Tài liệu Phương trình hàm trên lớp hàm khả vi

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN LỚP HÀM KHẢ VI Trường THPT chuyên Biên Hòa I.Kiến thức cần nhớ 1.Định nghĩa đạo hàm -Cho hàm số f(x) xác định trên (a,b) và x0 là một điểm thuộc khoảng f ' ( x0 )  lim đó. Khi đó, đạo hàm của hàm số tại x0 là x  x0 f ( x )  f ( x0 ) x  x0 -Hàm số f(x) xác định trên khoảng K . Khi đó f(x) có đạo hàm trên K nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc K - Đạo hàm bên phải của hàm số f(x) xác định trên nửa khoảng  x 0 , b kí hiệu là   được xác định bởi f ' x 0   = lim f ' x 0 x x0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 - Đạo hàm bên tr ái của hàm số f(x) xác định trên nửa khoảng  a, x  0 kí hiệu là f '  x0  được xác định bởi f '  x0  = lim x  xo - Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0   f ( x )  f ( x0 ) x  x0   , f  x  và f  x  = f  x  = f ' x0 '  0 '  0 '  0 f '  x0  2. Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạ hàm trên (a,b). Khi đó f '  x  0x   a, b   f  x  cx   a, b (c: hằng số) 3. Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạ hàm trên (a,b). Khi đó f '  x  kx   a, b   f  x  kx  cx   a, b (k, c: hằng số) x 4. f '  x   g ( x)x   a, b   f ( x)  g (t ) dt  f ( a ) a với g(x) là hàm xác định và liên tục trên [a,b] II. Một số kĩ năng giải phương trình hàm trên lớp hàm khả vi. 1.Sử dụng các kết quả sau : +/ Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạo hàm trên (a,b). Khi đó f '  x  0x   a, b   f  x  cx   a, b (c: hằng số) +/ Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạ hàm trên (a,b). Khi đó f '  x  kx   a, b   f  x  kx  cx   a, b (k, c: hằng số) x +/ f '  x   g ( x)x   a, b  f ( x) g (t )dt  f (a) a với g(x) là hàm xác định và liên tục trên [a,b] VD1 : Tìm tất cả các hàm f,g :R+  R có đạo hàm trên R+ thỏa mãn f ' ( x )  g ( x) x ; g ' ( x )  f ( x) x x  R  Giải : Ta có [ x.( f(x) + g(x) ) ]’ = x( f’(x) + g’(x))+f(x) + g(x) g ( x) f ( x)  x x = x(   x[f(x) + g(x) ] = a  f(x) + g(x) = x a Tương tự , có x x )+f(x) + g(x) = 0 x  0 >0 ( a : hằng số) >0 (1) '  f ( x )  g ( x)    0  x x >0  f(x) –g(x) =bx x >0 (b: hằng số) (2) Từ (1)&(2)  1a  f ( x)    bx  2 x  ; 1a  g ( x)    bx   x 2 x  >0 ( a ,b là hằng số  R) VD2 : Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn f(x) = f’’(x) x  R Giải : Ta có f(x) = f’’(x)  f(x)- f’(x) + f’(x)- f’’(x) = 0 Đặt g(x) = f(x)- f’(x)  g(x) + g’(x) = 0  g(x) ex+ g’(x) ex = 0    ( g(x) ex)’ = 0  g(x) ex = c ( c : Hằng số) f(x)- f’(x) =c.e-x f(x)e-x - f’(x).e-x =c.e-2x    (f(x)e-x)’ = c.e-2x c f(x)e-x = - 2 e-2x +b f(x) = a.e-x +bex ( a,b: hằng số) Thử lại ta thấy f(x) thỏa mãn.Vậy f(x) = a.e-x +bex x  R x  R VD3: Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm trên R thỏa mãn f’(x)sinx – f(x)cosx = sin2x x  R (1) Giải: Xét x  k , (k  1)  Khi đó (1)  ' f ( x)  f ( x)  x  Ck   1  sin x  sin x   f ( x)  x  C k  sin x x   k , (k  1)  Đặt g(x) = Cksinx = f(x)-x.sinx Vì f(x) có đạo hàm trên trên R nên g(x) cũng có đạo hàm trên R  g '  k    g ' k      1 k C k   1 k C k  1 k  Ck = Ck-1  f ( x )  a  x  sin x x  R k  Đặt Ck =a ( a: hằng số) k Thử lại ta thấy f(x) thỏa mãn.Vậy f ( x )  a  x  sin x x  R 2.Sử dụng định nghĩa đạo hàm VD1: Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm trên R thỏa mãn f(x+y)=f(x) +f(y) +2xy x, y  R (1) Giải: +/ Cho x = y = 0  f(0) = 0 +/ Với y 0 .Với mỗi x R ta có f(x+y)-f(x)=f(y) +2xy Cho y  0 khi đó (2)  f ( x  y )  f ( x) f ( y )  f (0)   2x y y  f '  x   f '  0  2 x 2 x  a (2) ( với a = f’(0))  f ( x) x 2  ax  b Vì f(0) = 0 nên b=0 . Vậy f ( x) x 2  ax  f ( x) x 2  ax x  R , x  R thử lại hàm số này thỏa mãn VD2 : Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm trên R thỏa mãn f ( x)  f ( y) f ( x  y)  1  f ( x) f ( y ) Giải : cho y=0 Từ (1) f ( x)  f (0)  f ( x)   f ( 0 ) 1  f 2 ( x ) 0  f ( 0 ) 0 1  f ( x ) f ( 0)   f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) Cho y  0  (1) x, y  R lim 1  f 2 ( x) 1  f ( x) f ( y )  f ( y)  f ' (0) a :const y  f ( x  y )  f ( x) f ( y ) 1  f 2 ( x)  y y 1  f ( x) f ( y ) (2) (Vì f(0) = 0) y 0 Khi đó (2)  ’ 2 f (x) = a( 1+f (x))  f ' ( x) a 1  f 2 ( x) t  t f ' ( x) dx  a.dx ax  b 2  0 1  f ( x) 0  f ( x)  tan(ax  b) Thử lại  b = 0. Vậy f(x) = tan(ax) , a là hằng số bất kì x  R (*) Chú ý: Khi hàm số cần tìm chưa có đạo hàm thì ta phải chứng minh nó có đạo hàm trên tập tương ứng. VD3: Tìm tất cả các hàm f :R  R thỏa mãn f ( x)  f ( y ) 2 x y 3 x, y  R (1) Giải: Với mỗi x  R , từ (1) ta có f ( x)  f ( y ) x y  0 Cho y  x  f ( x)  f ( y)  0 x y  2 x y f ( x)  f ( y )  x y x y f ' ( x) 0  f ( x ) a :const x  R Thử lại thấy hàm số này thỏa mãn. Vậy f(x) = a x  R VD4: Tìm tất cả các hàm f,g: R  R, thỏa mãn f ( y )  f ( x )  g ( x )( y  x )  M y  x m2 (1) x, y  R ( M ,m là 2 số dương cho trước) Giải: +/ Thay y = x và x= y ta có f ( x )  f ( y )  g ( y )( x  y )  M x  y m 2 (2) +/ Từ (1) và (2) ta có  g ( x)  g ( y) ( x  y) = f ( y )  f ( x )  g ( x)( y  x )  f ( x)  f ( y )  g ( y )( x  y )  f ( y )  f ( x )  g ( x )( y  x)   2M x  y f ( x )  f ( y )  g ( y )( x  y ) 2m g ( y )  g ( x) 1 m 2 M y  x y x g ( y )  g ( x)  0  g ' ( x) 0 y x Cố định x, cho y  x   + g(x) = a :=const x  R +/ Thay g(x) = a vào (1) ta có  f ( y )  f ( x)  a ( y  x)  M y  x m 2 f ( y)  f ( x) 1 m  a M y  x y x f ( y)  f ( x)  a  0 y x Cố định x, cho y  x   f ' ( x) a  f(x) = ax +b ( b : hằng số) Thử lại hai hàm số f(x) = ax + b và g(x) = a thấy thỏa mãn . Vậy f(x) = ax + b và g(x) = a x  R VD5: Tìm tất cả các hàm f :R  R thỏa mãn i) f ( x  y)  f ( x)  f ( y ) ii) lim x 0 x, y  R f ( x) 1 x (1) (2) Giải: Từ (1) ta có f(x) = f((x+y)+(-y))  f(x+y) + f(-y)   f (  y )  f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) f ( y) f ( x  y)  f ( y) f ( y)     y y y Cho  y  0  f ( y ) 1  y f ( x  y)  f ( y) y y  0 lim và =1 f ( y) 1 y với y > 0 ( do (2))  f ' ( y  ) 1  Tương tự xét y < 0  Do đó f ' ( y  ) 1 f ' ( y ) 1 y  R Thử lại ta có c = 0.  f(y) = y + c ( c: hằng số) Vậy f(x) = x x  R 3.Sử dụng phưong pháp lấy đạo hàm theo từng biến VD1 : Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm trên R thỏa mãn f(x+y) = f(x) +f(y) x, y  R Giải : Lấy đạo hàm hai vế lần lượt theo biến x , y ta có f’(x+y) = f’(x) x, y  R f’(x+y) = f’(y) x, y  R  f’(x) = f’(y) x, y  R f’(x) = a  ( a : hằng số) f(x) = ax +b  Thử lại  b = 0 . Vậy f(x) = ax x  R x  R VD2: : Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm trên R thỏa mãn f(x+y) = f(x) .f(y) x, y  R (1) Giải : +/ Dễ thấy f(x) = 0 là một nghiệm +/ Nếu x 0  R, f ( x 0 ) 0 Ta có f(x0) = f(x + (x0-x)) = f(x).f(x0-x) 0x  R  f(x) 0x  R Mặt khác từ (1) ta có   x  f ( x)   f      2  2 >0 x  R Lấy đạo hàm hai vế (1) lần lượt theo biến x , y ta có f’(x+y) = f’(x).f(y) x, y  R f’(x+y) = f(x).f’(y) x, y  R   f’(x).f(y)= f(x).f’(y) f ' ( x) f ' ( y) = f ( y) f ( x) x, y  R x, y  R  f ' ( x) = f ( x) a:= const  [ln f ( x)]' a  f ( x ) e ax b Thử lại  b = 0. Vậy f(x) = 0 hoặc f ( x ) e ax x  R VD3: Tìm tất cả các hàm f : R  R có đạo hàm trên *  ( b: hằng số) R* thỏa mãn f(xy) = f(x) +f(y) x, y  R (1) *  x  R Giải: Lấy đạo hàm hai vế (1) lần lượt theo biến x , y ta có yf’(xy) = f’(x) x, y  R* xf’(xy) = f’(y) x, y  R*  x. f ' ( x )  y. f ' ( y ) x, y  R*  x. f ' ( x ) a :=const x  R*  f ( x) a. ln x  b x  R* Thử lại  b = 0. Vậy (b:= const) f ( x ) a. ln x x  R* VD4 : Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm trên R thỏa mãn f(x+y) = f(x) + f(y) +2xy x, y  R (1) Giải: +/ Cho x = y = 0  f(0) = 0 +/ Lấy đạo hàm hai vế (1) lần lượt theo biến x , y ta có f’(x+y) = f’(x) +2y x, y  R f’(x+y) = f’(y) +2x x, y  R  f’(x) -2x = f’(y) -2y x, y  R   f’(x) -2x = a x  R ( a : hằng số) f(x) = x2 + ax +b Thử lại  b = 0 . Vậy f(x) = x2 + ax x  R VD5 : Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm trên R thỏa mãn  x  y  f ( y)  f ( x) f ' x, y  R; x  y  y x  2  (1) Giải: +/ Trong (1) thay x bởi x-y và y bởi x +y ta có f '  x   f ''  x   Do (2) nên f ( x  y)  f ( x  y) x, y  R; y 0 2y f ' ( x  y)  f ' ( x  y) x, y  R; y 0 2y f ' ( x  y)  f ( x  2 y )  f ( x) 2y và f ' ( x  y)   f ''  x   f ( x  2 y )  2 f ( x)  f ( x  2 y ) x, y  R; y 0 4y2  f '''  x   f ' ( x  2 y)  2 f ' ( x)  f ' ( x  2 y) 4y2 = (2) f ( x)  f ( x  y ) 2y 1  f ( x  3 y)  f ( x  y) f ( x  y)  f ( x  y) f ( x  y)  f ( x  3 y)   2   2  2y 2y 2y 4y   1 = 8 y  f ( x  3 y)  3 f ( x  y)  3 f ( x  3 Mặt khác theo (1) ta lại có và x y f ( y )  f ( x ) ( y  x ) f '    2  f ( x  y )  f ( x  y ) 2 yf '  x  Thay vào (3)  f’’’(x) = 0 x  R  f’’(x) = a x  R  f’(x) = ax+b f(x) = (3) f ( x  3 y )  f ( x  3 y ) 6 yf '  x    y )  f ( x  3 y  x, y  R; y 0 x  R 1 2 ax  bx  c x  R 2 Thử lại thỏa mãn . vậy f(x) = 1 2 ax  bx  c x  R 2 III. Bài tập rèn luyện Bài 1 . Cho h > 0 . Tìm tất cả các hàm f :R  R thỏa mãn f ( x  h)  f ( x  h)  h 2 x  R Bài 2. Tìm hàm f(x) liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn f(x+y) +f(x-y) = 2 f(x) f(y) x, y  R Bài 3. Cho n là một số tụ nhiên . Tìm hàm f(x) không âm , có đạo hàm trên R thỏa mãn  xn  yn f  2  2 2    f ( x)  f ( y )  2  Bài 4. a/Cho f :R  R có đạo hàm đến cấp 2 và thỏa mãn f’’(x) + k2f(x) = 0 x  R , CMR: f(x) = Acos kx + B sinkx k>0 x  R , k>0 ,( A,B: hằng số) b/ Cho f :R  R có đạo hàm đến cấp 2 và thỏa mãn f’’(x) - k2f(x) = 0 x  R , k>0 CMR: f(x) = Aekx+ B e-kx x  R , k>0 ,( A,B: hằng số) Bài 5. Cho  >0 . Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm trên R thỏa mãn f ( x)  f ( y )  f ' x  1    y  x, y  R x y Bài 6. Tìm f :R  R có đạo hàm đến cấp 2 và thỏa mãn f(x) = - f’’(x) x  R Bài 7.Cho hàm f(x) xác định và có đạo hàm đến cấp 2 trên R thỏa mãn f '  x 1 x  R CMR: x  R sao cho f’’(x) = 0 Bài 8: Cho 2 hàm f(x) và g(x) khác hằng số và có đạo hàm trên R thỏa mãn f’(0) =0 và i) f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y) ii) g(x+y)=g(x)f(y)+f(x)g(y) CMR : f2(x) + g2(x) = 1 x  R x, y  R x, y  R