Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo án - Bài giảng Trung học cơ sở Phương trình quy về phương trình bậc hai...

Tài liệu Phương trình quy về phương trình bậc hai

.PDF
45
23
63

Mô tả:

DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: Môc lôc Trang PhÇn I : phÇn më ®Çu I. §Æt vÊn ®Ò II.NhiÖm vô vµ ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu PhÇn II: Néi dung ®Ò tµi Ch-¬ng I :Lý luËn chung Ch-¬ng II: ph-¬ng tr×nh quy vÒ ph-¬ng tr×nh bËc hai I . Ph-¬ng tr×nh bËc hai cã 1 Èn sè II. Ph-¬ng tr×nh quy vÒ ph-¬ng tr×nh bËc hai 1. Ph-¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu 2. Ph-¬ng tr×nh ®-a vÒ d¹ng tÝch 3. Ph-¬ng tr×nh bËc bèn 3.1 Ph-¬ng tr×nh trïng ph-¬ng 3.2 Ph-¬ng ph¸p ®Æt Èn phô 3.3 Ph-¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi 3.4 Ph-¬ng tr×nh chøa Èn d-íi dÊu c¨n 3.5 Ph-¬ng tr×nh håi quy 1 2 4 6 10 13 16 18 20 21 22 22 3.6 Ph-¬ng tr×nh d¹ng af2(x)+bf(x)+c=0 24 3.7 Ph-¬ng tr×nh d¹ng (x+a)4+(x+b)4=0 26 3.8 Ph-¬ng tr×nh d¹ng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m 29 4. Vµi ph-¬ng tr×nh bËc cao kh¸c 32 5. Mét sè bµi ®Ò nghÞ 35 PhÇn III: Thùc nghiÖm TiÕt 1 36 TiÕt 2 39 PhÇn IV : KÕt luËn 44 PhÇn V: Tµi liÖu tham kh¶o 45 Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 1 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU ****************************************** I - ĐẶT vÊn ®Ò - Trong thời kì cả nƣớc đang tiến nhanh trên con đƣờng công nghiệp hoá , hiện đại hoá đất nƣớc. Song song với sự phát triển mạnh mẽ về các lĩnh vực kinh tế, xã hội, công nghệ thông tin,… Sự nghiệp giáo dục cũng đang đƣợc đổi mới và phát triển không ngừng, nhất là đổi mới về phƣơng pháp dạy học (PPDH). Là một vấn đề đang đƣợc đề cập, nghiên cứu và bàn luận sôi nổi. Đặc biệt đối với bộ môn toán là một bộ môn khoa học trừu tƣợng song có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc đổi mới PPDH nói chung và dạy toán trong nhà trƣờng THCS nói riêng đã đƣợc định hƣớng pháp chế hoá trong luật giáo dục đó là: “Phƣơng pháp dạy học phát huy tính tích cực tự giác chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp, bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh,…”. Giúp học sinh hƣớng tới học tập chủ động sáng tạo chống lại thói quen học tập thụ động vốn có của đa số học sinh trong nhà trƣờng THCS. - Trong quá trình giảng dạy việc đánh giá chất lƣợng, năng lực tƣ duy,hay khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh đối với bộ môn toán chủ yếu thông qua giải bài tập. Thông qua việc giải bài tập nhằm củng cố hoàn thiện kh¾c sâu nâng cao ( mức độ cho phép ) những nội dung kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng, thuật giải , nguyên t¾c giải toán. Đối với học sinh lớp 9 ngoài việc truyền cho học sinh những kiến thức, kĩ năng toán học theo yêu cầu của nội dung chƣơng trình giáo khoa đại trà chúng ta còn rất cần đầu tƣ bồi dƣỡng cho một bộ phận học sinh khá, giỏi đây là một việc rất cần thiết và phải đƣợc tiến hành thƣờng xuyên ở trong các nhà trƣờng thcs. Nhằm tạo điều kiện để cho học sinh phát huy đƣợc năng lực trí thông minh sáng tạo, giúp nâng cao chất lƣợng mũi nhọn, bồi dƣơng đội ngũ học sinh giỏi các cấp, phát triển nhân tài cho đất nƣớc. Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 2 SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI - Một trong những chuyên đề kiến thức quan trọng đối với học sinh lớp 9 cần nắm vững đó là giải bài tập về “Giải phƣơng trình” nhƣng nội dung chƣơng trình sách giáo khoa lớp 9 môn đại số mới chỉ quan tâm hƣớng dẫn kĩ học sinh cách giải phƣơng trình bậc hai,những phƣơng trình có thể quy về phƣơng trình bậc hai để giải còn ít dạng, bài tập còn ít và dễ do các yêu cầu về nội dung chƣơng trình khung của Bộ giáo dục đã đề ra. Chƣa đáp ứng đƣợc yêu cầu học tập nâng cao tri thức kĩ năng của nhƣng em học sinh có năng lực học tập khá, giỏi . Vì vậy chúng ta cần quan tâm đến việc hƣớng dẫn, bồi dƣỡng cho học sinh lớp 9 cách giải các phƣơng trình có thể quy về phƣơng trình bậc hai. Những phƣơng trình quy về phƣơng trình bậc hai này không mới, nhƣng nó có thể mới với nhiều thầy cô, nhất là đối với các em học sinh. Bởi vì những phƣơng tr×nh quy về phƣơng trình bậc hai là vấn đề dạy giải các bài tập có đặc thù riêng. Lí thuyết chỉ dạy về phƣơng trình bậc hai nhƣng ở đây dạy giải những phƣơng trình ở những dạng khác có thể đƣa về phƣơng trình trung gian là những phƣơng trình bậc hai thƣờng gặp trong chƣơng trình lớp 9 những bài toán hay và khó đặc biệt thƣờng gặp trong việc thi chọn HSG, thi vào trƣờng chuyên. - Về hệ thống bài tập phƣơng trình quy về phƣơng trình bậc hai trong SGK và SBT có nhiều đề cập tới song chƣa nhiều, chƣa đa dạng, chƣa có sự hƣớng dẫn cụ thể nên chƣa thực sự thuận lợi cho ngƣời dạy và ngƣời học tiếp thu và nghiên cứu. - Với sự xác nhận đúng đắn mục tiêu, nội dung chƣơng trình dạy học của môn Đ¹i số 9. Kết hợp với sự tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp, kinh nghiệm của các đồng chí có trình độ chuyên môn vững vàng và nhiều năm làm công tác giảng dạy, và kết quả đánh giá, cũng nhƣ kinh nghiệm của bản thân sau một số năm tham gia giảng dạy bộ môn Toán 9 còng nhƣ ôn luyện cho học sinh khá giỏi, đã mạnh dạn đi sâu và nghiên cứu lựa chọn một số dạng bài tập về giải phƣơng trình và cách giải các phƣơng trình quy về phƣơng trình bậc hai. Hệ thống bài tập này có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên giảng dạy và học sinh học để chuẩn bị cho các kì thi chọn HSG, tuyển sinh vào lớp 10, giúp ngƣời thày đổi mới PPDH, giúp các em học sinh lớp 9 tự tin và thêm yêu môn toán và học toán ngày càng có kết quả hơn. Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 3 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: II. NHIỆM VỤ VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. NHIỆM VỤ: Với mục đích là hƣớng dẫn học sinh cách giải phƣơng trình quy về phƣơng trình bậc hai nên xuyên suốt quá trình nghiên cứu nhiệm vụ đƣợc đề ra nhƣ sau: - Trên cơ sở những bài tập trong SGK, nghiên cứu tham khảo thêm các tài liệu, sách bồi dƣỡng để tìm tòi bổ xung thêm một số dạng bài tập để sắp xếp ra thành hệ thống bài tập cho phần dạy phƣơng trình quy về phƣơng trình bậc hai sử dụng bồi dƣỡng cho học sinh lớp 9 THCS. - Nghiên cứu xác định nội dung kiến thức cơ bản cần thiết để giảng dạy - Dựa vào căn cứ yêu cầu, lựa chọn hệ thống bài tập phục vụ cho việc giảng dạy nói chung. - Nghiên cứu tìm ra phƣơng pháp giải cơ bản, dễ hiểu khoa học, chính xác mẫu mực cho học sinh noi theo. - Rèn luyện cho học sinh nề nếp học tập có tính khoa học, rèn luyện các thao tác tƣ duy, phƣơng pháp học tập chủ động, tích cực sáng tạo. Cũng thông qua đó giáo dục cho học sinh giá trị đạo đức , tƣ tƣởng lối sống phù hợp với mục tiêu, giúp trau dồi cho các em các kiến thức phổ thông cơ bản gắn với cuộc sống cộng đồng và thực tiễn địa phƣơng có kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống giải quyết một số vấn đề thƣờng gặp trong cuộc sống của bản thân, gia đình và cộng đồng. Đồng thời giúp các em tự tin giải toán trong các kì thi cử. 2. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU : - Học sinh lớp 9 trƣờng THCS Gia T-êng – Nho Quan – Ninh Bình - Giúp học sinh có các cách giải các phƣơng trình bậc cao và một số phƣơng trình dạng khác 3. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong quá trình nghiên cứu để tìm ra phƣơng pháp giảng dạy “Giải phƣơng trình Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 4 SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI quy về phƣơng trình bậc hai”có hiệu quả tôi đã sử dụng các phƣơng pháp sau: - Tham khảo thu nhập tài liệu - Thông qua các tổ chức hoạt động học tập của học sinh “Cách tốt nhất để hiểu là làm” _ (Kant). Tự lực khám phá những điều mình chƣa biết làm phát huy tính tích cực chủ động của học sinh - Phân tích tổng kết kinh nghiệm - Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra kết quả học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học, theo dõi quá trình học tập tiếp thu kiến thức của học sinh, từ đó điều chỉnh và sử dụng linh hoạt các phƣơng pháp dạy học. - Trƣng cầu, tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhất là những giáo viên trực tiếp giảng dạy chƣơng trình lớp 9 để trau dồi thêm kiến thức, phƣơng pháp 4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU: - Giới hạn ở vấn đề giải các phƣơng trình cơ bản , phƣơng trình bậc cao ( một số dạng thƣờng gặp ở lớp 9) trong chƣơng trình THCS Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 5 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: PHẦN II - NỘI DUNG ĐỀ TÀI *************************************************** LÍ LUẬN CHUNG Chƣơng I A- CÁC CĂN CỨ LỰA CHỌN HỆ THỐNG BÀI TẬP. 1. Mục đích, ý nghĩa của việc dạy giải bài tập toán - Bài tập toán giúp cho học sinh củng cố khắc sâu kiến thức cơ bản một cách có hệ thống ( Về toán học nói chung cũng nhƣ phần phƣơng trình bậc hai và phƣơng trình quy về phƣơng trình bậc hai trong chƣơng trình đại số 9…) theo hƣớng tinh giản vững chắc. - Bài tập quy về “phƣơng trình bậc hai” nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng thực hành giải toán. Rèn luyện cho học sinh các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các môn học khác ở trƣờng THCS, mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế. - Bài tập phƣơng trình quy về phƣơng trình bậc hai còn góp phần rèn luyện cho học sinh những đức tính cẩn thận sáng tạo…của ngƣời nghiên cứu khoa học. 2. Các yêu cầu của việc lựa chọn hệ thống bài tập 2.1 Hệ thống bài tập đƣa ra phải đầy đủ, hợp lí, phải làm cho học sinh nắm vững bản chất các kiến thức đã học, rèn luyện cho học sinh khả năng độc lập trong suy nghĩ, sáng tạo và khả năng suy luận. Hệ thống bài tập đầy đủ là hệ thống không những đầy đủ về nội dung mà còn phải đầy đủ về loại hình đó là: + Bài tập về chứng minh + Bài tập về tính toán + Bài tập về rút gọn + Bài tập về phân tích + Bài tập về giải phƣơng trình, khảo sát hàm số Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 6 SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI - Các bài tập đƣa ra cả đơn giản lẫn phức tạp. Có bài thuần tuý toán học và có cả những bài mang nội dung thực tế. 2.2 Hệ thống bài tập phải đảm bảo tính mục đích của việc dạy học. - Hệ thống bài tập chọn phải củng cố khắc sâu kiến thức cơ bản – vì kiến thức cơ bản là cơ sở để giải quyết nh÷ng vấn đề có liên quan. Có nắm vững kiến thức cơ bản mới có hƣớng để vận dụng vào thực tế giải bài tập. - Hệ thống bài tập phải đảm bảo trang bị kiến thức cho học sinh một cách có hệ thống, chính xác. Góp phần rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh. - Hệ thống bài tập chọn phải có tác dụng giáo dục tƣ tƣởng cho học sinh thấy rõ vai trò của toán học với thực tiễn, làm cho học sinh yêu thích môn toán có hứng thú học tập đối với môn toán. 2.3. Hệ thống bài tập phải đảm bảo yêu cầu vừa sức, phù hợp với đối tƣợng học sinh. Phải làm cho học sinh thấy cần và có khả năng giải các bài tập đã ra. Nếu ra bài tập quá khó sẽ gây tâm lí lo ngại cho học sinh. Vì vậy khi bài tập thích hợp chúng ta có thể chia ra thành các loại bài tập: Loại 1: bài tập có tính chất củng cố lí thuyết. Loại bài này đòi hỏi tƣ duy ít phức tạp, nên ra với học sinh trung bình, yếu. Loại 2: Bài tập có sự vận dụng bƣớc đầu các hình thức tƣ duy nhƣ áp dụng lí thuyết có tính chất không đơn giản. Loại này thƣờng ra với học sinh trung bình, Khá. Loại 3: Loại bài tập có tính phức tạp hơn, đòi hỏi các thao tác tƣ duy khéo léo, mềm dẻo hơn, sử dụng lí thuyết phức tạp thƣờng là kông trực diện. Loại bài này thƣờng ra đối với đối tƣợng học sinh khá, giỏi, học sinh lớp chọn, lớp chuyên. 2.4 Hệ thống bài tập phải đảm bảo yêu cầu cân đối: Cân đối về thời gian với hoàn cảnh , quy định của chƣơng trình , nhƣng sao cho học sinh phải nỗ lực mới hoàn thành đƣợc. Đồng thời nên giao cho học sinh những bài tập có gắn với thực tiễn ( Ví dụ nhƣ bài toán về dân số…). Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 7 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: 2.5 Phải phát huy đƣợc năng lực tƣ duy của học sinh. Đƣa ra tÊt cả những loại bài tập mà học sinh phải tìm tòi mới ra hƣớng giải. 3. Các căn cứ lựa chọn hệ thống bài tập: 3.1 Căn cứ vào mục đích dạy học: Dạy cái gì? với bài tập về phƣơng trình bậc hai giúp học sinh giải tốt phƣơng trình bậc hai, biết cách đƣa các phƣơng trình bậc cao hoặc các dạng khác về phƣơng trình bậc hai trung gian. Bồi dƣỡng cho học sinh những kỹ năng và thói quen giải bài toán trong thực tế. Giúp cho học sinh phát huy , phát triển tƣ duy ở khía cạnh tính toán biến đổi, có những thao tác tƣ duy mềm dẻo. 3.2 Dựa vào tình hình dạy và học ở trƣờng THCS: - Dựa vào tình hình dạy và học ở trƣờng THCS về năng lực nổi lên rất rõ: số học sinh học chuyên, chăm chỉ chiếm tỉ lệ không lớn, đặc biệt hơn số học sinh khá giỏi không nhiều. Hơn nữa ở những nơi có điều kiện tự học và học thêm có chất lƣợng học tập cao hơn. - Căn cứ vào thực tế dạy học phần này ở phổ thông cơ sở chƣa nhiều đội ngũ giáo viên chƣa đƣợc chuẩn bị chu đáo vì đây vì đây là kiến thức mới đƣa từ THPT xuống THCS trong mấy năm gần đây. - Về hệ thống bài tập của SGK, SBT chƣa đáp ứng đƣợc nhu cầu học tập, giảng dạy của giáo viên và học sinh. Khi soạn giảng phần này đòi hỏi giáo viên phải tự tìm tòi tài liệu, biên soạn lấy bài tập vì thế nội dung giảng dạy chƣa thống nhất chung đƣợc. - Sách giáo khoa và chƣơng trình hiện hành đã đƣa ra cho học sinh một số loại phƣơng trình quy về phƣơng trình bậc hai, song mới chỉ dừng lại ở việc nhận dạng, biết giải các phƣơng trình đó ở diện học sinh đại trà. Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 8 SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI - Căn cứ vào tình huống dạy học: Bài tập của mỗi tiết học phải đảm bảo phù hợp với đặc điểm của tiết học ấy. Chẳng hạn mới học song lí thuyết ta có thể đƣa ra cho học sinh những bài tập áp dụng đơn, giản trực tiếp về những phƣơng trình có thể quy về phƣơng trình bậc hai, phƣơng trình chứa ẩn ở mẫu,phƣơng trình trùng phƣơng, phƣơng trình vô tỷ... - Ngoài hệ thống bài tập ở nhà , bài tập ôn tập... yêu cầu kiến thức phải nhiều hơn về khối lƣợng cũng nhƣ yêu cầu cao hơn về tƣ duy. B. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ KĨ NĂNG CẦN THIẾT KHI HỌC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH. - Các quy tắc tính toán về biểu thức đại số. - Các hằng đẳng thức đáng nhớ. - Phép phân tích đa thức thành nhân tử. - Giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số. - Điều kiện để biểu thức có nghĩa. - Phép biến đổi ( hay đặt ẩn phụ) trong phép biến đổi đại số trong giải phƣơng trình . Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 9 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: CHƢƠNG II PHƢƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI I. PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ MỘT ẨN SỐ. 1.1 Định nghĩa: - Phƣơng trình bậc hai một ẩn số là phƣơng trình có dạng ax2 + bx + c = 0, trong đó x là ẩn số; a,b,c là các hằng số, a 0. - Nghiệm của phƣơng trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà khi thay vào vế trái của phƣơng trình ta đƣợc giá trị của vế trái bằng không. 1.2 Giải và biện luận phƣơng trình bậc hai: a. Khi nghiên cứu về nghiệm của một Phƣơng trình bậc hai ax2 + bx + c=0 (với a 0). Ta cần quan tâm đến biệt số = b2 – 4ac của phƣơng trình.Vì giá trị của quyết định đến số nghiệm của phƣơng trình bậc hai. Ta thấy có các kả năng xẩy ra. > 0: phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x1,2 = = 0: phƣơng trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x2 = b 2a b 2a < 0: phƣơng trình bậc hai vô nghiệm: *) Đặc biệt khi b chẵn (b= 2b’, b Z) ta có thể nghiên cứu về nghiệm số của phƣơng trình bậc hai qua biệt số thu gọn ’. Do b= 2b’ nên = 4 ’ vì vậy và ’ cùng dấu suy ra số nghiệm của phƣơng trình bậc hai xét theo ’ cũng giống nhƣ xét theo tức là: ’ > 0: phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x1,2 = ’= 0: phƣơng trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x2 = b' a b ' a ’ < 0: phƣơng trình bậc hai vô nghiệm: Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 10 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: 1.3 Chú ý: a) Nếu a và c trái dấu (a.c < 0) thì phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt và trái dấu ( vì > 0 ) b) Đối với một số phƣơng trình bậc hai đơn giản ( với hệ số nguyên) trong trƣờng hợp phƣơng trình có nghiệm ( 0) ta có thể dùng định lí viet để tính nhẩm nghiệm của phƣơng trình. ĐỊNH LÍ VIET: Nếu phƣơng trình ax2 + bx + c=0 (với a 0) có nghiệm số x1,x2 ( x1 0) thì b x2 a c x1 x 2 a Trƣờng hợp đặc biệt : * Nếu a + b + c = 0 thì phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm là x1= 1,x2 = * Nếu a - b + c = 0 thì phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm là x1= -1,x2 = c a c a Nhờ định lí viet ta có thể tìm đƣợc nghiệm của một số phƣơng trình có dạng đặc biệt. Ngoài ra chúng ta có thể khảo sát về tính chất các nghiệm của phƣơng trình bậc hai . Phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu khi: b 0 x1 x 2 0 hay 2 4ac 0 c 0 a Phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng dƣơng khi: x1 x 2 x1 2 b 0 0 hay c 4ac 0 0 a x2 0 b 0 a Phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm khi: 0 x1 x 2 x1 2 b 0 hay c 4ac 0 0 a x2 0 b 0 a Phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi: Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 11 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: c 0 hay ac< 0 a Phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm đối nhau khi: x1 x 2 x1 c 0 hay x2 0 a 0 b 0 Phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu , trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi: c x1 x 2 x1 0 hay x2 0 a 0 b 0 a Nhờ định lí Viet, ta có thể tính tổng hoặc hiệu các luỹ thừa cùng bậc n của hai nghiệm phƣơng trình x x (với n Z) Ví dụ: phƣơng trình bậc hai ax2 + bx + c=0 (với a 0) có hai nghiệm x1,x2 thì 2 x1 2 x2 ( x1 x2 ) 2 2 2 1 2 2 x1 x 2 ( b ) 2 2 a a c b 2 2ac a 2 Sau khi dạy định lí viét tôi cho học sinh cách giải phƣơng trình bậc hai theo lƣợc đồ ax2 + bx + c = 0 (a 0) a xác định b c Phƣơng trình có 2 nghiệm =0 Tính a + b + c x1 = 1; x2 = 0 Tính a - b + c 0 phƣơng trình bậc hai vô nghiệm: a Phƣơng trình có 2 nghiệm =0 x1 = -1; x2 = Tính c c a = b2 – 4ac phƣơng trình bậc hai có b nghiệm kép x1 = x2 = 2a phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x1,2 = b 2a Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 12 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: Ví dụ: giải các phƣơng trình bậc hai sau: a) -2x2 +5x + 3 = 0 b) x2 - 3x + 3 = 0 c) 4x2 – 12x + 9 = 0 Giải a) -2x2 +5x + 3 = 0 2x2 - 5x - 3 = 0 Tính = 25 + 24 = 49 => =7 Vậy x1 5 7 2 .2 4 ; x2 5 7 2 .2 1 2 2 b) x - 3x + 3 = 0 Tính = 9 -12 = - 3 < 0 => phƣơng trình vô nghiệm c) 4x2 – 12x + 9 = 0 Tính ’= 36 - 36 = 0 => phƣơng trình có nghiệm kép x1 x2 6 3 4 2 1.4 Kết luận a. Phƣơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (với a 0) có nghiệm khi ngƣợc lại, khi đó công thức nghiệm là: x 0 và b 1,2 2a b. Về số nghiệm của phƣơng trình bậc hai: - Phƣơng trình vô nghiệm ( không có nghiệm thực) khi <0 - Phƣơng trình có nghiệm khi 0 khi đó phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt hoặc có hai nghiệm trùng nhau ( nghiệm kép), tránh nhận thức sai lầm khi = 0 phƣơng trình bậc hai chỉ có một nghiệm. II. PHƢƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI : Ta thƣờng gặp một số dạng phƣơng trình quy về phƣơng trình bậc hai trong trƣờng phổ thông sau đây: 1.Phương trình chứa ẩn số ở mẫu: a. Khái niệm: Phƣơng trình chứa ẩn số ở mẫu là những phƣơng trình có ẩn số nằm ở mẫu thức của phƣơng trình nhờ các phép biến đổi tƣơng đƣơng ta đƣa đƣợc phƣơng trình về dạng trung gian: phƣơng trình bậc hai . b. Cách giải: Thực hiện các bƣớc giải nhƣ trong quy tắc chung giải một phƣơng trình: chú ý biến đổi phƣơng trình là tƣơng đƣơng ta làm nhƣ sau: - Tìm điều kiện xác định của phƣơng trình chính là đặt điều kiện để phƣơng trình có nghĩa ( giá trị của mẫu thức phải khác không) - Khử mẫu ( nhân cả hai vế của phƣơng trình với mẫu thức chung của 2 vế) Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 13 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: - Mở dấu ngoặc ở cả hai vế của phƣơng trình chuyển vế: chuyển những hạng tử chứa ẩn về một vế , những hạng tử không chứa ẩn về vế kia) - Thu gọn phƣơng trình về dạng tổng quát đã học. - Nhận định kết quả và trả lời ( loại bỏ những gía trị của ẩn vừa tìm đƣợc không thuộc vào tập xác định của phƣơng trình) c.Ví dụ: * Ví dụ 1: giải phƣơng trình: 3x 2x 1 2 x x 1 2 x 2 2 (a) 1 Phân tích mẫu thức thành nhân tử: 3x (a) 1 2(x 1) Điều kiện x x 1 x 1 0 x 1 0 (x 2 1) ( x x Mẫu thức chung : Khử mẫu ta có: Mở dấu ngoặc: 2 x 2 1) 3x Chuyển vế đổi dấu : Thu gọn: x 1) ( x 3x(x 2 1) 1 2(x 3x 2 2(x 2x 3x 1) 2 1) 2 3x 2(x 2x 2x 2 2 2 2) 4 2x 2 4 0 (b) 0 Giải phƣơng trình (b) ta đƣợc hai nghiệm: x1 1; x 2 Nhận định kết quả: đối chiếu với điều kiện ban đầu 2 x 1 Vậy phƣơng trình (a) có nghiệm là: x = -2 Ví dụ 2: giải phƣơng trình: 4 2x Vì 3 3x 2x 3 2 1 8x 3x 2 12 8x x 12 2 4 4 (2 x 2x 3 2 x(x (2 x 2 2 1 7x 8 x) (3 x 4) (3 x 3)( x 6 2 2 2 )( x 2x 0 (a) 3 12) 4) 2) Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 14 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: 2x 2 7x 6 (2 x 2 x(2 x (x 3x) (4 x 6) 3) 2(2 x 3) 2 )( 2 x 3) 4 (a) (2 x 1 3)( x Điều kiện: 2 )( x x 2 0 x 2 0 2) (x 2 )( x x 2 3 0 Mẫu thức chung: 4 (a) 4 (2 x 2x Thu gọn: x 3) 3 2 6x (x 2 )( x 2) 8 5 (x 2 )( 2 x 3) 2x 3 2 4(x 4x 2) 1 3 x 2x 4 x 0 (x 2 2 )( 2 x 3) 2 )( x 2) 4 (b) Phƣơng trình (b) có hai nghiệm: x1 1; x 2 5 Nhận định kết quả x =1 và x =5 đều thuộc miền xác định của phƣơng trình (a) nên nó là nghiệm của phƣơng trình (a) 1 2 Ví dụ 3. Giải phƣơng trình (4) Giải. Điều kiện của phƣơng trình (4) là và Nhân hai vế của phƣơng trình (4) với ta đƣợc phƣơng trình hệ quả (4) . . . . Phƣơng trình cuối có hai nghiệm là và .Ta thấy không thỏa mãn điều kiện của phƣơng trình (4), đó là nghiệm ngoại lai nên bị loại, còn thỏa mãn điều kiện và là một nghiệm của phƣơng trình (4). Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 15 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: Vậy phƣơng trình (4) có nghiệm duy nhất là . d. Nhận xét: - Loại phƣơng trình ở 2 ví dụ trên là dạng có nhiều ở trƣờng trung học cơ sở. - Khi giải cần lƣu ý: Tìm miền xác định của phƣơng trình, cuối cùng phải nhận định kết quả và trả lời. 2. Phương trình đưa về dạng tích: a. Dạng tổng quát: A.B = 0 A 0 B 0 b. Cách giải: Để giải một phƣơng trình bậc lớn hơn 2 ( đối với học sinh cấp 2) thƣờng dùng phƣơng pháp biến đổi về phƣơng trình tích ở đó vế trái là tích của nhân tử còn về phải bằng 0.Muốn vậy học sinh phải có kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử. c. Ví dụ: *Ví dụ 1( Bài 36, trang 56 SGK Toán 9):Giải các phƣơng trình a) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0 b) (2x2 + x - 4)2 -(2x-1)2 = 0 Giải 2 2 a) (3x - 5x + 1)(x - 4) = 0 x x 2 3x 2 - 4 = 0 2 - 5x + 1 0 x 5 13 6 Vậy S = 2; 2; 5 13 6 ; 5 13 6 b) (2x2 + x - 4)2 -(2x-1)2 = 0 (2x2 + x – 4 + 2x - 1)(2x2 + x – 4 - 2x + 1) = 0 (2x2 +3x -5)(2x2 - x -3)= 0 Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 16 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: 2x 2x 2 + 3 x - 5 = 0 (1 ) 2 - x - 3 = 0 (2 ) giải (1)và (2) ta đƣợc x1 = 1; x2 = -2.5; x3 = -1; x4 = 1.5 Vậy S = x 1 = 1 ; x 2 = -2 .5 ; x 3 = -1 ; x 4 = 1 .5 *Ví dụ 2: Giải phƣơng trình: 2x 3 7x 2 7x 2 (a) 0 Chú ý hệ số ở vế trái, phân tích thành nhân tử: 2x 3 7x 2x 2(x 2(x x (a) 3 3 7x 2 1) 1) ( x 1 2x (x 2x 7x 2 2 7 x(x 2 x 2 1 2 (* ) 7x 1) 1) 5x 1) ( 2 x x (b) 2 7 x(x 1) 2 2 5x 2) 0 0 (* ) 5x x (* * ) 2 0 (* * ) 1 x 2; x 1 2 Vậy phƣơng trình (a) có 3 nghiệm: x1= -1; x2= -2; x3= 1 2 d. Nhận xét: -Giải phƣơng trình đƣa về dạng tích chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đƣa phƣơng trình về dạng phƣơng trình tích ta sẽ đƣợc một phƣơng trình mà vế trái gồm các phƣơng trình bậc nhất, phƣơng trình bậc hai đã biết cách giải. - Chú ý tới hai tính chất của phƣơng trình bậc 3: ax + bx + cx+ d= 0 3 2 Nếu a+ b+ c + d = 0 thì phƣơng trình có một nghiệm x =1 1 Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 17 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: Nếu a – b + c – d = 0 thì phƣơng trình có một nghiệm x = -1. 1 Khi đã nhận biết đƣợc nghiệm, ta phân tích đƣợc vế trái của phƣơng trình thành nhân tử. - Phƣơng trình bậc 3 có các hệ số nguyên. Nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là bội số của hạng tử tự do ( Định lí về sự tồn tại của nghiệm nguyên của phƣơng trình với hệ số nguyên) 3. Phương trình bậc bốn: Phƣơng trình bậc bốn là phƣơng trình có dạng ax4 + bx3 +cx2 +dx +e = 0 trong đó a, b, c, d ,e là các hằng số cho trƣớc, a 0 Một số dạng bậc bốn mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về dạng phƣơng trình bậc hai 3.1. Phƣơng trình trùng phƣơng: a) Dạng tổng quát: Phƣơng trình có dạng: ax4+bx2+ c = 0 trong đó x là ẩn số; a,b,c là các hệ số, a 0 b) Cách giải: Loại phƣơng trình này khi giải ta thƣờng dùng phép đổi biến x2 = t từ đó ta đƣa đến một phƣơng trình bậc hai trung gian : at2+ bt + c =0 Giải phƣơng trình bậc hai trung gian này, rồi sau đó trả biến: x2 = t ( Nếu những giá trị tìm đƣợc của t thoả mãn t ta sẽ tìm đƣợc nghiệm số của phƣơng trình ban đầu). *Ví dụ 1: Giải phƣơng trình: đặt x2 = t 0 3x 4 2x 2 1 0 (a ) (a) <=> 3t2-2t -1 = 0 Nghiệm của phƣơng trình (b) : t1= 1; t2 = 1 thoả mãn t 0 3 Với t1= 1 =>x2 = 1=> x = 1 Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 18 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: Với t2 = => x2 = => x= 1 1 1 3 3 3 Vậy phƣơng trình có 4 nghiệm x1 1; x 2 *Ví dụ 2: Giải phƣơng trình: 2 x đặt 2t x 2 2 3t t1 t (t 2 0 0) 4 3x 1 1; x 3 2 2 3 1 ; x4 3 0 ta có phƣơng trình 2 1 t2 2 1 t2 (lo¹i) 2 x2 = 2 Với t1 = 2 Vậy S = 2; x= 2 2 *Ví dụ 3: Giải phƣơng trình: đặt x 2 t (t 0) 3x 4 ta có phƣơng trình 3 t 10 x 2 2 10t 3 0 3 0 1 t ( loại) 3 Vậy phƣơng trình vô nghiệm t 3 ( loại) * VÝ dô 4 : Gi¶i ph-¬ng tr×nh 2x 2 7 1 x 2x 4 x 2 7 4 2 4x 2 2x4 + 5x2 -7=0 ®Æt x2=t víi t > 0 ta ®-îc 2t2 +5t -7 =0 Cã :2+5-7=0 nªn t1=1(tho¶ m·n) ; t2= 7 (lo¹i) 2 víi t1=1 suy ra x2=1 suy ra x1=1 ; x2=-1. VËy ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1=1 ; x2=- 1 d) Nhận xét : Khi nghiên cứu số nghiệm của phƣơng trình trùng phƣơng ta thấy Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 19 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: + Phƣơng trình vô nghiệm khi: - Hoặc phƣơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm. - Hoặc phƣơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm cùng âm. + Phƣơng trình có nghiệm khi: - Hoặc phƣơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm, nghiệm kép dƣơng - Hoặc phƣơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm trong đó có một nghiệm dƣơng và một nghiệm âm. 3.2 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ: a.Cách giải: * Đặt điều kiện để phƣơng trình xác định nếu có * Đặt ẩn phụ và giải phƣơng trình theo ẩn mới * Trở về ẩn ban đầu và xác định tập nghiệm b. Bài tập: Bài 40, tr57 SGK T9 Giải phƣơng trình bằng cách đặt ẩn phụ a. 2 2 2 3( x + x ) - 2 ( x + x ) - 1 = 0 b. ( x 2 2 2 - 4 x + 2) + x - 4 x - 4 = 0 Giải a. 2 2 2 3( x + x ) - 2 ( x + x ) - 1 = 0 Đặt t1 2 (x + x) = t ta có 1 2 3t - 2 t - 1 = 0 1 t2 (x Với t1=1, ta có 2 + x) = 1 hay x1 = 1 Với t2= ta có 3 x 2 + x = - 1 3 hay x 2 3 x 2 + x- 1= 0 - 1+ + x + 5 2 1 ; x2 = = 0 - 1- 5 2 . Phƣơng trình này vô nghiệm. 3 Ng-êi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn 20
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan