Tài liệu Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian l2[a;b]

  • Số trang: 89 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 74 |
  • Lượt tải: 0
nguyetha

Đã đăng 8490 tài liệu

Mô tả:

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy PGS.TS. Khuất Văn Ninh, người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy Khuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Học viên Trần Mạnh Cường LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Học viên Trần Mạnh Cường Mục lục Mở đầu 1 Nội dung 2 1 3 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4. Nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không gian Banach . . . . . 10 1.3. Toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không gian Hilbert, L2[a;b] . . 13 1.4. Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz . . . . . . 17 1.4.1. Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz . . 17 1.4.2. Phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai . . . . . . 21 1.4.3. Phương trình tích phân Fredholm phi tuyến loại hai . . . . . . . 24 2 Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L2[a;b] 26 ii iii 2.1. Định lý về sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Giải xấp xỉ phương trình toán tử loại hai bằng phương pháp thác triển theo tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.1. Hai bước theo tham số (N = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2. Ba bước theo tham số (N = 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3. Ước lượng tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L2[a;b] 39 3.1. Phương trình tích phân Fredholm loại hai trong không gian L2[a;b] . . . . 39 3.1.1. Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2. Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân Fredholm phi tuyến loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2. Ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1. Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với hạch suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2. Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với hạch không suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2.3. Giải xấp xỉ bài toán biên phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Kết luận 81 Tài liệu tham khảo 82 BẢNG KÝ HIỆU C Tập số phức C[a;b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b] Dk[a;b] Tập tất cả các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp k trên [a, b] l2 Tập tất cả những dãy số thực (phức) x = {xn } sao cho chuỗi ∞ P |xn |2 hội tụ n=1 L2[a;b] Tập tất cả các hàm đo được, bình phương khả tích trên [a; b] N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực Rk Không gian thực k chiều Ø Tập hợp rỗng ∞ Dương vô cùng (tương ứng với +∞) −∞ Âm vô cùng θ Phần tử không k.k Chuẩn  Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử được nhiều nhà khoa học nghiên cứu. Trong đó phần lớn các công trình nghiên cứu tìm nghiệm của phương trình toán tử loại hai x + Ax = f với toán tử A đơn điệu, liên tục Lipschitz tác dụng trong không gian Banach tùy ý X. Phương pháp này sử dụng quá trình lặp, thông qua một số hữu hạn các bước theo tham số ε và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co. Trong các bài toán cụ thể thì các yếu tố đã biết không thuận lợi cho việc tìm nghiệm chính xác, nên nhiều công trình tập trung nghiên cứu tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình toán tử loại hai. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của phương pháp nói trên vào việc giải gần đúng phương trình toán tử loại hai và dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh chúng tôi đã chọn đề tài: “Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L2[a;b] ”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về lý thuyết phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai và ứng dụng của phương pháp. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không gian L2[a;b] . - Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp nói trên để giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L2[a;b] . 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương pháp thác triển theo tham số và ứng dụng để giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L2[a;b] . 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống một số vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, nguyên lý ánh xạ co 1.1.1. Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1. (Không gian định chuẩn) Một không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường K (K = R hoặc K = C) cùng với một ánh xạ X → R, được gọi là chuẩn và ký hiệu là k.k thỏa mãn các tiên đề sau: 1) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ; 2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) kαxk = |α| kxk; 3) (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk. Số kxk gọi là chuẩn của vector x. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X. Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn. Định nghĩa 1.1.2. (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) Dãy điểm {xn } của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu: lim kxn − xk = 0. n→∞ 3 4 Ký hiệu lim xn = x hay xn → x (n → ∞). n→∞ Định nghĩa 1.1.3. (Dãy cơ bản) Dãy điểm {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản nếu: lim kxn − xm k = 0. m,n→∞ Nếu trong X mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là kxn − xm k → 0 (n, m → ∞) kéo theo sự tồn tại x0 ∈ X sao cho xn → x0 . Thì X được gọi là không gian đủ. 1.1.2. Không gian Banach Định nghĩa 1.1.4. (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X được gọi là gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. L2[a;b] Ví dụ 1.1.1. Xét không gian   Rb 2 = f : [a; b] → R| |f (t)| dt < ∞ , f là hàm a đo được, xác định trên [a; b]. b  12 R 2 Đặt kf k = |f (t)| dt . Khi đó L2[a;b] là không gian Banach. a Thật vậy, - L2[a;b] là một không gian định chuẩn  21 b R 2 2 1) ∀f ∈ L[a;b] , kf k = |f (t)| dt ≥ 0, a kf k = 0 ⇔ |f (t)|2 = 0 h. k. n ⇔ f (t) = 0 h. k. n trên đoạn [a; b]. 2) ∀f ∈ L2[a;b] ,∀α ∈ R ta có:  12 b b  21 R R kαf k = |αf (t)|2 dt |f (t)|2 dt = |α| = |α| kf k. a a 3) ∀f, g ∈ L2[a;b] ta có: kf + gk = b R ≤ b R  21 |f (t) + g (t)|2 dt a  12  b  12 R |f (t)|2 dt + |g (t)|2 dt a a Suy ra kf + gk ≤ kf k + kgk. - L2[a;b] là một không gian đủ Giả sử {fn } là một dãy cơ bản trong L2[a;b] tức là kfn − fm k → 0 khi n, m → ∞. Ta 5 chọn từ {fn } một dãy con {fnk } hội tụ hầu khắp nơi về một hàm f nào đó. Vì {fn } là dãy cơ bản, nên khi ta cố định ε > 0 bất kì đối với mọi k và l đủ lớn sẽ có: Rb |fnk (t) − fnl (t)|2 dt < ε. a Chuyển qua giới hạn khi l → ∞ trong bất đẳng thức trên ta nhận được: Rb |fnk (t) − f (t)|2 dt < ε. a Từ đó suy ra f ∈ L2[a;b] và fnk → f . Vì dãy cơ bản chứa một dãy con hội tụ thì cả dãy hội tụ về giới hạn ấy.  21 Vậy L2[a;b] cùng với chuẩn kf k = |f (t)| dt là một không gian Banach. a   ∞ P p Ví dụ 1.1.2. Xét không gian lp = x = {xi } | |xi | < ∞ với 1 ≤ p < ∞. Khi đó i=1 ∞  p1 P p lp cùng với chuẩn được định nghĩa bởi kxk = |xi | trong lp là một không gian b R 2 i=1 Banach. Thật vậy, lp là một không gian vector với phép cộng các dãy số thực và phép nhân dãy số với một số định nghĩa như sau: x = (x1 , x2 , ..., xn , ...) ; y = (y1 , y2 , ..., yn , ...) ∈ lp , x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn , ...) , αx = (αx1 , αx2 , ..., αxn , ...) . Từ bất đẳng thức Minkowski’s và đẳng thức: ∞ ∞ P P |xi |p < ∞, |yi |p < ∞, i=1 i=1 Ta có: ∞ P |xi + yi |p ≤ i=1 ∞ P i=1 |xi |p + ∞ P |yi |p . i=1 Điều này cho thấy: x + y ∈ lp . ∞ ∞ P P Từ đẳng thức |αxi |p = |α|p |xi |p < ∞ với mọi số α, ta suy ra αx ∈ lp . i=1 i=1 Dễ dàng thử lại các tiên đề của không gian vector. Ta đi kiểm tra các tiên đề của chuẩn, với chuẩn được định nghĩa bởi: ∞  p1 P p kxk = |xi | trong lp . i=1 Rõ ràng là kxk ≥ 0, ∀x ∈ lp . kxk = 0 ⇔ |xi |p = 0 ∀i ⇔ xi = 0 ∀i ⇔ x = θ. 6 kαxk = ∞ P p  p1 |αxi |  p1  ∞ p pP |xi | = |α| i=1 i=1 = |α| kxk ,∀x ∈ lp , ∀α ∈ R. ∞  p1 P p kx + yk = |xi + yi | , i=1 theo bất đẳng thức Minkowski’s ta có: ∞ P p  p1 |xi + yi | ≤ ∞ P i=1 p  p1 |xi | i=1 + ∞ P p  p1 |yi | , ∀x, y ∈ lp i=1 Từ điều này suy ra kx + yk ≤ kxk + kyk. Để chứng minh lp là không gian Banach, ta chứng minh mọi dãy Cauchy trong lp hội tụ tới một phần tử trong lp . n o (n) Giả sử xn = ai là một dãy Cauchy trong lp , nghĩa là: ∞ p  p1 P (n) (m) < ε với n, m ≥ N , kxn − xm k = ai − ai (1.1) i=1 từ bất đẳng thức (1.1) suy ra: (n) (m) ai − ai < ε với n, m ≥ N và với mọi i, (1.2) o n (n) là một dãy Cauchy các số thực. với mỗi i cố định, từ đẳng thức (1.2) suy ra ai Theo tiêu chuẩn Cauchy của dãy số thực thì nó hội tụ về ai , nghĩa là: (n) lim ai n→∞ = ai , Từ đẳng thức (1.1) ta có: p k P (n) (m) ai − ai < εp , với mọi k. i=1 Chuyển qua giới hạn khi m → ∞ trong bất đẳng thức trên ta được: p k P (n) ai − ai ≤ εp , với n ≥ N . i=1 Cho k → ∞, ta được: (1.3) 7 p ∞ P (n) p a − a i i ≤ ε , với n ≥ N . i=1 Mặt khác ta có: − (xn − x) = x − xn ∈ lp , với x = (a1 , a2 , ..., an , ...), suy ra x = (x − xn ) + xn ∈ lp . Hơn nữa: ∞ p  p1 P (n) kxn − xk = ≤ ε, với n ≥ N . ai − ai i=1 Nghĩa là: kxn − xk → 0 khi n → ∞. 1.1.3. Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.5. (Không gian tiền Hilbert) Cho H là không gian vector trên trường K (với K = R hoặc K = C). Tích vô hướng xác định trong H là một ánh xạ: h., .i : H × H → K (x, y) 7→ hx, yi thỏa mãn các điều kiện sau đây: 1. hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H. 2. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H. 3. hαx, yi = α hx, yi với mọi x, y ∈ H và α ∈ K. 4. hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H và hx, xi = θ ⇔ x = θ. 8 Số hx, yi gọi là tích vô hương của hai vector x và y. Cặp (H, h., .i) được gọi là không gian tiền Hilbert. Ta kí hiệu không gian tiền Hilbert H thay cho cặp (H, h., .i). Định nghĩa 1.1.6. (Không gian Hilbert) Nếu H là một không gian tiền Hilbert và đầy đủ đối với chuẩn sinh bởi tích vô hướng thì được gọi là không gian Hilbert.   ∞ P 2 Ví dụ 1.1.3. Xét không gian l2 = x = (xn )n∈N ⊂ K| |xn | < +∞ . n=1 Ta đã biết l2 là không gian Banach với chuẩn:  kxk = ∞ P 2  21 |xn | . n=1 Với x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ l2 , nhờ bất đẳng thức Buyakowsky ta có: ∞ 2 P ≤ kxk2 kyk2 < +∞. x y n n n=1 Dễ dàng chứng minh rằng: hx, yi = ∞ P xn y n , n=1 xác định một tích vô hướng trong l2 và nó cảm sinh chuẩn nêu trên. Vậy l2 là một không gian Hilbert. L2[a;b] Ví dụ 1.1.4. Xét không gian   Rb 2 = f : [a; b] → R| |f (t)| dt < ∞ , f là hàm a đo được, xác định trên [a; b]. Trong ví dụ 1.1.1 ta đã biết L2[a;b] là một không gian Banach với chuẩn: kf k = b R  21 |f (t)| dt . 2 a Hơn nữa, với f, g ∈ L2[a;b] , từ bất đẳng thức Holder về tích phân, ta có: Rb a |f (t) g (t)| dt ≤ b R a  12  b  21 R 2 |f (t)| dt |g (t)| dt < +∞. 2 a 9 Ta kiểm tra thấy rằng: hf, gi = Rb f.gdt, a xác định một tích vô hướng trong L2[a;b] . Thật vậy: 1. hf, gi = Rb f.gdt = Rb g.f dt = hg, f i với mọi f, g ∈ L2[a;b] . a a 2. hf1 + f2 , gi = = Rb a Rb (f1 + f2 ) .gdt f1 .gdt + Rb f2 .gdt a a = hf1 , gi + hf2 , gi với mọi f1 , f2 , g ∈ L2[a;b] . 3. hαf, gi = Rb αf.gdt = α a Rb f.gdt a = α hf, gi với mọi f, g ∈ L2[a;b] và α ∈ R. 4. hf, f i = Rb hf, f i = Rb f 2 dt ≥ 0 với mọi f ∈ L2[a;b] , a f 2 dt = 0 ⇔ f 2 = 0 ⇔ f = 0 h. k. n trên đoạn [a; b]. a Vậy L2[a;b] trở thành không gian Hilbert thực. 1.1.4. Nguyên lý ánh xạ co Định nghĩa 1.1.7. (Ánh xạ co) Ánh xạ A đưa không gian Metric đủ (X, d) vào trong nó gọi là ánh xạ co nếu tồn tại hằng số q ∈ [0; 1) sao cho: ∀x, y ∈ X, d (A (x) , A (y)) ≤ qd (x, y). Định lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xạ co) Cho A là ánh xạ co trong không gian Metric đủ (X, d). Khi đó: 1. Tồn tại duy nhất x∗ ∈ X sao cho A (x∗ ) = x∗ . Phần tử x∗ gọi là điểm bất động của ánh xạ A. 10 2. Dãy (xn ) xác định theo công thức xn+1 = A (xn ) (n ≥ 0) xuất phát từ x0 ∈ X tùy ý đều hội tụ tới x∗ ∈ X. Ngoài ra, ta có các ước lượng sau: d (xn , x∗ ) ≤ d (xn , x∗ ) ≤ 1.2. qn d (x0 , x1 ) (n ≥ 1), 1−q q d (xn−1 , xn ) (n ≥ 1). 1−q Toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không gian Banach Định nghĩa 1.2.1. (Toán tử đơn điệu) Giả sử X là không gian Banach thực, X ∗ là không gian liên hợp của X và toán tử A : X → X ∗ . Khi đó: 1. A được gọi là đơn điệu nếu: hAu − Av, u − vi ≥ 0 với mọi u, v ∈ X. 2. A được gọi là đơn điệu nghiêm ngặt (thực sự) nếu: hAu − Av, u − vi > 0 với mọi u, v ∈ X. 3. A được gọi là đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho: hAu − Av, u − vi ≥ c ku − vk2 với mọi u, v ∈ X. 4. A được gọi là d−đơn điệu nếu: hAu − Av, u − vi ≥ (α (kuk) − α (kvk)) (kuk − kvk) với mọi u, v ∈ X, trong đó α là hàm số liên tục, tăng nghiêm ngặt trên [0; +∞). 5. A được gọi là đơn điệu đều nếu: hAu − Av, u − vi ≥ ρ (kuk − kvk) với mọi u, v ∈ X. trong đó ρ là hàm số liên tục, tăng nghiêm ngặt trên [0; +∞) và ρ (0) = 0. 11 Ví dụ 1.2.1. (Toán tử đơn điệu tuyến tính) Cho A : X → X ∗ là một toán tử tuyến tính trong không gian Banach thực X. Khi đó: 1. A là đơn điệu nếu A là toán tử dương, nghĩa là: hAu, ui ≥ 0 với mọi u ∈ X. 2. A là đơn điệu nghiêm ngặt nếu A là toán tử dương nghiêm ngặt, nghĩa là: hAu, ui > 0 với mọi u ∈ X và u 6= 0. 3. A là đơn điệu mạnh nếu A là toán tử dương mạnh, nghĩa là: hAu, ui ≥ c kuk2 với mọi u ∈ X hằng số c > 0. Thật vậy, ta lưu ý là Au − Av = A (u − v). Ví dụ 1.2.2. (Hàm số thực đơn điệu) Xét hàm số f : R → R. Ta xem f như là toán tử từ X tới X ∗ với X = R. Khi đó: hf (u) − f (v) , u − vi = (f (u) − f (v)) (u − v) với mọi u, v ∈ R. Từ đó, ta có các kết quả sau: 1. f : X → X ∗ là đơn điệu nghiêm ngặt nếu f : R → R là đơn điệu tăng nghiêm ngặt. 2. f : X → X ∗ là đơn điệu mạnh nếu: f (u) − f (v) > 0. u6=v u−v inf 3. Nếu F : R → R là C 2 thỏa mãn: F 00 (u) ≥ c với mọi u ∈ R và hằng số c > 0 cho trước, thì: (F 0 (u) − F 0 (v)) (u − v) ≥ c (u − v)2 với mọi u, v ∈ R, nghĩa là: F 0 : R → R là đơn điệu mạnh. 12 4. Nếu F : R → R là C 1 thỏa mãn: F 0 (u) − F 0 (v) ≥ c (u − v), với mọi u, v ∈ R, u ≥ v và hằng số c > 0 cho trước thì F 0 : R → R là đơn điệu mạnh. Định nghĩa 1.2.2. (Liên tục Lipschitz) Toán tử A : X → X ∗ được gọi là liên tục Lipschitz trong không gian Banach thực X nếu tồn tại hằng số L > 0, với các phần tử x1 , x2 ∈ X ước lượng sau đây đúng: kAx1 − Ax2 k ≤ L kx1 − x2 k, trong đó k.k là chuẩn của không gian Banach X, L là hằng số Lipschitz. Định lý 1.2.1. (Rockafella) Nếu toán tử A : X → X ∗ đơn điệu thì A sẽ bị chăn địa phương. Định lý 1.2.2. Giả sử A : X → X ∗ là toán tử trong không gian Banach thực X. Xét hàm số: f (t) = hA (u + tv) , vi với mọi t ∈ R. Khi đó hai mệnh đề sau là tương dương: a) Toán tử A là đơn điệu. b) Hàm f : [0; 1] → R là đơn điệu tăng với mọi u, v ∈ X. Chứng minh. Nếu A : X → X ∗ là đơn điệu thì với 0 ≤ s < t ta có: f (t) − f (s) = hA (u + tv) , vi − hA (u + sv) , vi 1 = hA (u + tv) − A (u + sv) , u + tv − (u + sv)i t−s 1 = hA (u + tv) − A (u + sv) , (t − s) vi ≥ 0. t−s Suy ra f (t) đơn điệu tăng trên [0; 1]. Ngược lại, nếu f : [0; 1] → R là đơn điệu tăng thì với u, v ∈ X ta có: hA (u + v) − Au, vi = f (1) − f (0) ≥ 0. Suy ra A là toán tử đơn điệu. 13 1.3. Toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không gian Hilbert, L2[a;b] Định nghĩa 1.3.1. (Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert) Giả sử H là không gian Hilbert và D ⊂ H, toán tử A : D → H. Khi đó: 1. A được gọi là đơn điệu nếu: Re hA (u) − A (v) , u − vi ≥ 0 với mọi u, v ∈ D. 2. A được gọi là đơn điệu nghiêm ngặt (thực sự) nếu: Re hAu − Av, u − vi > 0 với mọi u, v ∈ D. 3. A được gọi là đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho: Re hA (u) − A (v) , u − vi ≥ c ku − vk2 với mọi u, v ∈ D. Định lý 1.3.1. Cho H là không gian Hilbert thực và giả sử toán tử T : H → H là liên tục, đơn điệu và bức yếu. Khi đó T (H) = H, hơn nữa, nếu T là đơn điệu mạnh thì với mỗi h ∈ H tồn tại và duy nhất u ∈ H sao cho: T (u) = h. Bổ đề 1.3.1. Cho D là một tập con đóng trong không gian Hilbert thực H. Giả sử toán tử T : D → H là liên tục và đơn điệu mạnh. Khi đó, T (D) là tập con đóng trong H. Chứng minh. Giả sử với mỗi h ∈ H tồn tại dãy {un }∞ n=1 ⊂ D sao cho: T (un ) → h. Theo giả thiết T là đơn điệu mạnh, ta có: 14 hT (un ) − T (um ) , un − um i ≥ c kun − um k2 , và theo bất đẳng thức Schwartz ta có: 1 kT (un ) − T (um )k ≥ kun − um k. c Bởi vì {un }∞ n=1 là một dãy Cauchy nên tồn tại u0 ∈ D sao cho: un → u0 . Từ sự liên tục của T suy ra rằng: T (un ) → T (u0 ) nghĩa là T (u0 ) = h. Bổ đề 1.3.2. Cho D là một tập con mở trong không gian Hilbert thực H. Giả sử toán tử T : D → H là liên tục và đơn điệu mạnh. Khi đó, T (D) là tập con mở trong H. Mệnh đề 1.3.1. Cho H là không gian Hilbert thực. Nếu toán tử T : H → H liên tục và đơn điệu mạnh thì: T (H) = H. Chứng minh. Do H là không gian Metric liên thông và theo bổ đề 1.3.1 và 1.3.2 ta có T (H) là tập con vừa mở, vừa đóng trong H. Do đó T (H) = H (Bởi vì tập con khác rỗng duy nhất của H vừa mở, vừa đóng nằm hoàn toàn trong H) Chứng minh. (định lý 1.3.1.) Sự duy nhất u ∈ H là một hệ quả trực tiếp của toán tử đơn điệu nghiêm ngặt. Với bất kì h ∈ H, sự tồn tại u ∈ H được chứng minh trong hai bước. Bước 1: Theo mệnh đề 1.3.1 thì khẳng định của định lý là đúng nếu toán tử T là liên tục và đơn điệu mạnh. Xét toán tử đơn điệu mạnh Tn : H → H, n ∈ N, xác định bởi: 15 Tn : u → 1 u + T (u), n với mỗi n ∈ N, Tn thỏa mãn với h ∈ H thì tồn tại un ∈ H sao cho: Tn (un ) = h. (1.4) Bước 2: Ta chứng minh {un }∞ n=1 là một dãy bị chặn trong H. Giả sử ngược lại tồn tại một dãy con được kí hiệu bởi {un }∞ n=1 sao cho: lim kun k = ∞. n→∞ Từ tính đơn điệu của T suy ra:   un 1 1 1 khk ≥ h, = kun k + hT (un ) − T (o) , un i + hT (o) , un i kun k n kun k kun k 1 ≥ kun k − kT (o)k, n  ∞ 1 nghĩa là un là một dãy bị chặn. n n=1 ∞ ∞   1 1 un hội tụ yếu, nghĩa là: un ⊂ Khi đó tồn tại một dãy con nk k k=1 n n=1 1 un *w. nk k Theo (1.4) ta có: T (unk ) *h − w. Suy ra rằng {T (unk )}∞ k=1 là dãy bị chặn. Điều này mâu thuẫn với tính bức yếu của 1 T . Suy ra tính bị chăn của {un }∞ un → o và T (un ) → h. n=1 . Đặc biệt, n ∞ Do đó có một dãy con {umk }∞ k=1 ⊂ {un }n=1 sao cho: umk *u0 . Ta chứng minh được rằng T (u0 ) = h. Thật vậy, với mọi v ∈ H và k ∈ N ta có: hT (umk ) − T (v) , umk − vi ≥ 0. Chuyển qua giới hạn với k → ∞ ta nhận được:
- Xem thêm -