Cung cấp một số phương pháp giải các phương trình bậc cao chương trình THCS
Môc lôc
Néi dung
Trang
PhÇn 1 : §Æt vÊn ®Ò
2
1. Lý do chän ®Ò tµi
2
2. NhiÖm vô nghiªn cøu
3
3. §èi tîng nghiªn cøu
3
3
4. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
3
5. Ph¹m vi nghiªn cøu
4
PhÇn 2: Néi dung ®Ò tµi nghiªn cøu
4
1. C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn
5
2. Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n trong gi¶i ph¬ng t×nh
6
3. Mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao
22
23
PhÇn 3: KÕt luËn chung
28
PhÇn 4: Bµi gi¶ng
Tµi liÖu tham kh¶o
PhÇn I
®Æt vÊn ®Ò
1- Lý do chän ®Ò tµi:
To¸n häc lµ m«n khoa häc tù nhiªn cã tõ rÊt l©u ®êi. Nã tån t¹i vµ ph¸t triÓn cïng víi sù
tån t¹i vµ ph¸t triÓn cña x· héi loµi ngêi. Tõ 2000 n¨m tríc c«ng nguyªn ngêi cæ ®¹i ®· biÕt
c¸ch gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, ngêi Babilon ®· biÕt c¸ch gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai vµ
®· dïng c¸c b¶ng ®Æc biÖt ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh bËc ba.
Nhng ®Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc cao h¬n ph¶i ®Õn ®Çu thÕ kû thø 19, nhµ to¸n häc Nauy
lµ Abet (1802 – 1829) chøng minh ®îc r»ng ph¬ng tr×nh tæng qu¸t bËc 5 vµ lín h¬n ph¬ng
-1-
tr×nh bËc 5 lµ kh«ng thÓ gi¶i ®îc b»ng c¸c ph¬ng tiÖn thuÇn tuý ®¹i sè. Sau cïng nhµ to¸n
häc ngêi Ph¸p lµ Galoa (1811 – 1832) ®· gi¶i quyÕt mét c¸ch trän vÑn vÒ vÊn ®Ò ph¬ng
tr×nh ®¹i sè.
Sau nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y m«n to¸n ë bËc trung häc c¬ së t«i nhËn thÊy m¶ng gi¶i ph ¬ng
tr×nh bËc cao ®îc ®a ra ë s¸ch gi¸o khoa líp 8, 9 lµ rÊt khiªm tèn, néi dung s¬ lîc, mang tÝnh
chÊt giíi thiÖu kh¸i qu¸t, quü thêi gian dµnh cho nã lµ qu¸ Ýt ái. Bªn c¹nh ®ã lµ c¸c néi dung
bµi tËp øng dông th× rÊt phong phó, ®a d¹ng vµ phøc t¹p. C¸c ph¬ng tr×nh bËc cao lµ néi dung
thêng gÆp trong c¸c kú thi ë bËc THCS, THPT vµ ®Æc biÖt trong c¸c kú thi tuyÓn sinh vµo §¹i
häc vµ cao ®¼ng.
XuÊt ph¸t tõ tÇm quan träng cña néi dung, tÝnh phøc t¹p ho¸ g©y nªn sù trë ng¹i cho häc
sinh trong qu¸ tr×nh tiÕp cËn víi ph¬ng tr×nh bËc cao. Cïng víi sù tÝnh luü kinh nghiÖm cã ®îc cña b¶n th©n qua nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y. KÕt hîp víi nh÷ng kiÕn thøc mµ t«i mµ t«i ®· lÜnh
héi ®îc trong tr¬ng tr×nh §¹i häc to¸n mµ ®Æc biÖt lµ sù híng dÉn tËn t×nh cña c¸c thµy c«
gi¸o. T«i m¹nh chän ®Ò tµi “Nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao”.
Qua ®Ò tµi t«i mong r»ng b¶n th©n m×nh sÏ t×m hiÓu s©u h¬n vÒ vÊn ®Ò nµy, tù ph©n lo¹i ® îc mét sè d¹ng to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao, nªu lªn mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i cho tõng d¹ng
bµi tËp. Tõ ®ã gióp häc sinh cã thÓ dÔ dµng h¬n trong viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao. Qua néi
dung nµy t«i hy väng häc sinh ph¸t huy ®îc kh¶ n¨ng ph©n tÝch, tæng hîp, kh¸i qu¸t ho¸ qua
c¸c bµi tËp nhá. Tõ ®ã h×nh thµnh cho häc sinh kh¶ n¨ng t duy s¸ng t¹o trong häc tËp.
2- NhiÖm vô nghiªn cøu:
- Kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh c¸c d¹ng: ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn, ph¬ng tr×nh bËc
hai, ph¬ng tr×nh tÝch, ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng, ph¬ng tr×nh ®èi xøng...
- Kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ bËc nhÊt, bËc hai ë d¹ng c¬ b¶n mµ häc
sinh ®· häc.
3- §èi tîng nghiªn cøu:
- Häc sinh líp 8, 9 Trêng THCS §µo D¬ng.
- C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao ®a vÒ bËc nhÊt, bËc hai trong tr¬ng tr×nh
líp 8, 9.
4- Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu:
Tham kh¶o tµi liÖu, thu thËp tµi liÖu, ®óc rót, tæng kÕt kinh nghiÖm, kiÓm tra kÕt qu¶.
Dù giê, kiÓm tra chÊt lîng häc sinh, nghiªn cøu hå s¬ gi¶ng d¹y, ®iÒu tra trùc tiÕp th«ng qua
c¸c giê häc, thÓ hiÖn trªn nhiÒu ®èi tîng häc sinh kh¸c nhau: Häc sinh kh¸, giái vµ häc sinh
trung b×nh vÒ m«n To¸n.
5- Ph¹m vi nghiªn cøu:
Gia h¹n ë vÊn ®Ò gi¶ng d¹y phÇn ph¬ng tr×nh bËc cao trong tr¬ng tr×nh líp 8, 9 ë
THCS (Cô thÓ ë trêng THCS §µo D¬ng).
-2-
PhÇn II
Néi dung ®Ò tµi nghiªn cøu
I. C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn:
§Ó gi¶i mét bµi to¸n ngêi gi¶i ph¶i biÕt ph©n tÝch ®Ó khai th¸c hÕt gi¶ thiÕt, c¸c ®iÒu
kiÖn yªu cÇu cña ®Ò bµi, thÓ lo¹i bµi to¸n...®Ó tõ ®ã ®Þnh híng c¸ch gi¶i. §¹i bé phËn häc
sinh chóng ta kh«ng hiÓu râ sù quan träng cÇn thiÕt cña viÖc ph©n tÝch vµ nhËn ®Þnh híng
gi¶i, nhiÒu em kh«ng häc lý thuyÕt ®· vËn dông ngay, kh«ng gi¶i ®îc th× ch¸n n¶n, bá kh«ng
gi¶i hoÆc gië s¸ch gi¶i ra chÐp v.v…
Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, ®Æc biÖt khi d¹y ch¬ng ph¬ng tr×nh ta thÊy c¸c d¹ng ph¬ng
tr×nh ®a d¹ng vµ phong phó mµ ta ph¶i vËn dông nhiÒu kü n¨ng biÕn ®æi ®¹i sè nh sö dông
h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí vµ mét sè h»ng ®¼ng thøc më réng, dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng vµ c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè, ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö…
C«ng cô gi¶i ph¬ng tr×nh kh«ng ®ßi hái cao xa chØ cÇn kiÕn thøc cÊp hai lµ ®ñ, c¸i
quan träng lµ yªu cÇu häc sinh ph¶i n¾m v÷ng kiÕn thøc, ph¶i cã sù lËp luËn chÆt chÏ, ph¶i
biÕt xÐt ®Çy ®ñ c¸c khÝa c¹nh, c¸c trêng hîp cô thÓ cña tõng vÊn ®Ò. §Æc biÖt lµ yªu cÇu ®èi
víi nh÷ng häc sinh kh¸, giái ph¶i hÕt søc s¸ng t¹o, linh ho¹t trong khi gi¶i ph ¬ng tr×nh, biÕt
®Æc biÖt ho¸ vµ tæng qu¸t ho¸ nh÷ng vÊn ®Ò cÇn thiÕt.
Lµ gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y viÖc cung cÊp kiÕn thøc cho häc sinh ph¶i thùc
sù ®óng quy tr×nh c¸c bíc biÕn ®æi, ph¶i ®¶m b¶o l«gic, cã hÖ thèng, kh«ng tù tiÖn c¾t bá
kiÕn thøc ®Ó rÌn luyÖn cho c¸c em häc sinh thãi quen cÈn thËn, kü n¨ng gi¶i bµi tËp hîp l«gic
to¸n häc.
ViÖc gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc mét n»m trong ch¬ng tr×nh bËc
nhÊt mét Èn sè phÇn cuèi ch¬ng, ®©y lµ mét vÊn ®Ò khã ®èi víi c¸c em häc sinh trung b×nh vµ
häc sinh ®¹i trµ, sè tiÕt d¹y cho phÇn nµy l¹i Ýt.
* §èi víi gi¸o viªn: Ph¶i hÖ thèng ®îc c¸c kh¸i niÖm vµ c¸c ®Þnh nghÜa c¬ b¶n cña
c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh, c¸c tÝnh chÊt vµ c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p.
Nghiªn cøu t×m tßi, khai th¸c ®Ó t×m ®îc nh÷ng øng dông ®a d¹ng, phong phó cña ph¬ng
tr×nh. MÆt kh¸c ph¶i lùa chän c¸c ph¬ng ph¸p thÝch hîp ®èi víi tõng ®èi tîng häc sinh, ®ång
thêi n©ng cao nghiÖp vô cña gi¸o viªn.
-3-
* §èi víi häc sinh: N¾m ch¾c mét c¸ch cã hÖ thèng c¸c kh¸i niÖm, ®Þnh nghÜa, c¸c
phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng, c¸c tÝnh chÊt vµ hÖ qu¶. Tõ ®ã ph¸t triÓn kh¶ n¨ng t duy, l«gic cho
ngêi häc. Gióp cho häc sinh cã mét kh¶ n¨ng ®éc lËp, suy diÔn vµ vËn dông, rÌn luyÖn trÝ
th«ng minh cho häc sinh. §ång thêi cho häc sinh thÊy ®îc sù thuËn tiÖn h¬n rÊt nhiÒu trong
gi¶i ph¬ng tr×nh.
II. Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n trong gi¶i ph¬ng tr×nh:
1 - C¸c ®Þnh nghÜa:
1.1 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh:
Gi¶ sö A(x) = B(x) lµ hai biÓu thøc chøa biÕn x. Khi nãi A(x) = B(x) lµ mét ph¬ng
tr×nh, ta hiÓu r»ng ph¶i t×m gi¸ trÞ cña x ®Ó c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng cña hai biÓu thøc nµy b»ng
nhau.
BiÕn x ®îc gäi lµ Èn.
Gi¸ trÞ t×m ®îc gäi lµ nghiÖm.
ViÖc t×m nghiÖm gäi lµ gi¶i ph¬ng tr×nh.
Mçi biÓu thøc ®îc gäi lµ mét vÕ cña ph¬ng tr×nh.
1.2 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn sè:
Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax + b = 0, víi a, b lµ nh÷ng h»ng sè; a # 0 ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh
bËc nhÊt mét Èn sè, b gäi lµ h¹ng tö tù do.
1.3 TËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh:
Lµ tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña Èn lµm cho mäi biÓu thøc trong ph¬ng tr×nh cã nghi·.
1.4 §Þnh nghÜa hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng:
Hai ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng tËp hîp nghiÖm.
1.5 C¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng:
Khi gi¶i ph¬ng tr×nh ta ph¶i biÕn ®æi ph¬ng tr×nh ®· cho thµnh ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng
víi nã (nhng ®¬n gi¶n h¬n). PhÐp biÕn ®æi nh vËy gäi lµ phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng.
1.6 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn:
Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn sè lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax2 + bx + c = 0 ; trong ®ã x lµ
Èn sè a,b,c lµ c¸c hÖ sè ®· cho; a # 0.
1.7 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc cao:
Ta gäi ph¬ng tr×nh ®¹i sè bËc n trªn trêng sè thùc lµ c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh ®a vÒ d¹ng:
anxn + an-1xn-1 + ... + a1 + a0 = 0
Trong ®ã n lµ sè nguyªn d¬ng; x lµ Èn sè; a1, a2 ,...an lµ c¸c sè thùc x¸c ®Þnh (an # 0).
2 - C¸c ®Þnh lý biÕn ®æi t¬ng ®¬ng cña ph¬ng tr×nh:
a) §Þnh lý 1:
NÕu céng cïng mét ®a thøc cña Èn vµo hai vÕ cña cïng mét ph¬ng tr×nh th× ta ®îc mét
ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô: 2x = 7 <=> 2x + 5x = 7 + 5x
*Chó ý:
NÕu céng cïng mét biÓu thøc chøa Èn ë mÉu vµo hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ph¬ng
tr×nh míi cã thÓ kh«ng t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô: x - 2 = 0
(1)
-4-
Kh«ng t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh
x 2
1
1
x 2 x 2
(2)
V× x = 2 lµ nghiÖm cña (1) nhng kh«ng lµ nghiÖm cña (2)
* HÖ qu¶ 1:
NÕu chuyÓn mét h¹ng tö tõ vÕ nµy sang vÕ kia cña cïng mét ph¬ng tr×nh th× ta ®îc
mét ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô: 8x-7=2x+3 <=> 8x-2x = 7+3
* HÖ qu¶ 2:
NÕu xo¸ hai h¹ng tö gièng nhau ë hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ta ®îc mét ph¬ng
tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô: -9 - 7x = 5(x+3)-7x <=> -9 = 5(x+3)
* Chó ý:
NÕu nh©n hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh víi mét ®a thøc cña Èn th× ®îc ph¬ng tr×nh míi
cã thÓ kh«ng t¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho.
III. Mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao
A - Ph¬ng híng
ë phæ th«ng kh«ng häc phÐp gi¶i tæng qu¸t cho ph¬ng tr×nh bËc ba, bËc 4 cßn ph¬ng
tr×nh bËc 5 kh«ng cã phÐp gi¶i tæng qu¸t. Tuy nhiªn trong mét sè trêng hîp ®Æc biÖt cã thÓ ®a ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i vÒ ph¬ng tr×nh bËc mét, bËc hai. Ta ph¶i dùa vµo ®Æc thï cña ph¬ng
tr×nh cÇn gi¶i ®Ó cã ph¬ng ph¸p thÝch hîp.
Gi¶i vµ gi¶ng d¹y c¸c bµi to¸n vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ bËc nhÊt mét Èn sè
hoÆc bËc hai n»m trong qu¸ tr×nh gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai. Nãi chung lµ bao gåm
nhiÒu d¹ng vµ phong phó ®îc c¸c nhµ to¸n häc vµ s ph¹m quan t©m vµ ®Ò cËp tíi nhÒu trong
tµi liÖu, tËp san to¸n häc....C¨n cø vµo môc ®Ých ý nghÜa kÕt qu¶ ®iÒu tra vµ thùc tÕ gi¶ng d¹y
ch¬ng ph¬ng tr×nh. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y b¶n th©n t«i ®· nghiªn cøu ¸p dông lý luËn
trong qu¸ tr×nh d¹y häc, c¸c ph¬ng ph¸p ®Æc trng bé m«n, ¸p dông c¸c kiÕn thøc ®· häc ®Ó ®a c¸c ph¬ng tr×nh bËc cao vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai b»ng nhiÒu c¸ch.
B - C¸c bµi to¸n vµ ph¬ng ph¸p gi¶i:
1 - Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch:
1.1 ¸p dông ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
§Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh d¹ng nµy tríc hÕt ta ph¶i n¾m v÷ng ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a
thøc thµnh nh©n tö b»ng mäi c¸ch ®a ph¬ng tr×nh ®a cho vÒ ph¬ng tr×nh d¹ng tÝch.
f(x). g(x)...h(x)=0
<=>
f(x) 0
g(x) 0
...
0
h(x) 0
V× mét tÝch b»ng 0 khi vµ chØ khi Ýt nhÊt mét phÇn tö b»ng 0. NghiÖm cña ph¬ng tr×nh
d· cho chÝnh lµ tËp hîp nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh.
f(x) = 0;
g(x) = 0;
...
;h(x) = 0
* Bµi to¸n: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x-1)3+x3+(x+1)3=(x+2)3
(1)
Gi¶i (x-1)3+x3+(x+1)3=(x+2)3
-5-
<=> x3 - 3x2 + 3x - 1 + x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 8
<=> x3 - 3x2 - 3x - 4 = 0
<=> x3 - 1 - 3x2 - 3x - 3 = 0
<=> (x-1)(x2 + x + 1) - 3 (x2 + x + 1) = 0
<=> (x2 + x + 1)(x-4) = 0
(2)
Víi häc sinh líp 8 ta lµm nh sau:
Do x2 + x + 1 # 0 nªn ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x-4 =0 <=> x=4
Víi häc sinh líp 9:
(2) <=>
x 2 x 1 0
(*)
(**)
x - 4 0
Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) 1 4 3 0 nªn (* )v« nghiÖm
Gi¶i (**): x =4
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 1 nghiÖm lµ x = 4
* Lîc ®å hoãcne:
NÕu f(x) cã nghiÖm x = x0 th× f(x) chøa nh©n tö (x-x0) tøc lµ:
f(x) = (x-x0). g(x)
Trong ®ã:
f(x) = anxn + an-1xn-1 +... + a1x+a0 = 0
g(x) = bnxn + bn-2xn-2+... + b1x+b0 = 0
Víi :
bn-1= an
bn-2= x0bn-1+ an-1
..........................
bi-1 = x0b1+ ai
b0 = x0b1+ a1
Ta cã b¶ng sau: (lîc ®å hoãcne).
xi
an
x = x0
bn-1= an
an-1
x0bn-1
bn-2
..............
..............
..............
a1
x0b1
b0
a0
x0b1
0
ViÖc nhÈm nghiÖm c¸c ph¬ng tr×nh dùa trªn c¸c c¬ së sau:
1.2.1. NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 th× 1 lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa
thõa sè x-1.
1.2.2. NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña mét sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè
cña sè h¹ng bËc lÎ th× -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè (x+1).
1.2.3. Mäi nghiÖm nguyªn cña ®a thøc ®Òu lµ íc cña hÖ sè tù do lµ a0.
1.2.4. Mäi nghiÖm h÷u tû cña ®a thøc víi hÖ sè nguyªn:
xn + an-1xn-1 + .... + a1x+a0 = 0 ®Òu lµ sè nguyªn
* Bµi to¸n 2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 + x3 -x - 1 = 0 (2)
NhËn thÊy: a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = 1 +1 + 0 +(-1) + (-1) = 0
vµ
a4 + a2 + a0 = 1 +0 + (-1) = a3 + a1 = 1+ (-1)
¸p dông môc 1.2.1 vµ môc 1.2.2 ta cã hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) lµ:
x1 = 1 vµ x2 = -1
-6-
¸p dông lîc då hoãcne ta cã:
xi
a4 = 1
a3 = 1
a2 = 0
a1 = -1
a0 = -1
x=1
1
2
2
1
0
x = -1
1
1
1
0
Ph¬ng tr×nh (2) cã d¹ng ph©n tÝch nh sau:
(x - 1) (x + 1)( x2 + x + 1) = 0
Ta dÔ dµng nhËn thÊy ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm : x1 = 1vµ x2 = -1
*Bµi to¸n 3
Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 - 5x2 + 8x - 16 = 0 (3)
ë bµi to¸n nµy ta kh«ng thÓ ¸p dông viÖc nhÈm nghiÖm theo nh©n xÐt ë 1.2.1 vµ
1.2.2 . ¸p dông nhËn xÐt môc 1.2.3 vµ 1.2.4 ta cã:
U(4) 1;2;3;4;8;16
KiÓm tra thÊy x = 4 lµ 1 nghiÖm
¸p dông lîc ®å hoãcne ta ®a ph¬ng tr×nh (3) vÒ d¹ng
(x - 4) (x2 - x + 4) = 0
<=>
x 4 0
2
x x 4 0
(*)
(**)
(*) <=> x - 4 = 0 <=> x = 4
(**) <=> x2 - x + 4 = 0
1 4.4 1 16 15 0 (**) v«
nghiÖm
VËy nghiÖm cña PT(3) lµ x = 4
Bµi to¸n 4:
Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = 0
ViÖc ¸p dông nhËn xÐt c¸c môc 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 kh«ng thÓ gi¶i quyÕt ®îc vÊn ®Ò (v×
ë ph¬ng tr×nh nµy kh«ng cã nghiÖm nguyªn). Ta nghÜ ®Õn c¬ héi cuèi cïng nÕu ph¬ng tr×nh
cã nghÖm lµ h÷u tû vµ ¸p dông nhËn xÐt o môc 1.2.4.
(4)
<=> 8x3 - 20x2 + 32x - 12 = 0
<=> (2x)3 - 5(2x)2 + 16(2x) - 12 = 0
§Æt y = 2x ta cã:
y3 - 5y2 + 16y - 12 = 0
NhËn thÊy a3 + a2 + a1 + a0 = 1+(-5) + 16 +(-12) = 0
¸p dông môc 1.2.1 ta cã y = 1
¸p dông lîc ®å hoãcne (4’) vÒ d¹ng
(y - 1)(y2 - 4y + 12) = 0
<=>
(*)
y 1 0
2
y 4 y 12 0 (**)
(*)
<=> y -1 = 0 <=> y = 1 => x = 1/2
(**) y2 - 4y + 12 = 0 v« nghiÖm v× (y -2)2 + 8 > 0 víi y
VËy ph¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm lµ x = 1/2
-7-
1.2.5. ViÖc nhÈm nghiÖm nh ë trªn sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n nÕu sè h¹ng tù do lµ a 0
lín vµ cã nhiÒu íc sè. Trong trêng hîp nµy ta sÏ ¸p dông nhËn xÐt sau ®Ó ®i lo¹i trõ bít c¸c íc kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh mét c¸ch nhanh chãng.
- NÕu x0 lµ nghiÖm nguyªn cña ®a thøc f(x) vµ f(1) # 0; f(-1) # 0 th×
f (1)
f ( 1)
vµ
®Òu lµ c¸c gi¸ trÞ nguyªn.
1
1
x0
x0
Bµi to¸n 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4x3 - 13x2 + 9x - 18 = 0 (0)
Gi¶i:
U(18) 1;2;3;6;9;18
HiÓn nhiªn -1,1 kh«ng lµ nghiÖm cña (5) => f(1) # 0, f(-1) # 0
Ta thÊy
f (1) 18
9 Z
3 1
2
f (1) 44
11 Z
3 1
4
=> Ph¬ng tr×nh (5) cã kh¼ n¨ng cã nghiÖm lµ x1 = 3
¸p dông lîc ®å Hoãcne ta ®a ph¬ng tr×nh (5) vÒ d¹ng sau:
(x - 3)(4x2 -x + 6) = 0
<=> x - 3 = 0
(*)
2
4x -x + 6 = 0(**)
(*)
<=> x = 3
(**) <=> 4x2 - x + 6 = 0
= (-1)2 - 4.4.6 <0 (**) v« nghiÖm
Nªn ph¬ng tr×nh (5) cã mét nghiÖm lµ: x = 3
Chó ý:
- ViÖc nhÈm nghiÖm ph¬ng tr×nh cã thÓ nhÈm miÖng råi dïng thuËt chia ®a thøc cho
®a thøc ®Ó h¹ bËc råi ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch.
- Cã thÓ dïng lîc ®å Hoãcne ®Ó x¸c ®Þnh íc sè nµo cña a0 lµ nghiÖm, íc sè nµo kh«ng
lµ nghiÖm vµ ®a ra ngay d¹ng ph©n tÝch.
VD xÐt ph¬ng tr×nh: x3 - 5x2 - 8x - 4 = 0 (*)
U(4) 1;2;4
¸p dông lîc ®å Hoãcne ta cã
X0
a3 = 1
a2 = -5
a1 = 8
a0 = -4
x=1
1
-4
4
0
x = -1
1
-6
14
-18
x=2
1
-3
2
0
x = -2
1
-7
22
-48
x=4
1
-1
4
12
x = -4
1
-9
44
172
NhËn thÊy x =1 vµ x = 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) lóc ®ã (*) viÕt díi d¹ng ph¬ng
tr×nh tÝch nh sau:
(x - 1) (x - 2) (x - 2) = 0
2. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
- Ph¬ng tr×nh nµy thêng ®îc sö dông víi c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh
-8-
* D¹ng 1:
Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) gäi lµ ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng.
- C¸c gi¶i: §Æt Èn phô y = x2 (y ≥ 0) ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi y nh sau:
ay2 + by + c = 0
* Bµi to¸n 7: Gi¶i ph¬ng tr×nh
x4 - 5x2 + 4 = 0
(1)
Gi¶i:
§Æt y = x2 (y ≥ 0)
x
2
x
2
y 2
( y
y
y
1
5 y
4
0
1
)( y
4)
0
1
0
4
x
1
4
0
1
;
x3
x2
2,
y
1
y
4
x4
1
2
(1)
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm:
x = 1; x = -1; x = 2; x = -2
* D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng
(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = m
Víi a + b = c + d hoÆc a + c = b + d hoÆc a + d = b + c.
* Bµi to¸n 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh
(x-1) (x+1) (x+3) (x+5) = 9 (1)
Gi¶i:
(1)
(x-1) (x+1) (x+3) (x+5) = 9
(x2 + 4x - 5) (x2 + 4x + 3) = 9
§Æt y = x2 + 4x - 5
Ta ®îc ph¬ng tr×nh: y (y+8) = 9
y
(y
x
2
8)
9
8 y
1
)( y
y
y
4 x
x
1,
x 2
y 2
( y
2
1
9
9
0
9)
0
0
0
5
2
1
4 x
5
x3 , 4
2
y
1
y
x
2
9
4 x
10
9
x
2
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm:
x 1 2 10
x 2 2
10
x 3 2
D¹ng 3: Ph¬ng tr×nh d¹ng (x + a)4 + (x + b)4 = c
+ C¸ch gi¶i: Ta ®a ph¬ng tr×nh trªn vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng b»ng c¸ch ®Æt y = x+
(a+b)/2
-9-
4
* Bµi to¸n 9: Gi¶i ph¬ng tr×nh
(x+1)4 + (x+3) = 16
Gi¶i:
§Æt y = x + 2 ta ®îc ph¬ng tr×nh
(y-1)4 + (y+1)4 = 16
2y4 + 12y2 + 2 = 16
y4 + 6y2 - 7 = 0 (ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng)
§Æt m = y2 (m ≥ 0) ta ®îc ph¬ng tr×nh
m2 + 6m - 7 = 0
(8)
Dïng ph¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm (a+b+c = 0)
(*) m1 = 1 (tho¶ m·n); m2 = -7 (lo¹i)
y 2 1 y1 1; y 2 1
x 2 1
x 1
x 2 1 x 3
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm lµ: x = -1; x = -3
D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n cã d¹ng:
a 0 x 2 n a 1 x 2 n 1 ... a n 1 x n a n x n 1 ... a 1 x a 0 0
C¸ch gi¶i: V× 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nªn chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2
råi ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc n b»ng c¸ch ®Æt y = x + 1/x.
* Bµi to¸n 10: Gi¶i ph¬ng tr×nh
2x4 + 3x3 - 3x2 + 3x + 2 = 0 (1)
Gi¶i:
x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (1)
Víi x ≠ 0 chia 2 vÕ cña (1) cho x2 ta ®îc ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng
3 2
0
x x2
1
1
2( x 2 2 2 ) 3( x ) 5 0
x
x
1
1
2( x ) 3( x ) 5 0
x
x
2 x 2 3x 3
§Æt y x
1
®a ph¬ng tr×nh vÒ 2y2 + 3y - 5 = 0 (2)
x
= 9 + 40 = 49 > 0 => ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm
37
3 7 5
1; y
2
4
4
2
y
x
1
1 (Nh©n 2 vÕ víi x≠0)
x
1
x 2 x 1 0 (*)
= 1-4 = -3 <0 => ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm.
x
1 5
(nh©n hai vÕ víi 2x ≠ 0)
x
2
- 10 -
2 x 2 5 x 2 0 (**)
25 16 9 0
=> ph¬ng tr×nh (**) cã 2 nghiÖm:
53 1
4
2
5 3
x2
2
4
x1
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm: x 1 1 ; x 2 2
2
* D¹ng 5: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc lÎ cã d¹ng:
a 0 x 2 n 1 a n 1 x 2 n ... a n x n 1 a n x n ... a 1 x a 0 0
C¸ch gi¶i: ph¬ng tr×nh nµy bao giê còng cã nghiÖm x 0 = -1 vµ khi chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh
cho (x + 1) ta ®îc ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n 2n.
Bµi to¸n 11: Gi¶i ph¬ng tr×nh
2x5 + 5x4 - 13x3-13x2 + 5x + 2 = 0
(1)
Gi¶i:
Ta cã : 2 + (-13) + 5 = 5 + (-13) + 2
=> a5 + a3 + a1 = a4 + a2 + a0
=> x0 = -1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
Víi x # - 1 chia cho c¶ 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) cho (x + 1) ta cã ph¬ng tr×nh
2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0
(3)
DÔ dµng thÊy r»ng x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (3)
Chia c¶ 2 vÕ cña (3) cho x2 # 0, ta cã ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng
2x2 + 3x - 16 + 3. 1 + 2.
x
1
=0
x2
<=> 2(x + 1 )2 + 3(x + 1 ) - 20 = 0
x
x
§Æt y = x + 1 ta ®îc ph¬ng tr×nh
x
2
2y + 3y - 20 = 0
(4)
= 9 + 160 = 190 > 0
=> ph¬ng tr×nh (4) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
y1 = 3 13 5 ;
4
2
y2 = 3 13 = - 4
4
Tõ ®ã gi¶i 2 ph¬ng tr×nh
x + 1 = -4 (Nh©n 2 vÕ víi x # 0)
x
<=> x2 + 4x + 1 = 0 (*)
’ = 4 - 1 = 3 > 0
=> ph¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm: x1 = -2 +
3
- 11 -
; x2 = -2 -
3.
x + 1 = 5 (nh©n 2 vÕ víi 2x # 0)
x
2
<=> 2x2 - 5x + 2 = 0 (**)
= 25 - 16 = 9 > 0
=> Ph¬ng tr×nh (**) cã 2 nghiÖm
x1 = 5 3 3
5 3 1
x2
4
2
4
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm:
x1 = -2 +
3,
x2 = -2 -
3,
x3 = 3, x4 =
1
2
* NhËn xÐt
Bµi tËp nµy t¬ng ®èi khã víi häc sinh nªn khi d¹y gi¸o viªn cÇn lu ý khai th¸c hÕt c¸c
gi¶ thiÕt, nhËn xÐt cã thÓ sö dông ph¬ng ph¸p nµo, h»ng ®¼ng thøc nµo ph©n tÝch cho thÝch
hîp. Mçi bµi tËp gi¶i xong gi¸o viªn nªn chèt l¹i vÊn ®Ò vµ c¸c kiÕn thøc cÇn sö dông trong
qu¸ tr×nh gi¶i bµi tæng qu¸t, bµi t¬ng tù, ®Æc biÖt dïng ®Ó båi dìng häc sinh giái nh»m ph¸t
triÓn t duy.
* D¹ng 6: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng:
(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = mx2
C¸ch gi¶i: §Æt Èn phô y = x +
ad
hoÆc y = (x + a) (x + b)
2
Bµi to¸n 12: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2
Gi¶i:
* C¸ch1:
<=> 4(x2 + 17x + 60) (x2 + 16x + 60) = 3x2
(1)
<=>4(x+17+ 60 )(x+16+ 60 ) = 3 ( v× x # 0)
x
x
§Æt y = (x+16+ 60 )
x
(2)
<=> 4y(y + 1) = 3
<=> 4y2 + 4y - 3 = 0
<=> y1 = 1
2
víi y1 = 1 ta cã :
2
y2 = - 3
2
2x2 + 31x + 120 = 0
<=> x1 = -8
x2 = - 15
2
víi y2 = - 3 ta cã : 2x2 + 35x + 120 = 0
2
<=> x3 =
35 265
4
; x4 =
35 265
4
* C¸ch 2: §Æt y = x2 + 16x +60, ta ®îc ph¬ng tr×nh:
- 12 -
(2)
4y (y + x) - 3x2 = 0
<=> (2y - x)(2y + 3x) = 0
(3)
x 2 y
<=> 1
x 2 2 y / 3
Thay vµo (3) ta t×m ®îc 4 nghiÖm
* Bµi to¸n 13: Gi¶i ph¬ng tr×nh
(x - 3)(x + 2)(x - 4)(x + 6) = 14x2 (1)
Gi¶i:
* C¸ch 1: Khai triÓn, thu gän vÒ ph¬ng tr×nh f(x) = 0 víi vÕ tr¸i lµ ®a thøc bËc bèn
* C¸ch 2: NhËn thÊy (-3)(-4) = 12
2.6 = 12
(1)
<=> (x - 3)(x - 4)(x + 2)(x + 6) = -14x2
<=> (x2 - 7x + 12)(x2 - 8x + 12) = - 14x2 (2)
DÔ thÊy x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) nªn chia 2 vÕ cho x2
(2)
<=> (x - 7 + 12 )(x + 8 + 12 ) = -14
x
x
(3)
§Æt t = x - 7 + 12 => x + 8 + 12 = t + 15
x
x
(3) trë thµnh:
t(t + 15) = -14
t2 + 15t + 14 = 0
t1 = -1; t2 = -14
<=>
<=>
Víi t = -1; x - 7 + 12 = -1
x
2
<=> x - 6x + 12 = 0 (*) (v× x # 0)
’ = 9 - 12 = -3 <0 => (*) v« nghiÖm
Víi t = -14; x - 7 + 12 = -14
x
2
<=> x + 7x + 12 = 0 (**) (v× x # 0)
= 49 - 48 = 1 > 0 => (**) cã 2 nghiÖm
x1 = 3; x2 = 4
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm : x = 3; x = 4
* D¹ng 7: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng d(x + a)(x + b)(x + c) = mx
Trong ®ã: d = a b c ; m = (d - a)(d - b)(d - c)
2
* C¸ch gi¶i: §Æt Èn phô y = x + d, mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ y = 0
* NhËn xÐt: Mét thiÕu sãt thêng m¾c khi biÕn ®æi ph¬ng tr×nh:
- Khi chia 2 vÕ cho mét ®a thøc cña ph¬ng tr×nh
f1(x)g(x) = f2(x)g(x) (1)
thµnh f1(x) = f2(x)
- Khö luü thõa bËc ch½n ë 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh f2n(x) = g2n(x) (2)
g(x). Hai phÐp biÕn ®æi nµy cã thÓ lµm mÊt nghiÖm.
- 13 -
thµnh f(x) =
- §èi víi ph¬ng tr×nh ®Çu nªn chuyÓn vÕ ®Ó ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch hoÆc gi¶i ph¬ng tr×nh
f1(x) = f2(x).
- §èi víi ph¬ng tr×nh (2) gi¶i 2 ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) vµ f(x) = -g(x).
* D¹ng 8: x3 + ax2 + bx + c = 0
(Ph¬ng ph¸p nµy cã thÓ gi¶i ®îc víi ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ)
+ C¸ch gi¶i:
- Bíc 1 : Quy vÒ d¹ng y3 + py + q = 0 b»ng c¸ch ®Æt y = a/3 + x
- Bíc 2: §Æt y = u + v
(u + v)3 + p(u + v) + q = 0
<=> u3 + v3 + (u + v)(3uv + p)+q = 0
Nªn u vµ v tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh:
<=>
u 3 v 3
3uv p
q
3
v 3 q
u
3
3
q 3 / 27
u v
Sau ®ã ¸p dông hÖ thøc ViÐt ®Ó t×m nghiÖm u, v.
*Bµi to¸n 14: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 + 9x2 + 18x + 28 = 0
(*)
§Æt y = x + a/3 = x + 3 => x = y - 3
(*) <=> y3 - 9y + 28 = 0 (**)
§Æt y = u + v (**) <=> (u + v )3 - 9(u + v) + 28 = 0
<=> u3 + v3 + (u + v) (3uv - 9) + 28 = 0
(***)
NÕu u, v tho¶ m·n ph¬ng tr×nh (***) th× u, v lµ nghiÖm cña hÖ
u 3 v 3
3
uv
28
<=>
3
v 3
u
3
v 3 27
u
28
=> u3, v3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: X2 + 28X + 27 = 0
=> u3 = -1; v3 = -27 => u = -1; v = -3
=> y = u + v = - 1 - 3 = -4
mµ x = y - 3 => x = -7
VËy ph¬ng tr×nh (*) cã cã mét nghiÖm lµ x = 7
3. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ 2 luü thõa cïng bËc:
* C¸ch gi¶i: Ta thªm bít h¹ng tö ®Ó xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc thÝch hîp råi tõ ®ã ®a vÒ
hai vÕ cña ph¬ng tr×nh vÒ luü thõa cïng bËc. Sau ®ã vËn dông c¸c h»ng ®¼ng thøc ®· häc ®Ó
gi¶i ph¬ng tr×nh.
* Chó ý:
A2n = B2n <=> A = + B
A2n - 1 = B2n - 1 <=> A = B
* Bµi to¸n 15: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x4 = 24 x + 32
(1)
Gi¶i:
Thªm 4x2 + 4 vµo 2 vÕ cña (1)
x4 + 4x2 + 4 = 4x2 + 24x + 36
<=> (x2 + 2)2 = (2x + 6)2
<=>
x 2 2 2 x 6
2
x 2 ( 2 x 6)
( 2)
(3)
- 14 -
Gi¶i (2):
x2 + 2 = 2x + 6
<=> x2 - 2x - 4 = 0
’ = 1 + 4 = 5 > 0 ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm
x1 = -1 + 5 ; x2 = -1 - 5
Gi¶i (3):
x2 + 2 = - 2x - 6
<=> x2 + 2x + 8 = 0
’ = 1 - 8 = -7 < 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm : x1 = -1 + 5 ; x2 = -1 * Bµi to¸n 15*: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x3 + 3x2 - 3x +1 = 0 (1)
Gi¶i:
x3 = -3x2 + 3x -1
2x3 = x3 - 3x2 + 3x -1
( x3
3
2)
3
x 2
x
( x
5
3
1)
x 1
1
1
3
2
. VËy ph¬ng tr×nh ®· cã nghiÖm x
1
* Bµi to¸n 16: Gi¶i ph¬ng tr×nh
x4 + 8x2 - 8x + 17 = 0 (1)
Gi¶i: (1)
<=> x4 - 8x2+ 16 + 16x2 - 8x + 1 = 0
<=> (x2 - 4)2 + (4x - 1)2 = 0 (2)
V×:
2
4) 2 0
( x
2
0
( 4 x 1 )
Nªn (2) <=>
x 2 4 0
4 x 1 0
<=>
VËy ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm
* Bµi to¸n 17: Gi¶i ph¬ng tr×nh
x3 - x2 - x = 1/3
Gi¶i: Nh©n 2 vÕ cña (1) víi 3
(1)
(1)
<=> 3x3 - 3x2 - 3x = 1
<=> 4x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
<=> ( 3 4 x )3 = (x + 1)3
<=>
3
x
x
4x = x + 1
<=> ( 3 4 1 ).x = 1
- 15 -
2
1
4
1
3
2
=> x =
3
1
41
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ : x =
3
1
41
4. Ph¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc:
* C¸ch gi¶i: Dïng tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu cña hµm sè trªn tõng kho¶ng
* Bµi to¸n 18: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 8
5
x 9
6
(1)
1
Gi¶i: ViÕt ph¬ng tr×nh díi d¹ng
x 8
5
9 x
6
(1)
1
DÔ thÊy x = 8; x = 9 ®Òu lµ nghiÖm cña (1)
XÐt c¸c gi¸ trÞ cßn l¹i cña x
+ Víi x < 8 th×
x 8
9 x 1 9 x
5
6
1
5
1
0
Nªn vÕ tr¸i cña (1) > 1, (1) v« nghiÖm
+ Víi x > 9 th×
9 x
x 8 1 x 8
6
0
Nªn vÕ tr¸i cña (1) > 1, (1) v« nghiÖm
+ Víi 8 < x < 9 th×
0 < x - 8 < 1 =>
x 8
5
x 8 x 8
0 < 9 - x < 1 => 9 x 6 9 x 9 x
Nªn vÕ tr¸i cña (1) nhá h¬n : x - 8 + 9 - x = 1; (1) V« nghiÖm
VËy (1) cã 2 nghiÖm: x = 8; x = 9
5. Ph¬ng ph¸p dïng ®iÒu kiÖn dÊu “=” ë bÊt kú ®¼ng thøc kh«ng chÆt:
* Bµi to¸n 19: Gi¶i ph¬ng tr×nh
x 2 x 1 x 2 x 2 3
(1)
Gi¶i:
Ta cã: x2 - x + 1=(x-1/2)2 +3/4 > 0 nªn (1)
<=>
¸p dông bÊt ®¼ng thøc
A
<=> x2 - x + 1 +
2 x 2 x 3
2 x 2 x 2 x 2 x
≥ A x¶y ra dÊu “=” víi A ≥ 0 ta cã:
2 - x2 + x ≥ 0 <=> (x + 1)(x - 2) ≤ 0
<=> - 1 ≤ x ≤ 2
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ x tho¶ m·n: - 1 ≤ x ≤ 2.
6. Ph¬ng ph¸p dïng hÖ sè bÊt ®Þnh:
Gi¶ sö ph¬ng tr×nh tr×nh bËc 4: x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 vµ cã ph©n tÝch thµnh
(x2 + a1x + b1)(x2 + a2x + b2) = 0 lóc ®ã ta cã:
a 2
a
a 1
b1
b 2
b
a 1a 2
a 2 b1
c
a 1b 2
b1b 2
d
- 16 -
TiÕp theo tiÕn hµnh nhÈm t×m c¸c hÖ sè a1; b1; a2; b2. B¾t ®Çu tõ b1b2 = d vµ chØ thö víi
c¸c gi¸ trÞ nguyªn.
* Bµi to¸n 20: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0
(1)
Gi¶ sö ph¬ng tr×nh trªn ph©n tÝch ®îc thµnh d¹ng:
(x2 + a1x + b1)(x2 + a2x + b2) = 0
Ta cã:
a 2
4
a 1
b1
b 2
a 1a 2
a 2 b1
37
a 1b 2
b1b 2
14
10
<=> b1 = -2; b2 = -7;
a1 = -5; a2 = 1
Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng (x2 - 5x + 2)(x2 + x - 7) = 0
TiÕp tôc gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - 5x + 2 = 0 vµ x2 + x - 7 = 0 ta cã nghiÖm cña
ph¬ng tr×nh (1) lµ:
x1 = 5 17 ; x2 = 5
2
2
17 ;
x3 = 1 29 ;
2
x4 = 1
29
2
* Chó ý: Víi ph¬ng ph¸p nµy cã thÓ gi¶i ®îc víi ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm h÷u tû.
PhÇn III
KÕt luËn chung
Ph¬ng ph¸p d¹y häc cña ngêi thÇy ®Ó häc sinh n¾m b¾t ®îc néi dung cÇn thiÕt lµ c¶ mét
qu¸ tr×nh nghÖ thuËt. §Ó gióp c¸c em häc sinh n¨m ®îc bµi, hiÓu bµi vµ yªu m«n häc, cã
høng thó trong giê häc, nhÊt lµ say mª víi nh÷ng bµi tËp khã. Th× ®©y lµ c¶ mét qu¸ tr×nh
tÝch luü ph¬ng ph¸p gi¶ng cña ngêi thÇy, kh«ng chØ mét sím mét chiÒu cã ®îc ngay mµ ph¶i
lµ c¶ mét qu¸ tr×nh rÌn ròa, t×m tßi, ®óc kÕt kinh nghiÖm, nghiªn cøu ®èi tîng th× míi lµm
cho häc sinh yªu quý m«n häc vµ khao kh¸t ®îc häc.
D¹y cho häc sinh c¸c ph¬ng ph¸p t×m tßi lêi gi¶i cho c¸c bµi tËp cã ý nghÜa v« cïng
quan träng. §ßi hái ngêi gi¸o viªn ph¶i say mª víi nghÒ nghiÖp, kiªn tr×, tËn tuþ víi häc
sinh, t¹o cho häc sinh cã thãi quen t duy vµ kh¶ n¨ng lËp luËn.
Ph¬ng ph¸p gi¶ng m«n to¸n cña bËc THCS vÒ m«n ®¹i sè trong phÇn ch¬ng tr×nh. B¶n
th©n t«i ®· ®óc rót ®îc trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y ë mét chõng mùc nµo ®ã vÊn ®Ò d¹y vµ häc.
Ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i cho c¸c bµi tËp thùc sù cã t¸c dông gióp häc sinh lµm quen víi ph ¬ng ph¸p t duy, ph¬ng ph¸p lµm bµi. T×m c¸ch gi¶i trong ®ã x¸c ®Þnh râ c¸c bíc cÇn tiÕn
hµnh theo mét tr×nh tù l«gic ®Ó hoµn thµnh bµi gi¶i.
Mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ bËc hai trong ch¬ng
tr×nh líp 8, 9 hiÖn nay mµ b¶n th©n t«i ®· ®óc rót trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y. Trong mét
chõng mùc nµo ®ã vÊn ®Ò d¹y vµ häc c¸c ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i cho c¸c bµi tËp thùc sù cã
t¸c dông cho c¸c d¹ng bµi tËp gióp häc sinh lµm quen víi ph¬ng ph¸p suy nghÜ, t×m tßi. Gi¸o
viªn cÇn cã yªu cÇu cô thÓ ®èi víi tïng ®èi tîng häc sinh, t¨ng cêng c«ng t¸c kiÓm tra bµi
cò, cã biÖn ph¸p khÝch lÖ nh÷ng c¸c gi¶i hay, h¹n chÕ tèi ®a cho häc sinh t©m lý ch¸n m«n
häc, û n¹i vµ chê gi¸o viªn ch÷a bµi tËp.
B¶n th©n t«i lÇn ®Çu tiªn nghiªn cøu ®Ò tµi nµy, t«i còng trao ®æi tham kh¶o, bµn b¹c,
xin ý kiÕn cña c¸c thÇy c« ®i tríc vµ c¸c thµy c« d¹y trong bé m«n to¸n cña nhµ trêng. Song
- 17 -
®©y lµ mét vÊn ®Ò míi mµ mét bµi to¸n cã v« vµn c¸ch gi¶i kh¸c nhau. B¶n th©n t«i kinh
mong c¸c thÇy c« ®i tríc t¹o ®iÒu kiÖn gióp ®ì t«i, ®ãng gãp cho t«i nhiÒu ý kiÕn hay vµ bæ
Ých ®Ó t«i tiÕp tôc gi¶ng d¹y cho c¸c em häc sinh ®¹t kÕt qu¶ cao nhÊt trong suèt qu¸ tr×nh
d¹y häc cña t«i.
Xin ch©n thµnh c¶m ¬n.
Ngêi d¹y: NguyÔn V¨n Ph¬ng.
Líp 8B
Ph¬ng tr×nh tÝch
TiÕt 45:
A - Môc tiªu:
- Häc sinh cÇn n¾m v÷ng kh¸i niÖm vµ ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch (cã hai hay ba nh©n tö
bËc nhÊt)
- ¤n tËp c¸c ph¬ng ph¸o ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, vËn dông g¶i ph¬ng tr×nh tÝch.
B - §å dïng d¹y häc:
SGK, SGV, SBT thíc th¼ng, phÊn mµu.
C- C¸c ho¹t ®éng trªn líp.
1. æn ®Þnh tæ chøc (1’)
2. KiÓm tra bµi cò (10’)
Gi¸o viªn yªu cÇu kiÓm tra:
Hai HS lªn b¶ng kiÓm tra:
HS1: Ch÷a bµi 24(c) trang 6 SBT
HS1:
T×m c¸c gi¸ trÞ x sao cho biÓu thøc A vµ Rót gän: A = (x - 1)(x2 + x + 1) - 2x
B cho sau ®©y cã gi¸ trÞ b»ng nhau
A = x3 - 1 - 2x
A = (x - 1)(x2 + x + 1) - 2x
B = x(x - 1)(x + 1)
B = x(x - 1)(x + 1)
B = x3 - x
Gi¶i ph¬ng tr×nh: A = B
x3 - 1 - 2x = x3 - x
<=> x3 - 1 - 2x - x3 + x = 1
<=> -x = 1
<=> x = -1
Víi x = -1 th× A = B
HS2: Ch÷a bµi 25 9c) trang 7 SBT
HS2: Gi¶i ph¬ng tr×nh
Gi¶i ph¬ng tr×nh
<=>
1 x
x
2 x
1
1
1
2001
2002
2003
<=>
2 x 2001 1 x 2002 x 2003
2001
2002
2003
2 x
1 x
x
1
2001
2002 2003
- 18 -
<=> 2003 x 2003 x 2003 x
2001
2002
2003
1
1
1
<=> (2003 x ).
0
2001 2002 2003
<=> 2003 - x = 0
<=> x = 2003
TËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
S = {2003}
Gi¸o viªn yªu cÇu HS2 gi¶i thÝch:
HS2 gi¶i thÝch: V× mét tÝch b»ng 0 khi trong tÝch
Tõ ph¬ng tr×nh:
Êy cã Ýt nhÊt mét thõa sè b»ng kh«ng cã:
1
1
1
( 2003 x ).
0
2001 2002 2003
1
1
1
#0
2001 2002 2003
T¹i sao l¹i cã: 2003 - x = 0
nªn thõa sè 2003 - x = 0
Gi¸o viªn kh¼ng ®Þnh gi¶i thÝch nh vËy
lµ ®óng, ®ã lµ mét tÝnh chÊt cña phÐp
nh©n vµ lµ c¬ së ®Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
tÝch.
HS líp ch÷a bµi
II. Bµi míi (30’)
GV: ViÕt vÝ dô 1 lªn b¶ng
1) Ph¬ng tr×nh tÝch vµ c¸ch gi¶i
GV (hái): Mét tÝch b»ng 0 khi nµo?
VD1: Gi¶i ph¬ng tr×nh
HS: Suy nghÜ, tr¶ lêi.
(2x - 3)(x + 1) = 0
GV: Yªu cÇu HS thùc hiÖn ? 2 SGK
<=>
GV ghi: ab = 0 <=> a = 0 hoÆc b = 0
3
2 x 3 0
x 2
x 1 0
x 1
víi a vµ b lµ 2 sè.
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho hai nghiÖm
GV: t¬ng tù ®èi víi ph¬ng tr×nh th×: (2x
x = 3/2 x x = -1
- 3)(x+ 1) = 0 khi nµo?
HS: Suy nghÜ tr¶ lêi
GV (hái): Ph¬ng tr×nh ®· cho cã mÊy
nghiÖm?
HS: Suy nghÜ tr¶ lêi
GV giíi thiÖu: Ph¬ng tr×nh ta võa xÐt lµ
mét ph¬ng tr×nh tÝch.
GV (hái): Em hiÓu thÕ nµo lµ mét ph¬ng tr×nh tÝch?
HS: Suy nghÜ tr¶ lêi
GV lu ý HS: Trong bµi nµy, ta chØ xÐt
c¸c ph¬ng tr×nh mµ hai vÕ cña nã lµ hai
- 19 -
biÓu thøc h÷u tØ vµ kh«ng chøa Èn ë
mÉu.
Ta cã: A(x). B(x) = 0
<=> A(x) = 0 hoÆc B(x) = 0
VËy muèn gi¶i ph¬ng tr×nh
A(x).B(x) = 0 tai ph¶i gi¶i 2 ph¬ng tr×nh
A(x) = 0 vµ B(x) = 0 råi lÊy tÊt c¶ c¸c
nghiÖp cña chóng.
GV: ViÕt vÝ dô 2 lªn b¶ng.
GV (hái): Lµm thÕ nµo ®Ó ®a ph¬ng
tr×nh trªn vÒ d¹ng tÝch?
HS: Suy nghÜ vµ tr¶ lêi
GV: Híng dÉn HS ®æi ph¬ng tr×nh
2- ¸p dông
VÝ dô 2 : Gi¶i ph¬ng tr×nh
(x + 1)(x+4) = (2-x)(x+2)
<=> (x + 1)(x + 4) - (2 - x)(x + 2) = 0
<=> x2 + x + 4x + 4 - 22 + x2 = 0
<=> 2x2 + 5x = 0
<=> x(2x + 5) = 0
<=> x = 0 hoÆc x = -2,5
VËy tËp hîp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ S
= {0; -2,5}
GV cho HS ®äc “NhËn xÐt” trang 16
SGK
HS ®äc “NhËn xÐt” trang 16 SGK
?3: Gi¶i ph¬ng tr×nh
GV yªu cÇu HS lµm ?3
(x - 1)(x2 + 3x - 2) - (x3 - 1) = 0
<=> (x - 1)(x2 x 3x - 2) - (x - 1)(x2 + x + 1)
1HS lªn b¶ng tr×nh bµy
<=> (x - 1)(x2 + 3x - 2 - x2 - x - 1) = 0
GV: H·y ph¸t hiÖn h»ng ®¼ng thøc <=> (x - 1)(2x - 3) = 0
trong ph¬ng tr×nh råi ph©n tÝch vÕ tr¸i <=> (x - 1) = 0 hoÆc 2x - 3 = 0
thµnh nh©n rö.
<=> x = 1 hoÆc x = 1,5
TËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh S = {1; 1,5}
GV yªu cÇu HS lµm vÝ dô 3
VD3: Tr×nh bµy nh trang 16 SGK
Gi¶i ph¬ng tr×nh
- 20 -
- Xem thêm -