Tài liệu Phương trình, bất phương trình hàm cơ bản trên tập số tự nhiên

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N SÌN H€ PH×ÌNG TRœNH, B‡T PH×ÌNG TRœNH H€M CÌ BƒN TR–N TŠP SÈ TÜ NHI–N LUŠN V‹N TH„C Sß TON HÅC THI NGUY–N - N‹M 2014 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N SÌN H€ PH×ÌNG TRœNH, B‡T PH×ÌNG TRœNH H€M CÌ BƒN TR–N TŠP SÈ TÜ NHI–N LUŠN V‹N TH„C Sß TON HÅC Chuy¶n ngh nh: PH×ÌNG PHP TON SÌ C‡P M¢ sè 60.46.01.13 Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc GS. TSKH. NGUY™N V‹N MŠU THI NGUY–N - N‹M 2014 Möc löc Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ch÷ìng 1. Ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n tªp sè tü nhi¶n . . . . . . . . . 3 1.1. Ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. C¡c lîp ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy li¶n töc . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. C¡c lîp ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n 4 1.1.3. C¡c v½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Jensen tr¶n tªp sè tü nhi¶n . . . . . . . . . . 13 1.2.1. C¡c d¤ng to¡n v· ph÷ìng tr¼nh h m Jensen tr¶n tªp sè tü nhi¶n 13 1.2.2. C¡c v½ dö minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Ph÷ìng tr¼nh h m D'Alembert tr¶n tªp sè tü nhi¶n . . . . . . . . . . . 19 1.3.1. C¡c d¤ng to¡n v· ph÷ìng tr¼nh h m D'Alembert tr¶n tªp sè tü nhi¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2. C¡c v½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1. B§t ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n . . . . . . . . . . . 23 2.2. B§t ph÷ìng tr¼nh h m Jensen tr¶n tªp sè tü nhi¶n . . . . . . . . . . . . 27 2.3. B§t ph÷ìng tr¼nh h m D'Alembert tr¶n tªp sè tü nhi¶n . . . . . . . 32 3.1. B§t ¯ng thùc trong d¢y sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2. B§t ¯ng thùc h m chuyºn êi c¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh . . . . . . 51 3.3. V½ dö ¡p döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Ch÷ìng 2. B§t ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n tªp sè tü nhi¶n . . . . 23 Ch÷ìng 3. Mët sè d¤ng kh¡c cõa b§t ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n tªp sè tü nhi¶n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 i Mð ¦u Ph÷ìng tr¼nh h m v  b§t ph÷ìng tr¼nh h m l  mët trong nhúng nëi dung chuy¶n · quan trång thuëc ch÷ìng tr¼nh chuy¶n to¡n trong c¡c tr÷íng trung håc phê thæng chuy¶n. C¡c b i to¡n li¶n quan ¸n ph÷ìng tr¼nh h m v  b§t ph÷ìng tr¼nh h m th÷íng l  nhúng b i to¡n khâ, th÷íng g°p trong c¡c k¼ thi håc sinh giäi c§p quèc gia, khu vüc, Olympic sinh vi¶n v  quèc t¸. Ph÷ìng tr¼nh h m, b§t ph÷ìng tr¼nh h m trong ch÷ìng tr¼nh to¡n trung håc phê thæng chuy¶n r§t phong phó v  a d¤ng, th÷íng khâ ph¥n lo¤i chi ti¸t theo d¤ng b i v  c¡c chuy¶n · ri¶ng bi»t. Tuy nhi¶n, cho ¸n nay v§n · v· t i li»u tham kh£o chuy¶n s¥u v· ph÷ìng tr¼nh h m v  b§t ph÷ìng tr¼nh h m dòng cho h» trung håc phê thæng chuy¶n vi¸t b¬ng ti¸ng vi»t cán kh¡ ½t äi chõ y¸u l  c¡c cæng tr¼nh nghi¶n cùu khoa håc cæng bè b¬ng ti¸ng anh ð mùc ë to¡n cao c§p v  i s¥u v o lþ thuy¸t cõa ph÷ìng tr¼nh h m v  b§t ph÷ìng tr¼nh h m vi¸t ð bë mæn gi£i t½ch h m dòng cho sinh vi¶n ¤i håc, c¡c t i li»u vi¸t b¬ng ti¸ng n÷îc ngo i d¹ t¼m tr¶n ph÷ìng ti»n Internet n¶n vi»c t¼m t i li»u tham kh£o cho to¡n phê thæng vi¸t b¬ng ti¸ng vi»t cán r§t khâ kh«n. C¡c b i tªp v· ph÷ìng tr¼nh h m v  b§t ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n c¡c tªp ¢ khâ èi vîi c¡c håc sinh trung håc phê thæng chuy¶n to¡n nâi chung n¶n ph÷ìng tr¼nh h m v  b§t ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n tªp sè tü nhi¶n l¤i c ng khâ kh«n hìn v¼ chóng ÷ñc x²t tr¶n tªp ríi r¤c. Ch½nh v¼ nhúng khâ kh«n ¢ · cªp ð tr¶n n¶n trong luªn v«n n y t¡c gi£ cè g­ng ÷a c¡c b i tªp ph÷ìng tr¼nh v  b§t ph÷ìng tr¼nh h m cì b£n tr¶n tªp sè tü nhi¶n v· nhúng d¤ng to¡n cö thº v  d¹ nhªn bi¸t hìn. Nhúng nëi dung ch½nh trong b i vi¸t cö thº nh÷ sau: Ch÷ìng 1. Ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n. 1.1. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n. 1 1.2. Ph÷ìng tr¼nh h m Jensen tr¶n tªp sè tü nhi¶n. 1.3. Ph÷ìng tr¼nh h m D'Alembert tr¶n tªp sè tü nhi¶n. 1.4. Ph÷ìng tr¼nh h m a ©n tr¶n tªp sè tü nhi¶n. Ch÷ìng 2. B§t ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n. 2.1. B§t ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n. 2.2. B§t ph÷ìng tr¼nh h m Jensen tr¶n tªp sè tü nhi¶n. 2.3. B§t ph÷ìng tr¼nh h m D'Alembert tr¶n tªp sè tü nhi¶n. Ch÷ìng 3. Mët sè d¤ng kh¡c cõa b§t ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n tªp sè tü nhi¶n. 3.1. B§t ¯ng thùc trong d¢y sè. 3.2. B§t ¯ng thùc h m chuyºn êi c¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh. 3.3. V½ dö ¡p döng T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c èi vîi GS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu, ng÷íi th¦y ¢ trüc ti¸p tªn t¼nh ch¿ b£o v  h÷îng d¨n, cung c§p t i li»u v  truy·n ¤t nhúng kinh nghi»m v· m°t nghi¶n cùu trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y (cæ) gi¡o trong khoa To¡n - Tin, pháng  o t¤o tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i nguy¶n,Tr÷íng THPT Hi»p Háa sè 2 v  c¡c b¤n çng nghi»p ¢ gióp ï t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh luªn v«n n y. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn ! Th¡i Nguy¶n, 2014 Nguy¹n Sìn H  2 Ch÷ìng 1 Ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n tªp sè tü nhi¶n 1.1. Ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n 1.1.1. C¡c lîp ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy li¶n töc ành l½ 1.1 . H m sè f : R → R li¶n töc tr¶n R v  thäa m¢n (Cauchy, [1]) i·u ki»n f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, l  h m sè d¤ng f (x) = ax, a ∈ R tòy þ. ành l½ 1.2 (D'Alembert, [1]) m¢n i·u ki»n . H m sè f : R → R li¶n töc tr¶n R v  thäa f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R, l  mët trong c¡c h m f (x) ≡ 0, f (x) ≡ 1 v  f (x) = ax , 1 6= a ∈ R+ tòy þ. ành l½ 1.3 . (D¤ng logarit, [1]) thäa m¢n i·u ki»n H m sè f : R+ → R li¶n töc tr¶n R+ v  f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R+ , l  h m f (x) = a ln x. a ∈ R tòy þ. ành l½ 1.4 (D¤ng lôy thøa, [1]) v  thäa m¢n i·u ki»n . H m sè f : R+ → R li¶n töc tr¶n R+ f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R+ , 3 l  mët trong c¡c h m f (x) ≡ 0, f (x) ≡ 1 v  h m f (x) = xm . 0 6= m ∈ R tòy þ. 1.1.2. C¡c lîp ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n l  • T¼m h m f : X → Y thäa m¢n N, N∗ ; Y câ thº l  N, N∗ , Z, R). • T¼m sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y i·u ki»n n o â (trong â X câ thº sè cho tr÷îc. 1.1.3. C¡c v½ dö V½ dö 1.1. [· · nghà IMO 1988] X¡c ành h m sè f :N→N thäa m¢n f (f (n) + f (m)) = n + m, ∀m, n ∈ N. Líi gi£i. Gi£ sû tçn t¤i h m sè f (x) thäa m¢n y¶u c¦u b i ra. Ta th§y f (x) l  ìn ¡nh. Thªt vªy, vîi n, m ∈ N v  f (n) = f (m), ta câ f (f (n) + f (m)) = n + m = f (f (n) + f (n)) = n + n→ n = m. Vîi måi n ∈ N, n ≥ 1, ta câ f (f (n) + f (n)) = 2n = (n − 1) + (n + 1) = f (f (n − 1) + f (n + 1)) i·u ki»n: f (n) + f (n) = f (n − 1) + f (n + 1) (do f l  ìn ¡nh). Theo nhªn x²t ban ¦u th¼ f l  h m sè tuy¸n t½nh, tùc l  f câ d¤ng f (n) = an + b. Thû l¤i ta ph£i câ a [(an + b) + (am + b)] + b = n + m vîi måi n, m ∈ N, tø â ÷ñc a = 1, b = 0. Vªy f (n) = n l  h m sè c¦n t¼m. n¶n V½ dö 1.2. f : N → N çng f (mn) = f (m) · f (n) , ∀m, n ∈ N. [Putnam 1963] X¡c ành t§t c£ c¡c h m sè f (2) = 2 v  Líi gi£i. Gi£ sû tçn t¤i h m sè f (x) thäa m¢n y¶u c¦u b i ra. Do f (x) l  h m sè çng bi¸n 0 ≤ f (0) < f (1) < f (2) = 2 n¶n f (0) = 0, f (1) = 1. °t f (3) = 3 + k, k ∈ N; f (6) = f (2) · f (3) th¼ f (6) = 6 + 2k. Nh÷ vªy f (5) ≤ 5 + 2k n¶n f (10) = f (2) · f (5) ≤ 10 + 4k . Lªp luªn t÷ìng tü ÷ñc f (9) ≤ 9 + 4k n¶n f (18) ≤ 18 + 8k, suy ra f (15) ≤ 15 + 8k . bi¸n, thäa m¢n i·u ki»n: 4 M°t kh¡c f (3) = 3 + k; f (5) ≥ 5 + k n¶n f (15) = f (3) f (5) ≥ (3 + k)(5 + k). Tâm l¤i ta ÷ñc: Vªy (3 + k)(5 + k) ≤ 15 + 8k ⇔ k 2 ≤ 0 ⇔ k = 0. f (3) = 3. n ∈ N∗ . Thªt vªy, hiºn nhi¶n, kh¯ng ành óng vîi n = 1. n n Gi£ sû kh¯ng ành óng tîi n, tùc l : f (2 + 1) = 2 + 1, khi â
f 2n+1 + 2 = f (2) f (2n + 1) = 2 (2n + 1) = 2n+1 + 2. Do f l  h m sè çng bi¸n v  l  ìn ¡nh n¶n tªp  f (2n + 2); f (2n + 3); . . . ; f (2n+1 + 2) gçm 2n +1 sè æi mët kh¡c nhau, n s­p x¸p theo thù tü t«ng d¦n, l  £nh cõa tªp gçm 2 + 1 sè æi mët kh¡c  n n n+1 nhau 2 + 2; 2 + 3; . . . ; 2 +2 . n n n Nh÷ vªy, ta câ f (2 + i) = 2 + i, vîi måi i ∈ {2; 3; . . . ; 2 + 2} tùc l  f (2n + 1) = 2n + 1. Nâi c¡ch kh¡c, kh¯ng ành óng tîi n + 1. ∗ Theo nguy¶n lþ quy n¤p, kh¯ng ành óng vîi måi n ∈ N . Lªp luªn ho n to n t÷ìng tü ta công ÷ñc f (n) = n vîi måi n ∈ N. Ta s³ chùng minh f (2n + 1) = 2n + 1, vîi måi D¹ th§y h m sè n y thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh ¢ cho. Vªy f (n) = n V½ dö 1.3. l  h m sè c¦n t¼m. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f :N→R thäa m¢n i·u ki»n f (0) = 1; f (1) = 2; f (n + 1) f 2 (n − 1) = f 3 (n) , ∀n ∈ N∗ . Líi gi£i. Gi£ sû tçn t¤i h m sè f (n) thäa m¢n y¶u c¦u b i ra. f (n) > 0, ∀n ∈ N. L§y lægarit cõa c¡c biºu thùc tr¶n ta ÷ñc: ln f (0) = 0, ln f (1) = ln 2 v  ln f (n + 1) + 2 ln f (n − 1) = 3 ln f (n) , ∀n ∈ N. °t xn = ln f (n) , (n ∈ N) ta ÷ñc ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh: x0 = 0; x1 = ln 2; xn+2 − 3xn+1 + 2xn = 0, (n ∈ N). 2 Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng: λ − 3λ + 2 = 0 ⇔ λ = 1 ho°c λ = 2. n n n Nghi»m têng qu¡t: xn = A · 1 + B · 2 = A + B · 2 . B¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p ta chùng minh ÷ñc 5 Tø  c¡c i·u ki»n ¢ cho  ta ÷ñc: A+B =0 A = − ln 2 A + 2B = ln 2 ⇔ B = ln 2 n 2n −1 Suy ra xn = (2 − 1) · ln 2 = ln 2 f (n) . n 2 −1 Tø â ta ÷ñc f (n) = 2 . D¹ th§y h m sè n y thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh ¢ cho. f (n) = 22 Vªy h m sè c¦n t¼m l  V½ dö 1.4. X¡c ành h m sè n −1 , f :N→R f (0) = 2, f (n + 1) = 3f (n) + Líi gi£i. Gi£ sû tçn t¤i h m sè f (n) (n ∈ N). thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m: q 8f 2 (n) + 1, ∀n ∈ N. thäa m¢n y¶u c¦u b i ra. Tø gi£ thi¸t ta câ: q f (n + 1) − 3f (n) = 8f 2 (n) + 1 (≥ 1 > 0, ∀n ∈ N), n¶n (f (n + 1) + 3f (n))2 = 8f 2 (n) + 1. Suy ra f 2 (n + 1) + f 2 (n) = 6f (n) f (n + 1) + 1. Thay n bði n−1 (1.1) ta ÷ñc f 2 (n) + f 2 (n − 1) = 6f (n − 1) · f (n) + 1. (1.2) Trø tøng v¸ cõa (1.2) cho (1.1), ta ÷ñc f 2 (n + 1) − f 2 (n − 1) = 6f (n) (f (n + 1) − f (n − 1)) . Tø gi£ thi¸t ta cán câ f (n) > 0 vîi måi n (chùng minh b¬ng quy n¤p). p Ngo i ra f (n + 1) > 3f (n) = 9f (n − 1) + 3 8f 2 (n − 1) + 1 > f (n − 1) n¶n f (n + 1) − f (n − 1) > 0 n¶n f (n + 1) + f (n − 1) = 6f (n). Vªy ta ÷ñc ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh √ f (0) = 2, f (1) = 6 + 33, f (n + 2) − 6f (n + 1) + f (n) = 0, ∀n ∈ N. Gi£i ph÷ìng tr¼nh n y ta ÷ñc: f (n) = D¹ th§y h m sè (8 + √ f (n) 66)(3 + 8 √ n 8) + (8 − √ tr¶n l  h m sè c¦n t¼m. 6 66)(3 − 8 √ n 8) . V½ dö 1.5. T¼m h m sè f :N→N thäa m¢n i·u ki»n f (1) > 0; f (m2 + n2 ) = f 2 (m) + f 2 (n), ∀m, n ∈ N. f (n) thäa m¢n y¶u c¦u b i ra. Ta câ f (1) = f (12 + 02 ) = f 2 (1) + f 2 (0) n¶n f (0) = 0; f (1) = 1. 2 2 ∗ Theo b i ra, cho m = 0 ÷ñc f (n ) = f (n), ∀n ∈ N . 2 2 Ta câ f (2) = f (1 + 1) = 2f (1) = 2, f (4) = f (22 ) = f 2 (2) = 22 = 4, f (5) = f (22 + 12 ) = f 2 (2) + f 2 (1) = 4 + 1 = 5, f (25) = f (52 ) = 25 = f (32 + 42 ) = f 2 (3) + f 2 (4) = f 2 (3) + 4, n¶n f (3) = 3,

2
2
2 = f 2 (3) + f 2 (1) = 32 + 12 = 100, f (100) = f (102 ) = f 32 + 12 f (100) = f (62 + 82 ) = f 2 (6) + f 2 (8) = f 2 (6) + f 2 (22 + 22 )
2 = f 2 (6) + f 2 (2) + f 2 (2) = f 2 (6) + (4 + 4)2 = f 2 (6) + 64 ⇒ f (6) = 6. Líi gi£i. Gi£ sû tçn t¤i h m sè Ta s³ chùng minh f (n) = n, ∀n ∈ N∗ . (1.3) n = 6. Gi£ sû (1.3) óng vîi måi m < n, (n ≥ 6). Khi â, n¸u n = 2k + 1 v  2 2 2 2 do (2k + 1) + (k − 2) = (2k − 1) + (k + 2) n¶n ta câ  f ((2k + 1)2 + (k − 2)2 ) = f 2 (2k + 1) + f 2 (k − 2) f ((2k − 1)2 + (k + 2)2 ) = f 2 (2k − 1) + f 2 (k + 2) 2 2 2 2 Suy ra f (2k + 1) + f (k − 2) = f (2k − 1) + f (k + 2). M  0 < k − 2 < k + 2 < 2k − 1 < 2k + 1 = n n¶n theo gi£ thi¸t quy  2 2  f (k − 2) = (k − 2) n¤p, ta câ: f 2 (2k − 1) = (2k − 1)2  2 f (k + 2) = (k + 2)2 2 2 2 2 2 Suy ra f (2k + 1) = (2k − 1) + (k + 2) − (k − 2) = (2k + 1) . Vªy ta câ f (n) = f (2k + 1) = 2k + 1 = n. T÷ìng tü, khi n = 2k + 2 sû döng ¯ng thùc Thªt vªy, theo tr¶n ¢ óng ¸n (2k + 2)2 + (k − 4)2 = (2k − 2)2 + (k + 4)2 , 7 f (n) = f (2k + 2) = 2k + 2 = n. ÷ñc f (n) = n. v  l m t÷ìng tü n¶n ta công ÷ñc Vªy theo nguy¶n l½ quy n¤p ta Thû l¤i ta th§y V½ dö 1.6. f (n) = n l  h m sè c¦n t¼m. f : N∗ → N∗ thäa m¢n i·u ki»n f (n + 1) > f (f (n)), ∀n ∈ N∗ . Chùng minh r¬ng f (n) = n, ∀n ∈ N∗ . ∗ Líi gi£i. Do Rf ⊆ N , Rf 6= 0 n¶n tçn t¤i ph¦n tû nhä nh§t cõa Rf . Tø gi£ thi¸t ta câ f (2) > f (f (1)) > 0; f (3) > f (f (2)); . . . Vªy ph¦n tû nhä nh§t cõa Rf khæng thº l  f (2); f (3); . . . . Nâi c¡ch kh¡c, f (1) l  ph¦n tû nhä nh§t duy nh§t cõa Rf . Do f (1) ≥ 1 suy ra f (n) > 1, ∀n > 1. ∗ ∗ Vªy câ thº h¤n ch¸ x²t h m sè f : N \ {1} → N \ {1} . T÷ìng tü tr¶n ta công câ f (2) l  ph¦n tû nhä nh§t duy nh§t cõa f (N∗ \ {1}) v  f (n) > 2, ∀n > 2. ∗ ∗ L°p l¤i qu¡ tr¼nh t÷ìng tü tr¶n (x²t f : N \ {1; 2} → N \ {1; 2} , . . . ) ta ∗ ÷ñc f (1) < f (2) < f (3) < . . . Suy ra f (n) ≥ n, ∀n ∈ N . Ngo i ra, ta cán câ f (n) l  h m sè çng bi¸n. ∗ Gi£ sû ∃n ∈ N , f (n) > n suy ra f (n) ≥ n + 1 hay l  f (f (n)) ≥ f (n + 1) (do f (n) çng bi¸n). ∗ i·u â m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t f (f (n)) < f (n + 1), ∀n ∈ N . Vªy f (n) = n. H m sè n y hiºn nhi¶n thäa m¢n i·u ki»n ¢ cho trong [IMO 1997] Cho h m sè b i ra. Tâm lai, ta ÷ñc V½ dö 1.7. f (n) = n, ∀n ∈ N∗ . T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : N∗ → N∗ sao cho  f (2) = 2, f (mn) = f (m).f (n), ∀m, n ∈ N∗ ,  f (m) < f (n), ∀m < n. f thäa m¢n c¡c y¶u c¦u cõa b i to¡n. Khi â, chån n = 1, ta câ f (1) = f (1.1) = f (1).f (1) n¶n f (1) = 1. Ta th§y r¬ng 2 = f (2) < f (3) < f (4) = f (2).f (2) = 4 n¶n f (3) = 3 v  4 = f (4) < f (5) < f (6) = f (2).f (3) = 6 n¶n f (5) = 5. ∗ Ta chùng minh f (n) = n, ∀n ∈ N . Líi gi£i. Gi£ sû tçn t¤i h m sè 8 Thªt vªy, ta chùng minh b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p. f (1) = 1, f (2) = 2. Gi£ sû kh¯ng ành f (n) = n ¢ óng tîi n = k, k ≥ 2. Lóc n y f (k) = k , ta c¦n chùng minh f (k + 1) = k + 1. N¸u k l  sè l´ th¼ k + 1 l  sè ch®n v  k+1 k+1 k+1 f (k + 1) = f (2. ) = f (2).f ( ) = 2. = k + 1. 2 2 2 k+2 N¸u k l  sè ch®n th¼ k + 2 l  sè ch®n v  do ≤ k n¶n theo gi£ thi¸t 2 Ta câ quy n¤p ta câ f( k+2 k+2 )= . 2 2 k+2 k+2 k+2 ) = f (2).f ( ) = 2. = k + 2. 2 2 2 Ta câ k = f (k) < f (k + 1) < f (k + 2) = k + 2 n¶n f (k + 1) = k + 1. Vªy kh¯ng ành v¨n cán óng vîi n = k + 1. ∗ Theo nguy¶n l½ quy n¤p, ta câ f (n) = n, ∀n ∈ N . Thû l¤i, ta th§y f (n) = n thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. Vªy f (k + 2) = f (2. V½ dö 1.8. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : N∗ → N∗  f (2) = 2 f (mn) = f (m).f (n), ∀m, n ∈ N∗  f (m) < f (n), ∀m < n Líi gi£i. sao cho ; U CLN (m, n) = 1. f thäa m¢n c¡c y¶u c¦u cõa b i to¡n. f (1) = f (1.1) = f (1).f (1) n¶n f (1) = 1. Gi£ sû tçn t¤i h m sè Khi â, chån n = 1, ta ÷ñc Ta th§y r¬ng: f (3).f (5) = f (15) < f (2).f (9) < f (2).f (10) = f (2).f (2).f (5). Suy ra f (3) < f (2).f (2) = 4. M  2 = f (2) < f (3) < 4 n¶n f (3) = 3. Tø â ta t½nh ÷ñc: f (4) = 4, f (5) = 5, f (6) = 6, f (7) = 7, f (8) = 8, f (9) = 9, f (10) = 10. ∗ ∗ Do â f (n) = n, ∀n ∈ N , n ≤ 10. Ta chùng minh f (n) = n, ∀n ∈ N . ∗ Gi£ sû f (k) = k (k ∈ N , 10 ≤ k ≤ n). Ta c¦n chùng minh i·u kh¯ng ành v¨n cán óng vîi k = n + 1. 9 N¸u k l  sè ch®n, ta x²t hai tr÷íng hñp sau: • Tr÷íng hñp k = 2α (2l + 1), α, l ∈ N∗ . f ((k + 1) + 2) = f (2α + 2) = f (2(2α−1 + 1)) = f (2).f (2α−1 + 1). • Tr÷íng hñp k = 2α , α ∈ N∗ . f (k + 2) = f (2α + 2) = f (2(2α−1 + 1)) = f (2).f (2α−1 + 1) = 2(2α−1 + 1) = 2α + 2 = k + 2. M°t kh¡c k − 1 = f (k − 1) < f (k) < f (k + 1) < f (k + 2) = k + 2. Do â f (k) = k, f (k + 1) = k + 1. Vîi k l  sè l´ th¼ k + 1 l  sè ch®n, ta x²t hai tr÷íng hñp sau: • Tr÷íng hñp k + 1 = 2α (2l + 1), α, l ∈ N∗ . α Khi â 0 < 2 ≤ n, 0 < 2l + 1 ≤ n. Theo gi£ thi¸t quy n¤p ta câ: f ((k + 1) + 2) = f (2α + 2) = f (2(2α−1 + 1)) = f (2).f (2α−1 + 1). M  k − 1 = f (k − 1) < f (k) < f (k + 1) = k + 1 n¶n f (k) = k . • Tr÷íng hñp k + 1 = 2α , α ∈ N∗ . f ((k + 1) + 2) = f (2α + 2) = f (2(2α−1 + 1)) = f (2).f (2α−1 + 1) = 2(2α−1 + 1) = 2α + 2 = (k + 1) + 2 = k + 3. M  k − 1 = f (k − 1) < f (k) < f (k + 1) < f (k + 2) < f (k + 3) = k + 3 n¶n f (k) = k, f (k + 1) = k + 1, f (k + 2) = k + 2. Theo nguy¶n l½ quy n¤p, ta câ f (n) = n. ∗ Thû l¤i th§y f (n) = n, ∀n ∈ N thäa m¢n y¶u c¦u · b i. V½ dö 1.9. T¼m t§t c¡c h m sè f (1) > 0 v  f :N→N thäa m¢n c¡c i·u ki»n f (m2 + n2 ) = f 2 (m) + f 2 (n). f thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. 2 Vîi m = n = 0 ta câ f (0) = 2f (0) n¶n f (0) = 0. 2 2 2 2 2 2 Vîi n = 0 ta câ f (m ) = f (m). Khi â f (m + n ) = f (m ) + f (n ). 2 Ta nhªn x²t r¬ng f (1) = f (1) ⇒ f (1)(1 − f (1)) = 0, n¶n f (1) = 1 (v¼ f (1) > 0). f (2) = f (12 + 12 ) = f 2 (1) + f 2 (1) = 2, f (4) = f (22 ) = f 2 (2) = 4, f (5) = f (22 + 12 ) = 5; 25 = f (52 ) = f (32 + 42 ) n¶n f (3) = 3. Líi gi£i. Gi£ sû h m sè 10 f (6) = 6, f (7) = 7, f (8) = 8, f (9) = 9, f (10) = 10. Vªy f (n) = n vîi n ≤ 10. B¬ng quy n¤p ta chùng minh f (n) = n, ∀n ∈ N. Gi£ sû f (k) = k, k ≥ 10. Ta chùng minh f (k + 1) = k + 1. Ta th§y r¬ng (k + 1) câ d¤ng sau 5m + r, 0 ≤ r ≤ 4; m, r ∈ N. Ta công t½nh ÷ñc Ta l¤i câ c¡c ¯ng thùc sau: (5m)2 = (4m)2 + (3m)2 (5m + 1)2 + 22 = (4m + 2)2 + (3m − 1)2 (5m + 2)2 + 12 = (4m + 1)2 + (3m + 2)2 (5m + 3)2 + 12 = (4m + 3)2 + (3m + 1)2 (5m + 4)2 + 22 = (4m + 2)2 + (3m + 4)2 • Vîi k + 1 = 5m th¼ f 2 (5m) = f ((5m)2 ) = f 2 (4m) + f 2 (3m) = (5m)2 n¶n f (5m) = 5m. • Vîi k+1 = 5m+1 th¼ f ((5m + 1)2 +22 ) = f ((4m + 2)2 )+f ((3m − 1)2 ) n¶n f (5m + 1) = 5m + 1. • Vîi k+1 = 5m+2 th¼ f ((5m + 2)2 +12 ) = f ((4m + 1)2 )+f ((3m + 2)2 ) n¶n f (5m + 2) = 5m + 2. • Vîi k+1 = 5m+3 th¼ f ((5m + 3)2 +12 ) = f ((4m + 3)2 )+f ((3m + 1)2 ) n¶n f (5m + 3) = 5m + 3. • Vîi k+1 = 5m+4 th¼ f ((5m + 4)2 +22 ) = f ((4m + 2)2 )+f ((3m + 4)2 ) n¶n f (5m + 4) = 5m + 4. Vªy f (k + 1) = k + 1. Do â f (n) = n, ∀n ∈ N. Thû l¤i, ta th§y h m sè f (n) = n, ∀n ∈ N thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. V½ dö 1.10. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : N∗ → N∗ thäa m¢n i·u ki»n f (n + f (n)) = f (n), ∀n ∈ N∗ , ∃x0 ∈ N∗ : f (x0 ) = 1. f thäa m¢n c¡c ∗ Gåi x1 = min {x : x ∈ N , f (x) = 1} . Suy ra f (x1 + 1) = f (x1 + f (x1 )) = f (x1 ) = 1. ∗ Do â f (n) = 1, ∀n ∈ N , n ≥ x1 . Gi£ sû x1 > 1. Khi â Líi gi£i. Gi£ sû tçn t¤i h m sè y¶u c¦u cõa · b i. f (x1 ) − 1 + f (x1 − 1) = f (x1 − 1). 11 (1.4) • • x1 − 1 + f (x1 − 1) ≥ x1 th¼ tø (1.4) suy ra f (x1 − 1) = 1, N¸u x1 − 1 + f (x1 − 1) < x1 th¼ f (x1 − 1) < 1, công væ lþ. ∗ Vªy f (n) = 1, ∀n ∈ N . Thû l¤i th§y óng. N¸u V½ dö 1.11. [IMO-1977]Cho f : N∗ → N∗ væ lþ. l  h m sè thäa i·u ki»n f (n + 1) > f (f (n)), ∀n ∈ N∗ . Chùng minh r¬ng Líi gi£i. f (n) = n, ∀n ∈ N∗ . Gi£ sû tçn t¤i h m sè thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. d l  ph¦n tû nhä nh§t trong mi·n gi¡ trà cõa h m sè f , d = min {f (n) : n ∈ N∗ } theo nguy¶n l½ s­p thù tü tèt, d tçn t¤i v  Gåi tùc l  l  duy nh§t. m ∈ N∗ sao cho f (m) = d. N¸u m > 1 th¼ d = f (m) > f (f (m − 1)) m¥u thu¨n. Vªy m = 1. Do â f (n) ¤t gi¡ trà nhä nh§t duy nh§t mët iºm m = 1. ∗ B¥y gií ta x²t {f (n) : n ∈ N , n ≥ 2}. ∗ B¬ng lªp luªn t÷ìng tü ta công câ f (2) = min {f (n) : n ∈ N , n ≥ 2}. Hìn núa f (2) > f (1). V¼ n¸u f (2) = f (1) th¼ f (1) = f (2) > f (f (1)), m¥u Gåi thu¨n. L°p l¤i qu¡ tr¼nh lªp luªn nh÷ tr¶n ta thu ÷ñc: f (1) < f (2) < f (3) < f (4) < · · · < f (n) < . . . f (n) ∈ N∗ . Vîi f (1) ≥ 1, tø (1.5) ta Gi£ sû f (k) > k khi â f (k) ≥ k + 1. V¼ suy ra r¬ng (1.5) f (k) ≥ k . M°t kh¡c theo i·u ki»n b i to¡n ta câ: f (k + 1) > f (f (k)). f (k + 1) ≤ f (f (k)), i·u n y thu¨n vîi (1.6), vªy khæng thº câ f (k) > k . ∗ Do â f (k) = k, ∀k ∈ N , hay f (n) ≡ n. ∗ Thû l¤i, ta th§y: f (n) = n, ∀n ∈ N thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. Tø f (k) ≥ k + 1 v  tø (1.5) suy ra 12 (1.6) m¥u V½ dö 1.12. f (1) = 1 Líi gi£i. v  f : N∗ → N∗ T¼m t§t c£ c¡c h m sè f (f (n))f (n + 2) + 1 = f (n + 1)f (f (n + 1)), ∀n ∈ N∗ . Gi£ sû tçn t¤i h m sè f n = 1. (1.7) thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. Ta chùng minh b¬ng quy n¤p r¬ng vîi * Vîi thäa m¢n n ∈ N∗ th¼ f (n + 1) > f (f (n)). Hiºn nhi¶n (1.7) óng. n = k, (k ≥ 1). Ta chùng minh (1.7) óng vîi n = k + 1. Thªt vªy, ta câ f (f (k))f (k + 2) = f (k + 1)f (f (k + 1)) − 1. * Gi£ sû (1.7) óng vîi Do â f (k + 1) = f (k + 1)f (f (k + 1)) − 1 (f (f (k)) + 1)f (f (k + 1)) − 1 ≥ f (f (k)) f (f (k)) f (f (k))f (f (k + 1)) = f (f (k + 1)). > f (f (k)) f (n + 1) > f (f (n)), ∀n ∈ N∗ . ∗ Vªy ta câ f (n) = n, ∀n ∈ N . ∗ Thû l¤i ta th§y f (n) = n, ∀n ∈ N thäa m¢n Tø â suy ra i·u ki»n b i to¡n. 1.2. Ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Jensen tr¶n tªp sè tü nhi¶n 1.2.1. C¡c d¤ng to¡n v· ph÷ìng tr¼nh h m Jensen tr¶n tªp sè tü nhi¶n X²t b i to¡n x¡c ành h m sè f( f ∈ C(R) thäa m¢n i·u ki»n x+y f (x) + f (y) )= , ∀x, y ∈ R. 2 2 C¡c c¡ch cho b i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m Jensen tr¶n tªp sè tü nhi¶n: l  • T¼m h m f : X → Y thäa m¢n N, N∗ ; Y câ thº l  N, N∗ , Z, R) • T¼m sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y i·u ki»n n o â (trong â sè cho tr÷îc. 13 X câ thº 1.2.2. C¡c v½ dö minh håa V½ dö 1.13. f : N → Z T¼m thäa m¢n i·u ki»n f (m + f 2 (m + 1)) = −f 2 (m + 1) − (m + 1), ∀m ∈ N. f (n) thäa m¢n y¶u c¦u b i ra. 2 °t k = f (m + 1) suy ra k ∈ N do f (m + 1) ∈ Z. Ta ÷ñc f (m + k) = −k − m − 1 = −(m + k) − 1 n¶n f (n) = −n − 1. Líi gi£i. Gi£ sû tçn t¤i h m sè Thû l¤i, h m sè n y thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh ¢ cho. Vªy f (n) = −n − 1(n ∈ N) V½ dö 1.14. T¼m f :N→N l  h m sè c¦n t¼m. thäa m¢n i·u ki»n f (f (n)) + f (n) = 2n + 3, ∀n ∈ N. f (n) thäa m¢n y¶u c¦u b i ra. Cho n = 0 ta ÷ñc f (f (0)) + f (0) = 3 suy ra f (0) ≤ 3. N¸u f (0) = 0 ta ÷ñc 0 = 3 l  i·u væ l½. N¸u f (0) = 2 ta ÷ñc f (f (0)) = 1 ⇒ f (2) = 1 n¶n f (1) = f (f (2)) = 2.2 + 3 − f (2) = 6. Cho n = 1 suy ra f (f (1)) = 2.1 + 3 − f (1) = −1 do â f (6) = −1. â l  i·u væ l½ v¼ theo gi£ thi¸t f (n) ∈ N. N¸u f (0) = 3 suy ra f (3) = f (f (0)) = 2.0 + 3 − f (0) = 0 n¶n f (3) = 0. Ta ÷ñc 2.3 + 3 = f (f (3)) + f (3) = f (0) + 0 = 3 suy ra 9 = 3 l  i·u Líi gi£i. Gi£ sû tçn t¤i h m sè væ l½. Vªy f (0) = 1. Ta s³ chùng minh f (n) = n + 1, ∀n ∈ N. (1.8) n = 0. Gi£ sû (1.8) óng ¸n n = k, (k ≥ 0). Tùc l  f (k) = k + 1. Khi â f (k + 1) = f (f (k)) = 2k + 3 − f (k) = 2k + 3 − (k + 1) = k + 2 n¶n f (k + 1) = k + 1 + 1. Vªy (1.8) óng vîi n = k + 1. Theo nguy¶n l½ quy n¤p ta ÷ñc(1.8) óng vîi måi n ∈ N. Thªt vªy, (1.8) ¢ óng vîi 14 f (n) = n + 1, ∀n ∈ N thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh f (n) = n + 1, ∀n ∈ N. M°t kh¡c, d¹ th§y h m sè d¢ cho n¶n ta câ ¡p sè V½ dö 1.15. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f :N→N thäa m¢n i·u ki»n f (f (n)) + f (n) = 2n + 3k, ∀n ∈ N, (trong â k Líi gi£i. °t (1.9) l  sè tü nhi¶n cho tr÷îc). f thäa m¢n y¶u c¦u b i °t an+1 = f (an ), khi â tø Gi£ sû tçn t¤i h m sè a1 = n v  vîi n≥1 ta to¡n. (1.9) ta ÷ñc 2an + 3k = an+1 + an+2 , (1.10) 2an+1 + 3k = an+2 + an+3 . (1.11) L§y (1.11) trø (1.10) v¸ theo v¸ ta câ an+3 − 3an+1 + 2an = 0. Suy ra an = λ1 + nλ2 + λ3 (−2)n , ∀n ∈ N∗ . Nh÷ng tø (1.12), n¸u λ3 > 0 ta cho n (1.12) l´ v  õ lîn s³ câ λ3 < 0 ta cho n ch®n v  õ lîn s³ câ an < 0, væ l½. Do â λ3 = 0. Hay an = λ1 + nλ2 . Thay v o (1.10), ta an < 0 , væ l½, n¸u ÷ñc: 2λ1 + 2nλ2 + 3k = λ1 + (n + 1)λ2 + λ1 + (n + 2)λ2 . λ2 = k . B¥y gií ta chó þ tîi a2 − a1 = λ1 + 2k − (λ1 + k) = k n¶n f (n) − n = k . Vªy f (n) = n + k, ∀n ∈ N. Thû l¤i th§y f (n) = n + k, ∀n ∈ N thäa m¢n i·u ki»n Tø â V½ dö 1.16. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f :N→N b i to¡n. thäa m¢n i·u ki»n: f (f (f (n))) + 6f (n) = 3f (f (n)) + 4n + 2007, ∀n ∈ N. Líi gi£i. Gi£ sû h m sè f thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. Vîi (xn ) nh÷ sau x0 = k n bði xn , ta ÷ñc: nhi¶n b§t k¼, x²t d¢y Tø (1.13) thay Ph÷ìng v  (1.13) k l  sè tü xn+1 = f (xn ). xn+3 = 3xn+2 − 6xn+1 + 4xn + 2007, ∀n ∈ N. (1.14) n √ o 3 2 tr¼nh °c tr÷ng λ − 3λ + 6λ − 4 = 0 ⇔ λ ∈ 1, 1 ± i 3 . Sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y (xn ) l  15 xn = A + 2 Ta câ n  nπ nπ  B cos + C sin + Dn, ∀n ∈ N. 3 3 k = x0 = A + B , suy ra √ √ f (k) = f (x0 ) = x1 = A + B + C 3 + D ⇒ f (k) = k + C 3 + D. (1.15) √ Thay (1.15) v o (1.14) ÷ñc D + C 3 = 669 v  (1.15) trð th nh f (n) = n + 669, ∀n ∈ N. Thû l¤i th§y thäa m¢n. V½ dö 1.17. T¼m t§t c£ c¡c h m sè t«ng thüc sü f : N∗ → N∗ thäa m¢n f (n + f (n)) = 2f (n), ∀n ∈ N∗ . f thäa m¢n i·u ki»n b i to¡n. Do f t«ng thüc sü n¶n f (n + 1) ≥ f (n) + 1 n¶n f (n + 1) − n − 1 ≥ f (n) − n, ∀n ∈ N∗ . Suy ra f (n) − n l  mët h m sè t«ng. M°t kh¡c, °t a0 = 1, an+1 = an + f (an ). Khi â, a0 < a1 < . . . , v  f (an+1 ) = 2f (an ), do â f (an+1 ) − an+1 = f (an ) − an . Suy ra câ væ h¤n bë (m, n) sao cho f (n) − n = f (m) − m, m  f (n) − n ∗ h m t«ng thüc sü n¶n tø ¥y suy ra f (n) − n l  h m t«ng tr¶n N . ∗ Vªy f (n) = n + k, ∀n ∈ N (vîi k l  h¬ng sè nguy¶n d÷ìng). Líi gi£i. l  Gi£ sû tçn t¤i h m sè Thû l¤i th§y thäa m¢n. V½ dö 1.18. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : N∗ → N∗ thäa m¢n f (2x + 3y) = 2f (x) + 3f (y) + 4, ∀x, y ∈ N∗ . Líi gi£i. K½ hi»u p(x + 3, y) P (u, v) ch¿ vi»c thay x bði u, thay y bði v v o (1.16), n¶n f (2(x + 3) + 3y) = 2f (x + 3) + 3f (y) + 4, ∀x, y ∈ N∗ . p(x, y + 2) (1.16) (1.17) n¶n f (2x + 3(y + 2)) = 2f (x) + 3f (y + 2) + 4, ∀x, y ∈ N∗ . 16 (1.18) L§y (1.17) trø (1.18) theo v¸ ta ÷ñc: 2 [f (x + 3) − f (x)] = 3 [f (y + 2) − f (y)] , ∀x, y ∈ N∗ . Tø (1.19) cho y=1 (1.19) ta ÷ñc: 2 [f (x + 3) − f (x)] = 3 [f (3) − f (1)] , ∀x ∈ N∗ . Do 2 v  3 nguy¶n tè còng nhau n¶n tø (1.20), suy ra: (1.20) f (x + 3) − f (x) l  h¬ng sè v  chia h¸t cho 3: f (x + 3) − f (x) = 3c, ∀x ∈ N∗ (c - const). Thay v o (1.19), ta ÷ñc: 3 [f (y + 2) − f (y)] = 6c, ∀y ∈ N∗ hay f (y + 2) − f (y) = 2c, ∀y ∈ N∗ . Tâm l¤i:  f (x + 2) = f (x) + 2c, ∀x ∈ N∗ f (x + 3) = f (x + 1) + 2c, ∀x ∈ N∗ n¶n f (x + 3) − f (x) + 3c, ∀x ∈ N∗ f (x + 3) = f (x) + 3c, ∀x ∈ N∗ ∗ Suy ra f (x + 1) = f (x) + c, ∀x ∈ N . +∞ Vªy d¢y sè {f (x)}x=1 lªp th nh c§p sè cëng. ∗ Do â f (x) = cx + d, ∀x ∈ N , thay v o (1.16) ta ÷ñc: c(2x + 3y) + d = 2(cx + d) + 3(cy + d) + 4, ∀x ∈ N∗ hay d = −1 ∗ Vªy h m sè c¦n t¼m d¤ng f (x) = cx−1, ∀x ∈ N vîi c l  h¬ng sè nguy¶n (c > 1).  V½ dö 1.19. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f :N→N thäa m¢n f (0) = 1 v  f (f (n)) + 3f (n) = 4n + 5, ∀n ∈ N. Líi gi£i. Ta s³ chùng minh b¬ng quy n¤p r¬ng vîi måi f (n) = n + 1. n∈N th¼: (1.22) n = 0. Gi£ sû (1.22) óng khi n = k, (k ∈ N), tùc l  f (k) = k +1. Ta c¦n chùng minh (1.22) công óng khi n = k + 1, tùc l  chùng minh f (k + 1) = k + 2. Do f (0) = 1 = 0 + 1 (1.21) Ta câ n¶n (1.22) óng khi do(1.22) f (k +1) = f (f (k)) = Theo nguy¶n l½ quy n¤p suy 4k +5−3f (k) = 4k +5−3(k +1) = k +2. ra: f (n) = n + 1, ∀n ∈ N. Thû l¤i th§y thäa m¢n y¶u c¦u b i ra. 17