Đăng ký Đăng nhập

Tài liệu Phuong trinh bac cao

.DOC
23
349
112

Mô tả:

Cung cấp một số phương pháp giải các phương trình bậc cao chương trình THCS
Môc lôc Néi dung Trang PhÇn 1 : §Æt vÊn ®Ò 2 1. Lý do chän ®Ò tµi 2 2. NhiÖm vô nghiªn cøu 3 3. §èi tîng nghiªn cøu 3 3 4. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu 3 5. Ph¹m vi nghiªn cøu 4 PhÇn 2: Néi dung ®Ò tµi nghiªn cøu 4 1. C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn 5 2. Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n trong gi¶i ph¬ng t×nh 6 3. Mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao 22 23 PhÇn 3: KÕt luËn chung 28 PhÇn 4: Bµi gi¶ng Tµi liÖu tham kh¶o PhÇn I ®Æt vÊn ®Ò 1- Lý do chän ®Ò tµi: To¸n häc lµ m«n khoa häc tù nhiªn cã tõ rÊt l©u ®êi. Nã tån t¹i vµ ph¸t triÓn cïng víi sù tån t¹i vµ ph¸t triÓn cña x· héi loµi ngêi. Tõ 2000 n¨m tríc c«ng nguyªn ngêi cæ ®¹i ®· biÕt c¸ch gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, ngêi Babilon ®· biÕt c¸ch gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai vµ ®· dïng c¸c b¶ng ®Æc biÖt ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh bËc ba. Nhng ®Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc cao h¬n ph¶i ®Õn ®Çu thÕ kû thø 19, nhµ to¸n häc Nauy lµ Abet (1802 – 1829) chøng minh ®îc r»ng ph¬ng tr×nh tæng qu¸t bËc 5 vµ lín h¬n ph¬ng -1- tr×nh bËc 5 lµ kh«ng thÓ gi¶i ®îc b»ng c¸c ph¬ng tiÖn thuÇn tuý ®¹i sè. Sau cïng nhµ to¸n häc ngêi Ph¸p lµ Galoa (1811 – 1832) ®· gi¶i quyÕt mét c¸ch trän vÑn vÒ vÊn ®Ò ph¬ng tr×nh ®¹i sè. Sau nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y m«n to¸n ë bËc trung häc c¬ së t«i nhËn thÊy m¶ng gi¶i ph ¬ng tr×nh bËc cao ®îc ®a ra ë s¸ch gi¸o khoa líp 8, 9 lµ rÊt khiªm tèn, néi dung s¬ lîc, mang tÝnh chÊt giíi thiÖu kh¸i qu¸t, quü thêi gian dµnh cho nã lµ qu¸ Ýt ái. Bªn c¹nh ®ã lµ c¸c néi dung bµi tËp øng dông th× rÊt phong phó, ®a d¹ng vµ phøc t¹p. C¸c ph¬ng tr×nh bËc cao lµ néi dung thêng gÆp trong c¸c kú thi ë bËc THCS, THPT vµ ®Æc biÖt trong c¸c kú thi tuyÓn sinh vµo §¹i häc vµ cao ®¼ng. XuÊt ph¸t tõ tÇm quan träng cña néi dung, tÝnh phøc t¹p ho¸ g©y nªn sù trë ng¹i cho häc sinh trong qu¸ tr×nh tiÕp cËn víi ph¬ng tr×nh bËc cao. Cïng víi sù tÝnh luü kinh nghiÖm cã ®îc cña b¶n th©n qua nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y. KÕt hîp víi nh÷ng kiÕn thøc mµ t«i mµ t«i ®· lÜnh héi ®îc trong tr¬ng tr×nh §¹i häc to¸n mµ ®Æc biÖt lµ sù híng dÉn tËn t×nh cña c¸c thµy c« gi¸o. T«i m¹nh chän ®Ò tµi “Nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao”. Qua ®Ò tµi t«i mong r»ng b¶n th©n m×nh sÏ t×m hiÓu s©u h¬n vÒ vÊn ®Ò nµy, tù ph©n lo¹i ® îc mét sè d¹ng to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao, nªu lªn mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i cho tõng d¹ng bµi tËp. Tõ ®ã gióp häc sinh cã thÓ dÔ dµng h¬n trong viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao. Qua néi dung nµy t«i hy väng häc sinh ph¸t huy ®îc kh¶ n¨ng ph©n tÝch, tæng hîp, kh¸i qu¸t ho¸ qua c¸c bµi tËp nhá. Tõ ®ã h×nh thµnh cho häc sinh kh¶ n¨ng t duy s¸ng t¹o trong häc tËp. 2- NhiÖm vô nghiªn cøu: - Kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh c¸c d¹ng: ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn, ph¬ng tr×nh bËc hai, ph¬ng tr×nh tÝch, ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng, ph¬ng tr×nh ®èi xøng... - Kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ bËc nhÊt, bËc hai ë d¹ng c¬ b¶n mµ häc sinh ®· häc. 3- §èi tîng nghiªn cøu: - Häc sinh líp 8, 9 Trêng THCS §µo D¬ng. - C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao ®a vÒ bËc nhÊt, bËc hai trong tr¬ng tr×nh líp 8, 9. 4- Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: Tham kh¶o tµi liÖu, thu thËp tµi liÖu, ®óc rót, tæng kÕt kinh nghiÖm, kiÓm tra kÕt qu¶. Dù giê, kiÓm tra chÊt lîng häc sinh, nghiªn cøu hå s¬ gi¶ng d¹y, ®iÒu tra trùc tiÕp th«ng qua c¸c giê häc, thÓ hiÖn trªn nhiÒu ®èi tîng häc sinh kh¸c nhau: Häc sinh kh¸, giái vµ häc sinh trung b×nh vÒ m«n To¸n. 5- Ph¹m vi nghiªn cøu: Gia h¹n ë vÊn ®Ò gi¶ng d¹y phÇn ph¬ng tr×nh bËc cao trong tr¬ng tr×nh líp 8, 9 ë THCS (Cô thÓ ë trêng THCS §µo D¬ng). -2- PhÇn II Néi dung ®Ò tµi nghiªn cøu I. C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn: §Ó gi¶i mét bµi to¸n ngêi gi¶i ph¶i biÕt ph©n tÝch ®Ó khai th¸c hÕt gi¶ thiÕt, c¸c ®iÒu kiÖn yªu cÇu cña ®Ò bµi, thÓ lo¹i bµi to¸n...®Ó tõ ®ã ®Þnh híng c¸ch gi¶i. §¹i bé phËn häc sinh chóng ta kh«ng hiÓu râ sù quan träng cÇn thiÕt cña viÖc ph©n tÝch vµ nhËn ®Þnh híng gi¶i, nhiÒu em kh«ng häc lý thuyÕt ®· vËn dông ngay, kh«ng gi¶i ®îc th× ch¸n n¶n, bá kh«ng gi¶i hoÆc gië s¸ch gi¶i ra chÐp v.v… Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, ®Æc biÖt khi d¹y ch¬ng ph¬ng tr×nh ta thÊy c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh ®a d¹ng vµ phong phó mµ ta ph¶i vËn dông nhiÒu kü n¨ng biÕn ®æi ®¹i sè nh sö dông h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí vµ mét sè h»ng ®¼ng thøc më réng, dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng vµ c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè, ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö… C«ng cô gi¶i ph¬ng tr×nh kh«ng ®ßi hái cao xa chØ cÇn kiÕn thøc cÊp hai lµ ®ñ, c¸i quan träng lµ yªu cÇu häc sinh ph¶i n¾m v÷ng kiÕn thøc, ph¶i cã sù lËp luËn chÆt chÏ, ph¶i biÕt xÐt ®Çy ®ñ c¸c khÝa c¹nh, c¸c trêng hîp cô thÓ cña tõng vÊn ®Ò. §Æc biÖt lµ yªu cÇu ®èi víi nh÷ng häc sinh kh¸, giái ph¶i hÕt søc s¸ng t¹o, linh ho¹t trong khi gi¶i ph ¬ng tr×nh, biÕt ®Æc biÖt ho¸ vµ tæng qu¸t ho¸ nh÷ng vÊn ®Ò cÇn thiÕt. Lµ gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y viÖc cung cÊp kiÕn thøc cho häc sinh ph¶i thùc sù ®óng quy tr×nh c¸c bíc biÕn ®æi, ph¶i ®¶m b¶o l«gic, cã hÖ thèng, kh«ng tù tiÖn c¾t bá kiÕn thøc ®Ó rÌn luyÖn cho c¸c em häc sinh thãi quen cÈn thËn, kü n¨ng gi¶i bµi tËp hîp l«gic to¸n häc. ViÖc gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc mét n»m trong ch¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn sè phÇn cuèi ch¬ng, ®©y lµ mét vÊn ®Ò khã ®èi víi c¸c em häc sinh trung b×nh vµ häc sinh ®¹i trµ, sè tiÕt d¹y cho phÇn nµy l¹i Ýt. * §èi víi gi¸o viªn: Ph¶i hÖ thèng ®îc c¸c kh¸i niÖm vµ c¸c ®Þnh nghÜa c¬ b¶n cña c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh, c¸c tÝnh chÊt vµ c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p. Nghiªn cøu t×m tßi, khai th¸c ®Ó t×m ®îc nh÷ng øng dông ®a d¹ng, phong phó cña ph¬ng tr×nh. MÆt kh¸c ph¶i lùa chän c¸c ph¬ng ph¸p thÝch hîp ®èi víi tõng ®èi tîng häc sinh, ®ång thêi n©ng cao nghiÖp vô cña gi¸o viªn. -3- * §èi víi häc sinh: N¾m ch¾c mét c¸ch cã hÖ thèng c¸c kh¸i niÖm, ®Þnh nghÜa, c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng, c¸c tÝnh chÊt vµ hÖ qu¶. Tõ ®ã ph¸t triÓn kh¶ n¨ng t duy, l«gic cho ngêi häc. Gióp cho häc sinh cã mét kh¶ n¨ng ®éc lËp, suy diÔn vµ vËn dông, rÌn luyÖn trÝ th«ng minh cho häc sinh. §ång thêi cho häc sinh thÊy ®îc sù thuËn tiÖn h¬n rÊt nhiÒu trong gi¶i ph¬ng tr×nh. II. Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n trong gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 - C¸c ®Þnh nghÜa: 1.1 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh: Gi¶ sö A(x) = B(x) lµ hai biÓu thøc chøa biÕn x. Khi nãi A(x) = B(x) lµ mét ph¬ng tr×nh, ta hiÓu r»ng ph¶i t×m gi¸ trÞ cña x ®Ó c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng cña hai biÓu thøc nµy b»ng nhau. BiÕn x ®îc gäi lµ Èn. Gi¸ trÞ t×m ®îc gäi lµ nghiÖm. ViÖc t×m nghiÖm gäi lµ gi¶i ph¬ng tr×nh. Mçi biÓu thøc ®îc gäi lµ mét vÕ cña ph¬ng tr×nh. 1.2 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn sè: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax + b = 0, víi a, b lµ nh÷ng h»ng sè; a # 0 ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn sè, b gäi lµ h¹ng tö tù do. 1.3 TËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh: Lµ tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña Èn lµm cho mäi biÓu thøc trong ph¬ng tr×nh cã nghi·. 1.4 §Þnh nghÜa hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng: Hai ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng tËp hîp nghiÖm. 1.5 C¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng: Khi gi¶i ph¬ng tr×nh ta ph¶i biÕn ®æi ph¬ng tr×nh ®· cho thµnh ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi nã (nhng ®¬n gi¶n h¬n). PhÐp biÕn ®æi nh vËy gäi lµ phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng. 1.6 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn: Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn sè lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax2 + bx + c = 0 ; trong ®ã x lµ Èn sè a,b,c lµ c¸c hÖ sè ®· cho; a # 0. 1.7 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc cao: Ta gäi ph¬ng tr×nh ®¹i sè bËc n trªn trêng sè thùc lµ c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh ®a vÒ d¹ng: anxn + an-1xn-1 + ... + a1 + a0 = 0 Trong ®ã n lµ sè nguyªn d¬ng; x lµ Èn sè; a1, a2 ,...an lµ c¸c sè thùc x¸c ®Þnh (an # 0). 2 - C¸c ®Þnh lý biÕn ®æi t¬ng ®¬ng cña ph¬ng tr×nh: a) §Þnh lý 1: NÕu céng cïng mét ®a thøc cña Èn vµo hai vÕ cña cïng mét ph¬ng tr×nh th× ta ®îc mét ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô: 2x = 7 <=> 2x + 5x = 7 + 5x *Chó ý: NÕu céng cïng mét biÓu thøc chøa Èn ë mÉu vµo hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ph¬ng tr×nh míi cã thÓ kh«ng t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô: x - 2 = 0 (1) -4- Kh«ng t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh x 2 1 1  x 2 x 2 (2) V× x = 2 lµ nghiÖm cña (1) nhng kh«ng lµ nghiÖm cña (2) * HÖ qu¶ 1: NÕu chuyÓn mét h¹ng tö tõ vÕ nµy sang vÕ kia cña cïng mét ph¬ng tr×nh th× ta ®îc mét ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô: 8x-7=2x+3 <=> 8x-2x = 7+3 * HÖ qu¶ 2: NÕu xo¸ hai h¹ng tö gièng nhau ë hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ta ®îc mét ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô: -9 - 7x = 5(x+3)-7x <=> -9 = 5(x+3) * Chó ý: NÕu nh©n hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh víi mét ®a thøc cña Èn th× ®îc ph¬ng tr×nh míi cã thÓ kh«ng t¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. III. Mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao A - Ph¬ng híng ë phæ th«ng kh«ng häc phÐp gi¶i tæng qu¸t cho ph¬ng tr×nh bËc ba, bËc 4 cßn ph¬ng tr×nh bËc 5 kh«ng cã phÐp gi¶i tæng qu¸t. Tuy nhiªn trong mét sè trêng hîp ®Æc biÖt cã thÓ ®a ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i vÒ ph¬ng tr×nh bËc mét, bËc hai. Ta ph¶i dùa vµo ®Æc thï cña ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i ®Ó cã ph¬ng ph¸p thÝch hîp. Gi¶i vµ gi¶ng d¹y c¸c bµi to¸n vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ bËc nhÊt mét Èn sè hoÆc bËc hai n»m trong qu¸ tr×nh gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai. Nãi chung lµ bao gåm nhiÒu d¹ng vµ phong phó ®îc c¸c nhµ to¸n häc vµ s ph¹m quan t©m vµ ®Ò cËp tíi nhÒu trong tµi liÖu, tËp san to¸n häc....C¨n cø vµo môc ®Ých ý nghÜa kÕt qu¶ ®iÒu tra vµ thùc tÕ gi¶ng d¹y ch¬ng ph¬ng tr×nh. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y b¶n th©n t«i ®· nghiªn cøu ¸p dông lý luËn trong qu¸ tr×nh d¹y häc, c¸c ph¬ng ph¸p ®Æc trng bé m«n, ¸p dông c¸c kiÕn thøc ®· häc ®Ó ®a c¸c ph¬ng tr×nh bËc cao vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai b»ng nhiÒu c¸ch. B - C¸c bµi to¸n vµ ph¬ng ph¸p gi¶i: 1 - Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch: 1.1 ¸p dông ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. §Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh d¹ng nµy tríc hÕt ta ph¶i n¾m v÷ng ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng mäi c¸ch ®a ph¬ng tr×nh ®a cho vÒ ph¬ng tr×nh d¹ng tÝch. f(x). g(x)...h(x)=0 <=>  f(x) 0  g(x) 0   ... 0   h(x) 0 V× mét tÝch b»ng 0 khi vµ chØ khi Ýt nhÊt mét phÇn tö b»ng 0. NghiÖm cña ph¬ng tr×nh d· cho chÝnh lµ tËp hîp nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh. f(x) = 0; g(x) = 0; ... ;h(x) = 0 * Bµi to¸n: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x-1)3+x3+(x+1)3=(x+2)3 (1) Gi¶i (x-1)3+x3+(x+1)3=(x+2)3 -5- <=> x3 - 3x2 + 3x - 1 + x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 8 <=> x3 - 3x2 - 3x - 4 = 0 <=> x3 - 1 - 3x2 - 3x - 3 = 0 <=> (x-1)(x2 + x + 1) - 3 (x2 + x + 1) = 0 <=> (x2 + x + 1)(x-4) = 0 (2) Víi häc sinh líp 8 ta lµm nh sau: Do x2 + x + 1 # 0 nªn ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x-4 =0 <=> x=4 Víi häc sinh líp 9: (2) <=>  x 2  x  1 0 (*)  (**)  x - 4 0 Gi¶i ph¬ng tr×nh (*)  1  4  3  0 nªn (* )v« nghiÖm Gi¶i (**): x =4 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 1 nghiÖm lµ x = 4 * Lîc ®å hoãcne: NÕu f(x) cã nghiÖm x = x0 th× f(x) chøa nh©n tö (x-x0) tøc lµ: f(x) = (x-x0). g(x) Trong ®ã: f(x) = anxn + an-1xn-1 +... + a1x+a0 = 0 g(x) = bnxn + bn-2xn-2+... + b1x+b0 = 0 Víi : bn-1= an bn-2= x0bn-1+ an-1 .......................... bi-1 = x0b1+ ai b0 = x0b1+ a1 Ta cã b¶ng sau: (lîc ®å hoãcne). xi an x = x0 bn-1= an an-1 x0bn-1 bn-2 .............. .............. .............. a1 x0b1 b0 a0 x0b1 0 ViÖc nhÈm nghiÖm c¸c ph¬ng tr×nh dùa trªn c¸c c¬ së sau: 1.2.1. NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 th× 1 lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè x-1. 1.2.2. NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña mét sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc lÎ th× -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè (x+1). 1.2.3. Mäi nghiÖm nguyªn cña ®a thøc ®Òu lµ íc cña hÖ sè tù do lµ a0. 1.2.4. Mäi nghiÖm h÷u tû cña ®a thøc víi hÖ sè nguyªn: xn + an-1xn-1 + .... + a1x+a0 = 0 ®Òu lµ sè nguyªn * Bµi to¸n 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 + x3 -x - 1 = 0 (2) NhËn thÊy: a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = 1 +1 + 0 +(-1) + (-1) = 0 vµ a4 + a2 + a0 = 1 +0 + (-1) = a3 + a1 = 1+ (-1) ¸p dông môc 1.2.1 vµ môc 1.2.2 ta cã hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) lµ: x1 = 1 vµ x2 = -1 -6- ¸p dông lîc då hoãcne ta cã: xi a4 = 1 a3 = 1 a2 = 0 a1 = -1 a0 = -1 x=1 1 2 2 1 0 x = -1 1 1 1 0 Ph¬ng tr×nh (2) cã d¹ng ph©n tÝch nh sau: (x - 1) (x + 1)( x2 + x + 1) = 0 Ta dÔ dµng nhËn thÊy ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm : x1 = 1vµ x2 = -1 *Bµi to¸n 3 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 - 5x2 + 8x - 16 = 0 (3) ë bµi to¸n nµy ta kh«ng thÓ ¸p dông viÖc nhÈm nghiÖm theo nh©n xÐt ë 1.2.1 vµ 1.2.2 . ¸p dông nhËn xÐt môc 1.2.3 vµ 1.2.4 ta cã: U(4)   1;2;3;4;8;16  KiÓm tra thÊy x = 4 lµ 1 nghiÖm ¸p dông lîc ®å hoãcne ta ®a ph¬ng tr×nh (3) vÒ d¹ng (x - 4) (x2 - x + 4) = 0 <=>  x  4 0  2  x  x  4 0 (*) (**) (*) <=> x - 4 = 0 <=> x = 4 (**) <=> x2 - x + 4 = 0  1  4.4 1  16  15  0 (**) v« nghiÖm VËy nghiÖm cña PT(3) lµ x = 4 Bµi to¸n 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = 0 ViÖc ¸p dông nhËn xÐt c¸c môc 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 kh«ng thÓ gi¶i quyÕt ®îc vÊn ®Ò (v× ë ph¬ng tr×nh nµy kh«ng cã nghiÖm nguyªn). Ta nghÜ ®Õn c¬ héi cuèi cïng nÕu ph¬ng tr×nh cã nghÖm lµ h÷u tû vµ ¸p dông nhËn xÐt o môc 1.2.4. (4) <=> 8x3 - 20x2 + 32x - 12 = 0 <=> (2x)3 - 5(2x)2 + 16(2x) - 12 = 0 §Æt y = 2x ta cã: y3 - 5y2 + 16y - 12 = 0 NhËn thÊy a3 + a2 + a1 + a0 = 1+(-5) + 16 +(-12) = 0 ¸p dông môc 1.2.1 ta cã y = 1 ¸p dông lîc ®å hoãcne (4’) vÒ d¹ng (y - 1)(y2 - 4y + 12) = 0 <=> (*)  y  1 0  2  y  4 y  12 0 (**) (*) <=> y -1 = 0 <=> y = 1 => x = 1/2 (**) y2 - 4y + 12 = 0 v« nghiÖm v× (y -2)2 + 8 > 0 víi  y VËy ph¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm lµ x = 1/2 -7- 1.2.5. ViÖc nhÈm nghiÖm nh ë trªn sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n nÕu sè h¹ng tù do lµ a 0 lín vµ cã nhiÒu íc sè. Trong trêng hîp nµy ta sÏ ¸p dông nhËn xÐt sau ®Ó ®i lo¹i trõ bít c¸c íc kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh mét c¸ch nhanh chãng. - NÕu x0 lµ nghiÖm nguyªn cña ®a thøc f(x) vµ f(1) # 0; f(-1) # 0 th× f (1) f ( 1) vµ ®Òu lµ c¸c gi¸ trÞ nguyªn.  1  1 x0 x0 Bµi to¸n 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4x3 - 13x2 + 9x - 18 = 0 (0) Gi¶i: U(18)   1;2;3;6;9;18 HiÓn nhiªn -1,1 kh«ng lµ nghiÖm cña (5) => f(1) # 0, f(-1) # 0 Ta thÊy f (1)  18   9  Z 3 1 2 f (1)  44   11 Z 3 1 4 => Ph¬ng tr×nh (5) cã kh¼ n¨ng cã nghiÖm lµ x1 = 3 ¸p dông lîc ®å Hoãcne ta ®a ph¬ng tr×nh (5) vÒ d¹ng sau: (x - 3)(4x2 -x + 6) = 0 <=> x - 3 = 0 (*) 2 4x -x + 6 = 0(**) (*) <=> x = 3 (**) <=> 4x2 - x + 6 = 0  = (-1)2 - 4.4.6 <0  (**) v« nghiÖm Nªn ph¬ng tr×nh (5) cã mét nghiÖm lµ: x = 3 Chó ý: - ViÖc nhÈm nghiÖm ph¬ng tr×nh cã thÓ nhÈm miÖng råi dïng thuËt chia ®a thøc cho ®a thøc ®Ó h¹ bËc råi ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch. - Cã thÓ dïng lîc ®å Hoãcne ®Ó x¸c ®Þnh íc sè nµo cña a0 lµ nghiÖm, íc sè nµo kh«ng lµ nghiÖm vµ ®a ra ngay d¹ng ph©n tÝch. VD xÐt ph¬ng tr×nh: x3 - 5x2 - 8x - 4 = 0 (*) U(4)   1;2;4  ¸p dông lîc ®å Hoãcne ta cã X0 a3 = 1 a2 = -5 a1 = 8 a0 = -4 x=1 1 -4 4 0 x = -1 1 -6 14 -18 x=2 1 -3 2 0 x = -2 1 -7 22 -48 x=4 1 -1 4 12 x = -4 1 -9 44 172 NhËn thÊy x =1 vµ x = 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) lóc ®ã (*) viÕt díi d¹ng ph¬ng tr×nh tÝch nh sau: (x - 1) (x - 2) (x - 2) = 0 2. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô - Ph¬ng tr×nh nµy thêng ®îc sö dông víi c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh -8- * D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) gäi lµ ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng. - C¸c gi¶i: §Æt Èn phô y = x2 (y ≥ 0) ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi y nh sau: ay2 + by + c = 0 * Bµi to¸n 7: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 - 5x2 + 4 = 0 (1) Gi¶i: §Æt y = x2 (y ≥ 0)    x 2 x 2 y 2 ( y   y   y   1  5 y  4 0 1 )( y  4) 0  1 0 4 x 1  4 0  1 ; x3     x2  2, y  1 y 4  x4 1  2 (1) VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm: x = 1; x = -1; x = 2; x = -2 * D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = m Víi a + b = c + d hoÆc a + c = b + d hoÆc a + d = b + c. * Bµi to¸n 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x-1) (x+1) (x+3) (x+5) = 9 (1) Gi¶i: (1)  (x-1) (x+1) (x+3) (x+5) = 9  (x2 + 4x - 5) (x2 + 4x + 3) = 9 §Æt y = x2 + 4x - 5 Ta ®îc ph¬ng tr×nh: y (y+8) = 9 y (y  x 2     8)  9  8 y   1 )( y y  y  4 x x 1,  x 2   y 2 ( y   2 1 9  9 0  9) 0 0 0 5  2       1   4 x  5  x3 , 4  2 y  1 y  x 2  9 4 x 10 9  x 2  VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm: x 1  2  10 x 2  2  10 x 3  2 D¹ng 3: Ph¬ng tr×nh d¹ng (x + a)4 + (x + b)4 = c + C¸ch gi¶i: Ta ®a ph¬ng tr×nh trªn vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng b»ng c¸ch ®Æt y = x+ (a+b)/2 -9- 4 * Bµi to¸n 9: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x+1)4 + (x+3) = 16 Gi¶i: §Æt y = x + 2 ta ®îc ph¬ng tr×nh (y-1)4 + (y+1)4 = 16  2y4 + 12y2 + 2 = 16  y4 + 6y2 - 7 = 0 (ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng) §Æt m = y2 (m ≥ 0) ta ®îc ph¬ng tr×nh m2 + 6m - 7 = 0 (8) Dïng ph¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm (a+b+c = 0) (*)  m1 = 1 (tho¶ m·n); m2 = -7 (lo¹i) y 2 1  y1 1; y 2  1 x  2 1  x  1 x  2  1  x  3 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm lµ: x = -1; x = -3 D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n cã d¹ng: a 0 x 2 n  a 1 x 2 n  1  ...  a n  1 x n  a n x n  1  ...  a 1 x  a 0 0 C¸ch gi¶i: V× 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nªn chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 råi ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc n b»ng c¸ch ®Æt y = x + 1/x. * Bµi to¸n 10: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x4 + 3x3 - 3x2 + 3x + 2 = 0 (1) Gi¶i: x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (1) Víi x ≠ 0 chia 2 vÕ cña (1) cho x2 ta ®îc ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng 3 2  0 x x2 1 1  2( x 2  2  2 )  3( x  )  5 0 x x 1 1  2( x  )  3( x  )  5 0 x x 2 x 2  3x  3  §Æt y  x  1 ®a ph¬ng tr×nh vÒ 2y2 + 3y - 5 = 0 (2) x  = 9 + 40 = 49 > 0 => ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm  37  3 7  5 1; y   2 4 4 2 y  x 1 1 (Nh©n 2 vÕ víi x≠0) x 1  x 2  x  1 0 (*)  = 1-4 = -3 <0 => ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm. x 1  5 (nh©n hai vÕ víi 2x ≠ 0)  x 2 - 10 -  2 x 2  5 x  2 0 (**)  25  16 9  0 => ph¬ng tr×nh (**) cã 2 nghiÖm:  53  1  4 2  5 3 x2   2 4 x1  VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm: x 1   1 ; x 2  2 2 * D¹ng 5: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc lÎ cã d¹ng: a 0 x 2 n  1  a n  1 x 2 n  ...  a n x n  1  a n x n  ...  a 1 x  a 0 0 C¸ch gi¶i: ph¬ng tr×nh nµy bao giê còng cã nghiÖm x 0 = -1 vµ khi chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho (x + 1) ta ®îc ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n 2n. Bµi to¸n 11: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x5 + 5x4 - 13x3-13x2 + 5x + 2 = 0 (1) Gi¶i: Ta cã : 2 + (-13) + 5 = 5 + (-13) + 2 => a5 + a3 + a1 = a4 + a2 + a0 => x0 = -1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. Víi x # - 1 chia cho c¶ 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) cho (x + 1) ta cã ph¬ng tr×nh 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 (3) DÔ dµng thÊy r»ng x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (3) Chia c¶ 2 vÕ cña (3) cho x2 # 0, ta cã ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng 2x2 + 3x - 16 + 3. 1 + 2. x 1 =0 x2 <=> 2(x + 1 )2 + 3(x + 1 ) - 20 = 0 x x §Æt y = x + 1 ta ®îc ph¬ng tr×nh x 2 2y + 3y - 20 = 0 (4)  = 9 + 160 = 190 > 0 => ph¬ng tr×nh (4) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt y1 =  3 13 5 ; 4 2 y2 =  3 13 = - 4 4 Tõ ®ã gi¶i 2 ph¬ng tr×nh x + 1 = -4 (Nh©n 2 vÕ víi x # 0) x <=> x2 + 4x + 1 = 0 (*) ’ = 4 - 1 = 3 > 0 => ph¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm: x1 = -2 + 3 - 11 - ; x2 = -2 - 3. x + 1 = 5 (nh©n 2 vÕ víi 2x # 0) x 2 <=> 2x2 - 5x + 2 = 0 (**)  = 25 - 16 = 9 > 0 => Ph¬ng tr×nh (**) cã 2 nghiÖm x1 = 5  3 3 5 3 1 x2   4 2 4 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm: x1 = -2 + 3, x2 = -2 - 3, x3 = 3, x4 = 1 2 * NhËn xÐt Bµi tËp nµy t¬ng ®èi khã víi häc sinh nªn khi d¹y gi¸o viªn cÇn lu ý khai th¸c hÕt c¸c gi¶ thiÕt, nhËn xÐt cã thÓ sö dông ph¬ng ph¸p nµo, h»ng ®¼ng thøc nµo ph©n tÝch cho thÝch hîp. Mçi bµi tËp gi¶i xong gi¸o viªn nªn chèt l¹i vÊn ®Ò vµ c¸c kiÕn thøc cÇn sö dông trong qu¸ tr×nh gi¶i bµi tæng qu¸t, bµi t¬ng tù, ®Æc biÖt dïng ®Ó båi dìng häc sinh giái nh»m ph¸t triÓn t duy. * D¹ng 6: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = mx2 C¸ch gi¶i: §Æt Èn phô y = x + ad hoÆc y = (x + a) (x + b) 2 Bµi to¸n 12: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 Gi¶i: * C¸ch1: <=> 4(x2 + 17x + 60) (x2 + 16x + 60) = 3x2 (1) <=>4(x+17+ 60 )(x+16+ 60 ) = 3 ( v× x # 0) x x §Æt y = (x+16+ 60 ) x (2) <=> 4y(y + 1) = 3 <=> 4y2 + 4y - 3 = 0 <=> y1 = 1 2 víi y1 = 1 ta cã : 2 y2 = - 3 2 2x2 + 31x + 120 = 0 <=> x1 = -8 x2 = - 15 2 víi y2 = - 3 ta cã : 2x2 + 35x + 120 = 0 2 <=> x3 =  35  265 4 ; x4 =  35  265 4 * C¸ch 2: §Æt y = x2 + 16x +60, ta ®îc ph¬ng tr×nh: - 12 - (2) 4y (y + x) - 3x2 = 0 <=> (2y - x)(2y + 3x) = 0 (3)  x 2 y <=>  1  x 2  2 y / 3 Thay vµo (3) ta t×m ®îc 4 nghiÖm * Bµi to¸n 13: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x - 3)(x + 2)(x - 4)(x + 6) = 14x2 (1) Gi¶i: * C¸ch 1: Khai triÓn, thu gän vÒ ph¬ng tr×nh f(x) = 0 víi vÕ tr¸i lµ ®a thøc bËc bèn * C¸ch 2: NhËn thÊy (-3)(-4) = 12 2.6 = 12 (1) <=> (x - 3)(x - 4)(x + 2)(x + 6) = -14x2 <=> (x2 - 7x + 12)(x2 - 8x + 12) = - 14x2 (2) DÔ thÊy x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) nªn chia 2 vÕ cho x2 (2) <=> (x - 7 + 12 )(x + 8 + 12 ) = -14 x x (3) §Æt t = x - 7 + 12 => x + 8 + 12 = t + 15 x x (3) trë thµnh: t(t + 15) = -14 t2 + 15t + 14 = 0 t1 = -1; t2 = -14 <=> <=> Víi t = -1; x - 7 + 12 = -1 x 2 <=> x - 6x + 12 = 0 (*) (v× x # 0) ’ = 9 - 12 = -3 <0 => (*) v« nghiÖm Víi t = -14; x - 7 + 12 = -14 x 2 <=> x + 7x + 12 = 0 (**) (v× x # 0)  = 49 - 48 = 1 > 0 => (**) cã 2 nghiÖm x1 = 3; x2 = 4 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm : x = 3; x = 4 * D¹ng 7: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng d(x + a)(x + b)(x + c) = mx Trong ®ã: d = a  b  c ; m = (d - a)(d - b)(d - c) 2 * C¸ch gi¶i: §Æt Èn phô y = x + d, mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ y = 0 * NhËn xÐt: Mét thiÕu sãt thêng m¾c khi biÕn ®æi ph¬ng tr×nh: - Khi chia 2 vÕ cho mét ®a thøc cña ph¬ng tr×nh f1(x)g(x) = f2(x)g(x) (1) thµnh f1(x) = f2(x) - Khö luü thõa bËc ch½n ë 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh f2n(x) = g2n(x) (2) g(x). Hai phÐp biÕn ®æi nµy cã thÓ lµm mÊt nghiÖm. - 13 - thµnh f(x) = - §èi víi ph¬ng tr×nh ®Çu nªn chuyÓn vÕ ®Ó ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch hoÆc gi¶i ph¬ng tr×nh f1(x) = f2(x). - §èi víi ph¬ng tr×nh (2) gi¶i 2 ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) vµ f(x) = -g(x). * D¹ng 8: x3 + ax2 + bx + c = 0 (Ph¬ng ph¸p nµy cã thÓ gi¶i ®îc víi ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ) + C¸ch gi¶i: - Bíc 1 : Quy vÒ d¹ng y3 + py + q = 0 b»ng c¸ch ®Æt y = a/3 + x - Bíc 2: §Æt y = u + v (u + v)3 + p(u + v) + q = 0 <=> u3 + v3 + (u + v)(3uv + p)+q = 0 Nªn u vµ v tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh: <=> u 3  v 3   3uv  p q 3   v 3  q u  3 3   q 3 / 27 u v Sau ®ã ¸p dông hÖ thøc ViÐt ®Ó t×m nghiÖm u, v. *Bµi to¸n 14: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 + 9x2 + 18x + 28 = 0 (*) §Æt y = x + a/3 = x + 3 => x = y - 3 (*) <=> y3 - 9y + 28 = 0 (**) §Æt y = u + v (**) <=> (u + v )3 - 9(u + v) + 28 = 0 <=> u3 + v3 + (u + v) (3uv - 9) + 28 = 0 (***) NÕu u, v tho¶ m·n ph¬ng tr×nh (***) th× u, v lµ nghiÖm cña hÖ u 3  v 3   3 uv  28 <=> 3   v 3  u  3  v 3 27 u 28 => u3, v3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: X2 + 28X + 27 = 0 => u3 = -1; v3 = -27 => u = -1; v = -3 => y = u + v = - 1 - 3 = -4 mµ x = y - 3 => x = -7 VËy ph¬ng tr×nh (*) cã cã mét nghiÖm lµ x = 7 3. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ 2 luü thõa cïng bËc: * C¸ch gi¶i: Ta thªm bít h¹ng tö ®Ó xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc thÝch hîp råi tõ ®ã ®a vÒ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh vÒ luü thõa cïng bËc. Sau ®ã vËn dông c¸c h»ng ®¼ng thøc ®· häc ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh. * Chó ý: A2n = B2n <=> A = + B A2n - 1 = B2n - 1 <=> A = B * Bµi to¸n 15: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 = 24 x + 32 (1) Gi¶i: Thªm 4x2 + 4 vµo 2 vÕ cña (1) x4 + 4x2 + 4 = 4x2 + 24x + 36 <=> (x2 + 2)2 = (2x + 6)2 <=>  x 2  2 2 x  6  2  x  2  ( 2 x  6) ( 2) (3) - 14 - Gi¶i (2): x2 + 2 = 2x + 6 <=> x2 - 2x - 4 = 0 ’ = 1 + 4 = 5 > 0 ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 = -1 + 5 ; x2 = -1 - 5 Gi¶i (3): x2 + 2 = - 2x - 6 <=> x2 + 2x + 8 = 0 ’ = 1 - 8 = -7 < 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm : x1 = -1 + 5 ; x2 = -1 * Bµi to¸n 15*: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 + 3x2 - 3x +1 = 0 (1) Gi¶i: x3 = -3x2 + 3x -1 2x3 = x3 - 3x2 + 3x -1  ( x3 3 2)  3 x 2  x ( x  5 3 1) x  1 1 1 3 2 . VËy ph¬ng tr×nh ®· cã nghiÖm x  1 * Bµi to¸n 16: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 + 8x2 - 8x + 17 = 0 (1) Gi¶i: (1) <=> x4 - 8x2+ 16 + 16x2 - 8x + 1 = 0 <=> (x2 - 4)2 + (4x - 1)2 = 0 (2) V×: 2   4) 2 0 ( x  2  0 ( 4 x  1 ) Nªn (2) <=>  x 2  4 0  4 x  1 0 <=> VËy ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm * Bµi to¸n 17: Gi¶i ph¬ng tr×nh x3 - x2 - x = 1/3 Gi¶i: Nh©n 2 vÕ cña (1) víi 3 (1) (1) <=> 3x3 - 3x2 - 3x = 1 <=> 4x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 <=> ( 3 4 x )3 = (x + 1)3 <=> 3 x   x   4x = x + 1 <=> ( 3 4  1 ).x = 1 - 15 -  2 1  4 1 3 2 => x = 3 1 41 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ : x = 3 1 41 4. Ph¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc: * C¸ch gi¶i: Dïng tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu cña hµm sè trªn tõng kho¶ng * Bµi to¸n 18: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 8 5  x 9 6 (1) 1 Gi¶i: ViÕt ph¬ng tr×nh díi d¹ng x 8 5  9 x 6 (1) 1 DÔ thÊy x = 8; x = 9 ®Òu lµ nghiÖm cña (1) XÐt c¸c gi¸ trÞ cßn l¹i cña x + Víi x < 8 th× x 8 9  x 1 9  x 5 6 1 5 1 0 Nªn vÕ tr¸i cña (1) > 1, (1) v« nghiÖm + Víi x > 9 th× 9 x x  8 1 x  8 6 0 Nªn vÕ tr¸i cña (1) > 1, (1) v« nghiÖm + Víi 8 < x < 9 th× 0 < x - 8 < 1 => x 8 5  x  8 x  8 0 < 9 - x < 1 => 9  x 6  9  x 9  x Nªn vÕ tr¸i cña (1) nhá h¬n : x - 8 + 9 - x = 1; (1) V« nghiÖm VËy (1) cã 2 nghiÖm: x = 8; x = 9 5. Ph¬ng ph¸p dïng ®iÒu kiÖn dÊu “=” ë bÊt kú ®¼ng thøc kh«ng chÆt: * Bµi to¸n 19: Gi¶i ph¬ng tr×nh x 2  x 1  x 2  x  2 3 (1) Gi¶i: Ta cã: x2 - x + 1=(x-1/2)2 +3/4 > 0 nªn (1) <=> ¸p dông bÊt ®¼ng thøc A <=> x2 - x + 1 + 2  x 2  x 3 2  x 2  x 2  x 2  x ≥ A x¶y ra dÊu “=” víi A ≥ 0 ta cã: 2 - x2 + x ≥ 0 <=> (x + 1)(x - 2) ≤ 0 <=> - 1 ≤ x ≤ 2 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ x tho¶ m·n: - 1 ≤ x ≤ 2. 6. Ph¬ng ph¸p dïng hÖ sè bÊt ®Þnh: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh tr×nh bËc 4: x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 vµ cã ph©n tÝch thµnh (x2 + a1x + b1)(x2 + a2x + b2) = 0 lóc ®ã ta cã:  a 2  a a 1   b1  b 2  b a 1a 2   a 2 b1  c a 1b 2  b1b 2  d  - 16 - TiÕp theo tiÕn hµnh nhÈm t×m c¸c hÖ sè a1; b1; a2; b2. B¾t ®Çu tõ b1b2 = d vµ chØ thö víi c¸c gi¸ trÞ nguyªn. * Bµi to¸n 20: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 (1) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh trªn ph©n tÝch ®îc thµnh d¹ng: (x2 + a1x + b1)(x2 + a2x + b2) = 0 Ta cã:  a 2   4 a 1   b1  b 2   a 1a 2   a 2 b1  37 a 1b 2  b1b 2   14  10 <=> b1 = -2; b2 = -7; a1 = -5; a2 = 1 Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng (x2 - 5x + 2)(x2 + x - 7) = 0 TiÕp tôc gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - 5x + 2 = 0 vµ x2 + x - 7 = 0 ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: x1 = 5  17 ; x2 = 5  2 2 17 ; x3 =  1 29 ; 2 x4 =  1 29 2 * Chó ý: Víi ph¬ng ph¸p nµy cã thÓ gi¶i ®îc víi ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm h÷u tû. PhÇn III KÕt luËn chung Ph¬ng ph¸p d¹y häc cña ngêi thÇy ®Ó häc sinh n¾m b¾t ®îc néi dung cÇn thiÕt lµ c¶ mét qu¸ tr×nh nghÖ thuËt. §Ó gióp c¸c em häc sinh n¨m ®îc bµi, hiÓu bµi vµ yªu m«n häc, cã høng thó trong giê häc, nhÊt lµ say mª víi nh÷ng bµi tËp khã. Th× ®©y lµ c¶ mét qu¸ tr×nh tÝch luü ph¬ng ph¸p gi¶ng cña ngêi thÇy, kh«ng chØ mét sím mét chiÒu cã ®îc ngay mµ ph¶i lµ c¶ mét qu¸ tr×nh rÌn ròa, t×m tßi, ®óc kÕt kinh nghiÖm, nghiªn cøu ®èi tîng th× míi lµm cho häc sinh yªu quý m«n häc vµ khao kh¸t ®îc häc. D¹y cho häc sinh c¸c ph¬ng ph¸p t×m tßi lêi gi¶i cho c¸c bµi tËp cã ý nghÜa v« cïng quan träng. §ßi hái ngêi gi¸o viªn ph¶i say mª víi nghÒ nghiÖp, kiªn tr×, tËn tuþ víi häc sinh, t¹o cho häc sinh cã thãi quen t duy vµ kh¶ n¨ng lËp luËn. Ph¬ng ph¸p gi¶ng m«n to¸n cña bËc THCS vÒ m«n ®¹i sè trong phÇn ch¬ng tr×nh. B¶n th©n t«i ®· ®óc rót ®îc trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y ë mét chõng mùc nµo ®ã vÊn ®Ò d¹y vµ häc. Ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i cho c¸c bµi tËp thùc sù cã t¸c dông gióp häc sinh lµm quen víi ph ¬ng ph¸p t duy, ph¬ng ph¸p lµm bµi. T×m c¸ch gi¶i trong ®ã x¸c ®Þnh râ c¸c bíc cÇn tiÕn hµnh theo mét tr×nh tù l«gic ®Ó hoµn thµnh bµi gi¶i. Mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ bËc hai trong ch¬ng tr×nh líp 8, 9 hiÖn nay mµ b¶n th©n t«i ®· ®óc rót trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y. Trong mét chõng mùc nµo ®ã vÊn ®Ò d¹y vµ häc c¸c ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i cho c¸c bµi tËp thùc sù cã t¸c dông cho c¸c d¹ng bµi tËp gióp häc sinh lµm quen víi ph¬ng ph¸p suy nghÜ, t×m tßi. Gi¸o viªn cÇn cã yªu cÇu cô thÓ ®èi víi tïng ®èi tîng häc sinh, t¨ng cêng c«ng t¸c kiÓm tra bµi cò, cã biÖn ph¸p khÝch lÖ nh÷ng c¸c gi¶i hay, h¹n chÕ tèi ®a cho häc sinh t©m lý ch¸n m«n häc, û n¹i vµ chê gi¸o viªn ch÷a bµi tËp. B¶n th©n t«i lÇn ®Çu tiªn nghiªn cøu ®Ò tµi nµy, t«i còng trao ®æi tham kh¶o, bµn b¹c, xin ý kiÕn cña c¸c thÇy c« ®i tríc vµ c¸c thµy c« d¹y trong bé m«n to¸n cña nhµ trêng. Song - 17 - ®©y lµ mét vÊn ®Ò míi mµ mét bµi to¸n cã v« vµn c¸ch gi¶i kh¸c nhau. B¶n th©n t«i kinh mong c¸c thÇy c« ®i tríc t¹o ®iÒu kiÖn gióp ®ì t«i, ®ãng gãp cho t«i nhiÒu ý kiÕn hay vµ bæ Ých ®Ó t«i tiÕp tôc gi¶ng d¹y cho c¸c em häc sinh ®¹t kÕt qu¶ cao nhÊt trong suèt qu¸ tr×nh d¹y häc cña t«i. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n. Ngêi d¹y: NguyÔn V¨n Ph¬ng. Líp 8B Ph¬ng tr×nh tÝch TiÕt 45: A - Môc tiªu: - Häc sinh cÇn n¾m v÷ng kh¸i niÖm vµ ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch (cã hai hay ba nh©n tö bËc nhÊt) - ¤n tËp c¸c ph¬ng ph¸o ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, vËn dông g¶i ph¬ng tr×nh tÝch. B - §å dïng d¹y häc: SGK, SGV, SBT thíc th¼ng, phÊn mµu. C- C¸c ho¹t ®éng trªn líp. 1. æn ®Þnh tæ chøc (1’) 2. KiÓm tra bµi cò (10’) Gi¸o viªn yªu cÇu kiÓm tra: Hai HS lªn b¶ng kiÓm tra: HS1: Ch÷a bµi 24(c) trang 6 SBT HS1: T×m c¸c gi¸ trÞ x sao cho biÓu thøc A vµ Rót gän: A = (x - 1)(x2 + x + 1) - 2x B cho sau ®©y cã gi¸ trÞ b»ng nhau A = x3 - 1 - 2x A = (x - 1)(x2 + x + 1) - 2x B = x(x - 1)(x + 1) B = x(x - 1)(x + 1) B = x3 - x Gi¶i ph¬ng tr×nh: A = B x3 - 1 - 2x = x3 - x <=> x3 - 1 - 2x - x3 + x = 1 <=> -x = 1 <=> x = -1 Víi x = -1 th× A = B HS2: Ch÷a bµi 25 9c) trang 7 SBT HS2: Gi¶i ph¬ng tr×nh Gi¶i ph¬ng tr×nh <=>  1 x    x 2 x  1   1   1 2001   2002   2003 <=> 2  x  2001 1  x  2002  x  2003   2001 2002 2003 2 x 1 x x  1  2001 2002 2003 - 18 - <=> 2003  x  2003  x  2003  x 2001 2002 2003 1 1 1    <=> (2003  x ).  0  2001 2002 2003  <=> 2003 - x = 0 <=> x = 2003 TËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh S = {2003} Gi¸o viªn yªu cÇu HS2 gi¶i thÝch: HS2 gi¶i thÝch: V× mét tÝch b»ng 0 khi trong tÝch Tõ ph¬ng tr×nh: Êy cã Ýt nhÊt mét thõa sè b»ng kh«ng cã: 1 1   1 ( 2003  x ).    0  2001 2002 2003  1 1   1     #0  2001 2002 2003  T¹i sao l¹i cã: 2003 - x = 0 nªn thõa sè 2003 - x = 0 Gi¸o viªn kh¼ng ®Þnh gi¶i thÝch nh vËy lµ ®óng, ®ã lµ mét tÝnh chÊt cña phÐp nh©n vµ lµ c¬ së ®Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh tÝch. HS líp ch÷a bµi II. Bµi míi (30’) GV: ViÕt vÝ dô 1 lªn b¶ng 1) Ph¬ng tr×nh tÝch vµ c¸ch gi¶i GV (hái): Mét tÝch b»ng 0 khi nµo? VD1: Gi¶i ph¬ng tr×nh HS: Suy nghÜ, tr¶ lêi. (2x - 3)(x + 1) = 0 GV: Yªu cÇu HS thùc hiÖn ? 2 SGK <=> GV ghi: ab = 0 <=> a = 0 hoÆc b = 0 3   2 x  3 0  x 2   x 1 0    x  1 víi a vµ b lµ 2 sè. VËy ph¬ng tr×nh ®· cho hai nghiÖm GV: t¬ng tù ®èi víi ph¬ng tr×nh th×: (2x x = 3/2 x x = -1 - 3)(x+ 1) = 0 khi nµo? HS: Suy nghÜ tr¶ lêi GV (hái): Ph¬ng tr×nh ®· cho cã mÊy nghiÖm? HS: Suy nghÜ tr¶ lêi GV giíi thiÖu: Ph¬ng tr×nh ta võa xÐt lµ mét ph¬ng tr×nh tÝch. GV (hái): Em hiÓu thÕ nµo lµ mét ph¬ng tr×nh tÝch? HS: Suy nghÜ tr¶ lêi GV lu ý HS: Trong bµi nµy, ta chØ xÐt c¸c ph¬ng tr×nh mµ hai vÕ cña nã lµ hai - 19 - biÓu thøc h÷u tØ vµ kh«ng chøa Èn ë mÉu. Ta cã: A(x). B(x) = 0 <=> A(x) = 0 hoÆc B(x) = 0 VËy muèn gi¶i ph¬ng tr×nh A(x).B(x) = 0 tai ph¶i gi¶i 2 ph¬ng tr×nh A(x) = 0 vµ B(x) = 0 råi lÊy tÊt c¶ c¸c nghiÖp cña chóng. GV: ViÕt vÝ dô 2 lªn b¶ng. GV (hái): Lµm thÕ nµo ®Ó ®a ph¬ng tr×nh trªn vÒ d¹ng tÝch? HS: Suy nghÜ vµ tr¶ lêi GV: Híng dÉn HS ®æi ph¬ng tr×nh 2- ¸p dông VÝ dô 2 : Gi¶i ph¬ng tr×nh (x + 1)(x+4) = (2-x)(x+2) <=> (x + 1)(x + 4) - (2 - x)(x + 2) = 0 <=> x2 + x + 4x + 4 - 22 + x2 = 0 <=> 2x2 + 5x = 0 <=> x(2x + 5) = 0 <=> x = 0 hoÆc x = -2,5 VËy tËp hîp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ S = {0; -2,5} GV cho HS ®äc “NhËn xÐt” trang 16 SGK HS ®äc “NhËn xÐt” trang 16 SGK ?3: Gi¶i ph¬ng tr×nh GV yªu cÇu HS lµm ?3 (x - 1)(x2 + 3x - 2) - (x3 - 1) = 0 <=> (x - 1)(x2 x 3x - 2) - (x - 1)(x2 + x + 1) 1HS lªn b¶ng tr×nh bµy <=> (x - 1)(x2 + 3x - 2 - x2 - x - 1) = 0 GV: H·y ph¸t hiÖn h»ng ®¼ng thøc <=> (x - 1)(2x - 3) = 0 trong ph¬ng tr×nh råi ph©n tÝch vÕ tr¸i <=> (x - 1) = 0 hoÆc 2x - 3 = 0 thµnh nh©n rö. <=> x = 1 hoÆc x = 1,5 TËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh S = {1; 1,5} GV yªu cÇu HS lµm vÝ dô 3 VD3: Tr×nh bµy nh trang 16 SGK Gi¶i ph¬ng tr×nh - 20 -
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan