Tài liệu Phương pháp véc tơ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ---------------- NỊNH THỊ THU PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, tháng 9 năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ---------------- NỊNH THỊ THU PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên, tháng 9 năm 2014 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2014 Tác giả Nịnh Thị Thu i Mục lục Lời cam đoan i Mục lục iii Lời nói đầu iv 1 Không gian véctơ Euclid và không gian Euclid 1.1 1.2 1.3 1.4 Không gian véctơ và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Định nghĩa không gian véc tơ . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Một số tính chất của không gian véc tơ . . . . . . . . 2 Hệ độc lập và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Hệ độc lập và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . 2 1.2.2 Cơ sở và số chiều của không gian véc tơ . . . . . . . . 3 Không gian véc tơ Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Định nghĩa không gian véc tơ Euclid . . . . . . . . . . 4 1.3.2 Độ cao và thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Các hệ thức véc tơ thường dùng trong mặt phẳng . . . . . . . 7 2 Phương pháp véc tơ trong mặt phẳng 2.1 2.2 2.3 2.4 1 9 Các bài toán chứng minh một đẳng thức véc tơ . . . . . . . . 10 2.1.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Các bài toán minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Các bài toán chứng minh một hệ thức hình học . . . . . . . . 22 2.2.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Các bài toán minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Các bài toán tính toán một biểu thức hình học . . . . . . . . 26 2.3.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2 Các bài toán minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức hình học . . . . . 29 2.4.1 29 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 2.4.2 2.5 2.6 Các bài toán minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc . . . . . . 32 2.5.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.2 Các bài toán minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Các bài toán về chứng minh tính đồng quy, thẳng hàng . . . 39 2.6.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6.2 Các bài toán minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 Phương pháp véc tơ trong không gian 3.1 Biểu diễn véc tơ theo cơ sở. Kỹ thuật chọn gốc . . . . . . . . 3.2 Chứng minh các bài toán song song, đồng phẳng trong không gian 45 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Chứng minh tính vuông góc trong không gian . . . . . . . . . 54 3.4 Tính các đại lượng góc, khoảng cách, diện tích, thể tích nhờ véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Kết luận chung 66 Tài liệu tham khảo 67 iii Lời nói đầu Bản thân các bài toán chứng minh các đẳng thức véc tơ, dựng các véc tơ, tính toán trên các véc tơ, ... đã là những nội dung phong phú và là một trong những cải tiến của sách giáo khoa hiện hành so với sách giáo khoa trước đây. Véc tơ là một công cụ mạnh giải được nhiều bài toán khác, kể cả các bài toán không có nội dung hình học. Hiện nay việc sử dụng véc tơ để giải toán vẫn còn là công việc khó khăn đối với cả giáo viên và học sinh. Trong khi nhiều vấn đề toán học hiện đại và nội dung các bài thi học sinh giỏi luôn luôn đề cập đến véc tơ và các phương pháp sử dụng véc tơ như một công cụ chủ yếu để giải toán. Đây là cơ sở khoa học để tác giả lựa chọn đề tài cho bản luận văn "Phương pháp véc tơ" Mục đích chính của luận văn: nghiên cứu một phương pháp rất cơ bản để ứng dụng véc tơ vào giải các bài toán hình học phẳng và hình học không gian. Bản luận văn bao gồm lời nói đầu, ba chương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo: Chương 1: Không gian véctơ Euclid và không gian Euclid Chương này dành cho việc hệ thống lại những kiến thức cơ bản về không gian véc tơ và tích vô hướng. Những kiến thức này là cơ sở để tìm ra các kĩ thuật giải các bài toán hình học trong mặt phẳng và trong không gian nhờ vào véc tơ. Chương 2: Phương pháp véc tơ trong mặt phẳng Chương này trình bày phương pháp véc tơ để giải các bài toán hình học phẳng. Các bài toán đưa ra khá đa dạng nên các kỹ thuật sử dụng véc tơ cũng phong phú. Các dạng toán chính trong chương: Chứng minh một đẳng thức véc tơ, chứng minh một hệ thức hình học, tính toán một biểu thức hình học, chứng minh bất đẳng thức hình học, chứng minh quan hệ song song và vuông góc, chứng minh tính đồng quy thẳng hàng. Mỗi một dạng toán đưa ra được các kỹ thuật sử dụng phương pháp véc tơ một cách thích hợp. Chương 3: Phương pháp véc tơ trong không gian Chương này trình bày kỹ thuật chứng minh các bài toán về đồng quy, song song, đồng phẳng, thuộc một mặt phẳng trong không gian dựa vào các tính iv chất của véc tơ, hệ độc lập tuyến tính, hệ phụ thuộc tuyến tính trong không gian. Sử dụng tích vô hướng giải được các bài toán về hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc mặt phẳng, mặt phẳng vuông góc mặt phẳng, các bước tính đoạn thẳng vuông góc chung; giải các bài toán về tính góc, tính diện tích, thể tích, ... thông qua bảng nhân vô hướng. Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải (Trường Đại Học Hải Phòng). Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K6B (2012-2014) Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn ! Thái Nguyên, tháng 9 năm 2014 Tác giả Nịnh Thị Thu v Chương 1 Không gian véctơ Euclid và không gian Euclid 1.1 1.1.1 Không gian véctơ và các tính chất cơ bản Định nghĩa không gian véc tơ Định nghĩa 1.1: Cho V là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệu là: α, β, γ ,... K là một trường mà các phần tử được ký hiệu là a, b, c, x, y, z, ... Trên V ta có hai phép toán: Phép cộng hai phần tử của V: VxV→V (α, β) 7→ α + β Phép nhân một phần tử của V với một phần tử của K: KxV→V (x, α) 7→ x.α Giả sử với mọi α, β, γ ∈ V, mọi x, y ∈ K các điều kiện sau được thoả mãn: i. (α + β) + γ = α + (β + γ) ii. Tồn tại vectơ θ + α = α + θ = α. iii. Với mỗi α có một phần tử α0 sao cho α + α0 = α0 + α = θ. iv. α + β = β + α v. x.(α + β) = x.α + x.β vi. (x + y).α = x.α + y.α vii. (xy).α = x.(y.α) viii. 1.α = α, trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K. Khi đó ta nói rằng V là một không gian vectơ trên trường K (hoặc V là K - không gian vectơ). Ta cũng nói V là không gian tuyến tính trên trường K. 1 Chú ý: - Các phần tử của V được gọi là các vectơ. Phần tử θ được gọi là vectơ không, α0 được gọi là phần tử đối của α và được kí hiệu là (−α). Ta sẽ viết α + (−β) là α − β và gọi là hiệu của hai vectơ α, β. - Khi K = R (tương ứng K = C) ta nói V là không gian vectơ thực (tương ứng không gian vectơ phức). - Khi ta nói V là một không gian vectơ, ta ngầm hiểu rằng ta đang nói đến V cùng với hai phép toán là phép cộng hai phần tử của V và phép nhân một phần tử của V với một phần tử của K. - Để đơn giản trong cách viết, từ đây trở đi ta sẽ ký hiệu phép nhân một phần tử x thuộc trường K với một vectơ α thuộc V là xα thay vì viết x.α. 1.1.2 Một số tính chất của không gian véc tơ Mệnh đề 1.1: Giả sử V là một không gian vectơ trên trường K, khi đó: i. Vectơ không θ là duy nhất. ii. Với mỗi α ∈ V, vectơ đối của α là duy nhất. iii. 0.α = θ, ∀α ∈ V. iv. xθ, ∀x ∈ K. v. xα = θ khi và chỉ khi x = 0 hoặc α = θ. vi. x(−α) = −(xα) = (−x)α,∀x ∈ K, α ∈ V. vii. x(α − β) = xα − xβ,∀x ∈ K, α, β ∈ V. viii. (x − y)α = xα − yα,∀x, y ∈ K, α ∈ V. ix. Nếu α + γ = β + γ thì α = β,∀α, β, γ ∈ V (Luật giản ước). x. Nếu α + β = γ thì α = γ − β,∀α, β, γ ∈ V (Quy tắc chuyển vế). 1.2 1.2.1 Hệ độc lập và phụ thuộc tuyến tính Hệ độc lập và phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 1.2: Cho m vectơ α1 ,α2 , ..., αm của không gian vectơ V trên trường K, m ≥ 1. 2 i. Hệ vectơ α1 ,α2 , ..., αm được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m phần tử x1 ,x2 , ..., xm ∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho: x1 α1 +x2 α2 + ... + xm αm = θ. ii. Hệ vectơ α1 ,α2 , ..., αm được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ thuộc tuyến tính, hay một cách tương đương x1 α1 +x2 α2 + ... + xm αm = θ kéo theo x1 =x2 =...=xm = 0. iii. Tập S ⊂ V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn của S đều độc lập tuyến tính. Một số tính chất độc lập và phụ thuộc tuyến tính: Mệnh đề 1.2: i. Hệ gồm một vectơ α độc lập tuyến tính khi và chỉ khi α 6= 0. ii. Một hệ vectơ chứa vectơ không θ đều phụ thuộc tuyến tính. iii. Mọi hệ vectơ chứa hai vectơ tỉ lệ với nhau thì phụ thuộc tuyến tính. iv. Một hệ gồm m vectơ (m > 1) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một vectơ biểu thị tuyến tính được qua các vectơ còn lại. Mệnh đề 1.3: Nếu hệ gồm các vectơ α1 ,α2 , ..., αm độc lập tuyến tính và β là một vectơ không biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ đã cho thì hệ vectơ α1 ,α2 , ..., αm , β cũng độc lập tuyến tính. Mệnh đề 1.4: i. Nếu ta thêm một số vectơ bất kỳ vào một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính thì được một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính. ii. Nếu bớt đi một số vectơ bất kỳ của một hệ vectơ độc lập tuyến tính thì được một hệ vectơ độc lập tuyến tính. 1.2.2 Cơ sở và số chiều của không gian véc tơ Định nghĩa 1.3: i. Một hệ véc tơ của V được gọi là một hệ sinh của V nếu mọi véc tơ của V đều biểu thị tuyến tính được qua hệ đó. 3 ii. Một hệ véc tơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu mọi véc tơ của V đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này. Như vậy, mỗi cơ sở đều có một hệ sinh. Ta hãy nghiên cứu sâu hơn về mối quan hệ giữa hệ sinh, cơ sở và độc lập tuyến tính. Định nghĩa 1.4: Một hệ véc tơ của không gian V được gọi là độc lập tuyến tính cực đại nếu nó độc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ véc tơ nào của V vào hệ đó thì hệ mới thu được trở thành phụ thuộc tuyến tính. Định lý 1.1: Cho hệ hữu hạn các véc tơ {α1 , ..., αn } của V. Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương: i. {α1 , ..., αn } là một cơ sở của V. ii. {α1 , ..., αn } là một hệ sinh độc lập tuyến tính của V. iii. {α1 , ..., αn } là một hệ độc lập tuyến tính tối đại của V. Định nghĩa 1.5: Không gian véc tơ V được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử. Định lý 1.2: Giả sử V 6= ∅ là một không gian véc tơ hữu hạn sinh. Khi đó, V có một cơ sở gồm hữu hạn phần tử. Hơn nữa mọi cơ sở của V đều có số phần tử bằng nhau. 1.3 Không gian véc tơ Euclid Cấu trúc không gian véc tơ cho phép diễn đạt các khái niệm như độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, tập sinh, cơ sở, tọa độ, không gian con k chiều (đường thẳng, mặt phẳng ...). Tuy nhiên cấu trúc này chưa cho phép nói đến các khái niệm mang nội dung hình học nhiều như: Độ dài của véc tơ, góc giữa các véc tơ,... Để diễn đạt các khái niệm này người ta cần cầu trúc không gian véc tơ Euclid. 1.3.1 Định nghĩa không gian véc tơ Euclid Định nghĩa 1.6: Một không gian véc tơ E trên trường số thực R được gọi là một không gian Euclid (đọc là Ơ-clít) nếu E2 được trang bị một dạng song 4 tuyến tính đối xứng hα, βi :E2 → R thỏa mãn điều kiện: hα, αi > 0 với mọi véc tơ α 6= 0. Dạng song tuyến tính đối xứng này được gọi là tích vô hướng của E. Định nghĩa 1.7: Không gian véc tơ thực E cùng với một tích vô hướng trên E được gọi là một không gian véc tơ Euclid. Định nghĩa 1.8: Chuẩn hay độ dài của một véc tơ α ∈ E là đại lượng p |α| = hα, αi. Nếu |α| = 1 thì α được gọi là một véc tơ định chuẩn (véc tơ đơn vị). Có thể dễ dàng thấy chuẩn của một véc tơ có những tính chất cơ bản sau: i. |α| ≥ 0 ∀α ∈ E ; |α| = 0 khi và chỉ khi α = 0. ii. |cα| = |c| . |α| ∀c ∈ R; ∀α ∈ E. α là một véc tơ định chuẩn cho mọi véc tơ α 6= 0. iii. Véc tơ β = |α| Chuẩn của một véc tơ cũng thỏa mãn những bất đẳng thức quen thuộc trong hình học. Định lý 1.3: Với mọi véc tơ α, β ∈ E ta có: i. |hα, βi| ≤ |α| . |β| (Bất đẳng thức Cauchy–Bunjakowski–Schwarz). ii. |α ± β| ≤ |α| + |β| (Bất đẳng thức tam giác). Định nghĩa 1.9: Với mọi véc tơ α, β 6= 0 của E ta gọi góc giữa α và β là hα, βi góc ϕ với 0 ≤ ϕ ≤ π sao cho cosϕ = (Khái niệm này phù hợp với |α| . |β| khái niệm góc thông thường trong hình học). Định lý 1.4: (Định lý Cosin) Nếu ϕ là góc giữa hai véc tơ α, β thì: |α ± β|2 =|α|2 +|β|2 ±2 |α| . |β| cosϕ Định nghĩa 1.10: Giả sử S1 và S2 là hai tập hợp các véc tơ trong E. Ta gọi S1 trực giao (vuông góc) với S2 nếu hα, βi = 0 với mọi véc tơ α ∈ S1 , β ∈ S2 . Do tính đối xứng của tích vô hướng nên nếu α, β trực giao với nhau thì β, α cũng trực giao với nhau. 5 Định lý Pythagore: Nếu α và β là hai véc tơ trực giao thì |α + β|2 =|α|2 +|β|2 . Định nghĩa 1.11: i. Hệ véc tơ (e1 , ..., ek ) của không gian véc tơ Euclid E được gọi là một hệ trực giao nếu các véc tơ của hệ đôi một trực giao với nhau,tức là hei ,ej i = 0 ∀i 6= j. ii. Hệ véc tơ (e1 , ..., ek ) của không gian véc tơ Euclid E được gọi là một hệ trực chuẩn nếu nó là hệ trực giao và độ dài mỗi véc tơ bằng 1. Tính chất: i. Mỗi hệ trực giao không chứa véc tơ không đều là hệ độc lập tuyến tính. ii. Nếuhệ véc tơ (e1 , ...,ek ) là hệ trực giao và không chứa véc tơ không thì e1 e2 ek , , ..., là trực chuẩn. hệ |e1 | |e2 | |ek | iii. Mọi không gian véc tơ Euclid hữu hạn chiều đều có cơ sở trực chuẩn. Tính chất (iii) được chứng minh bằng phép trực giao hóa Schmidt: Trong E cho hệ véc tơ độc lập tuyến tính α1 , ..., αm . Khi đó hệ véc tơ: β1 =α1 β2 =α2 − hα2 ,β1 i ×β1 hβ1 ,β1 i ... βm =αm − m−1 P i=1 hαm ,βi i ×βi hβi ,βi i Là một hệ trực giao, độc lập tuyến tính trong E và hα1 , ..., αm i = hβ1 , ..., βm i. Phép chuyển từ hệ véc tơ α1 , ..., αm sang hệ véc tơ β1 , ..., βm như trên gọi là phép trực giao hóa véc tơ α1 , ..., αm . 1.3.2 Độ cao và thể tích Cho E là một không gian Euclid và E’ là một không gian con hữu hạn sinh. Định nghĩa 1.12: Véc tơ chiếu của một véc tơ α lên E’ là một véc tơ β ∈ E’ sao cho α − β trực giao với E’. Khi đó ta gọi véc tơ α − β là véc tơ độ cao từ α tới E’. 6 Nếu α ∈ E thì véc tơ độ cao từ α tới E’ là véc tơ không vì véc tơ không là véc tơ duy nhất của E’ trực giao với E’. Còn véc tơ chiếu của α lên E’ chính là α . Véc tơ chiếu và véc tơ độ cao của một véc tơ lên E’ luôn tồn tại và được xác định một cách duy nhất. Định lý 1.5: Cho (e1 , ..., ek ) là một hệ cơ sở trực chuẩn của E’. Véc tơ chiếu của một véc tơ α lên E’ được xác định bởi công thức: β =c1 α1 +...+ck αk với ci = hα,αi i (i = 1,. . . ,k). Định lý 1.6: Giả sử β là véc tơ chiếu của véc tơ α lên E’. Với mọi γ ∈ E0 ta có: |α − γ| ≥ |α − β|. Định nghĩa 1.13:Cho α1 , ..., αm là các véc  tơ trong E. Ma trận: hα1 ,α1 i . . . hα1 ,αm i   .. .. ... G(α1 , ..., αm ) =  . . . hαm ,α1 i · · · hαm ,αm i Được gọi là ma trận Gram và định thức của ma trận này được gọi là định thức Gram của α1 , ..., αm . Định lý 1.7: Các véc tơ α1 , ..., αm là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi |G(α1 , ..., αm )| = 6 0. Định lý 1.8: Với mọi véc tơ α1 , ..., αm của E ta có: |G(α1 , ..., αm )| ≥ 0. p Định nghĩa 1.14: Đại lượng: V(α1 , ..., αm ) = |G(α1 , ..., αm )| được gọi là thể tích của hình hộp P(α1 , ..., αm ). Định lý 1.9: Nếu α1 , ..., αm là một hệ trực giao thì V(α1 , ..., αm ) = |α1 | ... |αm | . Định lý 1.10: Thể tích của một hình hộp bằng độ cao nhân với thể tích của một mặt đáy. 1.4 Các hệ thức véc tơ thường dùng trong mặt phẳng i. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có một trong các đẳng thức −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ véc tơ: AB= kAC;AC= kAB;OC= kOA+(1 − k)OB với O tùy ý, k 6= 0. 7 ii. Bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của hình bình hành khi và chỉ khi −→ −→ −→ −→ AB=DC hoặc AD=BC. −→ −→ iii. Hai đường thẳng AB, CD song song khi và chỉ khi AB= kCD. −−→ −−→ iv. Điểm M chia đoạn AB theo tỷ số k 6= 1 được diễn tả là MA= kMB. −→ −→ −−→ v. AM là trung tuyến của tam giác ABC tương đương với AB+AC= 2AM. −→ −→ −→ → − vi. G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GA+GB+GC= 0 . −→ −→ vii. AB⊥AC ⇔ AB.AC= 0. −→ −→ −→ viii. Quy tắc xen điểm: Với mọi ba điểm A, B, C ta có: AC=AB+BC hay −→ −→ −→ → − AB+BC+CA= 0 . −−−→ −−−→ −−−−→ → − Với n điểm A1 ,A2 , ..., An ta có: A1 A2 +A2 A3 +...+An−1 An = 0 . KẾT LUẬN CHƯƠNG 1: Chương 1 dành cho việc hệ thống lại những kiến thức cơ bản về không gian véc tơ và tích vô hướng. Những kiến thức này là cơ sở để tìm ra các kĩ thuật giải các bài toán hình học trong mặt phẳng và trong không gian nhờ vào véc tơ. Tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu hai chương: Phương pháp véc tơ trong mặt phẳng và phương pháp véc tơ trong không gian. 8 Chương 2 Phương pháp véc tơ trong mặt phẳng Để sử dụng được véc tơ trong giải toán hình học ta cần biết các kỹ thuật cơ bản sau: Diễn đạt ngôn ngữ hình học bằng ngôn ngữ véc tơ; phân tích một véc tơ thành tổng, hiệu các véc tơ (kỹ thuật xen điểm); nhóm các véc tơ trong tổ hợp véc tơ theo các cách khác nhau; biến đổi đại số trên dãy các véc tơ. Kỹ thuật 1: Sử dụng các điều kiện trong 1.4 chương 1. Kỹ thuật 2: Phân tích một véc tơ thành tổng, hiệu các véc tơ. + Quy tắc hình bình hành: 4 điểm A,B,C,D tạo thành hình bình hành thì −→ −→ −→ AC=AB+AD. −→ −→ −→ + Quy tắc xen điểm: Với mọi 3 điểm A,B,C ta có: AC=AB+BC hay: −→ −→ −→ → −→ −→ −→ − AB+BC + CA = 0 hay BC = AC − AB. −−−→ −−−→ −−−−→ → − + Mở rộng: Với n điểm A1 ,A2 , ..., An ta có A1 A2 +A2 A3 +...+An−1 An = 0 . Kỹ thuật 3: Nhóm các véc tơ trong tổ hợp véc tơ theo các cách khác nhau. Trong một tổng các véc tơ ta có thể nhóm theo các cách khác nhau để xuất hiện những quan hệ theo ý muốn, đây cũng là cách “tư duy của véc tơ”. Để minh họa cho ý này có thể xét ví dụ sau: Cho tứ giác ABCD, gọi M,N,I lần lượt là trung điểm của AB, CD, MN, ta dễ chứng minh được − → − → − → − → → − → − → − → − → − − IA+IB+IC+ID= 0 .Nếu đặt → η = IA+IB+IC+ID. − → − → − → − → − → → − − − * Khi ta nhìn → η dạng → η = (IA+ID) + (IB+IC) = 2IE+2IF với E,F là trung điểm của AB,CD. Ta được kết quả E,I,F thẳng hàng và I là trung điểm EF. − → − → − → − → − → − → − − * Khi ta nhìn → η dạng → η = (IA+IC) + (IB+ID) = 2IP+2IQ (P,Q là trung điểm của AC,BD) thì ta được P,I,Q thẳng hàng và I là trung điểm PQ. − → − → − → − → − → − → − − * Khi ta nhìn → η dạng → η = (IA+IB+IC)+ID = 3IG+ID (G là trọng tâm tam giác ABC) thì ta được G,I,D thẳng hàng. Từ đây ta còn có kết quả đối với tứ diện ABCD trong không gian, chẳng hạn trường hợp cuối cho ta: Các đoạn thẳng nối mỗi đỉnh tứ giác ABCD và 9 Hình 2.1 trọng tâm tam giác tạo bởi 3 đỉnh còn lại đồng quy. Kỹ thuật 4: Kỹ thuật biến đổi đại số trên dãy các véc tơ. Các tính chất đại số (trong không gian véc tơ) của véc tơ làm cho phương pháp véc tơ trở nên một công cụ mạnh: dễ vận dụng, dễ mở rộng,. . . Khi thực hiện biến đổi trên các các véc tơ, các tính chất sau thường xuyên được sử dụng: → − − → − → → − → − → − −c = → − *→ a+( b +→ c ) = ( a + b )+ a + b +−c  → − → − − − *k → a + b = k→ a +k b → − − → → − − − − −c * (−1).→ a = −→ a ; b +→ c = 0 ⇔ b = −→ → − − − − * |→ a | ≥ 0, |→ a|=0⇔→ a = 0 − → − Trong Rn cho hệ n véc tơ độc lập tuyến tính → a1 ,− a→ 2 ,..., an , mọi véc tơ đều → − − − − a2 +...+kn → an . biểu thị tuyến tính được qua n véc tơ đó: b =k1 → a1 +k2 → 2.1 2.1.1 Các bài toán chứng minh một đẳng thức véc tơ Cơ sở lý thuyết Chứng minh một đẳng thức véc tơ thực chất là chứng minh 2 véc tơ bằng nhau. Dựa vào các kiến thức véc tơ, các kỹ thuật cơ bản ta có thể biến đổi như các biến đổi đại số: Biến đổi vế trái thành vế phải, biến đổi vế phải thành vế trái và biến đổi cả 2 vế. 10 Trong nhiều trường hợp để chứng minh đẳng thức véc tơ ta còn sử dụng đến kỹ thuật hình chiếu của véc tơ trên một trục, xem tài liệu [3]. −→ − Trên mặt phẳng cho vectơ → a =AB và một trục Ox. Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục Ox. Ta gọi hình chiếu của vectơ −→ −→ → − − a =AB trên trục Ox là độ dài đại số A0 B0 , kí hiệu là: A0 B0 =fx (→ a ) =fx (AB). −→ Khi chỉ chiếu trên một trục ta viết gọn là: A0 B0 = f(AB). Hình 2.2 Hình chiếu của vectơ trên một trục có các tính chất sau: − − − − i. f(→ a ) = |→ a | .cosϕ, trong đó |→ a | là độ dài đại số của → a còn ϕ là góc tạo − bởi → a và chiều dương của trục Ox. → − → − − − ii. f(→ a + b ) = f(→ a ) + f( b ). − − iii. Với mọi k ∈ R thì f(k→ a ) = kf(→ a ). → − → − → − − − − iv. → a = b ⇔ fx (→ a ) = fx ( b ) và fv (→ a ) = fv ( b ) trong đó Ox và O’v là hai trục không song song. Chứng minh các tính chất trên không khó. Ta nêu phép chứng minh (iv). Điều kiện cần: Hiển nhiên do áp dụng tính chất (i). − −→ −→ → − Điều kiện đủ: Đặt → a =AB; b =CD, giả sử: −→ −→ fx (AB) =A1 B1 ;fx (CD) =C1 D1 −→ −→ fv (AB) =A2 B2 ;fv (CD) =C2 D2 Theo giả thiết: A1 B1 =C1 D1 ;A2 B2 =C2 D2 Gọi E là giao điểm của AA2 và BB1 , F là giao điểm của CC2 và DD1 . Bằng cách xét hai tam giác vuông AEK và CFH bằng nhau ta suy ra EA // FC, → − −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ − EA = FC nên AE=CF. Từ đó: AB=AE+EB=CF+FD=CD hay → a=b. 11 Hình 2.3 2.1.2 Các bài toán minh họa Bài toán 2.1: Cho tam giác ABC, trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng: −→ −→ −→ −→ i) HA+HB+HC= 2HO −→ −→ −→ −→ ii) OA+OB+OC=OH −→ −→ iii) OH = 3OG Chứng minh Hình 2.4 12 i) Gọi D là đối xứng của A qua O. BH//DC (cùng vuông góc với AC), CH//DB (cùng vuông góc với AB), suy ra BHCD là hình bình hành. −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ Từ đó: HB+HC=HD ⇒ HA+HB+HC=HD+HA= 2HO. −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ ii) OA+OB+OC= (OH+HA) + (OH+HB) + (OH+HC) = 3OH+2HO=OH. −→ −→ −→ −→ −→ −→ iii) Vì OA+OB+OC= 3OG nên suy ra: OH= 3OG. Bài toán 2.2: Cho C là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho CA m = . CB n Chứng minh rằng với S là một điểm bất kì ta luôn có: − → → n −→ m − SC= SA+ SB m+n m+n (2.1) Chứng minh Nhận xét: − → −→ − → - Bản chất của bài toán là phân tích véctơ SC theo các véctơ SA,SB. - Khi C là trung điểm AB thì (2.1) là tính chất trung điểm khá quen thuộc. Hình 2.5 CA m AC m = ⇒ = MN n AC + CB m + n −→ − → −→ → −→ AC m m −→ m − Vậy: = ⇒ AC= AB ⇒ SC−SA= (SB−SA) AB m + n m+n m+n − → − → → → − → → m − m − n −→ m − ⇒ SC=SA− SA+ SB ⇒ SC= SA+ SB (đpcm). m+n m+n m+n m+n Hệ quả: Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cạnh BC. −−→ MC −→ MB −→ Ta có: AM= AB+ AC. BC BC Theo giả thiết: Bài toán 2.3: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A,B,C lần lượt là a,b,c. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc 13