Môc lôc
Më ®Çu
3
Ch−¬ng 1
Bµi to¸n Cauchy cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn víi hÖ sè biÕn
thiªn
1.1
1.2
12
Tr−êng hîp h¹ng cña hÖ sè c¶ lµ h»ng . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.1
Kh¸i niÖm chØ sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.2
Bµi to¸n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.1.3
Bµi to¸n khëi t¹o gi¸ trÞ ban ®Çu . . . . . . . . . . . . . .
28
Tr−êng hîp hÖ sè c¶ cã h¹ng thay ®æi . . . . . . . . . . . . . . .
33
Ch−¬ng 2
Bµi to¸n biªn nhiÒu ®iÓm cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn víi hÖ sè
biÕn thiªn
41
2.1
Kh¸i niÖm bµi to¸n chÝnh qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.2
Sù tån t¹i duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n chÝnh qui . . . . . . . .
49
2.3
TÝnh gi¶i ®−îc cña bµi to¸n kh«ng chÝnh qui . . . . . . . . . . .
58
Ch−¬ng 3
Ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn chØ sè 1 vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè
chØ sè 1
3.1
76
L−îc ®å sai ph©n Euler hiÖn cho bµi to¸n Cauchy ®èi víi ph−¬ng
tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ sè 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1
3.1.2
3.2
77
TÝnh t−¬ng thÝch gi÷a kh¸i niÖm chØ sè 1 cña ph−¬ng tr×nh
vi ph©n ®¹i sè vµ ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn . . . . . . . .
77
Sù héi tô cña l−îc ®å Euler hiÖn . . . . . . . . . . . . . .
82
L−îc ®å sai ph©n Euler hiÖn cho bµi to¸n biªn nhiÒu ®iÓm ®èi
víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ sè 1 . . . . . . . . . . . . . .
91
i
3.2.1
3.2.2
Mèi liªn hÖ gi÷a tÝnh chÝnh qui cña bµi to¸n liªn tôc vµ
rêi r¹c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Sù héi tô cña l−îc ®å Euler hiÖn . . . . . . . . . . . . . .
99
KÕt luËn chung
111
Danh môc c«ng tr×nh ®· c«ng bè liªn quan ®Õn luËn ¸n
113
Tµi liÖu tham kh¶o
114
1
b¶ng ký hiÖu
N- tËp c¸c sè tù nhiªn.
Nk = {n ∈ N : n ≥ k}, N0 = N ∪ {0}.
k = n1 , n2 - k ∈ {n : n ∈ N0 vµ n1 6 n 6 n2 }, ë ®©y n1 , n2 ∈ N0 .
R, Rm , Rm×m - trôc sè thùc, kh«ng gian vÐc t¬ thùc m-chiÒu, kh«ng gian c¸c ma
trËn vu«ng thùc cÊp m.
C(J, Rm ), C 1 (J, Rm )- kh«ng gian c¸c hµm vÐc t¬ liªn tôc (kh¶ vi liªn tôc) trªn
®o¹n J := [t0 , T ].
kxk- chuÈn Euclid cña vÐc t¬ x.
AT , A−1 , kAk- chuyÓn vÞ, nghÞch ®¶o, chuÈn cña ma trËn A (t−¬ng thÝch víi
chuÈn Euclid cña vÐc t¬).
I - ma trËn ®¬n vÞ cÊp m.
O- ma trËn vu«ng kh«ng cÊp m.
(C0 , . . . , CN ) ∈ Rm×m(N +1) - ma trËn cã c¸c cét lµ c¸c cét cña c¸c ma trËn
C0 , . . . , CN ∈ Rm×m .
kerA- nh©n cña ma trËn A.
rankA- h¹ng cña ma trËn A.
ImA- ¶nh cña ma trËn A.
dimX - sè chiÒu cña kh«ng gian X .
span{v1 , . . . , vn }- kh«ng gian sinh bëi c¸c vÐc t¬ v1 , . . . , vn .
An = Un Σn VnT - khai triÓn k× dÞ cña ma trËn An .
diag(M, N )- ma trËn ®−êng chÐo khèi.
e CN QN −1 )/R- kh«ng gian th−¬ng.
ker(D,
e CN QN −1 )+ - nghÞch ®¶o suy réng theo Moore-Penrose cña (D,
e CN QN −1 ).
(D,
N
P
D=
Cn X n - ma trËn b¾n cña bµi to¸n biªn nhiÒu ®iÓm.
n=0
Më ®Çu
Ph−¬ng tr×nh sai ph©n th−êng xuÊt hiÖn khi ng−êi ta m« t¶ nh÷ng hiÖn t−îng tiÕn
ho¸ quan s¸t ®−îc trong tù nhiªn. Ch¼ng h¹n, xÐt qu¸ tr×nh ph¸t triÓn d©n sè
tõng n¨m mét cña mét quèc gia hay mét vïng nµo ®ã. NÕu gäi xn+1 lµ sè d©n
t¹i thêi ®iÓm n¨m n + 1 th× xn+1 lµ mét hµm cña sè d©n xn t¹i thêi ®iÓm n¨m
tr−íc ®ã. Sù liªn hÖ nµy ®−îc m« t¶ bëi hÖ thøc:
xn+1 = f (xn , n),
n ∈ Nn0 .
Ph−¬ng tr×nh sai ph©n theo mét biÕn ®éc lËp n vµ mét hµm ph¶i t×m un lµ ph−¬ng
tr×nh hµm cã d¹ng
F (un+1 , un , . . . , un−k , n) = 0,
n ∈ Nn0 ,
(0.1)
ë ®ã k lµ sè nguyªn kh«ng ©m, F lµ mét hµm theo c¸c biÕn un+1 , un , . . . , un−k , n
vµ n0 lµ mét sè nguyªn d−¬ng ®· cho. Trong tr−êng hîp k lµ h÷u h¹n, (0.1) ®−îc
gäi lµ ph−¬ng tr×nh sai ph©n cÊp k + 1. T−¬ng tù nh− ph−¬ng tr×nh vi ph©n, mäi
ph−¬ng tr×nh sai ph©n cÊp k + 1 ®Òu ®−a ®−îc vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh sai ph©n cÊp 1
d¹ng
f (xn+1 , xn , n) = 0,
n ∈ Nn0 ,
(0.2)
ë ®©y xn (n ∈ Nn0 ) vµ f lµ nh÷ng vÐc t¬ vµ hµm vÐc t¬. V× vËy khi xÐt ph−¬ng
tr×nh sai ph©n cã cÊp h÷u h¹n trong kh«ng gian Rm ta chØ cÇn ®Ò cËp ®Õn ph−¬ng
tr×nh sai ph©n cÊp 1 d¹ng (0.2).
Mét h−íng tiÕp cËn quan träng kh¸c lµ coi ph−¬ng tr×nh sai ph©n nh− kÕt qu¶
cña viÖc rêi r¹c ho¸ c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n, tÝch ph©n, vi-tÝch ph©n vµ ®¹o hµm
riªng. VÊn ®Ò nµy sÏ ®−îc tr×nh bµy kÜ h¬n ë phÇn sau.
Lý thuyÕt ph−¬ng tr×nh sai ph©n t×m ®−îc nhiÒu øng dông trong c¸c lÜnh vùc
cña to¸n häc còng nh− c¸c khoa häc kh¸c, ch¼ng h¹n trong gi¶i tÝch sè, lý thuyÕt
®iÒu khiÓn, lý thuyÕt trß ch¬i, lý thuyÕt sè, lý thuyÕt x¸c suÊt, gi¶i tÝch tæ hîp,
khoa häc m¸y tÝnh, lý thuyÕt m¹ch, lý thuyÕt l−îng tö, di truyÒn häc, kinh tÕ häc,
t©m lý häc vµ x· héi häc, ... V× vËy, viÖc nghiªn cøu ph−¬ng tr×nh sai ph©n lµ
3
4
mét vÊn ®Ò thêi sù cña to¸n häc ®−îc nhiÒu nhµ khoa häc quan t©m. Trong thêi
gian gÇn ®©y ®· cã nhiÒu tµi liÖu chuyªn kh¶o viÕt vÒ ph−¬ng tr×nh sai ph©n (xem
[1], [2], [18], [28], [22], [26], [37]). Ngoµi ra, cßn cã hµng ngµn bµi b¸o khoa
häc vÒ ph−¬ng tr×nh sai ph©n vµ øng dông. Cã c¶ mét t¹p chÝ quèc tÕ (Journal
of Difference Equations and Applications) chuyªn ®¨ng t¶i nh÷ng vÊn ®Ò nµy.
0
Ta biÕt r»ng nÕu kerfy (y, x, t) = {0} th× (0.2) cã thÓ ®−a vÒ d¹ng
xn+1 = g(xn , n),
n ∈ Nn0 .
0
(0.3)
0
Nh−ng nÕu fxn+1 (xn+1 , xn , n) suy biÕn, tøc lµ kerfy (y, x, t) 6= {0} th× nãi chung
(0.2) kh«ng ®−a ®−îc vÒ d¹ng (0.3). Trong tr−êng hîp nµy, (0.2) ®−îc gäi lµ
ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn. Khi Êy, c¸c kÕt qu¶ cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n th−êng
(0.3) nãi chung kh«ng cßn ®óng. HiÖn t−îng nµy x¶y ra gièng nh− khi ta xÐt
ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè
f (x0 , x, t) = 0,
t ∈ J := [t0 , T ],
(0.4)
0
ë ®©y ma trËn fx0 (x0 , x, t) kh«ng kh¶ nghÞch víi mäi gi¸ trÞ cña c¸c biÕn.
HiÖn nay, mét trong nh÷ng h−íng ph¸t triÓn m¹nh cña lý thuyÕt ph−¬ng tr×nh
vi ph©n lµ nghiªn cøu ph−¬ng tr×nh vi ph©n suy biÕn (0.4). §©y lµ mét lÜnh vùc
®−îc nhiÒu nhµ khoa häc quan t©m v× rÊt nhiÒu bµi to¸n trong thùc tÕ dÉn ®Õn
ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè (0.4). C¸c vÝ dô vÒ bµi to¸n suy biÕn ®−a ®Õn nghiªn
cøu ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè lµ bµi to¸n ®iÒu khiÓn tèi −u, bµi to¸n nhiÔu k×
dÞ, bµi to¸n nöa rêi r¹c khi sai ph©n ho¸ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng b»ng ph−¬ng
ph¸p ®−êng th¼ng, bµi to¸n vÒ m« h×nh m¹ng ®iÖn (xem [16], [14], [13]).
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè ®· ®−îc Gantmacher nghiªn cøu tõ kh¸ l©u (xem
[19]). Nh−ng m·i ®Õn nh÷ng n¨m 80, ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè míi ®−îc ®Æc
biÖt quan t©m. §· xuÊt hiÖn hµng lo¹t c«ng tr×nh nghiªn cøu vÒ vÊn ®Ò nµy (xem
[16], [14], [15]). B»ng c¸ch sö dông biÕn ®æi Kronecker cho mét cÆp ma trËn,
ng−êi ta nhËn ®−îc c«ng thøc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè tuyÕn tÝnh
«t«n«m
Ax0 (t) + Bx(t) = q(t),
t ∈ J,
(0.5)
5
víi A lµ ma trËn suy biÕn. Cho ®Õn cuèi thËp kû 80, mét lo¹t c¸c kÕt qu¶ vÒ
ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
A(t)x0 (t) + B(t)x(t) = q(t),
t ∈ J,
(0.6)
ë ®©y ma trËn A(t) suy biÕn víi mäi t ∈ J , ®· ®−îc c«ng bè vµ viÕt thµnh c¸c tµi
liÖu chuyªn kh¶o (xem [21], [23], [13]). Cã nhiÒu c¸ch ®−a ra kh¸i niÖm chØ sè
cho ph−¬ng tr×nh (0.6), lµ kh¸i niÖm ®Ó ®o ”kho¶ng c¸ch” gi÷a ph−¬ng tr×nh vi
ph©n ®¹i sè vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè cã chØ
sè cµng lín th× ®é phøc t¹p ®Ó xö lý chóng cµng cao. ë ®©y, ta chØ ®Ò cËp ®Õn
..
kh¸i niÖm chØ sè 1 cña ph−¬ng tr×nh (0.6) theo nghÜa cña Griepentrog vµ Marz.
..
Kh¸i niÖm chØ sè lín h¬n 1 theo nghÜa cña Griepentrog vµ Marz vµ c¸c kh¸i niÖm
..
chØ sè theo c¸ch kh¸c cã thÓ t×m ®−îc trong [20]. Theo Griepentrog vµ Marz th×
(0.6) ®−îc gäi lµ cã chØ sè 1 nÕu tån t¹i mét phÐp chiÕu tr¬n Q(t) lªn kerA(t)
sao cho ma trËn G(t) := A(t) + B(t)Q(t) kh¶ nghÞch víi mäi t ∈ J . §· chøng
minh ®−îc r»ng, bµi to¸n Cauchy víi (0.6) cã chØ sè 1 vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu
P (t0 )(x(t0 ) − x0 ) = 0,
(0.7)
víi P (t) := I − Q(t), lµ gi¶i ®−îc duy nhÊt nghiÖm. H¬n n÷a, c«ng thøc nghiÖm
cña (0.6) vµ (0.7) cã d¹ng x(t) = u(t) + Q(t)G−1 (t)(q(t) − B(t)u(t)), trong ®ã u(t)
lµ nghiÖm cña bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu
u0 (t) = P (t)G−1 (t)(q(t) − B(t)u(t)),
u(t0 ) = u0 := P (t0 )x0 .
t ∈ J,
Kh¸c víi bµi to¸n Cauchy cho ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng, ë ®ã ®iÒu kiÖn ban
®Çu th−êng ®−îc viÕt d−íi d¹ng x(t0 ) = x0 , bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu ®èi víi
ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ ®ßi hái P (t0 )(x(t0 ) − x0 ) = 0. Kh«ng ph¶i gi¸ trÞ
x0 nµo còng cã thÓ sö dông ®Ó khëi t¹o x(t).
Bµi to¸n biªn hai ®iÓm cho ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè (0.6) víi ®iÒu kiÖn
biªn
C0 x(t0 ) + CT x(T ) = γ
(0.8)
6
..
còng ®· ®−îc Griepentrog vµ Marz nghiªn cøu (xem [21]). Bµi to¸n (0.6) vµ (0.8)
gi¶i ®−îc duy nhÊt nghiÖm nÕu vµ chØ nÕu ma trËn b¾n D := C0 X(t0 ) + CT X(T )
tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn kerD=kerA(t0 ) vµ ImD=Im(C0 , CT ). C¸c kÕt qu¶ s©u s¾c
h¬n vÒ bµi to¸n biªn nhiÒu ®iÓm ®èi víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè cã thÓ t×m
..
®−îc trong c¸c bµi b¸o cña Lentini vµ Marz (xem [29]) hoÆc P. K. Anh (xem [3]).
Lý thuyÕt ®Þnh tÝnh vÒ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè nh− tÝnh æn ®Þnh cña
nghiÖm, b¸n kÝnh æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh vµ ®Æc biÖt lµ c¸c ph−¬ng ph¸p sè ®Ó
gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè còng ®−îc nhiÒu nhµ to¸n häc
quan t©m nghiªn cøu (xem [21], [13], [7], [12], [31], [43], [44], [6], [27], [34],
[36], [38], [39], [41]).
Còng gièng nh− ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè, trong thùc tÕ cã nhiÒu bµi to¸n
dÉn vÒ nghiªn cøu ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn. Cã hai m« h×nh thùc tÕ tiªu biÓu
vÒ vÊn ®Ò nµy lµ m« h×nh d©n sè Leslie (xem [16], [14]) vµ m« h×nh kinh tÕ
Leontief (xem [14], [17]).
M« h×nh d©n sè Leslie ®−îc m« t¶ bëi ph−¬ng tr×nh sai ph©n
xn+1 = Tn xn ,
ë ®©y
b1 (n) b2 (n) . . . bm−1 (n) bm (n)
p1 (n)
0
Tn = 0
p2 (n)
..
..
.
.
0
0
...
0
...
0
...
..
.
. . . pm−1 (n)
0
0 .
..
.
0
§Æt ∆t lµ ®¬n vÞ thêi gian, m∆t lµ tuæi thä tèi ®a cña c¸ thÓ vµ A1 := (0, ∆t], A2 :=
(∆t, 2∆t], . . . , Am := ((m−1)∆t, m∆t]. Trong ®ã pk (n) lµ kh¶ n¨ng sao cho nh÷ng
phô n÷ cã ®é tuæi thuéc Ak trong thêi gian n∆t sÏ cã ®é tuæi thuéc Ak+1 trong
thêi gian (n + 1)∆t. Nãi c¸ch kh¸c, pk (n) lµ tû lÖ sèng sãt cña c¸c bµ mÑ ë ®é
tuæi Ak vµo thêi gian n∆t. Cßn bk (n) lµ sè trÎ s¬ sinh n÷ ®−îc sinh ra trong thêi
gian (n + 1)∆t bëi nh÷ng bµ mÑ cã ®é tuæi thuéc Ak , tøc lµ bk (n) lµ tû lÖ sinh.
Ta th−êng gäi ma trËn Tn lµ ma trËn Leslie. Trong thùc tÕ, khi nghiªn cøu vÒ
7
sù ph¸t triÓn d©n sè cña mét vïng nµo ®ã nhiÒu khi ta biÕt ph©n bè sè d©n theo
tõng ®é tuæi cña vïng ®ã t¹i thêi ®iÓm hiÖn t¹i lµ xn0 = x0 vµ ta cÇn t×m ph©n
bè sè d©n theo tõng ®é tuæi cña vïng Êy t¹i mét thêi ®iÓm tr−íc ®ã xn0 −k , tøc lµ
ta cÇn gi¶i bµi to¸n
xn+1
xn
0
= Tn xn ,
n = n0 − k, n0 − 1,
(0.10)
0
=x .
§iÒu kh«ng may m¾n ë ®©y lµ ma trËn Leslie th−êng lµ suy biÕn. Ch¼ng h¹n ta
xÐt ∆t = 5 (n¨m) vµ m = 20, tøc lµ ta cã A1 = (0, 5], . . . , A20 = (95, 100]. Chóng
ta cã thÓ cho r»ng tån t¹i k0 sao cho b20 (n) = · · · = b20−k0 (n) = 0 víi mäi n, ®iÒu
nµy cã nghÜa lµ
b (n) b2 (n)
1
p1 (n)
0
0
p2 (n)
..
..
.
.
Tn = 0
0
0
0
0
0
..
..
.
.
0
0
. . . bm−k0 −1 (n) bm−k0 (n)
0
...
...
0
0
0
...
...
0
0
0
...
...
..
.
..
.
..
.
...
0
0
...
0
...
. . . pm−k0 −1 (n)
...
0
pm−k0 (n)
...
0
0
...
..
.
..
.
..
.
...
...
0
0
0
...
pm−k0 +1 (n) . . .
0
0
0
0
0
0
..
..
.
.
0
0 .
0
0
0
0
..
..
.
.
pm−1 (n) 0
Víi phÐp ®æi biÕn ui = xn0 −i (i = 0, k) vµ phÐp ®Æt Mi = Tn0 −i (i = 0, k), bµi to¸n
(0.10) trë thµnh
Mi ui+1
u0
= ui ,
i = 0, k − 1,
(0.100 )
= x0 .
Râ rµng (0.10’) lµ bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu ®èi víi ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn.
M« h×nh kinh tÕ Leontief ®−îc m« t¶ bëi hÖ suy biÕn
xn = Axn + B(xn+1 − xn ) + dn ,
hay
Bxn+1 = (I + B − A)xn − dn .
(0.11)
8
Trong ®ã, nÒn kinh tÕ ®−îc chia thµnh m lÜnh vùc s¶n xuÊt, xn lµ vÐc t¬ gåm m
thµnh phÇn mµ thµnh phÇn thø i cña nã lµ gi¸ trÞ s¶n xuÊt hµng ho¸ cña lÜnh vùc
s¶n xuÊt thø i trong thêi ®iÓm n, A lµ ma trËn s¶n xuÊt, Axn lµ phÇn tiªu hao
trong s¶n xuÊt, B lµ ma trËn ®Çu t−, B(xn+1 − xn ) lµ gi¸ trÞ lîi nhuËn sinh ra vµ
dn lµ vÐc t¬ tiªu dïng. Ma trËn ®Çu t− B = (bij ) ∈ Rm×m gåm c¸c thµnh phÇn
bij lµ sè hµng ho¸ cña lÜnh vùc s¶n xuÊt thø i mµ lÜnh vùc s¶n xuÊt thø j cÇn ®Ó
s¶n xuÊt ra 1 ®¬n vÞ hµng ho¸ cña lÜnh vùc ®ã. V× vËy, trong thùc tÕ ma trËn B
th−êng suy biÕn, ch¼ng h¹n lÜnh vùc s¶n xuÊt thø i nµo ®ã kh«ng s¶n xuÊt hµng
ho¸ th× hµng thø i cña ma trËn B lµ 0. VËy (0.11) th−êng lµ ph−¬ng tr×nh sai
ph©n Èn.
MÆt kh¸c, nhiÒu ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn chÝnh lµ kÕt qu¶ cña viÖc rêi r¹c
ho¸ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè (0.6). Ascher, Brenan, Campbell vµ Petzold (xem
[13], [8]) ®· xÐt l−îc ®å sai ph©n Èn
An
xn − xn−1
+ Bn xn = qn ,
τ
n = 1, N ,
hay
(An + τ Bn )xn = An xn−1 + τ qn ,
n = 1, N .
Khi Êy víi gi¶ thiÕt (0.6) cã chØ sè 1 th× víi b−íc l−íi rêi r¹c τ ®ñ bÐ ta nhËn
®−îc ma trËn An + τ Bn kh¶ nghÞch, nãi c¸ch kh¸c ph−¬ng tr×nh trªn lµ ph−¬ng
tr×nh sai ph©n th−êng. B©y giê, ¸p dông l−îc ®å sai ph©n Euler hiÖn cho (0.6),
ta nhËn ®−îc
An
xn+1 − xn
+ Bn xn = qn ,
τ
n = 0, N − 1,
hay
An xn+1 = (An − τ Bn )xn + τ qn ,
n = 0, N − 1.
Râ rµng, ph−¬ng tr×nh sai ph©n trªn lµ ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn. T−¬ng tù, ta
còng nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn khi sö dông l−îc ®å sai ph©n trung t©m
cho ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè (0.6).
Ngoµi ra cã rÊt nhiÒu bµi to¸n ®iÒu khiÓn trong kÜ thuËt liªn quan ®Õn ph−¬ng
tr×nh sai ph©n Èn.
9
Nh÷ng m« h×nh thùc tÕ, còng nh− viÖc rêi r¹c ho¸ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i
sè cho ta thÊy viÖc nghiªn cøu ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn lµ mét vÊn ®Ò thêi
sù ®−îc nhiÒu ng−êi quan t©m. Trong thùc tÕ, ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn còng
®· ®−îc ®ång thêi ®Ò cËp ®Õn khi nghiªn cøu vÒ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè.
Campbell, Meyer (xem [16]) ®· dïng biÕn ®æi Kronecker gièng nh− ®· sö dông
trong ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè (0.5) ®Ó ®−a ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn tuyÕn
tÝnh «t«n«m
Axn+1 = Bxn + qn ,
n ∈ Nn0 ,
ë ®©y A lµ ma trËn suy biÕn, vÒ mét hÖ gåm mét ph−¬ng tr×nh sai ph©n th−êng vµ
mét ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn d¹ng ®Æc biÖt. C¸c kÕt qu¶ nhËn ®−îc vÒ ph−¬ng
tr×nh sai ph©n Èn d¹ng trªn ®· ®−îc Campbell (xem [14]), Dai (xem [17]) ¸p
dông cho c¸c bµi to¸n ®iÒu khiÓn d¹ng
Exn+1
yn
= Axn + Bun ,
n ∈ Nn0 ,
= Cxn ,
trong ®ã ma trËn E suy biÕn.
GÇn ®©y Navarro, Ferrer vµ Jodar (xem [35]) ®· ®−a ra c«ng thøc nghiÖm vµ
nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh cña nghiÖm cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn tuyÕn tÝnh
«t«n«m bËc cao
Bk xn+k + Bk−1 xn+k−1 + · · · + B0 xn = f (n),
ë ®©y Bk lµ ma trËn suy biÕn. Sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh
sai ph©n Èn cã chËm
Axn+1 = Bxn + Cxn−n0 + f (n),
víi ma trËn A suy biÕn, còng ®· ®−îc Li, Zhang vµ Liu (xem [30]) nghiªn cøu.
Kh¸c víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè, c¸c kÕt qu¶ vÒ ph−¬ng tr×nh sai ph©n
Èn kh«ng dõng míi chØ ®−îc ®Ò cËp rÊt Ýt. Campbell vµ mét sè t¸c gi¶ kh¸c (xem
[14], [15], [40], [42]) míi chØ xÐt mét líp hÑp ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn tuyÕn
tÝnh kh«ng dõng. GÇn ®©y Bondarenko, Rutkas vµ Vlasenko (xem [9], [10], [11])
10
®· ®−a ra ®iÒu kiÖn gi¶i ®−îc duy nhÊt nghiÖm vµ c«ng thøc nghiÖm cña bµi to¸n
Cauchy cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn kh«ng dõng
Tn un+1 + un = ϕn ,
n ∈ N0 ,
ë ®ã Tn lµ ma trËn cã chØ sè 1 vµ d·y {rankTn }∞
n=0 lµ dõng. Tuy nhiªn, c¸c kÕt
qu¶ cña nhãm t¸c gi¶ nãi trªn chØ lµ tr−êng hîp riªng cña mét sè kÕt qu¶ ®−îc
tr×nh bµy trong Ch−¬ng 1 cña luËn ¸n nµy.
§èi víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè tuyÕn tÝnh vµ sai ph©n Èn tuyÕn tÝnh
«t«n«m th× c¸ch tiÕp cËn ®Ó gi¶i quyÕt chóng gièng nhau. Tuy nhiªn, khi chuyÓn
sang ph−¬ng tr×nh kh«ng dõng, c¸c kÜ thuËt ¸p dông cho ph−¬ng tr×nh vi ph©n
®¹i sè kh«ng cßn h÷u hiÖu ®èi víi ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn n÷a.
LuËn ¸n tËp trung nghiªn cøu mét sè vÊn ®Ò vÒ ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn
tuyÕn tÝnh kh«ng dõng
An xn+1 = Bn xn + qn ,
n ∈ N0 ,
(0.12)
ë ®ã An lµ c¸c ma trËn suy biÕn víi mäi n ∈ N0 . C¸c vÊn ®Ò liªn quan ®Õn
ph−¬ng tr×nh (0.12) ®−îc nghiªn cøu trong luËn ¸n bao gåm:
1. Kh¸i niÖm chØ sè 1 cña ph−¬ng tr×nh (0.12).
2. Sù tån t¹i nghiÖm vµ c«ng thøc nghiÖm t−êng minh cña bµi to¸n gi¸ trÞ ban
®Çu vµ bµi to¸n biªn nhiÒu ®iÓm.
3. Mèi liªn hÖ gi÷a ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn chØ sè 1 vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n
®¹i sè chØ sè 1.
Kh¸i niÖm chØ sè cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn ®−a ra ë ®©y thÓ hiÖn ®é suy
biÕn cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn. Nãi c¸ch kh¸c, nã ®o ”kho¶ng c¸ch” gi÷a
ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn vµ ph−¬ng tr×nh sai ph©n th−êng. §èi víi ph−¬ng tr×nh
vi ph©n ®¹i sè tuyÕn tÝnh kh«ng dõng, ta dïng c¸c phÐp chiÕu lªn c¸c kh«ng gian
kerA(t) vµ phÇn bï cña nã ®Ó t¸ch ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè thµnh mét hÖ gåm
mét rµng buéc ®¹i sè vµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng. Cßn ®èi víi ph−¬ng
11
tr×nh sai ph©n Èn tuyÕn tÝnh kh«ng dõng, ta l¹i sö dông khai triÓn k× dÞ cña c¸c
ma trËn An vµ c¸c ma trËn ”tùa chiÕu” ®Ó t¸ch ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn thµnh
mét hÖ gåm mét ph−¬ng tr×nh sai ph©n th−êng vµ mét rµng buéc ®¹i sè. C¸ch
tiÕp cËn míi nµy ®· thu ®−îc mét sè kÕt qu¶ tèt cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn
tuyÕn tÝnh kh«ng dõng (0.12). C¸ch tiÕp cËn nµy còng ®−îc giíi kÜ thuËt quan
t©m khi (CSA’s Internet Database Service) ®−a c«ng tr×nh [32] vµo (CSA Civil
Engineering Abstracts).
LuËn ¸n ®−îc h×nh thµnh trªn c¬ së ba bµi b¸o [4], [5], [32] vµ ®−îc s¾p
xÕp thµnh ba ch−¬ng. Ch−¬ng 1 dµnh cho viÖc tr×nh bµy kh¸i niÖm chØ sè 1
cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn dùa vµo khai triÓn k× dÞ cña An vµ c¸c phÐp chiÕu
lªn kerAn . Ch−¬ng nµy còng nghiªn cøu sù tån t¹i nghiÖm vµ ®−a ra c«ng thøc
nghiÖm t−êng minh cña bµi to¸n Cauchy ®èi víi (0.12) khi hÖ sè c¶ cã h¹ng
h»ng hoÆc cã h¹ng thay ®æi. Mét sè kÕt qu¶ vÒ bµi to¸n khëi t¹o gi¸ trÞ ban ®Çu
còng ®−îc ®Ò cËp ®Õn ë ch−¬ng nµy. Trong Ch−¬ng 2, chóng t«i xÐt bµi to¸n
biªn nhiÒu ®iÓm cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn chØ sè 1. C¸c kÕt qu¶ nhËn ®−îc
trong ch−¬ng nµy lµ ®−a ra ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ cho sù tån t¹i duy nhÊt nghiÖm
cña bµi to¸n biªn nhiÒu ®iÓm. H¬n n÷a, ®iÒu kiÖn gi¶i ®−îc còng nh− c«ng thøc
nghiÖm t−êng minh cña bµi to¸n kh«ng chÝnh qui còng ®−îc thiÕt lËp. Ch−¬ng 3
tr×nh bµy mèi liªn hÖ gi÷a ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn chØ sè 1 vµ ph−¬ng tr×nh vi
ph©n ®¹i sè chØ sè 1. Khi ¸p dông l−îc ®å Euler hiÖn cho bµi to¸n Cauchy ®èi
víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ sè 1 ta sÏ nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh sai ph©n
Èn chØ sè 1. H¬n n÷a, nghiÖm cña bµi to¸n rêi r¹c héi tô vÒ nghiÖm cña bµi to¸n
liªn tôc t−¬ng øng khi b−íc l−íi rêi r¹c ®ñ bÐ. Trong ch−¬ng nµy ta còng chØ ra
sù kh«ng t−¬ng thÝch gi÷a kh¸i niÖm chÝnh qui cña bµi to¸n liªn tôc vµ bµi to¸n
rêi r¹c nhËn ®−îc khi ¸p dông l−îc ®å Euler hiÖn. Sù héi tô cña l−îc ®å Euler
hiÖn cho bµi to¸n biªn nhiÒu ®iÓm còng sÏ ®−îc tr×nh bµy. Trong c¶ ba ch−¬ng
cña luËn ¸n, c¸c kÕt qu¶ lý thuyÕt ®−îc minh ho¹ b»ng c¸c vÝ dô tÝnh to¸n b»ng
sè trong m«i tr−êng MAPLE. Cuèi cïng lµ phÇn kÕt luËn, danh môc c«ng tr×nh
®· c«ng bè liªn quan ®Õn luËn ¸n vµ tµi liÖu tham kh¶o.
Ch−¬ng 1
Bµi to¸n Cauchy cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn
víi hÖ sè biÕn thiªn
Trong ch−¬ng nµy, chóng ta sÏ nghiªn cøu tÝnh gi¶i ®−îc cña bµi to¸n gi¸ trÞ ban
®Çu cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn tuyÕn tÝnh kh«ng dõng:
An xn+1 = Bn xn + qn ,
n ∈ N0 ,
(1.1)
ë ®©y An , Bn ∈ Rm×m , qn ∈ Rm vµ An lµ ma trËn suy biÕn víi mäi n ∈ N0 .
Ph−¬ng tr×nh (1.1) xuÊt hiÖn trong rÊt nhiÒu øng dông vµ cã thÓ ®−îc xem
nh− lµ kÕt qu¶ cña sù rêi r¹c ho¸ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè
A(t)x0 (t) + B(t)x(t) = q(t),
t ∈ J := [t0 , T ],
(1.2)
trong ®ã A, B ∈ C(J, Rm×m ), q ∈ C(J, Rm ) vµ ma trËn A(t) suy biÕn víi mäi t ∈ J .
Thêi gian gÇn ®©y ®· cã nhiÒu t¸c gi¶ nhËn ®−îc c¸c kÕt qu¶ vÒ ph−¬ng
tr×nh (1.2) nh− Ascher, Boyarincev, Brenan, Campbell, Gear, Griepentrog, Hairer,
..
Marz, Petzold, Rheinboldt, ... Trong c¸c kÕt qu¶ ®· nhËn ®−îc vÒ ph−¬ng tr×nh
(1.2), ng−êi ta ®Òu gi¶ thiÕt kerA(t) tr¬n theo t, do ®ã A(t) cã h¹ng h»ng. Khi
tiÕp cËn ph−¬ng tr×nh (1.1), b»ng c¸ch sö dông khai triÓn k× dÞ cña c¸c ma trËn
An còng nh− mét sè kh¸i niÖm vµ kÜ thuËt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè, chóng
ta sÏ ®−a ra kh¸i niÖm chØ sè 1 cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn tuyÕn tÝnh khi h¹ng
cña hÖ sè c¶ lµ h»ng. Trong [4] ®· chØ ra r»ng kh¸i niÖm chØ sè 1 nµy hoµn toµn
t−¬ng thÝch víi kh¸i niÖm chØ sè 1 cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè theo nghÜa
..
cña Griepentrog vµ Marz. Tøc lµ nÕu (1.2) cã chØ sè 1 th× ph−¬ng tr×nh sai ph©n
nhËn ®−îc tõ nã b»ng mét c¸ch rêi r¹c thÝch hîp còng cã chØ sè 1.
Trong ch−¬ng nµy, ta sÏ nghiªn cøu sù tån t¹i duy nhÊt nghiÖm vµ t×m c«ng
thøc nghiÖm t−êng minh cña bµi to¸n Cauchy. Mét sè kÕt qu¶ liªn quan ®Õn bµi
12
13
to¸n Cauchy nh− lµ chän vÐc t¬ ban ®Çu P0 x0 còng ®−îc ®Ò cËp ë ®©y. H¬n n÷a,
kh¸c víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè, trong ®ã rankA(t) lu«n gi¶ thiÕt lµ h»ng,
ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn vÉn cã thÓ gi¶i ®−îc trong tr−êng hîp rankAn kh«ng
h»ng.
KÕt qu¶ chÝnh cña ch−¬ng nµy ®−îc c«ng bè trong bµi b¸o [32].
1.1 Tr−êng hîp h¹ng cña hÖ sè c¶ lµ h»ng
1.1.1 Kh¸i niÖm chØ sè
Gi¶ sö r»ng An lµ c¸c ma trËn suy biÕn, kh¸c kh«ng, vµ cã h¹ng h»ng, tøc lµ
rankAn = r víi mäi n ∈ N0 , trong ®ã 0 < r < m. Khi ®ã xÐt mét khai triÓn k× dÞ
cña An
An = Un Σn VnT ,
(1.3)
ë ®©y Σn lµ ma trËn ®−êng chÐo víi c¸c gi¸ trÞ k× dÞ σn(1) ≥ σn(2) ≥ · · · ≥ σn(r) > 0
trªn ®−êng chÐo chÝnh, hay Σn cã d¹ng
Σn = diag(σn(1) , σn(2) , . . . , σn(r) , 0, . . . , 0);
Un , Vn lµ c¸c ma trËn trùc giao, tøc lµ
UnT Un = Un UnT = VnT Vn = Vn VnT = I.
§Æt V−1 = V0 , Qn = Vn Q∗ VnT , Pn = I − Qn , n ∈ N0 víi Q∗ :=diag(Or , Im−r ), trong
®ã Or , Im−r lµ kÝ hiÖu cña c¸c ma trËn vu«ng kh«ng cÊp r vµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp
m − r. Tõ d¹ng cña Σn vµ Q∗ ta cã Σn Q∗ = O, do ®ã Qn lµ phÐp chiÕu lªn kerAn .
Tr−íc khi tr×nh bµy kh¸i niÖm chØ sè 1 cña ph−¬ng tr×nh (1.1), chóng ta cÇn
cã mét sè kÕt qu¶ bæ trî. C¸c kÕt qu¶ nµy ®−îc ph¸t biÓu trong hai bæ ®Ò sau.
Bæ ®Ò 1.1. Gi¶ sö r»ng ma trËn Gn := An + Bn Vn−1 Q∗ VnT (n ∈ N0 ) lµ kh«ng suy
biÕn. Khi ®ã ta cã
(i)
An Pn = An
(1.4)
14
(ii)
−1
Pn = Gn An
(1.5)
T
Gn Bn Qn−1 = Vn Q∗ Vn−1
(1.6)
(iii)
−1
−1
Pn Gn Bn Qn−1 = O,
−1
T
Qn Gn Bn Qn−1 = Vn Q∗ Vn−1
−1
(1.7)
−1
en−1 := I − Pen−1
(iv) NÕu Gn−1 tån t¹i vµ ®Æt Pen−1 = I − Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn th× Q
lµ mét phÐp chiÕu lªn kerAn−1 . H¬n n÷a,
−1
−1
Pen−1 Gn−1 Bn−1 Pen−2 = Pen−1 Gn−1 Bn−1 .
(1.8)
Chøng minh. Do An Qn = Un Σn VnT Vn Q∗ VnT , VnT Vn = I vµ Σn Q∗ = O, nªn ta nhËn
®−îc An Qn = O. V× Qn = I − Pn , nªn An (I − Pn ) = O, hay An Pn = An .
§¼ng thøc (1.4) ®−îc chøng minh. Ta cã Gn Pn = (An + Bn Vn−1 Q∗ VnT )Pn =
(An + Bn Vn−1 VnT Qn )Pn = An Pn + Bn Vn−1 VnT Qn Pn .
Do Qn Pn = O nªn ®¼ng
thøc cuèi trªn cho ta Gn Pn = An Pn . KÕt hîp hÖ thøc võa nhËn ®−îc víi (1.4)
−1
ta suy ra Gn Pn = An , hay Pn = Gn An . Tõ ®ã suy ra (1.5). TiÕp theo, tõ
T
Gn = An + Bn Vn−1 Q∗ VnT ta cã Gn − An = Bn Vn−1 Q∗ VnT . Nh©n Vn Vn−1
vµo bªn
ph¶i hai vÕ cña ®¼ng thøc nµy vµ l−u ý r»ng VnT Vn = I , ta nhËn ®−îc ®¼ng thøc
T
T
T
(Gn −An )Vn Vn−1
= Bn Vn−1 Q∗ Vn−1
, hay Bn Qn−1 = (Gn −An )Vn Vn−1
. ¸p dông ®¼ng
−1
−1
T
T
= (I − Pn )Vn Vn−1
=
thøc (1.5), ta nhËn ®−îc Gn Bn Qn−1 = Gn (Gn − An )Vn Vn−1
T
T
T
Qn Vn Vn−1
= Vn Q∗ VnT Vn Vn−1
= Vn Q∗ Vn−1
. VËy (1.6) ®−îc chøng minh. §¼ng thøc
(1.7) lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña (1.6). B©y giê ta chøng minh ®¼ng thøc (1.8). ThËt
vËy,
−1
−1
−1
T
Pen−1 Gn−1 Bn−1 Pen−2 = Pen−1 Gn−1 Bn−1 (I − Qn−2 Vn−2 Vn−1
Gn−1 Bn−1 )
−1
−1
−1
T
= Pen−1 Gn−1 Bn−1 − Pen−1 Gn−1 Bn−1 Qn−2 Vn−2 Vn−1
Gn−1 Bn−1 .
§¼ng thøc (1.8) sÏ ®−îc thiÕt lËp nÕu ta chøng minh ®−îc
−1
−1
T
Pen−1 Gn−1 Bn−1 Qn−2 Vn−2 Vn−1
Gn−1 Bn−1 = O.
15
−1
T
Theo (1.6) th× Gn−1 Bn−1 Qn−2 = Vn−1 Q∗ Vn−2
, v× thÕ
−1
−1
−1
T
T
T
Pen−1 Gn−1 Bn−1 Qn−2 Vn−2 Vn−1
Gn−1 Bn−1 = Pen−1 Vn−1 Q∗ Vn−2
Vn−2 Vn−1
Gn−1 Bn−1 .
T
T
§Ó ý r»ng Vn−2
Vn−2 = I vµ Vn−1 Q∗ Vn−1
= Qn−1 , v× vËy hÖ thøc trªn ®−îc rót gän
−1
−1
−1
T
Pen−1 Gn−1 Bn−1 Qn−2 Vn−2 Vn−1
Gn−1 Bn−1 = Pen−1 Qn−1 Gn−1 Bn−1 .
MÆt kh¸c, ta cã
−1
−1
Pen−1 Qn−1 = (I − Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn )Qn−1 = Qn−1 − Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn Qn−1 .
T
L¹i ¸p dông (1.6), ta cã Pen−1 Qn−1 = Qn−1 − Qn−1 Vn−1 VnT Vn Q∗ Vn−1
= Qn−1 −
−1
−1
T
Qn−1 Qn−1 = O. Do ®ã ta cã Pen−1 Gn−1 Bn−1 Qn−2 Vn−2 Vn−1
Gn−1 Bn−1 = O. VËy
−1
en−1 = I − Pen−1
(1.8) ®· ®−îc chøng minh. V× Pen−1 := I − Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn vµ Q
−1
en−1 = Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn . Tõ An−1 Qn−1 = O ta nhËn ®−îc An−1 Q
en−1 =
nªn Q
−1
An−1 Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn = O. H¬n n÷a, ta cã
T −1
e2n−1 = Qn−1 Vn−1 VnT G−1
Q
n Bn Qn−1 Vn−1 Vn Gn Bn .
T
¸p dông (1.6) vµo hÖ thøc trªn vµ l−u ý r»ng VnT Vn = I , Vn−1 Q∗ Vn−1
= Qn−1 ,
−1
e2n−1 = Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn = Q
e n−1 . §iÒu ®ã chøng tá Q
en−1
Q2n−1 = Qn−1 , ta ®−îc Q
lµ mét phÐp chiÕu lªn kerAn−1 . Bæ ®Ò ®· ®−îc chøng minh.
T
Bæ ®Ò 1.2. Gi¶ sö An = Un Σn VnT = U n Σn V n lµ hai khai triÓn k× dÞ cña ma trËn
An . Khi ®ã
bn := An + Bn V n−1 Q∗ V T lµ ®ång
(i) C¸c ma trËn Gn := An + Bn Vn−1 Q∗ VnT vµ G
n
thêi suy biÕn hoÆc ®ång thêi kh«ng suy biÕn.
(ii) NÕu Gn vµ Gn−1 kh¶ nghÞch th×
−1
vµ
T
b−1
Vn−1 Q∗ VnT Gn = V n−1 Q∗ V n G
n
−1
b−1 ,
Pen−1 Gn−1 = Pen−1 G
n−1
−1
trong ®ã Pen−1 := I − Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn .
(1.9)
(1.10)
16
T
Chøng minh. (i) Gi¶ sö Gn kh¶ nghÞch vµ kÝ hiÖu S n := {ζ : Bn V n−1 V n ζ ∈ ImAn },
bn còng kh¶ nghÞch. §Ó chøng minh ®iÒu nµy, tr−íc hÕt
ta cÇn chøng minh r»ng G
ta chøng tá S n ∩ kerAn = {0}. ThËt vËy, lÊy x ∈ S n ∩ kerAn tuú ý. Do x ∈ S n nªn
−1
T
tån t¹i vÐc t¬ ζ ∈ Rm sao cho Bn V n−1 V n x = An ζ. Nh©n Qn Gn vµo bªn tr¸i hai
vÕ cña ®¼ng thøc nµy ta nhËn ®−îc
−1
−1
T
Qn Gn Bn V n−1 V n x = Qn Gn An ζ.
−1
Sö dông ®¼ng thøc (1.5) trong Bæ ®Ò 1.1, ta cã Qn Gn An ζ = Qn Pn ζ = 0, do ®ã
−1
T
T
Qn Gn Bn V n−1 V n x = 0. T−¬ng tù nh− Qn , ta ®Æt Qn = V n Q∗ V n , th× Qn còng lµ
mét phÐp chiÕu lªn kerAn . MÆt kh¸c, tõ x ∈ kerAn , suy ra tån t¹i z ∈ Rm ®Ó x =
T
T
T
T
Qn z . H¬n n÷a, An−1 V n−1 V n x = U n−1 Σn−1 V n−1 V n−1 V n x = U n−1 Σn−1 V n Qn z =
T
T
U n−1 Σn−1 Q∗ V n z . V× Σn−1 Q∗ = O nªn ta nhËn ®−îc An−1 V n−1 V n x = 0. Tõ ®©y
T
T
suy ra V n−1 V n x ∈ kerAn−1 , hay tån t¹i vÐc t¬ η ∈ Rm sao cho V n−1 V n x = Qn−1 η .
−1
−1
T
Nh− vËy ®¼ng thøc Qn Gn Bn V n−1 V n x = 0 ®−îc viÕt l¹i lµ Qn Gn Bn Qn−1 η = 0.
T
T
η = 0, hay Q∗ Vn−1
η = 0.
Tõ hÖ thøc (1.7) trong Bæ ®Ò 1.1, ta nhËn ®−îc Vn Q∗ Vn−1
T
T
η = 0, hay Qn−1 η = 0. V× V n−1 V n x = Qn−1 η
§iÒu nµy cã nghÜa lµ Vn−1 Q∗ Vn−1
T
nªn V n−1 V n x = 0, hay x = 0. VËy ta nhËn ®−îc S n ∩ kerAn = {0}. B©y giê ta sÏ
T
bn kh¶ nghÞch. Gi¶ sö G
bn x = 0, tøc lµ (An +Bn V n−1 Q∗ V )x = 0, hay
chøng minh G
n
T
Bn V n−1 V n Qn x = −An x ∈ ImAn . VËy ta cã Qn x ∈ S n . MÆt kh¸c, Qn x ∈ kerAn ,
suy ra Qn x ∈ kerAn ∩ S n . Do kerAn ∩ S n = {0} nªn Qn x = 0. KÕt hîp ®¼ng
T
thøc nµy víi Bn V n−1 V n Qn x = −An x ta cã An x = 0, tøc lµ x ∈ kerAn . V× vËy
bn lµ ma trËn kh¶ nghÞch.
x = Qn x = 0. §iÒu nµy cã nghÜa lµ G
(ii) Tr−íc hÕt, ta ®Ó ý r»ng c¶ Qn−1 vµ Qn−1 lµ hai phÐp chiÕu lªn kerAn−1 ,
T
T
T
V n−1 Q∗ V n−1 = V n−1 Q∗ V n−1 . Nh©n
do ®ã Qn−1 Qn−1 = Qn−1 , hay Vn−1 Q∗ Vn−1
T
V n−1 vµo bªn tr¸i vµ V n−1 vµo bªn ph¶i, hai vÕ cña ®¼ng thøc nµy ta cã Q∗ =
T
T
V n−1 Vn−1 Q∗ Vn−1
V n−1 Q∗ .
T
bn bëi V Tn−1 Vn−1 Q∗ Vn−1
Tõ ®ã, b»ng c¸ch thay thÕ Q∗ trong G
V n−1 Q∗ ta cã
−1
bn = Vn−1 Q∗ V T G−1 (An + Bn V n−1 Q∗ V T ) = Vn−1 Q∗ V T G−1 An
Vn−1 Q∗ VnT Gn G
n
n
n
n
n
−1
T
T
T
+Vn−1 Q∗ VnT Gn Bn V n−1 V n−1 Vn−1 Q∗ Vn−1
V n−1 Q∗ V n
17
−1
−1
T
= Vn−1 Q∗ VnT Gn An + Vn−1 Q∗ VnT Gn Bn Qn−1 V n−1 Q∗ V n .
−1
Sö dông hÖ thøc (1.5), ta cã Vn−1 Q∗ VnT Gn An = Vn−1 VnT Qn Pn = O. Tõ ®¼ng thøc
(1.6), suy ra
−1
T
T
T
Vn−1 Q∗ VnT Gn Bn Qn−1 V n−1 Q∗ V n = Vn−1 Q∗ VnT Vn Q∗ Vn−1
V n−1 Q∗ V n
T
= Qn−1 Qn−1 V n−1 V n
T
T
= Qn−1 V n−1 V n = V n−1 Q∗ V n .
VËy ta nhËn ®−îc
−1
T
T
Vn−1 Q∗ VnT Gn Bn Qn−1 V n−1 Q∗ V n = V n−1 Q∗ V n ,
−1
∗ T b −1
bn = V n−1 Q∗ V Tn , hay Vn−1 Q∗ VnT G−1
do ®ã Vn−1 Q∗ VnT Gn G
n = V n−1 Q V n Gn . §¼ng
thøc (1.9) ®−îc chøng minh.
§Ó chøng minh (1.10), ta xÐt
−1
∗ T
bn−1 = G−1
Gn−1 G
n−1 (An−1 + Bn−1 V n−2 Q V n−1 )
−1
−1
T
= Gn−1 An−1 + Gn−1 Bn−1 V n−2 Q∗ V n−1 .
T
T
Ta cã Q∗ = V n−2 Vn−2 Q∗ Vn−2
V n−2 Q∗ nªn
−1
−1
T
T
T
T
Gn−1 Bn−1 V n−2 Q∗ V n−1 = Gn−1 Bn−1 V n−2 V n−2 Vn−2 Q∗ Vn−2
V n−2 Q∗ V n−1
−1
T
= Gn−1 Bn−1 Qn−2 V n−2 Q∗ V n−1 .
¸p dông (1.6) vµo hÖ thøc cuèi, ta ®−îc
−1
T
T
T
Gn−1 Bn−1 Qn−2 V n−2 Q∗ V n−1 = Vn−1 Q∗ Vn−2
V n−2 Q∗ V n−1 .
−1
MÆt kh¸c, theo (1.5) th× Gn−1 An−1 = Pn−1 , do ®ã ta cã
−1
VËy ta nhËn ®−îc
T
bn−1 = Pn−1 + Vn−1 Q∗ V T V n−2 Q∗ V
Gn−1 G
n−2
n−1 .
−1
bn−1 = Pen−1 Pn−1 + Pen−1 Vn−1 Q∗ V T V n−2 Q∗ V T .
Pen−1 Gn−1 G
n−2
n−1
en−1 lµ phÐp chiÕu lªn kerAn−1 nªn Q
en−1 Qn−1 = Qn−1 hay
Bæ ®Ò 1.1 kh¼ng ®Þnh Q
Pen−1 Qn−1 = O, do ®ã
T
T
T
T
Pen−1 Vn−1 Q∗ Vn−2
V n−2 Q∗ V n−1 = Pen−1 Qn−1 Vn−1 Vn−2
V n−2 Q∗ V n−1 = O,
18
−1
bn−1 = Pen−1 Pn−1 . H¬n n÷a, Pen−1 Pn−1 = Pen−1 (I − Qn−1 ) = Pen−1 .
suy ra Pen−1 Gn−1 G
−1
bn−1 = Pen−1 , hay Pen−1 G−1 = Pen−1 G
b−1
V× thÕ ta cã Pen−1 Gn−1 G
n−1 , tøc lµ hÖ thøc
n−1
(1.10) ®−îc thiÕt lËp. VËy, bæ ®Ò ®· ®−îc chøng minh.
Bæ ®Ò 1.2 chøng tá ®Þnh nghÜa vÒ chØ sè 1 cña ph−¬ng tr×nh (1.1) d−íi ®©y
kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän khai triÓn k× dÞ cña c¸c ma trËn An .
§Þnh nghÜa 1.1. Ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn tuyÕn tÝnh (1.1) ®−îc gäi lµ cã chØ sè
1 nÕu
(i) rankAn = r (0 < r < m), ∀n ∈ N0 .
(ii) C¸c ma trËn Gn := An + Bn Vn−1 Q∗ VnT kh¶ nghÞch víi mäi n ∈ N0 .
VÝ dô 1.1. XÐt ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn
1 1
n
n
2
xn+1 =
xn + , ∀n ∈ N0 .
n n
n n−1
−1
1 1
n
n
2
, Bn =
, qn = .
Ta cã An =
n n
n n−1
−1
(1.11)
DÔ thÊy, kerAn =span{(1, −1)T }, ®iÒu nµy chøng tá rankAn ≡ 1. H¬n n÷a, An =
Un Σn VnT , trong ®ã
√
1 n
1 0
1 −1
1
, Σn = 2 + 2n2
.
vµ Vn = √1
Un = √
2
n + 1 n −1
2
0 0
1 1
Khi ®ã
0 0
1 −1
1 −1
, V−1 = √1
, Qn = Vn Q∗ VnT = 1
, ∀n ∈ N0 .
Q∗ =
2 −1 1
2 1 1
0 1
1 1
víi mäi n ∈ N0 . Tõ ®ã ta nhËn ®−îc
Do ®ã Pn = 12
1 1
1
1
, ∀n ∈ N0 .
Gn = An + Bn Vn−1 Q∗ VnT =
n + 12 n − 12
Do Gn kh¶ nghÞch víi mäi n ∈ N0 nªn (1.11) lµ ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn chØ sè
1.
19
VÝ dô 1.2. XÐt ph−¬ng tr×nh (1.1) víi An , Bn vµ qn cho bëi
1 −1 − n
2 −1 − n
n
, Bn =
, qn =
.
An =
1 −1 − n
2
0
n−1
(1.12)
Khi ®ã kerAn =span{(1 + n, 1)T } víi mäi n ∈ N0 , suy ra rankAn ≡ 1. Khai triÓn
k× dÞ cña An lµ An = Un Σn VnT víi
p
2
1
1+n
2(1 + (1 + n) ) 0
1
, Σn =
;
Vn = p
1 + (1 + n)2 −1 − n
1
0
0
do ®ã
Q∗ =
0 0
1 1
, V−1 = V0 = √1
.
2
0 1
−1 1
Tõ ®©y b»ng tÝnh to¸n ta nhËn ®−îc
G0 = A0 + B0 V−1 Q∗ V0T =
Gn = An + Bn Vn−1 Q∗ VnT
3
2
2
− 12
0
,
n − 1 − Mn (n + 1)
1 Mn + n − 1
, ∀n ∈ N,
=
Mn Mn + 2n(n + 1) 2n − Mn (n + 1)
2
p
(1 + n2 )(1 + (1 + n)2 ). Suy ra detG0 = 1,
√
(n+1) 1+(1+n)2
√
detGn =
6= 0, ∀n ∈ N. §iÒu nµy chøng tá ph−¬ng tr×nh (1.1) víi
1+n2
ë ®©y Mn :=
d÷ liÖu (1.12) cã chØ sè 1.
VÝ dô 1.3. XÐt ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn (1.1) víi
1
−1
−1 0
n2 − 1
, Bn =
, qn =
, ∀n ∈ N0 .
An =
−n
−n + 1 n − 1
n −1
(1.13)
Trong tr−êng hîp nµy ta cã kerAn =span{(1, 1)T }, v× vËy ta nhËn ®−îc rankAn ≡ 1.
Ta cã khai triÓn k× dÞ cña ma trËn An cã d¹ng An = Un Σn VnT , ë ®©y
p
2(1 + (n − 1)2 ) 0
1
1
, Vn = √1
, ∀n ∈ N0 ;
Σn =
2
0
0
−1 1
- Xem thêm -