Tài liệu Phương trình liên hợp và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THU QUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THU QUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN HỌC TÍNH TOÁN Mã số : 60 46 30 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GIÁO SƯ TIẾN SĨ ĐẶNG QUANG Á Hà Nội - Năm 2013 Mục lục Lời cảm ơn iii Lời nói đầu iv 1 Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp 1.1 1.2 Bài toán liên hợp cho bài toán dừng một chiều 1 . . . . . . . . . . 1 Bài toán liên hợp của bài toán khuếch tán trong không gian một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định nghiệm của bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều 10 2.1 Bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Bài toán liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Sự tồn tại, tính ổn định và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . 16 2.3.1 Một số tập và không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.2 Sự tồn tại, tính ổn định và duy nhất nghiệm của bài toán 3 Giải số bài toán tràn dầu 18 24 3.1 Phương pháp xác định vị trí và thời gian tràn dầu . . . . . . . . . 24 3.2 Bài toán tràn dầu trong không gian một chiều . . . . . . . . . . . 29 3.3 3.2.1 Bài toán ban đầu và bài toán liên hợp . . . . . . . . . . . . 29 3.2.2 Lược đồ giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.3 Kết quả giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều . . . . . . . . . . . . 38 i MỤC LỤC 3.3.1 Bài toán ban đầu và bài toán liên hợp . . . . . . . . . . . . 38 3.3.2 Lược đồ giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.3 Kết quả giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 53 Phụ lục 54 ii Lời cảm ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của Giáo sư Tiến sĩ Đặng Quang Á. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn, nhiệt tình chỉ bảo cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô đang công tác tại Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện cho chúng tôi có môi trường học tập và nghiên cứu tốt. Tôi cũng vô cùng biết ơn các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa Cao học 2010 - 2012 đã dành nhiều công lao dạy dỗ trong thời gian chúng tôi học tập tại trường. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn cổ vũ, động viên tôi trong quá trình suốt quá trình học tập cũng như làm luận văn. Hà Nội, ngày 1 tháng 10 năm 2013 Học viên Nguyễn Thu Quyên iii Lời nói đầu Phương trình liên hợp đang ngày càng được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu toán học cũng như áp dụng trong các mô hình thực tiễn. Đặc biệt, phương pháp phương trình liên hợp có thể đưa ra rất nhiều ý tưởng mới cho việc giải các bài toán môi trường như phân tích mô hình biến đổi khí hậu hay nghiên cứu mức độ ô nhiễm môi trường nước, không khí,. . . Hiện nay đã có tài liệu trình bày về vấn đề áp dụng phương trình liên hợp trong bài toán môi trường nói chung và trong bài toán tràn dầu nói riêng như trong [2], [3], [7], [8]. Tuy nhiên, các kiến thức này tương đối trừu tượng và phần lớn các mô hình toán học cũng như sơ đồ tính toán còn mở. Do vậy, trước hết tác giả mong muốn những kiến thức cụ thể và gần gũi trong cuốn luận văn “Phương trình liên hợp và ứng dụng” sẽ là tài liệu hữu ích đối với những ai bắt đầu quan tâm đến đề tài Phương trình liên hợp. Bên cạnh đó, mục tiêu quan trọng của luận văn này là trình bày ứng dụng phương trình liên hợp vào bài toán tràn dầu với mô hình và thuật giải số cụ thể để giải bài toán này. Luận văn hướng tới việc giải cả hai bài toán thuận và bài toán ngược. Bài toán thuận là bài toán mô phỏng quá trình tràn dầu theo vị trí và thời gian. Bài toán ngược là bài toán xác định vị trí và thời gian xảy ra sự cố tràn dầu. Những tính toán này cho phép ta dự đoán chính xác nguồn phát ô nhiễm, quá trình lan truyền và mức độ ô nhiễm tại mọi thời điểm vào bất cứ thời gian nào. Từ những dự đoán này ta có thể đưa ra các phương án làm sạch mặt biển hay bảo vệ các khu vực sinh thái nhạy cảm. Ngoài phần mở đầu, kết luận, mã chương trình và danh mục các tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: - Chương 1: Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp. - Chương 2: Sự tồn tại, tính ổn định và duy nhất nghiệm của bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều. - Chương 3: Giải số bài toán tràn dầu. Vì trình độ cũng như thời gian nghiên cứu và viết luận văn có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót. Tác giả rất mong được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, đồng nghiệp và các bạn quan tâm đến vấn đề này để luận văn được hoàn thiện hơn. iv Chương 1 Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp Chương này trình bày những kiến thức cơ bản nhất về phương trình liên hợp như khái niệm phương trình liên hợp, cách xây dựng bài toán liên hợp cho bài toán dừng và bài toán khuếch tán để làm cơ sở cho các chương sau. Trong chương này ta cũng đề cập đến hàm độ nhạy và một ví dụ thể hiện tính ưu việt của việc giải bài toán nhờ vào phương trình liên hợp. 1.1 Bài toán liên hợp cho bài toán dừng một chiều Định nghĩa 1.1.1. Cho phương trình Lu = f, f ∈ H ≡ L2 (0, 1), trong đó L là toán tử vi phân xác định trên miền R1 d2 u 2 1 D(L) = {u ∈ C (0, 1) : u(0) = u(1) = 0; {( 0 dx ) +( 2 (1.1) du 2 ) + u(x)2 }dx < +∞ }. dx Khi đó phương trình L∗ v = p, p ∈ H ≡ L2 (0, 1) với L∗ là toán tử vi phân xác định trên miền R1 d2 v ∗ 1 (1.2) 2 dv 2 ) + v(x)2 }dx < +∞ } dx dx 0 được gọi là phương trình liên hợp của phương trình (1.1) nếu thoả mãn đẳng D(L ) = {v ∈ C (0, 1); v(0) = v(1) = 0; {( ) +( 2 thức Lagrange (Lu, v) = (u, L∗ v) 1 (1.3) Chương 1. Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp với u, v thỏa mãn (1.1), (1.2). Phương trình (1.1) được gọi là phương trình ban đầu. Bây giờ ta xét bài toán dừng một chiều  d2 φ dφ   = f (x), x ∈ (0, 1)  Lφ ≡ − 2 + dx dx φ(0) = φ(1) = 0    f ∈ H, φ ∈ D(L). (1.4) Ta có: d2 φ dφ ∗ (Lφ, φ∗ ) = (− 2 + ,φ ) = dx dx Z1 (− d2 φ dφ ∗ )φ dx + dx2 dx 0 = φφ∗ |10 + Z1 dφ dφ∗ dx − dx dx 1 φ dφ∗ dx dx 0 0 dφ∗  = φ∗ − dx 0 Z1 Z1 dφ∗ dx − φ dx Z1 φ d2 φ∗ dx. dx2 0 0 1 dφ∗  d2 φ∗ dφ∗ Đặt ≡− 2 − , khi đó (Lφ, φ∗ ) = φ∗ + (φ, L∗ φ∗ ). dx dx dx 0 Với giả thiết φ∗ (0) = φ∗ (1) = 0, ta có (Lφ, φ∗ ) = (φ, L∗ φ∗ ), tức là đẳng thức L∗ φ∗ Lagrange được thỏa mãn. Như vậy bài toán liên hợp của bài toán (1.4) là  ∗  dφ∗ d2 φ ∗ ∗   L φ ≡− 2 − = p(x), x ∈ (0, 1) dx dx ∗ (0) = φ∗ (1) = 0 φ    p(x) ∈ H, φ∗ ∈ D(L∗ ) . (1.5) Giả sử cần tính giá trị phiếm hàm Z1 J= p(x)φ(x)dx 0 với p(x) ∈ H tùy ý, chẳng hạn có thể chọn  p(x) = 1, 0 ≤ x ≤ 1 0, x ∈ / [0, 1]. 2 (1.6) Chương 1. Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp Ta có thể tính J thông qua việc giải bài toán gốc (1.4) hoặc dựa vào nghiệm của bài toán liên hợp (1.5). Thật vậy, nhân hai vế của (1.6) với φ∗ rồi lấy tích phân theo x trên [0, 1] ta có Z1 d2 φ dφ ∗ (− 2 + )φ dx = dx dx Z1 f (x)φ∗ dx. (1.7) 0 0 Nhân hai vế của (1.5) với φ rồi lấy tích phân theo x trên [0, 1] ta có Z1 d2 φ∗ dφ∗ ( 2 + )φdx = − dx dx 0 Z1 (1.8) p(x)φdx. 0 Cộng vế với vế của (1.7) và (1.8) ta được biểu thức Z1 d2 φ dφ ∗ (− 2 + )φ dx + dx dx Z1 0 d2 φ∗ dφ∗ ( 2 + )φdx = dx dx 0 Z1 f (x)φ∗ dx − 0 Z1 p(x)φdx 0 Z1 ∗ f (x)φ dx − ⇒ Z1 p(x)φdx = 0 0 0 Z1 ⇒ Z1 p(x)φdx = 0 f (x)φ∗ dx. 0 Như vậy ta có: Z1 Z1 p(x)φdx = J= 0 f (x)φ∗ dx. (1.9) 0 Phiếm hàm J được tính theo (1.9) được gọi là phiếm hàm độ nhạy. Tiếp theo ta sẽ tìm bài toán liên hợp của bài toán dừng trong trường hợp có nhiễu. Xét bài toán có nhiễu d2 φ0 dφ0 + + δg(x)φ0 = f 0 (x); x ∈ (0, 1) dx2 dx φ0 (0) = φ0 (1) = 0 − trong đó: f 0 (x) = f (x) + δf (x); δf, δg là các hàm nhiễu cho trước. 3 (1.10) Chương 1. Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp Khi đó, lời giải của bài toán (1.10) có dạng φ0 (x) = φ(x) + δφ(x), với φ(x) là nghiệm của bài toán (1.4). Tương ứng có phiếm hàm độ nhạy Jp0 = Jp + δJp , R1 với δJp = p(x)δφ(x)dx. 0 Ta cũng có thể tính δJp dựa vào nghiệm của bài toán liên hợp (1.5). Thật vậy, nhân hai vế của (1.10) với φ∗ , nhân hai vế của (1.5) với φ, lấy tích phân trên [0, 1] rồi cộng hai vế ta có R1 d2 φ0 ∗ dφ0 ∗ φ + δg(x)φ0 φ∗ − 2φ + dx dx  0 = R1 f 0 (x)φ∗ (x)dx − 0 R1  dx + R1  0 d2 φ∗ 0 dφ∗ 0 φ φ + dx2 dx  dx p(x)φ0 (x)dx. 0 Xét lần lượt hai vế của (1.11) dφ0 ∗ d2 φ0 φ + δg(x)φ0 φ∗ − 2 φ∗ + VT = dx dx  0  R1 d2 φ∗ 0 dφ∗ 0 tptp R1 = δgφ∗ φ0 dx φ + φ dx 2 dx dx 0 0 R1 VP = R1  f (x)φ∗ (x)dx − 0 ⇒VT = R1 p(x)φ(x)dx + R1 0 R1  dx+ δf (x)φ∗ (x)dx − 0 R1 δp(x)φ(x)dx 0 δf (x)φ∗ (x)dx − δJp 0 Suy ra R1 0 δgφ∗ φ0 dx = R1 δf (x)φ∗ (x)dx − δJp 0 ⇒ δJp = R1 δf (x)φ∗ (x)dx − 0 = R1 R1 δgφ∗ φ0 dx 0 φ∗ (x) [δf (x) − δg(x)φ0 (x)] dx. 0 Nhận thấy trong trường hợp không có nhiễu δg = 0 thì ta có Z1 δJp = δf (x)φ∗ (x)dx 0 4 (1.11) Chương 1. Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp Nếu giả thiết nhiễu nhỏ và xấp xỉ φ0 (x) = φ(x), khi đó ta có biểu thức nhiễu nhỏ: Z1 δJp = φ∗ (x) [δf (x) − δg(x)φ(x)] dx 0 1.2 Bài toán liên hợp của bài toán khuếch tán trong không gian một chiều Xét bài toán khuếch tán đơn giản  ∂φ ∂ 2φ   + σφ − µ 2 = Qδ(x − x0 )  Lφ ≡ ∂t ∂x φ(x, 0) = φ (x) 0    φ(x, t) = 0, x = ±∞. (1.12) trong đó φ là hàm bị chặn với mọi x ∈ (−∞, +∞). Ta có (Lφ, φ∗ ) ≡ ZT Z+∞ dt −∞ 0 ZT ⇔ ∂ 2φ ∂φ + σφ − µ 2 )dx = Q φ∗ ( ∂t ∂x Z+∞ ∂φ φ∗ dx + ∂t dt Z+∞ ⇔ φ∗ φ|t=T t=0 dx − −∞ ZT µ[ 0 Z+∞ 0 x=+∞ ∂φ∗  (φ −φ ) dt + ∂x ∂x x=−∞ ∗ ∂φ ⇔ RT −µ RT 0 0 dt +∞ R −∞ φ(− ∂ 2φ φ∗ µ 2 dx = Q ∂x ∂φ∗ dx + φ ∂t dt −∞ ZT dt φ∗ σφdx− −∞ ∂ 2 φ∗ φ 2 dx] = Q ∂x −∞ 0 ZT φ∗ (x0 , t)dt 0 +∞ R ∂ 2 φ∗ ∂φ∗ t=T + σφ∗ − µ 2 )dx + φφ∗ |t=0 dx ∂t ∂x −∞ x=+∞ RT ∂φ ∂φ∗  (φ∗ −φ ) dt = Q φ∗ (x0 , t)dt. ∂x ∂x x=−∞ 0 5 φ∗ (x0 , t)dt Z+∞ Z+∞ dt ZT 0 0 ZT −∞ −∞ 0 ZT φ∗ δ(x − x0 )dx Z+∞ dt −∞ 0 Z+∞ φ∗ σφdx − dt ZT Z+∞ dt 0 ZT −∞ 0 ZT Chương 1. Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp Giả thiết φ∗ (x, t) = 0 tại x = ±∞ khi đó ta có ZT Z+∞ dt 0 Z+∞ ∂ 2 φ∗ ∂φ∗ + σφ∗ − µ 2 )dx + φ(− ∂t ∂x −∞ (φT φ∗T − φ0 φ∗0 )dx = Q −∞ ZT φ∗ (x0 , t)dt 0 (1.13) Đặt L∗ φ∗ = − ∂φ∗ ∂t + σφ∗ − µ ∂ 2 φ∗ ∂x2 và giả thiết φ∗T = φ∗ (x, T ) = 0, khi đó (1.13) tương đương biểu thức: (L∗ φ∗ , φ) ≡ Z+∞ ZT φL∗ φ∗ dx = Q dt −∞ 0 ZT Z+∞ φ∗ (x0 , t)dt + φ0 φ∗0 dx. −∞ 0 Nếu φ0 (x) = φ(x, 0) = 0 thì đẳng thức Lagrange (Lφ, φ∗ ) = (φ, L∗ φ∗ ) được thỏa mãn. Như vậy ta có bài toán liên hợp của bài toán (1.12):  ∂ 2 φ∗ ∂φ∗   + σφ∗ − µ 2 = p(x, t)  L∗ φ∗ ≡ − ∂t ∗ (x, T ) = 0 φ    φ∗ (x, t) = 0, x = ±∞. Đặt J = RT dt 0 +∞ R ∂x (1.14) φpdx ta có: −∞ ZT Z+∞ dt J= 0 ∗ ∗ ZT φL φ dx = Q −∞ ∗ Z+∞ φ (x0 , t)dt + 0 φ0 φ∗0 dx (1.15) −∞ Hàm J được gọi là hàm độ nhạy. Đối với bài toán truyền tải, chẳng hạn như bài toán truyền tải vật chất ô nhiễm thì hàm J là hàm thể hiện nồng độ chất ô nhiễm tại vị trí x tại thời điểm t. Nếu như ta chỉ quan tâm đến giá trị hàm J mà không cần quan tâm đến lời giải bài toán ban đầu, thì có thể tính J thông qua hàm liên hợp ứng với các giá trị hàm p(x, t) khác nhau. Như vậy, để tính J ta có thể làm theo hai cách: - Cách 1: Giải phương trình gốc rồi tính J dựa vào công thức RT +∞ R J = dt φpdx. 0 −∞ - Cách 2: Giải phương trình liên hợp rồi tính dựa vào công thức 6 Chương 1. Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp ZT J =Q φ∗ (x0 , t)dt + φ0 φ∗0 dx. −∞ 0 . Z+∞ Cách sử dụng bài toán liên hợp rất hữu ích trong các bài toán thực tiễn, đặc biệt trong các bài toán xác định J trong các bài toán môi trường. Sau đây ta xét một ví dụ cụ thể. Ví dụ 1.2.1. Xét bài toán mô tả sự lan truyền ô nhiễm trong miền Ω = (−∞, +∞)  ∂φ ∂ 2φ   + σφ − µ 2 = Qδ(x − x0 )  Lφ ≡ ∂t ∂x φ(x, 0) = φ (x) = 0 0    φ(x, t) = 0, x = ±∞. Cho phiếm hàm J = RT +∞ R dt (1.16) φpdx với p(x, t) = δ(x − ξ)δ(t − τ ). −∞ 0 Yêu cầu: Tìm miền ω⊂Ω sao cho trong ω , giá trị hàm J không vượt quá hằng số c cho trước. Với hàm p(x, t) xác định như trên ta có: ZT J= Z+∞ dt 0 ZT φpdx = −∞ Z+∞ dt φδ(x − ξ)δ(t − τ )dx −∞ 0 ZT ⇒ J = φ(ξ, t)δ(t − τ )dt = φ(ξ, τ ). (1.17) 0 Theo lập luận ở trên, ta có thể giải bài toán theo hai cách: - Cách 1: Giải bài toán (1.16) ứng với mỗi giá trị x0 ∈ Ω khác nhau, xác định hàm J dựa vào (1.17) rồi rút ra miền ω thoả mãn điều kiện J ≤ c . Làm theo cách này phải giải số lượng lớn phương trình ban đầu nên không phù hợp giải bài toán thực tiễn. 7 Chương 1. Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp - Cách 2: Sử dụng phương trình liên hợp ZT J =Q φ∗ (x0 , t)dt + Z+∞ φ0 φ∗0 dx = Q −∞ 0 ZT φ∗ (x0 , t)dt. 0 Trong đó φ∗ là lời giải của bài toán liên hợp  ∂φ∗ ∂ 2 φ∗   + σφ∗ − µ 2 = δ(x − ξ1 )δ(t − τ1 )  L∗ φ∗ ≡ − ∂t ∗ (x, T ) = 0 φ    φ(x, t) = 0, x = ±∞. ∂x (1.18) Khi đó, để tìm miền ω trên cơ sở xác định hàm J ta chỉ cần giải một bài toán duy nhất là bài toán (1.18). Đặt t1 = T − t, t1 ∈ [0, T ], khi đó (1.18) có dạng  ∂ 2 φ∗ ∂φ∗   + σφ∗ − µ 2 = δ(x − ξ1 )δ(T − t1 − τ1 )  ∂t1 ∂x ∗ (x, 0) = 0 φ    φ(x, t) = 0, x = ±∞. (1.19) Bài toán (1.19) cùng dạng với bài toán (1.12), nghiệm bài toán này có dạng Zt1 Z+∞ φ∗ (x, t1 ) = ϕ̃(x − ξ, t1 − τ )δ(ξ − ξ1 )δ(T − t1 − τ1 )dξdτ 0 −∞ trong đó: φ̃ =  0, khi t1 − τ ≤ 0        p 2 φ∗ (x, t1 ) = µπ(t1 − τ )   0 , khi t1 ≤ τ    Rt1 +∞ R   p  0 −∞ ∗ 1 (x − ξ)2   − σ(t1 −τ )+ 4µ(t1 − τ ) e , khi t1 − τ > 0 φ (x, t) = 2 (x − ξ)2   − σ(t1 −τ )+ 4µ(t1 − τ )  1 µπ(t1 − τ ) e  0 , khi t ∈ [τ1 , T ]        p 2 1 µπ(τ1 − t)  dξdt, khi t1 > τ (x − ξ)2  −σ(τ1 −t)+ 4µ(τ1 − t) e , khi t ∈ / [τ1 , T ]  8 Chương 1. Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp (x0 − ξ)2   σ(τ1 −t)+ Rτ1 1 4µ(τ − t) 1 √ dt e τ −t   ⇒ J =Q RT 0 Q φ∗ (x0 , t)dt = √ 2 µπ 1 0 (x0 − ξ)2 σ(τ1 −tj )+  4µ(τ1 − tj ) e ∆t + o(∆t)  k−1 Q X 1 √ ⇒ J= √ 2 µπ τ1 − t  (1.20) j=0 trong đó tj = j∆t, ∆t = τ1 . k Từ (1.20), cho J ≤ c, ta xác định được miền ω là tập hợp các điểm x0 thoả mãn điều kiện J ≤ c. 9 Chương 2 Sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định nghiệm của bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều Chương này trình bày về bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều theo mô hình của Skiba trong [2] và quá trình xây dựng bài toán liên hợp cho bài toán này. Đồng thời trong chương này cũng đưa ra chứng minh rằng bài toán khuếch tán truyền tải này luôn có nghiệm, hơn nữa nghiệm này là ổn định và duy nhất. 2.1 Bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều Cho D ⊂ R2 là miền mở có biên S . Thời điểm ban đầu t = 0 là lúc xảy ra sự cố tràn dầu tại vị trí ban đầu r0 = (x0 , y0 ). Giả thiết lượng dầu tràn ra biển tại thời điểm t là F (t), và nồng độ dầu trên mặt biển vào thời điểm t ở vị trí r(x, y) là φ(r, t). Khi đó, ta có phương trình thể hiện sự lan truyền dầu trong miền D trong khoảng thời gian (0, T ) như sau:   Lφ ≡ ∂φ + div(U φ) + σφ − ∇ · µ∇φ = f (r, t), r ∈ D, t ∈ (0, T ) ∂t  f (r, t) = F (t)δ(r − r0 ) trong đó: µ là hệ số khuếch tán δ(r − r0 ) là độ đo Dirac tại điểm r0 10 (2.1) Chương 2. Sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định nghiệm của bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều σ là hệ số phân rã của dầu do sự bốc hơi U (r, t) = (u(r, t), v(r, t)) là tốc độ dòng chảy, giả sử đã biết vận tốc này dựa vào các thông tin khí tượng thuỷ văn. Nếu như vận tốc U (r, t) thoả mãn phương trình liên tục ∇ · U = ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y thì phương trình (2.1) có thể viết lại như sau Lφ ≡ ∂φ + U ∇φ + σφ − ∇.µ∇φ = F (t)δ(r − r0 ), r ∈ D, t ∈ (0, T ). ∂t (2.2) Điều kiện ban đầu chọn t = 0 là lúc chưa có dầu tràn ra biển φ(r, 0) = 0, r ∈ D. (2.3) Điều kiện biên: Gọi Un là hình chiếu của vận tốc U theo hướng pháp tuyến ngoài n tới biên S . Giả thiết biên S được chia làm hai phần S − , S + :S = S + ∪ S − , trong đó S + là phần biên ở đó dầu chảy ra khỏi D tức là có Un ≥ 0, và S − là phần biên ở đó dầu chảy vào tức là có D . Khi đó, ta có thể thiết lập điều kiện biên như sau: µ ∂φ − Un φ = 0, r ∈ S − ∂n ∂φ = 0, r ∈ S + µ ∂n (2.4) Trong điều kiện không khuếch tán µ = 0, điều kiện biên rút gọn là φ = 0 trên S. Trong trường hợp D đóng và được bao bởi bờ biển thì có: S + ≡ S Ta cũng có thể thiết lập điều kiện biên khác:  φ = 0, r ∈ S −    ∂φ = 0, r ∈ S1+ ∂n    ∂φ = αφ , r ∈ S + 2 (2.5) ∂n Trong đó: S1+ có Un > 0, S2+ có Un = 0 là phần biên trùng với bờ biển, α là hệ số hấp thụ dầu của bờ biển. Trong luận văn này ta xét bài toán với biên (2.4), 11 Chương 2. Sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định nghiệm của bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều cụ thể ta xét bài toán ban đầu sau  ∂φ   Lφ ≡ + U ∇φ + σφ − ∇.µ∇φ = F (t)δ(r − r0 ), r ∈ D, t ∈ (0, T )   ∂t    φ(r, 0) = 0, r ∈ D ∂φ  − Un φ = 0 , r ∈ S − µ   ∂n     µ ∂φ = 0 , r ∈ S + . (2.6) ∂n Bây giờ ta sẽ ước lượng nồng độ dầu. Bằng cách lấy tích phân hai vế của (2.2) theo r trên miền D ta được phương trình ∂ ∂t Z Z Z φdr − D ∇U φdr + D Z σφdr − D (µ ∂ − Un φ)dS = F (t). ∂n S Theo (2.4) ta có: ∂ ∂t Z Z φdr − D ∂ ⇒ ∂t Z ∇U φdr + D Z ∇U φdr − D ∂ ∂t Un φdS = F (t) S+ D φdr = ⇒ σφdr + Z Z D Z Z σφdr − S+ D Z Z φdr = − D Un φdS + F (t) Z σφdr − Un φdS + F (t). S+ D Phương trình ∂ ∂t Z Z φdr = − D Z σφdr − Un φdS + F (t) (2.7) S+ D được gọi là phương trình cân bằng. Từ phương trình cân bằng này ta thấy ước lượng theo thời gian của nồng độ R R dầu φdr tăng theo lượng dầu tràn ra biển F > 0, giảm do sự bay hơi σφdr và D D R giảm do sự vận chuyển dầu theo dòng chảy Un φdS ra khỏi miền D qua biên S+ S +. Để thu được ước lượng nồng độ chất ô nhiễm trong L2 , nhân hai vế (2.2) với phi rồi lấy tích phân theo r trên D ta có: ∂ ∂t Z D φ2 dr− Z D ∇U φ2 dr+2 Z 2 (σφ2 + µ|∇φ| )dr− D Z (2µφ S 12 ∂φ − Un φ2 )dS = 2F (t)φ(r0 , t) ∂n Chương 2. Sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định nghiệm của bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều ∂ ⇒ ∂t Z Z 2 ∂ ⇒ ∂t D Z Z ∇U φ dr+2 φ dr− D 2 Z Z (σφ + µ|∇φ| )dr− 2 (σφ2 + µ|∇φ| )dr − Z S− D 2 2 trong đó D R Un φ2 dS = 2F (t)φ(r0 , t) S+ Z Un φ2 dS = 2F (t)φ(r0 , t). S+ 2 (σφ + µ|∇φ| )dr − φ dr + 2 D 2 Z Un φ dS+ Un φ2 dS + Khi đó ta thu được phương trình tích phân Z Z Z ∂ ∂t 2 S− D φ2 dr + 2 D 2 2 Z Un φ dS + S− Un φ2 dS = 2F (t)φ(r0 , t) (2.8) S+ φ2 dr = (φ, φ) là chuẩn bình phương các hàm bình phương khả tích D trên L2 (D). Từ (2.7), (2.8) ta thấy khi khắc phục được sự cố tức là khi không có thêm dầu R R tràn ra biển (F = 0), thì cả hai tích phân φdr, φ2 dr đều giảm dần theo thời D gian t. 13 D Chương 2. Sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định nghiệm của bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều 2.2 Bài toán liên hợp Ta xây dựng bài toán liên hợp của bài toán ban đầu (2.6), sử dụng nhân tử Lagrange thoả mãn (Lφ, φ∗ ) = (L∗ φ∗ , φ) với tích vô hướng được xác định như sau ZT Z (ϕ, ψ) = ϕ(r, t)ψ(r, t)drdt. 0 D Từ phương trình cân bằng ta có: ZT Z ∗ ∂φ φ∗ drdt− ∂t (Lφ, φ ) = 0 D = RT R φ∗ 0 D RT R 0 S+ ZT Z ZT Z ∗ ∇U φφ drdt+ 0 D ZT Z  ∗ σφφ drdt− 0 D 0 ∂φ µ φ∗ − Un φφ∗ ∂n  dSdt S RT R RT R RT R ∂φ drdt − ∇U φφ∗ drdt + σφφ∗ drdt + Un φφ∗ dSdt− ∂t 0 D 0 D 0 S+ RT R ∂φ ∂φ ∗ µ φ∗ dSdt − µ ∂n φ − Un φφ∗ dSdt ∂n − 0 S  ZT Z ∂φ φ∗ drdt − ∂t = 0 D ZT Z  ∇U φφ∗ drdt + 0 D ZT Z σφφ∗ drdt + ZT Z 0 D Un φφ∗ dSdt. 0 S+ Tích phân từng phần tích phân đầu bên vế phải ta được ZT Z φ∗ ∂φ drdt = ∂t 0 D Z   T   Z Z  Z ZT ZT Z  ∂φ ∂φ∗ T ∗ ∗ ∗     φ dt dr = φ dφ dr = φφ |0 dr− φ drdt ∂t ∂t 0 D ZT Z ⇒ φ ∗ ∂φ ∂t Z drdt = 0 D RT R ∂φ∗ φ 0 D + Un φφ∗ dSdt + 0 S+ Giả sử có (Lφ, φ∗ ) φ∗T =− Xét ZT Z − R ∂t φ ∂φ∗ drdt ∂t 0 D drdt − RT R ∇U φφ∗ drdt + 0 D RT R σφφ∗ drdt 0 D φT φ∗T dr. D = RT φ∗ (r, T ) R ∂φ∗ 0 D RT R φT φ∗T dr 0 D D D ⇒ (Lφ, φ∗ ) = − RT R 0 D φ ∂t = 0 suy ra drdt − RT R ∇U φφ∗ drdt + 0 D RT R 0 D Un φφ∗ dSdt có: 0 S+ 14 σφφ∗ drdt + RT R 0 S+ Un φφ∗ dSdt.