − . Để tìm nghiệm ˜ a riêng, ta xem C biến thiên theo n, có nghĩa là C là một hàm của n và tìm x∗ = Cn λn . Thay vào phương trình sai phân, ta được n aCn+1 λn+1 + bCn λn = fn b ⇔ aCn+1 λn (− ) + bCn λn = fn a 10 ⇔ −bλn [Cn+1 − Cn ] = −bλn ∆Cn = fn fn ⇔ ∆Cn = − n . bλ Lấy tổng 2 vế theo k từ 0 đến n − 1, ta được 1 Cn = C0 − b n−1 k=0 fk . λk Vậy x∗ n 1 = C0 − b n−1 k=0 fk n λ . λk Ví dụ 1.2.3. Tìm nghiệm của phương trình sai phân: xn+1 = 2xn + 6.2n+1 , x0 = 1. Giải. Ta có xn = C2n ⇒ x∗ = Cn 2n . Thay vào phương trình ban đầu ta được ˜ n n+1 n+1 Cn+1 2 = Cn 2 + 6.2n ⇒ ∆Cn = 6 = ∆6n ⇒ Cn = 6n và x∗ = 6n2n , n n n n n n xn = C2 + 6n2 , x0 = 1 = C ⇒ xn = 2 + 6n.2 = 2 (1 + 6n). 1.3 1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số Khái niệm Định nghĩa 1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn = x(n) tại các điểm khác nhau dạng: axn+2 + bxn+1 + cxn = fn , a = 0, c = 0 hoặc xn+2 = pxn+1 + qxn + fn , q = 0, (1.3) trong đó xn là hàm của đối số nguyên n phải tìm là ẩn; fn là một hàm của n đã biết, gọi là vế phải. Nếu a, b, c; p, q là các hằng số, thì (1.3) gọi là phương trình sai phân tuyến 11 tính cấp hai với hệ số hằng số. Nếu a, b, c; p, q là các hàm số của n thì (1.3) gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên. Nếu fn ≡ 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai tương ứng với (1.3): axn+2 + bxn+1 + cxn = 0 hay xn+2 = pxn+1 + qxn . (1.4) Nếu fn ≡ 0, thì (1.3) gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất. Định nghĩa 1.3.2 Hàm số xn = x(n) biến n thỏa mãn (1.3) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân (1.3). Hàm số xn = x(n) phụ thuộc 2 tham số thỏa mãn (1.3) được gọi là nghiệm ˜ ˜ tổng quát của (1.3) nếu với mọi tập giá trị ban đầu x0 , x1 xác định được duy nhất các tham số c1 , c2 để xn là một nghiệm riêng của (1.3) nghĩa là ˜ vừa thỏa mãn (1.3) vừa thỏa mãn x0 = x0 , x1 = x1 . ˜ ˜ Nghiệm tổng quát của (1.3) có dạng xn = xn + x∗ , ˜ n trong đó xn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính ˜ thuần nhất (1.4) và x∗ là một nghiệm riêng tùy bất kỳ của (1.3). n Công thức nghiệm tổng quát xn của phương trình thuần nhất. ˜ Định lý 1.3.1 1. Nếu phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0 có 2 nghiệm thực khác nhau λ1 = λ2 thì xn = Aλn + Bλn , ˜ 1 2 trong đó A, B là hai hằng số tùy ý. 2. Nếu (1.4) có nghiệm thực kép λ1 = λ2 = λ thì xn = (A + Bn)λn , ˜ 12 (1.5) trong đó A, B là các hằng số bất kỳ. 3. Nếu (1.4) có nghiệm phức λ = x + iy = r(cosϕ + isinϕ), với i2 = −1, y r = |λ| = x2 + y 2 ; ϕ = arctg thì (1.4) có nghiệm phức liên hợp x λ = x − iy = r(cosϕ − isinϕ), với i, r, ϕ đã nói trên. Khi đó nghiệm tổng quát của (1.3) có dạng xn = rn (Acosnϕ + Bsinnϕ), ˜ trong đó A, B là các hằng số tùy ý. Ví dụ 1.3.1. Giải phương trình sai phân: xn+2 = 5xn+1 − 6xn , x0 = 3, x1 = 9. Giải. Phương trình đặc trưng λ2 − 5λ + 6 = 0 có 2 nghiệm thực phân biệt λ1 = 2, λ2 = 3 ⇒ xn = xn = A.2n + B.3n . ˜ Với x0 = 3 = A + B, x1 = 2A + 3B = 9 ⇒ A = 0, B = 3 ⇒ xn = 3n+1 . Ví dụ 1.3.2. Giải phương trình sai phân: xn+2 − 4xn+1 + 4xn = 0, x0 = 2, x1 = 8. Giải. Phương trình đặc trưng λ2 − 4λ + 4 = 0 có nghiệm kép λ1 = λ2 = 2 ⇒ xn = xn = (A + nB).2n . ˜ Với x0 = 2 = A, x1 = 2(A + B) = 8 ⇒ A = 2, B = 2 ⇒ xn = (2 + 2n).2n . 1.3.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗ của phương n trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Phương pháp chọn(phương pháp hệ số bất định) 1. Nếu fn là đa thức bậc k của n: fn = Pk (n): Nếu (1.5) không có nghiệm λ = 1 thì x∗ = Qk (n). n 13 Nếu (1.5) có nghiệm đơn λ = 1 thì x∗ = nQk (n). n Nếu (1.5) có nghiệm kép λ = 1 thì tìm x∗ = n2 Qk (n); trong đó Qk (n) là n đa thức bậc k của n. 2. Nếu fn = Pk (n)β n là đa thức bậc k của n. Nếu (1.5) không có nghiệm λ = β thì x∗ = Qk (n)β n . n ∗ Nếu (1.5) có nghiệm đơn λ = β thì xn = nQk (n)β n . Nếu (1.5) có nghiệm kép λ = β thì x∗ = n2 Qk (n)β n , trong đó Qk (n) là n đa thức bậc k của n. 3. Nếu fn = Pm (n)cosβn + Ql (n)sinβn trong đó Pm (n), Ql (n) là các đa thức bậc m, l của n. Ký hiệu k = max{m, l}. Nếu α = cosβ ± isinβ , với i2 = −1, không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.5) thì x∗ dưới dạng n x∗ = Tk (n)cosβn + Rk (n)sinβn n trong đó Tk (n) và Rk (n) là các đa thức bậc k của n. Nếu α = cosβ ± isinβ , với i2 = −1, là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.5) thì tìm x∗ dưới dạng n x∗ = nTk (n)cosβn + nRk (n)sinβn n trong đó Tk (n) và Rk (n) là các đa thức bậc k của n. Ví dụ 1.3.3. Giải phương trình sai phân: xn+2 − 7xn+1 + 12xn = 0, x0 = 2, x1 = 7. Giải. Phương trình đặc trưng λ2 − 7λ + 12 = 0 có 2 nghiệm thực phân biệt λ1 = 3, λ2 = 4 ⇒ xn = xn = A.3n + B.4n , x∗ = an2 + bn + c. ˜ n Thay x∗ vào phương trình sai phân ban đầu ta được: n [a(n + 2)2 + b(n + 2) + c] − 7[a(n + 1)2 + b(n + 1) + c] + 12[an2 + bn + c] = 0. So sánh hệ số của n2 , n và hệ số tự do ở 2 vế ta được: a = b = c = 0. 14 ˜ Vậy x∗ = 0 và xn = xn + x∗ = A.3n + B.4n + 0. n n Với x0 = 2 = A + B, x1 = 3A + 4B = 7 ⇒ A = 1, B = 1 ⇒ xn = 3n + 4n . Ví dụ 1.3.4. Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân xn+2 − 4xn+1 + 4xn = 2(n+3) . Giải. Phương trình đặc trưng λ2 − 4λ + 4 = 0 có nghiệm kép λ = 2 = β ⇒ x∗ = n2 .a.2n . n ∗ Thay xn vào phương trình sai phân và ước lượng cho 2n+2 , ta được: (n + 2)2 .a − 2(n + 1)2 a + n2 a = 2. Cho n = −1 ⇒ a = 1 ⇒ x∗ = n2 .2n . n Ví dụ 1.3.5. Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân xn+2 − 4xn+1 + 3xn = 6(n + 1)cos nπ nπ + (2n + 9)sin . 2 2 Giải. Phương trình đặc trưng λ2 − 4λ + 3 = 0 có 2 nghiệm thực phân biệt nπ nπ λ1 = 1, λ2 = 3 ⇒ x∗ = (an + b)cos + (cn + d)sin . n 2 2 Thay x∗ vào phương trình sai phân và chú ý n π nπ nπ = cos( + π) = −cos 2 2 2 π nπ nπ sin(n + 2) = sin( + π) = −sin 2 2 2 nπ π nπ π cos(n + 1) = cos( + ) = −sin 2 2 2 2 π nπ π nπ sin(n + 1) = sin( + ) = cos 2 2 2 2 cos(n + 2) ta được: nπ nπ nπ −[a(n + 2) + b]cos − [c(n + 2) + d]sin + 4[a(n + 1) + b]sin 2 2 nπ nπ 2 nπ −4[c(n + 1) + d]cos + 3[an + b]cos 2[cn + d]sin 2 2 2 nπ nπ = 6(n + 1)cos + (2n + 9)sin . 2 2 15 nπ nπ So sánh hệ số của cos và sin ở 2 vế, ta được: 2 2  −[a(n + 2) + b] − 4[c(n + 1) + d] + 3[an + b] = 6(n + 1) −[c(n + 2) + d] + 4[a(n + 1) + b] + 3[cn + d] = 2n + 9. So sánh hệ số của n và hệ số tự do ở 2 vế, ta được: 2a − 4c = 6; − 2a + 2b − 4c − 4d = 6 4a + 2c = 2; 4a + 4b − 2c + 2d = 12. Giải hệ này ta được a = 1, b = 1, c = −1, d = −1. nπ nπ Vậy x∗ = (n + 1)cos − (n + 1)sin . n 2 2 1.4 1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k với hệ số hằng số Khái niệm Định nghĩa 1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k là một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn = x(n) có dạng: a0 xn+k + a1 xn+k−1 + ... + ak xn = fn , a0 = 0, ak = 0. (1.6) trong đó xn là hàm phải tìm là ẩn, fn là một hàm đã biết của n, gọi là vế phải. Nếu a0 , a1 , ..., ak là các hằng số, thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp k với hệ số hằng số. Nếu fn ≡ 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k tương ứng với (1.6). Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k tương ứng với (1.6) có dạng: a0 xn+k + a1 xn+k−1 + ... + ak xn = 0, a0 = 0, ak = 0. (1.7) Nếu fn ≡ 0, thì ta có phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp k . 16 Định nghĩa 1.4.2 Hàm số xn = x(n) biến n thỏa mãn (1.6) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (1.6). Hàm số xn = x(n) phụ thuộc k tham số thỏa mãn (1.7) được gọi là nghiệm ˜ ˜ tổng quát của (1.7) nếu với mọi tập giá trị ban đầu x0 , ..., xk−1 đều xác định được duy nhất các tham số c1 , ..., ck để xn là một nghiệm riêng của ˜ (1.7) nghĩa là vừa thỏa mãn (1.7) vừa thỏa mãn x0 = x0 , x1 = x1 , ..., xk−1 = xk−1 . ˜ ˜ ˜ Nghiệm tổng quát của (1.6) có dạng xn = xn + x∗ , ˜ n trong đó xn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính ˜ thuần nhất (1.7) và x∗ là một nghiệm riêng tùy kỳ của (1.6). n Để tìm xn = x(n) là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến ˜ ˜ tính thuần nhất (1.7) ta xét phương trình đại số bậc k sau: a0 λk + a1 λk−1 + ... + ak = 0 (1.8) Phương trình (1.8) được gọi là phương trình đặc trưng của (1.7) và (1.6). Nghiệm xn , x∗ phụ thuộc chặt chẽ vào cấu trúc nghiệm của (1.8). ˜ n Nghiệm tổng quát xn của phương trình thuần nhất: ˜ Định lý 1.4.1 1. Nếu (1.8) có k nghiệm thực phân biệt λ1 , ..., λk thì nghiệm tổng quát xn của (1.7) có dạng: ˜ xn = c1 λn + ... + ck λn . ˜ 1 k 2. Nếu (1.8) có λj bội s, các λi nghiệm đơn thì nghiệm tổng quát xn của ˜ (1.7) có dạng: s−1 ci ni λn + j j xn = ˜ j=1 ci λn . i i=j 3. Nếu (1.8) có nghiệm phức λj = r(cosϕ + isinϕ) thì nghiệm tổng quát xn của (1.7) có dạng: ˜ ci λn + rn (c1 cosnϕ + c2 sinnϕ). i j j xn = ˜ i=j 17 4. Nếu (1.8) có nghiệm phức λj bội s thì nghiệm tổng quát xn của (1.7) ˜ có dạng: ci λn + rn [(A1 + ... + As .ns−1 )cosnϕ + (B1 + ... + Bs .ns−1 )sinnϕ)]. i xn = ˜ i=j 1.4.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗ của phương n trình sai phân tuyến tính cấp k không thuần nhất Phương pháp chọn a) Nếu fn là đa thức bậc m của n: fn = Pm (n) : 1. Nếu các nghiệm của phương trình (1.8) λ1 , λ2 , ..., λk là các số thực khác 1 thì x∗ có dạng n x∗ = Qm (n) với Qm (n) là đa thức bậc m của n. n 2. Nếu phương trình (1.8) có nghiệm λ = 1 bội s thì x∗ có dạng n s ∗ xn = n Qm (n), m ∈ N; trong đó Qm (n) là đa thức bậc m của n. b) Nếu fn = Pm (n)β n (β = 0), Pm (n) là đa thức bậc m của n: 1. Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng (1.8) đều là các số thực khác β , thì x∗ có dạng x∗ = Qm (n)β n , với Qm (n) là đa thức bậc m. n n 2. Nếu phương trình (1.8) có nghiệm λ = β bội s và các nghiệm còn lại thực phân biệt thì x∗ có dạng x∗ = ns Qm (n)β n , với Qm (n) là đa thức bậc n n m. c) Nếu fn = αsinnx + βcosnx, α2 + β 2 = 0, x = kπ, k ∈ Z thì x∗ có dạng n ∗ xn = Asinnx + Bcosnx. s s fnk , thì tìm nghiệm riêng d) Nếu fn = x∗ n x∗ k , với x∗ k tương ứng n n = k=1 k=1 là nghiệm riêng của fnk , k = 1, 2, ..., s. Ví dụ 1.4.1. Giải phương trình sai phân sau: xn+3 − 3xn+2 − 4xn+1 − 12xn = n + 1. Giải. Phương trình đặc trưng λ3 − 3λ2 − 4λ + 12 = 0 có nghiệm λ = ±2, λ = 3 đều khác 1. Do vậy, ta tìm x∗ ở dạng x∗ = an + b, thay x∗ = an + b vào phương trình n n n 18 sai phân và so sánh các hệ số của các lũy thừa của n ở 2 vế: a(n + 3) + b − 3[a(n + 2) + b] − 4[a(n + 1) + b] + 12(an + b) = n + 1 ta được: 6a =1 −7a + 6b = 1 ⇒  a =    1 6     b = 13 . 36 Vậy 1 13 x∗ = n + . n 6 36 Ví dụ 1.4.2. Giải phương trình sai phân sau: xn+3 − 7xn+2 + 16xn+1 − 12xn = 2n (24 − 24n). Giải. Phương trình đặc trưng λ3 − 7λ2 + 16λ − 12 = 0 có nghiệm λ1 = 2(bội 2), λ2 = 3; Pm (n) = 24 − 24n; β = 2 nên ta tìm x∗ = n2 (an + b)2n . n Thay x∗ = n2 (an + b)2n vào phương trình sai phân và giản ước cho 2n n ta được: 8[a(n + 3) + b](n + 3)2 − 28[a(n + 2) + b](n + 2)2 +32[a(n + 1) + b](n + 1)2 − 12(an + b)n2 = 24 − 24n. Sau khi biến đổi vế trái thành đa thức đối với n, đồng nhất hệ số các lũy thừa của n ở hai vế ta được: −24a = −24 24a − 8b = 24 ⇒ a= 1 b = 0. Vậy x∗ = n3 .2n . n Ví dụ 1.4.3. Giải phương trình sai phân sau: √ 3 nπ 5 3 nπ cos . xn+3 −6xn+2 +11xn+1 −6xn = 4(n−1)−2n+1 +2.3n+1 + sin + 2 3 2 3 19