Tài liệu Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian euclide

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới T.S Khuất Văn Ninh, người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy Khuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Học viên Nguyễn ngọc Bình LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của T.S Khuất Văn Ninh. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Học viên Nguyễn ngọc Bình MỤC LỤC Mở đầu ............................................................................................................. 1 1. Một số kiến thức chuẩn bị .......................................................................... 3 1.1 Không gian Banach ..................................................................................... 3 1.1.1. Không gian định chuẩn ................................................................... 3 1.1.2. Không gian Banach ......................................................................... 3 1.2 . Nguyên lý ánh xạ co.................................................................................. 4 1.3 . Phương pháp xấp xỉ liên tiếp .................................................................... 5 1.4. Toán tử đơn điệu trong không gian Banach và không gian Hilbert và phương trình toán tử ........................................................................................ 10 1.4.1. Khái niệm toán tử đơn điệu ........................................................... 10 1.4.2. Toán tử d - đơn điệu ...................................................................... 10 1.4.3. Toán tử đơn điệu đều .................................................................... 11 1.4.4. Toán tử đơn điệu mạnh ................................................................. 11 1.4.5. Toán tử coercive ........................................................................... 11 1.4.6. Phương trình toán tử ..................................................................... 12 1.5. Một số khái niệm liên tục ......................................................................... 12 1.5.1. Toán tử đêmi liên tục ................................................................... 12 1.5.2. Toán tử hê mi liên tục ................................................................... 12 1.5.3. Toán tử rađian liên tục .................................................................. 13 1.5.4. Toán tử liên tục Lipschitz ............................................................. 13 1.5.5. Toán tử liên tục Lipschitz bị chặn................................................. 13 2. Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide ................................................ 14 2.1. Phương pháp thác triển theo tham số ....................................................... 14 2.1.1. Sự tồn tại nghiệm .......................................................................... 14 2.1.2. Ước lượng tốc độ hội tụ ................................................................ 18 2.2. Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình tuyến tính trong n ........................................................................................................... 21 2.2.1. Điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình (2.19) sử dụng phương pháp thác triển theo tham số ...................................................... 23 2.2.2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thác triển theo tham số ............................................................................................ 23 2.2.3. Ví dụ .............................................................................................. 27 2.3. Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến trong không gian n ........................................................................................ 31 2.3.1. Định nghĩa ..................................................................................... 31 2.3.2. Định lý tồn tại của phương trình nghiệm (2.33) ........................... 32 2.3.3. Ví dụ .............................................................................................. 33 3. Ứng dụng phần mềm Toán học vào giải bài toán hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide ........................................ 39 3.1 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phần mềm Toán học ..................... 39 3.1.1. Ví dụ 1 ........................................................................................... 39 3.2. Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phần mềm toán học ....................... 47 3.2.1. Ví dụ 1 ........................................................................................... 47 3.2.2. Ví dụ 2 ........................................................................................... 52 1 Mở Đầu 1. Lý do chọn đề tài Bài toán giải phương trình toán tử đã có nhiều nhà khoa học đề cập đến. Phạm vi ứng dụng của lý thuyết phương trình toán tử rộng lớn và có hiệu lực mạnh mẽ. Nhưng trong thực tiễn những yếu tố của bài toán do nhiều nguyên nhân chỉ có tính chất gần đúng, do đó có rất nhiều công trình tập trung nghiên cứu các phương trình toán tử theo quan điểm xấp xỉ Các phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ của phương trình toán tử rất phong phú đa dạng. Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz là một trong những phương pháp có ứng dụng rộng rãi. Phương pháp này đã sử dụng quá trình lặp thông qua một số hữu hạn bước theo tham số và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co. Phương pháp thác triển tham số ứng dụng nhiều để giải các phương trình toán tử phi tuyến trong các không gian định chuẩn khác nhau và giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide là một trong những ứng của phương pháp này. Bởi vậy tôi đã chọn đề tài : “Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide”. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày những nghiên cứu lí thuyết của phương pháp thác triển theo tham số để giải hệ phương trình toán tử phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: - Phương pháp thác triển theo tham số. 2 - Ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình toán tử phi tuyến. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp nói trên để giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống những vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập. 6. Đóng góp mới của luận văn - Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thác triển theo tham số. - Giải hệ phương trình tuyến tính và phi tuyến trên máy tính điện tử. 3 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian Banach 1.1.1. Không gian định chuẩn Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K thực hay phức. Hàm thực p trên X gọi là một chuẩn trên X nếu: i) p  x   0 x  X ; p  x   0  x  0. ii) p   x    p  x    K x  X . iii) p  x  y   p  x   p  y  x, y  X . Không gian vectơ X cùng với một chuẩn trên nó được gọi là không gian định chuẩn. Sau này ta luôn dùng ký hiệu . để chỉ một chuẩn trên không gian định chuẩn X . Không gian định chuẩn X là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn: d  x, y   x  y . 1.1.2. Không gian Banach Không gian định chuẩn X là không gian mêtric đầy với mêtric sinh bởi chuẩn được gọi là không gian Banach. Ví dụ 1.1.1 Cho không gian Ca ,b . Với x  t  , y  t   Ca ,b , k  , ta định nghĩa: i)  x  y  t   x  t   y  t  , t a, b. ii)  kx  t   k.x  t  , t  a, b. Như vậy với hai phép toán trên, không gian Ca ,b là một không gian vectơ trên trường số . 4 Với x  t   Ca ,b , đặt x  max x  t  lúc đó ta có . là một chuẩn trên t a ,b Ca ,b , hơn nữa Ca ,b cùng với . trên là một không gian Banach. Ví dụ 1.1.2  Xét không gian l2   x   x1 , x2 ,..., xi ,... | xi  , i    2 ,  xi   . i 1   * Với x   xi  , y   yi   l2 , k  , ta định nghĩa: i)  x  y i  xi  yi , i  ii)  kx i  k.xi , i  * * . . Khi đó, l2 là một không gian vectơ trên trường số . 1   2 2 Với x  l2 , đặt x    xi  , lúc đó ta có . là một chuẩn trên l2 , và l2  i 1  cùng với chuẩn đó là một không gian Banach. 1.2. Nguyên lý ánh xạ co Banach Định nghĩa 1.2.1 Cho hai không gian metric M1   X , d1  , M 2  Y , d2  . Ánh xạ A : M1  M 2 được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại 0    1 sao cho: d2  A( x), A( y)    d1  x, y  , x, y  X . Định lý 1.2.1 Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M   X , d  vào chính nó đều có điểm bất động x duy nhất, nghĩa là x  X thỏa mãn hệ thức Ax =x . Giả sử X là không gian metric đủ và ánh xạ A : X  X thỏa mãn điều kiện : d ( Ax, Ay)   d ( x, y) với hằng số   1 và x, y  X . 5 * Khi đó tồn tạo duy nhất phần tử x sao cho x*  Ax* , hơn nữa với mọi x0  X thì dãy xn nN xác định bởi xk 1  Axk , k  N là hội tụ đều ,đồng thời ta có ước lượng: n d ( xn , x )  d ( x1, x0 ) . 1 * 1.3. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Ta xét phương trinh toán tử phi tuyến x  A( x) (1.1) Áp dụng những dạng khác nhau của phương pháp xấp xỉ liên tiếp ta giải gần đúng các phương trình đó. Giả sử X là không gian Banach. Kí hiệu  S  x0 , r   là hình cầu trong X với tâm x0 và bán kính r . S  x0 , r   x  X ; x  x0  r . Giả sử toán tư phi tuyến A tác động trong X, nghĩa là A(x)  X với x X . Ta nói rằng toán tử A thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu: A( x)  A( y)   x  y , x, y  X , Trong đó  =const   . Nếu giả thiết thêm rằng  <1 thì ta nói rằng toán tử A là toán tử co trong X. Định lí 1.3.1 Giả sử toán tử A tác động trong X và là toán tử co . Khi đó phương trình (1.1) có nghiệm duy nhất trong X và nghiệm đó là giới hạn của dãy lặp đơn xn  A( xn1 ) n  1, 2,..., (1.2) 6 Trong đó x0 là phần tử tùy ý trong X. Hơn nữa tốc độ hội tụ được xác định bởi một trong các công thức xn  x*   n x0  x* xn  x*  n x0  A( x0 ) , 1  (1.3) (1.4) * trong đó x là nghiệm của phương trình (1.1) Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng dãy  xn  là dãy cơ bản từ đó suy ra sự hội tụ của nó. Ta có xn1  xn  A( xn )  A( xn1 )   xn  xn1 , xn1  xn   n x1  x0 Từ đó xnk  xn  xnk  xnk 1  xnk 1  xnk 2  ...  xn1  xn    nk 1   nk 2  ...   n  x1  x0 xnk  xn  n (1   k ) x1  x0 1  (1.5) Từ đó suy ra dãy  xn  là dãy cơ bản vì   1 . Ta chứng minh rằng giới hạn x* của dãy  xn  là nghiệm của phương trình (1.1). Rõ ràng là x  y  A( x)  A( y)   x  y . Từ đó ta có lim A( xn1 )  A( x* ) . Cho nên x*  A( x* ) . n Điều này có nghĩa là x* là nghiệm của phương trình (1.1). 7 Ta chứng minh rằng nghiệm của phương trình (1.1) là duy nhất. Kí hiệu x, y là nghiệm của phương trình (1.1). Khi đó x  y  A( x)  A( y)   x  y Vì   1 nên x  y . Có thể nhận được bất đẳng thức (1.4) bằng cách cho k   trong công thức (1.5). Còn công thức(1.3) nhận được từ bất đẳng thức sau: xn  x*   n xn1  x* . Định lí 1.3.2 Giả sử toán tử A tác động trong s( x0 , r ) và toán tử co trong hình cầu đó. Khi đó phương trình (1.1) có một nghiệm duy nhất trong S, nghiệm đó là giới hạn của dãy (1.2). Tốc độ hội tụ được xác lập bởi công thức (1.3) hoặc (1.4). Định lí 1.3.3 Giả sử A là toán tử co trong s( x0 , r ) và A( x0 )  x0  (1  )r . Khi đó các kết luận của định lí 1.3.1 vẫn đúng. Từ giả thiết của định lí này suy ra A là toán tử tác động trong S. Thật vậy với x  S ta có A( x)  x0  A( x)  A( x0 )  A( x0 )  x0    x  x0  (1  )r Áp dụng đinh lí 1.3.2 ta có điều phải chứng minh. Định lí 1.3.4 Giả sử A là một toán tử tác động trong không gian Banach X, và một lũy thừa nào đó Ak của toán tử A là một toán tử co trong X. Khi đó phương 8 trình (1.1) có một nghiệm duy nhất và nghiệm đó là giới hạn của dãy (1.2). Tốc độ hội tụ được xác định bằng công thức xn  x*  ( k  )( nk )/ k xk  x* n  k; Trong đó   là hệ số co của toán tử Ak . Chứng minh. Theo định lí 1.3.1, x* là điểm bất động của toán tử Ak x*  Ak ( x* ) Khi đó Ak  A( x* )   A  Ak ( x* )   A( x* ) , Nghĩa là A( x* ) là điểm bất động của toán tử Ak . Do đó tính chất duy nhất của điểm bất động của toán tử Ak , ta suy ra x*  A( x* ) . Như vậy ta đã chứng minh được rằng phương trình (1.1) có nghiệm. Tính duy nhất nghiệm của phương trình (1.1) được suy ra từ tính duy nhất nghiệm của phương trình x  Ak ( x) . Bây giờ ta chứng minh rằng các xấp xỉ liên tiếp (1.2) hội tụ đến nghiệm của phương trình (1.1). Với n  k ta có xn  Ak ( xnk ) . Ta đưa vào kí hiệu i  xi  x* . Khi đó n  nk . Nếu đặt n  k  j thì k  j   j ( j  0,1,2,...) . Từ đó dễ dàng thu được bất đẳng thức 9 mk  m1k (m  0,1,2,...) Hay là n  ( k  )( nk )/ k .k , (n  k ) Cho n tiến đến vô hạn ta được lim xn  x* . n Định lí được chứng minh. Định lí 1.3.5 Giả sử X là một không gian Banach, toán tử F ( x, y) tác động từ X  X vào X và thỏa mãn điều kiện Lipschitz: F ( x, y)  F ( x)  F ( y)   x  x   y  y trong đó     1. Khi đó phương trình x  F ( x, x) có nghiệm duy nhất và nghiệm này là giới hạn của dãy xn  F ( xn , xn1 ) n  1,2,..., x0  X. (1.6) Tốc độ hội tụ được xác định bởi công thức  n xn  x*  ( ) x0  x* 1  Chứng minh. Ta chứng minh toán tử A( x)  F ( x, x) là toán tử co. Giả sử x, y  X , khi đó A( x)  A( y)  F ( x, x)  F ( y, y)  (  ) x  y . Như vậy A( x) là toán tử co. Cho nên từ định lí 1.3.2 suy ra phương trình (1.6) có nghiệm duy nhất. Ta có xn  x*  F ( xn , xn1 )  F ( x* , x* )   xn  x*   xn1  x* 10 xn  x*   xn1  x* . 1  Định lí được chứng minh. 1.4. Toán tử đơn điệu trong không gian Banach và không gian Hilbert và phương trình toán tử 1.4.1. Khái niệm toán tử đơn điệu Giả sử X là không gian định chuẩn thực, X * là không gian liên hợp của X . Toán tử A : D  A  X  X * được gọi là toán tử đơn điệu trên D  A nếu: A x   A y  , x  y  0, x, y  D  A. (1.7) Trong đó A, x  A x  (Giá trị của phiếm hàm A tại x ). Nếu x, y  D  X  ta có A x   A  y  , x  y  0 thì toán tử A được gọi là đơn điệu thật sự (nghiêm ngặt). Ví dụ 1.4.1. Cho không gian Hilbert H . Khi đó ta có H *  H , xét toán tử A : H  H. Ta có A x   A  y  , x  y   A  x   A  y  , x  y . Lúc đó A là toán tử đơn điệu trong không gian H khi và chỉ khi  A x   A y  , x  y   0, x, y  H . 1.4.2. Toán tử d-đơn điệu Cho không gian định chuẩn X , toán tử A : X  X * gọi là d-đơn điệu nếu:  Au  Av, u  v    u     v   u Với  là hàm số tăng thật sự trên 0,  .  v . (1.8) 11 1.4.3. Toán tử đơn điệu đều Cho không gian định chuẩn X , toán tử A : X  X * gọi là đơn điệu đều nếu : Au  Av, u  v    u  v . (1.9) 1.4.4.Toán tử đơn điệu mạnh Cho không gian định chuẩn X , toán tử A : X  X * gọi là đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số m  0 sao cho: Au  Av, u  v  m u  v , u, v  X .0,1 2 (1.10) * Nhận xét: i) Nếu toán tử A đơn điệu mạnh thì A là toán tử đơn điệu đều với   s   ms 2 . ii) Nếu toán tử A đơn điệu mạnh thì A là toán tử d-đơn điệu đều với   s   ms . iii) Nếu toán tử A đơn điệu đều thì toán tử A đơn điệu nghiêm ngặt. iv) Nếu toán tử A là d-đơn điệu và X là không gian lồi ngặt thì A là toán tử đơn điệu nghiêm ngặt. 1.4.5. Toán tử coercive Toán tử A : X  X * ( X là không gian định chuẩn) gọi là toán tử coercive ( toán tử bức) nếu tồn tại   s  xác định trên 0;  sao cho: lim   s    và Au, u    u s  * Nhận xét: Theo định nghĩa ta có : lim u  Au, u  lim   u   . u  u u. (1.11) 12 Như vậy nếu A là toán tử coercive thì: lim u  Au, u  . u 1.4.6. Phương trình toán tử Cho X là không gian Banach và toán tử A : X  X . Xét phương trình: x  Ax  f , f  X , phương trình (1.7) được gọi là phương trình toán tử loại 2. Ví dụ 1.4.2 Cho không gian Banach X  Ca ,b , hàm số K  t , s  liên tục theo hai biến t , s trên  a, b   a, b . Ta có phương trình toán tử b x  t     K  t , s  x  s ds  f  t  , f  t   Ca ,b. a Phương trình trên gọi là phương trình tích phân Fredholm loại 2. 1.5. Một số khái niệm liên tục 1.5.1. Toán tử đêmi liên tục Giả sử X , Y là hai không gian định chuẩn và ánh xạ A : X  Y. Ánh xạ A được gọi là đêmi liên tục tại x0  D  A  X nếu với mọi dãy xn   D mà xn  x0  0 khi n   thì A  xn  hội tụ yếu về G  x0  . 1.5.2. Toán tử hêmi liên tục Giả sử X , Y là hai không gian định chuẩn và ánh xạ A : X  Y. Ánh xạ A được gọi là A x0  tx   A x0  khi t  0. hêmi liên tục tại x0  D  A  X nếu 13 1.5.3. Toán tử rađian liên tục Cho không gian định chuẩn X , toán tử A : X  X * gọi là rađian liên tục nếu u, v  X thì hàm số   s   A u  sv  , v liên tục trên  0,1 . 1.5.4. Toán tử liên tục Lipschitz Giả sử X là không gian định chuẩn, X * là không gian liên hợp của X . Toán tử A : X  X * được gọi là liên tục Lipschitz nếu L  const  0 sao cho Ax  Ay  L x  y , x, y  X . (1.12) 1.5.5. Toán tử liên tục Lipschitz bị chặn Giả sử X là không gian định chuẩn, X * là không gian liên hợp của X . Toán tử A : X  X * được gọi là liên tục Lipschitz bị chặn nếu tồn tại hàm số  đơn điệu tăng trên  0,  sao cho u, v  X : Au  Av    R  , R  max  u , v . 14 Chương 2 Phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz 2.1 Phương pháp thác triển theo tham số 2.1.1. Sự tồn tại nghiệm Xét họ một tham biến các phương trình toán tử x   Ax  f , 0    1 (2.1) Với   0 ta có phương trình thường x  f Với   1 ta có phương trình: x   Ax  f (phương trình loại hai) (2.2) Nếu toán tử A thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L thì có thể chỉ ra được  0  0 sao cho  0 L  1 bằng cách cố định một số tự nhiên N sao cho N>L và đặt  0  1 N Khi đó phương trình x   0 Ax  f xác định một toán tử co  0 A Thật vậy  x1, x2  X :  0 Ax1   0Ax 2   0 Ax1  Ax 2 Do A thỏa mãn điều kiên Lipschitz nên  0 Ax1  Ax 2   0 L x1  x2   0Ax1   0Ax 2   0 L x1  x2 Mà 0   0 L  1 suy ra  0 A là toán tử co. Giả sử nghiệm của phương trình (2.1) là x( ) và giả sử x( 0 ) tìm được. Như vậy ta đã trượt một bước  0 theo tham biến  từ phần tử x(0)  f theo hướng đến phần tử x(1)  u Thực hiện các bước tiếp theo như vậy theo tham biến  sẽ đến nghiệm của phương trình (2.2) sau một số hữu hạn bước. 15 Xét phương trình loại hai: x   Ax  f (2.3) Trong đó A là toán tử tác dụng từ không gian Banach X vào X, f là phần tử cho trước. Giả thiết A(0)=0 Định lý 2.1.1 Giả sử ánh xạ A tác dụng trong khong gian Banach X là liên tục Lipschitz và đơn điệu. Khi đó phương trình (2.3) có nghiệm duy nhất với phần tử tùy ý f X . Chứng minh Giả sử ánh xạ A thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L Ta cố định một số tự nhiên N sao cho N>L và đặt  0  1 . N Ta viết phương trình (2.3) dưới dạng sau: y  x   0 Ax  F1 x z  y   0 AF1 y  F2 y . . .      0 AF1 F2 1...F 1N  2  FN 1 Hay x  Ax  x   0 Ax+ 0Ax  ...   0Ax  f Thực hiện N-1 phép thay biến: y  x   0 Ax  F1 x z  y   0 AF11 y  F2 y . . .      0 AF11 F2 1...F 1N 2  FN 1 (2.4) 16 Sau các phép thay biến trên phương trình (2.3) có dạng:    0 AF11F21...F 1N 1  FN   f (2.5) Ta sẽ chứng minh ánh xạ  0 AF11F21...F 1N 1 là ánh xạ co với hệ số co q  o L  1 Thật vậy: Do  0 A là toán tử co do đó với y tùy ý thuộc X phương trình F1 x  x   0 Ax  y có nghiệm duy nhất. Vì vậy toán tử F11 và F2 xác định tại tất cả các điểm của không gian X. Toán tử F11 thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hệ số L=1 vì: xm  1 1 Ax m  Ax k +f, m=0,1,2,...; k=0,1,2...  y1 , y2  X , 2 2 đặt F11 y1  x1 , F11 y2  x2 Từ tính đơn điệu của A ta có: F2 1 z1  F2 1 z2  y1  y2  x1   0 Ax1  x2   0 Ax 2  x1  x2   0 (Ax1  Ax 2 )  x1  x2  2 0 (Ax1  Ax 2 )  ( x1   0 Ax1 )  ( x2   0 Ax 2 )   0 Ax1   0 Ax 2  y1  y2   0 AF11 y1   0 AF11 y2  ( y1   0 AF11 y1 )  ( y2   0 AF11 y2 )  z1  z2 Một cách tương tự ta có thể chứng minh rằng tất cả các toán tử Fk 1 (k  1, 2,..., N 1) được xác định trên toàn không gian và liên tục Lipschitz với hệ số L= 1. Do đó ánh xạ  0 AF11F21...FN 1 là ánh xạ co với hệ số co q   0 L  1 . Vì vậy do nguyên tắc ánh xạ co phương trình (2.5) với f tùy ý có nghiệm duy nhất 