Tài liệu Phuong_trinh_luong_giac_4277

Nguyễn Vũ Minh [email protected] Lượng Giác Lượng Giác αααααααα A. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC VẤN ĐỀ CÓ LIÊN QUAN : 1) Hàm số lượng giác :  Vòng tròn lượng giác : Vòng tròn tâm ,bán kính R = 1 ,chiều dương ngược chiều kim đồng hồ ( trong hệ trục Oxy )  4 hàm số lượng giác : y = sinx ( Oy ) , y = cosx ( Ox ) , y = tanx , y = cotx  1  sin  , cos   1 và   tan  , cot     2 (2)  (1) 0 O (3) 2) Tính tuần hoàn : Sin (x + k.2  ) = sinx Cos (x + k.2  ) = cosx (4) 2 3 2 Tan Cot (x + k.  ) = tanx (x+k.  ) = cotx Hàm six ,cosx tuần hoàn với chu kì 2  , hàm tanx ,cotx tuần hoàn với chu kì  3) Hệ thức cơ bản : sin  cos  tan   cot   sin 2   cos 2   1 ; ; cos  sin  1   cot   tan  tan  .cot   1    tan   1  cot  1  1  tan 2  2 cos  ; 4) Dấu của các giá trị Lượng Giác : Trong cung phần tư sin x  0 cos x  0  thứ (1) :  tan x  0 cot x  0 0914449230 1  1  cot 2  2 sin  Trong cung phần tư sin x  0 cos x  0  thứ (2) :  tan x  0 cot x  0 1 Nguyễn Vũ Minh [email protected] Trong cung phần tư sin x  0 cos x  0  thứ (3) :  tan x  0 cot x  0 5) Các cung liên kết :  Hai cung đối nhau :  x & x cos(  x)  cos x sin(  x )   sin x tan(  x)   tan x cot(  x )   cot x  Hai cung bù nhau : x &   x sin(  x )  sin x Lượng Giác Trong cung phần tư sin x  0 cos x  0  thứ (3) :  tan x  0 cot x  0 cos(  x )   cos x tan(  x )   tan x cot(  x)   cot x  Hai cung phụ nhau : x &  x 2   sin   x   cos x 2    cos   x   sin x 2    tan   x   cot x 2    cot   x   tan x 2   Hai cung hơn   : x&  x 2 2   sin   x   cos x 2    cos   x    sin x 2    tan   x    cot x 2    cot   x    tan x 2  Chú ý : Đối với sin và cos : chẵn trước 0914449230  bỏ ; lẻ 2  bỏ ,thêm dấu  ở Nguyễn Vũ Minh [email protected] Đối với tan và cot : chẵn hay lẻ  Lượng Giác ta bỏ vô tư ko cần thêm gì nữa B. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC :  CÔNG THỨC CỘNG : HỆ QUẢ : sin(a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b tan(a  b)     sin a  cos a  2 sin  a  4      cos a  sin a  2 cos  a       4  tan a  tan b 1  tan a.tan b  CÔNG THỨC NHÂN :  Nhân đôi : sin 2 x  2sin x.cos x cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x  1  1  2sin 2 x 2 tan x tan 2 x  1  tan 2 x  Nhân ba : sin 3x  3sin x  4sin 3 x  Tổng thành Tích : a b a b cos a  cos b  2 cos .cos 2 2 a b ab cos a  cos b  2sin .sin 2 2 a b ab sin a  sin b  2sin .cos 2 2 ab a b sin a  sin b  2 cos .sin 2 2 nhận xét : cos 3 x  4 cos 3 x  3cos x ;  Tích Thành Tổng : 1 cos  .cos   [cos(   )  cos(   )] 2 1 sin  .sin    [cos(   )  cos(   )] 2 1 sin  .cos   [sin(   )  sin(   )] 2 1 cos  .sin   [sin(   )  sin(   )] 2 ab a b đứng trước, 2 2 đứng sau  CÔNG THỨC HẠ BẬC : 1  cos 2 x sin 2 x  2 C. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC : cos2 x  ;  Phương trình Lượng Giác cơ bản : u  v  k 2 sin u  sin v   (k  Z ) u    v  k 2   cosu  cosv u v  k2,(k Z) 0914449230 3 1  cos 2 x 2 Nguyễn Vũ Minh [email protected] Lượng Giác tan u  tan v    u  v  k ;( k  Z ) cot u  cot v  Chú ý : khi giải ta cần qui về cơ bản nếu ko gặp dạng này khi gặp phương trình dạng : cos u   cos v đưa về cos u  cos(  v) ; sin u   sin v đưa về sin u  sin(v) ; cot u   cot v đưa về cot u  cot(v) tan u   tan v đưa về tan u  tan(v )  Phương trình bậc 2 ( hoặc cao hơn ) đối với hàm số LG :  a.sin 2 x  b.sin x  c  0  a.cos 2 x  b.cos x  c  0 Dạng :  , Cách giải : đặt 2 a .tan x  b .tan x  c  0   a.cot 2 x  b.cot x  c  0  2 t  sin x, (1  t  1) t  cos x,(1  t  1)   t  tan x, (t  R) t  cot x, (t  R) Pt cho sẽ trở thành : a.t  b.t  c  0  t   Phương trình đối xứng với sinx và cosx : a.sin u  b cos u  c ; đk có nghiệm : a Đặt thức : a a 2  b2  cos   a .sin u   b2  c 2 b cos u  c a 2  b2 a 2  b2 a 2  b2 b  sin  , bằng tư duy ta đưa về công a 2  b2 sin(a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b tức là sin u.cos   cos u.sin   0914449230 2 a 2  b2 Cách giải : chia 2 vế phương trình cho Phương trình cho trở thành : x c a2  b2 4 sau đó giải bình thường  sin(u   )  c a 2  b2 Nguyễn Vũ Minh [email protected] Lượng Giác  Phương trình đẳng cấp đối với sinx & cosx : a.sin 2 u  b.sin u.cos u  c.cos 2 u  d (1) sin 2u  2sin u.cos u  Cần nhớ :  1 2  cos2 u  1  tan u Cách giải1 : 2 o Xét cos x  0  sin x  1 , nếu VT = VP thì cosx = 0 là 1 nghiệm của pt, nếu ko thỏa thì cosx = 0 ko fải là nghiệm 2 o Xét cos x  0 , chia 2 vế phương trình (1) cho cos x và nhớ d  d .(1  tan 2 x ) hay d  d (sin 2 x  cos 2 x ) , sau đó đưa về 2 cos x phương trình bậc 2 theo tanx và giải Cách giải2 : 1  cos 2 x sin 2 x 1  cos 2 x a.  b.  c.  d  A.sin 2 x  B cos 2 x  C ( đã học , 2 2 2 dùng trong biện luận nghiệm nhiều hơn )  Phương trình chứa tổng và tích : a.(sin u  cos u )  b sin u.cos u  c  0  Cách giải : đặt t  sin u  cos u  2 sin(u  ) ,đk  2  t  2 sau đó bình 4 phương và rút sin u.cos u theo t và thế vào pt giải bình thường sẽ có nghiệm t  Phương trình quy về dạng tích : A  0 A.B.C  0   B  0 C  0  Phương trình tổng bình phương : A  0 A2  B 2  0   B  0 0914449230 5 Nguyễn Vũ Minh [email protected] Lượng Giác  Phương pháp đối lập (chặn trên và chặn dưới) : A  M A  M  B  M   B  M A  B   sin u  1  cos v  1 Lưu ý dạng sin u.cos v  1    sin u  1   cos v  1 Trong quá trình làm bài tập sẽ có nhiều dạng khác ,đòi hỏi kĩ năng và kinh nghiệm của các em… Bài Tập Lượng Giác A.Phương trình cơ bản :  3  1 1) sin(2 x  )  2) cos(2 x  )  3 2 3 2 1 1 5) sin( x  20o )  6) sin( x  2)  2 3 9) tan(4 x  2)  3  2 3) sin(2 x  )   4 2 1 7) tan 3 x   3 3x 10) sin(2 x  1)  sin( x  3) 11) sin 1 5 4) sin 5 x  sin 3x 8) tan(3x  12o )  tan 60o 12) cot 3 2 x  1  15) sin(2 x  )   sin x 3 4 16) sin 2 x  cos 3x  0 17) cos x  1 18) 2sin 3 x  3  0  1 19) sin 2 x  sin 2 2 x  1 20) 3 tan 2 x  3  0 21) sin(2 x  )  3 2 22) cos 3x  s in4x  0 23) 4sin x.cos x.cos 2 x  1 24) 16sin x.cos x.cos 2 x cos 4 x  2 1  3 x  25) sin 2 2 x  26) cos2 ( x  30o )  1 27) cos2 ( x  )  28) 2sin(  )  3 4 6 4 3 4 29) cos 2 x  sin x B.Đặt ẩn phụ : 1) 2cos2 x  3cos x  5  0 2) tan 2 x  2 tan x  3  0 3) 2 cos 2 x  cos x  1 2 2 4) 2sin 2 x  5sin 2 x  3  0 5) 2cos x  3cos x  5  0 6) 4sin x  4  cos 2 x 3 x 7)  4 tan x 8) 2cos2 5 x  3cos 5 x  1  0 9) 5cos x  2sin  3  0 2 cos x 2 2 2 2 10) 4cos x  2( 3  1) cos x  3  0 11) tan x  (1  3) tan x  3  0 12) cot x  4 cot x  3  0 13) tan 4 x  4 tan 2 x  3  0 14) cos 2 x  9 cos x  5  0 15)  cos 2 x  sin x  1  0 1 16) sin 3x  cos 2 x  1  2 sin x cos 2 x 17) sin 2 2 x   sin 2 x 18) cos3 x  cos2 x  2sin 2 x  2  0 2 C.Phương trình đối xứng : 1) sin x  3 cos x  1 2) 3 sin 3 x  cos 3 x  2 3) cos x  3 sin x  2 13) 2sin 7 x  3  0 0914449230 14) cos 4 x  cos 3 x  0 6 Nguyễn Vũ Minh [email protected] 4) 2sin x  2cos x  2  0 Lượng Giác 6) sin 2 x  sin 2 x  5) 3sin 2 x  3 cos 2 x  1  7) sin(  2 x )  3 sin(  2 x )  1 2 8) 2sin 2 x  3 sin 2 x  3 10) sin 3x  3 cos 3 x  2sin 2 x ( KA Cao Đẳng – 2008 ) D.Phương trình đẳng cấp : 1) 2sin 2 x  sin x cos x  3cos 2 x  0 3) 2sin 2 2 x  5sin 2 x cos 2 x  cos 2 2 x  2 5) 2cos2 x  3 3 sin 2 x  4sin 2 x  4 1 2 9) sin 4 x  cos 4 x  1 11) sin x cos x  cos 2 x  2 1 2 2) 3sin 2 x  2sin 2 x  5cos 2 x  2 1 4) sin 2 x  sin 2 x  2cos 2 x  2 2 6) 3sin x  4sin 2 x  (8 3  9) cos 2 x  0 7) 2sin 2 x  (3  3) sin x cos x  ( 3  1) cos 2 x  1 E.Phương trình chứa tổng (hiệu) và tích : 1) 3(sin x  cos x)  2sin 2 x  3  0 2) sin x  cos x  4sin x cos x  1  0 3) 6(sin x  cos x)  sin x cos x  6 4) (2  2)(sin 2 x  cos 2 x)  2sin 2 x cos 2 x  2 2  1 5) 2sin 2 x  3 3(sin x  cos x)  8  0 6) (1  2)(1  sin x  cos x)  sin 2 x F.Bài tập tổng hợp : Bài 1 : giải các phương trình LG sau 2cos 2 x 1  sin 2 x 1) 0 2) cos 2 x. tan x  0 3) sin 3x  cos 5 x  0 4) 1  tan 2 x  1  sin 2 x cos2 2 x 5) tan 3 x  tan 2 x  3tan x  3 6) sin 2 x  2cos 2 x  3  7 cos 2 x  0 7) cos 9 x  2 cos 6 x  2 x  3  8) 4cos x  cos2 3 x 9) cos3 x  cos2 x  4 cos2  0 10) cos   x   2 sin( x   ).cos x 2  2  5 11) sin 4 x  cos4 x  12) 2sin 3 x  cos 2 x  sin x  0 13) 4(sin 4 x  cos 4 x)  3 sin 4 x  2 8 sin x  2     14)  1 ; 15) cos x  sin 2 x  0 ; 16) cos 2  x    cos 2  2 x    cos 2  3 x    3.cos 1  cos 2 x 2 2 2 6    17) cos x  cos 2 x  cos 3x  cos 4 x  0 ; 18) 6sin x  2 cos x ;19) sin 2 x  sin 2 3 x  cos 2 2 x  cos 2 4 x Bài 2 : Tổng hợp các đề thi ĐH gần đây : 1) cos 3x  2 cos x  2 ( ĐH Cảnh Sát Nhân Dân )  cos x  0  2) 1  cos x  cos 2 x  cos 3 x  0 ( ĐH Nông Lâm – 2001 ) ĐS :  cos x  1   cos x  1 2 5  3) sin 5 x  cos  x    sin  2 x   ( ĐH An Giang – 2001 ) 2    2 2 4)  sin x  cos x   3 cos x  2 ( KD – 2006 ) 2 2   0914449230 7 Nguyễn Vũ Minh [email protected] Lượng Giác 1 ( ĐH Nông Nghiệp – 2000 ) cos x 6) sin 2 x  2 tan x  3 ( ĐH Bách Khoa Hà Nội – 2001 ) 7) sin 2 x  sin 2 3x  3cos2 2 x ( ĐH Tài Chính Kế Toán Hà Nội – 2001 ) 8) tìm nghiệm x  [0;14] của pt : cos 3x  4 cos 2 x  3cos x  4  0 ( KD – 2002 )  3 5 7  ĐS:  , , ,  2 2 2 2    9) sin 2 3 x  cos2 4 x  sin 2 5 x  cos 2 6 x ( KB – 2002 ) ĐS : x  k  x  k 8 9 5  7     10) tìm nghiệm x  [ ;3 ] của phương trình : sin  2 x    3cos  x    1  2sin x 2 2  2    11) sin x  sin 2 x  sin 3 x  0 ( ĐH Kiến Trúc – 2000 )     12) sin  3 x    sin 2 x.sin  x   ( Bưu Chính Viễn Thông – 1999 ) HD : biến VP thành tổng 4 4   ĐS : x    k  5) 2cos 2 x  8cos x  7  4 13) 14) 15) 16) sin 4 x  0 sin 5 x cos 5 x  HD : pt    cos 2 x  0 sin x cos x sin 2 x  0 cos 2 x 1 cot x  1   sin 2 x  sin 2 x ( KA – 2003 ) 1  tan x 2 2 cot x  tan x  4sin 2 x  ( KB – 2003 ) sin 2 x x x  sin 2    .tan 2 x  cos 2  0 ( KD – 2003 ) 2 2 4 2 5sin x  2  3(1  sin x).tan x ( KB – 2004 ) (2cos x  1)(2sin x  cos x)  sin 2 x  sin x ( KD – 2004 ) 17) 18) 19) cos2 3x.cos 2 x  cos2 x  0 ( KA – 2005 ) 20) 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0 ( KB – 2005 )   3   21) cos4 x  sin 4 x  cos  x   .sin  3x     0 ( KD – 2005 ) 4 4 2   6 6 2(cos x  sin x )  sin x cos x 22)  0 ( KA – 2006 ) 2  2sin x 23) cos 3x  cos 2 x  cos x  1  0 ( KD – 2006 ) 24) (1  sin 2 x ) cos x  (1  cos2 x) sin x  1  sin 2 x ( KA – 2007 ) 25) 2sin 2 2 x  sin 7 x  1  sin x ( KB – 2007 ) 1 1  7  26)   4sin   x  ( KA – 2008 ) 3  sin x    4  sin  x   2   3 3 27) sin x  3 cos x  sin x cos 2 x  3 sin 2 x cos x ( KB – 2008 ) 28) 2sin x(1  cos 2 x)  sin 2 x  1  2 cos x ( KD – 2008 ) 29) cos3 x  sin 3 x  sin x  cos x ( ĐH Đà Nẵng – Khối A + D – 99 ) 0914449230 8 2 Nguyễn Vũ Minh [email protected] Lượng Giác 2 ( ĐH Ngoại Thương TPHCM – KD – 97) sin 2 x 31) tan x  cot x  4 ( ĐH An Ninh + ĐH Cảnh Sát – KA – 97) 30) 2 tan x  cot x  3  32) 5  3sin 2 x  4 cos x  1  2 cos x ( ĐH Hàng Hải – Cơ Sở 2 – 96) 33) cos3 x  sin x  3sin 2 x.cos x  0 ( ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM – KB,D – 98) 34) sin 3x  2 cos 2 x  2  0 ( ĐH Đà Nẵng – KA – 97) 1 35) 3 sin x  cos x  ( ĐH An Ninh – 98) cos x 36) sin 2 x  sin 2 3 x  cos 2 2 x  cos 2 4 x ( ĐH Kinh Tế Quốc Dân – 99) 37) sin 3x  sin 2 x  5sin x (ĐH Y Hải Phòng – 2000) 38) 2 sin 2 x  cos 2 x  2 (ĐH Huế - KD – 99) 39) cos2 x  3 sin 2 x  1  sin 2 x ( ĐH Dân Lập Kỹ Thuật Công Nghệ - 2000) 40) cos 7 x.cos 5 x  3 sin 2 x  1  sin 7 x.sin 5 x ( ĐH Mỹ Thuật Hà Nội – 96) 41) 3sin 3x  3 cos 9 x  1  4sin 3 3 x ( ĐH Mỏ - Địa Chất – 95) 3 42) cos x  3 sin x  3  ( ĐH Dân Lập Phương Đông – 97) cos x  3 sin x  1 Bài 3 : định tham số m để pt sau đây có nghiệm : 1) (m  3) sin 2 x  (m  3) sin x cos x  cos 2 x  0 2) (5m  2) cos 2 x  (m  1)sin 2 x  1 3) (m 2  2) sin 2 x  4sin x cos x  m 2  3 ( HD : đưa về bậc nhất đối với sin, cos và dùng đk có nghiệm) Bài 4 :    7 1) Tìm các nghiệm của pt : sin x cos 4 x  sin 2 2 x  4sin 2     thỏa điều kiện x  1  3 4 2 2 2)Cho hai phương trình : 1  sin x (1) cos 2 x m(1  sin x)  sin 2 x  m2 (2) 1  tgx  Tìm m để mọi nghiệm của phương trình (1) cũng là nghiệm của phương trình (2) Bài 5 : bài tập chỉ thuần về các công thức tổng thành tích, tích thành tổng, hạ bậc : 1) cos x.cos 5 x  cos 2 x.cos 4 x 2) cos 5 x.sin 4 x  cos 3x.sin 2 x 3) sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x 3) sin x  sin 2 x  cos x  cos 2 x 2 2 2 2 4) sin 4 x  sin 3x  sin 2 x  sin x 5) cos2 x  cos2 2 x  cos2 3 x  cos2 4 x  2 0914449230 9