Tài liệu Phương trình parabolic ngược thời gian

1 LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Đinh Nho Hào và PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Tôi xin cam đoan rằng các kết quả được trình bày trong luận án là mới và chưa từng được ai công bố trước đó. Tác giả Nguyễn Văn Đức 2 MỤC LỤC Trang Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Một số ký hiệu dùng trong luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1: Phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.1 Một số khái niệm và bổ đề cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng bài toán giá trị biên không địa phương trong trường hợp a=1 . . 31 1.3 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng bài toán giá trị biên không địa phương trong trường hợp a>1 . . 41 1.4 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.5 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Chương 2 Phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.1 Các kết quả ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2 Hiệu chỉnh bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.4 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Chương 3 Các kết quả ổn định cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1 Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.2 Phương pháp nhuyễn và kết quả ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.3 Sơ đồ sai phân tiến ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.4 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.5 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Kết luận chung và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Danh mục công trình của NCS có liên quan đến luận án 121 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3 MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN R: đường thẳng thực Rn : không gian Euclid n-chiều C: mặt phẳng phức <: phần thực của một số phức Ω: miền của không gian Rn ∂Ω: biên của Ω h·, ·i: tích vô hướng trong không gian Hilbert H k · k: chuẩn trong không gian Hilbert H C([a, b]; H): tập tất cả các hàm liên tục trên [a, b] và nhận giá trị trên không gian Hilbert H C 1 ((a, b); H): tập tất cả các hàm khả vi liên tục trên (a, b) và nhận giá trị trên không gian Hilbert H ut : đạo hàm của hàm u ∈ C 1 ((a, b); H) Lp (Ω) = {u : Ω → R| u đo được Lebesgue, kukLp (Ω) < +∞} k · kp : chuẩn Lp (R) F [f ](ξ): biến đổi Fourier của hàm f được định nghĩa bởi 1 F [f ](ξ) = fb(ξ) = √ 2π Mν,p (R) (1 6 p 6 ∞) +∞ Z f (x)e−ixξ dx −∞ là tập hợp các hàm nguyên dạng mũ ν khi giới hạn trên trục thực thuộc Lp (R) Eν,p (f ): xấp xỉ tốt nhất của f bởi các phần tử của Mν,p , tức là Eν,p (f ) = inf kf − gkLp (R) g∈Mν,p MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý ảnh,... Đó là những bài toán khi các dữ kiện của quá trình vật lý không đo đạc được trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp. Trong luận án này, chúng tôi đề cập tới phương trình parabolic ngược thời gian. Đó là bài toán cho phương trình parabolic khi điều kiện ban đầu không được biết mà ta phải xác định nó khi biết điều kiện cuối cùng (đó là lý do tại sao bài toán này được gọi là ngược thời gian). 1.2. Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất hiện trong lý thuyết truyền nhiệt, khi ta cần xác định nhiệt độ tại một thời điểm nào đó trong quá khứ qua nhiệt độ đo đạc được tại thời điểm hiện tại ([31], [55], [65]), bài toán này cũng thường xuyên xuất hiện trong Địa vật lý ([65]). Trong bài toán về nước ngầm, để xác định việc truyền tải của chất gây ô nhiễm tại một vùng nước ngầm người ta dùng phương trình khuếch tán - đối lưu (phương trình parabolic) ngược thời gian với đo đạc ở thời điểm hiện tại ([15]). Phương trình parabolic ngược thời gian cũng thường xuyên xuất hiện trong khoa học vật liệu ([88]), thủy động học ([15]), xử lý ảnh ([21], [59], [85]). Các bài toán này đã được nghiên cứu khá nhiều, tuy nhiên cũng chỉ cho một lớp phương trình đặc biệt; hơn thế nữa việc đề xuất các phương pháp số hữu hiệu để giải gần đúng các bài toán này luôn là những vấn đề thời sự. 1.3. Một cách hình thức các bài toán trên có thể mô tả như sau: giả sử Lu(x, t) là một toán tử (có thể phi tuyến) elliptic đều. Ở đây, x là biến 5 không gian, còn t là biến thời gian. Giả sử Qt = ∪s∈[0,t] Ω(s), Ω(s) là các miền giới nội trong Rn , t ∈ [0, T ]. Ta xét bài toán biên sau đây: ut = Lu(x, t) + F (x, t, u), (x, t) ∈ QT , ¯ u¯t=0 = u0 (x), x ∈ Ω0 , Bu = g(ξ, t), (ξ, t) ∈ ∪s∈[0,T ] ∂Ω(s) với B là toán tử điều kiện biên nào đó. Đây là Bài toán thuận thời gian. Trong thực tế, nhiều khi giá trị của u(x, t) tại thời điểm t = 0 không được biết, mà ta lại biết giá trị của nó tại t = T và ta phải xác định lời giải của bài toán khi t ∈ [0, T ), đặc biệt là giá trị của u(x, t) tại t = 0, tức giá trị ban đầu. Đây là Bài toán ngược thời gian và là chủ đề nghiên cứu của luận án này. 1.4. Các bài toán ngược kể trên thường đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard ([65], [97]). Một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu nó thỏa mãn ba điều kiện a) nó có nghiệm, b) nghiệm duy nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo một tôpô nào đó) theo dữ kiện của bài toán. Nếu như ít nhất một trong ba điều kiện này không thỏa mãn, thì ta nói rằng Bài toán đặt không chỉnh. Hadamard cho rằng các bài toán đặt không chỉnh không có ý nghĩa vật lý. Tuy nhiên, như đã nói ở trên, nhiều bài toán thực tiễn của khoa học và công nghệ đã dẫn đến các bài toán đặt không chỉnh. Chính vì những lý do này mà từ đầu thập niên 50 của thế kỷ trước, nhiều công trình nghiên cứu đã đề cập tới bài toán đặt không chỉnh. Các nhà toán học A. N. Tikhonov, M. M. Lavrent’ev, F. John, C. Pucci, V. K. Ivanov là những người đi tiên phong trong lĩnh vực này. Kể từ năm 1963, sau khi Tikhonov ([97]) đưa ra phương pháp chỉnh hóa các bài toán đặt không chỉnh nổi tiếng của ông, bài toán đặt không chỉnh và bài toán ngược đã trở thành một ngành riêng của vật lý toán và khoa học tính toán. Phương trình parabolic ngược thời gian vừa được kể trên không nằm ngoài trào lưu này. Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là:"Phương trình parabolic ngược thời gian". 6 2. Mục đích nghiên cứu 2.1. Một trong những vấn đề cơ bản khi nghiên cứu các bài toán đặt không chỉnh là việc tìm các đánh giá ổn định. Các đánh giá này cho ta biết bài toán "xấu" đến mức nào, để từ đó có thể đưa ra các phương pháp số hữu hiệu. Ngoài ra, các đánh giá ổn định cũng rất quan trọng trong việc chứng minh sự hội tụ và các đánh giá sai số của các phương pháp chỉnh khi giải bài toán đặt không chỉnh. Cho đến nay, các đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian nhận được chủ yếu cho phương trình tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian và điều kiện biên thuần nhất ([8]). Các đánh giá thường chỉ nhận được cho chuẩn L2 , rất ít kết quả nhận được cho các chuẩn khác. Một trong những mục đích của luận án là tìm các đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian trong chuẩn Lp (p > 1) và cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số biến thiên theo thời gian trong chuẩn L2 . 2.2. Mục đích thứ hai của luận án là chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng bài toán giá trị biên không địa phương. Để xấp xỉ một cách ổn định nghiệm của bài toán đặt không chỉnh, ta phải dùng các phương pháp chỉnh hóa. Các thuật toán chỉnh Tikhonov, lặp, hoặc phương pháp bài toán liên hợp ([18], [31], [41], [55], [72], [73]),... đã tỏ ra khá hữu hiệu cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian. Tuy nhiên, các phương pháp này còn ít được áp dụng cho phương trình parabolic ngược thời gian tổng quát. Trong luận án này chúng tôi phát triển luận văn cao học của mình ([1], [2]) về việc sử dụng phương pháp chỉnh hóa bằng bài toán biên không địa phương cho phương trình parabolic. Ý tưởng chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng bài toán biên không địa phương cho phương trình parabolic được Vabishchevich ([101]) đề xuất vào năm 1981, sau đó vào năm 1985 Showalter ([91]) cũng đưa ra phương pháp tương tự; Clark và Oppenheimer ([23]) đã có một số cải tiến cho phương pháp này vào năm 1994. Trong luận văn cao học của mình, tác giả đã đưa ra một 7 số đánh giá tốt hơn cho phương pháp của các tác giả kể trên ([10], [23]) và chứng minh rằng phương pháp trên thực sự là một phương pháp hiệu chỉnh. Mục đích tiếp theo là mở rộng phương pháp cho các phương trình phức tạp hơn, đặc biệt là phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian. 2.3. Mục đích thứ ba của luận án là nghiên cứu về sơ đồ sai phân tiến ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian. Trong các bài báo ([29], [30], [37]), dựa trên phương pháp làm trơn của mình, Đinh Nho Hào đã đề xuất ra các sơ đồ sai phân tiến ổn định (trong chuẩn Lp ) cho một số bài toán đặt không chỉnh. Áp dụng phương pháp này cho phương trình parabolic ngược thời gian là một điều khả thi và thú vị. Tính toán trên máy tính dựa theo sơ đồ sai phân tiến rất có hiệu quả, nên việc nghiên cứu chúng cho các bài toán đặt không chỉnh là cần thiết. 3. Đối tượng nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu về các đánh giá ổn định và chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian. 4. Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian và cả hệ số phụ thuộc thời gian. Luận án nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian trong không gian Hilbert (L2 ) và trong không gian Banach (Lp , p > 1). 5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp lồi logarithm, phương pháp bài toán giá trị biên không địa phương và phương pháp làm nhuyễn do Đinh Nho Hào đề xướng. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu về phương trình parabolic ngược thời gian. Ý nghĩa thực tiễn: Ứng dụng vào các bài toán truyền nhiệt, đồng hóa số liệu, xử lý ảnh, ... 8 7. Tổng quan và cấu trúc của luận án 7.1. Bài toán đặt không chỉnh. Để tiện lợi cho các thảo luận về sau, trong mục này chúng tôi trình bày các khái niệm về đánh giá ổn định và chỉnh hóa bài toán đặt không chỉnh (xem [3]). Giả sử ta cần giải phương trình Au = f với A là toán tử (tuyến tính hoặc phi tuyến) từ không gian hàm X vào không gian hàm Y nào đó, còn f là dữ kiện đã cho thuộc không gian Y . Khi bài toán đặt không chỉnh, thì không phải với dữ kiện f nào bài toán cũng có nghiệm và thường là khi nghiệm của bài toán tồn tại (theo một nghĩa nào đó), thì lời giải này không phụ thuộc liên tục (theo một metric nào đó) vào dữ kiện f . Do tính không ổn định này của bài toán nên việc giải số nó gặp khó khăn. Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến một sai số lớn bất kỳ trong lời giải. Mục đích của lý thuyết bài toán đặt không chỉnh là đưa ra các phương pháp số hữu hiệu để giải các bài toán này một cách ổn định. Để đạt được mục đích đó trước hết phải nghiên cứu về tính ổn định có điều kiện của bài toán, nghĩa là chỉ ra một lớp M nào đó của không gian X để lời giải của bài toán thuộc lớp này phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán. Các đánh giá này không chỉ nói lên tính chất định tính của bài toán mà còn giúp ta trong việc phát triển các phương pháp số để giải bài toán và đánh giá sai số của phương pháp. Để đơn giản, ta giả thiết rằng X và Y là các không gian định chuẩn với chuẩn tương ứng là k · kX và k · kY . Giả sử rằng, nếu ta chọn được một tập hợp M và biết được nếu u ∈ M thì nó sẽ phụ thuộc liên tục vào f , nghĩa là, tồn tại một hàm ω một biến thực, liên tục, với ω(0) = 0, sao cho kukX 6 ω(kf kY ). Đánh giá này được gọi là đánh giá ổn định ([14]) và trong trường hợp này, bài toán được gọi là ổn định có điều kiện hay ổn định theo nghĩa 9 Tikhonov ([55]) (Tikhonov là người đầu tiên đưa ra nhận xét này vào năm 1943 ([96])). Tập M thường là những tập mà ở đó lời giải của bài toán có ý nghĩa vật lý, chẳng hạn như đó là tập mà ở đó lời giải bị chặn (nhiệt độ hoặc vận tốc của một quá trình vật lý thì giới nội,...), hoặc đó là một tập lồi, tập các hàm không âm, tập các hàm đơn điệu,... Nếu ω(t) = ctα với α > 0 nào đó, thì ta có đánh giá ổn định kiểu Hölder và ta có một "bài toán tốt". Nếu ω là một hàm dạng logarithm thì ta có đánh giá ổn định kiểu logarithm - đây là "bài toán xấu". Còn nếu ta không có một đánh giá nào về tốc độ tiến tới 0 của ω(t) khi t → 0 thì ta có một "bài toán rất xấu". Giả sử với toán tử A và các không gian định chuẩn (X, k · kX ) và (Y, k · kY ) vừa đề cập ở trên, bài toán giải phương trình Au = f là một bài toán đặt không chỉnh. Ngoài ra, giả sử rằng, với vế phải chính xác f¯, tồn tại một nghiệm duy nhất; nghĩa là tồn tại duy nhất ū sao cho Aū = f¯. Trên thực tế f¯ không được biết, mà ta chỉ biết phần tử fδ và số dương δ sao cho kfδ − f¯kY 6 δ . Yêu cầu đặt ra là xây dựng nghiệm xấp xỉ của phương trình – phần tử uδ sao cho uδ → ū khi δ → 0. Vì bài toán đặt không chỉnh, chúng ta không thể sử dụng toán tử ngược A−1 , nghĩa là, không thể chọn uδ = A−1 fδ . Bởi vì toán tử ngược này có thể không xác định tại fδ và cũng có thể không liên tục trên Y . Do đó muốn xây dựng nghiệm xấp xỉ uδ , ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hóa. Sau đây, chúng tôi nhắc lại khái niệm chỉnh hóa bài toán đặt không chỉnh (xem [27], [41], [65]). Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, bị chặn với mỗi α > 0, tác động từ Y vào X được gọi là chỉnh hóa cho phương trình Au = f (đối với phần tử f¯), nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn 1) Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với mọi α ∈ (0, α1 ) và với mọi f ∈ Y : kf − f¯kY 6 δ, δ ∈ (0, δ1 ); 2) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) 6 δ1 thỏa mãn: với mọi f ∈ Y , kf − f¯kY 6 δ kéo theo bất đẳng 10 thức kR(f, α) − ūkX 6 ε. Trong định nghĩa trên, nếu α được chọn không phụ thuộc f thì ta gọi là cách chọn tiên nghiệm. Nếu α được chọn phụ thuộc cả f và δ thì ta gọi là cách chọn hậu nghiệm. 7.2. Tổng quan về phương trình parabolic ngược thời gian Một trong những công trình đầu tiên nghiên cứu về phương trình parabolic ngược thời gian là công trình của John ([57]) công bố năm 1955. Trong [57], John đã đề xuất một phương pháp số để giải bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian, chứng minh phương pháp đó ổn định trên tập các hàm số dương bị chặn. Krein là người đầu tiên sử dụng phương pháp lồi logarithm để thu được các đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số hằng số và hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert trong công trình [62] xuất bản năm 1957. Tiếp theo đó các kết quả về tính duy nhất ngược cũng xuất hiện ([63], [66]). Ngoài ra, trong công trình [63], Krein đã đưa ra đánh giá cận dưới của nghiệm. Kết quả này kéo theo tính duy nhất ngược của nghiệm phương trình parabolic trong không gian Banach Lp (p > 1). Từ những công trình đầu tiên vừa đề cập ở trên, cho đến nay, hàng loạt công trình có giá trị nghiên cứu về phương trình parabolic ngược thời gian đã được công bố. Các công trình này bao gồm: 1) Tính duy nhất ngược (backward uniqueness): [5], [7], [60], [61], [63], [66], [81], [89]. 2) Đánh giá ổn định: [5], [6], [19], [22], [31], [33], [36], [29], [55], [62], [65], [87]. 3) Phương pháp chỉnh hóa, phương pháp số ổn định và hữu hiệu:[4], [10], [12], [16], [17], [23], [29], [32], [33], [35], [36], [42], [44], [45], [46], [50], [52], [57], [64], [65], [68], [74], [76], [77], [78], [90], [93]. Nghiên cứu về tính duy nhất ngược nhằm trả lời cho câu hỏi: "Khi nào nghiệm của phương trình parabolic với thời điểm cuối đã biết được xác định duy nhất?" Chẳng hạn, tính duy nhất ngược cho nghiệm của phương 11 trình parabolic tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian có thể mô tả như sau: Cho H là một không gian Hilbert với tích vô hướng h·, ·i và chuẩn k·k, A : D(A) ⊂ H → H là một toán tử không phụ thuộc thời gian, tự liên hợp, xác định dương sao cho −A sinh ra một nửa nhóm co compact {S(t)}t>0 trên H . Khi đó, nếu u(t), 0 6 t 6 T là nghiệm của phương trình ut + Au = 0, 0 < t < T thỏa mãn u(T ) = 0 thì u(t) = 0, ∀t ∈ [0, T ). Kết quả trên được phát triển theo hai hướng sau đây: - Hướng thứ nhất nghiên cứu về tính duy nhất ngược và các đánh giá cận dưới cho các nghiệm của bất phương trình vi phân chứa phương trình parabolic. Theo hướng này, vào năm 1961, Cohen và Lees ([24]) đã thu được đánh giá cận dưới cho các nghiệm của bất phương trình vi phân có dạng kut − Auk 6 φ(t)ku(t)k (0.1) chỉ với giả thiết A là toán tử đối xứng trong không gian Hilbert H . Kết quả này kéo theo tính duy nhất ngược mà chúng tôi vừa đề cập ở trên. Trong trường hợp toán tử A tự liên hợp, năm 1963, Agmon và Nirenberg ([5]) đã tìm thấy một cách chứng minh đơn giản hơn kết quả của Cohen và Lees, cũng như một vài mở rộng của kết quả đó. Đến năm 1965, Ogawa ([81]) đã đơn giản hóa chứng minh của Agmon và Nirenberg với giả thiết nhẹ hơn A là toán tử đối xứng. Năm 1967, Agmon và Nirenberg ([7]) đã công bố kết quả về tính duy nhất ngược cho nghiệm của bất phương trình vi phân có dạng tổng quát hơn ( )1 ° ° Z T ° du ° 2 2 ° − B(t)u(t)° 6 Φ(t) ku(t)k2 + . ω(τ )ku(τ )k dτ ° dt ° t Ở đây B(t) (với mỗi t) là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert H với miền xác định DB(t) , u(t) ∈ DB(t) , u ∈ C 1 ([0, T ); H), B(t)u(t) ∈ C([0, T ); H), Φ(t) là hàm đo được không âm bị chặn trên mỗi đoạn hữu hạn [0, T 0 ] với T 0 < T , ω(t) là hàm liên tục không âm trên [0, T ) và thỏa R mãn 0T ω(τ )ku(τ )k2 dτ < +∞. 12 -Hướng thứ hai nghiên cứu tính duy nhất ngược cho phương trình parabolic có cấu trúc phức tạp hơn hoặc điều kiện áp đặt lên các hệ số của phương trình yếu hơn. Theo hướng này, năm 2003, Kukavica ([60]) đã công bố kết quả về tính duy nhất ngược cho phương trình ut −4u = wj ∂j u+vu với (x, t) ∈ Rn × (T0 , 0]. Năm 2005, Santo và Prizzi ([89]) đã đưa ra kết quả về tính duy nhất ngược cho phương trình với toán tử parabolic ngược có dạng L = ∂t + n X ∂xj (ajk (t, x)∂xk ) + n X bj (t, x)∂xj + c(t, x), j=1 j,k=1 trong đó các hệ số của toán tử L không liên tục Lipschitz theo biến thời gian. Năm 2007, Kukavica ([61]) đã công bố kết quả về tính duy nhất ngược cho phương trình phi tuyến có dạng ut + Au = f (u). Một vấn đề khác được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu là tìm các kết quả đánh giá ổn định. Trong trường hợp phương trình tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian ta có kết quả "Cho T, E, ε là các số thực dương và A là toán tử tuyến tính không bị chặn tự liên hợp xác định dương trên không gian Hilbert H , nếu u(t) là nghiệm của phương trình ut + Au = 0, 0 < t < T với ku(T )k 6 ε và ku(0)k 6 E , thì ta có t t t t đánh giá ku(t)k 6 ku(T )k T ku(0)k1− T 6 ε T E 1− T , ∀t ∈ [0, T ]". Đây là kết quả tối ưu (xem [94]) và có thể đạt được bằng phương pháp lồi logarithm ([6], [9], [14], [27], [55], [62], [65], [77]). Kết quả trên được phát triển theo ba hướng sau: Thứ nhất là tìm các đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình với hệ số phụ thuộc thời gian, tức là trường hợp A = A(t). Như đã trình bày ở trên, kết quả đầu tiên được Krein ([62]) công bố năm 1957. Kết quả này được Agmon và Nirenberg ([5]) phát triển vào năm 1963. Từ đó tới nay, có rất nhiều công trình đã trích dẫn kết quả đánh giá ổn định của Agmon và Nirenberg nhưng chưa có một công trình nào cải tiến kết quả này. Trong luận án, chúng tôi chứng minh được các kết quả đánh giá ổn định nghiệm đã nêu trong [5] không tốt hơn kết quả đánh giá ổn định nghiệm trong 13 trường hợp toán tử A không phụ thuộc thời gian. Thứ hai là tìm các đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình phi tuyến. Hướng nghiên cứu này đến nay vẫn còn ít kết quả mặc dù nhiều bài toán thực tế dẫn ta đến phương trình phi tuyến. Một vài kết quả đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình Bürgers ngược thời gian - một trong những phương trình phi tuyến có nhiều ứng dụng nhất có thể tìm thấy trong các công trình của Carasso ([20]), Ponomarev ([87]) cũng như trong một số công trình của Payne và cộng sự. Thứ ba là tìm các đánh giá ổn định trong trường hợp nghiệm của bài toán được xét trong không gian Banach. Hai phương pháp đã được sử dụng để thu được các kết quả trong trường hợp này là phương pháp làm nhuyễn do Đinh Nho Hào đề xuất ([29], [30], [33], [99]) và phương pháp nửa nhóm ([11]). Một điểm đáng chú ý là trong rất ít công trình đánh giá ổn định cho các đạo hàm của nghiệm được thiết lập (xem [19], [33]). Ngoài phương pháp lồi logarithm, phương pháp làm nhuyễn và phương pháp nửa nhóm, một phương pháp khác được sử dụng để đánh giá ổn định nghiệm cho các bài toán đặt không chỉnh là phương pháp đánh giá Carleman. Hiện tại phương pháp này được xem là công cụ mạnh để chứng minh các đánh giá ổn định và tính duy nhất của bài toán ngược ([55], [65]). Nghiên cứu sự phụ thuộc của lời giải vào miền mà trên đó ta xét phương trình cũng rất có ý nghĩa vì trên thực tế, miền hình học mà trên đó ta nghiên cứu phương trình thường chỉ là "gần đúng" (xem [9]). Payne ([82]) là người đầu tiên khởi xướng các nghiên cứu về sự phụ thuộc vào hình học của lời giải các bài toán ngược. Song đây là bài toán khó. Trong phương trình parabolic ngược thời gian, cho đến nay chúng tôi chỉ thấy kết quả của Crooke và Payne cho phương trình truyền nhiệt ([25]). Bây giờ chúng ta đề cập đến vấn đề chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian. Ta có thể chia thành ba trường hợp như sau 14 A) Chỉnh hóa cho phương trình tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert. Xét bài toán tìm một hàm u : [0, T ] → H sao cho ½ ut + Au = 0, 0 < t < T, ku(T ) − f k 6 ε (0.2) với A là toán tử tuyến tính không bị chặn tự liên hợp xác định dương trên không gian Hilbert H và f thuộc H . Năm 1967, Lattes và Lions ([64]) đã đưa ra phương pháp tựa đảo (quasi-reversibility) hay phương pháp QR. Ý tưởng của phương pháp này là thay thế toán tử A bởi toán tử gα (A), α > 0. Cụ thể, trong [64] Lattes và Lions đã chọn gα (A) = A − αA2 , dẫn đến bài toán đặt chỉnh ½ vαt + Avα − αA2 vα = 0, 0 < t < T, vα (T ) = f, α > 0. và sử dụng vα (0) làm giá trị ban đầu cho bài toán đặt chỉnh ½ uαt + Auα = 0, 0 < t < T, uα (0) = vα (0), α > 0. Cuối cùng, họ chứng tỏ rằng uα (T ) → f khi α → 0. Họ đã không xem xét u(t) với t ∈ [0, T ) và toán tử chuyển f thành vα (0) có chuẩn lớn khi c α nhỏ (có bậc e α ). Hơn nữa, việc thay thế toán tử A bởi toán tử có bậc hai như trên sẽ gây ra nhiều khó khăn trong việc giải số ([16]). Năm 1972, Gajewski và Zacharias ([44]) đã sử dụng phương pháp QR với gα (A) = A(I + αA)−1 , α > 0. Phương pháp này còn được gọi là phương pháp phương trình Sobolev. Ưu điểm của phương pháp này ở chỗ A(I + αA)−1 là toán tử tuyến tính bị chặn. Điều này dẫn đến tính đặt chỉnh của bài toán nhiễu theo cả hai hướng thuận và ngược thời gian. Hơn nữa, phương pháp này cho nghiệm xấp xỉ tốt hơn phương pháp của Lattes và Lions. Tuy nhiên, toán tử chuyển f thành vα (0) vẫn có chuẩn lớn khi c α nhỏ (có bậc e α ). Cũng với phương pháp tương tự như của Gajewski và Zacharias nhưng Ewing ([42]) sử dụng trực tiếp nghiệm của phương trình 15 Sobolev ½ vαt + αAvαt + αAvα = 0, vα (T ) = f, α > 0 0 < t < T, để làm nghiệm xấp xỉ cho bài toán (0.2). Với giả thiết ku(0)k 6 E , bằng cách chọn α = 1/ ln(E/ε), Ewing đưa ra đánh giá sai số kiểu logarithm với mọi t ∈ (0; T ] kvα (t) − u(t)k 6 t 4T (T − t)E 1− Tt TE + ε = O([− ln(ε/E)]−1 ). 2 t ln(E/ε) Phương pháp phương trình Sobolev xuất hiện trong các bài báo [13], [42], [44], [52], [90]. Phát triển ý tưởng của Lattes và Lions, năm 1973, Miller ([77]) đưa ra phương pháp ổn định tựa đảo (stabilized quasi-reversibility) hay phương pháp SQR. Đầu tiên giải bài toán đặt chỉnh ½ vt + g(A)v = 0, 0 < t < T, v(T ) = f, ở đây g(λ) xấp xỉ λ nếu λ là số dương bé nhưng g(λ) bị chặn trên khi λ là số dương lớn. Tiếp theo, K. Miller sử dụng v(0) làm giá trị ban đầu cho bài toán đặt chỉnh ½ ũ + Aũ = 0, ũ(0) = v(0). 0 < t < T, Miller cũng đưa ra điều kiện cần và đủ đối với hàm g để có đánh giá sai số kiểu Hölder t t kũ(t) − u(t)k 6 2ε T E 1− T , ∀t ∈ [0, T ] nếu u(t) là nghiệm của (0.2) thỏa mãn điều kiện ku(0)k 6 E . Năm 1973, Buzbee và Carasso ([17]) đề xuất phương pháp phương trình dầm ngược (the backward beam equation approach) để giải phương trình parabolic tuyến tính tự liên hợp ngược thời gian. Có thể mô tả phương pháp này như sau: Giả sử u(t), 0 6 t 6 T là nghiệm của bài toán (0.2) với ràng buộc ku(0)k 6 E . Đặt k= 1 E ln T ε 16 Kí hiệu w(t), 0 6 t 6 T là nghiệm duy nhất của bài toán đặt chỉnh wtt = Bw, 0 < t < T, w(0) = 0, w(T ) = ekT f, trong đó B = (A − kI)2 là toán tử không âm tự liên hợp không bị chặn trên không gian Hilbert H . Buzbee và Carasso sử dụng e−kt w(t) để xấp xỉ u(t). Bằng phương pháp hàm lồi, họ chứng minh được đánh giá sai số t t ke−kt w(t) − u(t)k 6 ε T E 1− T , ∀t ∈ [0, T ]. Việc chứng minh đánh giá sai số này khá đơn giản và đánh giá sai số đó là tối ưu (xem [94]). Trong công trình [70], Manselli và Miller đã có nhận xét rằng việc giải số phương pháp của Buzbee và Carasso gặp nhiều khó khăn và đã đưa ra phương pháp giảm số chiều cho tính toán nghiệm số hữu hiệu cho trường hợp hệ số biến thiên. Các phương pháp số khác như phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử biên và phương pháp rời rạc hóa thời gian cũng được ứng dụng để giải phương trình parabolic ngược thời gian ([39], [40], [45], [50], [76]). Một phương pháp số để giải bài toán parabolic ngược thời gian với toán tử elliptic không tự liên hợp có thể tìm thấy trong [46]. Tiếp theo, chúng tôi thảo luận về phương pháp bài toán giá trị biên không địa phương. Nó có tên khác là phương pháp tựa giá trị biên hay phương pháp QBV. Theo chúng tôi, Vabishchevich ([101]) là một trong những người đầu tiên sử dụng phương pháp này vào năm 1981. Sau đó vào năm 1994, Clark và Oppenheimer ([23]) cũng sử dụng phương pháp này bằng cách xấp xỉ bài toán (0.2) bởi ½ vαt + Avα = 0, 0 < t < T, αvα (0) + vα (T ) = f, α > 0, và đề xuất một số đánh giá sai số. Tuy nhiên, hai tác giả trên không nghiên cứu tính hội tụ của phương pháp. Phương pháp bài toán giá trị biên không địa phương ứng dụng cho phương trình parabolic ngược thời 17 gian có thể tìm thấy trong các bài báo [10], [26], [32], [74], [91]. Gần đây, chúng tôi còn ứng dụng thành công phương pháp này tới bài toán Cauchy cho phương trình elliptic ([34]). Một phương pháp khác được ứng dụng rộng rãi cho nhiều bài toán đặt không chỉnh khác nhau là phương pháp chỉnh hóa Tikhonov [98]. Tikhonov đã đề xuất phương án chỉnh hóa bài toán giải phương trình Au = f trong không gian Hilbert H bằng cách lấy tối thiểu hóa phiếm hàm kAu − f k2H + αl2 (u) theo u. Ở đây, phiếm hàm l xác định không âm: l(u) > 0, thuần nhất, l(λu) = |λ|l(u) sao cho tập {u ∈ H|l(u) 6 m} với số dương m tuỳ ý là tập compact. Phiếm hàm l được gọi là phiếm hàm hiệu chỉnh, còn α > 0 được gọi là tham số hiệu chỉnh. Có thể chứng minh được rằng bài toán tối thiểu hóa này có nghiệm ổn định và với cách chọn α hợp lý thì nghiệm của nó xấp xỉ nghiệm của phương trình toán tử. Ngoài ra, sử dụng các đánh giá ổn định, ta có thể tìm được sai số của lời giải xấp xỉ này với lời giải chính xác. Cần chú ý rằng, xác định tham số hiệu chỉnh α là vấn đề mấu chốt của phương pháp chỉnh Tikhonov và hiện tại có khá nhiều phương pháp để tìm nó, chẳng hạn như phương pháp tiên nghiệm, phương pháp dựa trên nguyên lý sai số của Morozov (Morozov discripancy principle), phương pháp L−đường (L− curve) ([14]),... Về ứng dụng phương pháp chỉnh Tikhonov cho phương trình parabolic ngược thời gian có thể tìm thấy trong công trình [43]. Ngoài các phương pháp trên, nhiều tác giả còn sử dụng phương pháp lặp, phương pháp biểu diễn nghiệm ở dạng chuỗi, phương pháp sai phân, và phương pháp làm nhuyễn (mollification method)... cho phương trình parabolic ngược thời gian. Tuy nhiên, không có một phương pháp nào là đa năng và có thể giải quyết thấu đáo tất cả các loại bài toán. Chẳng hạn như phương pháp Tikhonov hoặc phương pháp tựa đảo đòi hỏi phải giải một phương trình bậc cao gấp đôi phương trình đã có và 18 việc tìm tham số hiệu chỉnh là không dễ dàng. Ngoài ra, rất khó sử dụng phương pháp của Tikhonov trong không gian Banach, hay nói chung là việc nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa trong không gian Banach chưa được phát triển. B) Chỉnh hóa cho phương trình tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian trong không gian Banach. Để chỉnh hóa bài toán trong không gian Banach, ta có thể dùng phương pháp làm nhuyễn. Một trong những người đầu tiên ứng dụng phương pháp làm nhuyễn cho bài toán đặt không chỉnh là Vasin ([102]), tiếp đó là Miller, Manselli ([71]). Murio và các học trò ([79]) đã phát triển phương pháp này cho nhiều bài toán khác nhau. Tuy nhiên, do chỉ sử dụng biến đổi Fourier nên các tác giả này chỉ nghiên cứu được các bài toán trong không gian Hilbert L2 . Vào năm 1994, Đinh Nho Hào ([29]) đã đề xuất một phương pháp làm nhuyễn cho các bài toán đặt không chỉnh trong không gian Banach. Phương pháp này cho ta cách giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát, ứng dụng được cho hầu hết các bài toán đặt không chỉnh truyền thống, trong đó có phương trình parabolic ngược thời gian. Hơn nữa, phương pháp này cho ta đánh giá sai số dạng Hölder và có thể triển khai dễ dàng trên máy tính. Ngoài ra, ta có thể chỉnh hóa bài toán trong không gian Banach bằng phương pháp nửa nhóm ([11], [47], [51], [53], [52], [54], [86]). Theo hướng nghiên cứu này, vào năm 1998, Piskarev ([86]) đã dựa trên lý thuyết nửa nhóm của các toán tử và xấp xỉ rời rạc để giải bài toán ut = −Au(t), t ∈ [0, ∞), u(0) = x0 , trong một không gian Banach E với toán tử đóng A có miền D(A) trù mật trong E và có tập giải ρ(−A) 6= ∅. Các đánh giá sai số kiểu logarithm cũng được Piskarev đề xuất và chứng minh. Đến năm 2004, Huang và Zheng ([51]) đã xem xét bài toán ut = Au(t) (0 < t 6 T ), u(0) = x, (0.3) 19 với −A là toán tử sinh của một nửa nhóm giải tích góc α (0 < α < π2 ) trên một không gian Banach X . Tuy nhiên, họ đã không đưa ra được tốc độ hội tụ và các phương pháp hữu hiệu để giải số. Năm 2005, Ames và Hughes ([11]) đã chứng minh được các kết quả phụ thuộc liên tục kiểu Hölder giữa nghiệm của bài toán xấp xỉ đặt chỉnh với nghiệm của bài toán đặt không chỉnh trong cả không gian Hilbert và không gian Banach. Trong không gian Banach, bài toán không chỉnh được xét đến là ut = Au(t), u(0) = x, (0 6 t < T ), với −A là toán tử sinh của nửa nhóm giải tích (holomorphic). Năm 2006, Huang và Zheng ([54]) xem xét bài toán (0.3) với A là một toán tử xác định trù mật trong một không gian Banach và phổ của A được chứa trong miền hình quạt (sector) thuộc nửa phải của mặt phẳng phức còn giải thức của A bị chặn đa thức (polynomially bounded). Năm 2007, Hetrick và Hughes ([47]) đã mở rộng kết quả của Ames và Hughes ([11]) cho trường hợp phương trình không thuần nhất có dạng ut = Au(t) + h(t), u(0) = x, (0 6 t < T ). Năm 2008, Huang ([53]) đã đề xuất phương pháp chỉnh hóa cho bài toán đặt không chỉnh ut + Au(t) = 0, (0 6 t < T ), u(T ) = x, với A là toán tử không bị chặn thỏa mãn −A sinh ra một nửa nhóm giải tích bị chặn đều trên một không gian Banach X và x ∈ X . Các đánh giá sai số kiểu Hölder giữa nghiệm của bài toán xấp xỉ với nghiệm của bài toán đặt không chỉnh cũng được đề xuất và chứng minh. C) Chỉnh hóa cho phương trình phi tuyến. Trong luận án tiến sỹ của mình ([42]), Ewing đã đề xuất chỉnh hóa một số phương trình parabolic ngược thời gian bằng phương trình Sobolev. Ý tưởng này đã được nhiều nhà khoa học phát triển. Một trong những mở rộng thú vị nhất có thể kể ra đó là việc dùng phương trình Sobolev để chỉnh hóa các phương trình phi tuyến ngược thời gian ([13], [67], [83], [84]). Việc nghiên cứu các phương trình Sobolev phi tuyến là một lĩnh vực hết sức sôi động trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng ([13]). Hơn nữa, việc dùng các phương trình Sobolev để chỉnh hóa các phương trình 20 parabolic phi tuyến ngược thời gian là một điều thú vị và quan trọng, vì ngoài việc cho ta một phương pháp chỉnh, ta còn có thể chứng minh được tính tồn tại nghiệm của một số phương trình parabolic ngược thời gian, hoặc thuận nghịch thời gian - vấn đề mở hết sức quan trọng và có ý nghĩa trong xử lý ảnh ([20], [28], [49], [58]). Mặc dù phương pháp phương trình Sobolev vừa đề cập ở trên có rất nhiều ưu điểm trong việc chỉnh hóa bài toán phi tuyến, nó cũng có nhược điểm là đánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác thường có dạng logarithm. Để tăng tốc độ hội tụ, các nhà toán học còn sử dụng phương pháp phương trình tích phân ([100]) hoặc phương pháp nửa nhóm ([48]). Ngoài ra, hai phương pháp lặp để xấp xỉ nghiệm của phương trình Bürgers ngược thời gian cũng được đề xuất bởi Kozlov và các cộng sự ([69]). 7.3. Tổng quan luận án. Trong luận án này, chúng tôi chỉnh hóa bài toán (0.2) bằng cách sử dụng phương pháp bài toán giá trị biên không địa phương ½ vαt + Avα = 0, 0 < t < aT αvα (0) + vα (aT ) = f (0.4) với a > 1 và tham số chỉnh hóa α > 0. Chúng tôi đưa ra cách chọn tham số hiệu chỉnh tiên nghiệm và hậu nghiệm để các phương pháp chỉnh hóa bậc tối ưu. Ngoài ra, chúng tôi còn thử nghiệm các phương pháp này trên máy tính để minh chứng cho sự hữu hiệu của chúng. Trong [101], Vabishchevich đã đề xuất một phương pháp tiên nghiệm cho bài toán (0.2) nhưng không đưa ra tốc độ hội tụ như chúng tôi đã làm trong luận án. Ngoài ra, ông cũng đã đề xuất phương pháp hậu nghiệm cho bài toán (0.2) như sau: Giải bài toán đặt chỉnh ½ uαt + Auα = 0, 0 < t < T, αuα (0) + uα (T ) = f, α > 0 và chọn α sao cho kuα (T ) − f k = ε.