Luận văn - Báo cáo
Kỹ thuật
Giao thông - Vận tải
Viễn thông
Điện - Điện tử
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Lý luận chính trị
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Triết học Mác - Lênin
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Kinh tế - Quản lý
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Marketing
Tài chính thuế
Chứng khoán
Xuất nhập khẩu
Kiểm toán
Kế toán
Quản trị kinh doanh
Tài chính - Ngân hàng
Bất động sản
Dịch vụ - Du lịch
Tiến sĩ
Thạc sĩ - Cao học
Kinh tế
Khoa học xã hội
Y dược - Sinh học
Sư phạm
Luật
Kiến trúc - Xây dựng
Nông - Lâm - Ngư
Kỹ thuật
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Báo cáo khoa học
Nông - Lâm - Ngư
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Địa lý - Địa chất
Khoa học xã hội
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Giáo dục học
Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Y khoa - Dược
Công nghệ - Môi trường
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Kinh tế thương mại
Tài chính - Ngân hàng
Quỹ đầu tư
Bảo hiểm
Đầu tư Bất động sản
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Kế toán - Kiểm toán
Ngân hàng - Tín dụng
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
Chứng chỉ quốc tế
Phần cứng
An ninh bảo mật
Tin học văn phòng
Quản trị web
Cơ sở dữ liệu
Hệ điều hành
Thiết kế - Đồ họa
Quản trị mạng
Kỹ thuật lập trình
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Thi THPT Quốc Gia
Địa ly
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Lịch sử
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Khối B
Môn sinh
Môn hóa
Môn toán
Khối A
Môn lý
Môn hóa
Môn tiếng Anh A1
Môn toán
Mầm non - Mẫu giáo
Mẫu giáo lớn
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Tiểu học
Lớp 1
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Trung học cơ sở
Lớp 9
Lớp 8
Lớp 7
Lớp 6
Trung học phổ thông
Lớp 10
Lớp 11
Lớp 12
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật công nghệ
Kiến trúc xây dựng
Sư phạm
Công nghệ thông tin
Luật
Khoa học xã hội
Chuyên ngành kinh tế
Y dược
Đại cương
Giáo dục hướng nghiệp
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Thể dục
Mỹ thuật
Âm nhạc
GDCD-GDNGLL
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Toán học
Vật lý
Luật
Văn học
Hóa học
Giáo án - Bài giảng
Mầm non
Tiểu học
Trung học cơ sở
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Ngoại ngữ
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Tiếng Nhật - Hàn
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kiến thức tổng hợp
Chứng chỉ A,B,C
Kỹ năng viết tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Anh ngữ cho trẻ em
Anh văn thương mại
Anh ngữ phổ thông
Ngữ pháp tiếng Anh
TOEFL - IELTS - TOEIC
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quy hoạch đô thị
Quản lý dự án
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý nhà nước
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Y học
Giáo dục học tập
Văn hóa giải trí
Công nghệ
Ngoại ngữ
Kinh tế
Ngôn tình
Truyện dài
Tự truyện
Tiểu thuyết
Truyện ngắn
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện cười
Truyện kiếm hiệp
Truyện thiếu nhi
Truyện văn học
Kinh doanh - Tiếp thị
Tổ chức sự kiện
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tiếp thị - Bán hàng
Thương mại điện tử
Kế hoạch kinh danh
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Văn hóa - Nghệ thuật
Du lịch
Sân khấu điện ảnh
Thời trang - Làm đẹp
Điêu khắc - Hội họa
Mỹ thuật
Chụp ảnh - Quay phim
Khéo tay hay làm
Ẩm thực
Âm nhạc
Báo chí - Truyền thông
Tôn giáo
Kỹ thuật - Công nghệ
Kỹ thuật viễn thông
Điện - Điện tử
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Năng lượng
Hóa học - Dầu khi
Kiến trúc xây dựng
Nông - Lâm - Ngư
Ngư nghiệp
Lâm nghiệp
Nông nghiệp
Biểu mẫu - Văn bản
Thủ tục hành chánh
Văn bản
Biểu mẫu
Hợp đồng
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Địa lý
Lịch sử
Khoa học tự nhiên
Toán học
Môi trường
Sinh học
Hóa học - Dầu khi
Vật lý
Y tế - Sức khỏe
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng làm việc nhóm
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Đăng ký
Đăng nhập
Luận văn - Báo cáo
Kỹ thuật
Giao thông - Vận tải
Viễn thông
Điện - Điện tử
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Lý luận chính trị
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Triết học Mác - Lênin
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Kinh tế - Quản lý
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Marketing
Tài chính thuế
Chứng khoán
Xuất nhập khẩu
Kiểm toán
Kế toán
Quản trị kinh doanh
Tài chính - Ngân hàng
Bất động sản
Dịch vụ - Du lịch
Tiến sĩ
Thạc sĩ - Cao học
Kinh tế
Khoa học xã hội
Y dược - Sinh học
Sư phạm
Luật
Kiến trúc - Xây dựng
Nông - Lâm - Ngư
Kỹ thuật
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Báo cáo khoa học
Nông - Lâm - Ngư
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Địa lý - Địa chất
Khoa học xã hội
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Giáo dục học
Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Y khoa - Dược
Công nghệ - Môi trường
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Kinh tế thương mại
Tài chính - Ngân hàng
Quỹ đầu tư
Bảo hiểm
Đầu tư Bất động sản
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Kế toán - Kiểm toán
Ngân hàng - Tín dụng
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
Chứng chỉ quốc tế
Phần cứng
An ninh bảo mật
Tin học văn phòng
Quản trị web
Cơ sở dữ liệu
Hệ điều hành
Thiết kế - Đồ họa
Quản trị mạng
Kỹ thuật lập trình
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Thi THPT Quốc Gia
Địa ly
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Lịch sử
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Khối B
Môn sinh
Môn hóa
Môn toán
Khối A
Môn lý
Môn hóa
Môn tiếng Anh A1
Môn toán
Mầm non - Mẫu giáo
Mẫu giáo lớn
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Tiểu học
Lớp 1
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Trung học cơ sở
Lớp 9
Lớp 8
Lớp 7
Lớp 6
Trung học phổ thông
Lớp 10
Lớp 11
Lớp 12
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật công nghệ
Kiến trúc xây dựng
Sư phạm
Công nghệ thông tin
Luật
Khoa học xã hội
Chuyên ngành kinh tế
Y dược
Đại cương
Giáo dục hướng nghiệp
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Thể dục
Mỹ thuật
Âm nhạc
GDCD-GDNGLL
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Toán học
Vật lý
Luật
Văn học
Hóa học
Giáo án - Bài giảng
Mầm non
Tiểu học
Trung học cơ sở
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Ngoại ngữ
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Tiếng Nhật - Hàn
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kiến thức tổng hợp
Chứng chỉ A,B,C
Kỹ năng viết tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Anh ngữ cho trẻ em
Anh văn thương mại
Anh ngữ phổ thông
Ngữ pháp tiếng Anh
TOEFL - IELTS - TOEIC
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quy hoạch đô thị
Quản lý dự án
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý nhà nước
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Y học
Giáo dục học tập
Văn hóa giải trí
Công nghệ
Ngoại ngữ
Kinh tế
Ngôn tình
Truyện dài
Tự truyện
Tiểu thuyết
Truyện ngắn
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện cười
Truyện kiếm hiệp
Truyện thiếu nhi
Truyện văn học
Kinh doanh - Tiếp thị
Tổ chức sự kiện
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tiếp thị - Bán hàng
Thương mại điện tử
Kế hoạch kinh danh
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Văn hóa - Nghệ thuật
Du lịch
Sân khấu điện ảnh
Thời trang - Làm đẹp
Điêu khắc - Hội họa
Mỹ thuật
Chụp ảnh - Quay phim
Khéo tay hay làm
Ẩm thực
Âm nhạc
Báo chí - Truyền thông
Tôn giáo
Kỹ thuật - Công nghệ
Kỹ thuật viễn thông
Điện - Điện tử
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Năng lượng
Hóa học - Dầu khi
Kiến trúc xây dựng
Nông - Lâm - Ngư
Ngư nghiệp
Lâm nghiệp
Nông nghiệp
Biểu mẫu - Văn bản
Thủ tục hành chánh
Văn bản
Biểu mẫu
Hợp đồng
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Địa lý
Lịch sử
Khoa học tự nhiên
Toán học
Môi trường
Sinh học
Hóa học - Dầu khi
Vật lý
Y tế - Sức khỏe
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng làm việc nhóm
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Trang chủ
Giáo dục - Đào tạo
Trung học phổ thông
Phương trình hàm - bd hsg toán 12...
Tài liệu Phương trình hàm - bd hsg toán 12
.PDF
15
261
69
hoanggiang80
Báo vi phạm
Tải xuống
69
Đang tải nội dung...
Xem thêm (5 trang)
Tải về
Mô tả:
PHƯƠNG TRÌNH HÀM Một trong những chuyên ñề rất quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi toán quốc gia, khu vực và quốc tế, ñó là phương trình hàm, bất phương trình hàm. Có rất nhiều tài liệu viết về chuyên ñề này. Qua một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi toán quốc gia và qua một số kì tập huấn hè tại ðại học khoa học tự nhiên – ðại học quốc gia Hà Nội, chúng tôi rút ra một số kinh nghiệm dạy về chuyên ñề này và trao ñổi với các ñồng nghiệp. Phần I: 1. NHẮC LẠI NHỮNG KHÁI NIÊM CƠ BẢN Nguyên lý Archimede Hệ quả: ∀x ∈ ¡ ⇒ ∃!k ∈ ¢ : k ≤ x < k + 1 . Số k như thế gọi là phần nguyên của x, kí hiệu [x] Vậy : [ x ] ≤ x < [ x ] + 1 2. Tính trù mật Tập hợp A ⊂ ¡ gọi là trù mật trong ¡ ⇔ ∀x, y ∈ ¡ , x < y ñều tồn tại a thuộc A sao cho x
0, ∃a ∈ A : α − ε < a α = sup A ⇔ a ≥ β , ∀a ∈ A ∀ε > 0, ∃a ∈ A : β + ε > a β = infA ⇔ 4. Hàm sơ cấp Hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược. Hàm số sơ cấp là những hàm ñược tạo thành bởi hữu hạn các phép toán số học ( +, - , x, : ), phép toán lấy hàm hợp ñối với các hàm số sơ cấp cơ bản. 5. Hàm cộng tính, nhân tính trên một tập hợp Hàm số f(x) ñược gọi là cộng tính trên tập xác ñịnh D nếu với mọi x, y ∈ D thì x + y ∈ D và f(x + y) = f(x) + f(y). Hàm số f(x) ñược gọi là nhân tính trên tập xác ñịnh D nếu với mọi x, y ∈ D thì x . y ∈ D và f(x . y) = f(x) . f(y). Nếu với mọi x, y ∈ D mà x+y ∈ D , x – y ∈ D và f( x – y) = f(x) – f(y) thì f(x) cũng gọi là một hàm cộng tính trên D. ( là hàm nhân tính. Hàm f(x) = 6. Hàm ñơn ñiệu • Hàm số f(x) gọi là tăng trên (a, b) nếu : Với mọi x1 , x2 ∈ (a, b), x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) • Hàm số f(x) gọi là giảm trên (a, b) nếu : Với mọi x1 , x2 ∈ (a, b), x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) Phần II. CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG Phương pháp 1: Hệ số bất ñịnh. Tạp chí toán học trong nhà trường, số 8 – 2004 trang 62 – 66 (bản tiếng Nga) Nguyên tắc chung: Dựa vào ñiều kiện bài toán, xác ñịnh ñược dạng của f(x), thường là f(x) = ax + b hoặc f(x) = ax2+ bx +c ðồng nhất hệ số ñể tìm f(x) Chứng minh rằng mọi hệ số khác của f(x) ñều không thỏa mãn ñiều kiện bài toán. Phương pháp dồn biến Bài 1: Tìm f: ¡ → ¡ sao cho: ( x − y ) f ( x + y ) − ( x + y ) f ( x − y ) = 4 xy.( x 2 − y 2 ), ∀x, y ∈ ¡ http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí Giải: u+v x= u = x + y 2 ðặt ⇒ v = x − y u y = − v 2 2 2 ⇒ vf (u ) − uf (v) = (u − v )uv f (u ) 2 f (v) 2 −u = − v , ∀u, v ≠ 0 u v Cho v = 1 ta có: f (u ) f (1) 2 − u2 = − 1 , ∀u ≠ 0 u 1 ⇒ f (u ) = u 3 + au , ∀u ≠ 0 (a = f(1) – 1) Cho x = y = 0 ta có 2f(0) = 0 do ñó f(0) = 0 Kết luận f ( x) = x3 + ax, ∀x ∈ ¡ ⇒ 1 x −1 Bài 2: f ( x − 1) − 3 f = 1 − 2 x, ∀x ≠ 2 1− 2x Giải : x −1 y 1− y ðặt : = y −1 ⇒ x = ⇒ x −1 = 1− 2x 2 y −1 2 y −1 1− y 1 −1 ⇒ f , ∀y ≠ − 3 f ( y − 1) = 2 y −1 2 2 y −1 1 −1 x −1 ⇒ f , ∀x ≠ − 3 f ( x − 1) = 2x −1 2 1 − 2x 1 x −1 f ( x − 1) − 3 f 1 − 2 x = 1 − 2 x, ∀x ≠ 2 ⇒ ⇒ f x − 1 − 3 f ( x − 1) = −1 , ∀x ≠ 1 2x −1 2 1 − 2x 3 ⇒ −8 f ( x − 1) = 1 − 2 x + 1 − 2x 1 3 1 ⇒ f ( x − 1) = −1 + 2 x + , ∀x ≠ 8 2x −1 2 1 3 1 ⇒ f ( x) = 1 + 2 x + , ∀x ≠ 8 2x +1 2 Ví dụ 1: ða thức f(x) xác ñịnh với ∀x ∈ ¡ và thỏa mãn ñiều kiện: 2 f ( x) + f (1 − x) = x 2 , ∀x ∈ ¡ (1) . Tìm f(x) Giải: Ta nhận thấy vế trái của biểu thức dưới dấu f là bậc nhất : x, 1 – x vế phải là bậc hai x2. Vậy f(x) phải có dạng: f(x) = ax2 + bx + c http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí Khi ñó (1) trở thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2 ∀x ∈ ¡ do ñó: 3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2, ∀x ∈ ¡ ðồng nhất các hệ số, ta thu ñược: 1 a = 3 3a = 1 2 ⇔ b = b − 2a = 0 3 a + b + 3c = 0 1 c = − 3 1 2 Vậy f ( x ) = ( x + 2 x − 1) 3 Thử lại ta thấy hiển nhiên f(x) thỏa mãn ñiều kiện bài toán. Công việc còn lại ta phải chứng minh mọi hàm số khác f(x) sẽ không thỏa mãn ñiều kiện bài toán. Thật vậy giả sử còn hàm số g(x) khác f(x) thỏa mãn ñiều kiện bài toán. Do f(x) không trùng với g(x) nên ∃x0 ∈ ¡ : g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) . Do g(x) thỏa mãn ñiều kiện bài toán nên: 2 g ( x) + g (1 − x) = x 2 , ∀x ∈ ¡ Thay x bởi x0 ta ñược: 2 g ( x0 ) + g (1 − x0 ) = x0 2 Thay x bởi 1 –x0 ta ñược 2 g (1 − x0 ) + g ( x0 ) = (1 − x0 ) 2 1 Từ hai hệ thức này ta ñược: g ( x0 ) = ( x0 2 + 2 x0 − 1) = f ( x0 ) 3 ðiều này mâu thuẫn với g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là f ( x ) = ( x 2 + 2 x − 1) 3 Ví dụ 2: Hàm số y = f(x) xác ñịnh , liên tục với ∀x ∈ ¡ và thỏa mãn ñiều kiện: f(f(x)) = f(x) + x , ∀x ∈ ¡ Hãy tìm hai hàm số như thế. (Bài này ñăng trên tạp chí KVANT số 7 năm 1986, bài M 995 – bản tiếng Nga) Giải Ta viết phương trình ñã cho dưới dạng f(f(x)) – f(x) = x (1) Vế phải của phương trình là một hàm số tuyến tính vì vậy ta nên giả sử rằng hàm số cần tìm có dạng : f(x) = ax + b. Khi ñó (1) trở thành: a( ax + b) + b – (ax + b) = x , ∀x ∈ ¡ hay (a2 –a )x + ab = x, ∀x ∈ ¡ ñồng nhất hệ số ta ñược: a 2 − a = 1 a = 1 + 5 a = 1 − 5 ⇔ 2 ∨ 2 ab = 0 b = 0 b = 0 Ta tìm ñược hai hàm số cần tìm là: 1± 5 f ( x) = x 2 http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí Hiển nhiên thỏa mãn ñiều kiện bài toán. Ví dụ 3: Hàm số f : ¢ → ¢ thỏa mãn ñồng thời các ñiều kiện sau: a ) f ( f ( n)) = n, ∀n ∈ ¢ (1) b) f ( f ( n + 2) + 2) = n, ∀n ∈ ¢ (2) c) f (0) = 1 Tìm giá trị f(1995), f(-2007) (olympic Ucraina 1995) (3) Giải: Cũng nhận xét và lý luận như các ví dụ trước, ta ñưa ñến f(n) phải có dạng: f(n) = an +b Khi ñó ñiều kiện (1) trở thành: a 2 n + ab + b = n, ∀n ∈ ¢ ðồng nhất các hệ số, ta ñược: a 2 = 1 a = 1 a = −1 ⇔ ∨ b = 0 b = 0 ab + b = 0 a = 1 ta ñược f(n) = n Với b = 0 Trường hợp này loại vì không thỏa mãn (2) a = −1 Với ta ñược f(n) = -n + b b = 0 Từ ñiều kiện (3) cho n = 0 ta ñược b = 1 Vậy f(n) = -n + 1 Hiển nhiên hàm số này thỏa mãn ñiều kiện bài toán. Ta phải chứng minh f(n) = -n +1 là hàm duy nhất thỏa mãn ñiều kiện bài toán Thật vậy giả sử tồn tại hàm g(n) khác f(n) cũng thỏa mãn ñiều kiện bài toán. Từ (3) suy ra f(0) = g(0) = 1 Từ (3) suy ra f(1) = g(1) = 0 Sử dụng ñiều kiện (1) và (2) ta nhận ñược: g(g(n)) = g(g(n+2)+2) ∀n ∈¢ do ñó g(g(g(n))) = g(g(g(n+2)+2)) ∀n ∈¢ Hay g(n) = g(n+2)+2 ∀n ∈¢ Giả sử n0 là số tự nhiên bé nhất làm cho f ( n0 ) ≠ g ( n0 ) Do f(n) cũng thỏa mãn (4) nên ta có: g (n0 − 2) = g (n0 ) + 2 = f (n0 ) + 2 = f (n0 − 2) ⇔ g (n0 − 2) = f (n0 − 2) Mâu thuẫn với ñiều kiện n0 là số tự nhiên bé nhất thỏa mãn (5) Vậy f(n) = g(n) , ∀n ∈ ¥ Chứng minh tương tự ta cũng ñược f(n) = g(n) với mọi n nguyên âm. Vậy f(n) = 1 – n là nghiệm duy nhất. Từ ñó tính ñược f(1995), f(-2007). Các bài tập tương tự: Bài 1: Tìm tất cả các hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn ñiều kiện: http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí f ( x + y ) + f ( x − y ) − 2 f ( x) f (1 + y ) = 2 xy (3 y − x 2 ), ∀x, y ∈ ¡ ðáp số f(x) = x3 Bài 2: Hàm số f : ¥ → ¥ thỏa mãn ñiều kiện f(f(n)) + f(n) = 2n + 3, ∀n ∈ ¥ Tìm f(2005) ðáp số : 2006 Bài 3: Tìm tất cả các hàm f : ¥ → ¥ sao cho: f ( f ( n)) + ( f ( n))2 = n 2 + 3n + 3, ∀n ∈ ¥ ðáp số : f(n) = n + 1 Bài 4: Tìm các hàm f : ¡ → ¡ nếu : 8 2 x −1 1− x 3f , ∀x ∉ 0, − ,1, 2 −5 f = 3 3x + 2 x − 2 x −1 ðáp số : f ( x) = Bài 5: Tìm tất cả các ña thức P(x) ∈ ¡ [ x ] sao cho: 28 x + 4 5x P(x + y) = P(x) + P(y) + 3xy(x + y), ∀x, y ∈ ¡ ðáp số : P(x) = x3 + cx Phương pháp xét giá trị Bài 1: Tìm f : ¡ → ¡ thỏa mãn: 1 1 1 f ( xy ) + f ( yz ) − f ( x ) f ( yz ) ≥ , ∀x, y, z ∈ ¡ 2 2 4 Giải: Cho x= y = z = 0: 1 1 1 f (0) + f (0) − f 2 (0) ≥ 2 2 4 1 2 ⇔ ( f (0) − ) ≤ 0 2 1 ⇔ f (0) = 2 Cho y = z = 0: 1 1 1 1 + − f ( x ) ≥ , ∀x ∈ ¡ 4 4 2 4 1 (1) ⇔ f ( x) ≤ , ∀x ∈ ¡ 2 Cho x= y = z = 1 1 1 1 f (0) + f (1) − f 2 (1) ≥ 2 2 4 1 ⇔ ( f (1) − ) 2 ≤ 0 2 1 ⇔ f (1) = 2 Cho y = z = 1 1 1 1 1 f ( x) + f ( x) − f ( x ) ≥ 2 2 2 4 1 (2)http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí ⇔ f ( x) ≥ , ∀x ∈ ¡ 2 1 2 Bài 2: Tìm f : (0,1) → ¡ thỏa mãn: f(xyz) = xf(x) + yf(y) +zf(z) ∀x, y, z ∈ (0,1) Giải : Chọn x = y = z: f(x3) = 3xf(x) f(x6) = 3 x2 f(x2) Thay x, y, z bởi x2 Mặt khác f(x6) = f(x. x2 .x3) = xf(x) + x2 f(x2) + x3 f(x3) 2 2 Hay 3 x f(x ) = xf(x) + x2 f(x2) + 3x4 f(x) 2 x2 f(x2) = xf(x) + 3x4 f(x) 3x3 + 1 f ( x), ∀x ∈ ¡ ⇒ f (x2 ) = 2 Thay x bởi x3 ta ñược : 3x9 + 1 6 f ( x3 ), ∀x ∈ ¡ ⇒ f (x ) = 2 3x9 + 1 3 xf ( x), ∀x ∈ ¡ ⇒ 3x 2 f ( x 2 ) = 2 3x3 + 1 3x9 + 1 3 xf ( x), ∀x ∈ ¡ f ( x) = ⇒ 3x 2 2 2 ⇒ f ( x) = 0, ∀x ≠ 0 Vậy f(x) = 0 với mọi x Phương pháp 2: Sử dụng tính chất nghiệm của một ña thức (Bài giảng của Tiến sỹ Nguyễn Vũ Lương – ðHKHTN – ðHQG Hà Nội) Ví dụ 1: Tìm P(x) với hệ số thực, thỏa mãn ñẳng thức: ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 2) P ( x − 1) = ( x3 − 3 x 2 + 3 x − 2) P ( x), ∀x (1) Giải: 2 2 (1) ⇔ ( x + 2)( x + x + 1) P ( x − 1) = ( x − 2)( x − x + 1) P ( x), ∀x Chọn : x = −2 ⇒ P ( −2) = 0 x = −1 ⇒ P (−1) = 0 Từ ( 1) và (2) ta có f(x) = x = 0 ⇒ P (0) = 0 x = 1 ⇒ P (1) = 0 Vậy P(x) = x(x – 1)(x + 1)(x + 2)G(x) Thay P(x) vào (1) ta ñược: ( x + 2)( x 2 + x + 1)( x − 1)( x − 2) x ( x + 1)G ( x − 1) = ( x − 2)( x 2 − x + 1) x( x − 1)( x + 1)( x + 2)G ( x ), ∀x ⇒ ( x 2 + x + 1) G ( x − 1) = ( x 2 − x + 1)G ( x), ∀x G ( x − 1) G ( x) = 2 , ∀x 2 x − x +1 x + x +1 G ( x − 1) G ( x) ⇔ = 2 , ∀x 2 ( x − 1) + ( x − 1) + 1 x + x + 1 ⇔ http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí G ( x) (x ≠ 0, ± 1, -2) x + x +1 ⇒ R ( x ) = R ( x − 1) (x ≠ 0, ± 1, -2) ðặt R( x) = 2 ⇒ R ( x) = C Vậy P ( x) = C ( x 2 + x + 1) x( x − 1)( x + 1)( x + 2) Thử lại thấy P(x) thỏa mãn ñiều kiện bài toán. Chú ý : Nếu ta xét P(x) = (x3 + 1)(x – 1) Thì P(x + 1) = (x3 + 3x2 + 3x + 2)x Do ñó (x3 + 3x2 + 3x + 2)xP(x) = (x2 – 1)(x2 – x + 1)P(x + 1) Từ ñó ta có bài toán sau Ví dụ 2: Tìm ña thức P(x) với hệ số thực, thỏa mãn ñẳng thức: (x3 + 3x2 + 3x + 2)xP(x) = (x2 – 1)(x2 – x + 1)P(x + 1) với mọi x Giải quyết ví dụ này hoàn toàn không có gì khác so với ví dụ 1 Tương tự như trên nếu ta xét: P(x) = (x2 + 1)(x2 – 3x + 2) Ta sẽ có bài toán sau: Ví dụ 3: Tìm ña thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn ñẳng thức: (4 x 2 + 4 x + 2)(4 x 2 − 2 x) P ( x) = ( x 2 + 1)( x 2 − 3 x + 2) P (2 x + 1), ∀x ∈ ¡ Các bạn có thể theo phương pháp này mà tự sáng tác ra các ñề toán cho riêng mình. Phương pháp 3: Sử dụng phương pháp sai phân ñể giải phương trình hàm. 1. Trước hết ta nhắc lại khái niệm về dãy số. Dãy số là một hàm của ñối số tự nhiên: x:¥ → ¥ n a x(n) Vì n ∈ {0,1, 2,3,...} ⇒ ( xn ) = { xo , x1 , x2 ,...} 2. ðịnh nghĩa sai phân Xét hàm x(n) = xn Sai phân cấp 1 của hàm xn là Vxn = xn +1 − xn Sai phân câp 2 của hàm xn là V2 xn =Vxn +1 −Vxn = xn + 2 − 2 xn +1 + xn k Sai phân câp k của hàm xn là Vk xn = ∑ ( −1)i Cki xn + k −i i =0 3. Các tính chất của sai phân Sai phân các cấp ñều ñược biểu thị qua các giá trị hàm số Sai phân có tính tuyến tính: k k ∆ (af + bg ) = a∆ f + b∆ k g Nếu xn ña thức bậc m thì: Là ña thức bậc m – k nếu m> k ∆ k xn Là hằng số nếu Là 0 nếu m= k m
0 ðặc trưng là f(xy) = f(x)f(y) Hàm mũ f ( x ) = a x ( a > 0, a ≠ 1) ∀x, y ∈ ¡ ðặc trưng hàm là f(x + y) = f(x)f(y), Hàm Logarit f ( x ) = log a x (a>0,a ≠ 1) ðặc trưng hàm là f(xy) = f(x) + f(y). f(x) = cosx có ñặc trưng hàm là f(x + y) + f(x – y) = 2f(x)f(y) Hoàn toàn tương tự ta có thể tìm ñược các ñặc trưng hàm của các hàm số f(x) =sinx, f(x) = tanx và với các hàm Hypebolic: sin hypebolic shx = e x − e− x 2 cos hypebolic chx = e x + e− x 2 tan hypebolic shx e x − e − x = thx = chx e x + e − x cot hypebolic cothx = shx có TXð là ¡ chx có TXð là ¡ thx có TXð là ¡ cothx có TXð là chx e x + e − x = shx e x − e − x tập giá trị là ¡ tập giá trị là [1, +∞ ) tập giá trị là (-1,1) ¡ \ {0} tập giá trị là (−∞, −1) ∪ (1, +∞ ) http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí 2. Ngoài ra bạn ñọc có thể xem thêm các công thức liên hệ giữa các hàm hypebolic, ñồ thị của các hàm hypebolic ðiểm bất ñộng Trong số học, giải tích, các khái niệm về ñiểm bất ñộng, ñiểm cố ñịnh rất quan trọng và nó ñược trình bày rất chặt chẽ thông qua một hệ thống lý thuyết. Ở ñây, tôi chỉ nêu ứng dụng của nó qua một số bài toán về phương trình hàm. Ví dụ 1: Xác ñịnh các hàm f(x) sao cho: f(x+1) = f(x) + 2 ∀x ∈ ¡ Giải: Ta suy nghĩ như sau: Từ giả thiết ta suy ra c = c + 2 do ñó c = ∞ Vì vậy ta coi 2 như là f(1) ta ñược f(x + 1) = f(x) + f(1) (*) Như vậy ta ñã chuyển phép cộng ra phép cộng. Dựa vào ñặc trưng hàm, ta phải tìm a : f(x) = ax ñể khử số 2. Ta ñược (*) ⇔ a ( x + 1) = ax + 2 ⇔a=2 Vậy ta làm như sau: ðặt f(x) = 2x + g(x) Thay vào (*) ta ñược: 2(x + 1) + g(x + 1) = 2x + g(x) + 2, ∀x ∈ ¡ ðiều này tương ñương với g(x + 1) = g(x), ∀x ∈ ¡ Vậy g(x) là hàm tuần hoàn với chu kì 1. ðáp số f(x) = 2x + g(x) với g(x) là hàm tuần hoàn với chu kì 1. Qua ví dụ 1, ta có thể tổng quát ví dụ này, là tìm hàm f(x) thỏa mãn: f(x + a) = f(x) + b, ∀x ∈ ¡ , a, b tùy ý Ví dụ 2: Tìm hàm f(x) sao cho: f(x + 1) = - f(x) + 2, ∀x ∈ ¡ (1) Giải: ta cũng ñưa ñến c = -c + 2 do ñó c = 1 vậy ñặt f(x) = 1 + g(x), thay vào (1) ta ñược phương trình: g(x + 1) = - g(x), ∀x ∈ ¡ Do ñó ta có: ⇔ g ( x + 1) = − g ( x ) g ( x + 2) = g ( x ) 1 g ( x ) = [ g ( x ) − g ( x + 1) ] ∀x ∈ ¡ 2 g ( x + 2) = g ( x ) (3) Ta chứng minh mọi nghiệm của (3) có dạng : 1 g ( x ) = [ h( x ) − h( x + 1) ] , ∀x ∈ ¡ 2 ở ñó h(x) là hàm tuần hoàn với chu kì 2 http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí qua ví dụ này, ta có thể tổng quát thành: f(x + a) = - f(x) + b, ∀x ∈ ¡ , a, b tùy ý Ví dụ 3: Tìm hàm f(x) thỏa mãn : f(x + 1) = 3f(x) + 2, ∀x ∈ ¡ (1) Giải: Ta ñi tìm c sao cho c = 3c + 2 dễ thấy c = -1 ðặt f(x) = -1 + g(x) Lúc ñó (1) có dạng g(x + 1) = 3g(x) ∀x ∈ ¡ Coi 3 như g(1) ta ñược g(x + 1) = g(1).g(x) ∀x ∈ ¡ (2) Từ ñặc trưng hàm, chuyển phép cộng về phép nhân, ta thấy phải sử dụng hàm mũ : a x +1 = 3a x ⇔ a = 3 Vậy ta ñặt: g ( x ) = 3x h( x ) thay vào (2) ta ñược: h(x + 1) = h(x) ∀x ∈ ¡ Vậy h(x) là hàm tuần hoàn chu kì 1. Kết luận f ( x ) = −1 + 3x h( x ) với h(x) là hàm tuần hoàn chu kì 1. Ở ví dụ 3 này, phương trình tổng quát của loại này là : f(x + a) = bf(x) + c, ∀x ∈ ¡ , a, b, c tùy ý, b > 0, b khác 1 Với loại này ñược chuyển về hàm tuần hoàn. Còn f(x + a) = bf(x) + c, ∀x ∈ ¡ , a, b, c tùy ý, b < 0, b khác 1 ñược chuyển về hàm phản tuần hoàn. Ví dụ 4: Tìm hàm f(x) thỏa mãn f(2x + 1) = 3f(x) – 2 ∀x ∈ ¡ (1) Giải: Ta có: c = 3c – 2 suy ra c = 1 ðặt f(x) = 1 + g(x) (2) Khi ñó (1) có dạng g(2x + 1) = 3g(x) ∀x ∈ ¡ Khi biểu thức bên trong có nghiệm ≠ ∞ thì ta phải xử lý cách khác. Từ 2x + 1 = x suy ra x = 1 Vậy ñặt x = -1 + t ta có 2x + 1 = -1 + 2t (2) có dạng: g(-1 + 2t) = 3g(-1 + t ) ∀t ∈ ¡ ðặt h(t) = g(-1 + 2t), ta ñược h(2t) = 3h(t) (3) 2t = t ⇔ t = 0 (2t ) m = 3.t m ⇔ m = log 2 3 Xét ba khả năng sau: Nếu t = 0 ta có h(0) = 0 Nếu t> 0 ñặt h(t ) = t log 2 3ϕ (t ) thay vào (3) ta có ϕ (2t ) = ϕ (t ), ∀t > 0 ðến ñây ta ñưa về ví dụ hàm tuần hoàn nhân tính. http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí ϕ (2t ) = −ϕ (t ), ∀t < 0 ϕ (2t ) = −ϕ (t ), ∀t < 0 h(t ) =| t |log 2 3 ϕ (t ) thay vào (3) ta ñược ⇔ ϕ (4t ) = ϕ (t ), ∀t < 0 1 ϕ (t ) = [ϕ (t ) − ϕ (2t )] , ∀t < 0 ⇔ 2 ϕ (4t ) = ϕ (t ), ∀t < 0 Nếu t < 0 ñặt Bài toán tổng quát của dạng này như sau: f (α x + β ) = f ( ax) + b α ≠ 0, ± 1 Khi ñó từ phương trình α x + β = x ta chuyển ñiểm bất ñộng về 0, thì ta ñược hàm tuần hoàn nhân tính. Nếu a = 0 bài toán bình thường Nếu a = 1 chẳng hạn xét bài toán sau: Tìm f(x) sao cho f(2x + 1) = f(x) – 2, ∀x ≠ -1 (1) Nghiệm 2x + 1 = x ⇔ x = −1 nên ñặt x = -1 + t thay vào (1) ta ñược f(-1 + 2t) = f(-1 + t) + 2, ∀t ≠ 0 ðặt g(t) = f( - 1 + t) ta ñược g(2t) = g(t) + 2 ∀t ≠ 0 (2) Từ tích chuyển thành tổng nên là hàm loga Ta có log a (2t ) = log a t − 2 ⇔a= Vậy ñặt 1 2 g (t ) = log 1 t + h(t ) 2 Thay vào (2) ta có h(2t ) = h(t ), ∀t ≠ 0 ðến ñây bài toán trở nên ñơn giản http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí
- Xem thêm -
Tài liệu liên quan
Key bài tập tiếng anh lớp 7 thí điểm lưu hoằng trí...
16
395490
155
Key bài tập tiếng anh lớp 8 thí điểm lưu hoằng trí...
16
364001
159
Keys bài tập tiếng anh 11 thí điểm lưu hoằng trí...
31
89238
192
320 câu hỏi trắc nghiệm giáo dục quốc phòng...
20
73117
109
Tuyển tập 25 đề thi học sinh giỏi môn địa lí lớp 11 ...
90
56479
147
Keys bài tập tiếng anh 10 thí điểm lưu hoằng trí...
35
55149
84
Key bài tập tiếng anh lớp 6 thí điểm lưu hoằng trí...
16
53793
146
Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi môn sinh học lớp 1...
146
46807
166
Tuyển tập 25 đề thi học sinh giỏi môn ngữ văn lớp 10...
90
44571
225
Tuyển tập 25 đề thi học sinh giỏi môn lịch sử lớp 10...
98
40877
123
Keys bài tập tiếng anh 12 thí điểm lưu hoằng trí...
30
37308
168
Tuyển tập 45 đề thi học sinh giỏi môn sinh học lớp 1...
157
35233
210
200 câu trắc nghiệm ôn tập điện dân dụng có đáp án h...
35
31498
80
Giáo trình thực vật dược...
118
27218
201
Một số bài thí nghiệm thực hành môn hóa học...
29
26560
103
Tuyển tập 40 đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 11 (c...
179
25399
125
Tuyển tập 60 đề thi học sinh giỏi môn tiếng anh lớp ...
508
19388
136
Hướng dẫn cộng điểm dành cho giáo viên bộ môn và giá...
4
18987
101
Tuyển tập 25 đề thi học sinh giỏi môn vật lý lớp 10 ...
93
18517
119
Báo cáo thực hành hóa sinh ...
7
17564
90
×
Tải tài liệu
Chi phí hỗ trợ lưu trữ và tải về cho tài liệu này là
đ
. Bạn có muốn hỗ trợ không?
Tài liệu vừa đăng
Skkn hiệu trưởng xây dựng bầu không khí tâm lý của tập thể trường thpt
1
122
Tác động của phương án thi tốt nghiệp thpt và tuyển sinh đại học cao đẳng 2015 tới sự lựa chọn khối thi và nghề nghiệp của học sinh thpt
29
1
91
Tìm hiểu tâm lí các bạn học sinh chưa ngoan và một số biện pháp giải quyết
31
1
108
Vai trò của nữ sinh thpt trong việc hạn chế tỷ lệ hút thuốc lá
19
1
99
Tuyển tập đề kiểm tra học kỳ 1 môn toán 12
68
1
143
Tuyển tập đề thi học kỳ 1 môn toán 12 (có đáp án)
139
1
136
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao hàm số và phương trình lượng giác
83
1
96
Trắc nghiệm nâng cao hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
76
1
98
Tuyển tập 30 đề thi giữa học kì 2 môn toán lớp 12
181
1
115
Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải bài tập môn toán 11 (quyển 1)
1
109
Tài liệu xem nhiều nhất
Key bài tập tiếng anh lớp 7 thí điểm lưu hoằng trí
16
395490
155
Key bài tập tiếng anh lớp 8 thí điểm lưu hoằng trí
16
364001
159
Keys bài tập tiếng anh 11 thí điểm lưu hoằng trí
31
89238
192
320 câu hỏi trắc nghiệm giáo dục quốc phòng
20
73117
109
Tuyển tập 25 đề thi học sinh giỏi môn địa lí lớp 11 (có đáp án chi tiết)
90
56479
147
Keys bài tập tiếng anh 10 thí điểm lưu hoằng trí
35
55149
84
Key bài tập tiếng anh lớp 6 thí điểm lưu hoằng trí
16
53793
146
Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi môn sinh học lớp 10 (có đáp án chi tiết)
146
46807
166
Tuyển tập 25 đề thi học sinh giỏi môn ngữ văn lớp 10 (có đáp án chi tiết)
90
44571
225
Tuyển tập 25 đề thi học sinh giỏi môn lịch sử lớp 10 (có đáp án chi tiết)
98
40877
123