Tài liệu Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J - đơn điệu (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------- NGUYỄN THỊ HỒNG PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT LAI GHÉP CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH KHÔNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------- NGUYỄN THỊ HỒNG PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT LAI GHÉP CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH KHÔNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Trƣơng Minh Tuyên THÁI NGUYÊN - 2016 i Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trương Minh Tuyên, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Tin trường, Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường. Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, lãnh đạo trường Trung học phổ thông Gang Thép, cũng như toàn thể các đồng nghiệp, đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện đúng kế hoạch học tập và nghiên cứu. ii Mục lục Một số ký hiệu và viết tắt iii Mở đầu 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Một số vấn đề về không gian Banach trơn và toán tử j-đơn điệu . 3 1.1.1. Không gian Banach trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Toán tử j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Giới hạn Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Phương pháp xấp xỉ gắn kết và phương pháp đường dốc cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . 14 1.3.1. Phương pháp xấp xỉ gắn kết . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2. Phương pháp đường dốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Phương pháp điểm gần kề cho bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu và một số cải tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2 Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép 21 2.1. Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép xác định không điểm của toán tử j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận 40 ii Tài liệu tham khảo 41 iii Một số ký hiệu và viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu của E R tập hợp các số thực R+ tập các số thực không âm inf M cận dưới đúng của tập hợp số M sup M cận trên đúng của tập hợp số M D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền ảnh của toán tử A I toán tử đồng nhất lim sup xn giới hạn trên của dãy số {xn } n→∞ xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị ρE (τ ) mô đun trơn của không gian Banach E F ix(T ) hoặc F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T ∂f dưới vi phân của hàm lồi f M bao đóng của tập hợp M o(t) vô cùng bé bậc cao hơn t 1 Mở đầu Cho H là một không gian Hilbert, bài toán xác định không điểm của lớp toán tử đơn điệu A với tập xác định D(A) ⊆ H có vai trò quan trọng trong lĩnh vực giải tích phi tuyến và lĩnh vực tối ưu hóa. Chẳng hạn, nếu f : H −→ R ∪ {+∞} là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới thì toán tử dưới vi phân ∂f : H −→ 2H xác định bởi ∂f (x0 ) = {u ∈ H : f (x) − f (x0 ) ≥ hu, x − x0 i, ∀x ∈ H} là một toán tử đơn điệu cực đại [16]. Ta biết rằng điểm x ∈ H làm cực tiểu phiếm hàm lồi f khi và chỉ khi θ ∈ ∂f (x). Như vậy, bài toán cực tiểu hóa phiếm hàm lồi f ở trên tương đương với bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu cực đại ∂f . Bài toán này đã được nghiên cứu và mở rộng cho các bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu hay toán tử j-đơn điệu trong không gian Banach. Ta biết rằng, nếu T : D(T ) ⊆ E −→ 2E là một ánh xạ không giãn, thì A = I − T là một toán tử j-đơn điệu, ở đây I là toán tử đồng nhất trên E. Do đó, bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn T có thể đưa về bài toán xác định không điểm của toán tử j-đơn điệu A = I − T . Ngược lại, nếu A là một toán tử j-đơn điệu thỏa mãn điều kiện miền, tức là D(A) ⊂ ∩λ>0 R(I + λA), thì bài toán xác định không điểm của A tương đương với bài toán tìm điểm bất động của toán tử giải Jr = (I + rA)−1 với mỗi r > 0. Do đó, vấn đề nghiên cứu và tìm các phương pháp tìm không điểm của một toán tử kiểu đơn điệu mang nhiều ý nghĩa quan trọng và thu hút sự quan tâm của đông đảo người làm toán trong và ngoài nước. Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách có hệ thống kết quả của Ceng L.C., Ansari Q. H. và Yao J. C. trong tài liệu [6] về phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép với phương pháp đường dốc nhất cho bài toán xác định không 2 điểm của một toán tử m-j-đơn điệu trong không gian Banach. Luận văn được chia làm hai chương chính: Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi đề cập đến khái niệm không gian Banach trơn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, toán tử j-đơn điệu; giới hạn Banach; phương pháp xấp xỉ gắn kết và phương pháp đường dốc nhất. Ngoài ra chương này còn trình bày về phương pháp điểm gần kề và một số cải tiến của nó cho bài toán xác định không điểm của toán tử kiểu đơn điệu. Chương 2. Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép Chương này, chúng tôi trình bày lại các kết quả của Ceng L.C., Ansari Q. H. và Yao J. C. trong tài liệu [6] về phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép với phương pháp đường dốc nhất cho bài toán xác định không điểm của một toán tử m-j-đơn điệu trong không gian Banach. Ngoài ra, chúng tôi cũng xây dựng một ví dụ số và chạy thử nghiệm trên phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho các phương pháp. 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này gồm 5 mục. Mục 1.1 giới thiệu về không gian Banach trơn đều và toán tử j-đơn điệu. Mục 1.2 trình bày về giới hạn Banach và một số tính chất quan trọng nhằm phục vụ trình bày các nội dung của chương 2. Mục 1.3 giới thiệu sơ lược về phương pháp xấp xỉ gắn kết và phương pháp đường dốc nhất cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. Mục 1.4 đề cập đến phương pháp điểm gần kề cho bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu và một số cải tiến của nó. Mục 1.5 trình bày một số bổ đề bổ trợ cần sử dụng trong chứng minh các định lý ở chương sau của luận văn. 1.1. Một số vấn đề về không gian Banach trơn và toán tử j-đơn điệu 1.1.1. Không gian Banach trơn Trước hết, trong mục này chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ. Định nghĩa 1.1. Một không gian Banach E được gọi là không gian phản xạ, nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ của E, đều tồn tại phần tử x thuộc E sao cho hx, x∗ i = hx∗ , x∗∗ i với mọi x∗ ∈ E. Chú ý 1.1. Trong luận văn, chúng tôi sử dụng ký hiệu hx, x∗ i để chỉ giá trị của phiếm hàm x∗ ∈ E ∗ tại x ∈ E. 4 Mệnh đề 1.1. [1] Cho E là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: i) E là không gian phản xạ. ii) Mọi dãy bị chặn trong E, đều có một dãy con hội tụ yếu. Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập đóng và tập đóng yếu trong không gian tuyến tính định chuẩn. Mệnh đề 1.2. Nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian không gian tuyến tính định chuẩn X, thì C là tập đóng yếu. Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại dãy {xn } ⊂ C sao cho xn * x, nhưng x ∈ / C. Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại x∗ ∈ X ∗ tách ngặt x và C, tức là tồn tại ε > 0 sao cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với mọi y ∈ C. Đặc biệt, ta có hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với mọi n ≥ 1. Ngoài ra, vì xn * x, nên hxn , x∗ i → hx, x∗ i. Do đó, trong bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận được hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, điều này là vô lý. Do đó, điều giả sử là sai, hay C là tập đóng yếu. Mệnh đề được chứng minh. Chú ý 1.2. Nếu C là tập đóng yếu, thì hiển nhiên C là tập đóng. Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện về sự tồn tại điểm cực tiểu của một phiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trong không gian Banach phản xạ. 5 Mệnh đề 1.3. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach phản xạ E và f : C −→ (−∞, ∞] là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trên C, sao cho f (xn ) → ∞ khi kxn k → ∞. Khi đó, tồn tại x0 ∈ dom(f ) sao cho f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C}. Chứng minh. Đặt m = inf{f (x) : x ∈ C}. Khi đó, tồn tại dãy {xn } ⊂ C sao cho f (xn ) → m khi n → ∞. Nếu {xn } không bị chặn, thì tồn tại một dãy con {xnk } của {xn } sao cho kxnk k → ∞. Theo giả thiết, f (xnk ) → ∞, mâu thuẫn với m 6= ∞. Do đó, {xn } bị chặn. Theo Mệnh đề 1.1 và Mệnh đề 1.2, tồn tại dãy con {xnj } của {xn } sao cho xnj * x0 ∈ C. Vì f là nửa liên tục dưới trong tôpô yếu, nên ta có m ≤ f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m. j→∞ n→∞ Do đó, m = f (x0 ). Mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 1.2. Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn, chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SE nếu với mỗi y ∈ SE , tồn tại giới hạn d kx0 + tyk − kx0 k (kx0 + tyk)t=0 = lim . t→0 dt t (1.1) Định nghĩa 1.3. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó: a) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi x ∈ SE . b) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mọi y ∈ SE giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi x ∈ SE . c) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet nếu với mọi x ∈ SE , giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi y ∈ SE . d) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi x, y ∈ SE . 6 Định nghĩa 1.4. Không gian Banach E được gọi là trơn (trơn đều) nếu chuẩn trên E khả vi Gâteaux đều (Fréchet đều). Ngoài ra, ta có thể định nghĩa không gian Banach trơn đều thông qua mô đun trơn của nó. Định nghĩa 1.5. Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định bởi ρE (τ ) = sup{2−1 (kx + yk + kx − yk) − 1 : kxk = 1, kyk = τ }. Nhận xét 1.1. Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định, liên tục và tăng trên khoảng [0; +∞) [1], [11]. Ví dụ 1.1. [1] Nếu E là không gian lp hoặc Lp (Ω), thì ta có  1  (1 + τ p )1/p − 1 < τ p , 1 < p < 2, p ρE (τ ) = p−1 2 p − 1   τ 2 + o(τ 2 ) < τ , p ≥ 2. 2 2 (1.2) Mệnh đề 1.4. [1] Mọi không gian Banach trơn đều bất kì là không gian phản xạ. Định nghĩa 1.6. Một không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu ρE (τ ) = 0. τ →0 τ lim (1.3) Ví dụ 1.2. Mọi không gian Hilbert và không gian lp , Lp (Ω) (1 < p < +∞) đều là không gian trơn đều [10]. 1.1.2. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Định nghĩa 1.7. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn, ánh xạ đa ∗ trị J : E −→ 2E xác định bởi J(x) = {f ∈ E ∗ : hx, f i = kxk2 , kxk = kf k} được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E. 7 Chú ý 1.3. Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với ánh xạ đồng nhất I. Nhận xét 1.2. Trong không gian tuyến tính định chuẩn bất kì E, ta luôn có J(x) 6= ∅ với mọi x ∈ E, điều này suy ra trực tiếp từ hệ quả của Định lí Hahn - Banach. Mệnh đề dưới đây đề cập đến một số tính chất đơn giản của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian tuyến tính định chuẩn E. Mệnh đề 1.5. [1] Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn và J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó. Khi đó i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J(−x) = −J(x), ∀x ∈ E; ii) J là thuần nhất dương, tức là J(λx) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ E; iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của E thì J(D) là một tập hợp bị chặn trong E ∗ ; iv) Nếu E ∗ là lồi chặt thì J là đơn trị; v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E khi và chỉ khi E là không gian Banach trơn đều. Ví dụ 1.3. Xét không gian lp , với p > 1. Vì không gian đối ngẫu lq của không gian lp là lồi đều, nên ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của lp là đơn trị và dễ thấy nó được xác định như sau   θ nếu x = θ, J(x) = {η } ∈ lq nếu x = {ξ } =  n n 6 θ, trong đó ηn = |ξn |p−1 sgn(ξk ) 1 với mọi k ≥ 1. kxkp−2 Định nghĩa 1.8. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach E được gọi là có tính liên tục yếu theo dãy nếu J là đơn trị và nếu {xn } ⊂ E thỏa mãn xn * x, thì J(xn ) hội tụ *yếu về J(x). 8 Chú ý 1.4. Trong trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta kí hiệu nó bởi j. Ví dụ 1.4. Các không gian lp với p > 1 có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy, nhưng các không gian Lp (Ω) lại không có tính chất này [1]. Mệnh đề 1.6. [1] Cho E là không gian Banach trơn đều. Khi đó, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J trên E là đơn trị và liên tục đều theo chuẩn trên mỗi tập con bị chặn của E. 1.1.3. Toán tử j-đơn điệu Tiếp theo, trong mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của toán tử đơn điệu, j-đơn điệu. Định nghĩa 1.9. Cho E là một không gian Banach, toán tử A : D(A) ⊂ E −→ 2E được gọi là j-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hu − v, j(x − y)i ≥ 0, ∀u ∈ A(x), v ∈ A(y). (1.4) Chú ý 1.5. Trong không gian Hilbert khái niệm toán tử đơn điệu và toán tử j-đơn điệu trùng nhau. Định nghĩa 1.10. Toán tử j-đơn điệu A : D(A) ⊂ E −→ 2E được gọi là m-jđơn điệu nếu R(I + λA) = E với mọi λ > 0, ở đây R(I + λA) là miền ảnh của I + λA và I là toán tử đồng nhất trên E. Chú ý 1.6. Nếu E là một không gian Hilbert thì khái niệm toán tử m-j-đơn điệu trùng với khái niệm toán tử đơn điệu cực đại. Ví dụ 1.5. [16] Cho f : H −→ R là một hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới. Khi đó, toán tử dưới vi phân ∂f (x) = {u ∈ H : f (y) − f (x) ≥ hy − x, ui, ∀y ∈ H} là một toán tử đơn điệu cực đại. 9 Định nghĩa 1.11. Cho A : D(A) ⊂ E −→ 2E là một toán tử j-đơn điệu thỏa mãn điều kiện miền, tức là D(A) ⊂ ∩λ>0 R(I + λA). Khi đó, toán tử JrA = (I + rA)−1 được gọi là toán tử giải của A. Chú ý 1.7. Để đơn giản ta sử dụng ký hiệu Jr thay cho JrA . Toán tử Jr là không giãn và đơn trị. Ngoài ra, ta cũng biết rằng mọi toán tử m-j-đơn điệu đều thỏa mãn điều kiện miền. Định nghĩa 1.12. Cho F : E −→ E là một ánh xạ. (i) F được gọi là j-đơn điệu mạnh với hệ số δ nếu với mọi x, y ∈ E, tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hF (x) − F (y), j(x − y)i ≥ δkx − yk2 với δ ∈ (0, 1); (ii) F được gọi là λ-giả co chặt [5], nếu với mọi x, y ∈ E, tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hF (x) − F (y), j(x − y)i ≤ kx − yk2 − λkx − y − (F (x) − F (y))k2 , với λ ∈ (0, 1) và F được gọi là giả co, nếu với mọi x, y ∈ E, tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hF (x) − F (y), j(x − y)i ≤ kx − yk2 . Định nghĩa 1.13. Cho E là một không gian Banach, ánh xạ T : D(T ) −→ E được gọi Lipschitz nếu tồn tại số L ≥ 0, sao cho kT (x) − T (y)k ≤ Lkx − yk, với mọi x, y ∈ D(T ). Nếu L = 1, thì T được gọi là không giãn và nếu L ∈ [0, 1), thì T được gọi là ánh xạ co với hệ số co là L. Mệnh đề 1.7. [6] Cho E là không gian Banach trơn và F : E −→ E là một ánh xạ. 10 (i) Nếu F là λ-giả co chặt, thì F là Lipschitz với hằng số (1 + 1/λ); (ii) Nếu F là j-đơn điệu mạnh với hệ số r δ và λ-giả co chặt với δ + λ > 1, thì 1−δ I − F là ánh xạ co với hệ số co là ; λ (iii) Nếu F là j-đơn điệu mạnh với hệ số δ và λ-giả co chặt với δ + λ > 1, thì với mọi r τ ∈ (0, 1), ta đều có I − τ F là ánh xạ co với hệ số co là 1−δ ). 1 − τ (1 − λ Định nghĩa 1.14. Giả sử T là một ánh xạ không giãn. Phần tử x ∈ D(T ) được gọi là một điểm bất động của T nếu x = T x. Tập các điểm bất động của T thường được kí hiệu là F ix(T ) hay F (T ). Chú ý 1.8. Trong trường hợp E là không gian lồi chặt và tập các điểm bất động của T khác rỗng thì nó là một tập con lồi và đóng của E. Chú ý 1.9. Nếu T : C −→ E là một ánh xạ không giãn từ tập con C của không gian Banach E vào E thì toán tử I − T là j-đơn điệu. Trong trường hợp C trùng với E thì I − T là một toán tử m-j-đơn điệu. 1.2. Giới hạn Banach Tiếp theo, chúng tôi đề cập đến khái niệm giới hạn Banach: Cho f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l∞ . Ta sử dụng fn (xn+m ) để ký hiệu f (xm+1 , xm+2 , ..., xm+n , ...), với m = 0, 1, 2, .... Định nghĩa 1.15. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên l∞ được gọi là một giới hạn Banach nếu kf k = f (1) = 1 và fn (xn ) = fn (xn+1 ) với mọi x = (x1 , x2 , ...) ∈ l∞ . Chú ý 1.10. Ta ký hiệu giới hạn Banach bởi LIM . Khi đó, kLIM k = 1 và lim inf xn ≤ LIMn xn ≤ lim sup xn với mọi (xn ) ∈ l∞ . n→∞ n→∞ (1.5) 11 Mệnh đề 1.8. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach phản xạ E, {xn } là một dãy bị chặn trong C, LIM là giới hạn Banach và ϕ là hàm nhận giá trị thực xác định trên C được cho bởi ϕ(z) = LIMn kxn − zk2 , z ∈ C. Khi đó, tập M xác định bởi M = {u ∈ C : ϕ(u) = min ϕ(z)} z∈C là lồi, đóng, khác rỗng và bị chặn. Hơn nữa, nếu E là không gian lồi đều1 , thì M chỉ có duy nhất một điểm. Chứng minh. Trước hết, ta chỉ ra ϕ là một hàm lồi, liên tục. Giả sử {yn } ⊂ C thỏa mãn yn → y ∈ C. Đặt L = sup{kxn − ym k + kxn − yk : m, n ∈ N}. Ta có kxn − ym k2 − kxn − yk2 ≤ (kxn − ym k + kxn − yk)(kxn − ym k − kxn − yk) ≤ L| kxn − ym k − kxn − yk | ≤ Lkym − yk, với mọi m, n ∈ N. Từ đó, suy ra LIMn kxn − yk2 ≤ LIMn kxn − ym k2 + Lkym − yk2 . Tương tự, ta cũng có LIMn kxn − yk2 ≤ LIMn kxn − ym k2 + Lkym − yk2 . Do đó, ta nhận được |ϕ(ym ) − ϕ(x)| ≤ Lkym − xk. Suy ra ϕ liên tục trên C Với x, y ∈ C và mọi λ ∈ [0, 1], dễ thấy ϕ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)ϕ(x) + λϕ(y). 1 Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta luôn có x + y 2 ≤ 1 − δ(ε). 12 Do đó, ϕ là hàm lồi trên C. Từ bất đẳng thức ((a + b)/2)2 ≤ (a2 + b2 )/2 với mọi a, b ≥ 0, ta có kym k2 ≤ 2kym − xn k2 + 2kxn k2 , và do đó kym k2 ≤ 2ϕ(ym ) + 2 sup kxn k2 , n∈N tức là, ϕ(ym ) → ∞ khi kym k → ∞. Như vậy, ϕ là hàm lồi liên tục và ϕ(z) → ∞ khi kzk → ∞. Vì E là không gian phản xạ, nên theo Mệnh đề 1.2, ϕ đạt cực tiểu trên C. Do đó, M là tập lồi, đóng và khác rỗng. Ta chỉ ra M bị chặn. Thật vậy, lấy u ∈ M , ta có kuk2 ≤ 2ku − xn k2 + 2kxn k2 , ∀n ∈ N, suy ra kuk2 ≤ 2ϕ(u) + 2K = 2 inf z∈C ϕ(z) + 2K, với K = supn {kxn k2 }. Do đó, M là tập bị chặn. Giả sử E là không gian Banach lồi đều. Lấy z1 , z2 ∈ M . Vì M là tập lồi nên (z1 + z2 )/2 ∈ M. Chọn r > 0 đủ lớn sao cho {xn } ∪ M ⊂ SE [0, r] = {x ∈ E : kxk ≤ r}. Khi đó, xn − z1 , xn − z2 ∈ SE [0, 2r] với mọi n. Từ Mệnh đề 2.8.172 , trang 105 trong tài liệu [1], ta có 2 z + z 1 2 xn − ≤ 1 kxn − z1 k2 + 1 kxn − z2 k2 − 1 g2r (kz1 − z2 k). 2 2 2 4 Nếu z1 6= z2 , thì inf ϕ(z) ≤ ϕ z∈C 2 z1 + z2
1 1 1 ≤ ϕ(z1 ) + ϕ(z2 ) − g2r (kz1 − z2 k) 2 2 2 4 Mệnh đề 2.8.17. Cho E là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: i) E là không gian lồi đều; ii) Với mọi p ∈ (1, ∞) và mọi r > 0, tồn tại hàm lồi và tăng ngặt gr : R+ −→ R+ thỏa mãn gr (0) = 0 và ktx + (1 − t)ykp ≤ tkxkp + (1 − t)kykp − t(1 − t)gr (kx − yk), với mọi x, y thỏa mãn kxk ≤ r, kyk ≤ r và mọi t ∈ (0, 1). 13 1 = inf ϕ(z) − g2r (kz1 − z2 k) z∈C 4 < inf ϕ(z), z∈C điều này là vô lý. Do đó, M chỉ gồm duy nhất một điểm. Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.9. Cho E là không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều, {xn } là dãy bị chặn trong E và u ∈ E. Khi đó, LIMn kxn − uk2 = inf LIMn kxn − zk2 z∈E khi và chỉ khi LIMn hz, j(xn − u)i = 0 ∀z ∈ X. Chứng minh. Giả sử u ∈ E sao cho LIMn kxn − uk2 = inf z∈E LIMn kxn − zk2 . Khi đó, u là điểm cực tiểu của phiếm hàm lồi khả vi φ : E −→ R+ xác định bởi φ(z) = LIMn kxn − zk2 , do đó φ0 (u) = 0. Chú ý rằng E là không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều và j(x) là dưới vi phân của hàm lồi ϕ(x) = kxk2 /2 tại x trùng với đạo hàm Gâteaux của ϕ. Do đó, LIMn hz, j(xn − u)i = hz, φ0 (u)i = 0, ∀z ∈ E. Ngược lại, giả sử LIMn hz, j(xn − u)i = 0 với mọi z ∈ E. Khi đó, với mọi x ∈ E, ta có kxn − xk2 − kxn − uk2 ≥ 2hu − x, j(xn − u)i, ∀n. Vì LIMn hu − x, j(xn − u)i = 0 với mọi x ∈ E, nên ta nhận được LIMn kxn − uk2 = inf LIMn kxn − xk2 . x∈E Mệnh đề được chứng minh. Hệ quả 1.1. Cho E là không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều và C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của E. Cho {xn } là dãy bị chặn trong C. Khi đó, u ∈ C thỏa mãn LIMn kxn − uk2 = inf LIMn kxn − zk2 z∈C 14 khi và chỉ khi LIMn hz, j(xn − u)i ≤ 0, ∀z ∈ C. 1.3. Phương pháp xấp xỉ gắn kết và phương pháp đường dốc cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn 1.3.1. Phương pháp xấp xỉ gắn kết Năm 2000, Moudafi [15] đã đề xuất phương pháp xấp xỉ gắn kết để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Cho T : C → C là một ánh xạ không giãn và f : C → C là một ánh xạ co trên tập con lồi, đóng và khác rỗng C của không gian Hilbert H, Moudafi đã chứng minh được các kết quả sau: (1) Dãy {xn } ⊂ C xác định bởi: x0 ∈ C, xn = 1 εn T (xn ) + f (xn ), ∀n ≥ 0, 1 + εn 1 + εn (1.6) hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân x ∈ F (T ) sao cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F (T ), trong đó {εn } là một dãy số dương hội tụ về 0. (2) Với mỗi phần tử ban đầu z0 ∈ C, xác định dãy {zn } ⊂ C bởi 1 εn T (zn ) + f (zn ), ∀n ≥ 0. (1.7) 1 + εn 1 + εn    1  P∞ 1 Nếu limn→∞ εn = 0 and n=1 εn = +∞ và limn→∞  −  = 0, thì {zn } εn+1 εn hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân zn+1 = x ∈ F (T ) sao cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F (T ). Chú ý 1.11. Phương pháp xấp xỉ gắn kết (1.7) là sự mở rộng của phương pháp lặp Halpern ở dạng xn+1 = αn u + (1 − αn )T (xn ), ∀n ≥ 0