Tài liệu Phương trình hàm - nguyễn văn mậu (Sách hay của thầy Mậu)

Nguyễn Văn Mậu PHƯƠNG TRÌNH HÀM NXBGD 1997 Mục lục 1 Một số tính chất cơ bản của hàm số 1.1 Hàm số chẵn hàm số lẻ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Hàm tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Hàm phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Mối liên hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính và nhân tính 1.5 Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Phương trình hàm với cặp biến tự do 16 2.1 Hàm số chuyển đổi các phép tính số học . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Hàm số chuyển đổi các đại lương trung bình . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Hàm số sinh bởi các đặc trưng hàm của các hàm số luợng giác, Hyperbolic và lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4 Một số dạng khác của phương trình hàm với cặp biến tự do . . . . . 60 2.5 Phương trình với nhiều ẩn hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3 Phương trình hàm với phép biến đổi đối số 75 3.1 Hàm số xác định bởi các phép biến đổi tịnh tiến và đồng dạng . . . . 75 3.2 Hàm số xác định bởi các phép biến đổi phân tuyến tính . . . . . . . . 90 3.3 Hàm số xác định bởi các phép biến đổi đại số . . . . . . . . . . . . . 103 3.4 Phương trình trong lớp các hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . 116 2 Chương 1 Một số tính chất cơ bản của hàm số 1.1 Hàm số chẵn hàm số lẻ Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R và tập giá trị R(f ) ⊂ R a) f (x) được gọi là hàm số chẵn trên M, M ∈ D(f ) (gọi tắt là Định nghĩa 1. hàm chẵn trên M ) nếu ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = f (x), ∀x ∈ M b) f (x) được gọi là hàm số lẻ trên M (gọi tắt là hàm lẻ trên M ) nếu ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M Bài toán 1. Cho x0 ∈ R. Xác định tất cả các hàm số f (x) sao cho f (x0 − x) = f (x), Giải. Đặt x = x0 2 − t suy ra t = x0 2 ∀x ∈ R (1.1) − x. Khi đó x0 − x = x0 +t 2 và (1.1) có dạng f x  x  0 +t =f − t , ∀t ∈ R 2 2 0 3 (1.2) 4 Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm số Đặt g(t) = f  x0 2  + t thì g(−t) = f x   x2  − t , f (t) = g t − 2 2 0 Khi đó (2) có dạng g(−t) = g(t), ∀t ∈ R. Vậy g(t) là hàm chẵn trên R. Kết luận.  x0  , f (x) = g x − 2 trong đó g(x) là hàm chẵn tuỳ ý trên R. Bài toán 2. Cho a, b ∈ R. Xác định tất cả các hàm số f (x) sao cho f (a − x) + f (x) = b, Giải. Đặt ∀x ∈ R (1.3) a − x = t, khi đó 2 x= a a − t; và a − x = + t 2 2 Khi đó (3) có dạng f a  a  + t +f −t =b 2 2 Đặt a b f +t = g(t) 2 2 Khi đó có thể viết (4) dưới dạng g(−t) + g(t) = 0, ∀t ∈ R hay là g(−t) = −g(t), ∀t ∈ R Vậy g(t) là hàm số lẻ trên R. Kết luận.  a b f (x) = g x − + 2 2 trong đó g(x) là hàm lẻ tuỳ ý trên R. (1.4) 1.2. Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn 5 Bài tập 1. Cho f (x) là một hàm số đồng thời vừa chẵn vừa lẻ trên R. Chứng minh rằng f (x) ≡ 0. 2. Chứng minh rằng mọi hàm số xác định trên R đều có thể viết được dưới dạng hiệu của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ, xác định trên R 3. Cho hàm số f (x) xác định trên R. Xác định hàm số g(x) biết rằng đồ thị của hàm số này đối xứng với đồ thị của hàm số đã cho qua đường thẳng x = x0 cho trước. 4. Cho hàm số f (x) xác định trên R. Xác định hàm số g(x) biết rằng đồ thị của hàm số này đối xứng với đồ thị của hàm số đã cho qua điểm M (x0 , y0 ) cho trước. 5. Biết rằng đồ thị của đa thức P (x) có tâm đối xứng. Chứng minh rằng đồ thị của đa thức P (x) có trục đối xứng. 6. Biết rằng đồ thị của đa thức có trục đối xứng. Chứng minh rằng đồ thị của đa thức P (x) có tâm đối xứng. 7. Cho đồ thị của hàm số bậc ba f (x) = x3 + ax2 + bx + c. Một đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) sao cho |AB| = |BC|. Chứng minh rằng f (x2 − x) + f (x2 + x) = 2y2 , ∀x ∈ R 1.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn Định nghĩa 2. a) Hàm số f (x) được gọi là hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ a, (a > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và ( ∀x ∈ M ⇒ x± ∈ M f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M b) Cho f (x) là một hàm tuần hoàn trên M . Khi đó T (T > 0) được gọi là chu kỳ cơ cở của f (x) nếu f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà không là hàm tuần hoàn 6 Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm số với bất cứ chu kỳ nào bé hơn T . Bài toán 3. Tồn tại hay không tồn tại một hàm số f (x) 6≡ hằng số, tuần hoàn trên R nhưng không có chu kỳ cơ sở. Giải. Xét hàm Dirichle ( 0, khi x ∈ Q f (x) = 1, khi x ∈ /Q Khi đó f (x) là hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a ∈ Q∗ tuỳ ý. Vì trong Q∗ không có số nhỏ nhất nên hàm f (x) không có chu kỳ cơ sở. Bài toán 4. Cho cặp hàm f (x), g(x) tuần hoàn trên M có các chu kỳ lần lượt là a a và b với ∈ Q. Chứng minh rằng F (x) := f (x)g(x) cũng là những hàm tuần hoàn b trên M . am . Đặt T = na = mb, khi Giải. Theo giả thiết ∃m, n ∈ N+ , (m, n) = 1 sao cho bn đó ( F (x + T ) = f (x + na) + g(x + mb) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M G(x + T ) = f (x + na)g(x + mb) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M Hơn nữa, dễ thấy ∀x ∈ M thì x ± M . Vậy F (x), G(x) là những hàm tuần hoàn trên M. Định nghĩa 3. a) Hàm số f (x) được gọi là phản tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ b, (b > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và ( ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M (1.5) b) Nếu f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b0 trên M mà không là hàm phản tuần hoàn với bất cứ chu kỳ nào bé hơn b0 trên M thì b0 được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm phản tuần hoàn f (x) trên M . Bài toán 5. Chứng minh rằng mọi hàm phản tuần hoàn trên M cũng là hàm tuần hoàn trên M . 1.2. Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn 7 Giải. Theo giả thiết, tồn tại b > 0 sao cho ∀x ∈ M thì x ± b ∈ M và f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M Suy ra với mọi x ∈ M thì x ± 2b ∈ M và f (x + 2b) = f (x + b + b) = −f (x + b) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M Vậy f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b trên M . Bài toán 6. Chứng minh rằng f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M khi và chỉ khi f (x) có dạng f (x) = g(x + b) − g(x) (1.6) với g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M Giải. Thật vậy, với f (x) thoả mãn (6) ta có f (x + b) = g(x + 2b) − g(x + b) = g(x) − g(x + b) = −(g(x + b) − g(x)) = −f (x), ∀x ∈ M Hơn nữa, ∀x ∈ M thì x± ∈ M . Do đó f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M . Ngược lại, với f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M chọn g(x) = − 21 f (x) thì g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M (Bài toán 3) và
1 1 g(x + b) − g(x) = − f (x + b) − − f (x) 2 2 1 1 = − (−f (x)) + f (x) 2 2 = f (x), ∀x ∈ M 8 Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm số Bài tập 1. Chứng minh rằng hàm số f (x) = tan x không là hàm phản tuần hoàn trên R { π2 + kπ, k ∈ Z} 2. Chứng minh rằng 2π là chu kỳ cơ sở của hàm số f (x) = cos x. 3. Cho f (x) là một hàm số phản tuần hoàn có chu kỳ cơ sở b trên R. Hỏi kết luận sau đây có đúng không: f (x) là hàm tuần hoàn có chu kỳ cơ sở 2b trên R? 4. Chứng minh rằng sin x2 không phải là một hàm tuần hoàn trên R. 5. Cho f (x), g(x) là các hàm số liên tục và tuần hoàn có chu kỳcơ sở a và b, tương ứng, trên R. Biết rằng F (x) := f (x) + g(x) cũng là một hàm tuần hoàn trên R. Chứng minh rằng 1.3 1.3.1 a b ∈ Q. Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính Hàm tuần hoàn nhân tính Định nghĩa 4. f (x) được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a (a ∈ / {0, 1, −1}) trên M nếu M ⊂ D(f ) và ( ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M f (ax) = f (x), ∀x ∈ M Ví dụ 1. Xét f (x) = sin(2π log2 x). Khi đó f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 trên R+ . Thật vậy, ta có ∀x ∈ R+ thì 2±1 x ∈ R+ và f (2x) = sin(2π log2 (2x)) = sin(2π(1 + log2 x)) = sin(2π log2 x) = f (x), ∀x ∈ R∗ 1.3. Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính 9 Bài toán 7. Cho f (x), g(x) là hai hàm số tuần hoàn nhân tính chu kỳ a và b, tương ứng trên M và ln |a| m = , m, n ∈ N+ ln |b| n Chứng minh rằng F (x) := f (x) + g(x) và G(x) := f (x)g(x) là những hàm tuần hoàn nhân tính trên M . Giải. Từ giả thiết suy ra |a|n = |b|m . Ta chứng minh T := a2n = b2m là chu kỳ của F (x) và G(x). Thật vậy, ta có F (T x) = f (a2n x) + g(b2m x) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M G(T x) = f (a2n x)g(b2m x) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M Hơn nữa, ∀x ∈ M thì T ±1 x ∈ M . Do đó F (x) và G(x) là những hàm tuần hoàn nhân tính trên M . 1.3.2 Hàm phản tuần hoàn nhân tính Định nghĩa 5. f (x) được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ a (a ∈ / {0, 1, −1}) trên M nếu M ⊂ D(f ) và ( ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M Bài toán 8. Chứng minh rằng mọi hàm phản tuần hoàn nhân tính trên M cũng là hàm tuần hoàn nhân tính trên M . Giải. Theo giả thiết, ∃b ∈ / {0, ±1} sao cho ∀x ∈ M thì b±1 ∈ M và f (bx) = −f (x), ∀x ∈ M Suy ra ∀x ∈ M thì (b2 )±1 x ∈ M và f (b2 x) = f (bbx) = −f (bx) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M Như vậy, f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M . 10 Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm số Bài toán 9. Chứng minh rằng f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b, (b ∈ / {0, ±1}) trên M khi và chỉ khi f (x) có dạng 1 f (x) = (g(bx) − g(x)) 2 (1.7) trong đó g(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M . Giải. Thật vậy, nếu f (x) có dạng (7) thì 1 f (bx) = {g(b2 x) − g(bx)} 2 1 = {g(x) − g(bx)} 2 1 = {(g(bx) − g(x))} 2 = −f (x), ∀x ∈ M Hơn nữa, ∀x ∈ M thì b±1 x ∈ M . Do đó f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M . Ngược lại, giả sử f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M . Khi đó g(x) = −f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M (Bài toán 2) và 1 1 (g(bx) − g(x)) = (−f (bx) − (−f (x))) 2 2 1 = (−(−f (x)) + f (x)) 2 = f (x), ∀x ∈ M 1.4 Mối liên hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính và nhân tính Bài toán 10. Cho a 6= 0, a 6= ±1. Xác định các hàm f (x) sao cho f (ax) = f (x), ∀x ∈ R (1.8) Giải. Xét các trường hợp a > 0 và a < 0. (i) Với a > 0. Xét x > 0. Đặt x = at và f (at ) = h1 (t). Khi đó t = loga x và (1) tương đương với h1 (t + 1) = h1 (t), ∀t ∈ R 1.4. Mối liên hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính và nhân tính 11 Xét x < 0, đặt −x = at và f (−at ) = h2 (t). Khi đó t = loga |x| và (1) tương đương với h2 (t + 1) = h2 (t), ∀t ∈ R (ii) Với a < 0. Khi đó f (a2 x) = f (x) và mọi nghiệm của (1) được cho bởi công thức 1 f (x) = {g(x) + g(ax)} 2 trong đó g(a2 x) = g(x), ∀x ∈ R (1.9) Thật vây, nếu f (x) có dạng (2) thì ta có 1 f (ax) = {g(ax) + g(a2 x)} 2 1 = {g(ax) + g(x)} 2 = f (x), ∀x ∈ R Tiếp theo, áp dụng kết quả nhận được trong (2). Kết luận. Với a > 0   khi x > 0, h1 (loga x) f (x) = c tuỳ ý khi x = 0,  h (log |x|) khi x < 0. 2 a trong đó h1 (t), h2 (t) là các hàm tuần hoàn cộng tính tuỳ ý chu kỳ 1 trên R. 1 Với a < 0 : f (x) = {g(x) + g(ax)}, trong đó 2 
1   h log x khi x > 0, 3  a  2 g(x) = d tuỳ ý khi x = 0,  
 h4 1 loga |x| khi x < 0. 2 trong đó h3 (t), h4 (t) là các hàm tuần hoàn công tín tuỳ ý chu kỳ 1 trên R. Bài toán 11. Cho a < 0, a 6= −1. Xác định các hàm số f (x) sao cho f (ax) = −f (x), ∀x ∈ R (1.10) 12 Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm số Giải. Từ (3) suy ra f (a2 x) = f (x) với mọi x ∈ R. Vậy mọi nghiệm của (3) có dạng 1 f (x) = {g(x) − g(ax)} 2 trong đó g(a2 x) = g(x), ∀x ∈ R Thật vậy, nếu f (x) có dạng đó thì ta có 1 f (ax) = {g(ax) − g(a2 x)} 2 1 = {g(ax) − g(x)} 2 = −f (x), ∀x ∈ R Ngược lại, với mỗi f (x) thoả mãn (10), chọn g(x) = f (x). Khi đó g(a2 x) = g(x), ∀x ∈ R và 1 1 {g(x) − g(ax)} = {f (x) − f (ax)} 2 2 1 = {f (x) + f (x)} 2 = f (x), ∀x ∈ R Từ kết quả của Bài toán 1 suy ra nghiệm của (3) có dạng 1 f (x) = {g(x) − g(ax)} 2 trong đó 
1   h log x khi x > 0, 1  a  2 g(x) = d tuỳ ý khi x = 0,  
1  h2 loga |x| khi x < 0. 2 với h1 (t), h2 (t) là các hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ 1 trên R. Nhận xét. Nếu f (x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ a > 0 trên R thì g(t) = f (ln t), t > 0 là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ ea trên R∗ . Ngược lại, nếu f (x) là hàm tuần hoàn công tính chu kỳ a, 0 < a 6= 1 trên R∗ , thì g(t) = f (et ) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ ln a trên R. 13 1.5. Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp Bài tập 1. Cho a > 0, a 6= 1. Xác định tất cả các hàm f (x) sao cho f (ax) = f (x) + 2f (−x), ∀x ∈ R 2. Cho a > 0, a 6= 1. Xác định tất cả các hàm f (x) sao cho f (ax) = f (x) + f (−x), ∀x ∈ R 3. Cho a > 0, a 6= 1. Xác định tất cả các hàm f (x) sao cho f (ax) = 1, ∀x ∈ R 4. Cho hàm số g(x) xác định trên R. Xác định tất cả các hàm số f (x) thoả mãn điều kiện f (x) + f (2x) = g(x) + g(2x) 5. Cho hàm số f (x) =  0 khi x = π/2 + kπ, k ∈ Z, 2  1 + tan2 x khi x 6= π/2 + kπ, k ∈ Z Chứng minh rằng hàm số g(x) = f (x) + f (ax) là hàm tuần hoàn cộng tính trên R khi và chỉ khi a ∈ Q. 1.5 Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp Để mô tả bức tranh mang tính định hướng, gợi ý và dự đoán công thức nghiệm của các bài toán liên quan, chúng ta xét một vài tính chất hàm tiêu biểu của một số dạng hàm số quen biết. 1. Hàm bậc nhất: f (x) = ax + b, (a 6= 0, b 6= 0) có tính chất f x + y  2 1 = {f (x) + f (y)}, ∀x, y ∈ R 2 14 Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm số 2. Hàm tuyến tính: f (x) = ax, (a 6= 0) có tính chất f (x + y) = f (x) + f (x), ∀x, y ∈ R 3. Hàm mũ: f (x) = ax , a > 0, a 6= 1 có tính chất f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R. 4. Hàm Logarit: f (x) = loga |x| (a > 0, a 6= 1) có tính chất f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R \ {0} 5. Hàm luỹ thừa: f (x) = |x|a có tính chất f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R \ {0} 6. Hàm lượng giác: Hàm f (x) = sin x có tính chất f (3x) = 3f (x) − 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R Hàm f (x) = cos x có các tính chất f (2x) = 2[f (x)]2 − 1, ∀x ∈ R và f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x ∈ R Cặp hàm f (x) = sin x, g(x) = cos x có tính chất ( f (x + y) = f (x)g(x) + f (y)g(x), ∀x, y ∈ R g(x + y) = g(x)g(y) − f (x)f (y), ∀x, y ∈ R Hàm f (x) = tan x có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y) 1 − f (x)f (y) (2k + 1)π , (k ∈ Z). 2 Hàm f (x) = cot x có tính chất với x, y x + y 6= f (x + y) = với x, y x + y 6= kπ (k ∈ Z). f (x)f (y) − 1 f (x) + f (y) 15 1.5. Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp 7. Hàm lượng giác ngược: a) Hàm f (x) = arcsin x có tính chất p √ f (x) + f (y) = f (x 1 − y 2 + y 1 − x2 ), ∀x, y ∈ [−1, 1] b) Hàm g(x) = arccos x có tính chất g(x) + g(y) = g(xy − √ 1 − x2 p 1 − y 2 ), ∀x, y ∈ [−1, 1] c) Hàm h(x) = arctan x có tính chất  x+y  h(x) + h(y) = h , ∀x, y : xy 6= 1 1 − xy d) Hàm p(x) = arctan x có tính chất  xy − 1  , ∀x, y : x + y 6= 0 p(x) + p(y) = p x+y 8. Các hàm hyperbolic 1 a) Hàm f (x) = sh x := (ex − e−x có tính chất 2 f (3x) = 3f (x) + 4f 3 (x), ∀x ∈ R 1 b) Hàm g(x) = ch x := (ex + e−x ) có tính chất 2 g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y), x, y ∈ R c) Hàm h(x) = tanh x := ex − e−x có tính chất ex + e−x h(x + y) = h(x) + h(y) , ∀x, y ∈ R 1 + h(x)h(y) ex + e−x d) Hàm q(x) = coth x := x có tính chất e − e−x q(x + y) = 1 + q(x)q(y) , x, y, x + y 6= 0 q(x) + q(y) Chương 2 Phương trình hàm với cặp biến tự do 2.1 Hàm số chuyển đổi các phép tính số học Trong § này, ta giải các bào toán xác định các hàm chuyển đổi các phép tính số học đơn giản (cộng trừ, nhân, chia) của đối số sang phép tính đối với các giá trị hàm tương ứng. Ta sẽ giải quyết các bài tpán trên trong lớp các hàm xác định và liên tục trên toàn trục thực. Bài toán 12. (Phương trình hàm Cauchy). Xác định tất cả các hàm số f (x) liên tục trên R thoả mãn điều kiện f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x ∈ R (2.1) Giải. Từ (1) suy ra f (0) = 0, f (−x) = −f (x) và với y = x thì f (2x) = 2f (x), ∀x ∈ R Giả sử với k nguyên dương, f (kx) = kf (x), x ∈ R. Khi đó 16 (2.2) 17 2.1. Hàm số chuyển đổi các phép tính số học f ((k + 1)x) = f (kx + x) = f (kx) + f (x) = kf (x) + f (x) = (k + 1)f (x), ∀x ∈ R, n ∈ N Từ đó, theo nguyên lí quy nạp, ta có f (nx) = nf (x), ∀x ∈ R Kết hợp với tính chất f (−x) = −f (x) ta được f (mx) = mf (x), ∀m ∈ Z, ∀x ∈ R Từ (2.2) ta có f (x) = 2f x 2 2 =2 f x 22 x = ··· = 2 f n , 2 n (2.3) Từ đó suy ra x 1 = f (x), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N 2n 2n Kết hợp (3) và (4) ta được m m f n = n f (1), ∀m ∈ Z, ∀n ∈ N+ 2 2 f (2.4) Sử dụng giả thiết liên tục của hàm f (x) suy ra f (x) = ax, ∀x ∈ R, a = f (1) Thử lại, ta thấy hàm f (x) = ax thoả mãn phưương trình (2.1). Kết luận. f (x) = ax, với a ∈ R tuỳ ý Nhận xét 1. 1) Từ điều kiện (2.1), ta thấy chỉ cần giả thiết f (x) là hàm liên tục tại một điểm x0 ∈ R cho trước là đủ. Khi đó, f (x) thoả mãn (2.1) sẽ liên tục trên R. Thật vậy, theo giả thiết thì lim f (x) = f (x0 ) x→x0 18 Chương 2.Phương trình hàm với cặp biến tự do và với mỗi x1 ∈ R ta đều có f (x) = f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ), ∀x ∈ R Từ đó suy ra lim f (x) = lim f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) x→x1 x→x0 = f (x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) = f (x1 ) 2) Kết quả của Bài toán 1. sẽ không thay đổi nếu ta thay đổi nếu ta thay R bằng [α, +∞) hoặc (−∞, β] tuỳ ý. Bài toán 13. Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thoả mãn điều kiện f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R (2.5) Giải. Nhận xét rằng f (x) ≡ 0 là một nghiệm của (2.5). Xét trường hợp f (x) 6= 0. Khi đó tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x0 ) 6= 0. Theo (2.5) thì f (x0 ) = f (x + (x0 − x)) = f (x)f (x0 − x) 6= 0, ∀x ∈ R Suy ra f (x) 6= 0, ∀x ∈ R và f (x) = f x 2 + x  n  x  o2 = f > 0, ∀x ∈ R 2 2 Đặt ln f (x) = g(x) (f (x) = eg(x) ). Khi đó g(x) liên tục trên R và g(x + y) = ln f (x + y) = ln[f (x)f (y)] = ln f (x) + ln f (y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R Theo Bài toán 1. thì g(x) = bx, b ∈ R tuỳ ý. Vậy f (x) = ebx = ax với a > 0 tuỳ ý. Kết luận. f (x) ≡ 0 hoặc f (x) = ax (a > 0) 19 2.1. Hàm số chuyển đổi các phép tính số học Bài toán 14. Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thoả mãn điều kiện  f (x − y) = f (x) , x, y ∈ R f (y)  f (x) 6= 0, ∀x ∈ R (2.6) Giải. Đặt x − y = z thì x = z + y và (2.6) tương đương với f (z) = Do đó f (z + y) , ∀z, y ∈ R f (y) ( f (z + y) = f (z)f (y), z, y ∈ R f (x) 6= 0, ∀x ∈ R Từ kết quả của Bài toán 2. và do f (x) 6= 0 suy ra f (x) = ax với a > 0 tuỳ ý. Kết luận. f (x) = ax , trong đó a > 0 tuỳ ý Bài toán 15. Xác định các hàm f (x) liên tục trên R \ {0} thoả mãn điều kiện f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R \ {0} (2.7) Giải. Thay y = 1 vào (2.7) ta được f (x)(1 − f (1)) = 0 ∀x ∈ R} Nếu f (1) 6= 1 thì từ (2.8) suy ra f (x) ≡ 0 và nghiệm này thoả mãn (2.7). Xét f (1) = 1. Khi đó  f (1) = f 1 x x    1 = f (x)f , ∀x ∈ R \ {0} x Vậy f (x) 6= 0 với mọi x ∈ R \ {0} và do đó f (x2 ) = f (x)f (x) = [f (x)]2 > 0, ∀x ∈ R \ {0} a) Xét x, y ∈ R+ . (2.8) 20 Chương 2.Phương trình hàm với cặp biến tự do Đặt x = eu , y = ev và f (et ) = g(et ). Khi đó ta có g(u + v) = g(u)g(v) ∀u, v ∈ R} (2.9) Theo Bài toán 2 thì (2.9) tương đương với g(t) = at ∀t ∈ R (a > 0 tuỳ ý) và do đó f (x) = f (eu ) = g(u) = au = aln x = (eln a )ln x = xln a = xα ∀x ∈ R+ (2.10) trong đó α = ln a. b) Khi x, y ∈ R− thì xy ∈ R+ . Với y = x, từ (2.7) và theo kết quả phần a), ta có [f (x)]2 = f (x2 ) = (x2 )β = (|x|β )2 , ∀ ∈ R− , β ∈ R tuỳ ý. Do f (x) là hàm liên tục trên R− nên f (x) = |x|β , ∀x ∈ R+ , hoặc f (x) = −|x|β , ∀x ∈ R− . Kết hợp a) và b) và thử lại các kết quả, ta có Kết luận. Nghiệm của (2.7) là một trong các hàm số sau 1) f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R \ {0}, 2) f (x) = |x|α , z; ∀x ∈ R \ {0} α ∈ R tuỳ ý 3) ( xβ , ∀x ∈ R+ f (x) = −|x|β , ∀x ∈ R− , β ∈ R tuỳ ý Bài toán 16. Xác định các hàm f (x) liên tục trên R \ {0} thoả mãn điều kiện f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R \ {0} (2.11)