Tài liệu Phương trình lượng giác và ứng dụng (nâng cao)

  • Số trang: 132 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 109 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 20010 tài liệu

Mô tả:

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn MỤC LỤC Trang Công thức lượng giác cần nắm vững ------------------------------------------------------------------------ 2 A – Phương trình lượng giác cơ bản ------------------------------------------------------------------ 5 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 5 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 8 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 29 B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác -------------------------- 32 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 33 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 35 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 56 C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos ---------------------------------------------------------- 59 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 59 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 62 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 81 D – Phương trình lượng giác đẳng cấp --------------------------------------------------------------- 84 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 85 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 87 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 92 E – Phương trình lượng giác đối xứng --------------------------------------------------------------- 93 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 94 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 96 F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối ----------------------------------- 97 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 97 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 99 G – Phương trình lượng giác không mẫu mực ----------------------------------------------------- 101 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 102 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 104 H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương --------- 106 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 106 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 112 I – Hệ phương trình lượng giác ------------------------------------------------------------------------- 116 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 117 J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác --------------------------------------- 121 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 122 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 125 “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com -1- Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG   Công thức cơ bản ● sin2 x + cos2 x = 1 ● cot x = ● tan x.cot x = 1 cos x sin x ● 1 + tan2 x = ● tan x = 1 cos2 x sin x cos x ● 1 + cot2 x = 1 sin2 x  Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba  cos2 x − sin2 x  ● cos 2x =  2 2 2 cos x − 1 = 1 − 2 sin x ● sin 2x = 2 sin x.cos x 1 − cos2x 2 ● sin 3x = 3 sin x − 4 sin 3 x ● sin2 x = 1 + cos2x 2 ● cos 3x = 4 cos 3 x − 3 cos x ● cos2 x =  Công thức cộng cung ● sin (a ± b) = sin a.cos b ± cos a.sin b tan a + tan b 1 − tan a. tan b  1 + tan x + x =  1 − tan x ● tan (a + b) = π ● tan   4 ● cos (a ± b) = cos a.cos b ∓ sin a.sin b tan a − tan b 1 + tan a. tan b π  1 − tan x ● tan  − x =  4  1 + tan x ● tan (a − b) =  Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b .cos 2 2 a+b a−b ● sin a + sin b = 2 sin .cos 2 2 sin (a + b) ● tan a + tan b = cos a.cos b ● cos a + cos b = 2 cos a+b a−b .sin 2 2 a+b a−b ● sin a − sin b = 2 cos .sin 2 2 sin (a − b) ● tan a − tan b = cos a.cos b ● cos a − cos b = −2 sin  Công thức biến đổi tích thành tổng ● cos a.cos b = ● sin a.sin b = cos (a + b) + cos (a − b) 2 cos (a − b) − cos (a + b) ● sin a.cos b = sin (a + b) + sin (a − b) 2 2  Một số công thức thông dụng khác     π π π π ● sinx + cos x = 2 sinx +  = 2 cos x −  ● sinx − cos x = 2 sinx −  = 2 cosx +      4  4  4  4  1 3 + 1 cos 4x ● cos4 x + sin4 x = 1 − sin2 2x = 2 4 -2- 3 5 + 3 cos 4x ● cos6 x + sin6 x = 1 − sin2 2x = 4 8 www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Để giải được phương trình lượng giác cũng như các ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả những công thức lượng giác. Đó là hành trang, là công cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên: "Phương trình lượng giác"  Một số lưu ý:  sin x = α Điều kiện có nghiệm của phương trình  là: −1 ≤ α ≤ 1 .  cos x = α Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan hoặc cot , có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. π  Phương trình chứa tan x , điều kiện: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ (k ∈ ℤ) . 2  Phương trình chứa cot x , điều kiện: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ (k ∈ ℤ) . π (k ∈ ℤ ) . 2 Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để kiểm tra điều kiện:  Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm.  Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm. Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm.  Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác AM có  Phương trình chứa cả tan x và cot x , điều kiện: x ≠ k. k2π  k.3600   với k ∈ ℤ, n ∈ ℕ + thì có n điểm M trên đường tròn hay a 0 + n  n  lượng giác cách đều nhau". π  π Ví dụ 1: Nếu sđ AM = + k2π thì có một điểm M tại vị trí (ta chọn k = 0 ). 3 3 π 7π  π Ví dụ 2: Nếu sđ AM = + kπ thì có 2 điểm M tại vị trí và (ta chọn k = 0, k = 1 ). 6 6 6 2π π 11π 19π  π Ví dụ 3: Nếu sđ AM = + k. thì có 3 điểm M tại các vị trí ; và , (k = 0;1;2) . 4 3 4 12 12 π π k2π π 3π 5π 7π  π Ví dụ 4: Nếu sđ AM = + k. = + thì có 4 điểm M tại các vị trí , , ; 4 2 4 4 4 4 4 4 (ứng với các vị trí k = 0,1,2, 3 ). số đo là α + Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung x = − Biểu diễn cung x = − Biểu diễn cung x = “Cần cù bù thông minh…………” π π + kπ và x = + kπ 6 3 π π 5π + kπ trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí: − và 6 6 6 π + kπ trên đường tròn thì có 3 www.DeThiThuDaiHoc.com -3- Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) π 4π và . 3 3 π/3 Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và 5π/6 π π cung tổng hợp là: x = + k 3 2 O  2   cos x = 1  cos x = ± 1 –π/6  2 ⇔  2 ta không nên giải Đối với phương trình   sin2 x = 1  sin x = ± 1 4π/3   2 2   trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là:  2  cos x = 1 2 cos2 x − 1 = 0  cos 2x = 0   2 ⇔ ⇔  . Tương tự đối với phương trình  2 1 2 sin x − 1 = 0 2  sin x =   cos 2x = 0  2   sin2 x = 1  sin x = ±1    cos2 x = 1 ⇔  cos x = ±1 ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức   sin2 x = 1  cos2 x = 0  cos x = 0 2 2  sin x + cos x = 1 . Lúc đó:  2 ⇔  2 ⇔  cos x = 1  sin x = 0  sin x = 0 Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo '' 2 điểm tại các vị trí:  Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác.  Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là cos (−α ) = cos α , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: sin (−α ) = − sin α, tan (−α ) = − tan α, cot (−α ) = − tan α  Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là sin (π − α ) = sin α , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: cos (π − α ) = − cos α, tan (π − α ) = − tan α, cot (π − α ) = − tan α  Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược lại, tức là: π  π  π  π  sin  − α  = cos α, cos  − α  = sin α, tan  − α  = cot α, cot  − α  = tan α     2 2 2 2  Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này: Giải phương trình lượng giác: sin u = cos v Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình sin u = sin v , vậy còn phương trình sin u = cos v thì sao ? π  Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi: sin u = cos v ⇔ sin u = sin  − v  2  u= π π − v + k2π ∨ u = + v + k2π , (k ∈ ℤ) . 2 2  2π  Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như sin x = cos  − x   3 -4- www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa.  Một số cung góc hay dùng khác:    sin (x + k2π) = sin x  sin (x + π + k2π) = − sin x và   cos (x + k2π) = cos x cos (x + π + k2π) = − cos x   (k ∈ ℤ ) . A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN  u = v + k2π  Dạng: sin u = sin v ⇔  u = π − v + k2π Đặc biệt:  u = v + k2π  Dạng: cos u = cos v ⇔   u = −v + k2π Đặc biệt: tan u = tan v ⇔ u = v + kπ  Dạng: π Ðk : u, v ≠ + kπ 2 Đặc biệt:  Dạng: cot u = cot v ⇔ u = v + kπ Ðk : u, v ≠ kπ Đặc biệt:  sin x = 0 ⇒ x = kπ   π sin x = 1 ⇒ x = + k2π  2  π sin x = −1 ⇒ x = − + k2π 2   cos x = 0 ⇒ x = π + kπ  2 cos x = 1 ⇒ x = k2π  cos x = −1 ⇒ x = π + k2π    tan x = 0 ⇔ x = kπ   π tan x = ±1 ⇔ x = ± + kπ 4   cot x = 0 ⇔ x = π + kπ  2   π  cot x = ±1 ⇔ x = ± + kπ 4  BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 5. (∗) , ∀x ∈ 0;14 Giải phương trình: (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x ) = sin 2x − sin x (∗) Giải phương trình: cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0 (∗) Giải phương trình: sin x + cos x + 1 + sin 2x + cos 2x = 0 (∗) Giải phương trình: 2 sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + cos x (∗) Bài 6. Giải phương trình: Bài 1. Bài 2. Bài 3. Bài 4. Bài 7. Giải phương trình: cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0  7π  = 4 sin  − x (∗)   3π  4 sin x −  2     7 π π Giải phương trình: sin 4 x + cos 4 x = cot x +  cot  − x   8 3   6  1 + sin x “Cần cù bù thông minh…………” 1 www.DeThiThuDaiHoc.com (∗) -5- Ths. Lê Văn Đoàn Bài 8. Bài 9. Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com sin 4 2x + cos4 2x Giải phương trình: = cos4 4x π  π  tan  − x tan  + x    4  4  3π x  1 π 3x   Giải phương trình: sin  −  = sin  + 2   10 2  2 10 (1)   π π Bài 10. Giải phương trình: sin 3x −  = sin 2x sin x +  4  4     π Bài 11. 8 cos3 x +  = cos 3x 3   (∗) (1) (1)  π 2 sin 3 x +  = 2 sin x (1) 4    π Bài 13. Giải phương trình: sin 3 x −  = 2 sin x (1) 4   Bài 12. Giải phương trình: (∗) Bài 14. Giải phương trình: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0 3 2 2 2 2 Bài 16. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 2 Bài 15. Giải phương trình: sin2 x + sin2 2x + sin2 3x = (∗) . (∗) . Bài 17. Giải phương trình: sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos2 4x Bài 18. Giải phương trình: sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x (∗) (∗)  π 5x  9x Bài 19. Giải phương trình: cos 3x + sin 7x = 2sin 2  +  − 2 cos2  4 2  2 Bài 20. Giải phương trình: sin2 x = cos2 2x + cos2 3x (∗) (∗) Bài 21. Giải phương trình: 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x (∗) Bài 22. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x (∗) (∗) Bài 23. Giải phương trình: sin 3 x cos 3x + cos3 x sin 3x = sin 3 4x Bài 24. Giải phương trình: cos10x + 2 cos2 4x + 6 cos 3x cos x = cos x + 8 cos x cos3 3x (∗) Bài 25. Giải phương trình: 4 sin 3 x + 3 cos3 x − 3 sin x − sin2 x cos x = 0 (∗) Bài 26. Giải phương trình: (2 sin x + 1)(3 cos 4x + 2 sin x − 4) + 4 cos2 x = 3 ( Bài 27. Giải phương trình: sin 6 x + cos6 x = 2 sin 8 x + cos 8 x ( x = 2 (sin ) (∗) ) Bài 28. Giải phương trình: sin 8 x + cos8 x = 2 sin10 x + cos10 x + Bài 29. Giải phương trình: sin 3 x + cos3 5 x + cos5 x ) Bài 30. Giải phương trình: 3 cos4 x − 4 cos2 x sin2 x + sin 4 x = 0 Bài 31. Giải phương trình: cos 3x cos 3 x − sin 3x sin 3 x = -6- (∗) 2−3 2 8 5 cos 2x 4 (∗) (∗) (∗) (∗) www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com 1 (∗) 16 Bài 33. Giải phương trình: 4 sin 3x cos 2x = 1 + 6 sin x − 8 sin 3 x Bài 32. Giải phương trình: cos x cos 2x cos 4x cos 8x = (∗) Bài 34. Giải phương trình: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x + cos 5x = − 1 2 (∗) sin 2x + 2 cos x − sin x − 1 = 0 (∗) tan x + 3 1 + sin 2x + cos 2x Bài 36. Giải phương trình: = 2 sin x sin 2x (∗) 1 + cot2 x Bài 37. Giải phương trình: tan x + cot x = 2 (sin 2x + cos 2x ) (∗) Bài 35. Giải phương trình: (∗) Bài 38. Giải phương trình: tan2 x − tan x tan 3x = 2 Bài 39. Giải phương trình: tan2 x + cot2 x + cot2 2x = 11 3 (∗)  x π x Bài 40. Giải phương trình: sin2  −  tan2 x − cos2 = 0  2 4  2 Bài 41. Giải phương trình: sin 2x (cot x + tan 2x ) = 4 cos2 x (∗) (∗) cot2 x − tan2 x Bài 42. Giải phương trình: = 16 (1 + cos 4x ) (∗) cos 2x 1 Bài 43. Giải phương trình: 2 tan x + cot2x = 2 sin 2x + (∗) 2 sin 2x 3 (sin x + tan x ) Bài 44. Giải phương trình: − 2 (1 + cos x ) = 0 (∗) tan x − sin x 2 Bài 45. Giải phương trình: 2 (1 − cos x) + (1 + cos x) 4 (1 − sin x ) Bài 46. Giải phương trình: cos 3x tan 5x = sin 7x − tan2 x sin x = 1 1 + sin x ) + tan2 x (∗) ( 2 (∗) 1 1 − = 2 cot x (∗) 2 sin x sin 2x sin 4 x + cos4 x 1 Bài 48. Giải phương trình: = (tan x + cot2x ) (∗) sin 2x 2 Bài 49. Giải phương trình: tan2 x.cot2 2x.cot 3x = tan2 x − cot2 2x + cot 3x Bài 47. Giải phương trình: sin 2x + sin x −  x Bài 50. Giải phương trình: cot x + sin x 1 + tan x tan  = 4  2  “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com (∗) (∗) -7- Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN  Bài 1. Giải phương trình: cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0 (∗) , ∀x ∈ 0;14 Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002 Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung x,2x, 3x , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một cung. Nhưng đưa về cung x hay cung 2x ? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan niệm sau: " Trong phương trình lượng giác tồn tại ba cung x,2x, 3x , ta nên đưa về cung trung gian 2x nếu trong biểu thức có chứa sin2x (hoặc cos2x). Còn không chứa sin2x (hoặc cos2x), nên đưa về cung x ". Bài giải tham khảo (∗) ⇔ (4 cos 3 ) ( ) x − 3 cos x − 4 2 cos2 x − 1 + 3 cos x − 4 = 0 ⇔ 4 cos3 x − 8 cos2 x = 0  cos x = 0 (N) π ⇔ 4 cos2 x (cos x − 2) = 0 ⇔  ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ℤ ) . cos x = 2 (L ) 2  −0, 5 ≤ k ≤≈ 3, 9  π 3π 5π 7π  π Do x ∈  0;14 , k ∈ ℤ ⇔ 0 ≤ + kπ ≤ 14 ⇔  ⇒ x ∈  ; ; ;  . k ∈ ℤ 2  2 2 2 2   Bài 2. Giải phương trình: (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x ) = sin 2x − sin x (∗) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2004 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x ) = 2 sin x cos x − sin x ⇔ (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x ) − sin x (2 cos x − 1) = 0 ⇔ (2 cos x − 1) (2 sin x + cos x ) − sin x  = 0 ⇔ (2 cos x − 1)(sin x + cos x ) = 0   2 cos x − 1 = 0 ⇔  ⇔  sin x + cos x = 0   π  x = ± π + k2π  cos x = cos  3  (k; l ∈ ℤ) . 3 ⇔  π   tan x = −1  x = − + lπ 4  Bài 3. Giải phương trình: cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0 (∗) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2006 Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x , chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa chúng về cùng một cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos Bài giải tham khảo (∗) ⇔ 4 cos 3 x − 3 cos x + 2 cos2 x − 1 − cos x − 1 = 0 ⇔ 2 cos3 x + cos2 x − 2 cos x − 1 = 0 ( ) ⇔ cos2 x (2 cos x + 1) − (2 cos x + 1) = 0 ⇔ (2 cos x + 1) cos2 x − 1 = 0 -8- www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com    sin x = 0  x = kπ ⇔ −(2 cos x + 1) sin x = 0 ⇔  ⇔ (k;l ∈ ℤ) .  cos x = − 1  x = ± 2π + l2π 2 3   2 (∗) Bài 4. Giải phương trình: sin x + cos x + 1 + sin 2x + cos 2x = 0 Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ (sin x + cos x) + 2 sin x cos x + 2 cos x = 0 ⇔ (sin x + cos x ) + 2 cos x (sin x + cos x ) = 0 ⇔ (sin x + cos x )(1 + 2 cos x ) = 0 2  sin x = − cos x  tan x = −1  x = − π + kπ    4 ⇔ ⇔ ⇔ (k; l ∈ ℤ) . 1 2 π cos x = −  cos x = cos 2 π  + l2π   x = ± 2 3 3  Bài 5. Giải phương trình: sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + cos x (∗) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008 Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ đến việc chuyển cung 2x về cung x bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế (∗) ⇔ sin x (1 + 2 cos 2 ) x − 1 + 2 sin x cos x = 1 + cos x ⇔ 2 sin x cos2 x + 2 sin x cos x = 1 + cos x ⇔ 2 sin x cos x (cos x + 1) − (1 + cos x ) = 0  2π  1  x=± + k2π  cos x = −  3  ⇔ (cos x + 1)(sin 2x − 1) = 0 ⇔ (k, l ∈ ℤ) . 2⇔  π  sin 2x = 1   x = + lπ 4  Bài 6. Giải phương trình: 1 + sin x  7π  = 4 sin  − x   3π  4 sin x −  2   1 (∗) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008 3π 7π và − x giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung 2 4 khác nhau này về cùng một cung chung là x . Để làm được điều đó, ta có thể dùng công thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý tưởng đó qua hai cách giải sau đây Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung x − Bài giải tham khảo Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung: sin (a ± b) = sin a.cos b ± cos a.sin b “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com -9- Ths. Lê Văn Đoàn (∗) ⇔ sin1 x + Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com 1  7π 7π  = 4 sin cos x − sin x cos   4 4  3π 3π − sin cos x 2 2   1 1 2  ⇔ + = 4. − sin x + cos x ) ( sin x cos x  2  sin x + cos x ⇔ = −2 2 (sin x + cos x ) sin x cos x sin x cos Điều kiện: sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin 2x ≠ 0 . ( ) ⇔ (sin x + cos x ) + 2 2 sin x cos x (sin x + cos x ) = 0 ⇔ (sin x + cos x ) 1 + 2 sin 2x = 0   x = − π + kπ  4  tan x = −1  sin x + cos x = 0    x = − π + lπ k, l, m ∈ ℤ . ⇔  ⇔ ⇔ ( )   sin 2x = − 2 8 1 + 2 sin 2x = 0    2 5π  + mπ x = 8  Cách giải 2. Sử dụng "cos đối – sin bù – phụ chéo''      3π  π sin x −  = sin −2π − − x = cos x   2  2      Ta có:            7π π π 1 sin  − x = sin 2π − x +  = − sin x +  = − (sin x + cos x)  4  4      4 2   1  1 1 (∗) ⇔ sin x + cos x = 4. − (sin x + cos x) . Giải tương tự như cách giải 1. 2     7 π π cot x +  cot  − x (∗)   8 3   6 Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp. HCM năm 1999 Bài 7. Giải phương trình: sin 4 x + cos4 x = π π π + − x = giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy: 3 6 2 π π       π π π π π cot x +  cot  − x = cot x +  cot  −  + x = cot x +  tan x +  = 1 .    3   6 3  3  3      2  3 1 Công việc còn lại của chúng ta là dùng công thức: sin 4 x + cos4 x = 1 − sin2 2x . Nếu 2 cos không có nhận xét này, mà ta tiến hành biến đổi tan cot = , rồi qui đồng thì bài toán sin trở nên rất phức tạp, chưa tính đến việc đối chiếu nghiệm với điều kiện. Lời bình: Từ tổng hai cung x + Bài giải tham khảo   π sin x +  ≠ 0     3  π π 1 π π   ĐK:  ⇔ sin x +  sin  − x ≠ 0 ⇔ cos 2x −  ≠ 0 ⇔ cos 2x −  ≠ 0 .    π 3   6 2 6  6      sin  − x ≠ 0    6 - 10 - www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) 1 (∗) ⇔ 1 − 2 sin 2 2x = www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 7 1 1 π kπ ⇔ sin2 2x = ⇔ 1 − cos 4x = ⇔ x = + , (k ∈ ℤ ) . 8 4 2 12 2 Bài 8. Giải phương trình: sin 4 2x + cos4 2x = cos4 4x (∗) π  π  tan  − x tan  + x  4    4 Trích đề thi tuyển sinh Đại học Xây Dựng năm 1997 Bài giải tham khảo   π  cos  − x ≠ 0 π  π   1 π   4 ĐK:  ⇔ cos  − x cos  + x ≠ 0 ⇔ cos 2x + cos  ≠ 0 ⇔ cos 2x ≠ 0 .     4  2 2  4 cos  π + x ≠ 0     4  π π π  π  π   π  π  Ta có: tan  − x tan  + x = tan  − x tan  −  + x = tan  − x cot  − x = 1 .  4    4   4    4   4   2  4 1 (∗) ⇔ 1 − 2 sin 2 4x = cos4 4x ⇔ 1 − 1 1 − cos2 4x = cos4 4x ⇔ 2 cos4 x − cos2 4x − 1 = 0 2 ( )  t = 1 (N )  2t − t − 1 = 0  ⇔ ⇔  t = − 1 (L) ⇔ cos2 4x = 1 ⇔ sin2 4x = 0 ⇔ sin 4x = 0 2 t = cos 4x ≥ 0  2   2 t = cos 4x ≥ 0 sin 2x = 0 (N ) kπ  ⇔ ⇔x= , (k ∈ ℤ ) . cos 2x = 0 (L ) 2  2 Lưu ý, ta có thể thực hiện biến đổi mẫu số bằng công thức cộng theo tan như sau π π tan − tan x tan + tan x π  π  1 − tan x 1 + tan x 4 4 tan  − x .tan  + x = . = . = 1.  4  π π 1 + tan x 1 − tan x  4  1 + tan tan x 1 − tan tan x 4 4  3π x  1 π 3x  Bài 9. Giải phương trình: sin  −  = sin  +  (1) 2   10 2  2  10 Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2001 Lời bình: Nhìn vào phương trình này, ta nghĩ dùng công thức cộng cung theo sin……, hoặc xét tổng cung của chúng, ……. nhưng đừng vội làm như thế, nó sẽ khó đi đến kết quả. Ta hãy xem 3π x π 3x giữa hai cung − và + có mối liên hệ gì hay không ? Thật vậy: 10 2 10 2  π π  9π 3x   3π x  3x  3x  sin  +  = sin π −  +  = sin  −  = sin 3  −  . Từ đó, ta sẽ 2  2  2  10  10  10  10 2   đặt t = 3π x − và sử dụng công thức nhân ba là tối ưu nhất. 10 2 “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 11 - Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Bài giải tham khảo  π π  9π 3x   3π x  3x  3x  Ta có: sin  +  = sin π −  +  = sin  −  = sin 3  −  . 10  10  10 2  2  2  2   10   3π x  1  3π x  (1) ⇔ sin  10 − 2  = 2 sin 3  10 − 2  (2) .   3π x 1 1 − . Và (2) ⇔ sin t = sin 3t ⇔ sin t = 3 sin t − 4 sin3 t ⇔ sin t 1 − sin2 t = 0 10 2 2 2   3π x  t = kπ   x = 3π − k2π − = k π  sin t = 0    5 ⇔  ⇔ ⇔  10 2 ⇔ (k, l ∈ ℤ) . π  cos t = 0 3 π x π 2 π t = + l π    − l2π   − = + lπ x = 2 2 5  10 2  ( Đặt t =   π π Bài 10. Giải phương trình: sin 3x −  = sin 2x sin  x +   4  4   ) ( ) (1) Trích đề thi tuyển sinh Học Viện Bưu Chính Viễn Thông năm 1999 Bài giải tham khảo   π  π   3π    π  = − sin 3 x + π  Ta có: sin 3x −  = − sin  − 3x = − sin π −  − 3x = − sin  3x +   4  4  4    4  4       π π π Đặt t = x + ⇒ x = t − . Lúc đó (1) ⇔ − sin 3t = sin 2t − .sin t 4 4 2    sin t = 0  sin t = 0  ⇔ 4 sin 3 t − 3 sin t + cos 2t sin t = 0 ⇔  ⇔ 2 2  sin2 t = 1 4 sin t − 3 + 1 − 2 sin t = 0     t = kπ  x = − π + kπ  sin t = 0  π π  4 ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ x = − + m , (k, l, m ∈ ℤ ) . π  π 4 2   cos t = 0  t = 2 + lπ  x = + lπ 4   π Bài 11. Giải phương trình: 8 cos3 x +  = cos 3x (1) 3   Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1999 Bài giải tham khảo   π  Ta có: cos 3x = − cos (π + 3x ) = − cos  3 x +  .  3       π π  Phương trình: (1) ⇔ 8 cos3 x +  = − cos 3 x +  (2) .  3  3    π Đặt t = x + . Lúc đó: (2) ⇔ 8 cos3 t = − cos 3t ⇔ 8 cos 3 t = −4 cos3 t + 3 cos t 3 ( ) ⇔ 12 cos3 t − 3 cos t = 0 ⇔ cos 3t 4 cos2 t − 1 = 0 ⇔ cos 3t (2 cos 2t + 1) = 0 - 12 - www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com   t = π + kπ  2  cos 3t = 0   π ⇔ ⇔  t = + lπ ⇔  cos 2t = − 1 3   2  π  t = − + mπ  3  π   x = 6 + kπ   x = lπ (k; l; m ∈ ℤ) .  2π  + mπ x =  3  π 2 sin 3 x +  = 2 sin x (1) 4   Trích đề thi tuyển sinh Phân Viện Báo Chí Truyền Thông năm 1998 Bài 12. Giải phương trình: Bài giải tham khảo Cách giải 1. Đặt t = x +  π π π ⇒ x = t − . Lúc đó: (1) ⇔ sin 3 t = 2 sin t −  ⇔ sin 3 t = sin t − cos t 4 4 4   ( ) ⇔ sin 3 t = sin t − cos t ⇔ sin 3 t = sin2 t + cos2 t (sin t − cos t) ( (•) ) ⇔ cos t − sin2 t + sin t cos t − cos2 t = 0 cos t = 0 (N) π π  sin 2t = 2 L ⇔ t = 2 + kπ ⇔ x = 4 + kπ, (k ∈ ℤ ) . ( )  Lời bình: Trong (•) , tôi đã sử dụng kĩ thuật ghép công thức 1 = sin2 t + cos2 t . Vậy trong giải 1  ⇔ cos t  sin 2t − 1 = 0 ⇔  2  phương trình lượng giác, dấu hiệu như thế nào để biết ghép như thế ? Câu trả lời rất đơn giản: " Khi bậc của sin và cos không đồng bậc và hơn kém nhau hai bậc, ta nên ghép 1 = sin2 t + cos2 t để phương trình trở nên đơn giản hơn ". Cách giải 2. 3 3  1  1    π (1) ⇔ 2  . 2 sin x + 4  = 2 sin x ⇔ 2  (sin x + cos x) = 2 sin x    2  2  3 2 ⇔ (sin x + cos x ) = 4 sin x ⇔ (sin x + cos x )(sin x + cos x ) = 4 sin x ⇔ (sin x + cos x )(1 + 2 sin x cos x ) = 4 sin x ⇔ −3 sin x + 2 cos2 x sin x + 2 sin2 x cos x + cos x = 0 ⇔ sin x (−3 + 2 cos2 x ) + cos x (2 sin2 x + 1) = 0 ( ) ( ) ⇔ − sin x 2 sin2 x + 1 + cos x 2 sin2 x + 1 = 0  0 = 2 sin2 x + 1 > 0 ⇔ 2 sin x + 1 (cos x − sin x ) = 0 ⇔   cos x − sin x = 0 π ⇔ tan x = 1 ⇔ x = + kπ , (k ∈ ℤ) . 4 Cách giải 3. ( 2 ) (VN) 3 3  1  1    π   (1) ⇔ 2  . 2 sin x + 4  = 2 sin x ⇔ 2  (sin x + cos x) = 2 sin x    2   2 “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 13 - Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com 3 ⇔ (sin x + cos x ) = 4 sin x (2) Vì cos x = 0 (hay sin x = 1) không phải là nghiệm của phương trình (2) nên chia hai vế của 3 ( phương trình (2) cho cos3 x , ta được: (2) ⇔ (tan x + 1) = 4 tan x. 1 + tan2 x Giải phương trình theo tanx ta được nghiệm: tan x = 1 ⇔ x = ) π + kπ , ( k ∈ ℤ ) . 4  π Bài 13. Giải phương trình: sin 3 x −  = 2 sin x (1)  4  Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998 Bài giải tham khảo Cách giải 1. π π ⇒ x = t + . Lúc đó: (1) ⇔ sin 3 t = 2 sin t + 4 ⇔ sin 3 t = sin t + cos t 4 4 ⇔ sin 3 t = (sin t + cos t) sin2 t + cos2 t ( Đặt t = x − ( ) ) ⇔ sin 3 t = sin 3 t + sin t cos2 t + cos t sin2 t + cos3 t ⇔ cos t (sin t cos t + 1) = 0 cos t = 0 3π π π ⇔  ⇔ t = + kπ ⇔ x = + kπ ≡ − + kπ , (k ∈ ℤ) . 2 4 4 sin 2t = −2 (L) Cách giải 2 và cách giải 3 (tương tự ví dụ 13). Bạn đọc tự giải Bài 14. Giải phương trình: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0 (∗) Lời bình: Bài toán có các cung khác nhau theo một hàm bậc nhất lượng giác cos (hoặc sin hoặc cả sin và cos) dạng tổng (hoặc hiệu). Ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho hiệu (hoặc tổng) các cung của chúng bằng nhau, tức là trong trường hợp này để ý (x + 4x) = 5x và (2x + 3x ) = 5x . Tại sao phải ghép như vậy ? Lý do rất đơn giản, chúng ta cần những "thừa số chung" để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng phương trình tích số. Bài giải tham khảo 3x 5x x cos + 2 cos cos = 0 (∗) ⇔ (cos x + cos 4x ) + (cos 2x + cos 3x) = 0 ⇔ 2 cos 5x 2 2 2 2 ⇔ 2 cos 5x  3x x 5x x + cos  = 0 ⇔ 4 cos cos x cos = 0 cos 2  2 2  2 2   cos 5x = 0  2  ⇔  cos x = 0 ⇔  x   cos = 0  2 - 14 -   5x = π + kπ 2 2  π  x = + lπ ⇔  2  x π  = + mπ  2 2   x = π + k2π  5 5  π  x = + lπ (k; l; m ∈ ℤ) .  2   x = π + 2mπ   www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 3 (∗) . 2 Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2000 Bài 15. Giải phương trình: sin2 x + sin2 2x + sin2 3x = Lời bình: Với những phương trình có những hạng tử bậc hai theo sin và cos, ta thường dùng công thức hạ bậc để bài toán trở nên đơn giản hơn. Bài giải tham khảo (∗) ⇔ 21 (1 − cos 2x) + 21 (1 − cos 4x) + 21 (1 − cos 6x ) = 23 ⇔ (cos 2x + cos 6x ) + cos 4x = 0 ⇔ 2 cos 4x cos 2x + cos 4x = 0 ⇔ cos 4x (2 cos 2x + 1) = 0  π cos 4x = 0  4x = + kπ   2 ⇔ ⇔ ⇔ cos 2x = cos 2π 2π  + l2π  2x = ± 3 3    x = π + kπ  8 4  π   x = ± + lπ 3  Bài 16. Giải phương trình: sin2 x + sin2 2x + sin2 3x = 2 (k, l ∈ ℤ) . (∗) . Trích đề thi tuyển sinh Đại học Sư Phạm Kĩ Thuật Tp. HCM khối A năm 2001 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ 21 (1 − cos 2x) + 21 (1 − cos 4x ) + 21 (1 − cos 6x) = 2 1 1 ⇔ − (cos 2x + cos 4x + cos 6x ) = ⇔ (cos 2x + cos 6x ) + (cos 4x + 1) = 0 2 2 2 ⇔ 2 cos 4x cos 2x + 2 cos 2x = 0 ⇔ 2 cos 2x (cos 4x + cos 2x ) = 0  x =     cos x = 0 ⇔ 4 cos 2x cos 3x cos x = 0 ⇔  cos 2x = 0 ⇔  x =     cos 3x = 0 x =  π + kπ 2 π π +l 4 2 π π +m 6 3 Bài 17. Giải phương trình: sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos2 4x (k, l, m ∈ ℤ) . (∗) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1999 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ 21 (1 − cos 2x) + 21 (1 − cos 6x) = 21 (1 + cos 4x ) + 21 (1 + cos 8x) ⇔ −(cos 2x + cos 6x ) = cos 4x + cos 8x ⇔ −2 cos 4x cos 2x = 2 cos 6x cos 2x ⇔ 2 cos 2x (cos 6x + cos 4x ) = 0 ⇔ 4 cos 2x cos 5x cos x = 0  cos x = 0  π  π π π mπ   ; (k, l, m ∈ ℤ) . ⇔  cos 2x = 0 ⇔ x =  + kπ ∨ x =  + l  ∨ x =  +  2  4 10 2  5    cos 5x = 0 “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 15 - Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Bài 18. Giải phương trình: sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x (∗) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2002 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ 21 (1 − cos 6x) − 21 (1 + cos 8x) = 21 (1 − cos10x) − 21 (1 + cos12x ) ⇔ cos 6x + cos 8x = cos10x + cos12x ⇔ 2 cos 7x cos x = 2 cos11x cos x   x = π + kπ  2   cos x = 0 lπ  ⇔ cos x (cos 7x − cos11x ) = 0 ⇔  ⇔ x = − (k, l, m ∈ ℤ) . 2   cos 7x = cos11x  mπ x = 9   π 5x  9x Bài 19. Giải phương trình: cos 3x + sin 7x = 2sin 2  +  − 2 cos2 (∗)  4 2  2 Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thể Dục Thể Thao năm 2001 Bài giải tham khảo π  (∗) ⇔ cos 3x + sin 7x = 1 − cos  2 + 5x − 1 − cos 9x ⇔ cos 3x + sin 7x = sin 5x − cos 9x   ⇔ cos 3x + cos 9x + sin 7x − sin 5x = 0 ⇔ 2 cos 6x cos 3x + 2 cos 6x sin x = 0  x = π + k π   cos 6x = 0 12 6   π    ⇔ cos 6x (cos 3x + sin x ) = 0 ⇔  (k, l, m ∈ ℤ) .  π + x ⇔  x = 4 + lπ cos 3x = cos      2  π mπ  x = − +  8 2 Bài 20. Giải phương trình: sin2 x = cos2 2x + cos2 3x (∗) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1998 Bài giải tham khảo 2x 1 + cos 4x 1 + cos 6x = + ⇔ (cos 2x + cos 4x ) + (1 + cos 6x ) = 0 (∗) ⇔ 1 − cos 2 2 2 ⇔ 2 cos 3x cos x + 2 cos 3x = 0 ⇔ 2 cos 3x (cos x + cos 3x ) = 0 2  x =   cos x = 0    ⇔ 4 cos 3x cos 2x cos x = 0 ⇔  cos 2x = 0 ⇔  x =     cos 3x = 0 x =  - 16 - π kπ + 6 3 π lπ + ⇔ 4 2 π + mπ 2  x =    x =  π kπ + 6 3 (k, l, m ∈ ℤ) . π lπ + 4 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Bài 21. Giải phương trình: 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x (∗) Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm khối A năm 2007 7x + x = 4x , ta có thể định 2 hướng nhóm (sin 7x − sin x ) , 2 sin2 2x − 1 lại với nhau, để sau khi dùng công thức Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung (x ), (2x ), (7x ) và nhận xét ( ) tổng thành tích và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được phương trình tích số đơn giản hơn. Bài giải tham khảo (∗) ⇔ (sin 7x − sin x ) − (1 − 2 sin 2 ) 2x = 0 ⇔ 2 cos 4x sin 3x − cos 4x = 0 cos 4x = 0  ⇔ cos 4x (2 sin 3x − 1) = 0 ⇔  ⇔ sin 3x = 1  2   x = π + k2π  18 3   x = 5π + l2π  18 3  (k, l ∈ ℤ) . Bài 22. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x (∗) Bài giải tham khảo (∗) ⇔ (sin x + sin 3x) + sin 2x = (1 + cos 2x) + cos x ⇔ 2 sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos2 x + cos x ⇔ sin 2x (2 cos x + 1) − cos x (2 cos x + 1) = 0 ⇔ (2 cos x + 1)(sin 2x − cos x ) = 0 ⇔ (2 cos x + 1)(2 sin x cos x − cos x ) = 0   x = π + kπ   2  cos x = 0  π       x = + l2π 1 6 ⇔ cos x (2 sin x − 1)(2 cos x + 1) = 0 ⇔  sin x = ⇔  (k, l, m, n ∈ ℤ) .   5π 2  x = + m2π  cos x = − 1  6   2   x = ± 2π + n2π  3  (∗) Bài 23. Giải phương trình: sin 3 x cos 3x + cos3 x sin 3x = sin 3 4x Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1999 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ sin x (4 cos 3 3 ) ( ) x − 3 cos x + cos3 x 3 sin x − 4 sin 3 x = sin 3 4x ⇔ 4 sin3 x cos3 x − 3 sin3 x3 cos x + 3 cos3 x sin x − 4 cos3 x sin3 x = sin3 4x ⇔ 3 sin x cos x (cos2 x − sin2 x ) = sin 3 4x ⇔ 3 3 sin 2x cos 2x = sin 3 4x ⇔ sin 4x = sin 3 4x 2 4 ⇔ 3 sin 4x − 4 sin 3 4x = 0 ⇔ sin12x = 0 ⇔ 12x = kπ ⇔ x = “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com kπ , (k ∈ ℤ ) . 12 - 17 - Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Bài 24. Giải phương trình: cos10x + 2 cos2 4x + 6 cos 3x cos x = cos x + 8 cos x cos 3 3x (∗) Bài giải tham khảo (∗) ⇔ cos10x + (1 + cos 8x ) = cos x + 2 cos x (4 cos 3x − 3 cos 3x ) ⇔ (cos10x + cos 8x ) + 1 = cos x + 2 cos x cos 9x 3 ⇔ 2 cos 9x cos x + 1 = cos x + 2 cos x cos 9x ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k2π, (k ∈ ℤ) . Bài 25. Giải phương trình: 4 sin 3 x + 3 cos3 x − 3 sin x − sin2 x cos x = 0 (∗) Bài giải tham khảo (∗) ⇔ sin x (4 sin ) ( ) ⇔ sin x (4 sin x − 3) − cos x  sin x − 3 (1 − sin x ) = 0   ⇔ (4 sin x − 3)(sin x − cos x ) = 0 2 x − 3 − cos x sin2 x − 3 cos2 x = 0 2 2 2 2 ⇔ 2 (1 − cos 2x ) − 3 (sin x − cos x ) = 0     x = ± 2π + kπ  3 (k;l ∈ ℤ) .  π  x = + lπ  4    cos 2x = − 1 = cos 2π 2x = ± 2π + k2π ⇔ ⇔ 2 3 ⇔  3  sin x = cos x tan x = 1   Bài 26. Giải phương trình: (2 sin x + 1)(3 cos 4x + 2 sin x − 4) + 4 cos2 x = 3 (∗) Bài giải tham khảo (∗) ⇔ (2 sin x + 1)(3 cos 4x + 2 sin x − 4) + 4 (1 − sin x) − 3 = 0 ⇔ (2 sin x + 1)(3 cos 4x + 2 sin x − 4) + (1 − 2 sin x )(1 + 2 sin x ) = 0 ⇔ (2 sin x + 1)(3 cos 4x + 2 sin x − 4 + 1 − 2 sin x ) = 0 ⇔ 3 (cos 4x − 1)(2 sin x + 1) = 0 2   4x = k2π  cos 4x = 1   π  ⇔ ⇔ x = − + l2π ⇔ 1  sin 2x = − 6   2 7 π  + m2π x = 6    x = kπ  2   x = − π + l2π  6   7π + m2π x =  6 ( (k; l;m ∈ ℤ) . Bài 27. Giải phương trình: sin 6 x + cos6 x = 2 sin 8 x + cos 8 x ) (∗) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Hà Nội Khối B năm 1999 - 18 - www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Bài giải tham khảo (∗) ⇔ sin 6 ( ) ( ) x − 2 sin 8 x + cos6 x − 2 cos8 x = 0 ⇔ sin 6 x 1 − 2 sin2 x − cos6 x 2 cos2 x − 1 = 0 ( ) ⇔ sin 6 x cos 2x − cos6 x cos 2x = 0 ⇔ cos 2x sin 6 x − cos6 x = 0 cos 2x = 0  cos 2x = 0  ⇔ 6 ⇔  ⇔ 6 sin x = cos x  tan x = ±1   x = π + kπ  4 2 ⇔ x = π + kπ , ( k ∈ ℤ ) .  4 2  x = ± π + kπ  4  5 cos 2x (∗) 4 Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương Tp.HCM khối D 2000 ( ) Bài 28. Giải phương trình: sin 8 x + cos8 x = 2 sin10 x + cos10 x + Bài giải tham khảo 5 cos 2x = 0 4 5 ⇔ cos8 x 2 cos2 x − 1 − sin 8 x 1 − 2 cos2 x + cos 2x = 0 4  5 5 ⇔ cos8 x.cos 2x − sin 8 x cos 2x + cos 2x = 0 ⇔ cos 2x cos8 x − sin 8 x +  = 0  4 4  (∗) ⇔ (2 cos 10 ) ( ) x − cos8 x − sin 8 x − 2 sin10 x + ( ) (  cos 2x = 0 ⇔ 8 ⇔ cos x − sin 8 x + 5 = 0  4 )  2x = π + kπ  2   sin 8 x = cos8 x + 5 > 1  4  ⇔x= (VN) ( Bài 29. Giải phương trình: sin 3 x + cos3 x = 2 sin 5 x + cos5 x π kπ + , (k ∈ ℤ ) . 4 2 ) (∗) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc gia Hà Nội khối D 1998 Bài giải tham khảo Cách giải 1 (∗) ⇔ (sin 3 ) ( x ) − cos x (2 cos ) x − 2 sin 5 x − 2 cos5 x + cos3 x = 0 ( ⇔ sin 3 x 1 − 2 sin2 3 2 ) x − 1 = 0 ⇔ sin 3 x cos 2x − cos3 x cos 2x = 0  cos 2x = 0 π mπ ⇔ cos 2x sin x − cos x = 0 ⇔  ⇔x= + , (m ∈ ℤ ) . 3 4 2  tan x = 1 Cách giải 2 ( (∗) ⇔ (sin 3 3 3 ) )( ) x + cos3 x sin2 x + cos2 x − 2 sin 5 x − 2 cos5 x = 0 ( ) ( x ) − cos x (cos ) ⇔ sin 3 x cos2 x − sin 5 x − cos5 x − cos3 sin2 x = 0 ( ⇔ sin 3 x cos2 x − sin2  cos 2x = 0  ⇔ 3 ⇔ 3  sin x − cos x = 0 “Cần cù bù thông minh…………” 3 2 ) ( ) x − sin2 x = 0 ⇔ cos 2x sin 3 x − cos3 x = 0   cos 2x = 0 ⇔ x = π + mπ , (m ∈ ℤ) .  tan 3 x = 1 4 2  www.DeThiThuDaiHoc.com - 19 - Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Bài 30. Giải phương trình: 3 cos4 x − 4 cos2 x sin2 x + sin 4 x = 0 (∗) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Tp.HCM 1998 – 1999 đợt 1 Bài giải tham khảo  1 + cos 2x 2  1 − cos 2x 2 2  (∗) ⇔ 3  2  − sin 2x +  2  = 0     ( ) ( ) ( ) ⇔ 3 1 + 2 cos 2x + cos2 2x − 4 1 − cos2 2x + 1 − 2 cos 2x + cos2 2x = 0 ⇔ 8 cos2 2x + 4 cos 2x = 0 ⇔ 4 cos 2x (2 cos 2x + 1) = 0   cos 2x = 0  x = π + k π ≡ ± π + kπ   4 2 4 ⇔ ⇔  cos 2x = − 1 π    x = ± + mπ 2 3  Cách khác (k, m ∈ ℤ) . Do cos x = 0 hay sin x = 1 không là nghiệm của phương trình (∗) Chia hai vế của (∗) cho cos4 x , ta được: t2 − 4t + 3 = 0  2 4 3 4 tan x tan x 0 ∗ ⇔ − + = ⇔ ()  t = tan2 x ≥ 0   t = 1   tan x = ±1  tan2 x = 1    ⇔  t = 3 ⇔  ⇔ ⇔  2  tan x = 3 tan x = ± 3   2   t = tan x   x = ± π + kπ  4 (k, m ∈ ℤ) .  π  x = ± + mπ  3  Bài 31. Giải phương trình: cos 3x cos 3 x − sin 3x sin 3 x = 2−3 2 8 (∗) Bài giải tham khảo Lời bình: Ta nhận thấy trong phương trình có chứa cos 3x lẫn sin 3x , nếu ta sử dụng công thức nhân ba để khai triễn cũng đi đến kết quả cuối cùng, nhưng nó tương đối phức tạp. Chính vì thế, ở đây ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích thành tổng có xuất hiện số 1 2−3 2 nhằm tối giản được với số phức tạp bên vế phải của phương trình. 2 8 (∗) ⇔ (cos 3x cos x ) cos ⇔ 2 x − (sin 3x sin x ) sin2 x = 2−3 2 8 1 1 2−3 2 cos 4x + cos 2x ) cos2 x − (cos 2x − cos 4x ) sin2 x = ( 2 2 8 ⇔ cos 4x cos2 x + cos 2x cos2 x − cos 2x sin2 x + cos 4x sin2 x = ( ) ( ) ⇔ cos 4x cos2 x + sin2 x + cos 2x cos2 x − sin2 x = - 20 - 2−3 2 4 2−3 2 4 www.DeThiThuDaiHoc.com
- Xem thêm -